1. MECÁNICA BÁSICA
Á
Á
Estática – Cuerpos
q
en Equilibrio
Dr. Andrés Blanco Ortega
g
1

2. Objetivo

El alumno examinará los principios de
sistemas de fuerzas y momentos y su
estado en equilibrio Aplicará el equilibrio
equilibrio.
para el análisis isostático de estructuras.
Conocerá los mecanismos generadores
de la fricción.
2

3. Equilibrio de una partícula
Si la resultante de todas
las fuerzas que actúan
sobre una partícula es
cero, la partícula se
encuentra en equilibrio
equilibrio.
F
F
x
0
y
0
3

4. Problema 2 64 (Beer Johnston)
2.64 (Beer-Johnston)
El aguilón AB está soportado por el cable BC y
una bisagra en A Si el aguilón ejerce sobre el
A.
punto B una fuerza dirigida a lo largo del aguilón y
la tensión en la cuerda
BD es de 70lb, calcule:
a) el valor de α para el
cual la tensión en el
cable BC es mínima y
b) el valor correspondiente
de la tensión.
4

5. Problema 3 7 (Hibbeler)
3.7
Determine la carga
máxima que puede
suspenderse
p
sin
exceder una tensión
de 780 lb en el cable
AB o AC
AC.
5

6. Fuerzas en el espacio
6

7. 7

8. 8

9. Fx  F cos  x Fy  F cos  y Fz  F cos  z




F  Fx i  Fy j  Fz k





F  F cos  x i  cos  y j  cos  z k  F




  cos  x i  cos  y j  cos  z k


9

10. ESTÁTICA
Momentos
10

11. Introducción
Fuerzas que actúan sobre los cuerpos
rígidos:
L
Las
fuerzas externas representan l acción
f
t
t
la
ió
que ejercen otros cuerpos sobre el cuerpo
rígido en consideración
consideración.
 Las fuerzas internas son aquellas que
mantienen unidas las partículas que
conforman al cuerpo rígido.
11

12. Fuerzas externas e internas
12

13. Introducción
Principio de transmisibilidad

Establece que las condiciones de equilibrio o de movimiento de
un cuerpo rígido permanecerán inalteradas si una fuerza F que
actúa en un punto dado de ese cuerpo se reemplaza por una
fuerza F’ que tiene la misma magnitud y dirección, pero que
actúa en un diferente punto, siempre y cuando las dos fuerzas
tengan l misma lí
t
la i
línea d acción.
de
ió
13

14. Producto Vectorial
El producto vectorial de dos vectores P y Q se
define como el vector V que satisface las
siguientes condiciones:
1.
2.
3.
La línea de acción de V es perpendicular al plano
que tiene a P y a Q.
La magnitud de V es el producto de las magnitudes
de P y Q por el seno del ángulo  formado por P y
Q.
Q
V PQ
V=PQ sen 
La dirección de V se obtiene a partir de la regla de la
mano derecha, siguiendo el sentido del ángulo 
formado por P y Q con los dedos doblados.
14

15. Producto Vectorial
• Producto de Vectores:
- No son conmutativos Q  P   P  Q 
- Son distributivos
P  Q1  Q2   P  Q1  P  Q2
- No son asociativos  P  Q   S  P  Q  S 
15

16. Producto Vectorial
 
i i  0
  
i j k
 

i k   j
   
 
j  i  k k  i  j
 
 

j j 0
k  j  i
 
  
j k  i
k k  0
En coordenadas rectangulares:





V  Px i  Py j  Pz k

i

V  Px
Qx




 Qx i  Q y j  Qz k


j
k
Py
Qy

Pz
Qz
16

17. Momento de una Fuerza
con respecto a un Punto
El vector fuerza esta definido por su
magnitud y su dirección Su efecto sobre
dirección.
el cuerpo rígido depende de su punto de
aplicación.
El momento de F respecto a O esta
definido por:
MO = r x F
El vector momento MO es perpendicular al
plano que contiene al punto O y a la fuerza
F.
La magnitud de MO es una medida de la
tendencia de la fuerza a causar la rotación
del cuerpo.
M O  rF sin   Fd
17

18. Momentos
El
sentido
del
momento
puede
determinarse
por
medio d l mano
di de la
derecha.
Se
definen
los
momentos
antihorarios
como
positivos
iti
y
los
l
momentos horarios
como negativos.
18

19. Teorema de Varignon

El momento con respecto a un punto dado O de
la resultante de varias fuerzas concurrentes es
igual a la suma de los momentos de las distintas
fuerzas con respecto al mismo punto O
O.


   
  
r  F1  F2    r  F1  r  F2  
19

20. Componentes rectangulares del
momento de una fuerza
El momento de F respecto a O

 
M O  r  F,
  

r  x i  y j  zk




F  Fx i  Fy j  Fz k




MO  Mx i  M y j  Mzk
  
i
j k

MO  x y z
Fx Fy Fz




M O  yFz  zFy  i  zFx  xFz  j  xFy  yFx k
M x  yFz  zFy , M y  zFx  xFz , M z  xFy  yFx
20

21. Momento de una fuerza
Momento de una fuerza respecto al p
p
punto B



M B  rA/B  F

 
rA/B  rA  rB



 x A  x B  i  y A  y B  j  z A  z B  k




F  Fx i  Fy j  Fz k

i

M B  x A  x B 
Fx

j

k
Fy
Fz
y A  y B  z A  z B 
21

22. Momento de una fuerza: plano


M O  xFy  yFx k


M O  x A  xB Fy   y A  y B Fx k
MO  MZ
MO  M B
M Z  xFy  yFx


M B   x A  xB Fy   y A  y B Fx
22

23. Ejercicio 3 4 (Beer & Johnston)
3.4
El pedal para un sistema neumático se articula
en B. Se sabe que α=28, determine el
momento de la fuerza de 4lb con respecto al
punto B d
t
descomponiendo l f
i d la fuerza en sus
componentes horizontal y vertical.
23

