Analyse des structures en éventail

1. Structures
en éventail
ARC-2007
Conception de structures
R. Pleau
École d’architecture, Université Laval

2. 2
Les structures en forme d'éventail sont constituées de plusieurs
membrures qui convergent toutes vers un même point. Elles peuvent
être facilement analysées à l'aide de la méthode graphique.
Nous présentons ici quelques exemples qui illustrent comment la
méthode graphique peut être utilisée, non seulement pour analyser une
structure, mais aussi pour optimiser sa géométrie afin d’accroître sa
performance structurale.

3. Exemple 1
Passerelle piétonne
haubannée
3

4. 4
On souhaite construire une passerelle
p i é t o n n e p o u r f r a n c h i r u n e
dénivellation importante sur un
sentier de montagne. La passerelle
fait 14 m de longueur et 3 m de
largeur. Son tablier est constitué de
planches en bois de 89 mm
d'épaisseur qui reposent sur deux
poutres longitudinales en bois qui
sont supportées par des haubans en
acier eux-mêmes suspendus à deux
poteaux en bois lamellé-collé de 10
m de hauteur. Pour les besoins de
l'exercice, on considère que le poids
des poutres et celui du garde-fou
sont négligeables. Les figures ci-
contre montrent la géométrie
initialement envisagée par le
concepteur de l'ouvrage. À l'aide de
la méthode graphique, nous allons
analyser cette structure et voir si il est
possible de modifier sa géométrie
pour accroître son efficacité struc-
turale.

5. 5
La première étape consiste à évaluer les charges qui sollicitent la
structure. Nous admettons que ces charges sont uniformément
réparties sur toute la surface du tablier. La charge morte (wD) est
égale à:
Sachant que le C.N.B. prévoit une charge d'utilisation de 4,8 kN/m2
pour les passerelles (voir tableau 2.4), la charge totale majorée est
égale à:

6. 6
Comme le tablier est supporté par
deux structures parallèles en
éventail, nous analyserons une
seule de ces structures. La
méthode graphique impose que
les charges soient appliquées au
niveau des noeuds. Pour la
structure étudiée, les charges
externes seront donc appliquées
aux noeuds situés à la jonction
entre le tablier et les haubans. À
chacun de ces noeuds la charge
externe (P) est calculée en
multipliant la charge totale
majorée par l'aire tributaire du
noeud:

7. 7
La prochaine étape consiste à
t r a c e r, à l ' é c h e l l e , l e
diagramme de forme de la
structure et d'y indiquer la
notation par intervalles. Sur ce
diagramme de forme on
identifie trois réactions
d'appui: deux réactions
orthogonales - l'une verticale
(V), l'autre horizontale (H) à la
base du poteau - et une
réaction (T) au point d'ancrage
du hauban arrière avec la
paroi rocheuse (cette force est
orientée dans l'axe du
hauban).
diagramme de forme

8. 8
Normalement on devrait utiliser les
trois conditions d'équilibre statique
(∑Fh = o; ∑Fv = 0 et ∑M =0) pour
calculer les réactions d'appui. Dans le
cas présent, comme les trois réactions
d'appui forment un ensemble de trois
forces non-parallèles, on peut les
trouver graphiquement directement à
partir du polygone de forces. On
commence par rapporter les trois
forces externes sur le polygone ce qui
nous permet d'y placer les points a, f,
e et d.

9. 9
En partant de l'extrémité
gauche de la structure, on peut
ensuite placer les points 1, 2 et
3 sur le polygone de forces ce
qui nous permet de tracer les
efforts internes dans chacun
des haubans et chacune des
membrures du tablier.

10. 10
On trace ensuite une ligne parallèle
à la membrure B-3 et une autre
parallèle à la membrue A-B. Le
croisement de ces deux lignes nous
permet de placer le point b sur le
polygone de forces et de trouver les
efforts internes dans le poteau et
dans le tirant A-B.

11. 11
On complète le polygone de forces en traçant
une ligne parallèle à la force B-C et une autre
parallèle à la force C-D. Au croisement de ces
deux lignes, on place le point c pour compléter
notre polygone de forces. On peut trouver
graphiquement les trois réactions d'appui
directement sur le polygone de forces. Si on
ajoute la force externe (3 × 47 kN = 141 kN) à
ces réactions d'appui, on obtient un polygone de
forces fermé ce qui confirme que la structure est
en équilibre statique.

