1) O documento discute funções trigonométricas periódicas e determina seus períodos mínimos positivos. 2) É resolvido o período mínimo de funções como sen(4x-1), cos(πx-1) e tg(5x+4). 3) O período varia de acordo com a função trigonométrica, sendo π/2 para sen(4x-1), 2 para cos(πx-1) e π/5 para tg(5x+4).

1. Matemática 1 Anatolie Sochirca ACM DEETC ISEL
Exercícios resolvidos. Funções trigonométricas e as suas inversas.
Definição. A função f (x) de domínio D f diz-se periódica com o valor do
período mínimo positivo T se:
a) ∀x ∈ D f tem-se x ± T ∈ D f ;
b) f ( x ± T ) = f ( x) .
Nota. O domínio de uma função periódica é um conjunto ilimitado à esquerda e à
direita.
1) Determinar, caso existem, os valores dos períodos mínimos positivos das funções.
1.1) f ( x) = sen(4 x − 1) .
A função f ( x) = sen(4 x − 1) é f (u ) = senu de domínio R composta com a
função u = 4 x − 1 de domínio R e contradomínio R . Portanto D f = R .
Seja T > 0 .
Porque D f = R resulta que ∀x ∈ D f tem-se x ± T ∈ D f .
f ( x ± T ) = sen(4 ⋅ ( x ± T ) − 1) = sen(4 ⋅ x ± 4 ⋅ T − 1) = sen((4 ⋅ x − 1) ± 4 ⋅ T ) = (∗)
Substituindo 4 ⋅ x − 1 = α na continuação temos :
(∗) = sen(α ± 4 ⋅ T ) = (∗ ∗)
Porque o valor do período mínimo positivo da função seno é 2π e ∀α ∈ R tem-se
2π π π
sen(α ± 2π ) = senα fazendo ± 4T = ±2π obtemos T = = . Portanto T = éo
4 2 2
valor mínimo positivo que verifica a relação ± 4T = ±2π é portanto é o período
π
mínimo positivo da função. Substituindo T = na continuação temos:
2
(∗ ∗) = sen  α ± 4 ⋅ π  = sen(α ± 2π ) = senα = sen(4 x − 1) .
 
 2
Portanto foi provado que para a função f ( x) = sen(4 x − 1) de domínio R tem-se:
π
a) ∀x ∈ D f = R tem-se x ± ∈ Df = R ;
2
 π
b) f  x ±  = f ( x) ,
 2
π
isto é, T = é o período mínimo positivo da função.
2
1

2. Matemática 1 Anatolie Sochirca ACM DEETC ISEL
1.2) f ( x) = cos (π ⋅ x − 1) .
A função f ( x) = cos (π ⋅ x − 1) é f (u ) = cos u de domínio R composta com a
função u = π ⋅ x − 1 de domínio R e contradomínio R . Portanto D f = R .
Seja T > 0 .
Porque D f = R resulta que ∀x ∈ D f tem-se x ± T ∈ D f .
f ( x ± T ) = cos (π ⋅ ( x ± T ) − 1) = cos (π ⋅ x ± π ⋅ T − 1) = cos ((π ⋅ x − 1) ± π ⋅ T ) = (∗)
Substituindo π ⋅ x − 1 = α na continuação temos :
(∗) = cos (α ± π ⋅ T ) = (∗ ∗)
Porque o valor do período mínimo positivo da função cosseno é 2π e ∀α ∈ R tem-se
cos (α ± 2π ) = cos α fazendo ± π ⋅ T = ±2π obtemos T = 2 . Portanto T = 2 é o valor
mínimo positivo que verifica a relação ± π ⋅ T = ±2π é portanto é o período mínimo
positivo da função. Substituindo T = 2 na continuação temos:
(∗ ∗) = cos (α ± π ⋅ 2) = cos α = cos (π ⋅ x − 1) .
Portanto foi provado que para a função f ( x) = cos (π ⋅ x − 1) de domínio R tem-se:
a) ∀x ∈ D f = R tem-se x ± 2 ∈ D f = R ;
b) f ( x ± 2) = f ( x) ,
isto é, T = 2 é o período mínimo positivo da função.
1.3) f ( x) = c os ( 2 ⋅ x − 1) .
A função f ( x) = c os ( 2 ⋅ x − 1) é f (u ) = cos u de domínio R composta com a
função u = 2 ⋅ x − 1 de domínio R e contradomínio R . Portanto D f = R .
Seja T > 0 .
Porque D f = R resulta que ∀x ∈ D f tem-se x ± T ∈ D f .
f ( x ± T ) = cos ( 2 ⋅ ( x ± T ) − 1) = cos ( 2 ⋅ x ± 2 ⋅ T − 1) = c os (( 2 ⋅ x − 1) ± 2 ⋅ T ) = (∗)
Substituindo 2 ⋅ x − 1 = α na continuação temos :
(∗) = cos (α ± 2 ⋅ T ) = (∗ ∗)
Porque o valor do período mínimo positivo da função cosseno é 2π e ∀α ∈ R tem-se
2π
cos (α ± 2π ) = cos α fazendo ± 2 ⋅ T = ±2π obtemos T = = 2π . Portanto
2
2

