1. Álgebra II
Luiz Manoel Figueiredo
Volume 2
Marisa Ortegoza da Cunha
Hernando Bedoya
Ricardo Camelier
Material gratuitamente cedido pela
Consórcio
cederj
Fundação CECIERJ

3. IVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ
UN
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ
SECRETARIA ESPECIAL DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA
INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E NATURAIS
FACULDADE DE MATEMÁTICA
REITOR
Prof. Dr. Alex Bolonha Fiúza de Mello
VICE-REITORA
Profa. Dra. Regina Fátima Feio Barroso
PRÓ-REITOR DE ENSINO DE GRADUAÇÃO
Prof. Dr. Licurgo Peixoto de Brito
SECRETÁRIA ESPECIAL DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA
Profa. MSc. Selma Dias Leite
DIRETOR DO INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E NATURAIS
Prof. Dr. Geraldo Narciso
DIRETOR DAFACULDADE DE MATEMÁTICA
Prof. Dr. Geraldo Mendes de Araújo
Este material foi gentilmente cedido pelo Consórcio CEDERJ,
para o uso restrito da Licenciatura em Matemática
na modalidade a distância sem ônus para a UFPA.

5. Álgebra II Volume 2
SUMÁRIO
Aula 18 Transformações lineares ___________________________________________
7
Aula 19
Propriedades das transformações lineares _________________________ 17
Aula 20
Núcleo e imagem de uma transformação linear ___________________ 27
Aula 21 Teorema de núcleo e imagem_____________________________________
37
Aula 22 Representação matricial e uma transformação linear ______________ 45
Aula 23 A álgebra das transformações lineares _____________________________ 55
Aula 24 Transformações especiais de R 2 ___________________________________ 65
Aula 25 Transformações especiais de R 3 ___________________________________ 75
Aula 26 Operações lineares invesíveis ______________________________________ 83
Aula 27 Mudança de base ________________________________________________ 91
Aula 28 Exercícios de revisão ______________________________________________ 99
Aula 29 Autovetores e autovalores de matrizes _____________________________ 109
Aula 30 Autovetores e autovalores de matrizes – Casos especiais __________ 117
Aula 31 Polonômios característicos ________________________________________ 125
Aula 32 Cálculo de Autovalores e autovetores _____________________________ 133
Aula 33 Diagonalização de matrizes ______________________________________ 143
Aula 34
Cálculo de matrizes diagonalizáveis ______________________________ 153
Matrizes ortogonais ______________________________________________
Aula 35 161
Aula 36 Propriedades das matrizes ortogonais ______________________________ 171

7. Transforma¸oes lineares
c˜
AULA 18
Aula 18 – Transforma¸oes lineares
c˜
Objetivos
Definir os conceitos de transforma¸ao matricial e linear;
c˜
Apresentar v´rios exemplos de transforma¸oes lineares.
a c˜
Introdu¸˜o
ca
Um dos conceitos centrais na Matem´tica ´ o de fun¸ao. De modo geral
a e c˜
usa-se os termos fun¸ao, aplica¸ao e transforma¸ao como sinˆnimos.
c˜ c˜ c˜ o
Uma fun¸ao ´ uma associa¸ao entre dois conjuntos A e B, envolvendo
c˜ e c˜
todos os elementos de A, mas n˜o necessariamente todos os elementos de B,
a
e que associa cada elemento de A a somente um elemento de B. Esta maneira
`
de ver uma fun¸ao somente como uma associa¸ao ´ uma vis˜o essencialmente
c˜ c˜ e a
est´tica.
a
Uma outra meneira de ver o mesmo conceito, porem mais dinˆmica,
a
´ que uma fun¸ao ´ uma transforma¸ao, que ¨leva¨ elementos do conjunto
e c˜ e c˜
A em elementos do conjunto B, ou seja, ¨transforma¨ elementos de A em
elementos de B.
´
Na Algebra Linear, usa-se mais o termo transforma¸ao do que fun¸ao,
c˜ c˜
especialmente no caso das transforma¸oes lineares, que definiremos nesta
c˜
aula. Em resumo, uma transforma¸ao de um espa¸o vetorial V em um espa¸o
c˜ c c
vetorial W ´ simplesmente uma fun¸ao de V em W .
e c˜
Como observamos, s˜o de interesse especial as transforma¸oes linea-
a c˜
res. Comecaremos definindo transforma¸oes matriciais e depois as lineares.
c˜
Veremos que para transforma¸oes de Rn em Rm , os dois conceitos s˜o equi-
c˜ a
valentes.
7 CEDERJ

8. Transforma¸oes lineares
c˜
Transforma¸oes matriciais
c˜
Uma transforma¸ao matricial ´ uma fun¸ao dada por T (x) = Ax, onde
c˜ e c˜
A ´ uma matriz. Mais precisamente, seja A uma matriz m × n. Ent˜o a
e a
aplica¸ao T : Rn → Rm dada por x → Ax ´ uma transforma¸ao matricial.
c˜ e c˜
Exemplo 1
Seja
2 1 3
A=
1 2 0
ent˜o A induz a transforma¸ao matricial T : R3 → R2 , dada por x → Ax.
a c˜
 
1
 
Por exemplo, se x =  −1 , ent˜o
a
2
 
1
2 1 3   7
Ax = .  −1  = .
1 2 0 −1
2
 
x1
 
Em geral, se x =  x2 , ent˜o
a
x3
 
x1
2 1 3   2x1 + x2 + 3x3
Ax = .  x2  = .
1 2 0 x1 + 2x2
x3
Exemplo 2
Se
1 −1 2
A=
2 1 −1
2
eb= . Encontre um x ∈ R3 , tal que Ax = b.
2
 
x1
 
Solu¸ao: Seja x =  x2 , ent˜o Ax = b, leva a
c˜ a
x3
 
x1
2 −1 2   2
.  x2  =
2 1 −1 2
x3
CEDERJ 8

9. Transforma¸oes lineares
c˜
AULA 18
2x1 − x2 + 2x3 = 2 2x1 − x2 = 2 − 2x3
=⇒
2x1 + x2 − x3 = 2 2x1 + x2 = 2 + x3
Somando as duas equa¸oes, obtemos
c˜
x3
4x1 = 4 − x3 ⇒ x1 = 1 − .
4
Subtraindo as mesmas equa¸oes, obtemos
c˜
3x3
2x2 = 0 + 3x3 ⇒ x2 = .
2
 x3