12. 12
À partir du polygone de
forces, on peut tracer le
diagramme des efforts
internes. On constate que les
efforts dans les haubans et
dans les membrures en bois
qui soutiennent le tablier sont
très raisonnables si on les
c o m p a r e a u x c h a r g e s
externes. En revanche, l'effort
interne dans le poteau et
dans le tirant en acier fixé à la
p a r o i r o c h e u s e s o n t
beaucoup plus élevés de
même que la réaction d'appui
horizontale à la base du
poteau. Pourrait-on réduire
ces efforts en modifiant la
géométrie de la structure ?

13. 13
Sur le diagramme de forme, nous avons
décomposé la réaction d'appui à la base du
poteau et deux composantes orthogonales:
l'une horizontale (H), l'autre verticale (V). On
aurait aussi pu décomposer cette force
autrement. Pour cet exemple, nous
estimons qu'il est plus intéressant de
décomposer la réaction d'appui à la base du
poteau en deux composantes non-
orthogonales situées dans le prolongement
du poteau et du tablier. On obtient alors le
polygone de forces illustré ci-contre.

14. 14
En examinant attentivement ce polygone, on
constate que l'on peut diminuer considérablement
les efforts internes dans le tirant et le poteau en
déplaçant le point b pour ramener l'angle
d'inclinaison de le membrure A-B plus près de de
l'horizontale. Cela signifie que le tirant vient
s'ancrer plus haut sur la paroi rocheuse. On
obtient alors un polygone de forces beaucoup
plus compact que celui de la structure initiale qui
témoigne d'une plus grande efficacité structurale.

15. 15

16. 16
Peut-on encore améliorer l'efficacité de la
structure? Toujours à partir de polygone de
forces, on remarque que si on incline le poteau
(membrure B-3) pour le rapprocher de
l'horizontale, on déplace le point 3 vers la gauche
ce qui aura pour conséquence de réduire les
efforts internes dans les haubans et les
membrures du tablier.
Existe-t-il un angle d'inclinaison optimal?

17. 17
Si on remplace les trois charges externes sur le tablier par une charge
résultante passant par le centre de gravité des trois charges
individuelles, et les deux réactions d'appui à la base du poteau par
une charge résultante; ces deux charges forment avec la réaction
d'appui du tirant un système de trois forces non-parallèles. Pour que
la structure soit en équilibre statique, il est nécessaire que ces trois
forces convergent vers un même point. En examinant la structure on
constate qu'il est possible d'incliner le poteau de façon à ce qu'il soit
aligné dans le prolongement de la réaction d'appui.

18. 18
D’un point de vue constructif, en supprimant la réaction d'appui B-C,
on facilite l'assise de la passerelle sur la paroi rocheuse. Cela diminue
aussi considérablement les efforts internes dans les haubans et les
membrures du tablier.

19. 19
En comparant le polygone de
force de la structure initiale avec
celui de la structure optimisée,
on en conclut que la démarche
d ' o p t i m i s a t i o n a p e r m i s
d'améliorer considérablement la
performance structurale de la
passerelle en réduisant les
efforts dans chacune de ses
membrures.

20. 20
La figure ci-contre montre la
g é o m é t r i e d e l a p a s s e re l l e
optimisée. Comme les deux
structures en éventail sont parallèles,
les poteaux sont libres de se
déplacer latéralement ce qui rend la
structure instable dans le cas où les
poteaux seraient rotulés à leur base.
On peut assurer la stabilité de
l'ouvrage en encastrant les poteaux
à la paroi rocheuse (cela complique
l e s a s s e m b l a g e s ) m a i s l e
déplacement horizontal du poteau
augmente sa longueur effective de
flambement (Le = 2L) ce qui réduit sa
résistance à la compression.

21. 21
Une solution plus efficace consiste
simplement à incliner les poteaux l'un
vers l'autre pour former un triangle
stable et n'utiliser qu'un seul tirant pour
accrocher le sommet du poteau à la
paroi rocheuse. On obtient ainsi la
géométrie finale de la passerelle qui est,
non seulement plus efficace, mais aussi
visuellement plus attrayante que la
géométrie initiale.

