Diario metacognitivo

RESUMEN DE CALCULO DIFERENCIAL

DE LA CLASE #1: 2do”C”

PERIODO ABRIL-SEPTIEMBRE 2012

Clase No. 1:
PERIODO: Del 16 de Abril al 24 Agosto del 2012
TIEMPO: 4 HORAS EN DOS JORNADAS DE 2 HORAS
FECHA: Martes, 17 de abril-jueves, 19 de Abril del 2012.
DOCENTE GUIA: Ing. José Cevallos Salazar

Tema discutido: Unidad I:
Análisis de funciones

Producto cartesiano

Definición: Representación gráfica

Relaciones:
 Definición, dominio y recorrido de una relación.

Funciones:
Definición, notación

 Dominio, recorrido o rango de una función
 Variables: dependiente e independiente
 Constante
 Representación gráfica de una función
 Criterio de recta vertical.

Objetivos de desempeño:
 Definir y reconocer: producto cartesiano, relaciones y funciones
 Definir y reconocer: dominio e imagen de una función
 Definir y graficar funciones, identificación de las misma aplicando criterios.

Competencia general:
Definiciones, identificación y trazos de gráficas.

INTRODUCCIÓN
En el siguiente resumen se da a conocer información sobre la clase#1 de cálculo diferencial en
la cual se ha iniciado con una breve explicación sobre el capítulo respectivo.

En la primera clase se tomaron en cuenta varios factores acerca de las funciones como:

1. Dominio.
2. Co-dominio.
3. Imagen.

RESUMEN

Se comenzó con la presentación del profesor, con la forma de trabajar de él, nos mostró un
video titulado “Oración a mismo”, uno de cada miembros de estudiante dio su reflexión acerca
del video, se eligió el asiste, nos presentó el portafolio del docente del semestre anterior y el
portafolio del docente actual, también vimos el portafolio estudiantil.

En la primera clase del “Capitulo #1” se dio la explicación correspondiente sobre el tema
relacionado a “Funciones” correspondiente al capítulo antes mencionado, tomando como
principio de la clase el siguiente tema:

“Relaciones, Funciones - Variables, Producto Cartesiano”

Las relaciones de funciones se basa en una relación entre dos conjuntos en el cual el conjunto A
será el Dominio y el conjunto B el Co-dominio. La relación entre el dominio y el Co-dominio se
denomina imagen, recorrido o rango.

Datos interesantes discutidos:

Después comenzamos con la presentación del tema, nos explicó que:

 La función relaciona los elementos de 2 conjuntos, que siempre será relación pero una
relación nunca será función.
 La relación es comparar los elementos.
 Dominio es el conjunto de elementos que tienen imágenes
 Condominio es el conjunto de valores que puede tomar la variable
La imagen (I) o rango (Ra), recorrido (R), es un conjunto de llegada que se conecta con
el dominio respectivo. Imagen (I) Recorrido (R) Rango (Ra)
A B

-4 1
-3
-2 0
-1
Dominio 4 Condominio
0
1 25
2
3 16
4
9

A B

2 -1

5 5
Imagen
7 14

Dominio Co-dominio

Una imagen es la agrupación entre el dominio y el Co-dominio que da como resultado un par.
La relación entre el dominio y el Co-dominio produce un conjunto de pares.

A B= {(2,14) ;(1,7)…}

En una función podemos encontrar dos tipos de variables: Dependientes e Independientes, y a
esto se agregan las constantes. Las variables independientes son aquellas que no dependen de
ningún otro valor, en cambio las dependientes dependen de la otra variable. Las constantes son
valores que no cambian durante la función por lo tanto no se alteran ni cambian sus valores.

Variable dependiente Y = X² + 2X – 1 constante

Variable independiente

Las funciones son representadas por el símbolo “f(x)”, en el que la f no es indispensable, ya que
puede ser reemplazado por cualquier otra letra (esto denota que se habla de una función
matemática).

Dependiendo de lo dicho anteriormente referente a las funciones podemos encontrar dos tipos
de funciones:

 Funciones Explicitas.
 Funciones Implícitas.
Las funciones Explicitas se refieren a una función definida en su totalidad.

Y = X² + 2X – 1
Las funciones Implícitas son contrarias a las explicitas, por lo consiguiente no se encuentran
definidas.

Y + 5 = 2X + 3 – X

 Variable dependiente, no depende de otra variable mediante el proceso matemático,
ejemplo: f(x)=x,y o f(x)es la variable dependiente ya que está sujeta a los valores que se
subministra a x.

 Variables Independiente, depende de otra variable, ejemplo: x ya que la y es la que
depende de los valores de x.

 Función implícita, no está definida con ninguna de las variables, ejemplo:
y2+x-1=x2-6

 Función explicita, está definida con las variables, ejemplo:
Y=x2-2x+1

 Función creciente, al medida que aumenta el dominio aumento la imagen

 Función decreciente, a medida que aumenta su dominio disminuye su imagen

 Función constante, a medida que aumenta su dominio igual será su imagen

 Par, de estar formado por un dominio y un condominio

 Plano cartesiano, está formando por dos rectas, una horizontal y otra vertical que se
corta en un punto.

También nos vimos como poder reconocer una función mediante
el criterio de recta vertical, en un plano cartesiano, esto se realiza
pasando una recta perpendicular paralela a la ordenada (y) si
corta un punto es función, si corta 2 o más no es función.