1− 4
 
Portanto, todo vetor x =  3x3
2 , x3 ∈ R, ´ levado a b pela trans-
e
x3
forma¸ao matricial T = Ax.
c˜
 
Exemplo 3 1 1
 
Seja A = x =  2 1 . Determine a imagem de T = Ax.
1 −1
 
a
x1  
Solu¸ao: Temos que T : R2 → R3 . Seja u =
c˜ e seja T u =  b .
x2
c
Ent˜o
a    
1 1 a
  x1  
 2 1 . = b 
x2
1 −1 c
 
 x1 + x 2 = a
  x1 + x 2 = a

2x + x2 = b =⇒ −x2 = b − 2a
 1
 

x1 − x 2 = c −2x2 = c − a
 

 x1 = b − a  x1 = b − a

x2 = 2a − b =⇒ x = 2a − b ,

  2

0 = c − a − 2b + 4a 0 = 3a − 2b + c
o que mostra que Ax = b tem solu¸ao quando 3a − 2b + c = 0. Portanto, a
c˜
aplica¸ao dada pela matriz A leva R2 no plano 3x − 2y + z = 0.
c˜
9 CEDERJ

10. Transforma¸oes lineares
c˜
T = Ax R3
R2
Figura 1: Aplica¸ao T leva R2 no plano 3x − 2y + z = 0.
c˜
Transforma¸oes lineares
c˜
Dada uma matrix m × n A, vetores n × 1 u e v, e um escalar c, segue-se
das propriedades da multiplica¸ao de matrizes que
c˜
A(u + v) = Au + Av e A(cu) = cAu .
De maneira geral, quando uma fun¸ao possui as duas propriedades
c˜
acima, dizemos que ela ´ linear. Definiremos agora as transforma¸oes
e c˜
lineares.
Defini¸˜o 1
ca
Uma transforma¸ao T ´ linear se:
c˜ e
1. T (u + v) = T u + tv, para todos u e v no dom´
ınio de T .
2. T (cv) = cT (v), para todo v e para todo escalar c.
Em outras palavras, podemos dizer que uma transforma¸ao ´ linear
c˜ e
quando preserva a soma de vetores e o produto de vetores por escalares.
Preservar a soma de vetores quer dizer que se somarmos os vetores
primeiro (u + v) e, em seguida, aplicarmos T , obtendo T (u + v), o resultado
´ o mesmo que aplicarmos T aos vetores e depois somarmos os resultados
e
(T u + T v), isto ´ T (u + v) = T u + T v.
e
Se A ´ uma matriz, u e v s˜o vetores no dom´
e a ınio de T = Ax e c ´ um
e
escalar, ent˜o, a propriedade A(u + v) = Au + Av mostra que T preserva a
a
soma de matrizes e a propriedade A(cu) = cA(u) mostra que T preserva o
produto por escalar. Portanto, toda transforma¸ao matricial ´ linear.
c˜ e
Por outro lado, nem toda transforma¸ao linear de espa¸os vetoriais ´
c˜ c e
matricial. Veremos um exemplo deste tipo abaixo. Porem, transforma¸oes
c˜
CEDERJ 10

11. Transforma¸oes lineares
c˜
AULA 18
lineares de Rn em Rm s˜o sempre matriciais. Provaremos este fato na aula 23
a
onde tambem estudaremos em detalhes como obter a representa¸ao matricial
c˜
de uma transforma¸ao linear.
c˜
Seja T : V → W uma transforma¸ao linear, onde V e W s˜o espa¸os
c˜ a c
vetoriais, e seja v ∈ V . Ent˜o
a
T (0V ) = T (0.v) = 0.T (v) = 0W ,
onde 0V indica o vetor nulo do espa¸o vetorial v e 0W indica o vetor nulo do
c
espa¸o vetoria W . Mostramos ent˜o que uma transforma¸ao linear T : V →
c a c˜
W , leva o vetor nulo de V no vetor nulo de W .
Outra propriedade muito utilizada ´ a seguinte:
e
T (cv + du) = T (cv) + T (du) = cT (v) + dT (u) .
A dedu¸ao acima utiliza as duas propriedades que definem linearidade. Ob-
c˜
serve que esta propriedade, sozinha, implica em linearidade.
Isto ´, se uma transforma¸ao T satisfaz
e c˜
T (cv + du) = cT (u) + dT (v) ,
ent˜o ela ´ linear. Para ver isto, basta notar que fazendo c = d = 1 obtemos
a e
T (u+v) = T u+T v (preserva¸ao da soma de vetores) e fazendo c = 1 e d = 0,
c˜
obtemos T (cu) = cT (u) (preserva¸ao do produto de vetores por escalares).
c˜
Aplicando sucessivamente o mesmo racioc´ acima, podemos mostrar
ınio
que
T (c1 v1 + · · · + ck vk ) = c1 T (v1 ) + · · · + ck T (vk ) ,
onde c1 , · · · , ck s˜o escalares e v1 , · · · , vk s˜o vetores no dom´
a a ınio de T .
Exemplo 4
A transforma¸ao T : V → W dada por T (x) = 0W ´ linear. Esta trans-
c˜ e
forma¸ao, chamada transforma¸ao nula, leva todo vetor de V no vetor nulo
c˜ c˜
de W .
Exemplo 5
Seja V um espa¸o vetorial qualquer, a transforma¸ao T : V → V dada por
c c˜
T (u) = u ´ linear. Esta transforma¸ao ´ chamada indentidade. Se V = R n ,
e c˜ e
ent˜o a transforma¸ao linear dada pela matriz In , identidade de ordem n, ´
a c˜ e
a transforma¸ao identidade de R .
c˜ n
11 CEDERJ