3. Matemática 1 Anatolie Sochirca ACM DEETC ISEL
T = 2π é o valor mínimo positivo que verifica a relação ± 2 ⋅ T = ±2π é portanto é
o período mínimo positivo da função. Substituindo T = 2π na continuação temos:
(∗ ∗) = cos (α ± 2 ⋅ 2 ⋅ π ) = cos (α ± 2 ⋅ π ) = cos α = cos ( 2 ⋅ x − 1) .
Portanto foi provado que para a função f ( x) = c os ( 2 ⋅ x − 1) de domínio R tem-se:
a) ∀x ∈ D f = R tem-se x ± 2 ⋅ π ∈ D f ;
b) ( )
f x ± 2 ⋅ π = f ( x) ,
isto é, T = 2 ⋅ π é o período mínimo positivo da função.
1.4) f ( x) = tg (5 ⋅ x + 4) .
O domínio da função f ( x) = tg (5 ⋅ x + 4) é
 π 
D f = R { x ∈ R : cos (5 x + 4) = 0 } = R  x ∈ R : 5 x + 4 = + k ⋅ π , k ∈ Z  =
 2 
 π 4 π  π 4 π π 4 π 
= R  x∈R: x = − + k ⋅ , k ∈ Z  = U  − + k ⋅ , − + (k + 1) ⋅  .
 10 5 5  k∈Z  10 5 5 10 5 5
Seja T > 0 .
f ( x ± T ) = tg (5 ⋅ ( x ± T ) + 4) = tg (5 ⋅ x ± 5 ⋅ T + 4) = tg ((5 ⋅ x + 4) ± 5 ⋅ T ) = (∗)
Substituindo 5 ⋅ x + 4 = α na continuação temos :
(∗) = tg (α ± 5 ⋅ T ) .
Porque o valor do período mínimo positivo da função tangente é π e para qualquer α
do domínio da função tangente tem-se tg (α ± π ) = tg α fazendo ± 5 ⋅ T = ±π obtemos
π π
T= . Portanto T = é o valor mínimo positivo que verifica a relação ± 5 ⋅ T = ± π .
5 5
π
Com T = tem-se:
5
 π 4 π  π
x ∈ Df = R  x ∈ R : x = − +k⋅ , k∈N  ⇒ x± ∈ Df .
 10 5 5  5
π 4 π π 4 π 
Se x ∈  − + k ⋅ , − + (k + 1) ⋅  então
 10 5 5 10 5 5
3