24. Solución
Donde =8
Fx  4lb cos8  3.961lb
Fy  4lb sin 8  0.557lb
24

25. Solución
Fx
Fy
6.5sin(20)in
6.5cos(20)in
6 5 (20)i
M
M
M
B
 Fx d y  Fy d x
B
 3,9116.5 sin 20  0.5567 6.5 cos 20
B
 12.095lb  in
lb  in
25

26. Ejercicio 3.21 (Beer & J h t )
Ej i i 3 21 (B
Johnston)
Los cables AB y BC se
sujetan como se muestra
al tronco de un árbol muy
g
grande para evitar que se
p
q
caiga. Si las tensiones en
los cables AB y BC son de
y
990N,
,
777N
respectivamente;
determine el momento con
respecto a O de la fuerza
p
resultante ejercida por los
cables sobre el árbol en B.
(
)
Sol. (5.24i-3.75k) kNm
26

27. Solución
El momento con respecto a 0, está dado por:


M 0  r0 B  TBA  r0 B  TBC

M 0  r0 B  TBA  TBC 
Las tensiones en los cables
Son determinados como:


rBC
rBA
TBA  TBA 
TBC  TBC 
rBA
rBC
TBA
TBC

r0 B
27

28. Solución
Las coordenadas de los puntos son:
A   0.9,0,7.2 m
B  0,8.4,0 m
C  5.1,0,1.2 m
Calculando los vectores:

rBA   0.9  0 i  0  8.4  j  7.2  0 k

rBA  0.9i  8.4 j  7.2k m

2
2
2
rBA   0.9    8.4   7.2   11.1m

rBC  5.1  0 i  0  8.4  j  1.2  0 k

rBC  5.1i  8.4 j  1.2k

2
2
2
rBC  5.1   8.4   12   9.9m
TBA
TBC

r0 B
28

29. Solución
Las tensiones son:
 0.9i  8.4 j  7.2k
11.1
 63i  588 j  504k
TBA  777
TBA
TBC
TBC
N 
5.1i  8.4 j  1.2k
 990
9.9
 510i  840 j  120k
El momento con respecto a 0 es:
TBA
TBC

r0 B
M 0  8.4 j   63i  588 j  504k  
8.4 j  510i  840 j  120k 
M 0  5241.6i  3754.8k Nm
29

30. Problema 3 23 (Beer & Johnston)
3.23
Una fuerza de 8 Lb se
aplica sobre la llave de
torsión para enroscar la
regadera. Si la línea de
acción de la llave de
torsión es paralela al
eje x determine el
x,
momento de la fuerza
con respecto a A.
Sol.(42.2i+40.6j-50.4k)Lb-in
30

31. Problema 3 25 (Beer & Johnston)
3.25
La rampa ABCD se
sostiene en las esquinas
mediante cables en C y
di t
bl
D. Si la tensión que se
ejerce en cada uno de los
cables es de 360lb,
determine el momento
con respecto a A d l
t
de la
fuerza ejercida por: a) el
cable en D y b) el cable
D,
en C.
31

32. Solución

a ) M A  rAE  TDE

b) M A  rAG  TCG


rDE
TDE  TDE 
rDE


rCG
TCG  TCG 
rCG

r AE

r AG
TDE
TCG
32

33. Producto escalar entre dos vectores

El producto escalar
o producto punto
entre dos vectores
estadefinido por:

P  Q  PQ cos 

1.
2.
3.
Propiedades
es conmutativo
es distributivo
no es asociativo
   
P Q  Q P



  
   
P  Q1  Q2  P  Q1  P  Q2

  
P  Q  S  indefinido
33

34. Producto punto componentes
rectangulares




 




P  Q  Px i  Py j  Pz k  Qx i  Q y j  Qz k

Producto punto entre vectores unitarios
 
 
 
 
i i 1 j  j 1 k k 1 i  j  0
 
 
j k  0 k i  0
 
P  Q  Px Qx  Py Q y  Pz Qz
 
P  P  Px2  Py2  Pz2  P 2
34

35. Producto
P d t escalar: A li
l Aplicaciones
i
Angulo entre dos vectores
 
P  Q  PQ cos   Px Qx  Py Q y  Pz Qz
cos  
Px Qx  Py Q y  Pz Qz
PQ
Proyección de un vector sobre
un eje determinado
POL  P cos   proyeccion de P a lo largo de OL
 
P  Q  PQ cos 
 
P Q
 P cos   POL
Q
Para un eje definido por un
vector unitario


POL  P  
POL  Px cos  x  Py cos  y  Pz cos  z
35

36. Triple producto mixto de vectores
Triple producto mixto de vectores
  
S  P  Q   escalar
l
Los seis productos triples que se pueden formar entre S, Q y P
tienen la misma magnitud pero signos distintos
distintos.

