2. Resumo
Impacto sobre o Mercado
Modelo em Tempo Discreto
Estratégia Ótima de Execução
L-VaR
Modelo em Tempo Contínuo
Bibliografia
2
3. Impacto sobre o Mercado
S0
Impacto
Preço após
ST negócio Permanente
Impacto
Temporário
ST Preço de venda
3
4. Modelo em Tempo Discreto
Almgren e Chriss (1999)
Venda de grande quantidade X de um determinado ativo em N etapas :
t0 = 0, t1 ,..., t N = T T = Nτ
tk +1 − tk = τ ⇒ tk = k τ , k = 0,..., N Holding Period
A quantidade do ativo em carteira em cada instante é :
x0 = X , x1 ,..., xN = 0
nk
nk = xk −1 − xk vk = Quantidade vendida por
τ intervalo de tempo em k
4
5. Modelo em Tempo Discreto
Almgren e Chriss (1999)
X
x0 = X , x1 ,..., xN = 0
x1 nk
nk = xk −1 − xk vk =
x2 τ
n3
x3
x4
0 T
τ Cronograma de Execução
5
6. Modelo em Tempo Discreto
Almgren e Chriss (1999)
QUANTIDADE
Movimento Browniano Aritmético VENDIDA
Sk −1
S k − S k −1 = σ τεk + μτ − γ nk
Sk
VOLATILIDADE
IMPACTO
Sk BID-ASK SPREAD DRIFT
PERMANENTE
SOBRE O MERCADO
S k − S k = ε + η vk QUANTIDADE
VENDIDA POR
UNIDADE DE TEMPO
Preço de Venda IMPACTO 6
TEMPORÁRIO
7. Bid-Ask Spread
Bangia, Diebold, Schuermann e Stroughair(1999)
SPREAD
COMPRA
PREÇO
ILIQUIDEZ ENDÓGENA
VENDA
TAMANHO DA POSIÇÃO
7
8. Preço de Venda
Almgren e Chriss (1999)
S k = S k −1 + σ τεk + μτ − γ nk − ε − ηvk
k
= S0 + σ ∑ τε j + μtk − γ ( X − xk ) − ε − ηvk
j =1
IMPACTO
RANDOM WALK até k
PERMANENTE
IMPACTO
TEMPORÁRIO
PREÇO DE VENDA k
8
9. Valor Total da Venda
Almgren e Chriss (1999)
N
S = ∑ nk S k
k =1
N N k N
= ∑ ( xk −1 − xk )S0 + σ τ ∑ ( xk −1 − xk )∑ ε j + μ∑ ( xk −1 − xk )tk
k =1 k =1 j =1 k =1
N N N
−γ ∑(x
k =1
k −1 − xk )( X − xk ) − ε∑ ( xk −1 − xk ) − η ∑ ( xk −1 − xk )vk
k =1 k =1
N N N N
= XS0 + σ τ ∑ xk εk + μτ ∑ xk − γ ∑ nk ( X − xk ) − ε X − ητ ∑ vk2
k =1 k =1 k =1 k =1
9
10. Custo da Transação
Almgren e Chriss (1999)
N N
1 ⎛ 1 ⎞ N 2
⎟
S = XS0 + σ τ ∑ xk εk + μτ ∑ xk − γ X − ε X − ⎜η + γτ ⎟ τ ∑ vk
2 ⎜
⎟
k =1 k =1 2 ⎜
⎝ 2 ⎠ k =1
O custo (estocástico) final da transação é:
C = XS0 − XS
N N
1 ⎛ 1 ⎞ N 2
= −σ τ ∑ xk εk − μτ ∑ xk + γ X 2 + ε X + ⎜η + γτ ⎟ τ ∑ vk
⎜ ⎟
⎟
k =1 k =1 2 ⎜
⎝ 2 ⎠ k =1
VARIÁVEL ESTOCÁSTICA 10
11. Custo da Transação
Almgren e Chriss (1999)
N
1 N
⎛ 1 ⎞ N 2
C = −σ τ ∑ xk εk − μτ ∑ xk + γ X 2 + ε X + ⎜η + γτ ⎟ τ ∑ vk
⎜ ⎟
⎟
k =1 k =1 2 ⎜
⎝ 2 ⎠ k =1
1N
⎛ 1 ⎞ N 2
E[C ] = C = −μτ ∑ xk + γ X + ε X + ⎜η + γτ ⎟ τ ∑ vk
2
⎜ ⎟
⎟
k =1 2 ⎜
⎝ 2 ⎠ k =1
N
= σ τ ∑ xk2
2
V [C ] = C − C
2 2
k =1
11
12. Estratégia Ótima de Execução
Almgren e Chriss (1999)
1N
⎛ 1 ⎞ N 2
E[C ] = C = −μτ ∑ xk + γ X + ε X + ⎜η + γτ ⎟ τ ∑ vk
2
⎜ ⎟
⎟
k =1 2 ⎜
⎝ 2 ⎠ k =1
N
= σ τ ∑ xk2
2
V [C ] = C − C 2 2
k =1
Estratégia ótima minimiza o custo de Liquidação da Posição:
