§1. Vetores, matrizes e sistemas lineares Aula 1: Matrizes 1) Uma matriz é definida como uma tabela de números dispostos em linhas e colunas; 2) Matrizes especiais incluem matrizes linha, coluna e quadradas; 3) A igualdade entre matrizes ocorre quando possuem as mesmas dimensões e elementos iguais.

1. Álgebra Linear l
Volume 1 - 2ª edição Luiz Manoel Figueiredo
Marisa Ortegoza da Cunha

2. Fundação Cecierj / Consórcio Cederj
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Luiz Manoel Figueiredo
Material Didático
ELABORAÇÃO DE CONTEÚDO COORDENAÇÃO GRÁFICA
Luiz Manoel Figueiredo Jorge Moura
Marisa Ortegoza da Cunha
PROGRAMAÇÃO VISUAL
EDITORA Equipe Cederj
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COORDENAÇÃO EDITORIAL Eduardo Bordoni
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ILUSTRAÇÃO
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REVISÃO TIPOGRÁFICA Márcia Almeida
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Nenhuma parte deste material poderá ser reproduzida, transmitida e gravada, por qualquer meio
eletrônico, mecânico, por fotocópia e outros, sem a prévia autorização, por escrito, da Fundação.
972m
Figueiredo, Luiz Manoel.
Álgebra linear l. v.1 / Luiz Manoel Figueiredo.
– 2.ed. – Rio de Janeiro : Fundação CECIERJ, 2005.
81p.; 21 x 29,7 cm.
ISBN: 85-89200-44-2
1. Álgebra linear. 2. Vetores. 3. Matrizes. 4. Sistemas
lineares. 5. Determinantes. I. Cunha, Marisa Ortegoza da.
II. Título.
2005/1 CDD:512.5
Referências Bibliográficas e catalogação na fonte, de acordo com as normas da ABNT.

3. IVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ
UN
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ
SECRETARIA ESPECIAL DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA
INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E NATURAIS
FACULDADE DE QUÍMICA
REITOR
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VICE-REITORA
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PRÓ-REITOR DE ENSINO DE GRADUAÇÃO
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SECRETÁRIA ESPECIAL DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA
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DIRETOR DO INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E NATURAIS
Prof. Dr. Geraldo Narciso
DIRETOR DAFACULDADE DE QUÍMICA
Prof. Dr. Heriberto R. Bittencourt
Este material foi gentilmente cedido pelo Consórcio CEDERJ,
para o uso restrito da Licenciatura em Matemática
na modalidade a distância sem ônus para a UFPA.

5. Álgebra II Volume 1
SUMÁRIO
§1 Vetores, matrizes e sistemas lineares _________________________________ 7
Aula 1 Matrizes ____________________________________________________________ 9
Aula 2 Operações com matrizes: transposição, adição e multiplicação por
número real ________________________________________________________ 17
Aula 3 Operações com matrizes: multiplicação _____________________________ 29
Aula 4 Operações com matrizes: inversão __________________________________ 39
Aula 5 Determinantes ______________________________________________________ 49
Aula 6 Sistemas lineares ____________________________________________________ 59
Aula 7 Discussão de sistemas lineares _______________________________________ 73
Aula 8 Espaço vetoriais ____________________________________________________ 83
Aula 9 Subespaços vetoriais ________________________________________________ 95
Aula 10 Combinações lineares ______________________________________________ 105
Aula 11 Base e dimensão ___________________________________________________ 115
Aula 12 Dimensão de um espaço vetorial ___________________________________ 123
Aula 13 Soma de subespaços _______________________________________________ 135
Aula 14 Espaços vetoriais com produto interno _______________________________ 149
Aula 15 Conjuntos ortogonais e ortonormais _________________________________ 161
Aula 16 Complemento ortogonal ___________________________________________ 173
Aula 17 Exercícios resolvidos ________________________________________________ 181

7. §1. Vetores, matrizes e sistemas lineares
e ´
O que ´ Algebra Linear? Por que estud´-la?
a
´
A Algebra Linear ´ a area da Matem´tica que estuda todos os aspectos
e ´ a
relacionados com uma estrutura chamada Espa¸o Vetorial.
c Estrutura matem´tica ´ um
a e
conjunto no qual s˜o defini-
a
Devido as suas caracter´
` ısticas, essa estrutura permite um tratamento das opera¸˜es. As proprie-
co
alg´brico bastante simples, admitindo, inclusive, uma abordagem computa-
e dades dessas opera¸˜es “es-
co
truturam”o conjunto. Tal-
´
cional. A Algebra Linear tem aplica¸˜es em in´ meras areas, tanto da mate-
co u ´ vez vocˆ j´ tenha ouvido falar
e a
em alguma das principais es-
m´tica quanto de outros campos de conhecimento, como Computa¸˜o Gr´fica,
a ca a
truturas matem´ticas, como
a
Gen´tica, Criptografia, Redes El´tricas etc.
e e grupo, anel e corpo. Vocˆ e
estudar´ essas estruturas nas
a
Nas primeiras aulas deste m´dulo estudaremos algumas ferramentas
o ´
disciplinas de Algebra.
para o estudo dos Espa¸os Vetoriais: as matrizes, suas opera¸˜es e proprie-
c co
dades; aprenderemos a calcular determinantes e, finalmente, aplicaremos esse
conhecimento para discutir e resolver sistemas de equa¸˜es lineares. Muitos
co
dos principais problemas da f´ısica, engenharia, qu´
ımica e, ´ claro, da ma-
e
tem´tica, recaem (ou procuramos fazer com que recaiam) num sistema de
a
´
equa¸˜es lineares. A partir da aula 8, estaremos envolvidos com Algebra Li-
co
near propriamente dita e esperamos que vocˆ se aperceba, ao longo do curso,
e
de que se trata de uma das areas mais l´ dicas da Matem´tica!!.
´ u a
7 CEDERJ

9. Matrizes
´
MODULO 1 - AULA 1
Aula 1 – Matrizes
Objetivos
Reconhecer matrizes reais;
Identificar matrizes especiais e seus principais elementos;
Estabelecer a igualdade entre matrizes.
Consideremos o conjunto de alunos do CEDERJ, ligados ao p´lo Lugar
o
´
Lindo, cursando a disciplina Algebra Linear 1. Digamos que sejam 5 alunos
(claro que esperamos que sejam muitos mais!). Ao longo do semestre, eles
far˜o 2 avalia¸˜es a distˆncia e 2 presenciais, num total de 4 notas parciais.
a co a
Para representar esses dados de maneira organizada, podemos fazer uso de
uma tabela:
aluno AD1 AD2 AP1 AP2
1. Ana 4,5 6,2 7,0 5,5
2. Beatriz 7,2 6,8 8,0 10,0
3. Carlos 8,0 7,5 5,9 7,2
4. Daniela 9,2 8,5 7,0 8,0
5. Edson 6,8 7,2 6,8 7,5
Se quisermos ver as notas obtidas por um determinado aluno, digamos,
o Carlos, para calcular sua nota final, basta atentarmos para a linha corres-
pondente (8,0; 7,5; 5,9; 7,2); por outro lado, se estivermos interessados nas
notas obtidas pelos alunos na segunda verifica¸˜o a distˆncia, para calcular
ca a
a m´dia da turma, devemos olhar para a coluna correspondente (6,2; 6,8;
e
7,5; 8,5; 7,2). Tamb´m podemos ir diretamente ao local da tabela em que
e
se encontra, por exemplo, a nota de Carlos na segunda avalia¸˜o a distˆncia
ca a
(7,5).
´
E esse tipo de tratamento que as matrizes possibilitam (por linhas, por
colunas, por elemento) que fazem desses objetos matem´ticos instrumentos
a
valiosos na organiza¸˜o e manipula¸˜o de dados.
ca ca
Vamos, ent˜o, a defini¸˜o de matrizes.
a ` ca
9 CEDERJ

