This is a work I did for learning the basics of Lie Groups. It has a lot of simple examples one can use when teaching about them.

1. Grupos topol´ gicos y grupos de Lie
o
Gema R. Quintana Portilla
16 de enero de 2007

2. ´
Indice
´
Indice 1
1. Introducci´ n
o 2
2. Grupos topol´ gicos
o 2
3. Grupos de Lie 4
4. Ejemplos 5
4.1. El grupo aditivo de los n´ meros reales: (R, +, Tu ) . . . .
u . . . . . 5
4.2. El grupo multiplicativo de los n´ meros reales: (R∗ , ., Tu )
u . . . . . 5
4.3. El producto de dos grupos de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
4.4. La circunferencia S1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
4.5. Los cuaterniones H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4.6. La esfera S3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4.7. El grupo lineal general: GL(n; R) . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4.8. Grupo especial lineal: SL(n, R). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4.9. Grupo ortogonal: O(n, R). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
5. Un grupo topol´ gico que no es grupo de Lie
o 11
Referencias 12
1

3. 1. Introducci´ n
o
El objetivo de este trabajo fue, en un principio, definir las nociones de grupo
topol´ gico y grupo de Lie e ilustrarlas con ejemplos. En la b´ squeda de ejemplos
o u
nos dimos cuenta de que los ejemplos de grupos topol´ gicos normalmente citados
o
eran todos grupos de Lie y que en casi ning´ n sitio se recog´an ejemplos de grupos
u ı
que fuesen solamente topol´ gicos. Eso fue lo que motiv´ que se incluyese la ultima
o o ´
secci´ n del trabajo.
o
2. Grupos topol´ gicos
o
Definici´ n 2.1. Se dice que (G, ∗, T ) es un grupo topol´ gico, si:
o o
1. (G, ∗) es un grupo1 ;
2. (G, T ) es un espacio topol´ gico separable2 ;
o
3. Las aplicaciones f (a, b) = ab y s(a) = a−1 son continuas.
Nota 2.2. Consideremos las siguientes aclaraciones a la definici´ n:
o
La tercera condici´ n quiere decir que si a, b ∈ G entonces para todo entorno
o
W del elemento c = ab ∃ entornos U ayV b tales que U V ⊂ W ;
y adem´ s para todo entorno V
a a−1 existe un entorno U a tal que
U −1 ⊂ V .
Adem´ s, equivale a exigir la continuidad de la aplicaci´ n
a o
g(a, b) = ab−1
Un grupo topol´ gico se denomina conexo, simplemente conexo, compacto,
o
etc., si lo es como espacio topol´ gico.
o
Del mismo modo se denomina abeliano, normal, simple, semisimple, etc., si
lo es como grupo.
1
Se denomina grupo al par (G, ∗) donde G es un conjunto y ∗ una operaci´ n cumpliendo:
o
(1) a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c ∀a, b, c ∈ G,
(2) ∃e ∈ G tal que a ∗ e = e ∗ a = a ∀a ∈ G,
(3) ∀a ∈ G ∃a−1 ∈ G g ∈ G tal que a ∗ a−1 = a( − 1) ∗ a = e.
2
Recordemos que un espacio topol´ gico se dice separable si posee un subcojunto denso y nume-
o
rable.
2