12. Transforma¸oes lineares
c˜
Exemplo 6
Seja r ∈ R. Mostre que a transforma¸ao T : Rn → Rn dada por T (x) = rx ´
c˜ e
uma transforma¸ao linear.
c˜
Solu¸ao: Sejam u, v ∈ Rn e c, d escalares. Ent˜o
c˜ a
T (cu + dv) = r(cu + dv) = rcu + rdv = c(ru) + d(rv) = cT (u) + dT (v) .
Portanto T ´ uma transforma¸ao linear.
e c˜
Se r = 0 ent˜o temos a transforma¸ao nula. Se r = 1 temos a trans-
a c˜
forma¸ao identidade. Se 0 ≤ r < 1 ent˜o dizemos que T ´ uma contra¸ao.
c˜ a e c˜
Se r > 1 ent˜o dizemos que T ´ uma dilata¸ao. A figura abaixo mostra a
a e c˜
dilata¸ao T (x) = 2x.
c˜
Tx = 2x
Figura 2: Dilata¸ao T (x) = 2x.
c˜
Exemplo 7
A transforma¸ao T : R2 → R2 dada por T (x) = x + (1, 0) n˜o ´ linear. Para
c˜ a e
ver isto, basta notar que ela n˜o leva o vetor nulo no vetor nulo. Esta ´ uma
a e
transla¸ao de vetores no R2 .
c˜
Exemplo 8
0 −1
A transforma¸ao linear T : R2 → R2 dada pela matriz
c˜ , isto ´
e
1 0
0 −1 x1 −x2
T (x) = . = .
1 0 x2 x1
Como esta transforma¸ao ´ matricial, ent˜o ela ´ linear. Determinando a
c˜ e a e
imagem de alguns vetores e representando em um gr´fico estes vetores e
a
suas imagens, podemos ver que esta transforma¸ao gira os vetores em torno
c˜
da origem, no sentido anti-hor´rio, de um angulo de 900 . Isto ´ verdade.
a ˆ e
Estudaremos com maiores detalhes transforma¸oes lineares especiais, como
c˜
a rota¸ao de um angulo θ, nas aulas 25 e 26.
c˜ ˆ
CEDERJ 12

13. Transforma¸oes lineares
c˜
AULA 18
T(u)
v
T(v)
u
Figura 3: Rota¸ao de um angulo de 900 .
c˜ ˆ
Exemplo 9
Seja Pn o espa¸o dos polinˆmios de grau menor ou igual a n. Definimos o
c o
operador deriva¸ao D : P → Pn−1 por
c˜ n
D(a0 + a1 t + · · · + an tn ) = a1 + 2a2 t + · · · + nan tn−1 .
Isto ´, D leva cada termo ak tk em kak tk−1 .
e
´ a
E f´cil ver que este operador ´ uma transforma¸ao linear. Note que ele
e c˜
´ a deriva¸ao de fun¸oes no sentido usual, restrito ao espe¸o dos polinˆmios.
e c˜ c˜ c o
Sabemos que para a deriva¸ao vale
c˜
D(cf1 + df2 ) = cD(f1 ) + dD(f2 ) ,
confirmando que D ´ uma transforma¸ao linear.
e c˜
Note que esta transforma¸ao ´ linear mas n˜o ´ matricial. N˜o h´
c˜ e a e a a
uma matrix A tal que D = Ax. No entanto, veremos na aula 23 que toda
transforma¸ao linear entre espa¸os de dimens˜o finita tˆm uma representa¸ao
c˜ c a e c˜
matricial. H´ uma matriz A tal que se p ´ um polinˆmio e se [p]B ´ a
a e o e
representa¸ao deste polinˆmio em uma base B escolhida de Pn , ent˜o A[p]B
c˜ o a
´ a representa¸ao de Dp nesta base.
e c˜
Exemplo 10
Um banco de investimentos possui 4 tipos de investimentos, que chamaremos
de investimentos A, B, C e D. Um cliente faz sua carteira distribuindo cada
seu dinheiro entre as 4 op¸oes do banco. Representamos a carteira de um
c˜
 
xA
 x 
 B 
cliente por um vetor 4 × 1. Assim uma carteira x =   indica xA reais
 xC 
xD
investidos na op¸ao A, xB reais investidos na op¸ao B etc.
c˜ c˜
13 CEDERJ

14. Transforma¸oes lineares
c˜
Se o investimento A resultou em yA reais por real aplicado, B resultou
em yB reais por real aplicado etc, ent˜o o resultado total de cada cliente ser´
a a
calculado pela transforma¸ao linear T : R4 → R, dada por
c˜
 
xA
 xB 
 
T (x) =  . yA yB yC yD = xA y a + xB y B + xC y C + xD y D .
 xC 
xD
Resumo
´
Nesta aula estudamos um dos conceitos fundamentais em Algebra Li-
near, que ´ o de Transforma¸ao Linear.
e c˜
Vimos, inicialmente, as transforma¸oes matriciais. Em seguida, defini-
c˜
mos transforma¸oes lineares.
c˜
Vimos diversos exemplos de transforma¸oes lineares, inclusive uma aplica¸ao
c˜ c˜
a economia.
`
CEDERJ 14

15. Transforma¸oes lineares
c˜
AULA 18
Exerc´
ıcios
1. Seja T : R2 → R3 a transforma¸ao definida por T x = Ax, onde A =
c˜
1 2 2
. Encontre a imagem de
−1 2 1
   
2 −1
   
u =  −3  e u= 1 
0 1
2. Quantas linhas e colunas deve ter uma matriz A para definir uma
aplica¸ao de R4 em R6 por T (x) = Ax.
c˜
3. Para os valores da matriz A e vetor b nos ´
ıtens abaixo, encontre, se for
poss´
ıvel, um vetor x tal que T x = b.
(a)
1 0 1 2
A= , b=
2 −1 3 3
(b)    
11 −1 2
   
A =  2 5 , b =  −3 
1 6 2
4. Encontre todos os valores de x ∈ R4 que s˜o levados no vetor nulo pela
a
transforma¸ao x → Ax, onde
c˜
 
1 1 1 1
 
A =  1 −1 −1 2  .
1 2 3 −1
5. Nos ´
ıtens abaixo, use um sistema de coordenadas para representar gra-
2 3
ficamente os vetores u = , v = , T u e T v. Fa¸a uma
c
1 −1
descri¸ao geom´trica do efeito da aplica¸ao de T nos vetores de R 2 .
c˜ e c˜
3 0 −1 0
(a) T (x) = . (c) T (x) = .
0 3 0 −1
0, 5 0 0 0
(b) T (x) = . (d) T (x) = .
0 0, 5 0 1
15 CEDERJ

16. Transforma¸oes lineares
c˜
6. Seja T : R2 → R2 uma transforma¸ao linear. Se
c˜
1 2 0 −1
T( )= e T( )= ,
0 1 1 3
2 x1
determine T ( ) e T( ).
1 x2
Respostas dos exerc´
ıcios
−4 3
1. e .
−8 4
2. A deve ser uma matriz 6 × 4.
 
