1) O documento descreve a formulação de modelos unidimensionais de ordem superior para análise estrutural de vigas de parede fina. 2) Foram desenvolvidos modelos para análise de vigas considerando distorção da seção, seção deformável ou rígida e geometria arbitrária, assim como para vigas de seção compacta. 3) O trabalho inclui aplicações dos modelos e aponta tópicos futuros de desenvolvimento.

1. Motiva¸˜o
ca Formula¸˜o
ca Modos de deforma¸˜o
ca Exemplo 2D Exemplo 3D Trabalho por desenvolver
Higher Order Thin-Walled Beam Models
Ricardo Vieira
ICIST, DECivil - Departmento de Engenharia Civil e Arquitectura
Instituto Superior T´cnico
e
Semin´rio de Doutoramento
a
Orientadores: Prof. Francisco Virtuoso e Prof. Eduardo Pereira
Semin´rio Doutoramento
a IST, DECivil - Higher Order Thin-Walled Beam Models

2. Motiva¸˜o
ca Formula¸˜o
ca Modos de deforma¸˜o
ca Exemplo 2D Exemplo 3D Trabalho por desenvolver
Higher Order Thin-Walled Beam Models
Motiva¸˜o e enquadramento do tema;
ca
1
Sintese do trabalho desenvolvido e em desenvolvimento;
2
Formula¸˜o de modelos unidimensionais de ordem superior,
ca
An´lise da sec¸˜o, desacoplamento dos modos da solu¸˜o;
a ca ca
An´lise longitudinal, desenvolvimento do elemento finito.
a
Modelos desenvolvidos;
An´lise vigas de parede fina - a distor¸˜o ´ considerada,
a ca e
sec¸˜o transversalmente deform´vel ou indeform´vel, sec¸˜o
ca a a ca
de geometria arbitr´ria, (abertas, fechadas e ramificadas);
a
An´lise de vigas de sec¸˜o compacta.
a ca
Aplica¸˜es dos modelos propostos;
co
Trabalho por desenvolver.
3
Semin´rio Doutoramento
a IST, DECivil - Higher Order Thin-Walled Beam Models

3. Motiva¸˜o
ca Formula¸˜o
ca Modos de deforma¸˜o
ca Exemplo 2D Exemplo 3D Trabalho por desenvolver
Higher Order Thin-Walled Beam Models
Motiva¸˜o e enquadramento do tema;
ca
1
Sintese do trabalho desenvolvido e em desenvolvimento;
2
Formula¸˜o de modelos unidimensionais de ordem superior,
ca
An´lise da sec¸˜o, desacoplamento dos modos da solu¸˜o;
a ca ca
An´lise longitudinal, desenvolvimento do elemento finito.
a
Modelos desenvolvidos;
An´lise vigas de parede fina - a distor¸˜o ´ considerada,
a ca e
sec¸˜o transversalmente deform´vel ou indeform´vel, sec¸˜o
ca a a ca
de geometria arbitr´ria, (abertas, fechadas e ramificadas);
a
An´lise de vigas de sec¸˜o compacta.
a ca
Aplica¸˜es dos modelos propostos;
co
Trabalho por desenvolver.
3
Semin´rio Doutoramento
a IST, DECivil - Higher Order Thin-Walled Beam Models

4. Motiva¸˜o
ca Formula¸˜o
ca Modos de deforma¸˜o
ca Exemplo 2D Exemplo 3D Trabalho por desenvolver
Higher Order Thin-Walled Beam Models
Motiva¸˜o e enquadramento do tema;
ca
1
Sintese do trabalho desenvolvido e em desenvolvimento;
2
Formula¸˜o de modelos unidimensionais de ordem superior,
ca
An´lise da sec¸˜o, desacoplamento dos modos da solu¸˜o;
a ca ca
An´lise longitudinal, desenvolvimento do elemento finito.
a
Modelos desenvolvidos;
An´lise vigas de parede fina - a distor¸˜o ´ considerada,
a ca e
sec¸˜o transversalmente deform´vel ou indeform´vel, sec¸˜o
ca a a ca
de geometria arbitr´ria, (abertas, fechadas e ramificadas);
a
An´lise de vigas de sec¸˜o compacta.
a ca
Aplica¸˜es dos modelos propostos;
co
Trabalho por desenvolver.
3
Semin´rio Doutoramento
a IST, DECivil - Higher Order Thin-Walled Beam Models

5. Motiva¸˜o
ca Formula¸˜o
ca Modos de deforma¸˜o
ca Exemplo 2D Exemplo 3D Trabalho por desenvolver
Higher Order Thin-Walled Beam Models
Motiva¸˜o e enquadramento do tema;
ca
1
Sintese do trabalho desenvolvido e em desenvolvimento;
2
Formula¸˜o de modelos unidimensionais de ordem superior,
ca
An´lise da sec¸˜o, desacoplamento dos modos da solu¸˜o;
a ca ca
An´lise longitudinal, desenvolvimento do elemento finito.
a
Modelos desenvolvidos;
An´lise vigas de parede fina - a distor¸˜o ´ considerada,
a ca e
sec¸˜o transversalmente deform´vel ou indeform´vel, sec¸˜o
ca a a ca
de geometria arbitr´ria, (abertas, fechadas e ramificadas);
a
An´lise de vigas de sec¸˜o compacta.
a ca
Aplica¸˜es dos modelos propostos;
co
Trabalho por desenvolver.
3
Semin´rio Doutoramento
a IST, DECivil - Higher Order Thin-Walled Beam Models

6. Motiva¸˜o
ca Formula¸˜o
ca Modos de deforma¸˜o
ca Exemplo 2D Exemplo 3D Trabalho por desenvolver
Higher Order Thin-Walled Beam Models
Motiva¸˜o e enquadramento do tema;
ca
1
Sintese do trabalho desenvolvido e em desenvolvimento;
2
Formula¸˜o de modelos unidimensionais de ordem superior,
ca
An´lise da sec¸˜o, desacoplamento dos modos da solu¸˜o;
a ca ca
An´lise longitudinal, desenvolvimento do elemento finito.
a
Modelos desenvolvidos;
An´lise vigas de parede fina - a distor¸˜o ´ considerada,
a ca e
sec¸˜o transversalmente deform´vel ou indeform´vel, sec¸˜o
ca a a ca
de geometria arbitr´ria, (abertas, fechadas e ramificadas);
a
An´lise de vigas de sec¸˜o compacta.
a ca
Aplica¸˜es dos modelos propostos;
co
Trabalho por desenvolver.
3
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a IST, DECivil - Higher Order Thin-Walled Beam Models