22. 22
géométrie initiale géométrie optimisée

23. 23
C'est d'ailleurs une idée largement répandue chez
les architectes et les ingénieurs que,
indépendamment des aspects structuraux, les
structures optimisées produisent des géométries
qui sont généralement perçues comme plus
harmonieuses par la majorité des gens. Les
formes que l'on retrouve dans la nature ont été
optimisées par le long processus de l'évolution
pour résister aux forces qui les sollicitent. Notre
appréciation esthétique des constructions
humaines serait grandement influencée par ces
formes dites naturelles. Par exemple, les branches
d'un arbre sont des structures en porte-à-faux
plus larges à la jonction du tronc pour résister aux
efforts de flexion occasionnés par le poids de la
branche et l'action du vent. Les poutres en porte-
à-faux qui reprennent cette géométrie sont
efficaces et jugées visuellement agréables. En
revanche, une poutre en porte-à-faux qui
adopterait une géométrie inverse serait jugée
visuellement désagréable mais si elle a été
dimensionnée correctement.

24. 24
Maintenant que la géométrie de la
passerelle est finalisée, il nous reste à
dimensionner ses membrures. Avec la
méthode graphique nous avons calculé
les efforts internes dans les membrures
comme si celles-ci étaient toutes situées
dans un même plan vertical. Cela n'est
plus vrai puisque les poteaux et les
haubans sont maintenant inclinés p/r au
plan vertical. Connaissant l'angle
d'inclinaison des membrures, on
pourrait décomposer les efforts internes
en deux composantes: l'une verticale,
l'autre perpendiculaire au plan vertical.
La figure ci-contre illustre cette
décomposition pour la membrure B-3
(i.e. le poteau incliné).

25. 25
La projection des forces dans un espace
tridimensionnel peut cependant s'avérer
un exercice fastidieux si on n'est pas
très à l'aise avec les fonctions
trigonométriques. Heureusement, on
constate que lorsque l'angle
d'inclinaison de la membrure p/r au
plan vertical est faible, l'influence de
cette inclinaison sur l'effort interne
dans la membrure est négligeable.
Par exemple, un angle d'inclinaison de
10° modifie de moins de 4% l'effort
interne dans une membrure. Dans le cas
qui nous concerne, on peut donc
négliger de prendre en compte
l'inclinaison des membrures sans que
leur dimensionnement n'en soit
significativement affecté.

26. 26
La figure ci-contre montre le
diagramme d'efforts internes
obtenus à partir du polygone
de forces de la structure
optimisée. Les poteaux font
12,2 m de longueur (on peut
les mesurer sur le diagramme
de forme) et ils supportent une
charge de compression de
230 kN. Le coefficient de
retenue (k) est égal à 1 (poteau
rotulé à ses deux extrémités
sans déplacement latéral). En
consultant le tableau de
sélection des poteaux en bois
lamellé-collé, on choisit alors
un profilé de 315 x 304 mm
(Pr = 260 kN > 230 kN).

27. 27
Le tirant le plus sollicité est celui qui relie le sommet des poteaux à la
paroi rocheuse. Il supporte un effort de tension de 300 kN (2×150 kN)
En supposant qu'ils soient fabriqués avec de l'acier doux de
charpente (Ft = 350 MPa), le diamètre minimal des tirants est égal à:

28. 28
Les membrures en bois qui soutiennent le
tablier sont soumise à un faible effort de
compression (Pf = 19 kN). Cependant,
contrairement à l'hypothèse formulée
précédemment voulant que les charges
externes soient seulement appliquées au
niveau des noeuds, les membrures en
bois qui soutiennent le tablier supportent
une charge uniformément répartie sur
toute leur longueur et agissent comme
une poutre continue sur plusieurs appuis.
La charge uniformément répartie est
égale à:
et le moment maximal de flexion est égal
à (voir figure 2.82):

29. 29
La membrure agit donc comme un poteau-poutre et, à partir des
tableaux de sélection des poteaux, on choisi un profilé en bois
lamellé-collé de 130 x 228 mm pour lequel on trouve que Pr = 166
kN (pour kL = 4 m) et Mr = 26 kN-m. L'équation d'interaction nous
donne:
On en conclut que la membrure agit beaucoup plus comme une
poutre que comme un poteau.

