Analyse des structures en treills

1. Structures
en treillis
ARC-2007
Conception de structures
R. Pleau
École d’architecture, Université Laval

2. Méthodes graphiques
2
Il est possible de calculer les efforts internes dans toutes les membrures d'un
treillis isostatique en utilisant la méthode point par point décrite précédemment.
Toutefois, pour peu que le treillis possède plusieurs membrures, ou que sa
géométrie soit complexe, cette méthode devient rapidement longue et
fastidieuse. C'est dans ce contexte que des méthodes graphiques ont été
développées au XIXe siècle pour faciliter l'analyse des structures. À une époque
où la calculatrice n'existait pas encore, ces méthodes permettaient d'analyser
des structures complexes sans avoir à faire le moindre calcul ce qui constituait
alors un avantage considérable.
Aujourd'hui, l'omniprésence de l'ordinateur fait en sorte que la nécessité
d'exécuter des calculs, même complexes, ne constitue plus un obstacle et de
nombreux logiciels spécialisés rendent possible l'analyse des structures
complexes. Dans ce contexte, on pourrait croire que la maîtrise des méthodes
graphiques est devenue obsolète et inutile. Ce n’est pas le cas car, mis à part la
simplification des calculs, la nature graphique de ces méthodes leur confère un
grand avantage: elles permettent de "visualiser" les efforts internes dans
l'ensemble de la structure. Pour cette raison, elles demeurent pertinentes comme
outil d'apprentissage pour des étudiants en architecture car elles contribuent à
acquérir une compréhension plus intuitive du comportement structural.

3. Conditions requises
3
La méthode point par point utilisait le calcul vectoriel pour calculer
l'équilibre statique de chacun des noeuds de la structure en
procédant de manière séquentielle (i.e. on traite chacun des noeuds
les uns après les autres). Essentiellement la méthode graphique fait la
même chose mais de façon globale sur l'ensemble de la structure
plutôt que de traiter les noeuds pris isolément. Cette méthode permet
de tracer un polygone de forces qui rassemble, en une seule
représentation graphique, tous les efforts internes dans chacune des
membrures du treillis. Son utilisation est possible à trois conditions:
1. que le treillis soit isostatique;
2. que toutes les forces externes soient appliquées aux noeuds
et qu'elles soient situées sur le pourtour extérieur du treillis;
3. que les réactions d'appui du treillis soient connues

4. Description de la méthode
4
Nous allons analyser le treillis illustré ci-dessous pour présenter la
méthode graphique. Cette méthode comprend trois étapes:
1. Tracer le diagramme de forme et procéder à la notation par
intervalles
2. Construire le polygone de forces
3. Tracer le diagramme des efforts internes

5. Diagramme de forme
Le diagramme de forme du treillis est une représentation
graphique, tracée à l'échelle, du diagramme de corps
libre du treillis avec toutes les charges externes qui le
sollicitent ainsi que les réactions d'appui. Sur ce
diagramme on identifie divers intervalles en utilisant une
combinaison de lettres et de chiffres.

6. 10 kN 20 kN 30 kN
40 kN
45 kN15 kN
40 kN
Sur le pourtour extérieur du treillis
on identifie avec des lettres les divers
intervalles entre les charges externes.
L’ordre de numérotation n’a pas
d’importance mais, par habitude, on
commence généralement par
l’extrémité supérieure gauche du
treillis et on se déplace autour du
treillis dans le sens horaire.
Diagramme de forme
(1 cm = 1 m)

7. 10 kN 20 kN 30 kN
40 kN
45 kN15 kN
40 kN
Diagramme de forme
Ainsi l’intervalle A désigne tout
l’espace situé entre la force
horizontale de 40 kN et la force
verticale de 10 kN.
A
(1 cm = 1 m)

8. 10 kN 20 kN 30 kN
40 kN
45 kN15 kN
40 kN
Diagramme de forme
L’intervalle B désigne l’espace situé
entre les forces verticales de 10 et 20
kN.
A B
(1 cm = 1 m)

9. 10 kN 20 kN 30 kN
40 kN
45 kN15 kN
40 kN
Diagramme de forme
L’intervalle C désigne l’espace situé
entre les forces verticales de 20 et 30
kN.
A B C
(1 cm = 1 m)

10. 10 kN 20 kN 30 kN
40 kN
45 kN15 kN
40 kN
Diagramme de forme
L’intervalle D désigne l’espace situé
entre la force verticale de 30 kN et la
force horizontale de 40 kN.
A B C D
(1 cm = 1 m)

11. 10 kN 20 kN 30 kN
40 kN
45 kN15 kN
40 kN
Diagramme de forme
L’intervalle E désigne l’espace situé
entre la force horizontale de 40 kN et
la force verticale de 45 kN.
A B C D
E
(1 cm = 1 m)

12. 10 kN 20 kN 30 kN
40 kN
45 kN15 kN
40 kN
Diagramme de forme
L’intervalle E désigne l’espace situé
entre la force horizontale de 40 kN et
la force verticale de 45 kN.
A B C D
EF
(1 cm = 1 m)