4. Cada grupo puede ser convertido trivialmente en un grupo topol´ gico con-
o
sider´ ndolo con la topolog´a discreta; en este sentido,la teor´a de los grupos
a ı ı
topol´ gicos subsume a la de los grupos ordinarios.
o
Todo grupo es un grupo topol´ gico si lo dotamos de la topolog´a trivial.
o ı
Seguramente, el lector ya se haya dado cuenta de que no es necesario exi-
gir la segunda condici´ n3 en la definici´ n. Imponerla es lo an´ logo a pedir a las
o o a
variedades diferenciables que sean Hausdorff. ¿Y esto por qu´ ? Pues porque, ade-
e
lant´ ndonos un poco, veremos que ser grupo de Lie implica ser grupo topol´ gico.
a o
Y aqu´ hay dos opciones: la primera es no exigir en la definici´ n de grupo topol´ gi-
ı o o
co la separabilidad ni en la de variedad diferenciable el ser Hausdorff; y la segunda,
que se satisfagan ambas cosas.
El porqu´ se ha de tomar una opci´ n u otra nos lo aclara el siguiente lema:
e o
Lema 2.3. Si un espacio topol´ gico es IIAN , entonces es separable.
o
Demostraci´ n. Sea X un espacio topol´ gico IIAN y sea B una base numerable.
o o
Para cada abierto b´ sico Bi ∈ B, i ∈ {1, 2, 3, ...}, no vac´o, sea ai ∈ Bi . Definimos
a ı
A = {ai /i ∈ N}. A es numerable y denso, luego X es separable.
Nosotros, nos hemos decantado por la segunda de estas opciones ya que en el
curso de Topolog´a Diferencial actualmente s´ lo consideramos variedades diferen-
ı o
ciables IIAN 4 .
A continuaci´ n vamos a introducir la definici´ n de subgrupo topol´ gico ya que
o o o
la emplearemos a la hora de estudiar algunos de los ejemplos:
Definici´ n 2.4. Se dice que un subconjunto H ⊂ G es un subgrupo del grupo
o
topol´ gico G si:
o
1. H es subgrupo de G como grupo algebraico5 ;
2. H es un subconjunto cerrado del espacio topol´ gico G.
o
Nota 2.5. Todo subgrupo de un grupo topol´ gico es tambi´ n un grupo topol´ gico
o e o
con la topolog´a inducida.
ı
3
La definici´ n la hemos tomado de [5], pero, por ejemplo, en [6] no se lo exigen.
o
4
Cabe se˜ alar aqu´ que los ejemplos del curso que no eran IIAN , (la recta con origen doble y
n ı
la recta con infinitos or´genes) s´ son espacios topol´ gicos separables (ambos poseen un subconjunto
ı ı o
denso y numerable: Q.
5
Se dice que un conjunto H ⊂ G es subgrupo del grupo G si ∀a, b ∈ H se cumple ab−1 ∈ H.
3

5. 3. Grupos de Lie
Definici´ n 3.1. Un grupo de Lie G es una variendad diferenciable dotada de una
o
esctuctura de grupo tal que las funciones f (a, b) = ab y f (a) = a−1 son C ∞ .
Nota 3.2. Algunos comentarios a la definici´ n anterior son:
o
Al igual que ocurr´a en el caso de los grupos topol´ gicos en la definici´ n
ı o o
anterior podr´amos haber exigido unicamente que la funci´ n f (a, b) = ab−1
ı ´ o
sea C ∞ .
Todo grupo de Lie es grupo topol´ gico respecto a la topolog´a inducida por
o ı
su estructura de variedad diferenciable.6 .
Las propiedades topol´ gicas de un grupo de Lie son las que tiene como
o
variedad diferenciable. Y las propiedades de algebraicas, las que tiene como
grupo algebraico.
Todo grupo de Lie es localmente eucl´deo (ya que es variedad diferencia-
ı
ble), es decir, hereda las propiedades topol´ gicas locales7 de Rn : localmente
o
conexo, IAN , localmente conexo por caminos8 , localmente compacto9 , etc.
Definici´ n 3.3. Se dice que (H, ϕ)10 es un subgrupo de Lie de un grupo de Lie G
o
si:
1. H es un grupo de Lie;
2. H es subvariedad regular11 de G;
3. la aplicaci´ n ϕ : H → G es un homomorfismo de grupos12 .
o
Una vez que hemos introducido todas las definiciones, vamos a ilustrarlas con
unos cuantos ejemplos. Cada ejemplo ser´ estudiado por separado, se˜ alando al-
a n
gunas de sus propiedades topol´ gicas m´ s importantes.
o a
6
´
El rec´proco no es cierto. Una muestra de esto constituye la ultima parte de este trabajo. Sin
ı
embargo, es muy dif´cil encontrar ejemplos grupos topol´ gicos que no sean grupos de Lie a nuestro
ı o
nivel. Por eso, todos los ejemplos de la secci´ n siguiente son grupos de Lie.
o
7
Por esto, al caracterizar las propiedades topol´ gicas de los ejemplos no comentaremos las
o
propiedades locales que poseen trivialmente.
8
Luego en una variedad las componentes conexas y las conexas por caminos coinciden y son
abiertas.
9
Entendiendo la compacidad local como existencia de una base de entornos compactos.
10
Con (H, ϕ) queremos indicar que ϕ es la inyecci´ n natural de H en G.
o
11
Es decir, ϕ : H → G es una inmersi´ n y la topolog´a de H coincide con la restricci´ n de la de
o ı o
G.
12
Esto es, ϕ(h1 h2 ) = ϕ(h1 )ϕ(h2 ) ∀h1 , h2 ∈ H.
4

