Apostila de matemática para concurso de admissão ao 6º ano dos colégios militares

Apostila de Matemática para Concurso de Admissão ao 6º Ano dos Colégios Militares | Roberto M. Batista
APOSTILA DE MATEMÁTICA
PARA CONCURSO DE
ADMISSÃO AO 6º ANO DOS
COLÉGIOS MILITARES
2

“O homem não é nada além daquilo que a educação faz dele”
Immanuel Kant
3

APOSTILA DE MATEMÁTICA
PARA CONCURSO DE
ADMISSÃO AO 6º ANO DOS
COLÉGIOS MILITARES
Revisada pela professora de Matemática:
Maria Goreti Gonçalves Batista
1ª edição
Porto Alegre
2016
4

SUMÁRIO
Prefácio
Introdução
06
09
Módulo 1: Números Naturais e Sistema de Numeração Decimal
Capítulo 1: Números Naturais
Capítulo 2: Sistema de Numeração Decimal
11
12
20
Módulo 2: Operações com Números Naturais e Divisibilidade
Capítulo 3: Operações com Números Naturais
Capítulo 4: Divisibilidade
28
29
42
Módulo 3: Decomposição em fatores primos, MDC e MMC
Capítulo 5: Decomposição em fatores primos
Capítulo 6: Máximo divisor comum (mdc)
Capítulo 7: Mínimo múltiplo comum (mmc)
50
51
55
58
Módulo 4: Números Racionais Absolutos
Capítulo 8: Números Racionais Absolutos
62
63
Módulo 5: Operações com Números Racionais Absolutos
Capítulo 9: Operações com Números Racionais Absolutos
76
77
Módulo 6: Números Racionais Decimais
Capítulo 10: Números Racionais Decimais
84
85
Módulo 7: Operações com Números Racionais Decimais
Capítulo 11: Operações com Números Racionais Decimais
92
93
Módulo 8: introdução à Porcentagem
Capítulo 12: introdução à porcentagem
102
103
Módulo 9: Introdução à Geometria (Espaço e Forma)
Capítulo 13: Introdução à Geometria (Espaço e Forma)
108
109
Módulo 10: Sistema de Medidas (Grandezas e Medidas)
Capítulo 14: Sistema de Medidas (Grandezas e Medidas)
128
129
Módulo 11: Tratamento da Informação
Capítulo 15: Tratamento da Informação
161
162
Conclusão 171
Respostas dos Exercícios (Vamos Fazer!) 173
5