2−c
 
3. (a) x =  c + 1 , para todo c ∈ R.
c
(b) N˜o h´ valor de x tal que T x = b.
a a
3 3
4. O espa¸o gerado por {(− 2 , −1, 2 , 1)} ´ levado no vetor nulo.
c e
5. (a) Dilata¸ao por um fator de 3.
c˜
(b) Contra¸ao por uma fator de 0, 5.
c˜
(c) Rota¸ao de 1800 .
c˜
(d) Proje¸ao sobre o eixo-y.
c˜
CEDERJ 16

17. Propriedades das Transforma¸oes Lineares
c˜
AULA 19
Aula 19 – Propriedades das Transforma¸oes
c˜
Lineares
Objetivos
Reconhecer e aplicar as propriedades das transforma¸oes lineares.
c˜
Na aula 18 conhecemos um tipo muito especial de fun¸ao - as trans-
c˜
forma¸oes lineares, que s˜o fun¸oes definidas entre espa¸os vetoriais e com
c˜ a c˜ c
caracter´ısticas que as tornam muito uteis, em uma gama imensa de problemas
´
e situa¸oes da Matem´tica, F´
c˜ a ısica, Engenharia e Computa¸ao, entre outras
c˜
areas de estudo e trabalho.
´
Nesta aula veremos v´rias propriedades das transforma¸oes lineares.
a c˜
Em especial, veremos um fato muito importante, que ´ o seguinte: para de-
e
terminar uma transforma¸ao linear T : V → W , basta conhecer seus valores
c˜
em uma base qualquer de V .
Propriedades das transforma¸oes lineares
c˜
Sejam V e W espa¸os vetoriais e T : V → W uma transforma¸ao linear.
c c˜
Valem as seguintes propriedades:
(i) T (0V ) = 0W
Em palavras: uma transforma¸ao linear leva o vetor nulo do dom´
c˜ ınio
ao vetor nulo do contra-dom´
ınio. Esta propriedade j´ foi demonstrada
a
na aula 18.
(ii) T (−v) = −T (v), ∀v ∈ V
Em palavras: A imagem do vetor oposto ´ o oposto da imagem do
e
vetor.
Como T [(−1)v] = (−1)T (v), decorre que T (−v) = −T (v).
(iii) Se U ´ um subespa¸o de V ent˜o T (U ) ´ um subespa¸o de W .
e c a e c
Devemos mostrar que 0W ∈ T (U ) e que T (U ) ´ fechado para soma de
e
vetores e multiplica¸ao por escalar.
c˜
17 CEDERJ

18. Propriedades das Transforma¸oes Lineares
c˜
Como U um subespa¸o de V , ent˜o 0V ∈ U . Pela propriedade (i),
c a
T (0V ) = 0W ∈ T (U ).
Sejam x, y ∈ T (U ). Existem u, v ∈ U tais que T (u) = x e T (v) = y.
Como U ´ subespa¸o de V , ent˜o u + v ∈ U . De T (u + v) ∈ T (U )
e c a
resulta que
T (u + v) = T (u) + T (v) = x + y ∈ T (U ) .
Finalmente, sejam x ∈ T (U ) e α ∈ R. Existe u ∈ U tal que T (u) = x.
Como αu ∈ U , ent˜o T (αu) ∈ T (U ), o que resulta em
a
T (αu) = αT (u) = αx ∈ T (U ) ,
e podemos concluir que T (U ) ´ subespa¸o de W .
e c
(iv) Dados v1 , v2 , ..., vn ∈ V ,
T (α1 v1 + α2 v2 + ... + αn vn ) = α1 T (v1 ) + α2 T (v2 ) + ... + αn T (vn ) .
Em palavras: A imagem de uma combina¸ao linear de vetores de V
c˜
´ uma combina¸ao linear das imagens desses vetores, com os mesmos
e c˜
coeficientes.
Esta propriedade j´ foi apresentada na Aula 18. Vamos dar aqui uma
a
demonstra¸ao usando indu¸ao sobre n.
c˜ c˜
O caso n = 1 segue diretamente da defini¸ao de transforma¸ao linear,
c˜ c˜
pois T (α1 v1 ) = α1 T (v1 ). Vamos supor que a propriedade vale para
n = k, isto ´,
e
T (α1 v1 + α2 v2 + ... + αk vk ) = α1 T (v1 ) + α2 T (v2 ) + ... + αk T (vk ) .
Vamos provar que vale para n = k + 1 :
T (α1 v1 + α2 v2 + ... + αk vk + αk+1 vk+1 )
= T [(α1 v1 + α2 v2 + ... + αk vk ) + (αk+1 vk+1 )]
T linear
= T (α1 v1 + α2 v2 + ... + αk vk ) + T (αk+1 vk+1 )
hip. ind.
= α1 T (v1 ) + α2 T (v2 ) + ... + αk T (vk ) + T (αk+1 vk+1 )
T linear
= α1 T (v1 ) + α2 T (v2 ) + ... + αk T (vk ) + αk+1 T (vk+1 ) ,
isto ´, vale a propriedade para n = k +1, o que conclui a demonstra¸ao.
e c˜
CEDERJ 18