4. Matemática 1 Anatolie Sochirca ACM DEETC ISEL
π π 4 π π 4 π 
x− ∈  − + (k − 1) ⋅ , − +k⋅ 
5  10 5 5 10 5 5
e
π
π 4 π π 4 π 
x+
∈  − + (k + 1) ⋅ , − + ( k + 2) ⋅  .
5  10 5 5 10 5 5
Portanto foi provado que para a função f ( x) = tg (5 ⋅ x + 4) de domínio
 π 4 π  π 4 π π 4 π 
Df = R  x ∈ R : x = − + k ⋅ , k ∈ Z  = U  − + k ⋅ , − + (k + 1) ⋅ 
 10 5 5  k∈Z  10 5 5 10 5 5
tem-se:
π
a) ∀x ∈ D f tem-se x ± ∈ Df ;
5
 π
b) f  x ±  = f ( x) ,
 5
π
isto é, T = é o período mínimo positivo da função.
5
1.5) f ( x) = sen (3 2 ⋅ x + 4) .
A função f ( x) = sen (3 2 ⋅ x + 4) é f (u ) = sen u de domínio R composta com
a função u = 3 2 ⋅ x + 4 de domínio R e contradomínio R . Portanto D f = R .
Seja T > 0 .
Porque D f = R resulta que ∀x ∈ D f tem-se x ± T ∈ D f .
f ( x ± T ) = sen (3 2 ⋅ ( x ± T ) + 4) = sen (3 2 ⋅ x ± 3 2 ⋅ T + 4) = sen ((3 2 ⋅ x + 4) ± 3 2 ⋅ T ) = (∗)
Substituindo 3 2 ⋅ x + 4 = α na continuação temos :
4

5. Matemática 1 Anatolie Sochirca ACM DEETC ISEL
(∗) = sen (α ± 3 2 ⋅ T ) = (∗ ∗)
Porque o valor do período mínimo positivo da função seno é 2π e ∀α ∈ R tem-se
2π 2π
sen (α ± 2π ) = sen α fazendo ± 3 2 ⋅ T = ±2π obtemos T = = . Portanto
3 2 3
2π
T= é o valor mínimo positivo que verifica a relação ± 3 2 ⋅ T = ±2π é portanto
3
2π
é o período mínimo positivo da função. Substituindo T = na continuação temos:
3
( )
(∗ ∗) = sen (α ± 3 2 ⋅ T ) = sen (α ± 3 2 ⋅ 2π ) = sen (α ± 2π ) = senα = sen 3 2 ⋅ x + 4 .
3
Portanto foi provado que para a função f ( x) = sen (3 2 ⋅ x + 4) de domínio R tem-se:
2π
a) ∀x ∈ D f = R tem-se x ± = Df ;
3
 2π 
b) f x±

 = f ( x) ,
 3 
2π
isto é, T = é o período mínimo positivo da função.
3
1.6) f ( x) = sen(4 x − 1) − tg (5 ⋅ x + 4) .
D f = Dsen I Dtg .
Dsen = R (exemplo 1.1)
e
 π 4 π 
Dtg = R  x ∈ R : x = − + k ⋅ , k ∈ Z  (exemplo 1.4).
 10 5 5 
Portanto o domínio da função f ( x) = sen(4 x − 1) − tg (5 ⋅ x + 4) é
  π 4 π 
Df = R I  R  x ∈ R : x =
 − +k⋅ , k ∈Z  =

  10 5 5 
5

6. Matemática 1 Anatolie Sochirca ACM DEETC ISEL
 π 4 π  π 4 π π 4 π 
= R  x∈R: x = − + k ⋅ , k ∈ Z  = U  − + k ⋅ , − + (k + 1) ⋅  .
 10 5 5  k∈Z  10 5 5 10 5 5
A função f 1 ( x) = sen(4 x − 1) é periódica e o valor do período mínimo positivo
π
é Tsen = (exemplo 1.1).
2
A função f 2 ( x) = tg (5 ⋅ x + 4) é periódica e o valor do período mínimo positivo
π
é Ttg = (exemplo 1.4).
5
Levando em conta que para a função periódica f 1 ( x) = sen(4 x − 1) com o
π π
valor do período mínimo positivo Tsen = tem-se que n ⋅ Tsen = n ⋅
, n ∈ N , também
2 2
é período da função e para a função periódica f 2 ( x) = tg (5 ⋅ x + 4) com o valor do
π π
período mínimo positivo Ttg = tem-se que m ⋅ Tsen = m ⋅
, m ∈ N , também é
5 5
período da função concluímos que o período da função
f ( x) = sen(4 x − 1) − tg (5 ⋅ x + 4) , caso existe, Portanto o período mínimo positivo T f
da função f ( x) = sen(4 x − 1) − tg (5 ⋅ x + 4) , caso existe, verifica a relação
π π
T f = n ⋅ Tsen = n ⋅ = m ⋅ Ttg = m ⋅
.
2 5
Porque com n, m ∈ N a relação
π 2π
n⋅ = m⋅ ⇔ n = m⋅
2 5 5
se verifica para n = 2, m = 5 concluímos que a função f ( x) = sen(4 x − 1) − tg (5 ⋅ x + 4)
π π
é periódica e o valor do período mínimo positivo é T f = n ⋅ =m⋅ =π .
2 5
6