Producto cartesiano._ El producto cartesiano nos permite
representar de manera gráfica cualquier función, siempre y
cuando sea de forma explícita y se realice la comprobación
correspondiente aplicando el “Criterio de la recta”.

Función No función

El criterio de la recta._ El criterio de la recta nos indica, al trazar una recta vertical se
forma una paralela a la ordenada porque corta un punto de la gráfica y su dominio A se conecta
una y solamente una vez con su imagen B.

Realizamos ejercicios donde podemos verificar si hay funciones en las relaciones

y=2x+1

Esta es una función por que la y tiene un resultado.

y2=4-x2

Si resolvemos este ejercicio nos quedaría así:

y2=2-x2

y= √

Esta no es una función porque y tiene como dos resultado con signo diferentes.

Otros detalles que analizamos fueron:

Resultado

f(x)

Ordenar

Galare, es la tabla de resumen de datos ejemplo:

x y
-4 25
-3 16
-2 9
-1 4
0 1

¿Qué cosas fueron difíciles?
La clase se me complico un poco por motivo de no estar acostumbrado a la metodología del
profesor pero si logre entender gracias a las explicaciones del docente.

¿Cuáles fueron fáciles?
Se me hizo fácil reconocer en el plano cartesiano cuales eran funciones gracias al método que el
profesor nos enseñó y como se forman las imágenes saber reconocer una imagen.

¿Qué aprendí hoy?
En esta clase aprendí a poder diferenciar en el plano cartesiano cuales de las figuras son
funciones y cuales no son.

RESUMEN DE CALCULO DIFERENCIAL

DE LA CLASE #1: 2do”C”

PERIODO ABRIL-SEPTIEMBRE 2012

Clase No. 2
FECHA: Martes, 24 de abril-jueves, 26 de Abril del 2012.

Tema discutido: Unidad I:
Funciones:

 Situaciones objetivas donde se involucra el concepto de función
 Función en los Reales: función inyectiva, sobreyectiva y biyectiva
 Gráfica, criterio de recta horizontal

Tipos de Funciones:

 Función Constante
 Función de Potencia: función de Identidad, cuadrática, cúbica, hipérbola y
función raíz

Objetivos de desempeño:

 Definir modelos matemáticos donde se involucra el concepto de función
 Definir, reconocer y graficar diferentes tipos de funciones.

Competencia general:

 Definir de modelos matemáticos, trazar graficas de diferentes tipos de funciones.

Datos interesantes discutidos hoy:

Comenzamos con el video de reflexión con el nombre “Lluvia de Ideas”, este se tratada
de decir en pocas palabras como había uno amanecido con sus alegrías y sus
preocupaciones. Abrimos el programa de MATLAB, para verificar el manejo de dicho
programa, realizando algunos ejercicios como:
>>figure (4)
y=(x-1)/(x)
y= (x-1)/x
>>ezplot(4)

FUNCION INYECTIVA

FUNCION SOBREYECTIVA

Función: ( )

>>syms x
>> y=x^3
y=
x^3
>>ezplot(y);gridon
>>title('it{Función cúbica f(x)=x^3}','FontSize',16)

Las cosas que fueron un poco difícil fue hallar imagen y dominio. Con las funciones dadas en la
clase

Se me hizo fácil reconocer las función inyectiva,. sobreyectiva y biyectiva.

fue trabajar en el software matemático Matlab en el cual empezamos a graficar
funciones

En esta clase aprendí a poder diferenciar los tipos de funciones y le crierio de las recta vertical
empleada en la funciones dadas

Hoy aprendí muchas cosas que me van a servir mucho en mi etapa de estudiante
PORQUE no solo aprendí a resolver ejercicios sino que también aclare mis dudas de
unos comandos que se me hacían difíciles al momento de graficar un función el
software matemático Matlab. Entre los temas que aprendí están:
1. Que la reflexión con la que empezamos la clase me lleno de gran emoción y me
pude dar cuenta uno debe tomar sus propias opiniones y no dejarse llevar por las
demás personas.
2. Hallar dominio e imagen.
3. A graficar funciones por medio del software matemático Matlab.

UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ-FACULTAD DE
CIENCIAS INFORMÁTICAS-DISEÑ0 MICROCURRICULAR No 3

CALCULO DIFERENCIAL SEGUNDO SEMESTRE DE CARRERA

TIEMPO: 2 HORAS
FECHA: Jueves, 3 de mayo del 2012.

CONTENIDOS:

TIPOS DE FUNCIONES:

 Función polinomio,
 Función racional,
 Funciones seccionadas,
 Función algebraica.
 Funciones trigonométricas.
 Función exponencial
 Función inversa,
 Función logarítmica: definición y propiedades,
 Funciones trigonométricas inversa,
 Transformación de funciones: técnica de graficacion rápida de funciones,

OBJETIVOS DE DESEMPEÑO:
 Definir, reconocer y graficar diferentes tipos de funciones.

COMPETENCIA GENERAL:

 Trazar graficas de diferentes tipos de funciones

Datos interesantes discutidos hoy:

 En el día de hoy en los temas discutidos empezamos con el video de reflexión
sobre AQUÍ ESTOY YO el cual nos mostró que dios esta con todos para
ayudarnos en todo los problemas, el cual aprendemos hacer todas las clases de
funciones.

