Ecuac tres momentos

Análisis EstructuralAnálisis Estructural
______________________________________________________________________________
Universidad César Vallejo
Facultad de Ingeniería
Escuela de Ingeniería Civil
Tema 5 - Deflexión en Vigas
Tema 5
Deflexión en vigas

Ecuación diferencial de la elástica
Tema 5 - Deflexión en vigas
Sección 1 - Ecuación diferencial de la elástica
Para comenzar este tema se debe recordar la ecuación deducida
en el tema 2, en la cual se relaciona la curvatura de la superficie neutra con
el momento flector en una viga sometida a flexión pura:
Donde ‘ρ’ es el radio de curvatura, ‘E’ el módulo de elasticidad del
material del que se compone la viga, ‘I’ el momento de inercia de la sección
transversal de la viga y ‘M(x)’ el momento flector al que está sometida la
misma. Observemos que este último término se ha designado como
dependiente de la longitud medida desde un extremo de la viga (‘x’).
______________________________________________________________________________
IE
xM
⋅
=
)(1
ρ
(5.1.1)

Para deducir la ecuación de la elástica es necesario recordar del
cálculo elemental, que el radio de curvatura de una curva plana en un punto
‘P(x,y)’ puede determinarse mediante la expresión
Donde, dada la relación ‘y = f(x)’:
______________________________________________________________________________
2
3
2
2
2
1
1














+
=
dx
dy
dx
yd
ρ
2
2
dx
yd
dx
dy Corresponde a la primera
derivada de la función
Corresponde a la segunda
derivada de la función
(5.1.2)

Como las deflexiones son muy pequeñas, podemos despreciar el
término relativo a la primera derivada; obtenemos entonces que:
Esta es una ecuación diferencial ordinaria, lineal, de segundo
orden, y gobierna el comportamiento de la curva elástica, la cual describe las
deflexiones que experimenta una viga cuando es sometida a cargas
transversales.
______________________________________________________________________________
IE
xM
dx
yd
⋅
==
)(1
2
2
ρ
(5.1.3)

Método de Doble Integración
Sección 2 – Método de Doble Integración
Es el más general para determinar deflexiones. Se puede usar para
resolver casi cualquier combinación de cargas y condiciones de apoyo en
vigas estáticamente determinadas e indeterminadas.
Su uso requiere la capacidad de escribir las ecuaciones de los
diagramas de fuerza cortante y momento flector y obtener posteriormente
las ecuaciones de la pendiente y deflexión de una viga por medio del cálculo
integral.
El método de doble integración produce ecuaciones para la
pendiente la deflexión en toda la viga y permite la determinación directa del
punto de máxima deflexión.
______________________________________________________________________________

Recordando la ecuación diferencial de la elástica:
El producto ‘E·I’ se conoce como la rigidez a flexión y en caso de
que varíe a lo largo de la viga, como es el caso de una viga de sección
transversal variable, debe expresarse en función de ‘x’ antes de integrar la
ecuación diferencial. Sin embargo, para una viga prismática, que es el caso
considerado, la rigidez a la flexión es constante.
Podemos entonces multiplicar ambos miembros de la ecuación por
el módulo de rigidez e integrar respecto a ‘x’. Planteamos:
______________________________________________________________________________
IE
xM
dx
yd
⋅
=
)(
2
2
1
0
)( CdxxM
dx
dy
IE
x
+⋅=⋅⋅ ∫
(5.1.3)
(5.2.1)
Sección 2 - Método de Doble Integración

Donde ‘C1’ es una constante de integración que depende de las
condiciones de frontera, como se explicará más adelante.
Como la variación de las deflexiones es muy pequeña, es
satisfactoria la aproximación:
______________________________________________________________________________
θθ ≅= )(tg
dx
dy
1
0
)( CdxxM
dx
dy
IE
x
+⋅=⋅⋅ ∫
De modo que con la expresión
anterior se puede determinar la
inclinación de la recta tangente a la
curva de la elástica para cualquier
longitud ‘x’ de la viga.
(5.2.1)
(5.2.2)