7. Motiva¸˜o
ca Formula¸˜o
ca Modos de deforma¸˜o
ca Exemplo 2D Exemplo 3D Trabalho por desenvolver
Higher Order Thin-Walled Beam Models
Motiva¸˜o e enquadramento do tema;
ca
1
Sintese do trabalho desenvolvido e em desenvolvimento;
2
Formula¸˜o de modelos unidimensionais de ordem superior,
ca
An´lise da sec¸˜o, desacoplamento dos modos da solu¸˜o;
a ca ca
An´lise longitudinal, desenvolvimento do elemento finito.
a
Modelos desenvolvidos;
An´lise vigas de parede fina - a distor¸˜o ´ considerada,
a ca e
sec¸˜o transversalmente deform´vel ou indeform´vel, sec¸˜o
ca a a ca
de geometria arbitr´ria, (abertas, fechadas e ramificadas);
a
An´lise de vigas de sec¸˜o compacta.
a ca
Aplica¸˜es dos modelos propostos;
co
Trabalho por desenvolver.
3
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a IST, DECivil - Higher Order Thin-Walled Beam Models

8. Motiva¸˜o
ca Formula¸˜o
ca Modos de deforma¸˜o
ca Exemplo 2D Exemplo 3D Trabalho por desenvolver
Modelos unidimensionais de pe¸as prism´ticas (Modelos de viga)
c a
Simplicidade na an´lise e na interpreta¸˜o do comportamento
a ca
1
estrutural;
Redu¸˜o das equa¸˜es fundamentais de elasticidade de 3-D
ca co
2
para 1-D,
Teoria t´cnica de vigas - hip´teses admitidas “ab initio”
e o
(experimentalmente validadas e de conhecimento emp´ ırico);
An´lise assimpt´tica adoptando como perturba¸˜o grandeza
a o ca
f´
ısica ou geom´trica adequada;
e
M´todos de projec¸˜o do campo de deslocamentos.
e ca
Perda de exactid˜o relativamente a formula¸oes 3-D
a c˜
3
dependente das hip´teses admitidas, do tipo de sec¸˜o e de
o ca
an´lise estrutural pretendida;
a
Enriquecimento de formula¸˜o refinando a aproxima¸˜o do
ca ca
4
campo de deslocamentos.
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a IST, DECivil - Higher Order Thin-Walled Beam Models

9. Motiva¸˜o
ca Formula¸˜o
ca Modos de deforma¸˜o
ca Exemplo 2D Exemplo 3D Trabalho por desenvolver
Modelos unidimensionais de pe¸as prism´ticas (Modelos de viga)
c a
Simplicidade na an´lise e na interpreta¸˜o do comportamento
a ca
1
estrutural;
Redu¸˜o das equa¸˜es fundamentais de elasticidade de 3-D
ca co
2
para 1-D,
Teoria t´cnica de vigas - hip´teses admitidas “ab initio”
e o
(experimentalmente validadas e de conhecimento emp´ ırico);
An´lise assimpt´tica adoptando como perturba¸˜o grandeza
a o ca
f´
ısica ou geom´trica adequada;
e
M´todos de projec¸˜o do campo de deslocamentos.
e ca
Perda de exactid˜o relativamente a formula¸oes 3-D
a c˜
3
dependente das hip´teses admitidas, do tipo de sec¸˜o e de
o ca
an´lise estrutural pretendida;
a
Enriquecimento de formula¸˜o refinando a aproxima¸˜o do
ca ca
4
campo de deslocamentos.
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a IST, DECivil - Higher Order Thin-Walled Beam Models

10. Motiva¸˜o
ca Formula¸˜o
ca Modos de deforma¸˜o
ca Exemplo 2D Exemplo 3D Trabalho por desenvolver
Modelos unidimensionais de pe¸as prism´ticas (Modelos de viga)
c a
Simplicidade na an´lise e na interpreta¸˜o do comportamento
a ca
1
estrutural;
Redu¸˜o das equa¸˜es fundamentais de elasticidade de 3-D
ca co
2
para 1-D,
Teoria t´cnica de vigas - hip´teses admitidas “ab initio”
e o
(experimentalmente validadas e de conhecimento emp´ ırico);
An´lise assimpt´tica adoptando como perturba¸˜o grandeza
a o ca
f´
ısica ou geom´trica adequada;
e
M´todos de projec¸˜o do campo de deslocamentos.
e ca
Perda de exactid˜o relativamente a formula¸oes 3-D
a c˜
3
dependente das hip´teses admitidas, do tipo de sec¸˜o e de
o ca
an´lise estrutural pretendida;
a
Enriquecimento de formula¸˜o refinando a aproxima¸˜o do
ca ca
4
campo de deslocamentos.
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a IST, DECivil - Higher Order Thin-Walled Beam Models

11. Motiva¸˜o
ca Formula¸˜o
ca Modos de deforma¸˜o
ca Exemplo 2D Exemplo 3D Trabalho por desenvolver
Modelos unidimensionais de pe¸as prism´ticas (Modelos de viga)
c a
Simplicidade na an´lise e na interpreta¸˜o do comportamento
a ca
1
estrutural;
Redu¸˜o das equa¸˜es fundamentais de elasticidade de 3-D
ca co
2
para 1-D,
Teoria t´cnica de vigas - hip´teses admitidas “ab initio”
e o
(experimentalmente validadas e de conhecimento emp´ ırico);
An´lise assimpt´tica adoptando como perturba¸˜o grandeza
a o ca
f´
ısica ou geom´trica adequada;
e
M´todos de projec¸˜o do campo de deslocamentos.
e ca
Perda de exactid˜o relativamente a formula¸oes 3-D
a c˜
3
dependente das hip´teses admitidas, do tipo de sec¸˜o e de
o ca
an´lise estrutural pretendida;
a
Enriquecimento de formula¸˜o refinando a aproxima¸˜o do
ca ca
4
campo de deslocamentos.
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12. Motiva¸˜o
ca Formula¸˜o
ca Modos de deforma¸˜o
ca Exemplo 2D Exemplo 3D Trabalho por desenvolver
Modelos unidimensionais de pe¸as prism´ticas (Modelos de viga)
c a
Simplicidade na an´lise e na interpreta¸˜o do comportamento
a ca
1
estrutural;
Redu¸˜o das equa¸˜es fundamentais de elasticidade de 3-D
ca co
2
para 1-D,
Teoria t´cnica de vigas - hip´teses admitidas “ab initio”
e o
(experimentalmente validadas e de conhecimento emp´ ırico);
An´lise assimpt´tica adoptando como perturba¸˜o grandeza
a o ca
f´
ısica ou geom´trica adequada;
e
M´todos de projec¸˜o do campo de deslocamentos.
e ca
Perda de exactid˜o relativamente a formula¸oes 3-D
a c˜
3
dependente das hip´teses admitidas, do tipo de sec¸˜o e de
o ca
an´lise estrutural pretendida;
a
Enriquecimento de formula¸˜o refinando a aproxima¸˜o do
ca ca
4
campo de deslocamentos.
Semin´rio Doutoramento
a IST, DECivil - Higher Order Thin-Walled Beam Models