6. 4. Ejemplos
Todos los ejemplos que vamos a considerar a continuaci´ n son grupos de Lie,
o
lo que implica que son grupos topol´ gicos.
o
4.1. ´
El grupo aditivo de los numeros reales: (R, +, Tu )
El conjunto de los n´ meros reales es un grupo abeliano respecto de la suma.
u
Es evidente que es grupo topol´ gico ya que las aplicaciones f (a, b) = a − b y
o
f (a) = −a son continuas considerando R dotado de la topolog´a usual.
ı
Tambi´ n es un grupo de Lie: es variedad diferenciable (posee un atlas C∞
e
formado por una sola carta, la identidad); las aplicaciones anteriores son C∞ .
Por supuesto, podemos generalizar de manera natural a dimensiones superio-
res (definiendo la operaci´ n coordenada a coordenada) y se tiene que Rn con la
o
topolog´a natural es un grupo de Lie que denominaremos grupo vectorial n-dimen-
ı
sional real13 .
Es simplemente conexo y no es compacto (un recubrimiento de R que no ad-
mite subrecubrimiento finito es {(−n, n); n ∈ R}).
4.2. El grupo multiplicativo de los numeros reales: (R∗ , ., Tu )
´
Si consideramos ahora R∗ , es decir, el conjunto de los n´ meros reales distin-
u
´
tos de cero; tenemos que este es un grupo abeliano respecto del producto. En la
topolog´a usual inducida por la de R, las aplicaciones f (a, b) = ab y s(a) = a−1
ı
son continuas; de donde R∗ , dotado de la topolog´a usual, es un grupo topol´ gico.
ı o
No s´ lo es grupo topol´ gico sino que es grupo de Lie (por ser las aplicaciones
o o
anteriores diferenciables14 ).
En este caso el grupo no es conexo (basta considerar la separaci´ n: R = (−∞, 0)∪
o
(0, ∞)).
Un subgrupo conexo de este grupo es (R+ , ., Tu ) donde con R+ denotamos al
conjunto de los n´ meros reales positivos.
u
4.3. El producto de dos grupos de Lie
Teorema 4.1. El producto G × H de dos grupos de Lie es un grupo de Lie.
Demostraci´ n. Sean G y H dos grupos de Lie. Sabemos que G × H es una va-
o
riedad diferenciable por ser producto de dos variedades diferenciables.
13
En este trabajo s´ lo vamos a considerar el caso real, an´ logamente se definir´an el grupo aditivo
o a ı
de los n´ meros complejos, el grupo de las matrices regulares complejas de orden n, etc.
u
14
De ahora en adelante diferenciable significar´ para nosotros diferenciable C∞ .
a
5