7. Matemática 1 Anatolie Sochirca ACM DEETC ISEL
1.7) f ( x) = cos ( 2 ⋅ x − 1) + sen (3 2 ⋅ x + 4) .
D f = Dc os I Dsen .
Dc os = R (exemplo 1.3) e Dsen = R (exemplo 1.5).
Portanto o domínio da função f ( x) = cos ( 2 ⋅ x − 1) + sen (3 2 ⋅ x + 4) é D f = R .
Porque D f = R resulta que ∀x ∈ D f tem-se x ± T ∈ D f , ∀T > 0 .
A função f 1 ( x) = c os ( 2 ⋅ x − 1) é periódica e o valor do período mínimo
positivo é Tc os = 2π (exemplo 1.3).
A função f 2 ( x) = sen (3 2 ⋅ x + 4) é periódica e o valor do período mínimo
2π
positivo é Tsen = (exemplo 1.5).
3
Portanto o período mínimo positivo Tf da
função f ( x) = cos ( 2 ⋅ x − 1) + sen (3 2 ⋅ x + 4) , caso existe, verifica a relação
2π
T f = n ⋅ Tc os = n ⋅ 2π = m ⋅ Tsen = m ⋅
.
3
Porque com n, m ∈ N a relação
2π m
n ⋅ 2π = m ⋅ ⇔ n=
3 3
se verifica para n = 1, m = 3 concluímos que a função
f ( x) = cos ( 2 ⋅ x − 1) + sen (3 2 ⋅ x + 4) é periódica e o valor do período mínimo
2π
positivo é T f = n ⋅ 2π = m ⋅ = 2π .
3
7

8. Matemática 1 Anatolie Sochirca ACM DEETC ISEL
1.8) f ( x) = cos (π ⋅ x − 1) + sen (3 2 ⋅ x + 4) .
D f = Dc os I Dsen .
Dc os = R (exemplo 1.2) e Dsen = R (exemplo 1.5).
Portanto o domínio da função f ( x) = cos (π ⋅ x − 1) + sen (3 2 ⋅ x + 4) é D f = R .
Porque D f = R resulta que ∀x ∈ D f tem-se x ± T ∈ D f , ∀T > 0 .
A função f 1 ( x) = c os (π ⋅ x − 1) é periódica e o valor do período mínimo positivo
é Tc os = 2 (exemplo 1.2).
A função f 2 ( x) = sen (3 2 ⋅ x + 4) é periódica e o valor do período mínimo
2π
positivo é Tsen = (exemplo 1.5).
3
Portanto o período mínimo positivo Tf da
função f ( x) = cos ( 2 ⋅ x − 1) + sen (3 2 ⋅ x + 4) , caso existe, verifica a relação
2π
T f = n ⋅ Tc os = n ⋅ 2 = m ⋅ Tsen = m ⋅ .
3
Porque
2π 2π π
n⋅2 = m⋅ ⇔ n = m⋅ = m⋅
3 6 3 2
e não existem n, m ∈ N que verificam a relação concluímos que a função
f ( x) = cos (π ⋅ x − 1) + sen (3 2 ⋅ x + 4) não é periódica.
1.9) f ( x) = cos x 2 . ( )
( )
A função f ( x) = cos x 2 é f (u ) = cos u de domínio R composta com a função
u = x 2 de domínio R e contradomínio R0+ . Portanto D f = R .
Com T > 0 tem-se:
2
(
cos (x ) = cos ( x ± T )
2
)
⇔ cos (x 2 ) = c os (x 2 ± 2 xT + T 2 ) ⇔
( ) ( (
cos x 2 = cos x 2 ± 2 xT m T 2 )) ⇔ (∗)
8