13. Motiva¸˜o
ca Formula¸˜o
ca Modos de deforma¸˜o
ca Exemplo 2D Exemplo 3D Trabalho por desenvolver
Modelos unidimensionais de pe¸as prism´ticas (Modelos de viga)
c a
Simplicidade na an´lise e na interpreta¸˜o do comportamento
a ca
1
estrutural;
Redu¸˜o das equa¸˜es fundamentais de elasticidade de 3-D
ca co
2
para 1-D,
Teoria t´cnica de vigas - hip´teses admitidas “ab initio”
e o
(experimentalmente validadas e de conhecimento emp´ ırico);
An´lise assimpt´tica adoptando como perturba¸˜o grandeza
a o ca
f´
ısica ou geom´trica adequada;
e
M´todos de projec¸˜o do campo de deslocamentos.
e ca
Perda de exactid˜o relativamente a formula¸oes 3-D
a c˜
3
dependente das hip´teses admitidas, do tipo de sec¸˜o e de
o ca
an´lise estrutural pretendida;
a
Enriquecimento de formula¸˜o refinando a aproxima¸˜o do
ca ca
4
campo de deslocamentos.
Semin´rio Doutoramento
a IST, DECivil - Higher Order Thin-Walled Beam Models

14. Motiva¸˜o
ca Formula¸˜o
ca Modos de deforma¸˜o
ca Exemplo 2D Exemplo 3D Trabalho por desenvolver
Modelos unidimensionais de pe¸as prism´ticas (Modelos de viga)
c a
Simplicidade na an´lise e na interpreta¸˜o do comportamento
a ca
1
estrutural;
Redu¸˜o das equa¸˜es fundamentais de elasticidade de 3-D
ca co
2
para 1-D,
Teoria t´cnica de vigas - hip´teses admitidas “ab initio”
e o
(experimentalmente validadas e de conhecimento emp´ ırico);
An´lise assimpt´tica adoptando como perturba¸˜o grandeza
a o ca
f´
ısica ou geom´trica adequada;
e
M´todos de projec¸˜o do campo de deslocamentos.
e ca
Perda de exactid˜o relativamente a formula¸oes 3-D
a c˜
3
dependente das hip´teses admitidas, do tipo de sec¸˜o e de
o ca
an´lise estrutural pretendida;
a
Enriquecimento de formula¸˜o refinando a aproxima¸˜o do
ca ca
4
campo de deslocamentos.
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15. Motiva¸˜o
ca Formula¸˜o
ca Modos de deforma¸˜o
ca Exemplo 2D Exemplo 3D Trabalho por desenvolver
Modelos 1-D de pe¸as lineares de parede fina
c
O comportamento de estruturas de parede fina enquanto vigas ´
e
complexo.
empenamento da sec¸˜o,
ca
1
tor¸˜o n˜o uniforme em vigas de sec¸˜o aberta ou fechada
ca a ca
com sec¸˜o deform´vel;
ca a
fen´meno de shear-lag.
o
deformabilidade por corte no plano do folheto m´dio;
e
2
deformabilidade transversal da sec¸˜o (flex˜o e distor¸˜o
ca a ca
3
global);
modos de encurvadura local;
4
efeito das cargas concentradas na direc¸˜o.
ca
5
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a IST, DECivil - Higher Order Thin-Walled Beam Models

16. Motiva¸˜o
ca Formula¸˜o
ca Modos de deforma¸˜o
ca Exemplo 2D Exemplo 3D Trabalho por desenvolver
Modelos 1-D de pe¸as lineares de parede fina
c
O comportamento de estruturas de parede fina enquanto vigas ´
e
complexo.
empenamento da sec¸˜o,
ca
1
tor¸˜o n˜o uniforme em vigas de sec¸˜o aberta ou fechada
ca a ca
com sec¸˜o deform´vel;
ca a
fen´meno de shear-lag.
o
deformabilidade por corte no plano do folheto m´dio;
e
2
deformabilidade transversal da sec¸˜o (flex˜o e distor¸˜o
ca a ca
3
global);
modos de encurvadura local;
4
efeito das cargas concentradas na direc¸˜o.
ca
5
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a IST, DECivil - Higher Order Thin-Walled Beam Models

17. Motiva¸˜o
ca Formula¸˜o
ca Modos de deforma¸˜o
ca Exemplo 2D Exemplo 3D Trabalho por desenvolver
Modelos 1-D de pe¸as lineares de parede fina
c
O comportamento de estruturas de parede fina enquanto vigas ´
e
complexo.
empenamento da sec¸˜o,
ca
1
tor¸˜o n˜o uniforme em vigas de sec¸˜o aberta ou fechada
ca a ca
com sec¸˜o deform´vel;
ca a
fen´meno de shear-lag.
o
deformabilidade por corte no plano do folheto m´dio;
e
2
deformabilidade transversal da sec¸˜o (flex˜o e distor¸˜o
ca a ca
3
global);
modos de encurvadura local;
4
efeito das cargas concentradas na direc¸˜o.
ca
5
Semin´rio Doutoramento
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18. Motiva¸˜o
ca Formula¸˜o
ca Modos de deforma¸˜o
ca Exemplo 2D Exemplo 3D Trabalho por desenvolver
Modelos 1-D de pe¸as lineares de parede fina
c
O comportamento de estruturas de parede fina enquanto vigas ´
e
complexo.
empenamento da sec¸˜o,
ca
1
tor¸˜o n˜o uniforme em vigas de sec¸˜o aberta ou fechada
ca a ca
com sec¸˜o deform´vel;
ca a
fen´meno de shear-lag.
o
deformabilidade por corte no plano do folheto m´dio;
e
2
deformabilidade transversal da sec¸˜o (flex˜o e distor¸˜o
ca a ca
3
global);
modos de encurvadura local;
4
efeito das cargas concentradas na direc¸˜o.
ca
5
Semin´rio Doutoramento
a IST, DECivil - Higher Order Thin-Walled Beam Models