6

PREFÁCIO
omo o tema e o foco desta apostila, em formato de e-book, visa, tão somente, à preparação
para a aprovação dos alunos no concurso de admissão ao 6º ano dos Colégios Militares
como, os números e as suas fórmulas, uma vez que esses estarão descritos no corpo desta
apostila; mas, sim, irei escrever sobre essas instituições educacionais que é o objetivo e os sonhos
das meninas e meninos que buscam um ensino de qualidade.
Dessa forma, escrever ou falar sobre os Colégios Militares é muito fácil, porque eu tive a
grata honra e satisfação de fazer parte da família garança dos Colégios Militares, uma vez que
estudei em um – o Colégio Militar de Porto Alegre (CMPA), também conhecido como: “O
Casarão da Várzea” –, onde completei o ensino médio.
Formei-me em 1979, na Turma Plácido de Castro, a qual é considerada uma das maiores
turmas de formação do CMPA – com cinco “G”, como eram chamadas as turmas da 3ª série do
ensino médio, na época –; após a formação segui na carreira militar e hoje estou na reserva
(aposentado) do Exército Brasileiro.
No ano de 2009, a minha turma completou 30 anos e foi realizada uma grande festa, no
CMPA, onde compareceram muitos colegas, até, mesmo, do exterior, para confraternizar com os
demais colegas e com os nossos familiares. Realmente, foi muito legal rever os colegas, alguns os
quais eu não os viam há 30 anos. Devido ao laço de amizade que foi consolidado, durante os anos
de estudos no CMPA, a minha turma, ainda, mantém uma tradição de se reunir todas as últimas
quintas-feiras, de cada mês, em um bar, aqui em Porto Alegre.
Estudar no CMPA se tornou uma tradição na minha família: eu me formei em 1979, a minha
filha, Roberta, se formou em 2011 e o meu filho, João Pedro, está cursando o 8º ano. Com absoluta
convicção posso dizer que as pessoas mais inteligentes que eu conheci frequentaram os bancos
escolares do CMPA. E, hoje, são profissionais bem-sucedidos nas mais variadas áreas do
conhecimento.
Os Colégios Militares, que estão presentes em várias partes do Brasil, se tornaram
destaques nos meios de comunicação pelos excelentes resultados que seus alunos vêm
conquistando, em vários anos, no Exame Nacional do Ensino Médio (Enem) – que é uma prova
elaborada pelo Ministério da Educação para verificar o domínio de competências e habilidades
dos estudantes que concluíram o ensino médio.
No Brasil existem treze Colégios Militares – distribuídos pelas seguintes cidades: Porto
Alegre (CMPA), Santa Maria (CMSM), Curitiba (CMC), Belo Horizonte (CMBH), Brasília (CMB),
Campo Grande (CMCG), Rio de Janeiro (CMRJ), Juiz de Fora (CMJF), Manaus (CMM), Fortaleza
(CMF), Recife (CMR), Salvador (CMS) e Belém (CMBEL), o caçulinha que foi inaugurado no dia 12
de janeiro, deste ano –, que são vinculados ao Comando do Exército Brasileiro e que fazem parte
do Sistema Colégio Militar do Brasil (SCMB), que tem por objetivo promover a Educação Básica
– Ensino Fundamental: 6º ao 9º anos e Médio: 1ª à 3ª séries –.
O corpo discente dos Colégios Militares é formado por dependentes de militares e por
alunos que prestaram o concurso público. Esses concursos são realizados, anualmente, para o 6º
ano do ensino fundamental e para a 1ª série do ensino médio.
Esses estabelecimentos de ensinos regidos pela hierarquia e a disciplina militar – que
são as bases das instituições públicas federais, como as Forças Armadas, conforme dispõe a
C(CM), neste prefácio, não irei escrever sobre matemática e as suas particularidades, tais
7

Constituição Federal – proporcionam aos alunos aquilo que se espera de uma escola: formar
alunos competentes para enfrentar os desafios da educação, tais como, o próprio Enem ou
vestibular e ingressar em uma graduação.
Assim, com muito estudo, disciplina e hierarquia o ensino nos Colégios Militares,
administrados pelos militares, está entre os melhores do país. O Instituto Nacional de Matemática
Pura e Aplicada (IMPA), que organiza à Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas
(OBMEP), por meio de seus representantes, afirmou que um modelo de ensino que vem dando
certo no país é o dos Colégios Militares em todo o Brasil, de onde já saíram 92 medalhistas de
ouro na competição.
E, para encerrar deixo o depoimento de Yasmim Böhm Lewis Esswein – a “pequena” grande
campeã do Quadro Soletrando, do Programa do Caldeirão do Huck, da Rede Globo, que projetou o
CMPA no ano de seu centenário (2012). Formada, no ano passado, na Turma 70 Anos da Vitória
da FEB – uma belíssima e justa homenagem aos nossos heróis que lutaram na Itália contra o
nazismo de Hitler, inclusive o meu falecido pai, João Pedro Ortiz Batista, participou das operações
de guerra da FEB, no longínquo continente europeu –, com estas belas palavras, no dia seguinte
da sua formatura:
“A emoção é tanta que tudo que consigo pensar no momento é que meu nome
(milagrosamente escrito todo certo!) repousa em uma das placas nas arcadas do Velho Casarão,
carregando 7 lindos anos da minha história. Obrigada, CMPA, imensamente. Foste mais do que
uma etapa, pois te tornas parte de mim agora que deixo teus portões como ex-aluna.”
AUTOR
8