L = E[C ] + rα V [C ]
Custo Médio Custo de oportunidade do
capital alocado
12
13. Estratégia Ótima de Execução
Almgren e Chriss (1999)
Assumindo vendas à velocidade constante:
X X ⎛ k⎞
⎟
vk = = ⎜
xk = ⎜1− ⎟ X
T τN ⎜ N⎠
⎝ ⎟
1 1 ⎛η γ ⎞ X 2
⎟
⎜
E[C ] = − μτ X ( N −1) + γ X + ε X + ⎜ + ⎟
2
2 2 ⎝ ⎟
⎜τ 2⎠ N
1 2 2 ⎛ 1 ⎞⎛
⎟⎜1− 1 ⎞
⎟
V [C ] = σ τ X N ⎜1− ⎟⎜
⎜
⎟⎜ ⎟
⎟
3 ⎜ N ⎠⎝ 2 N ⎠
⎝
13
14. Estratégia Ótima de Execução
Almgren e Chriss (1999)
Assumindo que o drift é nulo a equação para o custo de liquidação é :
1 ⎛η γ ⎞ X 2 1 2 2 ⎛ ⎞⎛ ⎞
2 ⎜ + ⎟
L = − γ X + εX +⎜ ⎟ ⎜1− 1 ⎟⎜1− 1 ⎟
+ rα σ τ X N ⎜ ⎟⎜ ⎟
2 ⎝ ⎟
⎜τ 2 ⎠ N 3 ⎟⎜
⎜ N ⎠⎝ 2 N ⎠
⎝ ⎟
A condição para o mínimo custo é:
1 1 2 2⎛ 1 ⎞
⎟
rα σ τ X ⎜1−
⎜ 2⎟
⎟
∂L ⎛η γ ⎞ X 2
2 3 ⎜ 2N ⎠
⎝
= −⎜ + ⎟ 2 +
⎜ ⎟
⎟ =0
∂N ⎜τ 2 ⎠ N
⎝ ⎛ ⎞
⎜1− 1 ⎟
( N −1)⎜ ⎟
⎜ 2N ⎠
⎝ ⎟
14
15. L-VaR
L −VaR = α V [C ] *
Estratégia Ótima de
Execução
15
16. Modelo em Tempo Contínuo
τ → 0, N → ∞
k
S k = S0 + σ ∑ τε j + μtk − γ ( X − xk ) − ε − ηvk
j =1
t
S (t ) = S (0) + σ z (t ) + μt − γ ∫ ds v(s) − ηv(t )
0
PROCESSO DE
WIENER 16
17. Modelo em Tempo Contínuo
τ → 0, N → ∞
N
1N
⎛ 1 ⎞ N 2
⎟
S = XS0 + σ τ ∑ xk εk + μτ ∑ xk − γ X − ε X − ⎜η + γτ ⎟ τ ∑ vk
2 ⎜
⎟
k =1 k =1 2 ⎜
⎝ 2 ⎠ k =1
T T
1 1 2 2
v ∫ dt S (t ) = XS (0) + vσ ∫ dt z (t ) + μvT − εvT − ηv T − γ v T
2 2
0 0
2 2
17
18. Custo da Transação
T
C = XS (0) − v ∫ dt S (t )
0
T
1 1 2 2
= −vσ ∫ dt z (t ) − μvT + εvT + ηv T + γ v T
2 2
0
2 2
1 ηX 2 1
E[C ] = − μ XT + ε X + + γX 2
2 T 2
⎡T ⎤ 1
V [C ] = v 2σ 2V ⎢⎢ ∫ dt z (t )⎥⎥ = T σ 2 X 2
⎢⎣ 0 ⎥⎦ 3
18
19. Estratégia Ótima de Execução
Assumindo que o drift é nulo a equação para o custo de liquidação é :
1 ηX 2 1 1
L = − μ XT + ε X + + γX + TσX
2
2 T 2 3
A condição para o mínimo custo é:
∂L 1 η X 2 rα 1
= − μX − 2 + σ X =0
∂T 2 T 2 3T
2
Considerando DRIFT nulo: ⎛ 2 3η X ⎞
⎟
3
T =⎜
*
⎜
⎜ rασ ⎟
⎟
⎟
⎜
⎝ ⎠ 19
20. Holding Period Ótimo e L-VaR
Impacto Posição
temporário 2 100
⎛ 2 3η X ⎞
⎟
3
T =⎜
90
*
⎜ ⎟
⎟
⎜ rασ ⎟
80
⎜
⎝ ⎠ 70
D 60
O
I
R
E
P 50
G
N
I
D 40
L
O
H
30
Volatilidade
Custo de Nível de 20
oportunidade Confiança 10
0
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
POSIÇÃO
1
1 * 2 2 ⎛ 2ησ 2α 2 X
⎜
4 3⎞
⎟
L −VaR = α T σ X = ⎜ ⎟
⎟
3 ⎜
⎝ 3r ⎟
⎠ 20
22. Bibliografia
•Hisata Y. e Yamai Y., Research Towards the Practical Apllication of Liquididy
Risk Evaluation Methods, Monetary and Economic Studies , Dec/2000
Leituras Complementares
Shamroukh, N., Modeling Liquidity Risk in VaR Models, Algorithmcs UK, 2000
Bouchaud J.-P. et al., Fluctuations and response in financial markets: the subtle
nature of ‘random’ price changes, Quantitative Finance, 4 (2004) 176-190.
22