13. 10 kN 20 kN 30 kN
40 kN
45 kN15 kN
40 kN
Diagramme de forme
L’intervalle G désigne l’espace situé
entre la force verticale de 15 kN et la
force horizontale de 40 kN.
A B C D
EF
G
(1 cm = 1 m)

14. 10 kN 20 kN 30 kN
40 kN
45 kN15 kN
40 kN
Diagramme de forme
Après avoir identifié par des lettres
tous les intervalles sur le pourtour du
treillis, on identifie par des chiffres
tous les triangles à l’intérieur du
treillis.
A B C D
EF
G
(1 cm = 1 m)

15. 10 kN 20 kN 30 kN
40 kN
45 kN15 kN
40 kN
Diagramme de forme
Ainsi l’intervalle 1 désigne le premier
triangle à gauche.A B C D
EF
G
1
(1 cm = 1 m)

16. 10 kN 20 kN 30 kN
40 kN
45 kN15 kN
40 kN
Diagramme de forme
L’intervalle 2 désigne le second
triangle à gauche…A B C D
EF
G
1
2
(1 cm = 1 m)

17. 10 kN 20 kN 30 kN
40 kN
45 kN15 kN
40 kN
Diagramme de forme
L’intervalle 3 désigne le second
triangle à gauche…A B C D
EF
G
1
2
3
(1 cm = 1 m)

18. 10 kN 20 kN 30 kN
40 kN
45 kN15 kN
40 kN
Diagramme de forme
… et ainsi de suite jusqu’à l’extrémité
droite du treillis.A B C D
EF
G
1
2
3
4 5
6
7
8
(1 cm = 1 m)

19. 10 kN 20 kN 30 kN
40 kN
45 kN15 kN
40 kN
Diagramme de forme
Chacune des membrures de la
structure est identifiée par la
combinaison de lettres et/ou de
chiffres qui désigne les deux
intervalles adjacents à la membrure.
Par exemple, la membrure identifiée
en vert sur le diagramme de forme
sera appelée la membrure F-3 ou
3-F.
La membrure identifiée en orange
sur le diagramme de forme sera
appelée la membrure 1-2 ou 2-1.
La membrure identifiée en violet
sur le diagramme de forme sera
appelée la membrure D-8 ou 8-D.
A B C D
EF
G
1
2
3
4 5
6
7
8
(1 cm = 1 m)

20. Polygone de forces
Le polygone de forces est une représentation graphique,
tracée à l'échelle, qui regroupe sur une même figure
toutes les charges externes ainsi que tous les vecteurs
représentant les efforts internes dans chacune des
membrures du treillis.

21. Utilisation d’une règle parallèle roulante
21
La construction du polygone de
forces nécessite de tracer des
lignes parallèles aux membrures
du treillis.
Cette opération peut être fasti-
dieuse mais elle est grandement
facilitée par l’utilisation d’une
règle parallèle roulante que vous
pouvez vous procurer pour une
vingtaine de dollars.

22. 10 kN 20 kN 30 kN
40 kN
45 kN15 kN
40 kN
Diagramme de forme
À partir du diagramme de forme, on trace le
polygone des forces externes qui sollicitent la
structure en utilisant une échelle prédéfinie
(par exemple 1 cm = 5 kN)
On commence par placer le point a sur le polygone
de forces et, à partir de ce point, on se déplace sur
le pourtour extérieur en tournant dans le sens
horaire.
A B C D
EF
G
1
2
3
4 5
6
7
8
Polygone de forces
a
(1 cm = 1 m)
(1 cm = 5 kN)

23. 10 kN 20 kN 30 kN
40 kN
45 kN15 kN
40 kN
Diagramme de forme
En passant de l’intervalle A à l’intervalle B, on
intercepte une force verticale de 10 kN dirigée vers
le bas. Le point b est donc situé à une distance de
2 cm en-dessous du point a.
A B C D
EF
G
1
2
3
4 5
6
7
8
Polygone de forces
a
b
(1 cm = 1 m)
2 cm
(1 cm = 5 kN)

24. 10 kN 20 kN 30 kN
40 kN
45 kN15 kN
40 kN
Diagramme de forme
En passant de l’intervalle B à l’intervalle C, on
intercepte une force verticale de 20 kN dirigée vers
le bas. Le point c est donc situé à une distance de
4 cm en-dessous du point b.
A B C D
EF
G
1
2
3
4 5
6
7
8
Polygone de forces
a
b
(1 cm = 1 m)
4 cm
c
(1 cm = 5 kN)

25. 10 kN 20 kN 30 kN
40 kN
45 kN15 kN
40 kN
Diagramme de forme
En passant de l’intervalle C à l’intervalle D, on
intercepte une force verticale de 30 kN dirigée vers
le bas. Le point d est donc situé à une distance de
6 cm en-dessous du point c.
A B C D
EF
G
1
2
3
4 5
6
7
8
Polygone de forces
a
b
(1 cm = 1 m)
6 cm
c
d
(1 cm = 5 kN)