7. Lema 4.2. El producto de dos grupos es un grupo.
Demostraci´ n. Sean (G, ∗) y (H, ♦) dos grupos. Entonces su producto G × H es
o
un grupo con la operaci´ n definida componente a componente:
o
(g1 , h1 )(g2 , h2 ) = (g1 ∗ g2 , h1 ♦h2 ) ∀(g1 , h1 ), (g2 , h2 ) ∈ G × H
La operaci´ n est´ bien definida porque G y H son grupos. Veamos que dota a
o a
G × H de estructura de grupo:
Es asociativa:
((g1 , h1 )(g2 , h2 ))(g3 , h3 ) = (g1 ∗g2 , h1 ♦h2 )(g3 , h3 ) = (g1 ∗g2 ∗g3 , h1 ♦h2 ♦h3 ) =
(g1 ∗ (g2 ∗ g3 ), h1 ♦(h2 ♦h3 )) = (g1 , h1 )((g2 , h2 )(g3 , h3 )).
Elemento neutro: (eG , eH ), con eG y eH los elemento neutros de G y H,
respectivamente.
Elemento inverso: para cada (g, h) ∈ G × H el elemento inverso viene dado
por (g −1 , h−1 ). Cada elemento de este par es el inverso de g en G y de h en
H, respectivamente.
Por el lema anterior, s´ lo nos resta ver que la operaci´ n del grupo G × H es
o o
diferenciable, y esto se tiene trivialmente ya que lo es en cada componente porque
G y H son grupos de Lie.
Es claro que lo anterior se puede generalizar al producto finito de grupos de
Lie:
Corolario 4.3. El producto finito de grupos de Lie es un grupo de Lie.
4.4. La circunferencia S1
Definimos S1 = {(a, b) ∈ R2 : a2 + b2 = 1}. Sabemos que es una variedad
diferenciable: basta dotarla de un atlas formado por las dos proyecciones estereo-
gr´ ficas, una desde el (0, 1) y otra desde el (0, −1), por ejemplo.
a
Adem´ s, recordemos que S1 ≈ C, es decir, podemos definir S1 = {z ∈ C : |z| = 1}.
a
As´,para dotarla de estructura de grupo emplearemos el producto usual de C: sean
ı
(a, b), (c, d) ∈ S1 , se define (a, b)(c, d) = (ac − bd, ad + bc).
Lema 4.4. S1 con el producto as´ definido es un grupo de Lie.
ı
6

8. −1
Demostraci´ n. Basta probar que la aplicaci´ n f (z1 , z2 ) = z1 z2 es diferenciable.
o o
Y la manera m´ s f´ cil de hacerlo es considerar la notaci´ n exponencial para los
a a o
n´ meros complejos, es decir, z1 = e
u iϕ1 , z = eiϕ2 con lo que la aplicaci´ n anterior
o
2
queda f (eiϕ1 , eiϕ2 ) = eiϕ1 e−iϕ2 = ei(ϕ1 −ϕ2 ) que, trivialmente, es diferenciable.
Se trata de un grupo de Lie conexo y compacto.
4.5. Los cuaterniones H
El cuerpo de los cuaterniones, H, es el primer ejemplo (hist´ ricamente) de
o
un cuerpo no conmutativo y consiste en un espacio vectorial real de dimensi´ n 4
o
con una base {1, i, j, k} cuyos elementos son de la forma a + bi + cj + dk con
a, b, c, d ∈ R que se suman y se multiplican de manera natural,15 teniendo en
cuenta para el producto que i2 = j 2 = k 2 = −1; ij = −ji = k; jk = −kj = i;
ki = −ik = j.
Lema 4.5. Los cuaterniones son una variedad diferenciable.
Demostraci´ n. Basta considerar como carta la identidad de H en R4 para dotarlo
o
de estructura de variedad diferenciable.
Teorema 4.6. (H∗ , .) es un grupo de Lie16 .
Demostraci´ n. Por el lema anterior, s´ lo nos resta probar que el producto y la
o o
inversi´ n son diferenciables:
o
(x1 + x2 i + x3 j + x4 k)(y1 + y2 i + y3 j + y4 k) = x1 y1 − x2 y2 − x3 y3 − x4 y4 +
+i(x1 y2 +x2 y1 +x3 y4 −x4 y3 )+j(x1 y3 −x2 y4 +x3 y1 +x4 y2 )+k(x1 y4 +x2 y3 −x3 y2 +x4 y1 )
x1 − x2 i − x3 j − x4 k
(x1 + x2 i + x3 j + x4 k)−1 =
x2 + x2 + x2 + x2
1 2 3 4
La primera expresi´ n es polin´ mica y la segunda racional con denominador distin-
o o
to de cero.
Podemos identificar H con las matrices complejas de dimensi´ n dos17 :
o
a + bi −c − di
: a, b, c, d ∈ R
c − di a − bi
15
Es decir, como polinomios.
16
Excluimos el 0, para que sea grupo multiplicativo, claro.
17
Al igual que se identifica C con las matrices reales de dimensi´ n dos:
o
a b
: a, b ∈ R
−b a
7