19. Propriedades das Transforma¸oes Lineares
c˜
AULA 19
(v) Se {v1 , v2 , ..., vn } ´ um conjunto gerador de V ent˜o {T (v1 ), T (v2 ), ..., T (vn )}
e a
´ um conjunto gerador da imagem de T .
e
Demonstra¸ao. Seja {v1 , v2 , ..., vn } um conjunto gerador de V . Seja w
c˜
um vetor na imagem de T , isto ´, existe v em V tal que w = T (v). Ent˜o
e a
existem escalares α1 , α2 , ..., αn tais que v = α1 v1 + α2 v2 + ... + αn vn .
Podemos escrever:
w = T (v) =
(iv)
= T (α1 v1 + α2 v2 + ... + αn vn ) =
= α1 T (v1 ) + α2 T (v2 ) + ... + αn T (vn ).
Logo, os vetores T (v1 ), T (v2 ), ..., T (vn ) geram a imagem de T .
(vi) Se T (v1 ), T (v2 ), ..., T (vn ) ∈ W s˜o LI ent˜o os vetores v1 , v2 , ..., vn ∈ V
a a
s˜o LI.
a
Demonstra¸ao. Seja a combina¸ao linear
c˜ c˜
α1 v1 + α2 v2 + ... + αn vn = oV . (1)
Vamos aplicar a transforma¸ao T a ambos os lados dessa igualdade:
c˜
T (α1 v1 + α2 v2 + ... + αn vn ) = T (0V ) ⇒
α1 T (v1 ) + α2 T (v2 ) + ... + αn T (vn ) = 0W .
Como os vetores T (v1 ), T (v2 ), ..., T (vn ) s˜o LI, conclu´
a ımos que α1 =
α2 = ... = αn = 0. Ou seja, todos os coeficientes da combina¸ao linear
c˜
(1) s˜o iguais a zero, o que implica que os vetores v1 , v2 , ..., vn s˜o LI.
a a
Exemplo 11
Sejam V um espa¸o vetorial e u ∈ V . A aplica¸ao
c c˜
Tu : V → V
v → v+u
e c˜ ´ a
´ chamada transla¸ao definida por u. E f´cil verificar que, quando u = 0V ,
essa aplica¸ao n˜o ´ linear, pois Tu (0V ) = 0V + u = u = 0V , violando a
c˜ a e
propriedade (i), acima. Por outro lado, quando u = 0V , essa aplica¸ao ´ o
c˜ e
operador identidade de V , que ´ linear.
e
Exemplo 12
A rec´
ıproca da propriedade (vi) n˜o ´ verdadeira, isto ´, ´ poss´ termos um
a e e e ıvel
conjunto de vetores de V que sejam LI, mas com suas imagens formando um
19 CEDERJ

20. Propriedades das Transforma¸oes Lineares
c˜
conjunto LD em W . Considere, por exemplo, o operador proje¸ao ortogonal
c˜
sobre o eixo x, definido em R , isto ´, a transforma¸ao linear tal que T (x, y) =
2
e c˜
(x, 0), para todo vetor (x, y) do plano. Os vetores v1 = (3, 1) e v2 = (3, 4) s˜o
a
LI, mas suas imagens coincidem: T (v1 ) = T (v2 ) = (3, 0). Logo, o conjunto
{T (v1 ), T (v2 )} ⊂ R2 ´ LD. Essa situa¸ao ´ ilustrada na figura 1.
e c˜ e
(3,4) T(x,y)=(x,0)
(3,1)
(3,0)
(3,1)
Figura 1: v1 e v2 s˜o LI; T (v1 ) e T (v2 ) s˜o LD.
a a
Uma caracter´ ıstica importante das transforma¸os lineares ´ que elas
c˜ e
ficam completamente determinadas se as conhecemos nos vetores de uma
base do dom´ ınio. Isto ´, dada uma transforma¸ao linear T : V → W , se
e c˜
conhecemos as imagens por T dos vetores de uma base de V , podemos obter
a express˜o de T (v), para um vetor v gen´rico de V . O exemplo a seguir
a e
mostra esse procedimento:
Exemplo 13
Seja T : R3 → R3 , linear, tal que
T (1, 0, 0) = (1, 1, 1);
T (0, 1, 0) = (2, −1, 1);
T (0, 0, 1) = (1, 0, 2).
Vamos determinar T (x, y, z), onde (x, y, z) ´ um vetor gen´rico de R 3 .
e e
Os vetores v1 = (1, 0, 0), v2 = (0, 1, 0) e v3 = (0, 0, 1) formam a base
canˆnica de R3 . Assim, um vetor v = (x, y, z), gen´rico, de R3 , se escreve
o e
(x, y, z) = xv1 + yv2 + zv3 . Aplicando a propriedade (iv), temos:
T (v) = T (x, y, z) =
= T (xv1 + yv2 + zv3 ) =
= xT (v1 ) + yT (v2 ) + zT (v3 ) =
= x(1, 1, 1) + y(2, −1, 1) + z(1, 0, 2) =
= (x + 2y + z, x − y, x + y + 2z).
Logo, T ´ dada por T (x, y, z) = (x + 2y + z, x − y, x + y + 2z).
e
CEDERJ 20

21. Propriedades das Transforma¸oes Lineares
c˜
AULA 19
Vamos ver como fazer no caso em que a base na qual a transforma¸ao
c˜
linear ´ conhecida n˜o seja a canˆnica:
e a o
Exemplo 14
Uma transforma¸ao linear T : R2 → R3 ´ tal que
c˜ e
T (1, −1) = (1, 1, 2);
T (2, 0) = (2, −1, 1).
Vamos determinar T (x, y), para (x, y) ∈ R2 .
Primeiramente, verificamos que os vetores v1 = (1, −1) e v2 = (2, 0)
formam uma base de R2 . Neste caso, como s˜o dois vetores num espa¸o
a c
bi-dimensional, uma forma r´pida de verificar que s˜o LI ´ calcular o deter-
a a e
minante formado pelas suas coordenadas e constatar que ´ diferente de zero.
e
Deixamos isso com vocˆ, como exerc´ (!).
e ıcio
A seguir, escrevemos um vetor gen´rico do espa¸o como uma com-
e c
bina¸ao linear dos vetores dessa base:
c˜
a + 2b = x
v = (x, y) = av1 + bv2 = a(1, −1) + b(2, 0) ⇒ .
−a = y
x+y
Resolvendo o sistema, obtemos a = −y e b = 2
. Portanto,
x+y
(x, y) = −y(1, −1) + (2, 0)
2
Usando a linearidade de T , obtemos
T (v) = T (x, y) =
= T (−yv1 + x+y v2 ) =
2
x+y
= −yT (v1 ) + 2 T (v2 ) = .
x+y
= −y(1, 1, 2) + 2 (2, −1, 1) =
= x, −x−3y , x−3y .
2 2
Logo, T ´ dada por T (x, y) = x, −x−3y , x−3y .
e 2 2
Exemplo 15
Em rela¸ao a transforma¸ao linear do exemplo 4, encontre v ∈ R2 tal que
c˜ ` c˜
T (v) = (3, 1, 4).
Queremos (x, y) ∈ R2 tal que T (x, y) = (3, 1, 4).
21 CEDERJ