10. Matrizes
Álgebra Linear 1
Defini¸˜o
ca
Uma matriz real A de ordem m × n ´ uma tabela de mn n´ meros reais,
e u
dispostos em m linhas e n colunas, onde m e n s˜o n´ meros inteiros positivos.
a u
Os elementos de uma ma-
triz podem ser outras enti-
dades, que n˜o n´meros re-
a u Uma matriz real de m linhas e n colunas pode ser representada por
ais. Podem ser, por exem- Am×n (R). Neste curso, como s´ trabalharemos com matrizes reais, usaremos
o
plo, n´meros complexos, po-
u
linˆmios, outras matrizes etc.
o a nota¸˜o simplificada Am×n , que se lˆ “A m por n”. Tamb´m podemos
ca e e
escrever A = (aij ), onde i ∈ {1, ..., m} ´ o ´
e ındice de linha e j ∈ {1, ..., n} ´
e
o´ındice de coluna do termo gen´rico da matriz. Representamos o conjunto
e
de todas as matrizes reais “m por n”por Mm×n (R). Escrevemos os elementos
As barras simples s˜o usadas
a de uma matriz limitados por parˆnteses, colchetes ou barras duplas.
e
para representar determinan-
tes, como veremos na aula 5.
 
Exemplo 1 2 −3
 
1. Uma matriz 3 × 2 :  1 0 
√
2 17
5 3
2. Uma matriz 2 × 2 :
−1 1/2
−4
3. Uma matriz 3 × 1 : 0
11
De acordo com o n´ mero de linhas e colunas de uma matriz, podemos
u
destacar os seguintes casos particulares:
• m = 1: matriz linha
• n = 1: matriz coluna
• m = n: matriz quadrada. Neste caso, escrevemos apenas An e dizemos
que “A ´ uma matriz quadrada de ordem n”. Representamos o conjunto
e
das matrizes reais quadradas de ordem n por Mn (R) (ou, simplesmente,
por Mn ).
Exemplo 2
1. matriz linha 1 × 4: 2 −3 4 1/5
 
4
 
2. matriz coluna 3 × 1:  17 
0
CEDERJ 10

11. Matrizes
´
MODULO 1 - AULA 1
1 −2
3. matriz quadrada de ordem 2:
5 7
Os elementos de uma matriz podem ser dados tamb´m por f´rmulas,
e o
como ilustra o pr´ximo exemplo.
o
Exemplo 3
Vamos construir a matriz A ∈ M2×4 (R), A = (aij ), tal que
i2 + j, se i = j
aij =
i − 2j, se i = j
a11 a12 a13 a14
A matriz procurada ´ do tipo A =
e .
a21 a22 a23 a24
Seguindo a regra de forma¸˜o dessa matriz, temos:
ca
a11 2
=1 +1=2 a12 = 1 − 2(2) = −3
a22 2
=2 +2=6 a13 = 1 − 2(3) = −5
a14 = 1 − 2(4) = −7
.
a21 = 2 − 2(1) = 0
a23 = 2 − 2(3) = −4
a24 = 2 − 2(4) = −6
2 −3 −5 −7
Logo, A = .
0 6 −4 −6
Igualdade de matrizes
O pr´ximo passo ´ estabelecer um crit´rio que nos permita decidir se
o e e
duas matrizes s˜o ou n˜o iguais. Temos a seguinte defini¸˜o:
a a ca
Duas matrizes A, B ∈ Mm×n (R), A = (aij ), B = (bij ), s˜o iguais
a
quando aij = bij , ∀i ∈ {1, ..., m}, ∀j ∈ {1, ..., n}.
Exemplo 4
2a 3b 4 −9
Vamos determinar a, b, c e d para que as matrizes e
c+d 6 1 2c
sejam iguais. Pela defini¸˜o de igualdade de matrizes, podemos escrever:
ca

 2a = 4


 3b = −9
2a 3b 4 −9
= ⇒
c+d 6 1 2c  c+d=1



6 = 2c
11 CEDERJ

12. Matrizes
Álgebra Linear 1
Da´ obtemos a = 2, b = −3, c = 3 e d = −2.
ı,
Numa matriz quadrada A = (aij ), i, j ∈ {1, ...n}, destacamos os se-
guintes elementos:
• diagonal principal: formada pelos termos aii (isto ´, pelos termos com
e
´
ındices de linha e de coluna iguais).
• diagonal secund´ria: formada pelos termos aij tais que i + j = n.
a
Exemplo 5
Seja
 
3 −2 0 1
 3 −2 7 
 5 
A=  .
 1/2 −3 π 14 
−5 0 −1 6
A diagonal principal de A ´ formada por: 3, 3, π, 6
e
A diagonal secund´ria de A ´ formada por: 1, −2, −3, −5
a e
Matrizes quadradas especiais
No conjunto das matrizes quadradas de ordem n podemos destacar
alguns tipos especiais. Seja A = (aij ) ∈ Mn (R). Dizemos que A ´ uma
e
matriz
• triangular superior, quando aij = 0 se i > j (isto ´, possui todos os
e
elementos abaixo da diagonal principal nulos).
• triangular inferior, quando aij = 0 se i < j (isto ´, possui todos os
e
elementos acima da diagonal principal nulos).
• diagonal, quando aij = 0 se i = j (isto ´, possui todos os elementos
e
fora da diagonal principal nulos). Uma matriz diagonal ´, ao mesmo
e
No nosso curso nos referimos tempo, triangular superior e triangular inferior.
aos n´meros reais como
u
escalares. Essa denomina¸˜o
ca
´ 0, se i = j
´ espec´
e ıfica da Algebra • escalar, quando aij = , para algum k ∈ R. Isto ´, uma
e
Linear. k, se i = j
matriz escalar ´ diagonal e possui todos os elementos da diagonal prin-
e
cipal iguais a um certo escalar k.
CEDERJ 12