FUNCIÓN POLINOMIO

TIPOS DE FUNCIONES

Las cosas que se me hicieron muy difícil fueron las funciones trigonometrías

En los temas que vimos el día de hoy fueron la trasformación de funciones con la técnica rapica
de graficacion

En la reflexión aprendí que dios nunca nos abandona ni en nuestros peores momento aunque
parezca algo imposible siempre le va estar p ara ayudarnos

CALCULO DIFERENCIAL SEGUNDO SEMESTRE DE CARRERA

FECHA: Martes, 8 de mayo-jueves, 10 de mayo del 2012.

CONTENIDOS:

COMBINACIÓN DE FUNCIONES:

 Algebra de funciones: Definición de suma, resta, producto y cociente de funciones,
Silva Laso, 994
 Composición de funciones: definición de función compuesta, Silva Laso, 999

APROXIMACIÓN A LA IDEA DE LÍMITE.

LIMITE DE UNA FUNCIÓN

 Concepto de límite: Propiedades de límites, Silva Laso, 1029, 1069, Smith, 68,
Larson, 46
 Límites indeterminados, Silva Laso, 1090

LIMITES UNILATERALES

 Límite lateral derecho, Silva Laso, 1041
 Límite lateral izquierdo
 Límite bilateral


 Definir operaciones con funciones.
 Definir y calcular límites.


 Definición de operaciones y cálculo de límite de funciones aplicando criterios

La clase se me complico un poco por motivo de no estar acostumbrado a la metodología del
profesor pero si logre entender gracias a las explicaciones del docente.

Se me hizo fácil aplicar las propiedades de límites y saber desarrollarla pero gracias al docente
las logre entender

En esta clase aprendí a poder aplicar límites de funciones y su manejo en todas la áreas

CALCULO DIFERENCIAL SEGUNDO SEMETRE DE CARRERA


CONTENIDOS: CONTENIDOS:

LIMITE INFINITO:

 Definición, teoremas,

LIMTE AL INFINITO:

 Definición, teoremas.
 Limite infinito y al infinito,

ASÍNTOTAS:

 Asíntotas verticales, definición, gráficas,
 Asíntotas horizontales, definición, gráficas.
 Asíntotas oblicuas, definición, gráficas.

OBJETIVO DE DESEMPEÑO

 Definir y calcular límite infinito, al infinito e infinito y al infinito.
 Definir y graficar asíntotas horizontales, verticales y oblicuas.


 Definición y cálculo de límites aplicando criterios, aplicación en trazado de asíntotas.


La clase se me complico un las asíntotas y su aplicaciones en las diferentes recta .


Se me hizo fácil aplicar los límite infinitos ya que había visto un poco de esta clase
anteriormente


En esta clase aprendí a desarrollar otras funciones de las rectas y saberlas aplicar



CONTENIDOS:

LÍMITES TRIGONOMETRICOS:

 Límite trigonométrico fundamental,
 Teoremas.

CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN NÚMERO:

 Definición,
 Criterios de continuidad.
 Discontinuidad removible y esencial.


 Definir y calcular límites trigonométricos.
 Definir y demostrar la continuidad o discontinuidad de una función.


 Definición y cálculo de límites trigonométricos, demostración de continuidad y
discontinuidad de funciones aplicando criterios.

Límite trigonométrico fundamental

CONTINUIDAD

Criterios de continuidad

Para que una función sea continua en un punto debe cumplir los siguientes criterios:

 El límite en ese punto debe existir
 La función evaluada en ese punto debe existir
 El resultado de los dos criterios anteriores deben ser iguales

Discontinuidad removible y esencial

La clase se me hizo difícil fue aprender los teoremas y los límites de las funciones
trigonométricas por la cual le pide al docente que me las explicar nuevamente

Se me hizo fácil reconocer loos criterios de continuidad en los ejercicios dados .

En esta clase aprendí a desarrollar teoremas de limites y sus funciones trigonométricas



CONTENIDOS:

CALCULO DIFERENCIAL.

PENDIENTE DE LA RECTA TANGENTE:

 Definiciones,
 DERIVADA:
 Definición de la derivada en un punto,
 Interpretación geométrica de la derivada.
 La derivada de una función
 Gráfica de la derivada de una función,
 Diferenciabilidad y continuidad.


 Definir y demostrar la pendiente de la recta tangente en un punto de la curva.
 Definir la derivada de una función.


 Aplicación de la definición de la pendiente de la recta tangente y derivada en diferentes
tipos de funciones

PENDIENTE DE LA RECTA TANGENTE

DERIVADA DE UNA FUNCION EN UN PUNTO

Sea una función y = f(x) y x0 un punto del eje X. Si se toma un punto x0 + h muy
próximo a x0 (h es un número infinitamente pequeño), a medida que se hace tender h a
cero, la recta secante (en rojo de la figura) que une los puntos

( x0, f(x0 ) ) y ( x0 + h, f(x0 + h) ), tiende a confundirse con la tangente (en azul de la
figura) a la curva en el punto (x0,f(x0 )).

que determina la tangente con ese mismo eje, en el triángulo rectángulo de vértices