19. Motiva¸˜o
ca Formula¸˜o
ca Modos de deforma¸˜o
ca Exemplo 2D Exemplo 3D Trabalho por desenvolver
Modelos 1-D de pe¸as lineares de parede fina
c
O comportamento de estruturas de parede fina enquanto vigas ´
e
complexo.
empenamento da sec¸˜o,
ca
1
tor¸˜o n˜o uniforme em vigas de sec¸˜o aberta ou fechada
ca a ca
com sec¸˜o deform´vel;
ca a
fen´meno de shear-lag.
o
deformabilidade por corte no plano do folheto m´dio;
e
2
deformabilidade transversal da sec¸˜o (flex˜o e distor¸˜o
ca a ca
3
global);
modos de encurvadura local;
4
efeito das cargas concentradas na direc¸˜o.
ca
5
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20. Motiva¸˜o
ca Formula¸˜o
ca Modos de deforma¸˜o
ca Exemplo 2D Exemplo 3D Trabalho por desenvolver
Modelos 1-D de pe¸as lineares de parede fina
c
O comportamento de estruturas de parede fina enquanto vigas ´
e
complexo.
empenamento da sec¸˜o,
ca
1
tor¸˜o n˜o uniforme em vigas de sec¸˜o aberta ou fechada
ca a ca
com sec¸˜o deform´vel;
ca a
fen´meno de shear-lag.
o
deformabilidade por corte no plano do folheto m´dio;
e
2
deformabilidade transversal da sec¸˜o (flex˜o e distor¸˜o
ca a ca
3
global);
modos de encurvadura local;
4
efeito das cargas concentradas na direc¸˜o.
ca
5
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21. Motiva¸˜o
ca Formula¸˜o
ca Modos de deforma¸˜o
ca Exemplo 2D Exemplo 3D Trabalho por desenvolver
Referenciais e nota¸˜o
ca
Referencial global (x, y, z);
1
Referencial local (x, s, n);
2
Deslocamentos no referencial local,
3
u(x, s, n), v(x, s, n), w(x, s, n)
y
s(v)
n(ω)
z
x(u)
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22. Motiva¸˜o
ca Formula¸˜o
ca Modos de deforma¸˜o
ca Exemplo 2D Exemplo 3D Trabalho por desenvolver
Teorias cl´ssicas - Contributos avulsos na primeira metade do
a
s´culo XX
e
Timoshenko1910
Wagner1926
Despreza distor¸˜o associada ao empenamento da sec¸˜o
ca ca
Umansky1939
Aplica¸˜o a sec¸˜es de perfil fechado
ca co
Empenamento da sec¸˜o atrav´s de fun¸˜o independente da
ca e ca
rota¸˜o
ca
Argyris1947
Tor¸˜o n˜o uniforme sec¸˜es fechadas;
ca a co
von Karman1946
Tor¸˜o de sec¸˜es fechadas multi-celulares;
ca co
Fl¨gge e Marguerre1948
u
Empenamento de vigas de parede fina com sec¸˜o aberta ou
ca
fechada.
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23. Motiva¸˜o
ca Formula¸˜o
ca Modos de deforma¸˜o
ca Exemplo 2D Exemplo 3D Trabalho por desenvolver
Adurorov1947 ,Panokvo1948 e Vorobiev1955
Consideram deformabilidade por corte em vigas de parede fina;
Benscoter1958
Tor¸˜o n˜o uniforme de sec¸˜es fechadas multi-celulares;
ca a co
Teoria de Vlassov1940,1968
despreza a deformabilidade por corte do folheto m´dio, ie. γxs = 0;
e
obt´m empenamento da sec¸˜o uω (x, s) = − θ (x)ω(s);
e ca
considera a flex˜o transversal atrav´s de modelo p´rtico articulado,
a e o
a compatibilidade dos n´s apenas se verifica para sec¸˜es de forma
o co
quadrada.
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24. Motiva¸˜o
ca Formula¸˜o
ca Modos de deforma¸˜o
ca Exemplo 2D Exemplo 3D Trabalho por desenvolver
Teoria t´cnica generalizada de vigas, Schardt1989
e
Teoria de Schardt1966−1989 ,TU - Darmstadt
admite hip´tese de Vlassov, ie. γxs = 0;
o
baseada numa discretiza¸˜o de deslocamentos axiais;
ca
considera o empenamento da sec¸˜o;
ca
considera a deformabilidade transversal atrav´s de
e
deslocamentos adicionais normais ` parede;
a
v´lida apenas para sec¸˜es abertas n˜o ramificadas;
a co a
Teoria de Sedlacek1968 , TU - Berlin
empenamentos de tor¸˜o e de distor¸˜o;
ca ca
v´lida para sec¸˜es abertas, fechadas e ramificadas.
a co
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25. Motiva¸˜o
ca Formula¸˜o
ca Modos de deforma¸˜o
ca Exemplo 2D Exemplo 3D Trabalho por desenvolver
Teoria t´cnica generalizada de vigas, Schardt1989
e
Teoria de Schardt1966−1989 ,TU - Darmstadt
admite hip´tese de Vlassov, ie. γxs = 0;
o
baseada numa discretiza¸˜o de deslocamentos axiais;
ca
considera o empenamento da sec¸˜o;
ca
considera a deformabilidade transversal atrav´s de
e
deslocamentos adicionais normais ` parede;
a
v´lida apenas para sec¸˜es abertas n˜o ramificadas;
a co a
Teoria de Sedlacek1968 , TU - Berlin
empenamentos de tor¸˜o e de distor¸˜o;
ca ca
v´lida para sec¸˜es abertas, fechadas e ramificadas.
a co
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26. Motiva¸˜o
ca Formula¸˜o
ca Modos de deforma¸˜o
ca Exemplo 2D Exemplo 3D Trabalho por desenvolver
Teoria t´cnica generalizada de vigas, Schardt1989
e
Teoria de Schardt1966−1989 ,TU - Darmstadt
admite hip´tese de Vlassov, ie. γxs = 0;
o
baseada numa discretiza¸˜o de deslocamentos axiais;
ca
considera o empenamento da sec¸˜o;
ca
considera a deformabilidade transversal atrav´s de
e
deslocamentos adicionais normais ` parede;
a
v´lida apenas para sec¸˜es abertas n˜o ramificadas;
a co a
Teoria de Sedlacek1968 , TU - Berlin
empenamentos de tor¸˜o e de distor¸˜o;
ca ca
v´lida para sec¸˜es abertas, fechadas e ramificadas.
a co
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27. Motiva¸˜o
ca Formula¸˜o
ca Modos de deforma¸˜o
ca Exemplo 2D Exemplo 3D Trabalho por desenvolver
Aplica¸˜o `s estruturas met´licas
ca a a
Hip´teses,
o
γxs = 0 e s = 0
γsn = 0 e γxn = 0
Aproxima¸˜o de deslocamentos axiais de membrana
ca
u(x, s) = φ(s) Va (x);
Deslocamentos tangenciais obtidos por
v(x, s) = ψ(s) Va (x) donde γxs = 0 ⇒ ψ(s) = φ,s .
Deslocamentos normais obtidos por
wa (x, s) = χa (s) Va (x) em que χa (s) ´ definida atrav´s
e e
de,
φ,s para garantir continuidade de deslocamentos dos n´s;
o
e da rigidez transversal da sec¸˜o de modo a garantir
ca
continuidade de rota¸˜es dos n´s.
co o
Campo de deslocamentos escrito apenas em termos de graus de
liberdade axiais. Schardt- Cap´ 2
ıtulo
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28. Motiva¸˜o
ca Formula¸˜o
ca Modos de deforma¸˜o
ca Exemplo 2D Exemplo 3D Trabalho por desenvolver
Para considerar a flex˜o transversal da sec¸˜o, introduzem-se graus
a ca
de liberdade adicionais que correspondem a deslocamentos normais
`s paredes da sec¸˜o. Miosga1976
a ca
wn (x, s) = χn (s) Vn (x)
A equa¸˜o geral da GBT escrita em fun¸˜o do vector que agrupa
ca ca
as amplitudes das fun¸˜es de aproxima¸˜o adoptadas ´ escrita na
co ca e
forma
em que Vt = [Va (x), Vn (x)]
− G DV + BV = p
EC V
Os modos de deforma¸˜o s˜o obtidos atrav´s da resolu¸˜o de um
ca a e ca
problema linear de valores e vectores pr´prios,
o
(C − µB) q = 0 µ = 0 com multiplicidade alg´brica
e
α = 4, os quais representam os modos de extens˜o axial,
a
flex˜o e tor¸˜o.
a ca
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a IST, DECivil - Higher Order Thin-Walled Beam Models