Integrando nuevamente en ambos lados de la expresión anterior,
tenemos:
Mediante esta expresión podemos conseguir la deflexión para
cualquier distancia ‘x’ medida desde un extremo de la viga.
El término ‘C2’ es una constante de integración que, al igual que
‘C1’, depende de las condiciones de frontera. Para poder establecer sus
valores, deben conocerse la deflexión y/o el ángulo de deflexión en algún(os)
punto(s) de la viga. Generalmente, es en los apoyos donde podemos
recoger esta información.
______________________________________________________________________________
∫ ∫ +⋅







+⋅=⋅⋅
x x
CdxCdxxMxyIE
0
2
0
1)()( (5.2.3)

En el caso de vigas simplemente apoyadas y vigas empotradas en
un extremo, por ejemplo, tenemos las siguientes condiciones:
______________________________________________________________________________
Del apoyo en ‘A’ puede establecerse:
x = LA → y = 0
Y, debido al apoyo en ‘B’ :
x = LB → y = 0
Debido al empotramiento ‘A’ :
x = LA → y = 0
x = LA → θ = 0

Método de Área de Momento
Sección 3 - Método de Area de Mometo
El método de área-momento proporciona un procedimiento
semigráfico para encontrar la pendiente y el desplazamiento en puntos
específicos sobre la curva elástica de la viga.
La aplicación de este método requiere el cálculo de áreas
asociadas con el diagrama de momento flector de la viga; si el diagrama
consta de formas geométricas sencillas, el método resulta muy fácil de usar.
Normalmente este es el caso cuando la viga está cargada con fuerzas y
momentos concentrados.
El método es bastante rápido y simple, pero en general se usa para
calcular la deflexión de solo uno a unos cuantos puntos de la viga. Su uso
requiere un elevado nivel de comprensión del principio de momentos y de las
técnicas para preparar diagramas de momento flector.
______________________________________________________________________________

La figura muestra una curva elástica en la que se han seleccionado
dos puntos cualquiera (‘A’ y ‘B’) y se han trazado rectas tangentes a los
mismos.
______________________________________________________________________________
Puede observarse que ‘θB/A’
es el ángulo que forma la tangente
que pasa por el punto ‘B’ respecto a la
que pasa por ‘A’. De forma análoga
se define el ángulo ‘θA/B’. Es
importante notar que ambos tienen la
misma magnitud, y se miden en
sentido contrario.
Recordando que las deflexiones son muy pequeñas, podemos
plantear la ecuación de la elástica de la forma:
IE
xM
dx
d
dx
dy
dx
d
⋅
==




 )(θ (5.3.1)

Si integramos la expresión anterior, obtenemos:
Planteando que:
Podemos finalmente rescribir la expresión anterior de la forma:
______________________________________________________________________________
∫∫ ⋅
⋅
=
B
A
B
A
x
x
dx
IE
xM
d
)(
θ
θ
θ
ABAB θθθ −=/
∫ ⋅
⋅
=
B
A
x
x
AB dx
IE
xM )(
/θ
(5.3.2)
(5.3.3)
(5.3.4)

Esta ecuación es la base del primer teorema del método de área de
momento:
______________________________________________________________________________
∫ ⋅
⋅
=
B
A
x
x
AB dx
IE
xM )(
/θ
“El ángulo entre dos rectas
tangentes a dos puntos cualquiera
sobre la curva elástica es igual al
área bajo el diagrama ‘M/(E·I)’
entre esos dos puntos”
(5.3.5)

Luego, como se observa en la figura, puede considerarse aceptable
la aproximación:
Donde ‘dθ’ es el ángulo que existe entre dos tangentes de dos
puntos separados una distancia ‘dx’ y ‘x’ es la distancia medida desde el
punto ‘A’ hasta el elemento diferencial en cuestión. Al sustituir ‘dθ’ queda:
______________________________________________________________________________
θdxdt ⋅≅ (5.3.6)
dx
IE
xM
xdt ⋅
⋅
⋅=
)(
(5.3.7)

Finalmente, al integrar la expresión anterior queda:
Lo cual puede rescribirse de la forma:
Donde ‘xA’ es la distancia (medida sobre la dirección ‘x’) que existe
entre el punto ‘A’ y el centroide del área bajo la curva ‘M·E/I’.
______________________________________________________________________________
∫ ⋅
⋅
⋅=
B
A
x
x
BA dx
IE
xM
xt
)(
/
(5.3.8)
∫ ⋅
⋅
⋅=
B
A
x
x
ABA dx
IE
xM
xt
)(
/
(5.3.9)