9

proposta desta apostila, em formato de e-book, é complementar os estudos dos candidatos
ao concurso para a aprovação na admissão e ingresso nos Colégios Militares – que são
considerados modelos de educação para os demais colégios do Brasil.
No entanto, antes de citar os conteúdos dessa apostila, considero de bom alvitre tecer
alguns comentários sobre a importância da Tríade da Matemática: GEP – gostar, entender e
praticar.
Bem, a tríade nada mais é do que os três pilares que eu considero como extremamente
importantes para a compreensão e o aprendizado da disciplina de matemática, a qual é
representada pela sigla: GEP – que significa gostar, entender e praticar.
Dessa forma, baseado na tríade, o 1º passo: é você gostar do que faz – que é uma
condição “sine qua non” para que as pessoas se tornem bem-sucedidas naquilo que fazem. Por
isso, procure gostar de matemática que os resultados serão espetaculares.
O 2º passo: é você entender à matemática – procure entender os assuntos que são
ministrados em aula, não decore, tente entender, não fique com dúvidas, tire todas as dúvidas com
os professores, ainda, em sala de aula.
E, por fim, o 3º passo: é praticar à matemática – resolva todos os exercícios propostos,
comece pelos mais simples até chegar aos desafios, os exercícios mais difíceis; porque só se
aprende matemática praticando, ou seja, fazendo muitos exercícios.
Dito isso, nessa apostila, baseada em documento oficial dos assuntos do exame intelectual
para os candidatos ao 6º ano dos Colégios Militares, o método empregado para a realização dos
estudos está estruturado da seguinte forma: em 11 módulos – no qual estão inseridos 15 capítulos
– e, após cada capítulo, são propostos exercícios de modo a se testar a capacidade de
compreensão e memorização dos conteúdos pelos alunos.
Módulo 1: números naturais e sistema de numeração decimal; Módulo 2: operações com
números naturais e divisibilidade; Módulo 3: decomposição em fatores primos, MDC e MMC;
Módulo 4: números racionais absolutos; Módulo 5: operações com números racionais absolutos;
Módulo 6: números racionais decimais; Módulo 7: operações com números racionais decimais;
Módulo 8: introdução à porcentagem; Módulo 9: introdução à geometria (espaço e forma); Módulo
10: sistema de medidas (grandezas e medidas); e Módulo 11: tratamento da Informação.
Destaco, ainda, que os assuntos abordados nos módulos, dessa apostila, foram
meticulosamente selecionados, avaliados, organizados e aprovados pela professora de matemática
Maria Goreti Gonçalves Batista, com mais de 16 anos de experiência na profissão, já ministrou
aulas de reforço escolar para os alunos do Colégio Militar de Brasília, Colégio Sigma e o Colégio
Marista – em Brasília – e para os alunos do Colégio Militar de Porto Alegre, Colégio Farroupilha,
Colégio La Salle, Colégio Rosário, Colégio Bom Conselho, Colégio Leonardo da Vinci, Colégio
Marista Champagnat e outros – em Porto Alegre –.
Assim, ao finalizar essa introdução, deixo aqui o meu muito obrigado por você ter escolhido
essa apostila para os seus estudos. Boa sorte na sua preparação para os exames do concurso.
AUTOR
INTRODUÇÃO
A
10

11

CAPÍTULO 1: NÚMEROS NATURAIS
1.1 CONJUNTOS NUMÉRICOS
onjunto é a reunião de elementos que têm características em comum. Por exemplo: se
pegarmos a reunião dos alunos do 6° ano de um Colégio Militar, irá pertencer a esse
não pertencerá a esse conjunto.
Na matemática é estudado o conjunto dos números chamados de Conjuntos Numéricos. Esses
conjuntos são formados sempre por números. Existem cinco conjuntos numéricos: dos números
naturais, dos números inteiros, dos números racionais, dos números irracionais e dos números
reais. Que estão representados na figura abaixo:
Porém, visando seguir o programa para a prova de admissão ao 6º ano aos Colégios Militares,
serão estudados dois conjuntos: Conjunto dos Naturais e o Conjunto dos Racionais.
O primeiro conjunto numérico é o conjunto dos números naturais, os elementos que pertencem a
esse são:
N = {0, 1, 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11, ...}
O segundo conjunto numérico é o conjunto dos números inteiros. Conhecido como conjunto dos
números negativos e positivos mais o zero (zero foi considerado um número nulo no conjunto dos
inteiros, pois não seria nem positivo e nem negativo).
Z = {... , -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4, ... }
O terceiro conjunto numérico é o conjunto dos números racionais, esse conjunto é a junção do
conjunto dos naturais com os inteiros mais os números que podem ser escritos em forma de fração
(números decimais).
Q = { ... ; -5; ...; - 4,2; ... ; - 2; ... ; -1;...; 0; ...; 3,56; ...; 4; ... }
O quarto conjunto numérico é o conjunto dos números irracionais. Alguns números decimais não
podem ser escritos em forma de fração, por isso não pertencem ao conjunto dos racionais e, sim, a
um novo conjunto, que é chamado de irracional.
I = { ... ; 1,4142135623 ...; ... }, esse número representa a raiz quadrada do número 2.
Cconjunto somente os alunos do 6° ano, qualquer aluno de outro ano, que não seja do 6º ano,
12