29. Motiva¸˜o
ca Formula¸˜o
ca Modos de deforma¸˜o
ca Exemplo 2D Exemplo 3D Trabalho por desenvolver
Desenvolvimentos da GBT
TU Darmstadt
Saal1974
Miosga1976
Inclus˜o de graus de liberdade de flex˜o transversal (normais `
a a a
parede);
Desenvolvimento de an´lise geometricamente n˜o linear.
a a
M¨ller1982
o
Desenvolvimento para aplica¸˜o a sec¸oes fechadas e sec¸oes
ca c˜ c˜
ramificadas.
Heinz1994
Macro-elementos para a resolu¸˜o do sistema de equa¸oes
ca c˜
Couchon2001
Desenvolvimento para aplica¸˜o da GBT ` an´lise de lajes.
ca aa
Salford University, Leach1989
An´lise de estabilidade de perfis enformados a frio
a
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30. Motiva¸˜o
ca Formula¸˜o
ca Modos de deforma¸˜o
ca Exemplo 2D Exemplo 3D Trabalho por desenvolver
Desenvolvimentos da GBT em Portugal
IST, DECivil
Silvestre2005
Defini¸˜o de modos de corte;
ca
Defini¸˜o de modos de extens˜o transversal;
ca a
Aplica¸˜o a sec¸oes de materiais comp´sitos.
ca c˜ o
Gon¸alves2007
c
Inclui a formula¸˜o da GBT no contexto de uma teoria
ca
geometricamente n˜o linear (Simmo, Ritto);
a
Aplica¸˜o a sec¸oes arbitr´rias, M¨ller1982 ;
ca c˜ a o
Aplica¸˜o a an´lise fisicamente n˜o linear de pe¸as em
ca a a c
alum´ınio.
FCTUC Coimbra Sim˜o2005
a
Considera distor¸˜o do folheto m´dio sec¸˜o para sec¸˜es
ca e ca co
fechadas;
Define modos de extens˜o transversal;
a
Desenvolve an´lise de p´s-encurvadura.
a o
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31. Motiva¸˜o
ca Formula¸˜o
ca Modos de deforma¸˜o
ca Exemplo 2D Exemplo 3D Trabalho por desenvolver
Teoria de Sedlacek1968
V´lida para sec¸˜es abertas, sec¸˜es fechadas e sec¸˜es
a co co co
ramificadas.
Sec¸˜es abertas
co
Hip´teses, γxs = 0 e
o =0
s
Gradiente axial do deslocamento tangencial ´ dado por,
e
v (x, s) = Ψ(s) V (x)
Deslocamento axial ´ obtido a partir de,
e
Ω=−
u(x, s) = Ω V (x) em que Ψ(s) ds
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32. Motiva¸˜o
ca Formula¸˜o
ca Modos de deforma¸˜o
ca Exemplo 2D Exemplo 3D Trabalho por desenvolver
Sec¸˜es fechadas
co
Hip´teses,
o
SV ω
γxs = γxs por que γxs = 0 e =0
s
Gradiente axial do deslocamento tangencial ´ dado por,
e
v (x, s) = [Ψ(s) − Θ(s)] V (x)
Deslocamento axial ´ obtido a partir de,
e
Ω=−
u(x, s) = Ω V (x) em que Θ(s) ds
Equa¸˜o fundamental do modelo
ca
− G JV + LV = p
EF V
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33. Motiva¸˜o
ca Formula¸˜o
ca Modos de deforma¸˜o
ca Exemplo 2D Exemplo 3D Trabalho por desenvolver
Desacoplamento considera duas fases,
Desacoplamento do empenamento de distor¸˜o relativamente
ca
aos modos cl´ssicos;
a
(F − λ L)v = 0.
Desenvolvimentos e aplica¸˜es da teoria de Sedlacek1968
co
Maisel1974
1
Usuki1976
2
Hangang Li1994
3
Bogensperger2000
4
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34. Motiva¸˜o
ca Formula¸˜o
ca Modos de deforma¸˜o
ca Exemplo 2D Exemplo 3D Trabalho por desenvolver
Enquadramento - An´lise de tabuleiros de pontes
a
Analogia de viga em meio el´stico para a an´lise de distor¸˜o,
a a ca
Vlassov1941 , Knittel1965 , Wrigth1968 e Oliveira Pedro1994
despreza a distor¸˜o no folheto m´dio, γxs = 0, admite “medida”
ca e
de distor¸˜o generalizada da sec¸˜o, γd (x);
ca ca
define empenamento de distor¸˜o devido ` deforma¸˜o transversal
ca a ca
n˜o uniforme da sec¸˜o, uω d → γd (x);
a ca
tens˜es de empenamento σω d , → γd (x) implicam por equil´
o ıbrio a
existˆncia de tens˜es de corte τω d → γd (x);
e o
o gradiente longitudinal das tens˜es de corte, γd (x) induz
o
resistˆncia ao empenamento de distor¸˜o;
e ca
resistˆncia ` distor¸˜o por flex˜o transversal da sec¸˜o, κ γd .
e a ca a ca
EΓ γd + G κ γd = 0
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35. Motiva¸˜o
ca Formula¸˜o
ca Modos de deforma¸˜o
ca Exemplo 2D Exemplo 3D Trabalho por desenvolver
Enquadramento - An´lise de tabuleiros de pontes
a
Bazant1968,1974
Maisel1974,1980 Tem o m´rito de produzir uma extensa revis˜o da
e a
literatura sobre o assunto, divulgando ` comunidade cient´
a ıfica
M´todo de K¨llbrunner, empenamento de tor¸˜o n˜o uniforme;
e o ca a
M´todo de Sedlacek empenamento de distor¸˜o;
e ca
M´todo de Schmackpfeffer efeito de shear-lag;
e
Kristek1979 Considera deformabilidade da sec¸˜o em 2 passos
ca
Sec¸˜o r´
ca ıgida atrav´s de uma “escora” na diagonal;
e
Aplica¸˜o do esfor¸o da “escora” num modelo de p´rtico da
ca c o
sec¸˜o.
ca
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36. Motiva¸˜o
ca Formula¸˜o
ca Modos de deforma¸˜o
ca Exemplo 2D Exemplo 3D Trabalho por desenvolver
Enquadramento - An´lise de tabuleiros de pontes
a
Paavola1990
Virtuoso1991
An´lise de pontes curvas em caix˜o;
a a
Define coordenadas generalizadas associadas a deslocamentos
perpendiculares ao plano da sec¸ao e a deslocamentos no
c
plano da sec¸˜o;
ca
Considera shear-lag, empenamento de tor¸˜o e de distor¸˜o.
ca ca
Hangang Li1991
An´lise de pontes curvas em caix˜o;
a a
Considera m´todos propostos por Maisel.
e
Bogensperger2000
“M´todo dos empenamentos adicionais”
e
Considera a sec¸˜o r´
ca ıgida no seu pr´prio plano;
o
Processo de desacoplamento baseado em Sedlacek;
Aplica¸˜o a pontes com secc˜o de in´rcia vari´vel.
ca a e a
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37. Motiva¸˜o
ca Formula¸˜o
ca Modos de deforma¸˜o
ca Exemplo 2D Exemplo 3D Trabalho por desenvolver
Enquadramento - An´lise de p´s de helic´ptero
a a o
An´lise de p´s de helic´ptero
a a o
Giavotto1983 ;
Solu¸˜es centrais, solu¸˜es de extremidade
co co
Deslocamentos como soma de duas parcelas
parcela que n˜o “deforma” a sec¸˜o;
a ca
parcela que produz empenamento e distor¸˜o da sec¸˜o
ca ca
resolvida atrav´s de problema quadr´tico de valores e vectores
e a
pr´prios.
o
Bauchau1985 - Eigenwarpings;
Considera sec¸˜o r´
ca ıgida transversalmente;
= φ(s) F (x) γ = Γ(s) F(x)
F (x) − µ2 F(x) = 0
Hodges2002 M´todo variacional assimpt´tico - VABS.
e o
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38. Motiva¸˜o
ca Formula¸˜o
ca Modos de deforma¸˜o
ca Exemplo 2D Exemplo 3D Trabalho por desenvolver
Enquadramento - An´lise de sec¸˜es compactas