13. Matrizes
´
MODULO 1 - AULA 1
0, se i = j
• identidade, quando aij = . Isto ´, a identidade ´ uma
e e
1, se i = j
matriz escalar e possui todos os elementos da diagonal principal iguais
a 1. Representamos a matriz identidade de ordem n por In .
Exemplo 6
matriz classifica¸˜o
ca
 
4 1 2
 
 0 6 3  triangular superior
0 0 9
 
2 0 0
 
 0 0 3  triangular superior
0 0 0
 
1 0 0
 
 0 4 0  triangular superior, triangular inferior, diagonal
0 0 0
0 0
triangular inferior
−3 0
0 0
triangular superior, triangular inferior, diagonal, escalar
0 0
5 0
triangular superior, triangular inferior, diagonal, escalar
0 5
Exemplo 7
S˜o matrizes identidade:
a
 
  1 0 0 0
1 0 0  0 1 0 
1 0    0 
I1 = [1]; I2 = ; I3 =  0 1 0  ; I4 =  
0 1  0 0 1 0 
0 0 1
0 0 0 1
De modo geral, sendo n um n´ mero natural maior que
u 1, a matriz
13 CEDERJ

14. Matrizes
Álgebra Linear 1
identidade de ordem n ´
e
 
1 0 0 ... 0 0
 
 0 1 0 ... 0 0
 
 0 0 1 ... 0 0
 
In =  . . . . . .
 .
. .
. .
. .
. .
. .
.
 
 0 0 0 ... 1 0 
 
0 0 0 ... 0 1
Defini¸˜o
ca
A matriz nula em Mm×n (R) ´ a matriz de ordem m × n que possui todos os
e
elementos iguais a zero.
Exemplo 8
0 0 0
Matriz nula 2 × 3:
0 0 0
 
0 0
 
 0 0 
 
Matriz nula 5 × 2: 
 0 0 

 
 0 0 
0 0
Defini¸˜o
ca
Dada A = (aij ) ∈ Mm×n (R), a oposta de A ´ a matriz B = (bij ) ∈ Mm×n (R)
e
tal que bij = −aij , ∀i ∈ {1, ..., m}, ∀j ∈ {1, ..., n}. Ou seja, os elemen-
tos da matriz oposta de A s˜o os elementos opostos aos elementos de A.
a
Representamos a oposta de A por −A.
 
3 −1 0
Exemplo 9  √ 
 2 3 4 
A oposta da matriz A =   ´ a matriz
e
 1 0 −8 
−6 10 −2
 
−3 1 0
 √
 −2 − 3 −4 

−A =   .
 −1 0 8 
6 −10 2
CEDERJ 14

15. Matrizes
´
MODULO 1 - AULA 1
Resumo
Nesta aula vimos o conceito de matriz e conhecemos seus tipos espe-
ciais. Aprendemos a comparar duas matrizes, a identificar a matriz nula e a
obter a oposta de uma matriz. Tamb´m vimos algumas matrizes quadradas
e
que se destacam por suas caracter´ısticas e que ser˜o especialmente uteis no
a ´
desenvolvimento da teoria.
Exerc´
ıcios
1. Escreva a matriz A = (aij ) em cada caso:
3i + j, se i = j
(a) A ´ do tipo 2 × 3, e aij =
e
i − 2j, se i = j

 2i, se i < j

(b) A ´ quadrada de ordem 4 e aij =
e i − j, se i = j


2j, se i > j
0, se i = j
(c) A ´ do tipo 4 × 2, e aij =
e
3, se i = j
(d) A ´ quadrada terceira ordem e aij = 3i − j + 2.
e
2. Determine x e y tais que
2x + y 11
(a) =
2x − y 9
x2 y 1 −1
(b) =
x y2 −1 1
15 CEDERJ

16. Matrizes
Álgebra Linear 1
Respostas dos exerc´
ıcios
4 −3 −5
1. (a)
0 8 −4
 
0 2 2 2
 
 2 0 4 4 
(b)  
 2 4 0 6 
2 4 6 0
 
3 0
 0 3 
 
(c)  
 0 0 
0 0
 
4 1 2
 
(d)  7 6 5 
10 9 8
2. (a) x = 5; y = 1
(b) x = y = −1
Auto-avalia¸˜o
ca
Vocˆ n˜o deve ter sentido qualquer dificuldade para acompanhar esta
e a
primeira aula. S˜o apenas defini˜es e exemplos. Se achar conveniente, antes
a o
de prosseguir, fa¸a uma segunda leitura, com calma, da teoria e dos exemplos.
c
De qualquer maneira, vocˆ sabe que, sentindo necessidade, pode (e deve!)
e
entrar em contato com o tutor da disciplina.
At´ a pr´xima aula!!
e o
CEDERJ 16

17. Opera¸˜es com matrizes: transposi¸˜o, adi¸˜o e multiplica¸˜o por n´mero real
co ca ca ca u
´
MODULO 1 - AULA 2
Aula 2 – Opera¸oes com matrizes:
c˜
transposi¸˜o, adi¸˜o e multiplica¸˜o por
ca ca ca
n´ mero real
u
Objetivos
Obter a matriz transposta de uma matriz dada;
Identificar matrizes sim´tricas e anti-sim´tricas;
e e
Obter a matriz soma de duas matrizes;
Obter o produto de uma matriz por um n´mero real;
u
Aplicar as propriedades das opera¸˜es nos c´lculos envolvendo matrizes.
co a
Na aula passada, definimos matrizes e vimos como verificar se duas
matrizes s˜o ou n˜o iguais. Nesta aula iniciamos o estudo das opera¸˜es
a a co
´
com matrizes. E atrav´s de opera¸˜es que podemos obter outras matrizes,
e co
a partir de matrizes dadas. A primeira opera¸˜o com matrizes que estuda-
ca
remos - a transposi¸˜o - ´ un´ria, isto ´, aplicada a uma unica matriz. A
ca e a e ´
seguir, veremos a adi¸˜o, que ´ uma opera¸˜o bin´ria, ou seja, ´ aplicada a
ca e ca a e
duas matrizes. Finalmente, veremos como multiplicar uma matriz por um
n´ mero real. Por envolver um elemento externo ao conjunto das matrizes,
u
essa opera¸˜o ´ dita ser externa.
ca e
Transposi¸˜o
ca
Dada uma matriz A ∈ Mm×n (R), A = (aij ), a transposta de A ´ a e
matriz B ∈ Mn×m (R), B = (bji ) tal que bji = aij , ∀i ∈ {1, ..., m}, ∀j ∈
{1, ..., n}. Representamos a matriz transposta de A por AT .
Note que para obter a transposta de uma matriz A, basta escrever as
linhas de A como sendo as colunas da nova matriz (ou, equivalentemente,
escrever as colunas de A como as linhas da nova matriz.)
 