O quinto conjunto numérico é o conjunto dos números reais. A junção do conjunto dos racionais
mais o conjunto dos irracionais formam o conjunto dos reais.
R = { Q + I }, o conjunto dos números reais (R) é soma dos números racionais com os irracionais.
1.2 CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS
Dentre os conjuntos numéricos se destaca o conjunto dos números naturais. Iniciando pelo zero e
acrescentando sempre uma unidade é obtida a sucessão dos números naturais.
Exemplo: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12...
Os números naturais formam um conjunto numérico denominado Conjunto dos Números Naturais,
que é indicado pela letra: IN.
Exemplo: IN = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12...}
Excluindo o zero do conjunto, é obtido o conjunto dos números naturais não nulos, representado
por IN* (onde se lê “IN asterisco”).
Exemplo: IN* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12...}
Ao observar a sucessão dos números naturais, pode-se verificar que:
1º. Todo número natural tem um sucessor, pois o conjunto dos números naturais é infinito. E o
sucessor de um número natural é o resultado da soma desse número com o número 1.
Exemplos: o sucessor de 0 é 1, pois 0 + 1 = 1; e
o sucessor de 10 é 11, pois 10 + 1 = 11.
De um modo geral, dado um número natural “n”, o seu sucessor é (n + 1).
2º. O zero, por ser o menor dos números naturais, não é sucessor de nenhum outro número
natural.
3º. Todo o número natural, com exceção do zero, tem um antecessor. Então, para obter o
antecessor de um número natural deve-se subtrair desse número uma unidade.
Atenção!
 O menor número dos naturais é zero.
 E o maior número dos naturais não
existe, porque os números naturais
são infinitos.
13

Exemplos: o antecessor de 20 é 19, pois 20 – 1 = 19; e
o antecessor de 54 é 53, pois 54 – 1 = 53.
De um modo geral, dado um número natural n (n ≠ 0), o seu antecessor é (n – 1).
4º. Na sucessão dos números naturais dois ou mais números em sequência são chamados de
números consecutivos.
Exemplos: 9 e 10 são números consecutivos;
15 e 17 são números ímpares e consecutivos; e
28, 30 e 32 são números pares e consecutivos.
5º. Pode-se representar o conjunto dos números naturais numa reta (representação geométrica) do
seguinte modo:
Assim, a reta numerada, acima, nos permite afirmar que:
 Um número é maior que ( > ) outro quando vem à direita deste.
Exemplo: 6 > 5 ( o número seis é maior que cinco, porque vem à direita do número cinco).
 Um número é menor que ( < ) outro quando vem à esquerda deste.
Exemplo: 2 < 6 ( o número dois é menor que seis, porque vem à esquerda do número
seis).
Atenção!
 Na reta numerada: seta para à direita indica
que os números aumentam.
 E a seta para à esquerda indica que os
númerosdiminuem.
14