30. Exemple 2
Passerelle piétonne
de longue portée
30

31. 31
Les figures ci-dessous montrent le concept initial d'une autre
passerelle piétonne de longue portée (54 m). Le tablier de la passerelle
est constitué de dalles préfabriquées en béton armé de 10 cm
d'épaisseur déposées sur deux poutres longitudinales en acier. Deux
poutres transversales supportent le tablier de la passerelle aux tiers de
sa portée et sont suspendues par des câbles à quatre poteaux
tubulaires en acier. Nous allons analyser cette structure et voir s'il est
possible de modifier sa géométrie pour accroître son efficacité
structurale.

32. 32
Les dimensions de la structures sont données à la figure ci-dessous.
Nous allons analyser cette structure et voir s'il est possible de modifier
sa géométrie pour accroître son efficacité structurale.

33. 33
La première étape consiste à évaluer les charges appliquées au tablier.
L'ouvrage est composé de deux structures en éventail parallèles qui
supportent chacune une largeur tributaire du tablier de 1,5 m (i.e. 3m/
2). La charge morte peut être évaluée de la façon suivante:
dalle de béton: 24 kN/m3 × 0,1 m × 1,5 m = 3,6 kN/m
poutres en acier et garde-fou = 1,0 kN/m
wD = 4,6 kN/m
La charge d'utilisation pour une passerelle est égale à:
wL = 4,8 kN/m2 × 1,5 m = 7,2 kN/m
La charge totale pondérée est donnée par:
La charge externe appliquée à chacun des deux noeuds de la structure
est égale à:
P = 16,6 kN/m × 18 m = 300 kN

34. 34
La ci-dessus montre le diagramme de forme
de la structure. À partir de ce diagramme, on
trace le polygone de forces illustré ci-contre.
En examinant ce polygone, on remarque que
les efforts de compression dans les deux
poteaux sont différents: 930 kN pour la
membrure E-1 et 630 kN pour la membrure
1-2. Comme ces deux poteaux sont
identiques, il serait préférable qu'ils soient
sollicités de la même façon.

35. 35
On peut y parvenir en déplaçant le point
1 de façon à ce que la force A-1
devienne la bissectrice de l'angle formé
par les lignes pointillées rouges sur la
figure ci-contre. On obtient alors un
effort de compression de 800 kN dans
chacun des poteaux (E-1 et 1-2). Le
déplacement du point 1 modifie l'angle
d'inclinaison des membrures A-1 et E-1.

36. 36
En examinant le polygone de forces, on
constate aussi que la réaction d'appui
horizontale à la base des poteaux (la force
D-E) est importante (450 kN) ce qui
nécessite la construction d'une fondation
en béton de grande dimension pour
résister à cette poussée horizontale. Les
fondations pourraient être considérable-
ment simplifiées si on éliminait cette
réaction d'appui horizontale. Est-ce
possible?
La réponse à cette question se trouve une
nouvelle fois dans le polygone de forces.

37. 37
En déplaçant à nouveau le point 1 et le
point e, on peut éliminer complètement
la réaction d'appui D-E tout en
maintenant égaux les efforts internes
dans les poteaux (les membrures E-1 et
1-2) et en réduisant l'effort de tension
dans la membrure A-1. Le déplacement
des points 1 et e modifie aussi l'angle
d'inclinaison des poteaux (E-1 et 1-2) et
des membrures A-1 et A-E.

38. 38
Comme le sommet du poteau 1-2 est
déplacé vers la gauche, cela nous oblige à
modifier l'angle d'inclinaison des tirants 2-3
et A-3) et à corriger le polygone de forces en
conséquence. On s'aperçoit cependant que,
en modifiant l'inclinaison des tirants 2-3 et
A-3, le polygone de forces ne ferme plus (le
point a est situé à deux endroits différents).

