1. MODUL VII
BASIS DAN DIMENSI
1

2. 2
RUANG –N EUCLIDES
Ruang-n Euclides
Jika n sebuah bilangan bulat positif, maka n-pasangan bilangan berurut
adalah sebuah urutan n bilangan real (x1,x2,…,xn). Himpunan semua n-
pasangan bilangan berurut dinamakan ruang-n Eucides dan dinyatakan
dengan Rn.
Definisi. Misalkan u=[u1,u2,…,un]; v=[v1,v 2,…,vn] vektor di Rn.
 u = v jika hanya jika u1 = v1, u2 = v2,…, un = vn
 u + v = [u1 + v1, u2 + v2,…, un + vn ]
 ku = [ku1, ku2,…, kun]
 u•v = u1v1 + u2v2 + … + unvn
 |u| = (u•u)1/2 = 22
2
2
1 ... nuuu 

3. 3
Ruang Vektor
Misalkan V sembarang himpunan. V dikatakan sebagai ruang vektor,
bilamana aksioma-aksioma berikut dipenuhi :
(1) Jika u dan v vektor-vektor di V, maka u + v juga berada di V.
(2) u+v = v+u
(3) u+(v+w) = (u+v)+w
(4) Ada sebuah vektor 0 di V sehingga 0+u=u+0
(5) Untuk setiap u di V terdapat –u di V sehingga u+(-u) = -u+u =0
(6) Jika k skalar dan u di V, maka ku berada di V
(7) k(u+v) = ku + kv
(8) (k + l)u = ku + lu
(9) k(lu) = (kl)u
(10) 1u = u

4. 4
Kombinasi Linier
Sebuah vektor x dikatakan kombinasi linier dari vektor-vektor u1, u2,…, un
jika vektor tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk :
x = k1u1+ k2u2 +… + knun
dimana k1, k2,…,kn adalah skalar
Contoh :
Misalkan, u = [2,-1,3], v = [1,2,-2], apakah x = [8,1,5] kombinasi linier
dari u dan v.
Jawab
Perhatikan kombinasi linier x = k1u+k2v
[8,1,5] = k1[2,-1,3] + k2[1,2,-2]
Dari kesamaan vektor diperoleh
2k1 + k2 = 8
-k1 + 2k2 = 1
3k1 – 2k2 = 5
k1 = 3
k2 = 2












523
121
812









 
840
1050
121
x = 3u + 2v

5. 5
Membangun Ruang Vektor
Jika u1, u2,…,un adalah vektor-vektor pda ruang vektor V, dan jika setiap
vektor x pada V dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier u1, u2,…,un,
maka u1, u2,…,un dikatakan membangun ruang vektor V
Contoh :
Apakah, u=[1,2,-1], v=[-2,3,3], w=[1,1,2] membangun R3.
Jawab
Andaikan x=[x1,x2,x3] vektor di R3. Bentuk kombinasi linier,
x = k1u + k2v + k3w
[x1,x2,x3] = k1[1,2,-1] + k2[-2,3,3] + k3[1,1,2]
Dari kesamaan vektor dihasilkan sistem persamaan linier,
k1 – 2k2 + k3 = x1
2k1 + 3k2 + k3 = x2
–k1 + 3k2 + 2k3 = x3
22
231
132
121
det 











 u, v, w
membangun
R3.

6. 6
Kebebasan Linier
Andaikan S = {u1, u2,…,un} adalah himpunan vektor, S dikatakan bebas
linier bilamana kombinasi linier :
k1u1 + k2u2 + … + knun = 0
penyelesaiannya adalah trivial yakni k1 = 0, k2 = 0,…, kn = 0. Jika ada
penyelesaian lain (non trivial), maka S dikatakan tak bebas linier.
Contoh :
Himpunan vektor, S = {u1,u2,u3}, u1=[2,-1,3], u2=[1,2,-6], u3=[10,5,-15]
adalah vektor tak bebas linier, karena 3u1 + 4u2 = u3
Contoh :
Himpunan vektor, S = {u1,u2,u3}, dimana u1=[1,-1,2], u2=[-2,3,1],
u3=[2,1,3] adalah vektor bebas linier, k1u1 + k2u2 + k3u3 = 0, ekuivalen,
k1 – 2k2 + 2k3 = 0
–k1 + 3k2 + k3 = 0
2k1 + k2 + 3k3 = 0
18
312
131
221
det 