S

S








  
 
  
PQ  P  Q S  Q  S  P
 
  
 
  
P  Q   S  Q  P   P  S  Q  Q  P  S






36

37. Componentes rectangulares
triple producto escalar
Evaluando el triple producto
componentes rectangulares


escalar
por
sus
  
S  P  Q  S x Py Qz  Pz Q y   S y Pz Qx  Px Qz 
Sx
  
S  P  Q  Px
Qx


 S z Pxy Qz  Py Qx 
Sy
Py
Qy
Sz
Pz
Qz
37

38. Momento de una fuerza respecto a un eje dado
El momento MO de una fuerza aplicado en el
punto A respecto al punto O es:

 
MO  r  F
La magnitud del momento MOL
respecto al eje OL es la proyección del
vector momento MO en dicho eje
M OL

  

   M O    r  F 
Momento de una fuerza respecto a los
ejes coordenados
coordenados.
M x  yFz  zFy
M y  zFx  xFz
M z  xFy  yFx
38

39. Momento de una fuerza respecto a un eje dado
dado.
Momento de una fuerza respecto a un
eje arbitrario
M BL

rA B


  MB
 

   rA B  F 
 
 rA  rB
El resultado es independiente del
p
punto B a lo largo del eje dado.
g
j
39

40. Problema 3 38 (Beer & Johnston)
3.38
Determine los ángulos formados por los
g
p
alambres AC y AD de la red de voleibol.
40

41. Solución


rAC  rAD
cos    
rAC rAD

rAC


rAD
41

42. Problema 3 46 (Beer & Johnston)
3.46
La tapa ABCD de un baúl de
0.732x1.2m tiene bi
0 732 1 2 ti
bisagras a
lo largo de AB y se mantiene
abierta mediante una cuerda
DEC que pasa sobre un
gancho en E sin fricción. Si la
tensión de la cuerda es de
54N, determine el momento
de la fuerza ejercida por la
cuerda en D con respecto a
D,
cada uno de los ejes
coordenados.
42

43. Solución


M A  rAE  TDE


r
TDE  TDE DE
rDE

TDE

rAE




MA  Mx i  M y j  Mzk
43

44. Problema 3 55 (Beer & Johnston)
3.55
Un mástil se monta sobre el techo de una casa usando una ménsula
ABCD,
ABCD el mástil está sostenido por los cables EF EG y EH Si se
EF,
EH.
sabe que la fuerza ejercida por el cable EF en E es de 66N,
determine el momento de esa Fuerza con respecto a la línea que une
los p ntos D e I
puntos
I.
44

45. Solución:
45

46. Momento de un Par
46

47. Momento de un par
Dos fuerzas F y –F que tienen la misma
magnitud, líneas de acción paralelas pero
g
,
p
p
sentido opuesto, se dice que forman un par.
Momento de un par
   

M  rA  F  rB   F 

 
 rA  rB  F
 
 rF
M  rF sin   Fd
El momento M de un
par
es
independiente
del
origen
de
coordenadas, es un vector libre que
puede ser aplicado en cualquier punto
causando el mismo efecto sobre el
cuerpo rígido.
47

48. Momento de un par
Dos pares t d á momentos i
D
tendrán
t
iguales
l
si:
F1d1  F2 d 2
• Si los dos pares se encuentran en
planos paralelos o en el mismo plano.
• Si los dos pares tienen el mismo sentido
o tendencia a hacer rotar la pieza en la
misma dirección
48

49. Pares Equivalentes
49

50. Problema 4 111 (Bedford)
4.111
Se usan dos llaves para apretar
un codo hidráulico. La fuerza
F=10k lb se aplica en (6,-5,-3)in
y la fuerza –F se aplica en
F
(4,-5,-3)in.
Determine el momento respecto
p
al eje x de la fuerza ejercida
sobre la llave derecha.
b) Determine el momento del par
)
p
formado por las fuerzas
c) ¿Explique porqué se usan dos
llaves?
a)
)
50

51. Solución
Calculando el momento respecto
al origen:
g
i
j
k
M 0  6  5  3  50i  60 j
0
0
lbin
10
El momento respecto al eje x es:
Mx=-50lb-in.

r
El momento del par es:
 
r1  r2  2i  6k
i
j
k
M p  2 0  6  20 j
0 0

r2
lbin
10

r1
 
r1  r2
51

52. Suma de pares
Consideremos dos planos que se
intersecan P1 y P2 cada uno de los
cuales contiene un par

 
M 1  r  F1 en el plano P
1



M 2  r  F2 en el plano P2
p
La resultante de los vectores
también forman un par

     
M  r  R  r  F1  F2

Por el Teorema de Varignon
    
M  r  F1  r  F2



M  M1  M 2
La suma de dos pares cuyos momentos
son iguales a M1 y a M2 es un par de
momento M igual a la suma vectorial de
M1 y M2
52

53. Un par puede representarse como un vector




Un par puede representarse como un vector con magnitud y
dirección igual al momento del par.
El vector par obedece las leyes de la adición de vectores.
El vector par es un vector libre el punto d aplicación no es
t
t libre, l
lib
t de li
ió
significativo.
El vector par puede descomponerse en sus componentes
vectoriales Mx, My, y Mz.
53

54. Descomposición de una fuerza dada en una
fuerza en O y un par.



El vector F no puede moverse simplemente al punto O sin modificar
su efecto sobre el cuerpo rígido.
Fuerzas iguales y opuestas en O producen un efecto neto nulo
g
p
p
sobre el cuerpo.
Las tres fuerzas pueden ser reemplazadas por una fuerza
equivalente y un par. Es decir por un sistema fuerza – par.
par.
54

55. Descomposición de una fuerza en una fuerza y un par
Si F se h bi
hubiera trasladado d l punto A a un punto dif
l d d del
diferente O’ se
tendría que calcular el momento MO’ =r’ X F de F con respecto a O’.
Los momentos de F respecto a O y a O’ están relacionados

        
M O '  r ' F  r  s  F  r  F  s  F

 
 MO  s  F
Donde s es el vector que une a O’ con O.
55

56. Descomposición de una fuerza en una fuerza y un par
El momento M0’ de F con respecto a O’ se obtiene sumándole al momento
MO de F con respecto a O el producto vectorial s x F que representa el
momento con respecto a O’ de la fuerza F aplicada en O
56

57. Reducción de un sistema de fuerzas a una
fuerza y un par
Cualquier sistema de fuerzas sin importar que tan complejo sea
puede ser reducido a un sistema equivalente fuerza-par que actúa en
un punto dado O.
Los vectores fuerza y par pueden combinarse en una fuerza
resultante y un par resultante.