9. Si consider´ semos la suma en vez del producto tendr´amos otra estructura de
a ı
grupo de Lie para los cuaterniones, que no nos interesa tanto como la del producto
debido al ejemplo siguiente:
4.6. La esfera S3
Es un grupo de Lie, ve´ moslo:
a
Lema 4.7. La esfera S3 es un subgrupo de (H∗ , .).
Demostraci´ n. Podemos identificar S3 con los cuaterniones de m´ dulo uno:
o o
S3 = {x1 + x2 i + x3 j + x4 k : x2 + x2 + x2 + x4 = 1}
1 2 3
2
√ ver que es un subgrupo basta tener en cuenta que si h ∈ H entonces h 2 =
Para
¯ ¯
hh, y si h ∈ S3 lo anterior implica que h−1 = h ∈ S3 . Adem´ s si h1 , h2 ∈ S 3 ,
a
h1 h2 ∈ S 1 2 1 2 1 2
¯2 ¯1
3 porque h h h h = h h h h = 1.
Lema 4.8. La esfera S3 es subvariedad regular de H.
Demostraci´ n. Basta usar que toda hipersuperficie de Rn dada por los ceros de una
o
funci´ n F : Rn → R cuya matriz jacobiana no se anula en la hipersuperficie es
o
subvariedad regular de Rn . En nuestro caso, tenemos que S3 es una hipersuperficie
de R4 (recordemos que existe un isomorfismo entre los cuaterniones y R4 ) dada por
los ceros de la funci´ n F : R4 → R F (x, y, z, t) = x2 + y 2 + z 2 + t2 − 1; cuyo
o
jacobiano es (2x 2y 2z 2t) que no se anula ∀p ∈ S3 .
Corolario 4.9. La esfera S3 es un subgrupo de Lie de H.
4.7. El grupo lineal general: GL(n; R)
Se define
   

 a11 ... a1n 

 . .. .  : det(A) = 0
GL(n; R) = A =  .. . . 
.

 

an1 ... ann
Es decir, el conjunto de todas las matrices reales regulares de orden n. Es un
grupo con el producto de matrices. El elemento neutro es la matriz identidad, I, y
el elemento inverso de una matriz, A, es la matriz inversa, A−1 . Para n ≥ 2 resulta
que dicho grupo es no abeliano.
8

10.  
a11 ... a1n
 . .  puede considerarse co-
Dado que cualquier matriz A =  . .
..
. . 
.
an1 ... ann
2
mo un punto de coordenadas (a11 , . . . , a1n , . . . , an1 , . . . , ann ) del espacio Rn , re-
2
sulta que GL(n; R) es el subconjunto de Rn definido por la condici´ n det(A) = 0. o
As´, la topolog´a natural de este grupo es la inducida por la topolog´a natural de
ı ı ı
R n2 . Esta es separable y en ella las aplicaciones f (A, B) = AB y f (A) = A−1
´
son diferenciables por ser polinomios (y porque det(A) = 0, claro). Por esto, se
trata de un grupo de Lie de dimensi´ n n2 .
o
Proposici´ n 4.10. GL(n; R) no es conexo.
o
Demostraci´ n. Basta considerar la separaci´ n definida por los abiertos de GL(n; R)
o o
{A ∈ GL(n; R) : det(A 0)} y {A ∈ GL(n; R) : det(A 0)}, que son abiertos
por ser la imagen inversa de dos abiertos de R por la aplicaci´ n determinante que
o
es continua.
Proposici´ n 4.11. GL(n; R) no es compacto.
o
Demostraci´ n. Sea {A ∈ GL(n; R) : det(A) ∈ (−n, n)} un recubrimiento por
o
´
abiertos de GL(n; R). Este no admite subrecubrimiento finito.
4.8. Grupo especial lineal: SL(n, R).
Se define SL(n, R) = {A ∈ GL(n, R) : det(A) = 1}.
Proposici´ n 4.12. SL(n, R) es un subgrupo cerrado del grupo lineal general18 .
o
Demostraci´ n. Sea A ∈ SL(n, R), como det(AA−1 ) = det(A)det(A−1 ) = 1
o
se tiene det(A−1 ) = 1 ⇒ A−1 ∈ SL(n, R). Si ahora consideramos A, B ∈
SL(n, R), det(AB) = det(A)det(B) = 1 ⇒ AB ∈ SL(n, R).
Es cerrado por ser la imagen inversa del {1} por la aplicaci´ n determinante que es
o
continua.
Proposici´ n 4.13. SL(n, R) es una subvariedad regular de GL(n, R).
o
2
Demostraci´ n. Basta considerar que es una hipersuperfice de Rn dada por los
o
2
ceros de la funci´ n F : Rn → R, F (A) = det(A) − 1, donde consideramos el
o
desarrollo del determinante por los adjuntos de la primera columna de A, es decir,
18
Ser´a trivial ver que es un grupo de Lie si emple´ semos el teorema de Cartan, que establece que
ı a
todo subgrupo cerrado de un grupo de Lie es un subgrupo de Lie. Pero lo haremos directamente,
usando la definici´ n.
o
9

11. n
det(A) = (−1)i+1 a1i A1i . La matriz jacobiana de F es de la forma J(F ) =
i=1
(A11 , A12 , ..., A1n , ...) y no se anula en SL(n, R): supongamos por reducci´ n al
o
absurdo que J(F )B ≡ 0 para alg´ n B ∈ SL(n, R), esto implicar´a que B11 =
u ı
B12 = ... = B1n = 0, lo que nos da la contradicci´ n19 .
o
Corolario 4.14. SL(n, R) es un subgrupo de Lie de GL(n, R) cuya dimensi´ n es
o
n 2 − 1.
Teorema 4.15. SL(n, R) es un grupo de Lie conexo y no compacto.
Demostraci´ n. La conexi´ n se sigue de que es la imagen inversa de un conexo
o o
por la aplicaci´ n determinante, que es continua. Y no es compacto porque no es
o
acotado: contiene, por ejemplo, a las matrices triangulares superiores con todos
sus t´ rminos diagonales iguales a uno que definen un subconjunto no acotado en
e
2
Rn .
4.9. Grupo ortogonal: O(n, R).
Se define como O(n, R) = {A ∈ GL(n, R) : AT A = I}.
n
Teorema 4.16. O(n, R) es un subgrupo de Lie de GL(n, R) de dimensi´ n
o 2 .
Demostraci´ n. La condici´ n de ortogonalidad, AT A = I, implica, puesto que
o o
det(A) = det(A T ) que si A ∈ O(n, R), det(A) = 1 o det(A = −1). De aqu´ se ı
sigue que es cerrado: es la imagen inversa por una aplicaci´ n continua, el determi-
o
nante, del cerrado {−1, 1}.
Veamos ahora que es subgrupo: sean A, B ∈ O(n, R) ⇒ (AB −1 )T AB −1 =
(AB T )T AB T = BAT AB T = BIB T = B T B = I.
As´ que ya tenemos probado que es un subgupo cerrado de GL(n, R) y estamos en
ı
las condiciones de aplicarle el teorema de Cartan, que afirma que todo subgrupo
cerrado de un grupo de Lie es subgrupo de Lie, y concluir que es subgrupo de Lie.
Por otra parte, recordemos que de imponer la condici´ n de ortogonalidad20 , se
o
sigue que las columnas de las matrices de O(n, R) han de ser ortonormales, es de-
cir de norma uno y ortogonales dos a dos lo que nos da un total de n condiciones
2
n n(n−1)
a imponer. Esto es, O(n) vendr´ dado por 2 = 2 ecuaciones, lo que nos da
a
la dimensi´ n.
o
Teorema 4.17. O(n, R) es no conexo y compacto.
19
Partimos de la hip´ tesis que det(B) = 1
o
20
Podemos definir O(n, R) = {L : Rn → Rn } donde L es una aplicaci´ n lineal que preserva el
o
producto escalar.
10

12. Demostraci´ n. La no conexi´ n se sigue de que tiene una separaci´ n formada por
o o o
los abiertos {A ∈ O(n, R) : det(A) = 1} y {A ∈ O(n, R) : det(A) = −1},
que son abiertos por ser la intersecci´ n de los dos abiertos de GL(n, R), {A ∈
o
GL(n, R) : det(A) 1} y {A ∈ GL(n, R) : det(A) −1} con O(n, R).
La compacidad se sigue de que es cerrado y acotado, puesto que las columnas de
las matrices de O(n, R) tienen norma 1.
5. Un grupo topol´ gico que no es grupo de Lie
o
Todos los ejemplos que hemos visto en la secci´ n anterior eran grupos topol´ gi-
o o
cos que a la vez eran grupos de Lie. Esto sugiere la pregunta de si existir´ ,o a
no, un grupo topol´ gico que no sea grupo de Lie (y que est´ a nuestro nivel de
o e
conocimiento, claro).
Teorema 5.1. Todo grupo topol´ gico localmente eucl´deo es un grupo de Lie.
o ı
Demostraci´ n. La condici´ n suficiente es trivial y la condici´ n necesaria es el
o o o
quinto problema de Hilbert que ya ha sido resuelto21 .
Teorema 5.2. Q, con la topolog´a heredada de R, es un grupo topol´ gico que no
ı o
es grupo de Lie.
Demostraci´ n. Es grupo topol´ gico con la suma de n´ meros racionales: la suma
o o u
de racionales es operaci´ n binaria interna, es asociativa, el elemeto neutro es el 0,
o
y el elemento inverso de q ∈ Q es −q. Esta operaci´ n es continua, y Q es separable
o
porque es numerable.
Por el teorema anterior, basta probar que Q no es localmente eucl´deo. Eso se
ı
tiene trivialmente ya que no es localmente conexo. Es totalmente disconexo, es
decir, dados dos elementos cuales quiera encuentro una separaci´ n de Q formada
o
por dos abiertos de tal manera que cada uno de ellos est´ contenido en uno de
a
los abiertos que constituyen la separaci´ n. Esto es posible por la densidad de los
o
irracionales en Q. Ya que si a, b ∈ Q, a b, ∃c ∈ R Q y podemos tomar la
separaci´ n (−∞, c) ∪ (c, ∞) tal que a ∈ (−∞, c) y b ∈ (c, ∞). De donde se sigue
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que Q con la topolog´a heredada de R no es localmente eucl´deo.
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El problema consist´a en eso, es decir, en determinar si todo grupo topol´ gico localmente eu-
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cl´deo era un grupo de lie. El problema fue resuelto afirmantivamente en 1952 por Montgomery,
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Zippin y Gleason. Otra demostaci´ n fue publicada en 1962 por Kaplansky. Sin embargo, en 1976
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se celebr´ un congreso sobe los problemas de Hilbert en el que un especialista de cada rama deb´a
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explicarla soluci´ n de los que ya hab´an sido resueltos, pero el correspondiente a este problema dijo
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que las demostraciones conocidas eran tan t´ cnicas y complejar que no pod´a siquiera esbozarlas. En
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1990 Hirschfeld public´ una prueba no est´ ndar mucho m´ s simple y cuanto menos esbozable.
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13. Hemos encontrado as´ un grupo topol´ gico que no es grupo de Lie22 y que
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queda completamente dentro de nuestro alcance (salvo por la demostraci´ n del
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quinto problema de Hilbert que es claro que no).
Referencias
[1] F ERNANDO E TAYO, Apuntes de Topolog´a Diferencial, Universidad de
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Cantabria(2006-2007).
[2] R ICARDO FARO, Apuntes de grupos de Lie,
http://kolmogorov.unex.es/∼ricarfr/GruposLie/LibroGLie.pdf.
[3] ROBERT G ILMORE, Lie groups, Lie algebras and some of their applica-
tions, John Wiley Sons, New York [etc.] (1974).
[4] E. M AC´AS -V IRG OS, Apuntes de grupos de Lie,
I ´
http://web.usc.es/∼xtquique/Curso Grupos Lie/Tema 1A v0.pdf
[5] B.N. S HAPUKOV, Grupos y algebras de Lie en ejercicios y problemas,
´
URSS, Mosc´ (2001).
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[6] F RANK W. WARNER, Foundations of differentiable manifolds and Lie
groups, Springer-Verlag, New York [etc.] (1983).
[7] http://www.answers.com/topic/topological-group.
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En realidad son dos: si consideramos Q∗ = Q − {0} con el producto de n´ meros racionales,
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tendr´amos otro grupo topol´ gico que tampoco es grupo de Lie.
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