Exemplo 10 3 1
3 −2 5  
1. Seja A = . A transposta de A ´ a matriz AT =  −2 7 .
e
1 7 0
5 0
17 CEDERJ

18. Opera¸˜es com matrizes: transposi¸˜o, adi¸˜o e multiplica¸˜o por n´mero real
co ca ca ca u
Álgebra Linear 1
−3 4 −3 4
2. Se M = , ent˜o M T =
a = M.
4 9 4 9
Comparando uma matriz com sua transposta, podemos definir matrizes
sim´tricas e anti-sim´tricas, como segue:
e e
Defini¸˜o
ca
Uma matriz A ´:
e
• sim´trica, se AT = A
e
• anti-sim´trica, se AT = −A
e
Segue da defini¸˜o acima, que matrizes sim´tricas ou anti-sim´tricas
ca e e
s˜o, necessariamente, quadradas.
a
Exemplo 11
1. As matrizes
 
 √  1 −2 1/5 0
3 −2  9 −1 
3
  19 3/2  −2 7 
 −2 5 1 , , e  
√ 3/2 −7  1/5 9 0 8 
3 1 8
0 −1 8 4
s˜o sim´tricas.
a e
2. A matriz M, do exemplo 10, ´ sim´trica.
e e
Note que, numa matriz sim´trica, os elementos em posi¸˜es sim´tricas
e co e
em rela¸˜o a diagonal principal s˜o iguais.
ca ` a
Exemplo 12
As matrizes
 
  0 −2 1/5 0
0 2 −1/2 
0 −1    2 0 9 −1 

,  −2 0 5 , e  
1 0  −1/5 −9 0 8 
1/2 −5 0
0 1 −8 0
s˜o anti-sim´tricas.
a e
Note que uma matriz anti-sim´trica tem, necessariamente, todos os
e
elementos da diagonal principal iguais a zero.
CEDERJ 18

19. Opera¸˜es com matrizes: transposi¸˜o, adi¸˜o e multiplica¸˜o por n´mero real
co ca ca ca u
´
MODULO 1 - AULA 2
Adi¸˜o
ca
Vocˆ se lembra do exemplo que demos, na aula 1, com a rela¸˜o de
e ca
nomes e notas da turma de Lugar Lindo? Cada aluno tem seu nome associado
a um n´ mero (o n´ mero da linha). Assim, sem perder qualquer informa¸˜o
u u ca
sobre os alunos, podemos representar apenas as notas das avalia¸˜es numa
co
matriz 5 por 4:  
4, 5 6, 2 7, 0 5, 5
 
 7, 2 6, 8 8, 0 10, 0 
 
A =  8, 0 7, 5 5, 9 7, 2 
 
 
 9, 2 8, 5 7, 0 8, 0 
6, 8 7, 2 6, 8 7, 5
Vamos supor que as provas tenham sido submetidas a uma revis˜o e
a
que as seguintes altera¸˜es sejam propostas para as notas:
co
 
0, 5 0, 0 0, 0 0, 2
 
 −0, 2 0, 5 0, 5 0, 0 
 
R =  0, 0 0, 2 0, 6 −0, 1 
 
 
 0, 0 0, 5 0, 0 0, 2 
0, 2 0, 0 0, 0 0, 3
A matriz N, com as notas definitivas, ´ a matriz soma das matrizes A e
e
R, formada pelas somas de cada nota com seu fator de corre¸˜o, isto ´, cada
ca e
termo de A com seu elemento correspondente em R:
 
4, 5 + 0, 5 6, 2 + 0, 0 7, 0 + 0, 0 5, 5 + 0, 2
 
 7, 2 + (−0, 2) 6, 8 + 0, 5 8, 0 + 0, 5 10, 0 + 0, 0 
 
N =A+R =  8, 0 + 0, 0 7, 5 + 0, 2 5, 9 + 0, 6 7, 2 + (−0, 1)  
 
 9, 2 + 0, 0 8, 5 + 0, 5 7, 0 + 0, 0 8, 0 + 0, 2 
6, 8 + 0, 2 7, 2 + 0, 0 6, 8 + 0, 0 7, 5 + 0, 3
 
5, 0 6, 2 7, 0 5, 7
 
 7, 0 7, 3 8, 5 10, 0 
 
Logo, N =  8, 0 7, 7 6, 5 7, 1 
 
 
 9, 2 9, 0 7, 0 8, 2 
7, 0 7, 2 6, 8 7, 8
Defini¸˜o
ca
Dadas as matrizes A = (aij ), B = (bij ) ∈ Mm×n (R), a matriz soma de
A e B ´ a matriz C = (cij ) ∈ Mm×n (R) tal que
e
cij = aij + bij , ∀i ∈ {1, ..., m}, ∀j ∈ {1, ..., n}
19 CEDERJ

20. Opera¸˜es com matrizes: transposi¸˜o, adi¸˜o e multiplica¸˜o por n´mero real
co ca ca ca u
Álgebra Linear 1
Representamos a matriz soma de A e B por A + B. Em palavras, cada
elemento de A + B ´ a soma dos elementos correspondentes das matrizes A e
e
B. A diferen¸a de A e B, indicada por A − B, ´ a soma de A com a oposta
c e
de B, isto ´: A − B = A + (−B).
e
Exemplo 13
−5 4 1 −2 −4 2
1. + =
2 1 0 3 2 4
         
3 8 2 −1 3 8 −2 1 1 9
         
2.  −1 4 − 7 2  =  −1 4 + −7 −2  =  −8 2 
7 2 −3 6 7 2 3 −6 10 −4
Multiplica¸˜o por um n´mero real
ca u
3 1
Seja A = . Queremos obter 2A:
2 −4
3 1 3 1 2×3 2×1
2A = A + A = + =
2 −4 2 −4 2 × 2 2 × (−4)
.
Em palavras, o produto da matriz A pelo n´ mero real 2 ´ a matriz
u e
obtida multiplicando-se cada elemento de A por 2.
Voltemos a nossa tabela de notas dos alunos do CEDERJ. Suponhamos
`
que, para facilitar o c´lculo das m´dias, queiramos trabalhar numa escala de
a e
0 a 100 (em vez de 0 a 10, como agora). Para isso, cada nota dever´ sera
multiplicada por 10. Teremos, ent˜o, a seguinte matriz:
a
 
50 62 70 57
 
 70 73 85 100 
 
10N =  80 77 65 71 
 
 
 92 90 70 82 
70 72 68 78
e a ´
Vocˆ ver´ que, em Algebra
Linear, lidamos com dois Podemos, ent˜o, definir a multiplica¸˜o de uma matriz por um n´mero
a ca u
tipos de objeto matem´tico:
a
os escalares (que, neste e ˆ ´
real (ou, como ´ usual dizer no ambito da Algebra Linear, por um escalar).
curso, ser˜o os n´meros
a u
reais) e os vetores.
CEDERJ 20

