3. CONSIDERACIONES HISTÓRICAS
En física, ingeniería y química, y a veces en materias como biología, fisiología y
economía, es necesario elaborar un modelo matemático para representar ciertos
problemas.
A menudo ocurre que estos modelos matemáticos suponen la búsqueda de una
función desconocida que satisface una ecuación en la que las derivadas de la
función desconocida desempeñan un importante papel.
Tales ecuaciones se conocen como ecuaciones diferenciales
EJEMPLOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES:
∂u 2 ∂ u ∂2u 
2
dy =h  2 + 2 
 ∂x (4)
= cos x (1)
∂t  ∂y 
dx
2
d y d 2i di 1
+k2y =0 (2) L 2 + R + i = Ew cos wt (5)
dx 2 dt dt C
( x 2 + y 2 )dx − 2 xydy = 0 (3) d 2V d 2V (6)
2
+ 2 =0
dx dy

4. EJEMPLOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES:
3
 d w
2
dw
 2  − xy
 dx  +w=0 (7)
  dx
(8)
d 3x dx
3
+x − 4 xy = 0
dy dy
3
d2y  dy  (9)
2
+ 7  − 8 y = 0
dx  dx 
d 2 y d 2x
2
+ 2 =x (10)
dt dt
∂f ∂f
x +y = nf (11)
∂x ∂y

5. DEFINICIONES Y TERMINOLOGÍA
Ecuación diferencial (ED): Es aquella ecuación que contiene las derivadas de
una o más variables dependientes, con respecto a una o más variables
independientes
Para referirse a ellas, se clasifica a las ecuaciones diferenciales por su tipo,
orden y linealidad.
Clasificación por su tipo: Por su tipo las ecuaciones diferenciales se dividen en
ordinarias y parciales
Si una ecuación contiene solo derivadas ordinarias de una o más variables
dependientes con respecto a una sola variable independiente se dice que es una
ecuación diferencial ordinaria (EDO)
Una EDO puede contener más de
Ejemplos: una variable dependiente
dy d 2 y dy
+ 5y = ex 2
− + 6y = 0 dx dy
dx dx dx + = 2x + y
dt dt

6. Si una ecuación contiene derivadas parciales de una o más variables
dependientes de dos o más variables independientes se dice que es una
ecuación diferencial parcial (EDP)
Ejemplos:
∂u ∂u
2 2 ∂ 2u ∂ 2u ∂u ∂u ∂v
+ 2 =0 = 2 −2 =−
∂x 2
∂y ∂x 2
∂t ∂t ∂y ∂x
En la mayoría de los libros las derivadas ordinarias se escriben con la
notación de Leibniz, o bien, con la notación de Prima
dy
+ 5y = e x y′ + 5 y = e x
dx
Ventaja de la notación de Leibniz sobre la notación de Prima
Aunque es menos conveniente para escribir y componer tipográficamente, la notación
de Leibniz tiene una ventaja sobre la notación de Prima en que muestra de manera
clara tanto la variable dependiente como la independiente.
Función desconocida
o variable dependiente
d 2x
variable independiente
2
+ 16 x = 0
dt

7. Clasificación por su orden: El orden de una ecuación diferencial (ya sea EDO o
EDP) es el orden de la derivada mayor en la ecuación. Por ejemplo:
Segundo orden Primer orden
2 3
d y  dy 
+ 5  − 4 y = e x
dx 2  dx 
Clasificación por su linealidad: Se dice que una ecuación diferencial ordinaria de
orden n es lineal si F es lineal en todas sus derivadas, es decir, la potencia de cada
termino en que interviene y es 1
2 Propiedades características de una EDO lineal
•La variable dependiente y y todas sus derivadas y´, y´´…..son de primer grado
•Los coeficientes a0, a1,…..an de las derivadas dependen solo de la variable
independiente x
EDO de Segundo orden EDO de Tercer orden
Ejemplos:
d3y dy
( y − x)dx + 4 xdy = 0 y′′ − 2 y ′ + y = 0 + x − 5y = ex
dx 3 dx
EDO de Primer orden

8. ECUACIONES DIFERENCIALES NO LINEALES
Una ecuación diferencial ordinaria no lineal es simplemente una que es no
lineal. Las funciones no lineales de la variable dependiente o sus derivadas,
como sen (y) o e y′ , no pueden aparecer en una ecuación lineal por consiguiente:
Término no lineal Término no lineal: Término no lineal
el coeficiente depende de y función no lineal de y potencia diferente de 1
2
d y d4y
(1 − y ) y′ + 2 y = e x + seny = 0 + y2 = 0
dx 2
dx 4
Son ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales de primero,
segundo y cuarto orden, respectivamente.

9. EJERCICIOS PARA LA CARPETA
En cada uno de los ejercicios siguientes indique si la ecuación es ordinaria o
parcial, lineal o no lineal e indique su orden.
3
dy (1)  d w2
dw
= cos x  2  − xy +w=0 (7)
dx  dx  dx
 
d2y (2)
+ k2y = 0 d 3x dx
dx 2 + x − 4 xy = 0 (8)
(3) dy 3 dy
( x 2 + y 2 )dx − 2 xydy = 0 3
2
d y  dy 
∂u ∂ u ∂ u 
2 2 + 7  − 8 y = 0 (9)
= h2  2 + 2 
 ∂x
(4) dx 2  dx 
∂t  ∂y  2 2
d y d x
d 2i di 1
L 2 + R + i = Ew cos wt (5) 2
+ 2 =x (10)
dt dt C dt dt
d 2V d 2V
+ 2 =0 (6) ∂f ∂f
dx 2
dy x +y = nf (11)
∂x ∂y

10. Solución de una EDO
La función y=x −x 2
es una solución
dy
= 2x −1
de la ecuación diferencial dx

11. Solución y = x −x+c
2

12. Solución y = 2e + 1
3x

13. Solución general y = ce + 1
3x

14. Solución y = x de la EDO
2
xdx − 2 ydy = 0

15. Solución general y = cx 2