R  F
R
 
M O   r  F 
57

58. Reducción de un sistema de fuerzas a una
fuerza y un par
El sistema fuerza-par en O puede
moverse al punto O’ con la adición
del momento de R respecto a O’.
Dos sistemas de fuerzas son
equivalentes si pueden reducirse
al mismo sistema fuerza-par.
fuerza par.
R
 
R
M 0'  M 0  s  R
58

59. Ejercicio 3 85 (Beer & Johnston)
3.85
Una fuerza y un par se aplican a una viga; a) reemplace este
sistema por una sola fuerza F aplicada en el punto G y
determine la distancia d; b) resuelve el inciso a) suponiendo que
se intercambian las direcciones de las dos fuerzas de 600N.
59

60. Solución
a) Haciendo suma de fuerzas en
y y suma de momentos en A:
 F  800  600  600  F
 M  8001.5  6004  6002  F d
y
G
A
G
Resolviendo para FG y d:
FG  800 N
d  3m
b)
FG
 F  800  600  600  F
 M  8001.5  6004  6002  F d
y
G
A
G
FG  800 N
d  0m
60

61. Ejercicio 3 92 (Beer & Johnston)
3.92
Dos
trabajadores
usan
bloques
y
polipastos
conectados a l parte i f i
d
la
inferior
de una viga I para elevar un
tanque cilíndrico grande. Se
sabe que la tensión en la
cuerda CD es de 366N,
reemplace l f
l
la fuerza ejercida
j id
en C por la cuerda CD por
un
sistema
equivalente
fuerza-par en O.
61

62. Solución
C  (0,7.5,0)
El momento de TCD en 0
está dado por:

rCD  0.3i  5.6 j  2.4k m

rCD  6.1m


r
TCD  TCD CD  18i  336 j  144k
rCD

M 0  r0C  TCD
i
j
D  (0.3,1.9,2.4)
(
TCD
r0C
k
ME  0
7.5
0
 18  336 144
M E  1080i  135k
Nm
62

63. Ejercicio 3.105 (Beer & Johnston)
3 105
El engrane C está rígidamente unido al brazo AB.
Si las fuerzas y los pares mostrados se pueden
reducir a una sola fuerza equivalente en A,
determine esta fuerza equivalente y la magnitud
del par M.
63

64. Solución
Haciendo suma de fuerzas en x y y, y suma de momentos
en A tenemos:
A,
 F  125 cos 40  90 sin 30  R
 F  125 sin 40  90 cos 30  200  R
 M  1.25125 sin 65  .85200 cos 25  0.690 cos 55  M
x
x
y
y
A
A
2
R  Rx2  R y  50.752  358.29 2
R  361.87 N
 358.29 
  tan 
  81.21
 50.75 
M A  326.66 Nm
1
64

65. Ejercicio 3.125 (Beer & Johnston)
3 125
Las fuerzas mostradas en la figura son la resultante de las
cargas verticales hacia abajo sobre las secciones del techo
plano de una construcción, debidas a la nieve acumulada.
Determine la magnitud y el punto de aplicación de la
resultante d estas cuatro cargas.
lt t de t
t
65

66. Ejercicio 3.121 (Beer & Johnston)
El cabezal del taladro radial
originalmente estaba colocado con
el b
l brazo AB paralelo al eje z,
l l
l j
mientras que la broca y el
portabrocas estaban colocados
paralelos al eje y. El sistema se giró
25 con respecto al eje y y 20 
t
l j
alrededor de la línea de centros del
brazo horizontal AB, hasta que
quedó en la posición mostrada. El
proceso d t l d
de taladro comienza al
i
l
encender el motor y girar la
manivela hasta que la broca entra
en contacto con la pieza de trabajo.
Reemplace l f
R
l
la fuerza y el par
l
ejercidos por el taladro por un
sistema equivalente fuerza-par en
el centro 0 de la base de la
columna vertical.
l
ti l
66

67. Cuerpos en
Equilibrio
Dr. Andrés Blanco Ortega
g
67

68. Cuerpos en equilibrio



La estática es el análisis de cuerpos en equilibrio,
incluidos los operadores robóticos, los puentes, las
presas y los edificios. Ahora que ya se tiene el
conocimiento para calcular momentos, pueden
p
, p
enfrentarse a problemas de equilibrio más
interesantes.
Se establecerán las ecuaciones de equilibrio y
describiremos los diversos tipos de apoyos
utilizados frecuentemente en aplicaciones practicas.
Se emplearan las ecuaciones de equilibrio para
obtener información respecto a los sistemas de
fuerzas y momentos que actúan sobre los cuerpos.
68

69. Equilibrio
Cuando un cuerpo está en equilibrio, la resultante de
todas las fuerzas que actúan sobre él es cero.
F  0
M
0
  r  F   0
Un cuerpo con velocidad constante sigue estas mismas
ecuaciones.
Recordar que un cuerpo en el espacio ti
R
d
l
i tiene 6
posibilidades de movimiento; 3 de translación y 3 de
rotación.
En el plano un cuerpo tiene 3 posibilidades de
plano,
movimiento; 2 de translación y 1 de rotación.
69