26. 10 kN 20 kN 30 kN
40 kN
45 kN15 kN
40 kN
Diagramme de forme
En passant de l’intervalle D à l’intervalle E, on
intercepte une force horizontale de 40 kN dirigée
vers la gauche. Le point e est donc situé à une
distance de 8 cm à gauche du point d.
A B C D
EF
G
1
2
3
4 5
6
7
8
Polygone de forces
a
b
(1 cm = 1 m)
8 cm
c
de
(1 cm = 5 kN)

27. 10 kN 20 kN 30 kN
40 kN
45 kN15 kN
40 kN
Diagramme de forme
En passant de l’intervalle E à l’intervalle F, on
intercepte une force verticale de 45 kN dirigée vers
le haut. Le point f est donc situé à une distance de
9 cm au-dessus du point e.
A B C D
EF
G
1
2
3
4 5
6
7
8
Polygone de forces
a
b
(1 cm = 1 m)
9 cm
c
de
f
(1 cm = 5 kN)

28. 10 kN 20 kN 30 kN
40 kN
45 kN15 kN
40 kN
Diagramme de forme
En passant de l’intervalle F à l’intervalle G, on
intercepte une force verticale de 15 kN dirigée vers
le haut. Le point G est donc situé à une distance de
3 cm au-dessus du point e.
A B C D
EF
G
1
2
3
4 5
6
7
8
Polygone de forces
a
b
(1 cm = 1 m)
3 cm
c
de
f
g
(1 cm = 5 kN)

29. 10 kN 20 kN 30 kN
40 kN
45 kN15 kN
40 kN
Diagramme de forme
En passant de l’intervalle G à l’intervalle A, on
intercepte une force horizontale de 40 kN dirigée
vers la droite. En se déplaçant de 8 cm vers la
droite à partir du point g, on revient donc au point
d’origine, a, du polygone de forces.
A B C D
EF
G
1
2
3
4 5
6
7
8
Polygone de forces
a
b
(1 cm = 1 m)
c
de
f
g
8 cm
(1 cm = 5 kN)

30. 10 kN 20 kN 30 kN
40 kN
45 kN15 kN
40 kN
Diagramme de forme
Le polygone que nous venons de tracer représente
l’addition vectorielle de toutes les forces externes
qui sollicitent la structure.
Ce polygone est fermé ce qui confirme que la
structure est en équilibre statique.
A B C D
EF
G
1
2
3
4 5
6
7
8
Polygone de forces
a
b
(1 cm = 1 m)
c
de
f
10 kN
20 kN
30 kN
40 kN
45 kN
15 kN
40 kNg
(1 cm = 5 kN)

31. 10 kN 20 kN 30 kN
40 kN
45 kN15 kN
40 kN
Diagramme de forme
Nous allons maintenant compléter le polygone de forces en
y ajoutant les chiffres de 1 à 8 pour connaître les efforts
internes dans les membrures du treillis.
Sur le diagramme de forme, chacune de ces membrures
correspond à une ligne qui sépare deux intervalles.
Sur le polygone de forces, chacune des forces internes dans
les membrures sera représentée par une ligne qui réunit
deux points correspondant aux intervalles situés de part et
d’autre de cette membrure.
A B C D
EF
G
1
2
3
4 5
6
7
8
Polygone de forces
a
b
(1 cm = 1 m)
c
de
f
g
(1 cm = 5 kN)

32. 10 kN 20 kN 30 kN
40 kN
45 kN15 kN
40 kN
Diagramme de forme
On commence par placer le point 1 sur le polygone
de forces. Ce point est adjacent aux membrures G-1
et F-1; les points G et F étant déjà placés sur le
polygone de forces.
L’effort interne dans la membrure G-1 est donc
situé sur une ligne parallèle à la membrure G-1 et
qui passe par le point G. Cela signifie que le point 1
est situé quelque part sur la ligne verticale verte
illustrée ci-contre.
A B C D
EF
G
1
2
3
4 5
6
7
8
Polygone de forces
a
b
(1 cm = 1 m)
c
de
f
g
(1 cm = 5 kN)

33. 10 kN 20 kN 30 kN
40 kN
45 kN15 kN
40 kN
Diagramme de forme
Pour sa part, l’effort interne dans la membrure F-1
est situé sur une ligne parallèle à la membrure F-1
et qui passe par le point F. Cela signifie que le
point 1 est situé quelque part sur la ligne
horizontale orange illustrée ci-contre.
Le point 1 est donc forcément situé à l’intersection
des lignes verte et orange ce qui signifie qu’il est
superposé au point f.
A B C D
EF
G
1
2
3
4 5
6
7
8
Polygone de forces
a
b
(1 cm = 1 m)
c
de
f,1
g
(1 cm = 5 kN)

34. 10 kN 20 kN 30 kN
40 kN
45 kN15 kN
40 kN
Diagramme de forme
Passons maintenant au point 2 qui est adjacent aux
membrures A-2 et 1-2; les points a et 1 étant déjà
placés sur le polygone de forces.
L’effort interne dans la membrure A-2 est situé sur
une ligne parallèle à la membrure A-2 et qui passe
par le point G. Cela signifie que le point 2 est situé
quelque part sur la ligne horizontale verte illustrée
ci-contre.
A B C D
EF
G
1
2
3
4 5
6
7
8
Polygone de forces
a
b
(1 cm = 1 m)
c
de
f,1
g
(1 cm = 5 kN)