La ecuación 5.3.9 supone la base del segundo teorema de área
momento:
“La desviación vertical de la tangente en un punto ‘A’ sobre la curva
elástica con respecto a la tangente prolongada desde otro punto ‘B’ es igual
al momento de área bajo el diagrama ‘ME/I’ entre los puntos ‘A’ y ‘B’. Este
momento se calcula respecto al punto ‘A’ donde va a determinarse la
desviación vertical ‘tA/B’ ”.
______________________________________________________________________________

De forma análoga, podría hallarse la desviación del punto ‘B’
respecto a la tangente que pasa por ‘A’. Para ello, se calcularía el momento
de área bajo el diagrama ‘ME/I’ respecto al punto ‘B’, es decir:
Donde ‘xB’ es la distancia que existe desde el punto ‘B’ hasta el
centroide de la figura. Es importante mencionar que, si el resultado de la
ecuación es positivo, el punto ‘B’ (en el que se calcula la deflexión) se
encuentra por encima de la recta tangente que pasa por el ‘A’ (y viceversa).
______________________________________________________________________________
∫ ⋅
⋅
⋅=
A
B
x
x
BAB dx
IE
xM
xt
)(
/ (5.3.9)

Sección 4 - Método de Tres Momentos
VIGAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS
1. INTRODUCCIÓN
El equilibrio es un requisito principal a satisfacerse; por lo tanto un análisis
debe conducir a un conjunto de reacciones y fuerzas internas que satisface
las condiciones de equilibrio estático. Si estas ecuaciones son suficientes
para el análisis la estructura es estáticamente determinada. Por el
contrario si existen más componentes reactivas independientes o fuerzas de
miembros internas que pueden determinarse a partir de la aplicación de las
ecuaciones de equilibrio, entonces la estructura será estáticamente
indeterminada. Esto no implicará que no exista una solución al problema de
análisis. En tanto la estructura sea estable, existirá una solución; sin
embargo las condiciones de equilibrio son insuficientes para completar la
solución.
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2. GRADOS DE INDETERMINACIÓN
Para el desarrollo de todas las vigas hiperestáticas todos los criterios que se
van a desarrollar implican una comparación entre el número de magnitudes
de fuerzas independientes desconocidas y el número de ecuaciones
independientes de equilibrio que están disponibles para la solución de
incógnitas. Los criterios siempre toman la forma siguiente:
Si hay más ecuaciones que incógnitas, la estructura es estáticamente
inestable.
Si hay el mismo número de ecuaciones que de incógnitas, la estructura es
estáticamente determinada.
Si hay menor número de ecuaciones que de incógnitas, la estructura es
estáticamente indeterminada.
______________________________________________________________________________

El grado de determinación exterior es igual al número de componentes
reactivas que están disponibles en exceso del número requerido para la
estabilidad exterior. Estas componentes reactivas se llaman redundantes
debido a que no son necesarias para la estabilidad de la estructura.
El grado de indeterminación interior se da por el número de componentes de
fuerzas interiores que están presentes en exceso de las que se necesitan
para la estabilidad interna. También se les llama redundantes por que no se
requiere para una estructura estable.
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3. VIGAS CONTINUAS
Son vigas indeterminadas o hiperestáticas que tienen en sus extremos
apoyos simples e internamente uno o más apoyos.
Una ventaja de estos tipos de estructuras es que proporcionan mayor
rigidez para resistir cargas que una estructura estáticamente determinada
comparable.
Otra ventaja es que tendrá menores intensidades de esfuerzos que una
estructura estáticamente determinada comparable.
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Método de Tres Momentos
Con este método puede analizarse una viga sostenida por cualquier
número de apoyos. De hecho, el teorema soluciona los momentos flectores
en los apoyos sucesivos entre sí, y con las cargas que actúan en la viga. En
el caso de una viga con tres apoyos únicamente, este método permite el
cálculo directo del momento en el apoyo intermedio. Las condiciones de los
extremos proporcionan datos para calcular los momentos en ellos. Luego
pueden usarse los principios de estática para determinar las reacciones.
En el caso de vigas con más de tres apoyos, el teorema se aplica
en sucesión a juegos de tres apoyos adyacentes, para obtener un juego de
ecuaciones que se puede resolver simultáneamente para los momentos
desconocidos. Se puede usar el teorema de los tres momentos para
cualquier combinación de cargas.
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Consideremos una viga cargada como se muestra en la figura.
Se han elegido tres puntos cualquiera sobre la viga (‘1’, ‘2’ y ‘3’),
donde realizaremos cortes transversales y estableceremos las cargas a las
que están sometidas estas secciones, manteniendo las que están aplicadas
sobre los tramos ‘L12’ y ‘L23’.
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Se tendría entonces:
Note que los momentos flectores (‘M1’, ‘M2’, ‘M3’) se han dispuesto
en su sentido positivo, según el convenio establecido. Las fuerzas cortantes
‘V2i’ y ‘V2d’ no son necesariamente iguales; depende de la condición de apoyo
ó carga que exista en el punto ‘2’.
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Luego, planteamos las cargas y los momentos flectores de forma
separada, agregando y quitando fuerzas, como se muestra en la figura. En
el caso mostrado, se ha asumido que ‘M2 < M1’ y ‘M2 < M3’.
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Ahora, observemos una representación exagerada de la curva
elástica entre los puntos 1 y 3. Puede notarse que se cumple la relación de
triángulos:
______________________________________________________________________________
23
32/3
12
2/11
L
ht
L
th −
=
− (5.4.1)