70. Diagrama de Cuerpo Libre (dcl)
Seleccionar cuidadosamente el cuerpo sobre el que
se quiere trabajar.
Aislar l
Ai l el cuerpo d cualquier otro cuerpo que t
de
l i
t
tenga
contacto con él y sustituir su acción por fuerzas.
(
(Cuidar que el sentido de las fuerzas sea el
q
adecuado, es decir, fuerzas que actúan sobre el
cuerpo).
Considerar las fuerzas de campo y sustituirlas por
fuerzas.
fuerzas
70

71. Aplicaciones
71

72. Aplicaciones
72

73. Aplicaciones
73

74. Industria metal mecánica
metal-mecánica
74

75. Industria metal mecánica
metal-mecánica
75

76. En el plano
Fz  0 M x  M y  0 M z  M O
Para cuerpos en un plano se ti
P
l
tienen 3 ecuaciones:
i
F
x
0
F
y
0
M
z
0
por lo que se pueden resolver hasta 3 incógnitas.
76

77. Fuerzas de reacción
A continuación se presentan las fuerzas de
reacción de contacto entre el apoyo y el
cuerpo,
cuerpo así como entre cuerpos
77

78. Reacciones en los soportes
78

79. 79

80. 80

81. Ejemplos 4 5 (Beer&Johnston)
4.5
Un soporte en forma de T sostiene las cuatro cargas
mostradas. Determine las reacciones en A y en B si:
a) a=100mm y b) a=70mm.
81

82. Solución
F  0
F  0
M  0
x
By
Ay
Bx
y
B
82

83. Ejemplos 4 11 (Beer&Johnston)
4.11
El valor máximo permisible para cada una de las
reacciones es de 360 N Sin tomar en c enta el
N.
cuenta
peso de la viga, determine el rango de valores de
la distancia d para los cuales la viga es segura.
p
g
g
83

84. Solución
F  0
M  0
M  0
x
Bx
B
A
Ay
By
84

85. Ejercicio 4.15 (Beer&Johnston)
Ej i i 4 15 (B &J h t )
Un seguidor ABCD se
mantiene contra una leva
circular por la acción de un
resorte estirado
estirado, el cual
ejerce una fuerza de 21N
para la posición mostrada en
la figura. Si se sabe que la
tensión en la barra BE es de
14N, determine: a) la fuerza
ejercida sobre el rodillo en A
y b) la reacción en el cojinete
C.
C
85

86. Solución
F 0
F 0
M  0
x
y
C
Cy
Dy
Cx
FEB
FA
86

87. Cuerpo sujeto a dos fuerzas
Cuando las fuerzas se aplican sólo en dos puntos de un
elemento, el análisis puede simplificarse. C
l
t
l
áli i
d
i lifi
Cuando l
d las
fuerzas en A y en B se suman para obtener sus
respectivas resultantes el equilibrio se satisface solo si F1
tiene la misma magnitud y dirección, pero sentido opuesta
a F2 y el equilibrio de momentos se satisface si F1 es
colineal a F2.
87

88. Cuerpo sujeto a tres fuerzas
Si un elemento esta sujeto a la acción de tres
fuerzas coplanares, entonces es necesario que las
fuerzas sean concurrentes o paralelas, para que el
p
p
q
elemento este en equilibrio
88

89. Ejercicio 4 82 (Beer&Johnston)
4.82
El elemento ABCD esta sostenido por un apoyo de pasador en C y por
una cuerda inextensible unida en A y D, que pasa sobre poleas sin
fricción en B y E. Sin tomar en cuenta el tamaño de las poleas,
determine la tensión en la cuerda y la reacción en C.
89

90. En el espacio
Para cuerpos en el espacio se tienen 6
p
p
ecuaciones:
 Fx  0  Fy  0  Fz  0
Mx  0 My  0 Mz  0
por l que se pueden resolver h
lo
d
l
hasta 6
incógnitas.
90

91. Aplicaciones
Las juntas universales que se encuentran
comúnmente en las flechas motrices de los autos
y de los camiones de tracción trasera, permiten la
transmisión d l movimiento rotacional entre d
t
i ió del
i i t
t i
l
t dos
ejes no colineales.
91

92. Aplicaciones
La caja de cojinetes que se muestra sostiene al
eje de un ventilador usado en un taller de
fundición.
92

93. Reacciones
93

94. 94

95. Procedimiento de Solución
1.
1
2.
2
3.
3
4.
4
Hacer el diagrama de cuerpo libre del
sistema.
Identificar el cuerpo que tiene fuerzas
conocidas.
Identificar el cuerpo que tiene fuerzas
como incógnitas.
En el caso de problemas en el plano se
pueden resolver hasta 3 incógnitas y en el
espacio hasta 6
6.
95

96. Caso a considerar

Si el número de incógnitas es adecuado
adecuado,
hacer suma de momentos en el punto en el
que se eliminen más incógnitas.

De otro modo, hacer diagrama de cuerpo
libre d l cuerpo que ti
lib
del
tiene l
los d t
datos,
resolverlo y tomar los resultados como datos
para el cuerpo siguiente.
96

97. Repetir el paso anterior hasta resolver la incógnita
deseada.
deseada
Recordar que la fuerza que un cuerpo (a) ejerce
sobre otro cuerpo (b) es igual en magnitud y de
sentido contrario a la que el segundo cuerpo (b)
ejerce sobre el primer cuerpo (a).
Es muy importante hacer problemas hasta
asegurarse de haber entendido adecuadamente los
conceptos.
97