22. Propriedades das Transforma¸oes Lineares
c˜
 
 x=3
  x=3

−x − 3y x − 3y −x−3y
x, , = (3, 1, 4) ⇒ =1 ⇒ −x − 3y = 2 .
2 2  x−3y

2 

2
=4 x − 3y = 8
x=3
Resolvendo o sistema, obtemos 5
.
y = −3
Logo, o vetor procurado ´ (3, −5/3).
e
Exemplo 16
Dado um espa¸o vetorial V , um funcional linear definido em V ´ uma trans-
c e
Note que o conjunto dos forma¸ao linear f : V → R. Considere o funcional linear f definido em R 2
c˜
n´meros reais ´, ele mesmo,
u e
um espa¸o vetorial real.
c
tal que f (1, 1) = 2 e f (2, 1) = 3. Vamos determinar f (x, y), para (x, y) ∈ R 2 .
Novamente, come¸amos conferindo que os vetores (1, 1) e (2, 1) for-
c
mam uma base de R2 . Escrevemos, ent˜o, um vetor gen´rico (x, y), como
a e
combina¸ao linear dos vetores dados: (x, y) = a(1, 1) + b(2, 1). Resolvendo,
c˜
obtemos
a + 2b = x a = −x + 2y
⇒ ,
a+b = y b = x−y
isto ´, (x, y) = (−x + 2y)(1, 1) + (x − y)(2, 1).
e
Ent˜o
a
T (x, y) = T ((−x+2y)(1, 1)+(x−y)(2, 1)) = (−x+2y)T (1, 1)+(x−y)T (2, 1)
= (−x + 2y).2 + (x − y).3 = x + y .
Logo, T ´ dada por T (x, y) = x + y.
e
Exemplo 17
Em rela¸ao ao funcional linear definido no exemplo acima, vamos procurar
c˜
os vetores v de R2 tais que f (v) = 0. Isto ´, queremos (x, y) tal que f (x, y) =
e
x + y = 0. Isso nos leva aos vetores do plano da forma (x, −x). Logo, h´ a
infinitos vetores de R que s˜o levados ao zero, pelo funcional f - a saber,
2
a
todo vetor do conjunto {(x, −x)|x ∈ R}.
CEDERJ 22

23. Propriedades das Transforma¸oes Lineares
c˜
AULA 19
Para finalizar, um exemplo no espa¸o dos polinˆmios:
c o
Exemplo 18
Seja T a transforma¸ao linear em P3 (R) dada por
c˜
T (1) = 1 − t;
T (1 + t) = t3 ;
T (t + t2 ) = 3 − t2 ;
T (t2 + t3 ) = 1 + t2 .
Vamos determinar T (x + yt + zt2 + wt3 ), onde x + yt + zt2 + wt3 ´ um
e
3
polinˆmio qualquer de P3 (R) e, a seguir, calcular T (2 − 3t + 4t ).
o
Como nos exemplos anteriores, constatamos que {1, 1 + t, t + t2 , t2 + t3 }
´ uma base de P3 (R).
e
A seguir, escrevemos o vetor gen´rico de P3 (R) nessa base:
e
x + yt + zt2 + wt3 = a.1 + b(1 + t) + c(t + t2 ) + d(t2 + t3 ) =
= (a + b) + (b + c)t + (c + d)t2 + dt3 .
Obtemos, assim, o seguinte sistema:

 a+b=x


 b+c=y
,
 c+d=z



d=w
que, resolvido, fornece a solu¸ao:
c˜

 a=x−y+z−w


 b=y−z+w
.
 c=z−w



d=w
Escrevemos ent˜o:
a
x+yt+zt2 +wt3 = (x−y+z−w).1+(y−z+w)(1+t)+(z−w)(t+t2 )+w(t2 +t3 ) .
Aplicamos a transforma¸ao T em ambos os lados dessa igualdade:
c˜
T (x + yt + zt2 + wt3 )
= T ((x − y + z − w).1 + (y − z + w)(1 + t) + (z − w)(t + t2 )
+ w(t2 + t3 ))
= (x − y + z − w).T (1) + (y − z + w).T (1 + t) + (z − w).T (t + t2 )
+ w.T (t2 + t3 )
= (x − y + z − w).(1 − t) + (y − z + w).t3 + (z − w).(3 − t2 ) + w.(1 + t2 )
= (x − y + 4z − 3w) + (−x + y − z + w)t + (−z + 2w)t2 + (y − z + w)t3 .
23 CEDERJ

24. Propriedades das Transforma¸oes Lineares
c˜
Logo, a transforma¸ao procurada ´ dada por:
c˜ e
T (x+yt+zt2 +wt3 ) = (x−y+4z−3w)+(−x+y−z+w)t+(−z+2w)t2 +(y−z+w)t3 .
Vamos, agora, calcular T (2 − 3t + 4t3 ). Temos x = 2; y = −3; z = 0 e
w = 4. Ent˜o
a
T (2 − 3t + 4t3 ) = −7 − t + 8t2 + t3 .
Resumo
Nesta aula estudamos as propriedades das transforma¸oes lineares. O
c˜
fato mais relevante ´ que podemos determinar uma transforma¸ao linear a
e c˜
partir da sua aplica¸ao nos vetores de uma base, apenas. Assim, o n´mero de
c˜ u
informa¸oes necess´rias a respeito de uma transforma¸ao linear, para que a
c˜ a c˜
conhe¸amos completamente, ´ igual a dimens˜o do espa¸o vetorial no qual ela
c e ` a c
´ definida. Isso ´ uma especificidade das transforma¸oes lineares: nenhuma
e e c˜
c˜ c˜ a ´
outra fun¸ao permite uma manipula¸ao t˜o simples. E por essa qualidade,
em particular, que as transforma¸oes lineares s˜o, por excelˆncia, as fun¸oes
c˜ a e c˜
usadas na Computa¸ao em geral.
c˜
CEDERJ 24