a co
Modelos 1-D de pe¸as lineares de sec¸˜o compacta
c ca
Vlassov1941 - An´lise de sec¸˜es sujeitas ` tor¸˜o, considera o
a co a ca
1
empenamento proporcional a uma fun¸˜o independente da
ca
rota¸˜o da sec¸˜o;
ca ca
Teorema de Toupin (3D), teorema de Knowles (2D)
2
Quantifica¸˜o do principio de Saint-Venant U ≤ U0 eλ x ;
ca
1968 - Determina¸˜o de factores de corte;
Cowper ca
3
Adopta deslocamento m´dio da sec¸˜o, solu¸˜es de Saint-Venant.
e ca co
Massonet1983 - Flex˜o n˜o uniforme;
aa
4
Ie e Kosmatka - Empenamento da sec¸˜o; ca
5
Empenamentos de 1a ordem, solu¸˜es de Saint-Venant.
co
Kazic - An´lise da tor¸˜o n˜o uniforme em sec¸˜es compactas;
a ca a co
6
EBR Pereira1994
7
Desenvolvimento em s´rie da aproxima¸˜o do campo de
e ca
deslocamentos na sec¸˜o;
ca
Considera distor¸˜o da sec¸˜o.
ca ca
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39. Motiva¸˜o
ca Formula¸˜o
ca Modos de deforma¸˜o
ca Exemplo 2D Exemplo 3D Trabalho por desenvolver
Caracter´
ısticas da formula¸˜o desenvolvida
ca
Formula¸˜o desenvolvida
ca
Na formula¸˜o desenvolvida os deslocamentos s˜o projectados na
ca a
sec¸˜o transversal, adoptando um conjuntos de fun¸˜es base
ca co
linearmente independentes em cada direc¸˜o do espa¸o.
ca c
ˆ
u(x, y, z) = B(y, z) u(x)
A formula¸˜o ´ gen´rica face ` flexibilidade adoptada para a
ca e e a
aproxima¸˜o do campo de deslocamentos, permitindo de forma
ca
natural considerar
A deformabilidade transversal da sec¸˜o (flex˜o e distor¸˜o
ca a ca
1
global);
A deforma¸˜o por corte da sec¸˜o;
ca ca
2
Sec¸˜o de geometria arbitr´ria (aberta, fechada, ramificada).
ca a
3
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40. Motiva¸˜o
ca Formula¸˜o
ca Modos de deforma¸˜o
ca Exemplo 2D Exemplo 3D Trabalho por desenvolver
Caracter´
ısticas da formula¸˜o desenvolvida
ca
Equa¸˜es de equil´
co ıbrio Condi¸˜es de compatibilidade
co
= D∗ u
Dσ + f = 0
Nσ = ˆ ˆ
uΓ = u
t
Rela¸˜o constitutiva
ca σ=C
DCD∗ u + f = 0
Equa¸˜o equl´
ca ıbrio, formula¸˜o forte
ca
M´todo dos res´
e ıduos pesados
t (D C D∗ B u + f ) dΩ = 0
ˆ
ΩB
D∗ = D∗ + D∗
Decomposi¸˜o do operador diferencial
ca x yz
Obten¸˜o da equa¸˜o diferencial de equl´
ca ca ıbrio definida em
termos das fun¸˜es de deslocamentos ao longo do eixo da
co
ˆ
pe¸a - u(x)
c
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41. Motiva¸˜o
ca Formula¸˜o
ca Modos de deforma¸˜o
ca Exemplo 2D Exemplo 3D Trabalho por desenvolver
Caracter´
ısticas da formula¸˜o desenvolvida
ca
Aplica¸˜o a vigas de parede fina, sec¸˜o transversal unidimensional
ca ca
- an´lise 2D
a
Sistema de Equa¸oes diferenciais de 2a ordem
c
K2 u + K1 u + K0 u + p = 0 em que u = [ˆ x , us ]t
¯ˆ
ˆ ˆ ˆ uˆ
ˆ ˆ
ux = φ ux e us = ψ us
φ e ψ definidas de forma independente;
Distor¸˜o do folheto m´dio e deformabilidade transversal
ca e
consideradas de forma natural;
Considera-se um estado plano de tens˜o.
a
K2 e K0 sim´tricas, positivas definidas, K1 anti-sim´trica;
e e
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42. Motiva¸˜o
ca Formula¸˜o
ca Modos de deforma¸˜o
ca Exemplo 2D Exemplo 3D Trabalho por desenvolver
Caracter´
ısticas da formula¸˜o desenvolvida
ca
Aplica¸˜o a vigas de parede fina, an´lise 3D - hip´tese de Kirchhoff
ca a o
Sistema de equa¸˜es diferenciais de 4a ordem
co
u = [ˆ x , us , un ]t
¯ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ uˆˆ
K4 u + K2 u + K1 u + K0 u + p = 0
ux = φ ux − n χˆ n us = ψ us − n χ,s un
ˆ ˆ ˆ ˆ
un = χ un u
χ, φ e ψ definidas de forma independente;
Considera a deformabilidade por corte do folheto m´dio.
e
K4 K2 K1 K0
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43. Motiva¸˜o
ca Formula¸˜o
ca Modos de deforma¸˜o
ca Exemplo 2D Exemplo 3D Trabalho por desenvolver
Caracter´
ısticas da formula¸˜o desenvolvida
ca
Aplica¸˜o a vigas de sec¸˜o compacta
ca ca
Sistema de equa¸˜es diferenciais de 2a ordem
co
K2 u + K1 u + K0 u + p = 0 u = [ˆ x , uy , uz ]t
¯ˆ
ˆ ˆ ˆ uˆˆ
ˆ ˆ ˆ
ux = ψ ux uy = φ uy uz = χ uz
ψ, φ e χ definidas de forma independente;
Consideradas todas as componentes de deforma¸˜o.
ca
K2 K1 K0
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44. Motiva¸˜o
ca Formula¸˜o
ca Modos de deforma¸˜o
ca Exemplo 2D Exemplo 3D Trabalho por desenvolver
An´lise da solu¸˜o homog´nea da equa¸˜o diferencial para a
a ca e ca
obten¸˜o de modos de deforma¸˜o
ca ca
Obten¸˜o de modos de deforma¸˜o com base na an´lise da solu¸˜o
ca ca a ca
homog´nea da equa¸˜o diferencial.
e ca
Da solu¸˜o geral, u = u0 eλ x obtˆm-se as seguintes equa¸˜es
ˆ ˆ
ca e co
alg´bricas,
e
ˆ
Q(λ) u0 = 0 Problema quadr´tico de valores pr´prios;
a o
ˆ
P(λ) u0 = 0 Problema qu´rtico de valores pr´prios;
a o
uma vez que eλ x > 0 e sendo Q(λ) e P(λ) as matrizes
polinomiais definidas por,
Q(λ) = K2 λ2 + K1 λ + K0
P(λ) = K4 λ4 + K2 λ2 + K1 λ + K0
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45. Motiva¸˜o
ca Formula¸˜o
ca Modos de deforma¸˜o
ca Exemplo 2D Exemplo 3D Trabalho por desenvolver
Modos de deforma¸˜o
ca
Obten¸˜o dos modos de deforma¸˜o
ca ca
Problema quadr´tico
a
1
An´lise 3D de vigas de parede fina;
a
Vigas de sec¸˜o compacta.
ca
Problema qu´rtico An´lise 3D de vigas de parede fina -
a a
2
formula¸˜o de Kirchhoff.
ca
Os vectores pr´prios caracterizam a forma dos modos na sec¸˜o
o ca
3
transversal;
Os valores pr´prios caracterizam o comportamento ao longo do eixo
o
4
da pe¸a.
c
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46. Motiva¸˜o
ca Formula¸˜o
ca Modos de deforma¸˜o
ca Exemplo 2D Exemplo 3D Trabalho por desenvolver
Formula¸˜o geral
ca
Caracter´
ısticas espectrais do problema
Pares de valores pr´prios reais, ±a (sim´tricos)
o e
Qu´druplos de valores pr´prios complexos, ±a ± b ı
a o
(sim´tricos e conjugados)
e
Valor pr´prio zero como raiz m´ltipla da equa¸˜o
o u ca
caracter´
ıstica;
An´lise 2D λ = 0 → α = 6;
a
An´lise 3D λ = 0 → α = 12.
a
O conjunto de vectores pr´prios n˜o ´ linearmente
o ae
independente, e.g. existem mais de 2 n vectores para um
problema com n graus de liberdade ;
Existem vectores pr´prios com componente complexas;
o