98. Ejercicio 4 99 (Beer&Johnston)
4.99
Para la porción de máquina que
p
q
q
se muestra en la figura, la polea
de 4in de diámetro y la rueda B
están fijos a una flecha sostenida
por cojinetes en A y D El resorte
ji t
D.
t
de constante igual a 2lb/in no
esta deformado cuando θ=0 y el
cojinete en C no ejerce ninguna
fuerza axial. Se sabe que θ=180°
y que la máquina está en reposo
y equilibrio determine: a) la
equilibrio,
tensión T y b) las reacciones en
C y D. No tome en cuenta los
p
pesos de la flecha, la polea y la
,
p
rueda.
98

99. Solución
 F  0,  F  0,  F  0
 M  0,  M  0,  M  0
x
y
x
z
y
z
Cy
Cz
Dy
Dx
Dz
Fr
99

100. Ejercicio 4.113 (Beer&Johnston)
Ej i i 4 113 (B &J h t )
Un brazo de 3 m esta
sometido a una fuerza
de 4kN, como se
muestra en la figura.
Determine la tensión
en cada cable y la
reacción en el apoyo
de la rótula en A
A.
100

101. Ejercicio 4 1 (Beer & Johnston)
4.1
El mástil sobre un camión de 4 300 kg se usa para
descargar de la plataforma, el grupo de tablillas de
1 600 kg que se muestran en la figura. Determine
la reacción en las llantas: a) traseras B y b)
delanteras C.
101

102. Solución
F
y
0
 W  RB  RC  WG  0
RB  RC  4300  1600 9.81
M
G
0
W 6 cos15  0.4   RB 4.7   RC 0.5  0
RB  RC  57879
 4.7 RB  0.5 RC  97246
W
RB  24266N
RC  33613N
RB1  12133N, RB 2  12133N
RC1  16807 N, RC 2  16807 N
RB
WG
RC
102

103. Ejercicio 4 9 (Beer & Johnston)
4.9
Cuatro cajas están colocadas sobre una plancha de
madera que d
d
descansa sobre d
b dos caballetes. Si se sabe
b ll t
b
que las masas de las cajas B y D son, respectivamente, de
4.5kg y 45kg; determine el rango de valores de la masa de
la caja A para los cuales la plancha de madera permanece
en equilibrio cuando se retira la caja C.
103

104. Ejercicio 4 40 (Beer & Johnston)
4.40
La barra AC soporta dos
cargas de 100lb, como se
muestra en la figura. Los
rodillos A y C descansan
sobre
superficies
sin
fricción y el cable BD está
unido en B. Determine: a)
la tensión en el cable BD,
b) la reacción en A y c) la
reacción C.
104

105. Ejercicio 4 60 (Beer & Johnston)
4.60
Una barra delgada AB de masa m se une a los bloques A y
B que se mueven libremente sobre las guías mostradas en
la figura. El resorte de constante k se encuentra sin
deformar cuando θ = 0. a) sin tomar en cuenta el peso de
los bloques derive una ecuación en términos de m k l y θ
bloques,
m, k,
que se cumpla cuando la barra está en equilibrio, y b)
determine el valor de θ cuando m=2kg, l=750mm y
k=30N/m.
k=30N/m
105

106. Ejercicio 4.77 (Beer & J h t )
Ej i i 4 77 (B
Johnston)
Una pequeña grúa se
monta sobre la parte
trasera
de
una
camioneta y se usa
para levantar una caja
de 120 kg. Determine:
a) la fuerza ejercida por
el cilindro hidráulico BC
sobre la grúa y b) la
reacción en A.
106

107. Ejercicio 4 98 (Beer & Johnston)
4.98
Dos bandas de transmisión pasan doble discos soldados a un eje que
j
se sostiene mediante cojinetes en B y D. Si el disco en A tiene un radio
de 50mm, y el disco en C tiene un radio de 40mm y se sabe que el
sistema gira con una velocidad angular constante, determine: a) la
tensión T, b) las reacciones en B y D. Suponga que el cojinete D no
ejerce ninguna fuerza de empuje axial e ignore los pesos de los discos
y el eje.
107

108. Ejercicio 4 116 (Beer & Johnston)
4.116
El poste ABC de 18 ft de
longitud está sometido a
una fuerza de 210 lb, como
se muestra en la figura El
figura.
poste se sostiene mediante
un apoyo de rótula en A y
por dos cables BD y BE.
Para a=9ft, determine la
tensión en cada cable y la
reacción en A.
108

109. Ejercicio 4 118 (Beer & Johnston)
4.118
Dos tubos de acero ABCD y EBF se sueldan juntos en B para
formar el brazo que se muestra en la figura. El brazo se sostiene
q
g
mediante un apoyo de rótula en D y por dos cables EG e ICFH;
el cable ICFH pasa alrededor de poleas sin fricción en C y F.
Para la carga mostrada, determine la tensión en cada cable y la
g
,
reacción en D.
109

110. Ejercicio 4.144 (Beer&Johnston)
4 144
Para regar las plantas
mostradas,
mostradas un jardinero
une los tres tramos de
tubería AB, BC y CD
,
adaptados
con
rociadores y sostiene el
ensamble con apoyos
articulados en A y D y
mediante el cable EF. Si
la tubería pesa 0.85
lb/ft,
determine
la
tensión en el cable.
t
ió
l bl
110

111. ESTÁTICA
Fricción
Dr. Andrés Blanco Ortega
111

112. Introducción
Actualmente no existen superficies sin fricción.
Cuando dos superficies están en contacto,
siempre se presentan fuerzas tangenciales,
llamadas fuerzas de fricción cuando se trata de
fricción,
mover una superficie respecto a otra.
112

113. Introducción
Existen dos tipos de fricción:
 Fricción
seca o fricción de Coulomb.
 Fricción de fluidos que se desarrolla entre
capas de fluidos que se mueven a diferentes
velocidades.
113