35. 10 kN 20 kN 30 kN
40 kN
45 kN15 kN
40 kN
Diagramme de forme
L’effort interne dans la membrure 1-2 est situé sur
une ligne parallèle à la membrure 1-2 et qui passe
par le point 1. Cela signifie que le point 2 est situé
quelque part sur la ligne diagonale orange illustrée
ci-contre.
Le point 2 se situe donc à l’interception des lignes
verte et orange.
A B C D
EF
G
1
2
3
4 5
6
7
8
Polygone de forces
a
b
(1 cm = 1 m)
c
de
f,1
g2
(1 cm = 5 kN)

36. 10 kN 20 kN 30 kN
40 kN
45 kN15 kN
40 kN
Diagramme de forme
Poursuivons avec le noeud 3 qui est adjacent aux
membrures F-3 et 2-3 (les points F et 2 étant déjà
placés sur le polygone de forces).
Sur le polygone de forces, le point 3 est situé sur
une droite parallèle à la membrure F-3 et passant
par le point F (la ligne verte illustrée ci-contre). Il
est aussi situé sur une ligne droite parallèle à la
membrure 2-3 et passant par le point 2 (la ligne
orange illustrée ci-contre).
Le point 3 est donc situé à l’intersection des lignes
verte et orange.
A B C D
EF
G
1
2
3
4 5
6
7
8
Polygone de forces
a
b
(1 cm = 1 m)
c
de
f,1
g2
3
(1 cm = 5 kN)

37. 10 kN 20 kN 30 kN
40 kN
45 kN15 kN
40 kN
Diagramme de forme
Si on poursuit le même raisonnement, le point 4 se
situe quelque part sur une ligne parallèle à la
membrure B-4 et passant par le point B (i.e. la
ligne verte ci-contre). Il se situe également quelque
part sur une ligne parallèle à la membrure 3-4 et
passant par le point 3 (i.e. la ligne orange illustrée
ci-contre).
Le point 4 se situe donc à l’interception des lignes
verte et orange.
A B C D
EF
G
1
2
3
4 5
6
7
8
Polygone de forces
a
b
(1 cm = 1 m)
c
de
f,1
g2
3
4
(1 cm = 5 kN)

38. 10 kN 20 kN 30 kN
40 kN
45 kN15 kN
40 kN
Diagramme de forme
… en poursuivant le raisonnement on place le point
5 …
A B C D
EF
G
1
2
3
4 5
6
7
8
Polygone de forces
a
b
(1 cm = 1 m)
c
de
f,1
g2
3
4
5
(1 cm = 5 kN)

39. 10 kN 20 kN 30 kN
40 kN
45 kN15 kN
40 kN
Diagramme de forme
… puis le point 6 …
A B C D
EF
G
1
2
3
4 5
6
7
8
Polygone de forces
a
b
(1 cm = 1 m)
c
de
f,1
g2
3
4
5
6
(1 cm = 5 kN)

40. 10 kN 20 kN 30 kN
40 kN
45 kN15 kN
40 kN
Diagramme de forme
… et le point 7 …
A B C D
EF
G
1
2
3
4 5
6
7
8
Polygone de forces
a
b
(1 cm = 1 m)
c
de
f,1
g2
3
4
5
6
7
(1 cm = 5 kN)

41. 10 kN 20 kN 30 kN
40 kN
45 kN15 kN
40 kN
Diagramme de forme
… pour finalement compléter le polygone de force
en plaçant le point 8.
A B C D
EF
G
1
2
3
4 5
6
7
8
Polygone de forces
a
b
(1 cm = 1 m)
c
de
f,1
g2
3
4
5
6
7
8
(1 cm = 5 kN)

42. 10 kN 20 kN 30 kN
40 kN
45 kN15 kN
40 kN
Diagramme de forme
Sur le polygone de forces, la ligne D-8 donne aussi
l’effort interne dans la membrure D-8
A B C D
EF
G
1
2
3
4 5
6
7
8
Polygone de forces
a
b
(1 cm = 1 m)
c
de
f,1
g2
3
4
5
6
7
8
(1 cm = 5 kN)

43. 10 kN 20 kN 30 kN
40 kN
45 kN15 kN
40 kN
Diagramme de forme
Le polygone de forces est maintenant complété.
A B C D
EF
G
1
2
3
4 5
6
7
8
Polygone de forces
a
b
(1 cm = 1 m)
c
de
f,1
g2
3
4
5
6
7
8
(1 cm = 5 kN)

44. Diagramme des efforts internes
La dernière étape consiste à mesurer les efforts internes
dans chacune des membrures et à déterminer si ces
membrures sont sollicitées en tension ou en
compression. Ces efforts sont rapportés sur un
diagramme d'efforts internes, une représentation
graphique qui permet de visualiser, d'un seul coup d'oeil,
la répartition des efforts internes dans l'ensemble le
treillis. Sur ce diagramme, les efforts de compression
sont représentés en bleu et les efforts de tension en
rouge.