u1, u2, u3
bebas linier

7. 7
Basis
Andaikan V adalah sembarang ruang vektor dan S = {u1, u2,…,un} adalah
himpunan berhingga vektor-vektor pada V, S dikatakan basis untuk ruang
V jika :
 S bebas linier
 S membangun V
Dimensi
Sebuah ruang vektor dikatakan berdimensi berhingga, jika ruang vektor
V mengandung sebuah himpunan berhingga vektor S = {u1, u2,…,un}
yang membentuk basis. Dimensi sebuah ruang vektor V yang berdimensi
berhingga didefinisikan sebagai banyaknya vektor pada basis V.
Contoh :
Misalkan, B={i,j,k} dengan i=[1,0,0], j=[0,1,0], dan k=[0,0,1]. B adalah
basis baku untuk R3. Karena banyaknya vektor yang membentuk basis
B adalah 3, maka R3 berdimensi tiga.

8. 8
Contoh
Misalkan S = {u1, u2,u3} dimana u1=[1,2,2], u2=[2,1,2] dan u3=[1,3,3].
Apakah S basis untuk R3.
Jawab
Misalkan x=[x1,x2,x3] vektor di R3
, bentuk kombinasi linier :
k1u1 + k2u2 + k3u3 = x
k1 [1,2,1] + k2[2,1,2] + k3 [1,3,4] = [x1,x2,x3]
Dari kesamaan vektor dihasilkan sistem persamaan linier
k1 + 2k2 + k3 = x1
2k1 + k2 + 3k3 = x2
2k1 + 2k2 + 3k3 = x3
1
322
312
121



































3
2
1
3
2
1
322
110
543
x
x
x
k
k
k
Karena solusi SPL adalah tunggal, jadi S adalh basis untuk R3.

9. 9
Tugas Khusus
Selidikilah apakah ruang vektor S berikut ini bebas linier ? Jika
tidak bebas linier tentukan nilai konstantanya.
(1) u1=(a-1,a,b) u2=(a,a+1,b-1), u3=(a-3,a-2,b+2)
(2) u1=(a+1,a-1,b,b-1), u2=(a,a+2,b-2,b),
u3=(b+2,b-1,a,a+2), u4=(b+3,b-4,a+2,a-1)
Selidikilah apakah ruang vektor S berikut ini membentuk basis
(1) u1=(a,a+1,b), u2=(a-1,a,b-1) u3=(b,b-1,a+3)
(2) u1=(a-1,a,b+1,b), u2=(a,a+1,b-2,b+2),
u3=(b-2,b+1,a,a+2), u4=(b+2,b,a+2,a-2)

10. 10
Ruang Hasil Kali Dalam
Sebuah hasil kali dalam (inner product) pada ruang vektor riil V adalah
fungsi yang mengasosiasikan bilangan riil [u,v] dengan masing-masing
pasangan vektor u dan v pada V sedemikian rupa sehingga aksioma-
aksioma berikut ini :
 [u,v] = [v,u] (aksioma simetri)
 [u+v,w] = [u,w] + [v,w] (aksioma penambahan)
 [ku,v] = k[u,v] (aksioma kehomogenan)
 [u,u] ≥ 0 dan [u,u] = 0  u=0 (aksioma kepositifan)
Contoh :
Jika u = [u1,u2,…,un], dan v = [v1,v2,…,vn] adalah vektor-vektor pada Rn,
maka :
[u,v] = u•v = u1v1 + u2v2 + … + unvn
adalah hasil kali dalam pada ruang Euclides Rn. Dan u dan v dikatakan
ortogonal jika [u,v] = 0. Jika u ortogonal terhadap setiap vektor pada V,
maka u dikatakan ortogonal terhadap V.

