Méthode pour calculer les efforts internes dans les treillis isostatiques

1. Calcul des
efforts internes
dans un treillis
isostatique
Conception de structures
Automne 2011
R. Pleau
École d’architecture, Université Laval
vendredi 7 septembre 12

2. 2 Calcul des efforts internes
dans un treillis isostatique
Il est possible de calculer les efforts internes dans chacune des
membrures d’un treillis en utilisant la méthode point par point
que nous avons vue précédemment.
Cependant, cette méthode est très fastidieuse et on peut
obtenir ces valeurs plus facilement en traçant judicieusement le
diagramme de corps libre sur une section tronquée du treillis.
Cette méthode est applicable si les trois conditions suivantes
sont respectées :
1. Le treillis est isostatique
2. Les noeuds sont rotulés
3. Les charges externes sont appliquées aux noeuds du treillis
(et pas au milieu des membrures)
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3. Étapes de la méthode 3
Pour calculer l’effort dans la membrure d’un treillis il faut suivre
les étapes suivantes:
1. Calculer les réactions d’appui du treillis.
2. Couper le treillis le long d’une ligne qui n’intercepte pas
plus de trois membrures incluant celle pour laquelle on
veut calculer l’effort interne.
3. Tracer le diagramme de corps libre (DCL) d’une section tronquée
du treillis en indiquant les efforts internes le long de la ligne
de coupure.
4. Calculer les efforts internes à partir de l’équilibre statique
des forces illustrées sur ce DCL.
5. Au besoin, répétez l’exercice sur une autre section tronquée.
Pour calculer l’effort dans la membrure d’un treillis il faut:
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4. Exemple 4
La figure ci-dessous montre un treillis simplement appuyé et
supportant une charge concentrée de 100 kN. Comme la
structure est parfaitement symétrique on trouve facilement que
les deux réactions d’appui verticales sont égales à 50 kN.
On veut calculer les efforts internes dans les membrures a, b et c
a
b
c
2 m
100 kN
50 kN 50 kN
6 x 2 m = 12 m
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5. Exemple (suite) 5
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6. Exemple (suite) 5
On coupe la structure selon un plan qui intercepte les membrures
a, b et c et on trace le diagramme de corps libre de la structure
tronquée.
50 kN
Diagramme de
corps libre (DCL)
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7. Exemple (suite) 5
On coupe la structure selon un plan qui intercepte les membrures
a, b et c et on trace le diagramme de corps libre de la structure
tronquée.
50 kN
Diagramme de
corps libre (DCL)
A
B
C
On indique sur le DCL les
efforts internes dans les
membrures a, b et c
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8. Exemple (suite) 5
On coupe la structure selon un plan qui intercepte les membrures
a, b et c et on trace le diagramme de corps libre de la structure
tronquée.
50 kN
Diagramme de
corps libre (DCL)
A
B
C
On indique sur le DCL les
efforts internes dans les
membrures a, b et c
Comme cette structure tronquée
doit être en équilibre statique, on
calcule les efforts internes comme
on le faisait pour les réactions d’appui
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9. Exemple (suite) 6
En faisant la sommation des moments p/r au point a, le bras de
levier des forces B et A est nul et on trouve que:
Σ Ma = - (50 kN x 2 m) + (C x 2 m) = 0
d’où: C = 50 kN x 2 m = 50 kN
2 m
50 kN
A
B
C
2 m
2 m a
Diagramme de corps libre (DCL)
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10. Exemple (suite) 7
50 kN
A
B
50 kN
2 m
4 m
b
En faisant la sommation des moments p/r au point b, on trouve
que:
Σ Mb = - (50 kN x 4 m) + (A x 2 m) = 0
d’où: C = 50 kN x 4 m = 100 kN
2 m
Diagramme de corps libre (DCL)
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11. Exemple (suite) 8
En faisant la sommation des forces verticales on trouve enfin que:
Σ Fv = 50 kN + B sin 45° = 0
d’où: B = - 50 kN = -70,7 kN
sin 45°
50 kN
100 kN
B
50 kN
Le signe négatif indique que la force
B est orientée dans la direction
opposée à celle qui est illustrée
sur le DCL
Diagramme de corps libre (DCL)
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12. Exemple (suite) 9
On corrige le DCL en conséquence pour représenter les efforts
internes selon leur bonne orientation. On conclut finalement que:
la membrure A est soumise à un
effort de compression de 100 kN
la membrure B est soumise à un
effort de tension de 70,7 kN
la membrure C est soumise à un
effort de tension de 50 kN
50 kN
100 kN
70,7 kN
50 kN
Diagramme de corps libre (DCL)
N.B.: On aurait obtenu le même
résultat si on avait analysé
la partie droite de la structure
tronquée
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13. Exemple (suite) 10
Si on voulait obtenir les efforts internes dans toutes les
membrures de la structure, on pourrait répéter l’exercice sur
d’autres sections tronquées
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