21. Opera¸˜es com matrizes: transposi¸˜o, adi¸˜o e multiplica¸˜o por n´mero real
co ca ca ca u
´
MODULO 1 - AULA 2
Defini¸˜o
ca
Dada A = (aij ) ∈ Mm×n (R) e α ∈ R, a matriz produto de A por α ´ a
e
matriz C = (cij ) ∈ Mm×n (R) tal que
cij = α aij , ∀i ∈ {1, ..., m}, ∀j ∈ {1, ...n}
Representamos a matriz produto de A por α por α A.
Exemplo 14
−5 2 0 6 6 −1
Dadas A = ,B= eC= , temos:
1 4 −3 8 3 5
−10 4
1. 2A =
2 8
1 0 2
2. B =
3
−1 8/3
−5 2 0 12 −18 3 −23 17
3. A+2B−3C = + + =
1 4 −6 16 −9 −15 −14 5
Propriedades das opera¸˜es com matrizes
co
Vocˆ talvez j´ tenha se questionado quanto ` necessidade ou utilidade
e a a
de se listar e provar as propriedades de uma dada opera¸˜o. Comutatividade,
ca
associatividade... aparentemente sempre as mesmas palavras, propriedades
sempre v´lidas... No entanto, s˜o as propriedades que nos permitem esten-
a a
der uma opera¸˜o que foi definida para duas matrizes, para o caso de somar
ca
trˆs ou mais. Ela tamb´m flexibilizam e facilitam os c´lculos, de modo que
e e a
quanto mais as dominamos, menos trabalho “mecˆnico”temos que desenvol-
a
ver. Veremos agora as propriedades v´lidas para as opera¸˜es j´ estudadas.
a co a
Propriedade da transposi¸˜o de matrizes
ca
T
(t1) Para toda matriz A ∈ Mm×n (R), vale que AT = A.
A validade dessa propriedade ´ clara, uma vez que escrevemos as linhas
e
de A como colunas e, a seguir, tornamos a escrever essas colunas como linhas,
retornando a configura¸˜o original. Segue abaixo a demonstra¸˜o formal
` ca ca
dessa propriedade:
Seja A = (aij ) ∈ Mm×n (R). Ent˜o AT = B = (bji ) ∈ Mn×m (R) tal que
a
bji = aij , ( ou, equivalentemente, bij = aji ), ∀i ∈ {1, ...m}, ∀j ∈ {1, ..., n}.
21 CEDERJ

22. Opera¸˜es com matrizes: transposi¸˜o, adi¸˜o e multiplica¸˜o por n´mero real
co ca ca ca u
Álgebra Linear 1
T
Da´ AT = B T = C = (cij ) ∈ Mm×n (R) tal que cij = bji = aij , ∀i ∈
ı,
T
{1, ...m}, ∀j ∈ {1, ..., n}. Logo, C = B T = AT = A.
Propriedades da adi¸˜o de matrizes
ca
Para demonstrar as propriedades da adi¸˜o de matrizes, usaremos as
ca
propriedades correspondentes, v´lidas para a adi¸˜o de n´ meros reais.
a ca u
Sejam A = (aij ), B = (bij ) e C = (cij ) matrizes quaisquer em Mm×n (R).
Valem as seguintes propriedades.
(a1) Comutativa: A + B = B + A
De fato, sabemos que A + B = (sij ) ´ tamb´m uma matriz m × n cujo
e e
elemento gen´rico ´ dado por: sij = aij + bij , para todo i = 1, ..., m e todo
e e
j = 1, ..., n. Como a adi¸˜o de n´ meros reais ´ comutativa, podemos escrever
ca u e
sij = bij +aij , para todo i = 1, ..., m e todo j = 1, ..., n. Isto ´, A+B = B +A.
e
Em palavras: a ordem como consideramos as parcelas n˜o altera a soma de
a
duas matrizes.
(a2) Associativa: (A + B) + C = A + (B + C)
De fato, o termo geral sij de (A+B)+C ´ dado por sij = (a+b)ij +cij =
e
(aij + bij ) + cij , para todo i = 1, ..., m e todo j = 1, ..., n. Como a adi¸˜o ca
de n´ meros reais ´ associativa, podemos escrever sij = aij + (bij + cij ) =
u e
aij +(b+c)ij , para todo i = 1, ..., m e todo j = 1, ..., n. Ou seja, sij ´ tamb´m o
e e
termo geral da matriz obtida de A+(B+C). Isto ´, (A+B)+C = A+(B+C).
e
Em palavras: podemos estender a adi¸˜o de matrizes para o caso de trˆs
ca e
parcelas, associando duas delas. A partir dessa propriedade, podemos agora
somar trˆs ou mais matrizes.
e
(a3) Existˆncia do elemento neutro: Existe O ∈ Mm×n (R) tal que A+O = A.
e
De fato, seja O a matriz nula de Mm×n (R), isto ´, O = (oij ), onde
e
oij = 0, para todo i = 1, ..., m e todo j = 1, ..., n. Sendo sij o termo geral de
A + O, temos sij = aij + oij = aij + 0 = aij , para todo i = 1, ..., m e todo
j = 1, ..., n. Ou seja, A + O = A.
Em palavras: na adi¸˜o de matrizes a matriz nula desempenha o mesmo
ca
papel que o zero desempenha na adi¸˜o de n´ meros reais.
ca u
O elemento oposto ´ tamb´m
e e (a4) Da existˆncia do elemento oposto : Existe (−A) ∈ Mm×n (R) tal que
e
chamado elemento sim´trico
e
ou inverso aditivo.
A + (−A) = O.
De fato, sabemos que cada elemento de −A ´ o oposto do elemento
e
correspondente de A. Ent˜o, sendo sij o termo geral de A + (−A), temos
a
CEDERJ 22