(x0,f(x0 )), (x0 + h,f(x0 + h)) y (x0 + h,f(x0 )), se verifica:

Al hacer tender h a cero, y puesto que la secante tiende a confundirse con un segmento
de la tangente, es decir, si miras la figura, al hacer que h tienda a cero la línea roja se acerca
a la línea azul por lo que:
tg ah tiende a tg a, es decir,
a la pendiente de la tangente a la curva en el punto (x0,f(x0 )).
Esto se expresa matemáticamente así:

NOTA: Es importante que entiendas esto, pues
es el núcleo por
el que después entenderás otros conceptos,
si no es así, dímelo

La derivada de una función

En la resolución de los dos problemas anteriores: el de trazar una recta tangente a una

curva dada y el de determinar la velocidad instantánea de una cierta partícula, se obtuvo

como resultado dos límites:

Gráfica de la derivada

Aquí está la gráfica de una función continua
y diferenciable f (x).

CIENCIAS INFORMÁTICAS-DISEÑ0 MICROCURRICULAR No9

FECHA: Martes, 19 de junio-jueves, 21 de junio del 2012.

CONTENIDOS:

CONTENIDOS:

CALCULO DE DERIVADAS DE ALGUNAS FUNCIONES DE TIPO ALGEBRAICO.

 Derivada de la función Constante,
 Derivada de la función Idéntica.
 Derivada de la función potencia.
 Derivada de una constante por una función.
 Derivada de la suma de funciones.
 Derivada del producto de funciones.
 Derivada del cociente de dos funciones.

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN COMPUESTA.

 Regla de la cadena,
 Regla de potencias combinadas con la regla de la cadena.


 Definir y calcular la derivada de algunas funciones de tipo algebraico.
 Definir y calcular derivadas de funciones compuestas.
 Definir y aplicar la regla de la cadena abierta.


 Aplicación directa de modelos matemáticos de la variación de diferentes tipos de
funciones.

Derivada de la función Constante

Derivada de una función constante

Sea una función constante f(x) = C.

Su gráfica es, como se sabe, una recta paralela al eje de abscisas. Puesto que para cualquier
valor de la abscisa su ordenada correspondiente es, constantemente, igual a C, si a es un
punto cualquiera del campo de definición de f(x),

f(a + h) - f(a) = C - C = 0, por lo que

Luego la derivada de una constante es siempre cero.

Derivada de una suma

La derivada de una suma de dos funciones es igual a la suma de las derivadas de dichas
funciones.
Esta regla se extiende a cualquier número de sumandos, ya sean positivos o negativos.

Ejemplos

Derivada de un producto

La derivada del producto de dos funciones es igual al primer factor por la derivada del
segundo más el segundo factor por la derivada del primero.

Derivada de un cociente

La derivada del cociente de dos funciones es igual a la derivada del numerador por el
denominador menos la derivada del denominador por el numerador, divididas por el
cuadrado del denominador.

Apliquemos ln a: y = u/v
lny = ln u - ln v; derivemos en forma implícita, recordando que tanto y, u como v son f(x):
(1/y)*(dy/dx) = (1/u)*(du/dx) - (1/v)*(dv/dx); restamos a la derecha, sacando uv como factor
común:
(1/y)*(dy/dx) = [v*(du/dx) - u*(dv/dx)] / uv;

dy/dx = [v*(du/dx) - u*(dv/dx)]* y / uv; pero como y= u/v:
dy/dx = [v*(du/dx) - u*(dv/dx)]* u / uv*v;
dy/dx = [v*(du/dx) - u*(dv/dx)]* / v^2

Esto explica: y' = (u'v - v'u) / v^2

 Regla de potencias combinadas con la regla de la cadena.


La clase se me hizo un poco difícil porque no podía entender las DERIVADA DE UNA FUNCIÓN
COMPUESTA. Ya que son temas que no he visto

Se me hizo fácil entender las derivadas de lagunas de la funcione y sus modelos matemático

En esta clase aprendí a poder desarrollar temas de derivadas como son sus funcione
trigonométricas .


FECHA: Martes, 26 de junio-jueves, 28 de junio del 2012.

CONTENIDOS:

DERIVADA DE LA FUNCIÓN POTENCIA PARA EXPONENTES RACIONALES.,

DERIVADA DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS.

DERIVADA IMPLICITA:

 Método de diferenciación implícita.

DERIVADA DE FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS:

 Derivada de funciones exponenciales.
 Derivada de funciones exponenciales de base e.
 Derivada de funciones logarítmicas.
 Derivada de función logaritmo natural.
 Diferenciación logarítmica.


 Definir y calcular derivadas de funciones con exponentes racionales.
 Definir y calcular derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas.
 Definir y calcular derivadas de función implícita.


 Aplicación de modelos matemáticos directos para derivada en diferentes tipos de
funciones

Derivación de Funciones Exponenciales

Sabemos que e es un número irracional,
pues e = 2.718281828... La notación e para
este número fue dada por Leonhard Euler
(1727).

La función f(x) = ex es una función
exponencial natural. Como 2<e<3, la gráfica
de f(x) = ex está entre f(x) = 2x y f(x) = 3x,
como se ilustra a la izquierda.

Como e > 1, la función f(x) = e x es una función creciente. El dominio es el
conjunto de los números reales y el recorrido es el conjunto de los números
reales positivos.

