1) O documento apresenta uma lista de exercícios sobre aplicações da transformada de Laplace e sua inversa para resolver problemas de valor inicial envolvendo equações diferenciais.
2) São propostos problemas sobre circuitos elétricos, oscilações mecânicas e deflexão de vigas sob cargas distribuídas.
3) As respostas utilizam a transformada de Laplace e sua inversa para encontrar soluções analíticas para as equações diferenciais nos diferentes exemplos apresentados.
2. Equações Diferenciais - Aplicações das Transformadas de Laplace
2
13. ( ) ( ) 00y0x,0yyx,t2yx3 ===−′+′=−′ ;
14. ( ) ( ) 00y0x,txyx,0yx2x 2
===++′=′−+′ ;
15. ( ) ( ) 00y0x,1xy2x,0yxyx ===+′+′=−+′+′ ;
16. ∫
−−
−−=
t
0
utt2
due)u(fet3)t(f ;
17.
=
−−=′ ∫
0)0(y
du)u(y)t(sen1)t(y
t
0 ;
18.
=′
=
=′−′′
2)1(y
0)0(y
t)t(y)t(yt 2
.
19. Um peso de 4 kg distende uma mola em 2 cm. O peso é solto a partir do repouso a 18 cm
acima da posição de equilíbrio. O movimento resultante tem lugar em um meio que oferece
uma força de amortecimento numericamente igual a 7/8 da velocidade instantânea do corpo.
Determine a equação de movimento deste corpo.
20. Determine a corrente em um circuito em série RLC quando L = 0,005 henry, R = 1 ohm, C =
0,02 farad, E(t) = 100[1 - H(t - 1)] volts e a corrente inicial é nula.
21. Determine a carga e a corrente em um circuito em série no qual L = 1 henry, R = 20 ohms, C
= 0,005 farad, E(t) = 150 volts, para t > 0, com carga no capacitor e corrente iniciais nulas.
Qual é a corrente estacionária?
Sabe-se que a deflexão estática y(x) em uma posição x de uma viga uniforme de
comprimento L, suportando uma carga w(x) por unidade de comprimento satisfaz a equação
diferencial de quarta ordem:
)x(w)x(
dx
yd
EI
4
4
= ,
onde E é o módulo de elasticidade de Young e I denota o momento de inércia de uma seção
transversal da viga. Resolva os seguintes problemas de contorno:
22. Uma viga de comprimento L está fixa em ambos os extremos (engastada). Neste caso, a
deflexão y(x) satisfaz a equação acima e as condições de contorno são y(0) = 0, y(L) = 0,
y’(0) = 0 e y’(L) = 0. As duas primeiras condições indicam que não há deflexão vertical nas
extremidades e as outras duas significam que a linha de deflexão é horizontal nos extremos.
Encontre a deflexão da viga quando uma carga constante w está uniformemente distribuída
ao longo de seu comprimento.
23. Para uma viga engastada em seu extremo esquerdo (x = 0) e solta em seu estremo direito (x =
L), a deflexão y(x) satisfaz a equação acima e as condições de contorno são y(0) = 0, y’(0) =
0, y”(L) = 0 e y’”(L) = 0. As duas primeiras condições indicam que a deflexão e a inclinação
são nulas em x = 0. As outras duas significam que o momento fletor e a força de
cisalhamento são nulos em x = L. Encontre a deflexão da viga quando uma carga constante w
está uniformemente distribuída ao longo de seu comprimento.