11. 11
Basis Ortonormal
Sebuah himpunan vektor pada ruang hasil kali dalam dikatakan ortogonal
jika semua pasangan vektor-vektor yang berada dalam himpunan tersebut
ortogonal. Sebuah himpunan ortogonal yang setiap vektornya panjangnya
1 disebut ortonormal.
Contoh :
S={u1,u2,u3} dengan u1=[1,2,1], u2=[1,-1,1], dan u3=[1,0,-1]. Himpunan S
adalah ortogonal pada R3, karena [u1,u2]=[u1,u3]=[u2,u3]=0
Catatan :
 Jika S = {u1, u2,…,un} adalah adalah basis ortonormal untuk sebuah
ruang hasil kali dalam V, dan jika x sembarang vektor di V, maka :
x = [x,u1]u1 + [x,u2]u2 + … + [x,un]un
 Misalkan V ruang hasil kali dalam dan {u1,u2,…,un} himpunan ortonormal
Jika W ruang yang dibangun oleh u1,u2,…,un maka setiap vektor x dalam
V dapat dinyatakan dengan : x = v + w dimana :
v = [v,u1]u1 + [v,u2]u2 + … + [v,un]un

12. 12
Proses Gram-Schmidt
Setiap ruang hasil kali dalam berdimensi berhingga taknol, mempunyai
sebuah basis ortonormal.
Langkah 1. Ambil, v1 = u1/|u1|
Langkah 2. Hitung, v2 , dengan rumus :
Misalkan S={u1,u2,…,un} basis untuk ruang hasil kali dalam V, algoritma
untuk menentukan ortonormal B={v1,v2,…,vn} untuk V adalah :
|vvuu|
vvuu
v
1122
1122
2
],[
],[



Langkah 3. Hitung, v3 , dengan rumus :
|vvuvvuu|
vvuvvuu
v
2231133
2231133
3
],[],[
],[],[



Langkah 4. Hitung, vk , dengan rumus :
|vvuvvuvvuu|
vvuvvuvvuu
v
112211
112211
],[...],[],[
],[...],[],[





kkkkkk
kkkkkk
k

13. 13
Contoh :
Misalkan S={u1,u2,u3} basis untuk R3, dengan u1=[1,0,1], u2=[1,1,-1], dan
u3=[-2,1,2]. Carilah basis ortonormal B={v1,v2,v3} untuk R3.
Jawab
Langkah 1. Ambil :





2
1
,0,
2
1
2
]1,0,1[
1
1
1
|u|
u
v
Langkah 2. v2 = x2/|x2|, dengan x2 = u2 – [u2,v1]v1
[u2,v1]=[1,1,-1]• 0
2
1
,0,
2
1











3
1
,
3
1
,
3
1
3
]1,1,1[
2v
Langkah 3. v3 = x3/|x3|, dengan x3 = u3 – [u3,v1]v1 – [u3,v2]v2
[u3,v1]=[-2,1,2]•
Jadi, x2 = u2 ,
0
2
1
,0,
2
1




3
3
3
1
,
3
1
,
3
1




dan [u3,v2]=[-2,1,2]•











3
1
,
3
1
,
3
1
3
3
]0,0,0[]2,1,2[3x = [–1,2,1]
Jadi,







6
1
,
6
2
,
6
1
6
]1,2,1[
3v

14. 14
Koordinat dan Perubahan Basis
Misalkan S={u1,u2,…,un} basis untuk ruang vektor V, maka setiap vektor x
yang terletak dalam V dapat dinyatakan dengan tunggal dalam bentuk
kombinasi linier, yakni
x = k1u1 + k2u2 + … + knvn
Skalar-skalar k1, k2,…,kn disebut koordinat x relatif terhadap basis S.
Vektor koordinat x relatif terhadap basis S ditulis (x)S didefinisikan,
(x)S =[k1,k2,…,kn]
Matrik koordinat x relatif terhadap S ditulis [x]S didefinisikan oleh :

















n
S
k
k
k
k
...
][ 3
2
1
x
P(5,6)
i=[1,0]
j=[0,1]
r
B={i,j} maka x = 5i + 6j maka :
(x)B = (5,6),
u=[2,1]
v=[1,4]
S={u,v} maka x = 2u + v maka :
(x)S = (2,1)







6
5
][ Bx







1
2
][ Sx

15. 15
Contoh :
B={v1,v2,v3} basis untuk R3, dimana v1=[2,1,2], v2=[3,2,2], v3=[1,2,-1]. Jika
(x)B=[2,1,-3] hitunglah x, dan jika x=[2,1,–3] berapa [x]B.
Jawab :
Misalkan x=[x1,x2,x3] vektor di R3, bentuk k1v1 + k2v2 + k3v3 = x, atau :
k1[2,1,2] + k2[3,2,2] + k3[1,2,–1 ] = [x1,x2,x3]
Dari kesamaan vektor dihasilkan sistem persamaan linier :
2k1 + 3k2 + k3 = x1
k1 + 2k2 + 2k3 = x2
2k1 + 2k2 – k3 = x3 