9. Matemática 1 Anatolie Sochirca ACM DEETC ISEL
Levando em conta que o período mínimo positivo da função cosseno é 2π tem-se:
− 2 x ± 4 x 2 ± 8π
2 xT m T 2 = 2π ⇔ m T 2 + 2 xT − 2π = 0 ⇔ T = .
m2
Obtemos que T depende de x e portanto não existe T > 0 tal que ∀x ∈ R se verifica
( )
cos (x 2 ) = c os ( x ± T ) , isto é, a função f ( x) = cos (x 2 ) não é periódica.
2
2) Calcular os valores das seguintes expressões que envolvem as funções
trigonométricas e as funções trigonométricas inversas:
 37π 
2.1) arcsen  sen .
 6 
Levando em conta que a função y = sen x tem o domínio Dsen = R e o
contradomínio CDsen = [ −1, 1 ] , e a função y = arcsen x tem o domínio
 π π 
Darcsen = CDsen = [ −1, 1 ] e o contradomínio CDarcsen =  − ,  (a restrição principal
 2 2
da função y = sen x ) resulta que
 π π 
arcsen  sen x  = x , se e só se x ∈  − ,  .
 
   2 2
Na base da periodicidade da função y = sen x tem-se sen(α + 2kπ ) = senα , ∀ α ∈ R e
∀k ∈ Z .
Então temos:
 37π    36π π     π 
arcsen  sen  = arcsen  sen 
 +   = arcsen  sen  6π +   =
 
 6    6 6    6 

 π π
= arcsen  sen  = .
 6 6
9

10. Matemática 1 Anatolie Sochirca ACM DEETC ISEL
  45π  
2.2) arcsen  sen  −
  .
  4  
Analogamente tem-se:
  45π     40π 5π     5π  
arcsen  sen  −
   = arcsen  sen  −
  −   = arcsen  sen  − 10π −
   =
  4    4 4    4 
  5π     π   π π
= arcsen  sen  −
   = arcsen  sen  − π −   = arcsen  sen  = .
  
  4    4   4 4
 43π 
2.3) arc cos  c os .
 6 
Levando em conta que a função y = c os x tem o domínio Dc os = R e o
contradomínio CDc os = [ −1, 1 ] , e a função y = arccos x tem o domínio
 
Darcc os = CDc os = [ −1, 1 ] e o contradomínio CDarcc os =  0 , π  (a restrição principal da
 
função y = c os x ) resulta que
 
arccos  cos x  = x , se e só se x ∈  0 , π  .
 
   
Na base da periodicidade da função y = c os x tem-se cos (α + 2kπ ) = c osα , ∀ α ∈ R
e ∀k ∈ Z .
Então temos:
 43π    36π 7π     7π  
arc cos  cos  = arc cos  c os 
 +   = arcc os  cos  6π +
   =
 6    6 6    6 
 7π    5π     5π  
= arc cos  c os  = arc cos  cos  2π −
   = arc cos  c os −
   =

 6    6    6 
  5π   5π
= arc cos  c os
  =
 .
  6  6
  28π 
2.4) arc cos  cos  −
  .

  3 
Analogamente tem-se:
  28π     28π     24π 4π  
arc cos  cos  −
   = arcc os  cos 
    = arc cos  cos 
  +  =
  3    3    3 3 

  4π     4π     2π  
= arc cos  c os  8π +
   = arcc os  cos 
    = arcc os  cos  2π −
   =
  3    3    3 
  2π     2π   2π
= arc cos  c os  −
   = arc cos  c os 
   =
 .
  3    3  3
10

11. Matemática 1 Anatolie Sochirca ACM DEETC ISEL
  11π  
2.5) arc sen  cos 
  .

  3 
  11π     12π π     π 
arc sen  cos 
   = arc sen  c os 
  −   = arc sen  cos  4π −   =
 
  3    3 3    3 

  π    π    π π 
= arc sen  c os  −   = arc sen  cos    = arc sen  sen  −   =
     
  3    3    2 3 
  π  π
= arc sen  sen    = .
 
  6  6
  29π  
2.6) arc cos  sen  −
  .
  9 
  29π     36π 7π     7π 
arc cos  sen  −
   = arc cos  sen  −
  +   = arc cos  sen  − 4π +
   =

  9    9 9    9 
  7π     π 5π     5π   5π
= arc cos  sen 
   = arc cos  sen  +
    = arccos  c os    =
   .
  9    2 18     18   18
  1 
2.7) tg  arc cos 
   .