Posteriormente, se realizan los diagramas de momento flector para
los casos anteriormente mostrados. Recordamos nuevamente que se ha
asumido ‘M2 < M1’ y ‘M2 < M3’.
______________________________________________________________________________

Posteriormente podemos establecer las expresiones de deflexión
de los puntos ‘1’ y ‘3’ respecto a la tangente que pasa por ‘2’:
______________________________________________________________________________
∫ ⋅
⋅
⋅=
2
1
)(
12/1
x
x
dx
IE
xM
xt
(5.4.2)
∫ ⋅
⋅
⋅=
2
3
)(
12/3
x
x
dx
IE
xM
xt






⋅+











⋅+











⋅
⋅
= 11212122121212/1
3
2
2
1
3
1
2
11
xALLMLLM
IE
t






⋅+











⋅+











⋅
⋅
= 32323233232322/3
3
1
2
1
3
2
2
11
xALLMLLM
IE
t (5.4.3)

Finalmente, al sustituir ‘t1/2’ y ‘t3/2’ en la ecuación 5.4.1, se obtiene:
Esta ecuación expresa la una relación general entre los momentos
flectores en tres puntos cualesquiera de la viga, razón por la cual se llama
ecuación de los tres momentos.
Si los puntos ‘1’, ‘2’ y ‘3’ están al mismo nivel en la viga flexionada,
los términos ‘h1’ y ‘h3’ se anulan, con lo cual el miembro derecho de la
ecuación se hace cero.
______________________________________________________________________________
=
⋅
+
⋅
+⋅+++⋅
23
323
12
112
23323122121
66
)(2
L
xA
L
xA
LMLLMLM
(5.4.4)





+⋅⋅⋅
23
3
12
1
6
L
h
L
h
IE

Consideramos los momentos interiores en los (m-1) puntos de apoyo como
las redundantes
______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

Ejemplo:
Para la viga mostrada:
Encontrar las reacciones externas de los apoyos.
Trazar los diagramas de fuerza cortante y momento flector
La ubicación de los momentos máximos y los puntos de inflexión.
______________________________________________________________________________

Solución:
Empleando el método de tres momentos:
Consideremos los tramos que corresponden a los apoyos 1,2 y 3 como se
muestra en la figura:
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A continuación separemos los elementos, de tal forma que cada tramo se
analice como una viga simplemente apoyado
A partir de estas vigas calcularemos el valor de los giros en los extremos
de cada apoyo.
Para el primer elemento emplearemos el método de área de momento.
Calculamos las reacciones externas y trazamos los diagramas de
momentos por partes y emplearemos la fórmula general para calcular el
desplazamiento indicado.
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Para el segundo elemento se calculará el giro de los apoyos haciendo uso
de tablas:
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Tarea:
En la viga mostrada determinar el valor de las reacciones externas, los
diagramas de momentos flectores y fuerzas cortantes.
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