45. 10 kN 20 kN 30 kN
40 kN
45 kN15 kN
40 kN
Diagramme de forme
Chacune des lignes sur le polygone de forces corres-
pond à un effort interne dans une membrure. Pour
connaître l’intensité des efforts, il suffit de mesurer la
longueur des lignes sur le polygone de forces.
Par exemple, la ligne 7-8 fait 12,7 cm de longueur ce
qui signifie que l’effort interne dans la membrure 7-8
est égal à 63,6 kN (i.e. 12,7 cm × 5 kN/cm).
En mesurant toutes les lignes, on obtient l’intensité
des efforts internes dans chacune des membrures.
A B C D
EF
G
1
2
3
4 5
6
7
8
Polygone de forces
a
b
(1 cm = 1 m)
c
de
f,1
g2
3
4
5
6
7
8
(1 cm = 5 kN)
12,7
cm
=
63,5
kN

46. 10 kN 20 kN 30 kN
40 kN
45 kN15 kN
40 kN
Diagramme de forme
Il nous reste maintenant à déterminer si les
membrures sont sollicitées en tension ou en
compression. Pour y parvenir on doit identifier un
noeud adjacent à la membrure pour laquelle on
veut connaître la nature de l’effort interne (tension
ou compression).
A B C D
EF
G
1
2
3
4 5
6
7
8
Polygone de forces
a
b
(1 cm = 1 m)
c
de
f,1
g2
3
4
5
6
7
8
(1 cm = 5 kN)

47. 10 kN 20 kN 30 kN
40 kN
45 kN15 kN
40 kN
Diagramme de forme
Considérons par exemple le noeud
situé au point d’application de la
force externe de 10 kN. On trace le
DCL du noeud et on circule autour
en tournant dans le sens horaire.
A B C D
EF
G
1
2
3
4 5
6
7
8
Polygone de forces
a
b
(1 cm = 1 m)
c
de
f,1
g2
3
4
5
6
7
8
(1 cm = 5 kN)
2 3
4
A B
10 kN
DCL du noeud

48. 10 kN 20 kN 30 kN
40 kN
45 kN15 kN
40 kN
Diagramme de forme
En tournant dans le sens horaire, on
passe de l’intervalle B à l’intervalle 4.
Sur le polygone de forces on trace
une force qui part du point B pour se
rendre au point 4.
A B C D
EF
G
1
2
3
4 5
6
7
8
Polygone de forces
a
b
(1 cm = 1 m)
c
de
f,1
g2
3
4
5
6
7
8
(1 cm = 5 kN)
2 3
4
A B
10 kN
DCL du noeud

49. 10 kN 20 kN 30 kN
40 kN
45 kN15 kN
40 kN
Diagramme de forme
On ramène cette force sur le DCL du
noeud en préservant son orientation
(i.e. dirigée vers la droite).
Comme la force est orientée vers le
noeud, on en déduit que la
membrure est comprimée.
A B C D
EF
G
1
2
3
4 5
6
7
8
Polygone de forces
a
b
(1 cm = 1 m)
c
de
f,1
g2
3
4
5
6
7
8
(1 cm = 5 kN)
2 3
4
A B
10 kN
DCL du noeud

50. 10 kN 20 kN 30 kN
40 kN
45 kN15 kN
40 kN
Diagramme de forme
En poursuivant notre rotation dans
le sens horaire on passe de
l’intervalle 4 à l’intervalle 3.
Sur le polygone de forces on trace
une force qui part du point 4 pour se
rendre au point 3.
On ramène cette force sur le DCL du
noeud. Comme elle est orientée en
direction opposée du noeud, on en
conclut que la membrure est tendue.
A B C D
EF
G
1
2
3
4 5
6
7
8
Polygone de forces
a
b
(1 cm = 1 m)
c
de
f,1
g2
3
4
5
6
7
8
(1 cm = 5 kN)
2 3
4
A B
10 kN
DCL du noeud

51. 10 kN 20 kN 30 kN
40 kN
45 kN15 kN
40 kN
Diagramme de forme
En passant de l’intervalle 3 à
l’intervalle 2, on trace une force
verticale orientée vers le haut sur le
polygone de forces.
En ramenant cette force sur le DCL
du noeud, on en conclut que la
membrure 2-3 est comprimée.
A B C D
EF
G
1
2
3
4 5
6
7
8
Polygone de forces
a
b
(1 cm = 1 m)
c
de
f,1
g2
3
4
5
6
7
8
(1 cm = 5 kN)
2 3
4
A B
10 kN
DCL du noeud

52. 10 kN 20 kN 30 kN
40 kN
45 kN15 kN
40 kN
Diagramme de forme
On complète notre rotation autour
du noeud en se déplaçant de
l’intervalle 2 vers l’intervalle A. Sur
le polygone de forces, la force A-2
est donc orientée vers la droite.
En la ramenant sur le DCL du
noeud, on constate que la force est
orientée vers le noeud ce qui signifie
que la membrure est comprimée.
A B C D
EF
G
1
2
3
4 5
6
7
8
Polygone de forces
a
b
(1 cm = 1 m)
c
de
f,1
g2
3
4
5
6
7
8
(1 cm = 5 kN)
2 3
4
A B
10 kN
DCL du noeud