Las calculadoras científicas contienen una tecla para la función f(x) = e x.
Geométricamente la pendiente de la gráfica de f(x) = ex en cualquier punto
(x,ex) es igual a la coordenada y de ese punto. Por ejemplo, en la gráfica de
f(x) = ex en el punto (0,1) la pendiente es 1.

El logaritmo natural suele ser conocido normalmente como logaritmo neperiano,
aunque esencialmente son conceptos distintos. Para más detalles, véase logaritmo
neperiano.

En matemáticas se denomina logaritmo natural o informalmente logaritmo neperiano
al logaritmo cuya base es el número e, un número irracional cuyo valor aproximado es
2,7182807066232140698591273860753 El logaritmo natural se le suele denominar
como ln(x) o a veces como loge(x), porque para ese número se cumple la propiedad de
que el logaritmo vale 1.

El logaritmo natural de un número x es entonces el exponente a al que debe ser elevado
el número e para obtener x. Por ejemplo, el logaritmo de 7,38905... es 2, ya que
e2=7,38905... El logaritmo de e es 1, ya que e1=e.

Desde el punto de vista del análisis matemático, puede definirse para cualquier número
real positivo x>0 como el área bajo la curva y=1/t entre 1 y x. La sencillez de esta
definición es la que justifica la denominación de "natural" para el logaritmo con esta
base concreta. Esta definición puede extenderse a los números complejos.

El logaritmo natural es entonces una función real con dominio de definición los
números reales positivos:

y corresponde a la función inversa de la función exponencial:

En esta clase no se me hizo difícil nada.
PORQUE esta clase fue más de refuerzo de lo aprendido y sobretodo de
entrega de varias cosas solicitado por el docente.
Prácticamente en esta clase se me hizo fácil todo.
PORQUE fue más de fortalecimiento de lo ya aprendido y como hemos
practicado bastante se me hizo fácil.
Aprendí todo lo que se me hizo complicado durante todo el parcial y gracias
a la explicación y fortalecimiento del docente pude comprender.
Porque en mi casa me puse a practicar para las futuras evaluaciones y lo
pude hacer de una forma muy rápida


FECHA: Martes, 3 de julio-jueves, 5 de julio del 2012.

CONTENIDOS:

DERIVADA DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS. Smith, 459, Larson, 432

DERIVADA DE ORDEN SUPERIOR.

 Notaciones comunes para derivadas de orden superior. Silva Laso, 1163, Smith, 149

APLICACIÓN DE LA DERIVADA. Silva Laso, 1173

ECUACIÓN DE LA RECTA TANGENTE Y LA RECTA NORMAL A LA CURVA EN UN PUNTO.

VALORES MÁXIMOS Y MÍNIMOS. Silva Laso, 1178, Smith,, 216, Larson, 176

 Máximos y mínimos absolutos de un a función.
 Máximos y mínimos locales de una función.
 Teorema del valor extremo.
 Puntos críticos.


 Definir y calcular derivadas de orden superior
 Aplicar la derivada en ecuación de la recta tangente, valores máximos y mínimos.


 Aplicación de la derivada.

Notaciones comunes para derivadas de orden superior.

Lo mismo que sucede con las derivadas ordinarias, es posible encontrar derivadas
parciales de una función de varias variables de órdenes segundo, tercero y
superiores, supuesto que tales derivadas existen. Denotamos las derivadas de
orden superior por su orden de derivación. Por ejemplo, hay cuatro formas distintas
de encontrar una derivada parcial segunda de z=f(x,y).

1. Derivar dos veces respecto de x:

2. Derivar dos veces respecto de y:

3. Derivar primero con respecto a x y luego con respecto a y:

4. Derivar primero con respecto a y y luego con respecto a x:

Los casos tercero y cuarto se conocen como derivadas parciales cruzadas. Se
debe observar que hay tipos de notación para las derivadas parciales cruzadas,
según convenio se utilice para indicar el orden de derivación. Así, la parcial

Orden de derecha a izquierda

indica que la primera derivación es con respecto a x, pero la parcial

(fy)x=fyx Orden de izquierda a derecha

indica que la primera derivación es con respecto a y. Observar que con ambas
notaciones se driva primero respecto de la variable que está más cercana a f.

Máximos y mínimos

Máximos

Si f y f' son derivables en a, a es un máximo relativo o local si se cumple:

1. f'(a) = 0

2. f''(a) < 0

Mínimos Si f y f' son derivables en a, a es un mínimo relativo o local si se cumple:

1. f'(a) = 0

2. f''(a) > 0

Cálculo de los máximos y mínimos relativos

f(x) = x3 − 3x + 2

1. Hallamos la derivada primera y calculamos sus raíces.

f'(x) = 3x2 − 3 = 0

x = −1 x = 1.