25. Propriedades das Transforma¸oes Lineares
c˜
AULA 19
Exerc´
ıcios
1. Seja T : R2 → R a transforma¸ao linear para a qual T (1, 1) = 3 e
c˜
T (0, 1) = −2. Encontre T (x, y), para (x, y) ∈ R2 .
2. Um operador linear T , definido em P2 (R), ´ tal que T (1) = t2 , T (x) =
e
2 2
1 − t e T (t ) = 1 + t + t .
(a) Determine T (a + bt + ct2 ), onde a + bt + ct2 ´ um vetor gen´rico
e e
de P2 (R).
(b) Determine p ∈ P2 (R) tal que T (p) = 3 − t + t2 .
3. Encontre T (x, y) onde T : R2 → R3 ´ definida por T (1, 2) = (3, −1, 5)
e
e T (0, 1) = (2, 1, −1).
4. Determine T (x, y, z) onde T : R3 → R ´ dada por T (1, 1, 1) = 3, T (0, 1, −2) =
e
1 e T (0, 0, 1) = −2.
Auto-avalia¸˜o
ca
Vocˆ dever´ assimilar o significado de cada propriedade vista. A pri-
e a
meira delas ´ extremamente util para rapidamente identificar algumas trans-
e ´
forma¸oes que n˜o s˜o lineares, por n˜o levarem o vetor nulo do dom´
c˜ a a a ınio ao
vetor nulo do contra-dom´ ınio. A transla¸ao ´ o exemplo mais importante
c˜ e
disso. Al´m disso, vocˆ deve se familiarizar com a t´cnica de encontrar uma
e e e
transforma¸ao linear a partir de seus valores nos vetores de uma base do
c˜
dom´ ınio. Veja que os exerc´
ıcios s˜o repetitivos: mudam o espa¸o e a base
a c
considerada, mas a estrutura se repete. Caso vocˆ tenha alguma d´vida,
e u
entre em contato com o tutor da disciplina. E... vamos em frente!!
Respostas dos exerc´
ıcios
1. T (x, y) = 5x − 2y
2. (a) T (a + bt + ct2 ) = (b + c) + (−b + c)t + (a + c)t2
(b) p = 2t + t2
3. T (x, y) = (−x + 2y, −3x + y, 7x − y)
4. T (x, y, z) = 8x − 3y − 2z
25 CEDERJ

27. N´cleo e Imagem de uma Transforma¸˜o Linear
u ca
AULA 20
Aula 20 – N´ cleo e Imagem de uma
u
Transforma¸˜o Linear
ca
Objetivos
Determinar o n´cleo e a imagem de uma transforma¸ao linear.
u c˜
Identificar o n´cleo de uma transforma¸ao linear como um subespa¸o do
u c˜ c
dom´ınio.
Identificar a imagem de uma transforma¸ao linear como um subespa¸o do
c˜ c
contra-dom´ınio.
Na aula 19 mencionamos a imagem de uma transforma¸ao linear. Nesta
c˜
aula definiremos o n´cleo de uma transforma¸ao linear e mostraremos que,
u c˜
tanto o n´cleo, como a imagem, possuem estrutura de espa¸o vetorial.
u c
N´ cleo de uma transforma¸˜o linear
u ca
Sejam V e W espa¸os vetoriais e T : V → W uma transforma¸ao linear.
c c˜
Chamamos de n´cleo de T , representado por N (T ), o seguinte conjunto:
u
N (T ) = {v ∈ V | T (v) = 0W } .
Alguns textos usam a
nota¸ao ker(T ), pois n´cleo,
c˜ u
Em palavras: o n´cleo de uma transforma¸ao linear ´ o subconjunto do
u c˜ e em inglˆs, ´ kernel.
e e
dom´
ınio formado pelos vetores que s˜o levados ao vetor nulo do contra-
a
dom´
ınio.
Im
io ag
min em
Do 0
cleo
Nu
Figura 1:
Exemplo 19
• Seja T : V → W a transforma¸ao linear nula, isto ´, a transforma¸ao tal
c˜ e c˜
´ f´cil ver que seu n´cleo ´ todo o espa¸o V .
que T (v) = 0W , ∀v ∈ V . E a u e c
27 CEDERJ

28. N´cleo e Imagem de uma Transforma¸˜o Linear
u ca
• O n´cleo da transforma¸ao identidade, definida no espa¸o vetorial V ,
u c˜ c
´ o conjunto formado apenas pelo vetor nulo de V .
e
• A proje¸ao ortogonal sobre o eixo dos x, em R2 , ´ uma transforma¸ao
c˜ e c˜
linear cujo n´cleo ´ o eixo dos y.
u e
Exemplo 20
O n´cleo da transforma¸ao linear T : R2 → R3 dada por
u c˜
T (x, y) = (x + y, x − y, x − 2y)
´ o conjunto {(x, y) ∈ R2 | T (x, y) = (0, 0, 0)}, isto ´
e e

 x+y =0

(x + y, x − y, x − 2y) = (0, 0, 0) ⇒ x−y =0 .


x − 2y = 0
Esse sistema tem solu¸ao x = 0 e y = 0. Logo, N (T ) = {(0, 0)}.
c˜
Exemplo 21
Seja T : R4 → R3 a transforma¸ao linear dada por
c˜
T (x, y, z, t) = (2x, x + 2y − z, x − y + z + t) .
Ent˜o, N (T ) = {(x, y, z, t) ∈ R4 | T (x, y, z, t) = (0, 0, 0)}. Isto ´, um
a e
vetor (x, y, z, t) de R pertence ao n´cleo de T se, e somente se,
4
u