114. Introducción
El tipo de problemas
que analizaremos en
este curso involucra
cuerpos rígidos que
están en contacto a lo
largo de superficies que
no están lubricadas
lubricadas.
Fricción seca.
114

115. Aplicaciones
115

116. Aplicaciones
116

117. Fricción estática y cinética
La evidencia experimental
muestra que el valor
máximo Fm de la fuerza de
fricción
estática
es
proporcional
i
l
a
la
l
componente normal N de la
reacción de la superficie.
p
Fm   s N
donde s es una constante
llamada
coeficiente
de
fricción estática
estática.
De
forma
similar,
la
magnitud de Fk de la fuerza
de fricción cinética puede
expresarse como:
Fk   k N
donde
d d k es una constante
t t
llamada
coeficiente
de
fricción cinética.
117

118. Coeficientes de Fricción
MATERIAL

S

K
0.5
0.2
0.15
0 15
0.09
0 09
0.6
0.5
0.5
0.4
Caucho sobre concreto,
seco
0.9
0.7
Articulaciones en
humanos
0.01
0.01
Madera sobre madera
Acero sobre acero
Metal sobre cuero
Madera sobre cuero
118

119. Leyes de la fricción seca
Coeficientes de fricción
Coeficientes de fricción estática
Metal – metal
0.15-0.60
Metal – madera
0.20-0.60
Metal – piedra
0.30-0.70
Metal – cuero
0.30-0.60
Madera – madera
0.25-0.50
Madera – cuero
0.25-0.50
Piedra – piedra
0.40-0.70
Tierra – tierra
0.20-1.00
0 20 1 00
Hule – concreto
0.60-0.90
Máxima fuerza de fricción estática:
Fm   s N
Fuerza de fricción cinética
Fk   k N
 k  0.75 s
La fuerza máxima de fricción estática y la
cinética son:
- Proporcionales a la fuerza normal
- Dependen del tipo y condición de las
superficies de contacto.
- Independientes del área de contacto.
119

120. Cuerpo con superficie de
contacto
Las fuerzas aplicadas sobre
el cuerpo no tienden a
moverlo.
2. Las fuerzas aplicadas en un
cuerpo que tienden a moverlo
no son lo suficientemente
grandes para ponerlo en
movimiento.
3. Las fuerzas aplicadas hacen
que el cuerpo esté a punto de
comenzar
a
deslizarse
(movimiento inminente).
4. El cuerpo se desliza bajo la
acción
de
las
fuerzas
aplicadas.
1.
(Px = 0)
(Px < Fm)
(Px = Fm)
(Px > Fm)
120

121. Ángulos de Fricción
Cuando se reemplaza la fuerza normal N y la fuerza de
fricción F por su resultante se formará un ángulo  con la
resultante,
normal a la superficie. Este valor recibe el nombre de
ángulo de fricción estática y se representa con s.
Fm  s N
tan s 

N
N
tan s   s
tan s   s
121

122. Ángulos de fricción
Considere un bloque de peso W que descansa sobre un plano inclinado un
ángulo 

Sin fricción
Sin movimiento
Movimiento inminente
Movimiento
122

123. Movimiento inminente de un bloque s=0 3
=0.3
123

124. Ejemplo 8 1
Ej
l 8.1
Una fuerza de 100 lb
actua sobre un bloque de
300 lb que esta colocado
en un plano inclinado Los
inclinado.
coeficientes de fricción
entre el bloque y el plano
son μs= 0 25 μk= 0 20
0.25 k 0.20.
Determine si el bloque
q
esta en equilibrio y
encuentre el valor de la
fuerza de fricción.
124

125. Solución
Determinar los valores de la fuerza de fricción y de
la normal para el plano inclinado necesaria para
p
p
p
mantener el equilibrio.
3
100 lb - 5 300 lb   F  0
 Fx  0 :
 Fy  0 :
F  80 lb
4
N - 5 300 lb   0
N  240 lb
Calcular la máxima fuerza de fricción y compararla
con la fuerza de fricción requerida para el equilibrio.
q
p
q
Si es mayor, el bloque no se desliza.
Fm   s N
Fm  0.25240 lb   48 lb
El bloque se desliza hacia abajo del plano
125

126. Solución
Si la fuerza de fricción máxima es menor que la
fuerza d f i ió requerida para el equilibrio el
f
de fricción
id
l
ilib i
l
bloque se desliza.
Calcular la fuerza de fricción cinética.
Factual  Fk   k N
 0.20240 lb 
Factual  48 lb
126

127. Ejemplo 8 3
Ej
l 8.3
La ménsula móvil que se
q
muestra en la figura puede
colocarse a cualquier altura
a lo largo del tubo de 3 in de
g
diámetro. Si el coeficiente
de fricción estático entre el
tubo y la ménsula es de
0.25, determine la distancia
mínima x a la cual se puede
soportar la carga W, sin
tomar en cuenta el peso de
la ménsula.
127

128. Solución
Cuando W se coloca a la distancia mínima x, medida desde
el eje del tubo, la ménsula esta a punto de deslizarse y las
fuerzas d f i ió en A y en B h alcanzado su valores
f
de fricción
han l
d
l
máximos.
FA   s N A  0.25 N A
FB   s N B  0.25 N B
Aplicando las condiciones de equilibrio estático
encontramos el mínimo valor de x.
NB  N A
 Fx  0 : N B  N A  0
 Fy  0 : FA  FB  W  0
0.25 N A  0.25 N B  W  0
0.5 N A  W
N A  N B  2W
 M B  0 : N A 6 in.  FA 3 in.  W  x  1.5 in.  0
6 N A  30.25 N A   W  x  1.5  0
62W   0.752W   W  x  1.5  0
x  12 in. 128