23. Opera¸˜es com matrizes: transposi¸˜o, adi¸˜o e multiplica¸˜o por n´mero real
co ca ca ca u
´
MODULO 1 - AULA 2
sij = aij + (−aij ) = 0 = oij , para todo i = 1, ..., m e todo j = 1, ..., n. Isto ´,
e
A + (−A) = O.
Em palavras: Cada matriz possui, em correspondˆncia, uma matriz de mesma
e
ordem tal que a soma das duas ´ a matriz nula dessa ordem.
e
(a5) Da soma de transpostas: AT + B T = (A + B)T
De fato, seja sij o termo geral de AT +B T . Ent˜o, para todo i = 1, ..., m
a
e todo j = 1, ..., n, sij = aji +bji = (a+b)ji, que ´ o termo geral de (A+B)T .
e
T T T
Ou seja, A + B = (A + B) .
Em palavras: A soma das transpostas ´ a transposta da soma. Ou, vendo sob
e
outro angulo: a transposi¸˜o de matrizes ´ distributiva em rela¸˜o a adi¸˜o.
ˆ ca e ca ` ca
Propriedades da multiplica¸˜o de uma matriz por um escalar
ca
Vocˆ ver´ que, tamb´m neste caso, provaremos a validade dessas propri-
e a e
edades usando as propriedades correspondentes da multiplica¸˜o de n´ meros
ca u
reais.
Sejam A = (aij ), B = (bij ) ∈ Mm×n (R), α, β, γ ∈ R. Valem as seguin-
tes propriedades:
(mn1) (αβ)A = α(βA)
De fato, seja pij o termo geral de (αβ)A, isto ´, pij = ((αβ)a)ij =
e
(αβ)aij = α(βaij ) = (α(βa))ij , para todo i = 1, ..., m e todo j = 1, ..., n. Ou
seja, pij ´ tamb´m o termo geral de α(βA). Logo, (αβ)A = α(βA).
e e
Exemplo 15
Dada A ∈ Mm×n (R), 12A = 3(4A) = 2(6A).
(mn2) (α + β)A = αA + βA
De fato, seja pij o termo geral de (α + β)A, isto ´, pij = ((α + β)a)ij =
e
(α + β)aij = αaij + βaij = (αa)ij + (βa)ij , para todo i = 1, ..., m e todo
j = 1, ..., n. Ou seja, pij ´ tamb´m o termo geral de αA + βA. Logo,
e e
(α + β)A = αA + βA.
Exemplo 16
Dada A ∈ Mm×n (R), 12A = 7A + 5A = 8A + 4A.
(mn3) α(A + B) = αA + αB
De fato, seja pij o termo geral de α(A+B). Ent˜o, para todo i = 1, ..., m
a
e todo j = 1, ..., n, temos pij = (α(a + b))ij = α(a + b)ij = α(aij + bij ) =
23 CEDERJ

24. Opera¸˜es com matrizes: transposi¸˜o, adi¸˜o e multiplica¸˜o por n´mero real
co ca ca ca u
Álgebra Linear 1
αaij +αbij = (αa)ij +(αb)ij . Ou seja, pij ´ tamb´m o termo geral de αA+αB.
e e
Logo, α(A + B) = αA + αB.
Exemplo 17
Dadas A, B ∈ Mm×n (R), 5(A + B) = 5A + 5B.
(mn4) 1A = A
De fato, sendo pij o termo geral de 1A, temos pij = (1a)ij = 1aij = aij ,
para todo i = 1, ..., m e todo j = 1, ..., n. Isto ´, 1A = A.
e
(mn5) αAT = (αA)T
De fato, seja pij o termo geral de αAT . Ent˜o pij = αaji = (αa)ji, ou
a
seja, pij ´ tamb´m o termo geral de (αA)T .
e e
Exemplo 18
2 1 4 0 T
Dadas A = eB = , vamos determinar 3 2AT − 1 B .
0 −1 −2 6 2
Para isso, vamos usar as propriedades vistas nesta aula e detalhar cada passo,
indicando qual a propriedade utilizada.
T T
1T a5 T T 1
3 2A − B = 3 2A − B
2 2
mn5 T 1
= 3 2 AT − BT
2
t1 1
= 3 2A − B T
2
mn3 1 T
= 3(2A) − 3 B
2
mn1 1
= (3.2)A − 3. BT
2
3
= 6A − B T
2
2 1 3 4 −2
= 6 −
0 −1 2 0 6
12 6 6 −3
= −
0 −6 0 9
6 9
=
0 −15
CEDERJ 24

25. Opera¸˜es com matrizes: transposi¸˜o, adi¸˜o e multiplica¸˜o por n´mero real
co ca ca ca u
´
MODULO 1 - AULA 2
ca ´
Observa¸˜o. E claro que vocˆ, ao efetuar opera¸˜es com matrizes, n˜o
e co a
precisar´ explicitar cada propriedade utilizada (a n˜o ser que o enunciado da
a a
quest˜o assim o exija!) e nem resolver a quest˜o passo-a-passo. O impor-
a a
tante ´ constatar que s˜o as propriedades das opera¸˜es que nos possibilitam
e a co
reescrever a matriz pedida numa forma que nos pare¸a mais “simp´tica”.
c a
Resumo
Nesta aula come¸amos a operar com as matrizes. Vimos como ob-
c
ter a transposta de uma matriz e a reconhecer matrizes sim´tricas e anti-
e
sim´tricas. A seguir, aprendemos a somar duas matrizes e a multiplicar
e
uma matriz por um escalar. Finalizamos com o estudo das propriedades das
opera¸˜es vistas. A aula ficou um pouco longa, mas ´ importante conhecer
co e
as propriedades v´lidas para cada opera¸˜o estudada.
a ca
Exerc´
ıcios
1. Obtenha a transposta da matriz A ∈ M2×4 (R), A = (aij ), tal que
2i + j, se i = j
aij =
i2 − j, se i = j
 
2 4 2a − b
 
2. Determine a e b para que a matriz  a + b 3 0  seja sim´trica.
e
−1 0 5
3. Mostre que a soma de duas matrizes sim´tricas ´ uma matriz sim´trica.
e e e
 
2x a + b a − 2b
 
4. Determine a, b, c, x, y, z para que a matriz  −6 y 2 2c  seja
5 8 z−1
anti-sim´trica.
e
   
2 1 0 1
   
5. Sendo A =  0 −1  e B =  7 3 , determine A + B.
3 2 −4 5
a 3 2a b −3 −1 2 0 5
6. Determine a, b, e c para que + = .
c 0 −2 1 4 3 3 4 1
25 CEDERJ

26. Opera¸˜es com matrizes: transposi¸˜o, adi¸˜o e multiplica¸˜o por n´mero real
co ca ca ca u
Álgebra Linear 1
3 −5
7. Dada A = , determine a matriz B tal que A+ B ´ a matriz
e
−4 2
nula de M2 (R).
  

5 1
   
8. Considere as matrizes A =  −1  , B =  2 , e C =
2 3
0 −2 1 . Determine a matriz X em cada caso:
(a) X = 2A − 3B
(b) X + A = B − C T − 2X
(c) X + B T = 3AT + 1 C
2
9 4 2 −8 7 −9
9. Sendo A = e B = , determine as
6 12 11 −12 −19 −2
2X + Y = A
matrizes X e Y tais que
X − 2Y = B
10. Sendo A, B ∈ Mm×n (R), use as propriedades vistas nesta aula para
T T
simplificar a express˜o 3 2AT − B + 5 1 B T − AT + 3 B .
a 5 5
Auto-avalia¸˜o
ca
Vocˆ deve se sentir ` vontade para operar com matrizes nas formas vis-
e a
tas nesta aula: transpor, somar e multiplicar por um escalar. S˜o opera¸˜es
a co
de realiza¸˜o simples, que seguem a nossa intui¸˜o. Al´m disso, ´ importante
ca ca e e
que vocˆ reconhe¸a a utilidade das propriedades no sentido de nos dar mobi-
e c
lidade na hora de operarmos com matrizes. Propriedades de opera¸˜es n˜o
co a
s˜o para serem decoradas, mas apreendidas, assimiladas, utilizadas ao pˆr a
a o
teoria em pr´tica!
a
Se vocˆ sentiu qualquer dificuldade ao acompanhar a aula ou ao resolver
e
os exerc´
ıcios propostos, pe¸a aux´ ao tutor da teoria. O importante ´ que
c ılio e
caminhemos juntos nesta jornada!
At´ a pr´xima aula!!
e o
CEDERJ 26