39. 39
Cela nous oblige à déplacer les points 1, 2 et 3 et à modifier l'inclinaison
de la membrure E-1 pour obtenir le polygone de forces optimisé. À partir
de ce polygone de forces, on trace finalement la géométrie optimisée de
la structure ainsi que le diagramme d'efforts internes.
2

40. 40
Dans le concept initial le tablier de la
passerelle est supporté par deux
structures parallèles en éventail.
Comme pour l'exemple précédent, le
sommet des poteaux peut se déplacer
latéralement et, pour les mêmes
raisons que précédemment, il serait
préférable d'incliner les poteaux et les
tirants pour finalement adopter la
géométrie qui est illustrée ci-dessous.
concept initial
géométrie optimisée

41. 41
Pour compléter l'analyse, il nous reste à dimensionner les membrures.
On peut considérer que la faible inclinaison des poteaux et des tirants
fait en sorte qu'elle exerce un effet négligeable sur le calcul des efforts
internes dans les membrures. Les poteaux les plus hauts font 24 m de
longueur. En utilisant la feuille EXCEL conçue pour le dimensionnement
des poteaux sur mesure, on choisit un profilé circulaire de 450 mm de
diamètre et 10 mm d'épaisseur pour lequel on trouve que:
Pr = 905 kN > Pf = 900 kN

42. 42
La tension maximale dans les câbles est égale à 900 kN. Si ceux-ci
sont fabriqués avec un acier de haute résistance possédant une
contrainte admissible en tension (Ft) de 1200 MPa, leur diamètre
minimal (d) est égal à:
La poutre du tablier supporte une charge de compression maximale
(Pf) de 675 kN. Comme pour la passerelle de l'exemple précédent elle
supporte aussi un moment de flexion maximal (Mf) égal à:
Ce profilé se comporte donc comme un poteau-poutre. Après
quelques essais par tâtonnements, on a finalement choisi un profilé
W610x82 pour lequel le tableau de sélection des poutres en acier
nous donne un moment résistant Mr = 683 kN-m.

43. 43
Ce profilé ne figure pas dans les tableaux de sélection des poteaux en
acier... mais on peut utiliser la feuille EXCEL pour le dimensionnement sur
mesure des poteaux. Selon l'axe vertical on a que kx = 1 et Lx = 18 m.
Selon l'axe faible on a que kyLy = 0 puisque le profilé est retenu
latéralement sur toute sa longueur par les dalles en béton du tablier. La
feuille EXCEL nous donne un effort de compression résistant Pr = 2100
kN. L'équation d'interaction s'exprime comme suit:

44. 44
Peut-on encore améliorer les qualités structurales et constructives de la
passerelle? La principale difficulté qui subsiste consiste à ancrer les
deux câbles verticaux qui transmettent à la fondation une charge
d'arrachement de 1800 kN (2 × 900 kN) orientée vers le haut ce qui
nécessite de construire de volumineuses et coûteuses fondations en
béton sous la surface du sol. On pourrait éviter ce problème en fixant
les câbles verticaux à un contrepoids suffisamment lourd pour
empêcher le soulèvement de la fondation. Ce contrepoids pourrait être
déposé en surface et être intégré au concept architectural de l'ouvrage.

45. 45
À titre de contrepoids on pourrait, par
exemple, utiliser deux disques de béton
de 6,4 m de diamètre et 1,2 m
d'épaisseur superposés l'un sur l'autre.
Sachant que la masse volumique du
béton est égale à 2400 kg/m3 et que le
volume d'un disque est égal à π d2 e/4
(où d et e représentent respectivement le
diamètre et l'épaisseur du disque), le
poids des deux disques (W) est égal à:
Sachant également qu'un tonne
correspond à une charge de 10 kN, cela
signifie qu'il faudrait une force de 1850
kN pour soulever les disques. Puisque
cette force est supérieure à le tension
dans les câbles (1800 kN), la structure
est stable.

46. 46
La figure ci-contre montre la
géométrie définitive de la
structure. En plus de servir de
contrepoids, les disques de
béton participent aussi au
concept architectural. En fait la
structure que nous venons de
concevoir et d'optimiser est
pratiquement identique au Miller
Crossing Bridge construit à
Exeter en Angleterre en 2002.
Les deux disques de béton
s e r v a n t d e c o n t r e p o i d s
évoquent les meules utilisées
dans les moulins à blé qui, jadis,
étaient très répandus dans la
région.

47. Miller Crossing Bridge
47

48. Miller Crossing Bridge
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