53. 10 kN 20 kN 30 kN
40 kN
45 kN15 kN
40 kN
Diagramme de forme
Sur le polygone de forces illustré ci-
contre, on a identifié les cinq forces
(une force externe et quatre efforts
internes) qui sollicitent le noeud.
On constate que le polygone de
forces fait l’addition vectorielle de
toutes les forces qui sollicitent le
noeud. On constate également que
le noeud est en équilibre statique
puisque le polygone de forces est
fermé.
A B C D
EF
G
1
2
3
4 5
6
7
8
Polygone de forces
a
b
(1 cm = 1 m)
c
de
f,1
g2
3
4
5
6
7
8
(1 cm = 5 kN)
2 3
4
A B
10 kN
DCL du noeud

54. 10 kN 20 kN 30 kN
40 kN
45 kN15 kN
40 kN
Diagramme de forme
Si on s’intéresse à un autre noeud, par
exemple le noeud qui relie les
intervalles F-6-7-8 (voir figure ci-
dessus), on constate que le polygone
de forces reproduit l’addition
vectorielle des forces sollicitant ce
noeud et que ces forces sont en
équilibre statique.
En répétant cette opération, on
constaterait que le polygone des forces
résout l’équilibre statique pour chacun
des noeuds du treillis.
A B C D
EF
G
1
2
3
4 5
6
7
8
Polygone de forces
a
b
(1 cm = 1 m)
c
de
f,1
g2
3
4
5
6
7
8
(1 cm = 5 kN)
DCL du noeud
6
7
F
8

55. Diagramme de forme
10 kN 20 kN 30 kN
40 kN
45 kN15 kN
40 kN
A B C D
EF
G
1
2
3
4 5
6
7
8
Diagramme d’efforts internes
(1 cm = 1 m)
On termine notre analyse en traçant le dia-
gramme d’efforts internes qui indique
l’intensité et la nature de efforts (tension ou
compression) dans chacune des membrures.
5
Polygone de forces
(1 cm = 5 kN)
a
b
c
de
f,1
g2
3
4
6
7
8
les efforts de compression sont représentés en bleu et
les efforts de tension sont représentés en rouge
10 kN 20 kN 30 kN
40 kN
45 kN15 kN
40 kN
E
55 kN 60 kN 60 kN 45 kN
45kN
45kN
20kN
15kN
15kN
15 kN 5 kN 40 kN
63,6
kN
21,2
kN
7,1kN
21,2
kN
0

56. Analyse structurale
de quelques
treillis usuels
56

57. 57
Treillis
de type
Pratt

58. 58
Dans les ailes du treillis (i.e. les membrures horizontales), les efforts augmentent
lorsqu'on se rapproche de son centre. Ce comportement est cohérent avec le
fait que ce sont essentiellement les ailes qui résistent au moment de flexion
(M) et que, pour une charge uniformément répartie, ce moment est nul aux
extrémités de la poutre et maximal au centre de la portée.
En revanche, les membrures qui constituent l'âme du treillis (i.e. les membrures
verticales et diagonales) affichent un comportement bien différent. On remarque
que toutes les membrures verticales sont comprimées et toutes les membrures
diagonales sont tendues. On remarque aussi que, dans ces membrures, les
efforts sont minimaux au centre de la travée et augmentent lorsqu'on se
rapproche des points d'appui. Ce comportement est aussi cohérent avec le fait
que le rôle de l'âme du treillis est d'acheminer l'effort tranchant (V) vers
les appuis et que, pour une charge uniformément répartie cet effort est maximal
aux appuis et nul au centre de la portée.

59. 59
Le diagramme d'efforts
internes révèle aussi que
l'effort interne est nul dans les
membrures I-1 et I-16. Cela
signifie que ces membrures
ne sont pas sollicitées et
qu'on pourrait les supprimer
sans que la stabilité du treillis
n'en soit compromise. La
suppression de ces mem-
brures constitue d'ailleurs une
pratique courante qui offre
notamment l'avantage de
libérer de l'espace près du
point d'appui pour faciliter le
passage de conduits de
mécanique.

60. 60
Un examen attentif du polygone de
forces est également riche en
enseignements. Sur ce diagramme,
on peut identifier l'enveloppe des
efforts internes, c'est-à-dire le
rectangle qui permet de tous les
englober, et le comparer à la charge
externe résultante supportée par le
treillis. Plus l'enveloppe des efforts
internes est compacte p/r à la charge
externe résultante, moins les efforts
internes sont élevés et plus la
structure est efficace. Pour le treillis
de type Pratt, la charge externe
résultante est donnée par l'addition
des sept charges externes de 60 kN
appliquées aux noeuds de la
membrure supérieure du treillis
(charge résultante = 7 x 60 kN = 420
kN). Elle peut être représentée par un
vecteur qui part du point a pour se
rendre au point h. L'enveloppe des
efforts, qui forme presqu'un carré, est
relativement compacte comparée à la
charge résultante ce qui signifie que
ce treillis est performant du point de
vue structural.