  3 
senα
Levando em conta que tgα = e que com − 1 ≤ c ≤ 1 tem-se
c osα
cos (arcc os (c )) = c obtemos
  1    1 
sen  arcc os 
    sen  arcc os 
   

  1    3    3 
 arc cos 
tg   
 = = = (∗)
  3    1  1
cos  arcc os 
  

  3  3
 1 
Seja arc cos    = α com α ∈ [ 0 , π ] (na base da definição da função y = arcc os x ).

 3
Levando em conta que sen 2α + cos 2α = 1 ⇔ senα = ± 1 − c os 2α e com
α ∈ [ 0, π ] tem-se
2
  1     1 
senα = 1 − cos α = 1 − cos  arc cos 
2

2
   = 1 −  cos arcc os 
    =

 3    3 
   
2
 1  1 2 2
= 1−   = 1− =
 = .
 3 3 3 3
na continuação temos
  1  2
sen  arcc os 
  

 3   sen (α )
(∗) =  = =
3
= 2.
1 1 1
3 3 3
11

12. Matemática 1 Anatolie Sochirca ACM DEETC ISEL
  41π    25π 
2.8) arctg  tg 
   + tg  arctg 
   .

  6    6 
Na base da definição da função y = arctg x tem-se:
 π π 
arctg (tg x ) = x, ∀x ∈  − ,  e tg (arctg x ) = x, ∀x ∈ R .
 2 2
Portanto temos:
  41π     25π
   42π π   25π
arctg  tg 
   + tg  arctg 
    = arctg  tg 
  −  + =
  6    6
   6 6 
 6
  π   25π   π   25π π 25π
= arctg  tg  7π −   +
  = arctg  tg  −   +
  =− + = 4π .
  6  6   6  6 6 6
  41π    25π 
2.9) arcctg  ctg 
   + ctg  arcctg 
   .

  6    6 
Na base da definição da função y = arcctg x tem-se:
arcctg (ctg x ) = x, ∀x ∈ ] 0 , π [ e ctg (arcctg x ) = x, ∀x ∈ R .
Portanto temos:
  41π    25π     36π 5π   25π
arcctg  ctg 
   + ctg  arcctg 
    = arcctg  ctg 
  +  + =
  6    6    6 6  6
  5π   25π   5π   25π 5π 25π 30π
= arcctg  ctg  6π +
  +
 = arcctg  ctg    +
  = + = = 5π .
  6  6   6  6 6 6 6
  41π    25π 
2.10) arctg  ctg 
   + ctg  arctg 
   .

  6    6 
  41π     42π π     π    π 
arctg  ctg 
   = arctg  ctg 
  −   = arctg  ctg  7π −   = arctg  ctg  −   =
    
  6    6 6    6    6 
  π  π
= arctg  tg  −   = − .
 
  3  3
  25π  1 1 6
ctg  arctg 
  =
 = = .
  6    25π  25π 25π
tg  arctg 
 

  6  6
Portanto
  41π    25π  π 6 − 25π 2 + 18
arctg  ctg 
   + ctg  arctg 
   = − +
 = .
  6    6  3 25π 75π
12

13. Matemática 1 Anatolie Sochirca ACM DEETC ISEL
  41π    25π 
2.11) arcctg  tg 
   + tg  arcctg 
   .

  6    6 
  41π     42π π     π    π 
arcctg  tg 
   = arcctg  tg 
  −   = arcctg  tg  −   = arcctg  − tg    =
    
  6    6 6    6    6 
  π π    π    π 
= arcctg  − ctg  −   = arcctg  − ctg    = arcctg  ctg  −   =
     
  2 6    3    3 
  π    2π   2π
= arcctg  ctg  − + π   = arcctg  ctg 
    =
 .
  3    3  3
  25π  1 1 6
tg  arcctg 
  =
 = = .
  6    25π  25π 25π
ctg  arcctg 
 

  6  6
Portanto
  41π    25π   2π 6 50π 2 + 18
arcctg  tg 
   + tg  arcctg 
  = + = .
  6    6   3 25π 75π
13