1.3 NÚMERO DE ELEMENTOS DE UM SUBCONJUNTO DE IN
Considere o conjunto: A = { x ϵ IN / 3 ≤ x ≤ 8}. Esse conjunto é formado pelos números
naturais de 3 até 8. Quantos elementos possui esse conjunto?
Para responder a essa pergunta, dois métodos podem ser utilizados:
1º método: contando os elementos.
Exemplo: A = { 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 }
Contagem: se os números de 3 até 8 forem contados, A = { 3 ... 8 }, chega-se ao valor de
6. Logo, n(A) = 6. Porque o conjunto A contêm 6 elementos (ou seja, seis números que
são o 3, 4, 5, 6, 7 e 8).
Porém, esse método é inadequado no caso de conjuntos com grande quantidade de elementos.
2º método: subtrai-se do maior número da sequência o menor número e acrescenta-se uma
unidade. Assim, no caso do conjunto A = { 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 }, aplica-se a fórmula: n(A) =
(8 – 3) + 1 = 6, onde 8 é o maior número e 3 o menor.
E foi adicionada uma unidade (+1) para compensar o fato de que na subtração (8 – 3) o número
3 foi eliminado da contagem, porque se não for acrescentado (+1) o resultado seria: (8 – 3) =
5. Valor que não é verdadeiro, porque o conjunto A contêm 6 elementos e não5.
Considere, agora, o conjunto: B = { x ϵ IN / 7 < x < 17}. Esse conjunto é formado pelos
números naturais situados entre 7 e 17. Quantos elementos possui esse conjunto?
Para responder a essa pergunta, dois métodos podem ser utilizados:
1º método: contando os elementos.
Exemplo: B = { 8 , 9 , 10 , 11 , 12 , 13, 14, 15, 16 }, porque são esses os números
entre 7 e 17.
Contagem: se os números entre 7 e 17 forem contados, B = { 8 ... 16 }, chega-se ao valor
de 9. Logo, n(B) = 9. Porque o conjunto B contêm 9 elementos (ou seja, nove
números que são o 8, 9, 10, 11, 12, 13,14,15 e 16).
Porém, como já foi dito no exemplo do conjunto anterior, esse método é inadequado no caso de
conjuntos com grande quantidade de elementos.
2º método: subtrai-se do maior número da sequência o menor número e retira-se uma unidade.
Assim, no caso do conjunto B = { x ϵ IN / 7 < x < 17}, aplica-se a fórmula: n(B) = (17 –
7) – 1 = 9, onde 17 é o maior número e 7 omenor.
15

E foi retirada uma unidade (– 1) para compensar o fato de que na subtração (17 – 7) o número
17 foi incluído na contagem, porque se não for retirado (–1) o resultado seria: (17 – 7) = 10.
Valor que não é verdadeiro, porque o conjunto B contêm 9 elementos e não 10.
Outros exemplos:
1º Quantos números existem de 68 até200?
Solução: (200 – 68) + 1 = 133
2º Quantos são os números existentes entre 85 e 302?
Solução: (302 – 85) – 1 = 21
3º Para que você possa escrever os números de 1 até 250, quantos algarismos são necessários?
Solução: observe que na sequência 1, 2, 3, ... 250, temos:
Números com somente um algarismo: 1, 2, 3, ...9.
Números com dois algarismos:10, 11, 12, ... 99.
Números com três algarismos: 100, 101, 102, ... 250.
Acompanhe, abaixo, no quadro resumo, a quantidade de números e algarismos existentes
na contagem de 1 até250:
Quantidade de números Quantidade de algarismos
De 1 a 9 ( 9 – 1 ) + 1 = 9 9 . 1 = 9
De 10 a 99 ( 99 – 10 ) + 1 = 90 90 . 2 = 180
De 100 a 250 ( 250 – 100 ) + 1 = 151 151 .3 = 453
Total 9 + 90 + 151 = 250 9 + 180 + 453 = 642
16

Assim, são necessários 250 números e 642 algarismos para escrever de 1 até 250.
ATENÇÃO! É muito importante saber a diferença entre número e algarismo:
Número: representa a quantidade referente à contagem ou os elementos de determinado
conjunto.
Algarismo: são os símbolos numéricos utilizados para expressar qualquer número. O sistema
de numeração decimal possui dez algarismos principais, que são: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Com
esses algarismos, é possível escrever qualquer número.
Exemplos: 1 é um número e é formado por um algarismo;
12 é um número e possui dois algarismos: 1 e 2; e
245 é um número e possui três algarismos: 2, 4 e 5; e assim,sucessivamente.
1.4 EXERCÍCIOS: VAMOS FAZER!
1. Responda o que se pede:
a) o sucessor de 30? c) o antecedente de 77? e) o consecutivo ímpar de 269?
b) o sucessor de 1.400? d) o antecessor de 308? f) o consecutivo par de 362?
2. Quantos números existem de 20 até 40?
3. Quantos números existem entre 40 e 58?
Atenção!
 Em um conjunto quando os números forem de
um valor até outro valor: se soma + 1.
 Em um conjunto quando os números forem entre
um valor e outro valor: se subtrai –1.
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