61. 61
Si on examine le polygone de forces
pour le treillis illustré ci-contre, on
constate que l’enveloppe des efforts
internes est un peu plus compacte
comparativement à la charge
externe résultante (un vecteur qui
part du point g pour se rendre au
point d). On en conclut que ce treillis
est légèrement plus performant que
le treillis de type Pratt de la page
précédente pour supporter les
charges qui lui sont imposées.

62. L'examen du polygone de forces permet souvent de prévoir l'impact de certaines modifications
géométriques sur la performance structurale d'un treillis. Par exemple, si on diminue la hauteur du treillis
de type Pratt, l’angle des diagonales va se rapprocher de l'horizontal et le polygone de forces va s'étirer
horizontalement. On en conclut que l'intensité des efforts internes dans les membrures est inversement
proportionnelle à la hauteur de treillis. Au moment de la conception d'un treillis, sa géométrie sera
adaptée à l'intensité des charges qu'il supporte et à la résistance du matériau qui le constitue. Par
exemple, le rapport de la portée sur la hauteur du treillis (L/h) sera élevé pour les poutrelles de plancher
en acier (typiquement L/h ⋍ 24) qui sont construites avec un matériau très résistant, l'acier, et qui
supportent de faibles charges. En revanche, ce rapport sera beaucoup plus faible pour les treillis en bois
(un matériau moins résistant) qui supportent des charges plus lourdes (typiquement L/h ⋍ 10).

63. 63
Treillis
de type
Howe

64. 64
Treillis
de type
Warren

65. 65
Treillis Pratt
Treillis Howe
Treillis Warren

66. Exemple 1
National Library
de Sejong City
Séoul, Corée du Sud
66

67. Bibliothèque de Sejong
67
La structure de ce
b â t i m e n t e s t
s u p p o r t é e p a r
deux immenses
treillis en acier qui
créent de longs et
s p e c t a c u l a i re s
porte-à faux à ses
deux extrémités.
L'un de ces porte-
à-faux atteint 25 m
de portée.

68. 68
Bibliothèque de Sejong

69. 69
Bibliothèque de Sejong

70. 70
Bibliothèque de Sejong

71. 71

72. Exemple 2
Conception d’une
toiture en treillis
72

73. 73
P re n o n s l ' e x e m p l e d ' u n
architecte qui souhaite utiliser
une structure en bois pour
recouvrir une grande salle multi-
fonctionnelle de 15 m de portée
à Québec. Cet exemple nous
fournira l'occasion d'illustrer
comment la méthode graphique
peut être utilisée comme outil de
conception structurale.
Dans un premier temps, notre
architecte veut utiliser des treillis
en bois de type Fink de 5 m de
hauteur espacés à 3 m c/c. Le
revêtement de toiture est
constitué d'un pontage en
planches de bois de 64 mm
d'épaisseur recouvert d'un
isolant rigide et d'un revêtement
métallique. Ce pontage est lui-
même déposé sur des poutrelles
en bois qui transmettent les
charges aux noeuds du treillis.

74. Estimation des charges
74
Le poids de la toiture peut être évalué simplement:
revêtement en bois: 5,5 kN/m3 × 0,064 m = 0,35 kN/m2
isolant rigide + membrane + revêt. métal. = 0,30 kN/m2
poids des treillis et des poutrelles ≃ 0,20 kN/m2
wD = 0,85 kN/m2
La charge de neige à Québec est égale à 3,8 kN/m2.
Chacun des trois noeuds situés sur la corde
supérieure du treillis supporte une largeur de toiture
correspondant au quart de la portée totale (15 m/4 =
3,75 m). Comme la corde supérieure est inclinée de
33,7° p/r à l'horizontale, chaque noeud supporte
une surface de toiture égale à 13,5 m2 (3 m × 4,5 m
= 13,5 m2). La charge morte appliquée à chacun des
noeuds (PD) est donc égale à:
3,75 m

75. 75
La charge de neige s'applique sur la projection horizontale du treillis
(les flocons de neige tombent verticalement et la quantité de neige
sur la toiture ne dépend pas de son inclinaison). On trouve donc que
la charge vive (PL) sur chacun des noeuds est égale à:
La charge totale majorée (PF) est donnée par:
3,75 m

76. Analyse statique
76
On remarque que le polygone de
forces est compact compara-
tivement à la charge externe
résultante ce qui indique que la
structure est efficace. Le polygone
de forces montre clairement que
c'est la pente élevée de la toiture qui
confère au treillis son efficacité
structurale (les efforts internes
augmenteraient si on diminuait cette
pente)

77. Dimensionnement des membrures
77
La membrure B-2 est la plus sollicitée avec un effort de compression
PF de 212 kN. L'élancement de cette membrure (Le) est égal à:
Le = k L = 1 × 4,5 m = 4,5 m
En consultant le tableau de sélection des profilés en bois lamellé-collé,
on choisit un profilé de 175x190 mm pour lequel PR = 258 kN > PF.
Par souci d'uniformité, ce profilé pourrait être utilisé pour toutes les
membrures du treillis.
En examinant le diagramme des efforts internes, notre architecte
remarque que les membrures sollicitées en tension pourraient être
remplacées par des tirants en acier et qui cela pourrait contribuer à
alléger la charpente de la structure. L'effort maximal de tension (TF) est
égal à 177 kN et, en supposant qu'on utilise un acier doux usuel (Ft =
350 MPa), le diamètre minimal du câble (d) est égal à:

78. 78
La figure ci-contre montre l'allure
du treillis où les membrures
t e n d u e s e n b o i s o n t é t é
remplacées par des tirants en
acier. On constate que cette
structure est visuellement plus
légère que la structure originale.
Notre architecte se dit que cette
structure serait probablement plus
expressive si on rehaussait la
membrure horizontale inférieure. À
l’aide de la méthode graphique, on
peut refaire l’analyse statique pour
la géométrie modifiée.