122
221
132











3
2
1
k
k
k










3
2
1
x
x
x











3
2
1
k
k
k










3
2
1
x
x
x













122
345
456
Jika, (x)B = [2,1,-3], maka :











3
2
1
x
x
x










122
221
132





















 9
2
4
3
1
2












3
2
1
][
k
k
k
Bx
Jika, x = [2,1,-3], maka :













122
345
456























 5
15
19
3
1
2

16. 16
Perubahan Basis
Misalkan S={u1,u2,…,un} basis lama ruang vektor V, dan B={v1,v2,…,vn}
basis baru untuk ruang vektor V. Misalkan pula [x]S matrik koordinat x
relatif terhadap S dan [x]B matrik koordinat x relatif terhadap basis B.
Hubungan antara [x]S dan [x]B diberikan oleh persamaan :
BS ][P][ xx  dan atau S
1
B ][P][ xx 

P adalah matrik transisi dari basis baru B ke basis lama S, dimana kolom-
kolom P adalah matrik-matrik koordinat dari vektor-vektor basis baru relatif
terhadap basis lama, yaitu :
 SS2
.
S1 ][...][][P nvvv
Contoh :
S={u1,u2,u3} basis lama dan B={v1,v2,v3} basis baru untuk R3, dimana
u1=[1,–1,–1], u2=[–1,2,3], u3=[1,1,2], dan v1=[2,1,2], v2=[3,2,2], v3=[1,2,-1].
Jika x=[2,-1,3] berapa [x]B secara tidak langsung.

17. 17
Jawab
Misalkan x=[x1,x2,x3] vektor di R3, bentuk k1u1 + k2u2 + k3u3 = x, atau :
k1[1,–1,–1] + k2[–1,2,3] + k3[1,1,2 ] = [x1,x2,x3]
Dari kesamaan vektor dihasilkan sistem persamaan linier :













231
121
111












3
2
1
S
k
k
k
][x










3
2
1
k
k
k










3
2
1
x
x
x













121
231
351










3
2
1
x
x
x
Untuk v1=[2,1,2], v2=[3,2,2], v3=[1,2,-1]., maka diperoleh P dan P-1, yaitu :














121
231
351
P










122
221
132













652
951
1471














295
52212
72815
P 1
S
1
B ][P][ xx 

Dengan demikian,














295
52212
72815













121
231
351










3
2
1
x
x
x










3
2
1
x
x
x














122
345
456

18. 18
xU
ukukuk
x
uuuS
nn
S
n
1
S
2211
21
[x]
xUK
x...
langsungsecara
][Menghitung
},...,,{





xV
vkvkvk
x
vvvB
nn
B
n
1
B
2211
21
[x]
xVK
x...
langsungsecara
][Menghitung
},...,,{





 
B
1-
S
1-
1
21
1
B
[x]P[x]Jadi,
Adj(P)
det(P)
1
P
]][[
][|...|][|][
PdanPMenghitung
[x]Diketahui,
langsungtidakSecara






UV
uuuP BnBB  
S
1-
B
1-
1
21
1
S
[x]P[x]Jadi,
Adj(P)
det(P)
1
P
]][[
][|...|][|][
PdanPMenghitung
[x]Diketahui,
langsungtidakSecara






VU
vvvP SnSS

19. 19
SOAL TUGAS KHUSUS
Diketahui pula bahwa S = {u1,u2,u3} dan B={v1,v2,v3}adalah
basis-basis untuk R3, diimana :
u1 = [b-4,b-5,a–2], u2 = [b-5,b-6,a-3], u3 = [a-4,a-3,b-5]
v1 = [a-5,a-4,b–5], v2 = [a-4,a-3,b-4], v3 = [b-4,b-5,a-5]
(1) Tentukan basis ortonormal untuk basis S dan basis B
dengan proses Gram-Schmidt
(2) Carilah matrik koordinat x relatif terhadap basis S [x]S
dan basis B [x]B secara langsung
(3) Carilah matrik koordinat [x]S dan [x]B secara tidak
langsung