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47. Motiva¸˜o
ca Formula¸˜o
ca Modos de deforma¸˜o
ca Exemplo 2D Exemplo 3D Trabalho por desenvolver
Formula¸˜o geral
ca
Modos fundamentais
Correspondem a λ = 0, pelo que n˜o tˆm decaimento ao longo do
ae
eixo da pe¸a.
c
Definem-se com base nos vectores pr´prios determinados por:
o
K0 q = 0 i.e. q ∈ N (K0 ) | Dim N (K0 ) = β < α em que β
´ a multiplicidade geom´trica de K0
e e
C´lculo de cadeias de Jordan;
a
Solu¸˜es polinomiais da equa¸˜o diferencial;
co ca
x3 x2
u(x) = 3! u0 + 2! u1 + x u2 + u3
Os movimentos de corpo r´ ıgido da pe¸a;
c
Os modos de deforma¸˜o associados `: extens˜o axial, tor¸˜o
ca a a ca
uniforme, flex˜o circular, flex˜o simples;
a a
Determina¸˜o do centro el´stico (cg), do centro de tor¸˜o e
ca a ca
dos eixos principais de flex˜o atrav´s da ortogonaliza¸˜o dos
a e ca
modos.
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48. Motiva¸˜o
ca Formula¸˜o
ca Modos de deforma¸˜o
ca Exemplo 2D Exemplo 3D Trabalho por desenvolver
Formula¸˜o geral
ca
Modos de ordem superior
1 Os modos de ordem superior λ = 0 tˆm um comportamento
e
de decaimento, determinado por Re(λ), ao longo do eixo da
viga, podendo ter car´cter oscilat´rio, definido com base em
a o
Im(λ).
Modos superiores s˜o ortogonais entre si e em rela¸˜o aos
a ca
2
modos fundamentais numa m´trica que est´ associada ao
e a
problema n˜o linear de valores pr´prios.
a o
Viga em meio el´stico EI w(x) + k w(x) = p(x)
a
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49. Motiva¸˜o
ca Formula¸˜o
ca Modos de deforma¸˜o
ca Exemplo 2D Exemplo 3D Trabalho por desenvolver
Formula¸˜o geral
ca
Nova base para a aproxima¸˜o de deslocamentos na sec¸˜o
ca ca
Atrav´s do valor do decaimento identificam-se os modos de
e
1
ordem superior com maior significado;
Seleccionados os modos, adopta-se uma nova base para o
2
espa¸o das fun¸˜es de aproxima¸˜o na defini¸˜o das equa¸˜es
c co ca ca co
de equil´
ıbrio;
A mudan¸a de base dever´ ser isoespectral, de modo a
c a
3
garantir de que se reproduzem os modos seleccionados.
A nova base das fun¸˜es de aproxima¸˜o ´ obtida
co ca e
4
considerando uma transforma¸˜o linear
ca
No operador da transforma¸˜o T, as colunas representam a
ca
5
base do espa¸o vectorial dos modos solu¸˜o da equa¸˜o de
c ca ca
equil´
ıbrio.
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50. Motiva¸˜o
ca Formula¸˜o
ca Modos de deforma¸˜o
ca Exemplo 2D Exemplo 3D Trabalho por desenvolver
Formula¸˜o geral
ca
A aproxima¸˜o do campo de deslocamentos ´ efectuada de forma
ca e
independente em cada direc¸˜o do referencial adoptado, pelo que:
ca
·
Tx
T=
· Tyz
|T − λ I| = |Tx − λ Ix | |Tyz − λ Iyz | ⇒ Isoespectral
Tx base para os deslocamento axiais;
1
Tyz base para os deslocamento transversais.
2
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51. Motiva¸˜o
ca Formula¸˜o
ca Modos de deforma¸˜o
ca Exemplo 2D Exemplo 3D Trabalho por desenvolver
Formula¸˜o geral
ca
Desenvolvimento de um elemento finito
Dom´ınio Fronteira N s = tσ in Γσ
D K D∗ u(x) + p=0
ˆ ˆ ˆ
u = uu in Γu
Formula¸˜o elemento finito
ca
Aproxima¸˜o do campo de deslocamentos
ca
u(x) ∼ Ω(x)˜
ˆ q
=
M´todo dos res´
e ıduos pesados
ΩT (D K D∗ Ω q + p) dV = 0 ⇒ Kb q = Q0 + Q
˜ ˜
V
˜
q conjunto de inc´gnitas;
o
Ω matriz que agrupa as fun¸˜es de aproxima¸˜o ao longo do
co ca
eixo da pe¸a.
c
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52. Motiva¸˜o
ca Formula¸˜o
ca Modos de deforma¸˜o
ca Exemplo 2D Exemplo 3D Trabalho por desenvolver
Exemplo de aplica¸˜o - an´lise 2D
ca a
u(x, z) = Φ(z) u(x) em que u(x, z) = [ux , uz ]t
ˆ
ˆ
ϕ(z) 0 ux (x)
ˆ
Φ= u(x) =
ˆ
0 ψ(z) uz (x)
Viga de sec¸˜o transversalmente indeform´vel;
ca a
Discretiza¸˜o da sec¸˜o;
ca ca
Fun¸˜es de aproxima¸˜o, Lagrange lineares ou Hermite;
co ca
Determina¸˜o das matrizes globais, K0 , K1 e K2 .
ca
Resolu¸˜o do problema quadr´tico (K2 λ2 + K1 λ + K0 )q = 0
ca a
ϕ1 (z) ϕ2 (z) ϕ3 (z) ϕn (z) ψ(z)
˜
δx1 (x)
˜
ho δx2 (x)
o ˜
x δx3 (x)
z
˜
δz (x)
h
˜
δxn (x)
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53. Motiva¸˜o
ca Formula¸˜o
ca Modos de deforma¸˜o
ca Exemplo 2D Exemplo 3D Trabalho por desenvolver
Primeiro modo de ordem superior
3
2.5
2
Cross section height
Lagrange functions, 3 elements
Hermite functions, 1 element
1.5
Hermite functions, 3 elements
1
0.5
0
−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1
Symmetric warping mode
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54. Motiva¸˜o
ca Formula¸˜o
ca Modos de deforma¸˜o
ca Exemplo 2D Exemplo 3D Trabalho por desenvolver
Segundo modo de ordem superior
3
2.5
Lagrange functions, 3 elements
Hermite functions, 1 element
2
Cross section height
Hermite functions, 3 elements
1.5
1
0.5
0
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
Skew−symmetric warping mode
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55. Motiva¸˜o
ca Formula¸˜o
ca Modos de deforma¸˜o
ca Exemplo 2D Exemplo 3D Trabalho por desenvolver
Compara¸˜o dos modos obtidos
ca
Even axial stress comparison between models
4
3.5
3
Cross section height
2.5
2
Analytical solution
1.5
Hermite − 4 elements
Hermite − 1 element
1
Lagrange − 4 elements
0.5
0
−1 −0.5 0 0.5 1
Even stress distribution
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56. Motiva¸˜o
ca Formula¸˜o
ca Modos de deforma¸˜o
ca Exemplo 2D Exemplo 3D Trabalho por desenvolver
Exemplo de aplica¸˜o - sec¸˜o fechada transversalmente indeform´vel
ca ca a
Exemplo de aplica¸˜o - an´lise 3D
ca a
Aplica¸˜o ` an´lise de uma viga de parede fina de sec¸˜o fechada
ca a a ca
Deslocamentos axiais aproximados por fun¸˜es de Lagrange
co
quadr´ticas;
a
Deslocamentos transversais aproximados por fun¸˜es de
co
Hermite na direc¸˜o normal ` parede e por fun¸˜es de
ca a co
lagrange lineares na direc¸˜o tangencial;
ca
Considera-se a sec¸˜o discretizada em 4 elementos - 20 graus
ca
de liberdade;
Admite-se a sec¸˜o transversalmente indeform´vel - 11 graus
ca a
de liberdade.
Y
X
Z
t
s
n
H x
t
B
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a IST, DECivil - Higher Order Thin-Walled Beam Models