129. Fricción en bandas
Relacionando T1 y T2 cuando la banda esta
moviéndose hacia la derecha.
Diagrama de cuerpo libre para una parte d l b d
Di
d
lib
t de la banda


 T cos
  s N  0
2
2


Fy  0 : N  T  T sen
 Tsen
0

2
2
 Fx  0 : T  T  cos
Combinando para eliminar N, dividiendo por ,
T  sin  2 
T


cos
  s T 


2
2   2

El limite cuando  tiende a cero
T2 dT

dT
  sT  0
T1 T  0  s d
d
Separando variables e integrando desde
p
g
ln
T2
 s 
T1
o
T2
 e s 
T1
  0a  
129

130. Ejemplo 8 8
Ej
l 8.8
Una banda plana conecta una
polea A que mueve una
maquina herramienta, con una
polea B, la cual esta unida a la
flecha de un motor eléctrico
eléctrico.
Los coeficientes de fricción
entre ambas poleas y la banda
son: μs = 0 25 y μk = 0 20 Si se
0.25
0.20.
sabe que la tensión máxima
permisible en la banda es de
600lb,
600lb determine el momento
torsional máximo que puede
ejercer la banda sobre la polea
A.
A
130

131. Solución
Determine la tensión en la banda basado en la polea
B.
T2
 e s 
T1
600 lb
 e 0.252 3   1.688
T1
600 lb
T1 
 355.4 lb
1.688
Tomando la polea A como cuerpo libre y haciendo
suma de momentos respecto al centro de la polea
para determinar el torque.
MA  0:
M A  8 in.355.4 lb  600 lb   0
M A  163.1 lb  ft
131

132. Ejercicio 8 11 (Beer & Johnston)
8.11
Los coeficientes de fricción entre todas las
superficies de contacto son s=0.40 y k=0.30.
Determine la fuerza mínima P requerida para que
el bloque de 60lb comience a moverse si el cable
AB: a) se une como se muestra en la figura y b) se
retira.
132

133. Ejercicio 8 16 (Beer & Johnston)
8.16
En la figura se muestra un
gabinete de 48kg que se monta
sobre ruedas, las cuales se
pueden fijar para evitar su
rotación. El coeficiente de
rotación
fricción estática entre el piso y
cada rueda es de 0.30. Si las
ruedas en A y B están fijas,
uedas e
está
jas,
determine: a) la fuerza P
requerida
para
iniciar
el
movimiento del gabinete hacia
g
la derecha y b) el máximo valor
permisible de h para que el
gabinete no vuelque.
133

134. Ejercicio 10.8 (Bedford & Fowler)
En la figura la caja A
pesa 100lb y la caja B
30lb. Los coeficientes
de fricción entre la caja
A y la rampa son
μs=0.30
y
μk=0.28.
¿Cuál es la magnitud
de la fuerza de fricción
ejercida sobre la caja A
por la rampa?
134

135. Ejercicio 10 25 (Bedford & Fowler)
10.25
El disco mostrado pesa 50 lb. Ignore el peso de la barra. Los
coeficientes de fricción entre el disco y el piso son μs 0.6 y μk = 0.4.
(a) ¿Qué valor tiene el par M máximo que se puede aplicar al
disco en reposo sin que éste empiece a girar?
(b) ¿Qué par M es necesario aplicar para que el di
Q é
i
li
l disco gire con
i
velocidad constante?
135

136. Solución
Sin giro:
M
A
0
 B2 20   2510 cos 30  0 B2  10.825lb
F  0
N  B2  50 cos 30  0 N  54.13lb
M
B
0
M  f 5  0
f  s N
M  54.130.6 5  162.4lbin
Con giro:
M
B
0
M  f 5  0
f  k N
M  54.130.4 5  108.25lbin
136

137. Ejercicio 10 33 (Bedford & Fowler)
10.33
El bloque mostrado pesa
80 N. El coeficiente de
fricción estática entre las
superficies
de
la
abrazadera y el bloque es
μs = 0.2. Cuando la
abrazadera está alineada
como se muestra, ¿qué
fuerza
mínima
debe
ejercer el resorte para
impedir que el bloque se
deslice?
137

138. Solución
 s FT
FT
 s FT  W cos  
FR
 s FT
FT  W cos 
FT
W
138

139. Ejercicio 8.109 (Beer & Johnston)
8 109
Una banda plana se utiliza para transmitir un momento
torsional de la polea A a la polea B Como se muestra en la
B.
figura, cada una de las poleas tiene un radio de 3in y sobre
el eje de la polea A se aplica una fuerza con una magnitud
P=225lb.
P 225lb Si se sabe que el coeficiente d f i ió estática
b
l
fi i t de fricción táti
es de 0.35, determine: a) la torsión máxima que puede ser
transmitida y b) el valor máximo correspondiente a la
)
p
tensión en la banda.
139

140. Bilbliografía
1.
2.
3.
4.
Mecánica Vectorial para Ingenieros – Estática, Beer,
p
g
Johnston, Elisenberg
México, 2005. Séptima edición. Mc Graw Hill. ISBN:
970-10-4469-X.
Mecánica Vectorial para Ingenieros – Estática, Russel
Hibbeler, México, 2004. Decimal edición, Pearson
Education - Prentice Hall. ISBN: 970-26-0501-6.
Estática - Mecánica para Ingeniería, Bedford/Fowler
México, 2000. Prentice Hall – Addison Wesley. ISBN:
968 444 398 6.
968-444-398-6
Engineering Mechanics – Statics, Merian/Kraige
Fifth edition, 2002. John Wiley & Sons, Inc. ISBN: 0-47140645-5.
40645 5
140