2. Realizamos la 2ª derivada, y calculamos el signo que toman en ella los ceros de
derivada primera y si:

f''(x) > 0 Tenemos un mínimo.

f''(x) < 0 Tenemos un máximo.

f''(x) = 6x

f''(−1) = −6 Máximo

f'' (1) = 6 Mínimo

3. Calculamos la imagen (en la función) de los extremos relativos.

f(−1) = (−1)3 − 3(−1) + 2 = 4

f(1) = (1)3 − 3(1) + 2 = 0

Máximo(−1, 4) Mínimo(1, 0)

Qué cosas fueron difíciles?
Se me hizo difícil la derivación de orden superior.
PORQUE era algo nuevo que aprendía en esta clase.
Prácticamente en esta clase se me hizo fácil la derivación de la función
implícita, y el cálculo para sacar máximos y mínimos.
PORQUE es el mismo procedimiento de una derivada normal pero solo
tenemos que tener en cuenta que la y prima no se deriva y al final se la
deja en uno de sus miembros.
Aprendí a derivar la función implícita, también las funciones de orden
superior y a calcular máximos y mínimos.

Porque en mi casa me puse a practicar



CONTENIDOS:

FUNCIONES MONOTONAS Y PRUEBA DE LA 1RA. DERIVADA:

 Función creciente y función decreciente: definición. Silva Laso, 1179, Smith, 225,
Larson, 176
 Pruebas de las funciones monótonas.
 Prueba de la primera derivada para extremos locales.
CONCAVIDADES Y PUNTO DE INFLEXIÓN:

 Concavidades hacia arriba y concavidades hacia abajo: definición. Silva Laso, 1184,
Smith, 232
 Prueba de concavidades.
 Punto de inflexión: definición.
 Prueba de la 2da. Derivada para extremos locales.
TRAZOS DE CURVAS:

 Información requerida para el trazado de curvas: dominio, coordenadas al origen,
punto de corte con los ejes, simetría y asíntotas.
 Información de la 1ra. y 2da. Derivada.

 Aplicar la información de la 1ra. y 2da derivada en el trazo de graficas.
COMPETENCIA GENERAL: Aplicación de la derivada.

Función creciente y decreciente

Una función es creciente en un intervalo , si para dos valores
cualesquiera del intervalo, y , se cumple que:

Es creciente cuando los valores de Y van incrementándose o manteniéndose conforme se
incrementa X.
Es creciente cuando los valores de Y van decreciendo o manteniéndose conforme se
incrementa X.
Si una función tiene el valor de Y constante, entonces es constante, pero también entra en la
definición tanto de creciente como de decreciente.
Si la función sólo crece o sólo decrece (no tiene ningún tramo en que esté estable, sin crecer ni
decrecer), entonces se dice que es estrictamente creciente o estrictamente decreciente, según
el caso.
Definición:
Si al aumentar el valor de x el valor de su imagen ((x) también se incrementa, se
dice que la gráfica de la función crece y, por el contrario, cuando el valor x
aumenta disminuye ((x), decimos que la función decrece.
Simbólicamente podríamos definir:
( es creciente en un intervalo [a, b] ( (x1 (x2 ([a, b]: x1 ( x 2 ((x1) ( ((x2)
( es decreciente en un intervalo [a, b] ( (x1 (x2 ([a, b]: x1( x 2 ((x1) ( ((x2)
[pic]
Criterios para Crecimiento y Decrecimiento
Sea f una función de variable real continua en el intervalo cerrado [a, b] y derivable en
el intervalo abierto (a, b).
i. Si [pic]para todo [pic]entonces f es creciente en [a, b].
ii. Si [pic]para todo [pic]entonces f es decreciente en [a, b].
iii. Si [pic]para todo [pic]entonces f es constante en [a, b].
Observación:
El crecimiento y el decrecimiento de una curva coincide con el signo de la primera
derivada. Así:
Donde [pic](derivada positiva), f(x) es creciente.
[pic](derivada negativa), f(x) es decreciente.
El teorema del subtema 5.1.2, permite clasificar los extremos relativos (máximos y
mínimos) de una función, de acuerdo a las variaciones de signo de la primera
derivada.

Concavidad y puntos de Inflexión de una curva.

Así como los puntos máximos y mínimos de una curva se caracterizan por ser puntos en
los cuales la curva cambia de creciente a decreciente o viceversa, los llamados puntos
de inflexión de una curva (cuando existen), se caracterizan por determinar un cambio
en la concavidad de la curva.
Antes de presentar la definición precisa de concavidad, se harán algunas observaciones
de tipo intuitivo.
Considere la función f cuya gráfica aparece en la fig. Note en primer lugar que la
curva que f representa, tiene tangente en todos sus puntos

Se observa que en los puntos “cercanos” a x1, pero diferentes de x1, la curva se
encuentra por “debajo” de la recta tangente. Se dice en este caso que la curva es
cóncava hacia abajo en el punto x1.
Igualmente se observa que en los puntos “cercanos” a x2, pero diferentes de x2, la
curva se encuentra por “encima” de la recta tangente. Se dice en este caso que la curva
es cóncava hacia arriba en el punto x2. El punto (c, f (c)) de la curva en el cual la
concavidad “cambia” se conoce con el nombre de punto de inflexión de la curva.
Las ideas anteriores se precisan en las siguientes definiciones:
Definiciones:
Sea f una función derivable en un punto c.
i. f es cóncava hacia arriba en c o cóncava positiva en c, si existe un
intervalo abierto (a, b) al cual pertenece c, tal que para todo x de (a, b), x
≠ c se cumple que:

f es cóncava hacia abajo en c o cóncava negativa en c, si existe un
intervalo abierto (a, b) al cual pertenece c, tal que para todo x de (a, b), x
≠ c se cumple que:

'

Z x = f x − f c x−c − f c <
iii. f es cóncava hacia arriba (abajo) en un intervalo I, si lo es en cada punto de
I. iv. Un punto (c, f (c)) de una curva es un punto de inflexión, si existe un intervalo
abierto que contiene al punto c, tal que f presenta diferente concavidad en los su
intervalos: (a, c) y (c, b).
Se usará el símbolo: ∪, para denotar que una curva es cóncava hacia arriba o cóncava
positiva. Igualmente, se emplea el símbolo ∩, para denotar que una curva es cóncava
hacia abajo o cóncava negativa.
El siguiente teorema, que se enuncia sin demostración establece una condición
suficiente para determinar la concavidad de una curva en un intervalo.