27. Opera¸˜es com matrizes: transposi¸˜o, adi¸˜o e multiplica¸˜o por n´mero real
co ca ca ca u
´
MODULO 1 - AULA 2
Respostas dos exerc´
ıcios
 
3 3
 −1 
 5 
1.  
 −2 1 
−3 0
2. a = 1; b = 3
4. a = 7 ; b =
3
11
3
; c = −4; x = 0; y = 0; z = 1
 
2 2
 
5.  7 2 
−1 7
6. a = 3; b = −1; c = 2
−3 5
7.
4 −2
   
7 −4
   
8. (a)  −8  (b)  1  (c) 14 −6 7
2
−5 0
2 3 −1 5 −2 4
9. X = ; Y =
0 1 4 6 10 3
10. A + B
27 CEDERJ

29. Opera¸˜es com matrizes: multiplica¸˜o
co ca
´
MODULO 1 - AULA 3
Aula 3 – Opera¸oes com matrizes:
c˜
multiplica¸˜o
ca
Objetivos
Reconhecer quando ´ poss´ multiplicar duas matrizes;
e ıvel
Obter a matriz produto de duas matrizes;
Aplicar as propriedades da multipli¸˜o de matrizes;
ca
Identificar matrizes invers´
ıveis.
Se vocˆ j´ foi “apresentado” a multiplica¸˜o de matrizes, pode ter se
e a ` ca
perguntado por que a defini¸˜o foge tanto daquilo que nos pareceria mais
ca
f´cil e “natural”: simplesmente multiplicar os termos correspondentes das
a
duas matrizes (que, para isso, deveriam ser de mesma ordem).
Poderia ser assim? Poderia!
Ent˜o, por que n˜o ´?
a a e
Em Matem´tica, cada defini¸˜o ´ feita de modo a possibilitar o desen-
a ca e
´ O caso 00 ´ mais delicado do
e
volvimento da teoria de forma cont´ınua e coerente. E por essa raz˜o que
a
que parece. Se vocˆ tem
e
0
definimos, por exemplo, 0! = 1 e a = 1, (a = 0). interesse nesse problema, vai
gostar de ler o artigo de
N˜o ir´
a ıamos muito longe, no estudo das matrizes, caso a multiplica¸˜o
ca Elon Lages Lima, na Revista
fosse definida “nos moldes” da adi¸˜o. Vocˆ ver´, nesta aula, o significado
ca e a do Professor de Matem´tica
a
(RPM), n. 7.
dessa opera¸˜o, no modo como ´ definida. Mais tarde, quando estudar-
ca e
mos transforma¸˜es lineares (no m´dulo 2), ficar´ ainda mais evidente a
co o a
importˆncia de multiplicarmos matrizes da maneira como veremos a seguir.
a
Venha conosco!
Vamos voltar aos nossos alunos de Lugar Lindo. J´ ´ tempo de calcular
ae
suas notas finais!
A ultima matriz obtida (na aula 2) fornecia as notas numa escala de 0
´
a 100:  
50 62 70 57
 
 70 73 85 100 
 
N =  80 77 65 71 
 
 
 92 90 70 82 
70 72 68 78
Lembrando: as duas primeiras colunas indicam as notas das avalia¸˜es
co
29 CEDERJ

30. Opera¸˜es com matrizes: multiplica¸˜o
co ca
Álgebra Linear 1
a
` distˆncia e as duas ultimas, as notas das avalia¸˜es presenciais dos alunos
a ´ co
Ana, Beatriz, Carlos, Daniela e Edson, nessa ordem.
Vamos supor que as avalia¸˜es a distˆncia tenham, cada uma, peso 1,
co ` a
1
num total de 10. Isto ´, cada uma colabora com 10 (ou 10%) da nota final.
e
Para completar, cada avalia¸˜o presencial ter´ peso 4, ou seja, repre-
ca a
4
sentar´ 10 (ou 40%) da nota final.
a
Ent˜o, a nota final de cada aluno ser´ dada por:
a a
10 10 40 40
NF = AD1 + AD2 + AP 1 + AP 2
100 100 100 100
Em vez de escrever uma express˜o como essa para cada um dos 5 alunos,
a
podemos construir uma matriz-coluna P contendo os pesos das notas, na
ordem como aparecem no c´lculo de NF :
a
 
10/100
 10/100 
 
P = 
 40/100 
40/100
e efetuar a seguinte opera¸˜o:
ca
 
50 62 70 57  
  10/100
 70 73 85 100   
   10/100 
N .P =  80 77 65 71  . 
   40/100 =
  
 92 90 70 82 
40/100
70 72 68 78
   
10 10 40 40
.50 + 100 .62 + 100 .70 + 100 .57 62
 100
  
 10 10 40 40
.70 + 100 .73 + 100 .85 + 100 .100   88 
 100   
=

10
100
10 40 40
.80 + 100 .77 + 100 .65 + 100 .71 =
  70 

 10 10 40 40   
 100
.92 + 100 .90 + 100 .70 + 100 .82   79 
10 10 40 40
100
.70 + 100 .72 + 100 .68 + 100 .78 73
O que fizemos: tomamos duas matrizes tais que o n´mero de termos
u
em cada linha da primeira ´ igual ao n´mero de termos de cada coluna da
e u
segunda. Ou seja, o n´mero de colunas da primeira coincide com o n´mero
u u
de linhas da segunda (4, no nosso exemplo).
Dessa forma, podemos multiplicar os pares de elementos, “varrendo”,
simultaneamente, uma linha da 1a. matriz e uma coluna da 2a. . Depois,
somamos os produtos obtidos.
CEDERJ 30

31. Opera¸˜es com matrizes: multiplica¸˜o
co ca
´
MODULO 1 - AULA 3
Note que, ao considerarmos a i-´sima linha (da 1a. matriz) e a j-´´sima
e e
a.
coluna (da 2 ), geramos o elemento na posi¸˜o ij da matriz produto.
ca
Formalmente, temos a seguinte defini¸˜o:
ca
Multiplica¸˜o de matrizes
ca
Sejam A = (aik ) ∈ Mm×p (R) e B = (bkj ) ∈ Mp×n (R). A matriz produto
de A por B ´ a matriz AB = (cij ) ∈ Mm×n (R) tal que
e
p
cij = aik .bkj , i = 1, ..., m; j = 1, ..., n
k=1
 
Exemplo 19 1 3 10 2
3 2 −1  
Sejam A = e B =  −1 5 0 5 . Como A ´ do tipo
e
4 0 7
2 6 4 −2
2 × 3 e B ´ do tipo 3 × 4, existe a matriz AB e ´ do tipo 2 × 4:
e e
 