57. Motiva¸˜o
ca Formula¸˜o
ca Modos de deforma¸˜o
ca Exemplo 2D Exemplo 3D Trabalho por desenvolver
Exemplo de aplica¸˜o - sec¸˜o fechada transversalmente indeform´vel
ca ca a
Primeiro modo de ordem superior
1º Modo de empenamento
λ = 2.3
1
0.8
Altura H = 1.0 m
0.6
0.4
0.2
0
2
1.5 1
0.5
1
0
0.5 −0.5
Largura B = 2.0 m Eixo da viga
0 −1
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58. Motiva¸˜o
ca Formula¸˜o
ca Modos de deforma¸˜o
ca Exemplo 2D Exemplo 3D Trabalho por desenvolver
Exemplo de aplica¸˜o - sec¸˜o fechada transversalmente indeform´vel
ca ca a
Segundo modo de ordem superior
2º Modo de empenamento
λ = 2.8
1
0.8
Altura H = 1.0 m
0.6
0.4
0.2
0
2
1.5 0.6
0.4
1 0.2
0
0.5
−0.2
Largura B = 2.0 m Eixo da viga
0 −0.4
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59. Motiva¸˜o
ca Formula¸˜o
ca Modos de deforma¸˜o
ca Exemplo 2D Exemplo 3D Trabalho por desenvolver
Exemplo de aplica¸˜o - sec¸˜o fechada transversalmente indeform´vel
ca ca a
Terceiro modo de ordem superior
3º Modo de empenamento
λ = 3.5
1
0.8
Altura H = 1.0 m
0.6
0.4
0.2
0
2
1.5 1
0.5
1
0
0.5 −0.5
0 −1
Largura B = 2.0 m Eixo da viga
Semin´rio Doutoramento
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60. Motiva¸˜o
ca Formula¸˜o
ca Modos de deforma¸˜o
ca Exemplo 2D Exemplo 3D Trabalho por desenvolver
Exemplo de aplica¸˜o - sec¸˜o fechada transversalmente indeform´vel
ca ca a
Quarto modo de ordem superior
4º Modo de empenamento
λ = 7.0
1
0.8
Altura H = 1.0 m
0.6
0.4
0.2
0
2
1.5 1
0.5
1
0
0.5
Largura B = 2.0 m −0.5
Eixo da viga
0 −1
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