Se me hizo difícil cuando la función es cóncava y hacia qué dirección va.
Prácticamente en esta clase se me hizo fácil el cálculo para sacar máximos
y mínimos.
PORQUE fue un refuerzo de la clase pasada.
Aprendí a ver cuándo hay punto de inflexión, cuando es cóncava y a
calcular máximos y mínimos.
pude hacer de una forma muy rápida.


FECHA: Martes, 17 de julio-jueves, 19 de julio del 2012. .

CONTENIDOS:

PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN.

 Problema de máximos y mínimos.


 Aplicar la información de la derivada en problemas de máximos y mínimos.


 Definición de problemas de optimización.

Problema de máximos y mínimos.

Se dispone de una cartulina cuadrada de lado a y se quiere hacer una caja sin tapa
recortando cuadrados iguales en las esquinas y doblando sus lados. ¿Cuál debe ser la
longitud del lado del cuadrado que se recorta para que el volumen de la caja sea
máximo? ¿Cuál es el volumen de la caja?.
Solución:
Sea x: longitud del lado del cuadrado que se recorta en cada una de las esquinas (fig.
4.25 (a)), donde 20ax≤≤.

Al doblar la parte de cartulina restante, se forma la caja abierta que aparece en la
fig. 4.25 (b).
Ahora, volumen de la caja = área de la base x altura. Esto es,

Puesto que V (x) (función a maximizar) es una función continua en el intervalo

entonces V (x) alcanza un valor máximo y un valor mínimo en dicho
intervalo.
Al derivar V (x) en (1) e igualar a cero, se obtienen los puntos críticos. En efecto:

Para analizar la naturaleza de los puntos críticos, se usa el criterio de la segunda
derivada.

lo cual indica que x=a2 corresponde a un mínimo relativo. (Interprete geométricamente el
resultado).

máximo relativo.

En consecuencia, el volumen máximo se obtiene recortando en las esquinas de la cartulina
cuadrados de lado 6a y se obtiene de esta forma una caja cuyo volumen viene dado por:

El volumen V del cono es:

V = (⅓)πr²h

1.1) del triángulo rectángulo ABC en la figura se puede deducir que:

r² = R² - (R-h)² =>

r² = R² - (R² - 2Rh + h²) =>

r² = R² - R² + 2Rh - h² =>

r² = h(2R - h)

1.2) sustituimos la expresión anterior en la fórmula del volumen del cono:

V = (⅓)πr²h =>

V = (⅓)πhh(2R - h) =>

V = (⅓)πh²(2R - h) =>

V = (⅔)πRh² - (⅓)πh³

1.3) derivamos la expresión
anterior con respecto a h:

dv/dh = (4/3)πRh - πh²

1.4) como el volumen tiene que ser máximo, hacemos dV/dh = 0:

dv/dh = (4/3)πRh - πh² = 0 =>

h[(4/3)πR - πh] = 0 =>

(4/3)πR - πh = 0 =>

h = -(4/3)πR/-π =>

1.5) h = (4/3)R => para este valor de h, el volumen del cono es máximo. Sustituimos
este valor de h para obtener el volumen máximo V Max:

V Max = (⅔)πRh² - (⅓)πh³ =>

V Max = (⅔)πR((4/3)R)² - (⅓)π((4/3)R)³ =>

V Max = (⅔)(16/9)πR³ - (⅓)(64/27)πR³ =>

V Max = (32/27)πR³ - (64/81)πR³ =>

V Max = πR³(32/27 - 64/81) =>

V Max = πR³(96/81 - 64/81) =>

V Max = πR³(32/81) SOLUCION

Qué cosas fueron difíciles?
Se me hizo difícil cuando la función es cóncava y hacia qué dirección va.
Prácticamente en esta clase se me hizo fácil el cálculo para sacar máximos
y mínimos.
PORQUE fue un refuerzo de la clase pasada.
Aprendí a ver cuándo hay punto de inflexión, cuando es cóncava y a
calcular máximos y mínimos.



CONTENIDOS

INTRODUCCIÓN DE CONOCIMIENTOS:

 Cálculo integral: definición.
 Diferenciales: definición.
 Integral indefinida: definición
 Modelos matemáticos de apoyo para integración inmediata.


 Definir y calcular anti derivadas.


 Definición y aplicación de modelos matemáticos de integración indefinida.

Cálculo integral: definición.

Esto, es lo que hemos estudiado en la parte del cálculo infinitesimal que denominan
como “Cálculo Diferencial”. Ahora nos centraremos en otra parte de este, que
denominan “Cálculo Integral”.

