O documento descreve como construir uma elipse geométrica com foco fixo de 12 unidades de distância. Explica que uma elipse é formada pela interseção de circunferências com centros nos focos. Em seguida, mostra os passos para construir uma elipse com focos a distância de 12 unidades e resolver problemas relacionados à distância entre pontos e a elipse e o cálculo do perímetro necessário para vedar um canteiro com a forma de uma elipse.

1. PROBLEMA Nº8
A Elipse
Docente: Trabalho realizado:
Luís Vilhena Alexandre Mendes nº1
Gonçalo Raminhos nº11

2.  Elipse é o lugar geométrico dos pontos do plano
tais que a soma das distâncias a dois pontos
fixos(focos) é constante e maior que a distância
entre os focos.

3. A Elipse é constituída pela
intersecção de todos os pontos,
de infinitas circunferências, de A Elipse que vamos construir
centro nos dois focos da mesma. tem a soma das distâncias
entre os focos e os pontos que
a constituiem igual a 12
unidades (cm).
Construção:
1-Primeiro cria-se uma
circunferência de centro num
dos focos, de raio 1, depois de 2,
e assim sucessivamente, até se
obter uma com raio 12.
Q(-4;0)
Focos da
elipse
R(4;0)
Circunferências de
centro no foco R

4. 3-Após a construção das duas
circunferências, colocamo-las no
2-Em seguida constrói-se várias referencial de acordo com as
circunferências do mesmo modo coordenadas dos focos. Deste modo
que foi realizado para foco R, podemos começar a verificar as várias
mas desta vez com centro no foco intersecções entre as circunferências
Q. que irão formar a elipse.

5. 4-Colocamos pontos nas intersecções entre as
circunferências, cuja soma dos raios é 12. Após
marcar os pontos, unimo-los e obtemos assim
uma elipse constituída exclusivamente por 5-No final, para obtermos um
pontos com a soma das suas distâncias aos resultado mais claro apagamos as
focos igual a doze. circunferências e obtemos a elipse
no referencial.

6.  A equação da Elipse é representada
por: x2/a2+y2/b2=1
 Esta equação verifica-se quando o
eixo maior da Elipse for paralelo ao
eixo das abcissas.
 a = semieixo maior
 b = semieixo menor
 c = semieixo focal
Relação entre “a”, “b” e “c”:
a2=b2+c2

7.  Na figura está representada um
elipse centrada na origem. Os
focos da elipse são Q(-4;0) e
R(4;0).
 PQ + PR = 12
8.1- Qual é a distância de LR?

8. P e L são pontos que
pertencem há elipse, logo,
neste caso a soma das suas
distâncias aos focos é 12.
(LR = LQ), porque como o ponto L se
encontra sobre o eixo das ordenadas a
sua distância aos focos é igual, pois este
corresponde a um ponto da mediatriz
do segmento QR.
R: A solução para esta questão é LR = 6,
porque se LR = LQ, então a distância entre
um foco e o ponto L é metade do
resultado da soma das duas distâncias aos
focos.

9.  Um jardineiro constrói um canteiro rectangular com 108 m2
de área. No rectângulo inscreve uma elipse, como a figura
sugere.
Para o efeito o jardineiro fixa as extremidades de uma corda,
com 12 m de comprimento, a duas estacas.
• Sabe-se que o jardineiro possui
40m de rede para vedar o canteiro.
Será que tem rede suficiente para a
vedação? Indica o comprimento
mínimo de rede necessário para
proteger o canteiro.

10. Resolução 8.2
1- Dividimos a área total do rectângulo por 4, o que
nos irá dar a área de cada um dos quatro
rectângulos menores que o constituem.
180:4 = 27 Área do rectângulo pequeno = 27m2

11. 2- Sabemos que a soma das distâncias entre o ponto G e os
focos é 12m, por isso aplicamos o mesmo processo utilizado
para calcular LR, obtendo assim o valor de 6m, que corresponde
a GR. Este valor irá também corresponder a “a”, porque ambos
representam o semieixo maior. Como “a” é o semieixo maior,
representa não só a hipotenusa do triângulo (GHR), mas
também o comprimento do rectângulo menor que estamos a
estudar.

12. Para calcular a área de um
rectângulo, utilizamos a fórmula A=cxl b=l
“A = c x l”, por isso neste caso temos (=)27 = 6 x l a=c
27 = c x l. Como o comprimento é (=) 27/6 = l
6m, então pudemos utilizar a (=) 4,5 = l
fórmula para calcular a largura, que
é 4,5m.

13. Para calcular o perímetro total do
rectângulo maior, multiplicamos a 6 x 4 = 24
largura do menor por 4 e o 4,5 x 4 = 18
comprimento do menor por 4, e 18 + 24 = 42
somamos os resultados. O perímetro
do canteiro é 42m.

14.  R: O jardineiro não terá rede suficiente para vedar
o canteiro, pois ele apenas possui 40m de rede e
necessita de 42m, porque 42>40. Desta forma o
jardineiro terá de solucionar o problema
comprando mais 2m de rede.

15. Programas:
 Geogebra 4.0
 Powerpoint
Recursos:
 http://pt.wikipedia.org/wiki/Elipse
 Aleph 10