1 3 10 2
3 2 −1  
AB =  −1 5 0 5 =
4 0 7
2 6 4 −2
3 − 2 − 2 9 + 10 − 6 30 + 0 − 4 6 + 10 + 2 −1 13 26 18
= =
4 + 0 + 14 12 + 0 + 42 40 + 0 + 28 8 + 0 − 14 18 54 68 −6
Observe que, neste caso, n˜o ´ poss´ efetuar BA.
a e ıvel
A seguir, veremos alguns exemplos e, a partir deles, tiraremos algumas
conclus˜es interessantes a respeito da multiplica¸˜o de matrizes.
o ca
Exemplo 20
2 4 3 2
Sejam A = eB= . Ent˜o
a
3 −1 5 6
2 4 3 2 6 + 20 4 + 24 26 28
AB = = =
3 −1 5 6 9−5 6−6 4 0
e
3 2 2 4 6 + 6 12 − 2 12 10
BA = = = .
5 6 3 −1 10 + 18 20 − 6 28 14
Note que o produto de duas matrizes quadradas de mesma ordem n
existe e ´ tamb´m uma matriz quadrada de ordem n. Assim, a multiplica¸˜o
e e ca
pˆde ser efetuada nos dois casos, isto ´, nas duas ordens poss´
o e ıveis, mas as
matrizes AB e BA s˜o diferentes.
a
31 CEDERJ

32. Opera¸˜es com matrizes: multiplica¸˜o
co ca
Álgebra Linear 1
Exemplo 21
1 2 1 4
Sejam A = e B= . Temos que:
3 4 6 7
1 2 1 4 1 + 12 4 + 14 13 18
AB = = =
3 4 6 7 3 + 24 12 + 28 27 40
e
1 4 1 2 1 + 12 2 + 16 13 18
BA = = =
6 7 3 4 6 + 21 12 + 28 27 40
Neste caso, AB = BA. Quando isso ocorre, dizemos que as matrizes A
e B comutam.
 
Exemplo 22 4
3 2 1  
Consideremos as matrizes A = e B =  −19 .
−4 6 5
26
0
Efetuando AB, obtemos a matriz .
0
Note que, diferentemente do que ocorre com os n´ meros reais, quando
u
multiplicamos matrizes, o produto pode ser a matriz nula, sem que qualquer
dos fatores seja a matriz nula.
Exemplo 23
1 2 −2 1
Vamos calcular AB, sendo A = eB= .
3 4 3/2 −1/2
−2 + 3 1 − 1 1 0
Temos que AB = = = I2 .
−6 + 6 3 − 2 0 1
Matrizes invers´
ıveis tamb´m
e
s˜o chamadas de invert´
a ıveis
Quando isso ocorre, isto ´, quando o produto de duas matrizes A e
e
ou de n˜o-singulares.
a
B quadradas, ´ a identidade (obviamente, de mesma ordem das matrizes),
e
dizemos que A ´ invers´vel e que B ´ a sua inversa. Uma matriz invers´
e ı e ıvel
sempre comuta com sua inversa. Vocˆ pode verificar isso, calculando BA. Na
e
pr´xima aula, estudaremos um m´todo bastante eficiente para determinar,
o e
caso exista, a matriz inversa de uma matriz dada.
Propriedades da multiplica¸˜o de matrizes
ca
i (AB)C = A(BC), ∀A ∈ Mm×n (R), B ∈ Mn×p (R), C ∈ Mp×q (R).
Isto ´, a multiplica¸˜o de matrizes ´ associativa.
e ca e
De fato, sejam A = (aij ), B = (bjk ) e C = (ckl ). O termo de ´
ındices
n
ik da matriz AB ´ dado pela express˜o j=1 aij bjk . Ent˜o o termo
e a a
CEDERJ 32

33. Opera¸˜es com matrizes: multiplica¸˜o
co ca
´
MODULO 1 - AULA 3
ındices il da matriz (AB)C ´ dado por p
de ´ e k=1
n
j=1 aij bjk ckl =
n p
j=1 aij ( k=1 bjk ckl ), que ´ o termo de ´
e ındices il da matriz A(BC),
p
pois k=1 bjk ckl ´ o termo de ´
e ındices jl da matriz BC. Logo, (AB)C =
A(BC).
ii A(B + C) = AB + AC, ∀A ∈ Mm×n (R), B, C ∈ Mn×p (R).
Isto ´, a multiplica¸˜o de matrizes ´ distributiva em rela¸˜o a adi¸˜o
e ca e ca ` ca
de matrizes.
De fato, sejam A = (aij ), B = (bjk ) e C = (cjk ). O termo de ´ ındices jk
de B + C ´ dado por (bjk + cjk ). Ent˜o o de ´
e a ındices ik da matriz A(B +
C) ´ j=1 aij (bjk + cjk ) = j=1 [(aij bjk ) + (aij cjk )] = n (aij bjk ) +
e n n
j=1
n
j=1 (aij cjk ), que ´ o termo de ´
e ındices ik da matriz dada por AB +AC.
Isto ´, A(B + C) = AB + AC.
e
De forma an´loga, prova-se que (A + B)C = AC + BC.
a
iii λ(AB) = (λA)B = A(λB), ∀λ ∈ R, ∀A ∈ Mm×n (R), ∀B ∈ Mn×p (R).
De fato, sejam A = (aij ) e B = (bjk ). O termo de ´
ındices ik de λ(AB)
n
´ dado por λ
e j=1 aij bjk = j=1 λ(aij bjk ) = n (λaij )bjk , que ´
n
j=1 e
o termo de ´ ındices ik de (λA)B. Isto ´, λ(AB) = (λA)B. De forma
e
an´loga, prova-se que λ(AB) = A(λB). Logo, λ(AB) = (λA)B =
a
A(λB).
iv Dada A ∈ Mm×n (R), Im A = AIn = A.
1, se i = j
De fato, sejam A = (aij ) e Im = δij , onde δij = . Ent˜oa A fun¸˜o δij assim definida ´
ca e
0, se i = j chamada delta de Kronecker
o termo de ´ ındices ij de Im A ´ dado por n δik akj = δi1 a1j + δi2 a2j +
e k=1
nos ´
ındices i e j.
... + δii aij + ... + δin anj = 0.a1j + 0.a2j + ... + 1.aij + ... + 0anj = aij , que
´ o termo de ´
e ındices ij de A. Logo, Im A = A. Analogamente, prova-se
que AIn = A. Isto ´, Im A = AIn = A.
e
v Dadas A ∈ Mm×n (R), B ∈ Mn×p (R), (AB)T = B T AT .
De fato, sejam A = (aij ) e B = (bjk ). O termo de ´ ındices ik de
n
AB ´ dado por j=1 aij bjk , que ´, tamb´m, o termo de ´
e e e ındices ki da
33 CEDERJ