Encontrar una función f a partir de su derivada, involucra el hecho de encontrar toda una
familia de funciones cuya derivada puede ser f; estas funciones reciben el nombre de
antiderivadas, puesto que para encontrarlas es necesario llevar el proceso contrario al de
la derivación y este proceso se llama “integración”. En forma análoga podemos concluir
que el problema de esta es, que si tenemos la velocidad de un punto móvil, podemos
hallar su trayectoria o si tenemos la pendiente de una curva, en cada uno se sus puntos,
podemos calcular dicha curva. Esto es a groso modo la una pequeña definición de
integración, pero esta es indefinida, es decir, que mediante este proceso, podemos
encontrar toda la familia de funciones cuya derivada es nuestra función dada; ahora,
veremos de que se trata la integración definida y sus aplicaciones, que es el motivo real
de este trabajo

EL CONCEPTO DE DIFERENCIAL
Existen muchas situaciones, dentro y fuera de las matemáticas, en que necesitamos
estimar una diferencia, como por ejemplo en las aproximaciones de valores de
funciones, en el cálculo de errores al efectuar mediciones (Valor real menos valor
aproximado) o simplemente al calcular variaciones de la variable dependiente cuando la
variable independiente varía "un poco", etc. Utilizando a la recta tangente como la
mejor aproximación lineal a la función en las cercanías del punto de tangencia,
aproximaremos esta DIFERENCIA con la diferencia sobre la recta tangente, a la que
llamaremos EL DIFERENCIAL de la función en el punto.

DEFINICION Y EJEMPLOS

Consideremos la siguiente ilustración en donde aproximamos a la función f por su recta
tangente.

Considerando que la recta tangente es la mejor aproximación lineal a la gráfica de f en las
cercanías del punto de tangencia PT, si le llamamos a la variación de f
cuando x varía de xo a xo + h y a la variación de la recta tangente en el mismo rango de
variación en x, podemos afirmar que para valores de h "cercanos" a 0, estas dos variaciones
son muy parecidas, es decir,  f   RT

 Integral indefinida: definición

La integración es un concepto fundamental de las matemáticas avanzadas,
especialmente en los campos del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una
integral es una suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños.El cálculo
integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas en el
proceso de integración o antiderivación, es muy común en la ingeniería y en la
matemática en general; se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes
de regiones y sólidos de revolución.

Las aplicaciones de las series infinitas son muchas, pero mencionamos como lo más
importante para nosotros en este momentos, su uso en la solución de problemas
matemáticos que no pueden resolverse en términos de funciones elementales (potencias,
raíces, funciones trigonométricas y sus inversas, logaritmos y exponenciales y
combinaciones de estos), o en caso de que puedan resolverse, es muy complicado
trabajar con ellos. En estos casos encontramos una respuesta en función de una serie y
usamos los términos requeridos de acuerdo a la presición deseada. Las ecuaciones
diferenciales son resueltas en muchas ocasiones en función de series infinitas. Una
integral definida,
0.1
por ejemplo,
∫e−x
0
dx , para la cual no hay solución en términos de funciones
elementales, se puede resolver su expandiendo su integrando en una serie e integrando
término a
término dicha serie.
PORQUE pude comprender todo lo explicado por el docente facilitador.
PORQUE fue una clase muy interesante ya que aprendimos varios modelos
de integrales.
Aprendí a calcular lo que fue integrales y con sus diferentes modelos los
cuales se me hicieron fáciles.


FECHA: Martes, 31 de julio-jueves, 2 de agosto del 2012.

CONTENIDOS:


 Modelos matemáticos de apoyo para integración inmediata.

 Definir y calcular antiderivadas.


 Definición y aplicación de modelos matemáticos de integración indefinida.

 Definir y calcular antiderivadas.

Definición :
Se llama antiderivada de una función f definida en un conjunto D de números reales a otra función
g derivable en D tal que se cumpla que:

Teorema :
Si dos funciones h y g son antiderivadas de una misma función f en un conjunto D de números
reales, entonces esas dos funciones h y g solo difieren en una constante.

Conclusión: Si g(x) es una antiderivada de f en un conjunto D de números reales, entonces
cualquier antiderivada de f es en ese conjunto D se puede escribir como ,
c constante real.
Técnica para resolver antiderivada basada en la regla de derivación de funciones compuestas.

Propiedades de las antiderivadas: se basa en las propiedades de las derivadas ya que cualquier
propiedad de las derivadas implica una propiedad correspondiente en las antiderivadas.
Sean f y g dos funciones definidas en un conjunto D de números reales y sean :
antiderivadas
Si es un número real, entonces se cumple :
1)

2)

de integrales.
Aprendí a calcular lo que fue integrales y anti derivadas y con sus
diferentes modelos los cuales se me hicieron fáciles.
pude hacer de una forma muy rápida

UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ
FACULTAD DE CIENCIAS INFORMÁTICAS
CARRERA DE INGENIERÍA EN SISTEMAS INFORMÁTIVOS
DIARIO METACOGNITIVO

FECHA: Martes, 31 de julio-jueves, 2 de agosto del 2012.

TEMA DISCUTIDO:

CONTENIDOS:


rivadas.


de integrales.
Aprendí a calcular lo que fue integrales y anti derivadas y con sus
diferentes modelos los cuales se me hicieron fáciles.

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