79. 79

80. 80
L'examen du polygone de forces et du diagramme des efforts internes
révèle que les modifications apportées à la géométrie du treillis ont eu
pour conséquence d'accroître l'intensité des efforts internes.
En observant le polygone de forces on constate également que, en
augmentant la pente de la toiture, on pourrait comprimer le polygone de
forces horizontalement et réduire ainsi les efforts internes dans les
membrures du treillis.
La figure de la page suivante montre qu'en augmentant la hauteur de
treillis de 5 à 7 m, on comprime le polygone de forces pour le ramener
l'intensité des efforts internes dans les membrures à des valeurs
légèrement supérieures à celles du treillis initial.

81. 81

82. 82
La membrure A-1 est la plus
sollicitée (PF = 280 kN) et son
élancement (Le) est égal à:
Le = k L = 1 × 5,6 m = 5,6 m
En consultant le tableau de
sélection des profilés en bois
lamellé-collé, on choisit un
p r o fi l é d e 2 1 5 x 2 2 8 m m
(PR = 371 kN > PF = 280 kN).
Ce profilé est plus gros que
celui choisi initialement
(175x190 mm). Les tirants en
acier sont légèrement plus
sollicités et leur diamètre
minimal est égal à:

83. 83
La structure peut résister efficacement aux charges horizontales exercées par le
vent qui souffle parallèlement au treillis. En revanche, si le vent souffle dans la
direction longitudinale du bâtiment (i.e. perpendiculairement au treillis), le pontage
en planches de bois doit agir comme un diaphragme pour ramener les charges
horizontales aux sommets des murs. En examinant la structure, notre architecte se
dit que, en croisant les câbles dans la direction longitudinale du bâtiment, il
augmenterait considérablement la stabilité de la structure dans cette direction et
que, visuellement, le croisement des câbles viendrait rompre la monotonie de la
construction et lui conférer plus de dynamisme sans accroître les efforts de
compression dans les membrures en bois. De plus, comme le pontage en bois de
la toiture n'agit plus comme un diaphragme, il serait alors possible de percer de
larges ouvertures dans la toiture pour laisser entrer la lumière, une possibilité que
l'architecte n'avait pas envisagée initialement.

84. 84
Peut-on modifier la géométrie de notre treillis
pour le rendre encore plus léger? se
demande notre architecte. Si on pouvait
remplacer les deux membrures inclinées en
bois par des câbles se serait rudement bien
se dit-il. Est-ce possible? En regardant
attentivement le polygone de forces, il
constate que, en modifiant l'inclinaison de la
droite B-2 pour la rapprocher de l'horizontale,
le point 2 se déplace par aller se placer au-
dessus du point 1. Cela a pour conséquence
d'inverser la direction de la force B-2 qui
passe alors de la compression à la tension.
Par symétrie, on obtiendra un résultat
similaire en diminuant l'inclinaison de la
membrure C-4. La page suivante montre le
résultat obtenu de l'analyse statique par la
méthode graphique lorsque l'on abaisse le
sommet du treillis de 2 m (on revient alors la
hauteur initiale de 5 m pour le treillis) pour
réduire l'angle d'inclinaison des membrures
B-2 et C-4.

85. 85

86. 86
Comme prévu, le diagramme
des efforts internes indique que
toutes les membrures formant
l'âme du treillis sont maintenant
tendues. Il indique également
que l'intensité des efforts
i n t e r n e s m a x i m a u x e s t
légèrement diminuée p/r au
treillis précédent. La structure
obtenue se révèle bien plus
légère que le treillis initial ce qui
était précisément le but
recherché.

87. 87
Comme pour le treillis précédent, on
peut accroître la stabilité horizontale de
la structure et lui donner une
apparence plus dynamique en croisant
l e s c â b l e s d a n s l a d i re c t i o n
longitudinale du bâtiment. La
démarche d'optimisation structurale
donne, au final, une charpente plus
efficace, qui utilise moins de matériau
et qui est plus intéressante d'un point
de vue architecturale que la structure
banale du départ. En prime, puisque le
revêtement de la toiture est libéré de
sa fonction structurale de diaphragme,
d e s o u v e r t u re s p e u v e n t ê t re
pratiquées librement sur la toiture pour
laisser entrer la lumière (on pourrait
a u s s i u t i l i s e r d e s m a t é r i a u x
translucides comment éléments
d'enveloppe).
Cet exemple montre bien comment la
méthode graphique peut être utilisée
comme un outil au service de la
conception architecturale.