 2x = 0

(2x, x + 2y − z, x − y + z + t) = (0, 0, 0) ⇒ x + 2y − z = 0 .


x−y+z+t=0
Esse sistema tem conjunto-solu¸ao {(0, k, 2k, −k); k ∈ R}, que ´ o n´cleo de T .
c˜ e u
CEDERJ 28

29. N´cleo e Imagem de uma Transforma¸˜o Linear
u ca
AULA 20
Imagem de uma transforma¸˜o linear
ca
Sejam V e W espa¸os vetoriais e T : V → W uma transforma¸ao linear.
c c˜
A imagem de T , representado por Im(T ), ´ o conjunto de todos os vetores
e
de W da forma T (v), para algum v ∈ V , isto ´
e
Im(T ) = {w ∈ W | w = T (v), para algum v ∈ V }.
Exemplo 22
• Se T : V → W ´ a transforma¸ao linear nula, isto ´, tal que T (v) =
e c˜ e
0W , ∀v ∈ V , sua imagem ´ o conjunto formado apenas pelo vetor nulo
e
de W .
• A imagem da transforma¸ao identidade, definida no espa¸o vetorial V ,
c˜ c
´ o espa¸o V .
e c
• A proje¸ao ortogonal sobre o eixo dos x, em R2 ´ uma transforma¸ao
c˜ e c˜
linear cuja imagem ´ o eixo dos x.
e
Exemplo 23
Vamos determinar a imagem da transforma¸ao linear T : R2 → R3 dada por
c˜
T (x, y) = (x + y, x − y, x − 2y) .
Queremos encontrar os vetores w = (a, b, c) ∈ R3 para os quais existe v =
(x, y) ∈ R2 tal que T (v) = w, isto ´, queremos que a equa¸ao
e c˜
T (x, y) = (x + y, x − y, x − 2y) = (a, b, c)
tenha solu¸ao. Isso equivale a analisar as condi¸oes para que o sistema
c˜ c˜

 x+y =a

x−y =b


x − 2y = c
admita solu¸ao. Escalonando, obtemos o seguinte sistema equivalente:
c˜

 x+y =a

Note que a representa¸ao
c˜
y = (a − b)/2 ,

 geom´trica de Im(T ) ´ um
e e
0 = (a − 3b + 2c)/2 plano passando pela origem.
Vocˆ se lembra? Os
e
que admite solu¸ao se, e somente se, a − 3b + 2c = 0.
c˜ subespa¸os de R3 s˜o as
c a
retas e os planos passando
Logo, pela origem, al´m do
e
subespa¸o nulo e do pr´prio
c o
Im(T ) = {(a, b, c) ∈ R3 |a − 3b + 2c = 0} . R3 .
29 CEDERJ

30. N´cleo e Imagem de uma Transforma¸˜o Linear
u ca
Exemplo 24
Seja T : R4 → R3 a transforma¸ao linear dada por
c˜
T (x, y, z, t) = (2x, x + 2y − z, x − y + z + t) .
Queremos determinar as condi¸oes para que um vetor (a, b, c), de R 3 seja a
c˜
imagem, por T , de algum vetor de R4 . Como no exemplo anterior, queremos
que o sistema 
 2x = a

x + 2y − z = b


x−y+z+t=c
admita solu¸ao. Escalonando, chegamos ao sistema equivalente
c˜

 x−y+z+t=c

y+t=b+c−a ,


−z − 2t = (3a − 2b − 4c)/2
que ´ compat´ para quaisquer valores de a, b e c. Logo, todo vetor (a, b, c) ∈
e ıvel
R pertence a imagem de T , ou seja, Im(T ) = R3 .
3
`
Vocˆ j´ deve ter se dado conta de que as transforma¸oes lineares pos-
e a c˜
suem propriedades realmente especiais, que n˜o encontramos nas demais
a
fun¸oes. O n´cleo e a imagem de uma transforma¸ao linear n˜o s˜o apenas
c˜ u c˜ a a
conjuntos: ambos apresentam estrutura de espa¸o vetorial, como mostrare-
c
mos nos resultados a seguir.
Teorema 1
Sejam V e W espa¸os vetoriais e T : V → W uma transforma¸ao linear. O
c c˜
n´cleo de T ´ subespa¸o vetorial de V .
u e c
Demonstra¸ao.
c˜
Primeiramente, vemos que 0V ∈ N (T ), uma vez que T (0V ) = 0W .
Portanto N (T ) = ∅.
Sejam v1 , v2 vetores no n´cleo de T . Isto ´, T (v1 ) = T (v2 ) = 0W , ent˜o
u e a
T (v1 + v2 ) = T (v1 ) + T (v2 ) = 0W + 0W = 0W . Logo, (v1 + v2 ) ∈ N (T ).
Portanto, o n´cleo ´ fechado para a soma.
u e
Sejam α ∈ R e v ∈ N (T ). Isto ´, T (v) = 0W , ent˜o T (αv) = αT (v) =
e a
α0W = 0W . Logo, (αv) ∈ N (T ), o que mostra que o n´cleo ´ fechado para o
u e
produto por escalar.
CEDERJ 30

31. N´cleo e Imagem de uma Transforma¸˜o Linear
u ca
AULA 20
Teorema 2
Sejam V e W espa¸os vetoriais e T : V → W uma transforma¸ao linear. A
c c˜
imagem de T ´ subespa¸o vetorial de W .
e c
Demonstra¸ao.
c˜
A imagem de T n˜o ´ vazia, pois 0W ´ a imagem de 0V .
a e e
Sejam w1 , w2 vetores na imagem de T . Isso significa que existem vetores
v1 e v2 em V , tais que T (v1 ) = w1 e T (v2 ) = w2 . Ent˜o o vetor (w1 + w2 )
a
pertence a imagem de T , pois ´ a imagem do vetor (v1 + v2 ). De fato, temos:
` e
T (v1 + v2 ) = T (v1 ) + t(v2 ) = w1 + w2 .
Finalmente, sejam α ∈ R e w ∈ Im(T ). Isto ´, existe v ∈ V tal que
e
T (v) = w. Ent˜o, como T (αv) = αT (v) = αw, temos que (αw) ