1. INTEGRALI KONTUROR-J
Integrali konturor siç është theksuar
edhe më parë është parametër që
karakterizon shkatërrimin e
materialeve
(trupave) të cilët pësojnë deformim elastikoplastik.
Rice
(1968),
duke
e
idealizuar
deformimin elastiko-plastik si deformim
elastik jolinear, vendosi bazat e zgjerimit të
metodave (parametrave) të mekanikës së
shkatërrimit jashtë zonës së kufizuar nga
mekanika elastike lineare e shkatërrimit
(MELSH).

2. Plasaritja
Zona e
procesit të
shkatërrimit
Kanali
Materiali
bazë nativ

3. Sjellja elastike
lineare (EL)
Sjellja elastike
jolineare (NLE)
Sjellja
elastikoplastike (EP)

5. A-B-C ≠ C-D-A

6. Pra, materialet që shfaqin sjellje elastikoplastike karakterizohen me viskozitet dinamik
më të madh, përkatësisht me rezistencë më të
madhe ndaj inicimit (krijimit) dhe përhapjes së
plasaritjes, prandaj këto materiale i trajton
mekanika elastiko-plastike e shkatërrimit
(MEPSH).
Rice, pra në shqyrtimin e materialeve që
shfaqin sjellje elastiko-plastike mori parasysh
supozimin se shkarkimi ngjashëm si edhe
ngarkimi është në të njejtën trajektore ose më
mirë me thënë ai (Rice) nuk e mori parasysh
shkarkimin real të trupit të deformuar.

7. Në lëmin e deformimit, fenomenet
(dukuritë) e plasticitetit janë shumë më të
ndërlikuara se fenomenet (dukuritë) e
elasticitetit.
Gjatë deformimit elastik,
në zonën
lineare, sipas ligjit të Hook-ut nga deformimi
mund të përcaktohet sforcimi dhe e kundërta,
nga sforcimi mund të përcaktohet deformimi.
Gjatë deformimit plastik, sjellja e
materialit është më e ndërlikuar në aspekt të
krijimit të gjendjes së sforcuar dhe gjendjes
së deformuar, pra sjellja e materialit është e
varur nga historiku i deformimit.

8. Analiza e dukurisë së shkatërrimit
të
materialeve me sjellje elastiko-plastike është e
shoqëruar me shumë komplikime që nuk janë
evidente për sjelljen elastik të materialev.
Këto komplikime më shumë paraqiten në
kuadër të zonës jolinera etë deformimit që
shoqërohen edhe me ndryshime të mëdha të
gjeometrisë së sipërfaqes së thyerjes.
Komplikim tjetër plotësues është edhe
rrumbullakimi (topitja) e
majës (ballit) të
plasaritjes, që i paraprin përhapjes stabile të
plasaritjes para shkatërrimit përfundimtar.
Komplikim tjetër është bashkëshoqërimi i
me thyerje të brishtë (frazhile).

9. Kontribut të veçantë në përcaktimin e
rezistencës së materialeve ndaj thyerjas ka
dhënë edhe shkencëtari Rice nëpërmjet të
ashtuquajturit integrali konturor J ose
integrali i Rices (Raisit). Interpretimi fizik i
rezistencës ndaj thyerjes konsiston në
ndryshimin e energjisë potenciale gjatë
përhapjes së plasaritjes.
Ky
parametër
për
vlerësimin
e
rezistencës së materialeve ndaj thyerjes
aplikohet për materialet të cilët pësojnë
deformim elastiko-plastik.

10. J. R. Rice, Journal of Applied
Mechanics, 1968.
(Related works: Eshelby, Progress in Solid
State Physics1956;
Sanders, Journal of Applied Mechanics, 1960;
Cherepanov,International Journal of Solid
sand Structures, 1969).
J-integrali
në esencë është puna
(energjia) e deformimit plastik kur materiali
deformohet. Në rastin konkret ky integral
paraqet ndryshimin e energjisë potenciale të
zgjerimit kuazistatik të plasaritjes.

12. Integrali J ndryshe quhet edhe integrali
vijëzor ose integrali konturor rreth majës
(rreth ballit të plasaritjes). Vlen te theksohet
se ka një domethënie të veçantë në
mekaniken elastiko-plastike të shkatërrimit
(MEPSH).
Integrali konturor J është ekuivalent me
KIC dhe G, që përdoren
në kuadr të
mekanikës elastike lineare të shkatërrimit
(MELSH).

13. Nga ky prezantim shihet se integrali
konturor është ekuivalent me G.
Integrali konturor (J) paraqet intensitetin
(shkallën)
e
energjisë
së
absorbuar
(harxhuar) për njësi të sipërfaqes gjatë
zgjerimit të plasaritjes. Kjo pra nuk është
energji që lirohet si në rastin e deformimit
elastik, por është energji e cila harxhohet
gjatë përhapjes (zgjerimit) të plasaritjes, nga
se energjia e deformimit plastik është energji
që nuk rigjenerohet.

14. Krijimi i zonës plastike në majën(ballin-frontin)
e plasaritjes shfaq dy efekte:
-e zvogëlon koncentrimin e sforcimeve,
-absorbon një pjesë të energjisë së deformimit
Zona e deformuar

15. Energjia e deformimit
Kufiri i
proprcionalitetit
Elastik jolinear
Elastik linear

16. Energjia e deformimit (shkatërrimit)
Sforcimi
Energjia
shkatërrimit
(thyerjes)
Deformimi

17. Energjia e deformimit (shkatërrimit) elastik
linear kur merret parasysh prezenca e
plasaritjes
Ndryshimi i energjisë
gjatë përhapjes së
plasaritje
Trupi pa
plasaritje
Trupi me
plasaritje

18. Forca
Zhvendosja
(�)
ose

19. Sipërfaqja e trekëndëshit
�OAB
paraqet energjinë (punën) e deformimit që i
është komunikuar materialit (trupit) për ta
deformuar (energjia e e brendshme-deponuarmagazinuar) në material (trup).
Gjatë
ekzistimit
dhe
hapjes
së
plasaritjes, energjia e deformimit përkufizohet
me sipërfaqen e trekëndëshit �OCB.
Nga kjo rrjedh se diferenca �OAB�OCB= �OAC paraqet energjinë e liruar gjatë
procesit të përhapjes së plasaritjes.

20. Forca
Nëse supozohet se gjatë procesit të
përhapjes së plasaritjes lirohet energji,
atëhere mund të konkludohet se ngarkesa në
këtë rast mbetet konstante:
Zhvendosja
(�)
ose

21. Në këtë rast forca forca mbetet konstante
por lirohet energjia (puna), që përshkruhet me
sipërfaqen e katërkëndëshit □ABED.
Diferenca e sipërfaqes së trekëndëshave:
�OAD- �OAC= �ACD
Nga ana tjetër kjo sipërfaqe është ekuivalente
me 1/2�P�δ, pra:
�ACD= 1/2�P�δ
Vlen të theksohet se kjo sipërfaqe është
shumë e vogël, andaj shpeshherë merret se:
�OAD= �OAC

22. Ngarkesa
Ngjashëm si te sjellja elastike, edhe te
sjellja elastiko plastike mund të përcaktohet
energjia e deformimit nga sipërfaqja që
përshkruhet me kurbat ngarkesa-zhvendosja:
Zhvendosja

23. Ngarkesa
Deformimi elastiko-plastik
Zhvendosja

25. Metoda numerike e përcaktimit të integralit
konturor

26. W-energjia e deformimit
T-vektori i tërheqjes
S-trajektorja (rruga) që përshkruan
integrali
ds- pjesë elementare e harkut të
trajektores
u-vektori i zhvendosjes

28. Për materiale me zonë elastike linare,
integrali konturor (J) është i barabartë me
faktorin e energjisë, përkatësisht me
intensitetin e lirimit të energjisë (G):
Për materiale
me zonë elastiko
plastike, integrali konturor (J) është i
barabartë me:
U-energjia potenciale e sistemit,
A-sipërfaqja e plasaritjes.

29. Integrali konturor-J përshkruhet me dy
veti kryesore të cilat kanë kuptim të caktuar
fizik:
1-Integrali konturor përgjatë një konture të
mbyllur është i barabartë me zero. Nëse
merret parasysh plasaritja atëhere rrjedh se
ajo shkakton ndërprerje të konturës, andaj
integrali konturor në këtë rast nuk është zero
dhe mund të ofrojë vlera të caktuar që i
referohen harxhimit të energjisë për shkak të
krijimit të plasaritjes.

30. 2-Integrali konturor ësht i pavarur nga
trajektorja (kontura-path independent). Kjo do
të thotë se përzgjedhja e (trajektoreskonturës) për përcaktimin e J-integralit nuk
është e rëndësishme. Për këtë përzgjedhet
trajektorja(kontura) më e volitshme për
qëllime të përcaktimit të vlerës përkatëse.

31.  Rice (1968) showed a mathematical
presentation to prove the pathindependency of the J-integral.
2
I
'
2
II
'
2
III
K
K
K
J =G =
+
+
E
E
2µ
For a linear elastic, isotropic material
J =
Γ2
Γ4
Crack faces
Γ1
nj
Γ3
y
x


∂u
Wn1 − i σij n j ds = J1 + J 2 + J 3 + J 4 = 0
∫Γ +Γ 

∂x1

Γ +Γ + 3 4 
1
2
mj
nj

32. PËRCAKTIMI EKSPERIMENTAL I INTEGRALIT
KONTUROR-J
Siç është theksuar edhe më parë integrali
konturorë
është parametër i mekanikës
elastiko-plastike të shkatërrimit dhe është
definuar metoda përkatëse për përcektimin e
eksperimental të këtijë parametri.
Ekzistojnë dy metoda për përcaktimin e
integralit konturor:
-metoda me një mostër (kampion)
-metoda me dy ose më shumë mostra
(kampione).

33. Metoda me një mostër (kampion)
Kjo metodë konsiston në përcaktimin e
inegralit konturorë në një mostër kampion ka
analizohet dhe përcjellet (monitorohet)
përhapja e një plasaritje me përmasa më të
mëdha. Për këtë duhet të përdoren pajisje të
sofistikuara dhe me ndjeshmëri të lartë të
përcjelljes së hapjes (zhvillimit) të plasaritjes.
Gjatë këtij përcaktimi mund të përcjellet edhe
ndryshimi i energjisë potenciale dhe
kapaciteti i dobësimit të rezistencës së
materialit ndaj deformimit.

34. Lakorja ngarkesa-zhvendosja me shkarkime
të njëpasnjëshme
Shkarkimi i
pjesërishëm
Zhvendosja

35. Metoda me dy dhe më shumë mostra
(kampione)
Kjo metodë është zbuluar dhe përsosur
nga shkencëtarët: Landers dhe Begly, dhe
kontributi i tyre solli edhe standardizimin e
kësaj metode për përcaktimin e integralit
konturor-J sipas standardit ASTM E 813
(ASTM E 813 *Standard Test method for J IC, a
measure of fracture toughness* American
Society for Testing and
Materials,
Philadelphia, 1987.).

36. Vlen të theksohet se aktualisht përdoret
edhe standardi ASTM E 1737-96: Standard
Test Method for J Integral Characterisation of
Fracture Toughness.
Ky standard sintetizon dy standarde
paraprake dhe ate: ASTM E 813 *Standard
Test method for JIC, a measure of fracture
toughness dhe ASTM E 1152-87- Standard
Test Method for Determining J-R Curve.

38. Çdo mostër i nënshtrohet procesit të
ngarkimit dhe shkarkimit sipas skemës në
vazhdim:
Përhapja stabile e plasaritjes
4
str
a
Mo
a3
Mo
s tr
2
str
a
Mo
Mo
s tr
a1
Paraplasaritja e krijuar me lodhje
Zhvendosja (V ose 𝚫)
Zhvendosja (V ose 𝚫)

39. Pas procesit të ngarkim shkarkimit bhet
nxehja deri në një temperaturë të caktuar me
qëllim të kontrastimit të sipërfaqes së
thyerjes të shkaktuar nga paraplasaritja dhe
nga zhvendosja stabile e plasaritjes.
Përmasa e gjatësisë së plasaritjes (a o)
dhe e distancës së zhvendosjes së saj (𝚫a)
për shkak të krijimit të konturës së
rrumbullakuar duhet të matet më shumë,
përkatësisht së paku nëntë(nëntë) herë dhe të
caktohet vlera mesatare algjebrike e saj, që
do të shenjohet me (ap) dhe do të emërtohet
si vlera fizike e gjatësisë.

40. Drejtimi i plasaritjes
Zona e tërheqjes
Zona e thyerjes duktile
Zona e thyerjes së brishtë
Pjesa e kanalit e punuar me
gëdhendje
Zona e paraplasaritjes e krijuar
me lodhje
Drejtimi i plasaritjes

41. Për mostra (CT) vlera e integralit
konturor përcaktohet nga relacioni:
ku:
E- moduli i elasticitetit,
K-faktori i intensitetit të sforcimit,
ν-koeficienti i Puasonit
Jpl- komponenta plastike e
konturor-J
Integralit

42. Vlera e komponentës plastike të
integralit konturor (Jpl) që për këtë rast është
vlera determinuese e përcaktimit të vlerës së
përgjithshme
të
integralit
konturor,
përcaktohet nga relacioni:
ku:
Apl-energjia ( puna) e harxhuar për
realizimin e deformimit plastik, e cila poashtu
është e definuar në kuadër të standardit
ASTM E 813. Kjo energji është sipërfaqja nën
lakoren P-𝚫 ose P-V.

44. Integrali konturor-J mund të përcaktohet edhe
me ndihmën e mostrave SENB, figura në
vazhdim:

45. Në këtë rast vlera e integralit konturor-J
përcaktohet me ndihmën e relacionit:
U-energjia që përfaqëson sipërfaqen që
përshkruhet nga varësia e kurbës ngarkesa
zhvendosja:
U

46. Varësia
tipike
e
ngarkesës
me
zhvendosjen e plasaritjes gjatë përcaktimit të
integralit konturor-J, prezantohet me lakoren
si në vazhdim:
Ngarkesa
Rrumbullakimi
(Topitja)
Krijimi
Përhapja stabile
Përhapja jostabile
Pjesa e lakores që i dedikohet
ligamentit të mostrës
Zhvendosja

47. Aparaturë për përcaktimin e J-integralit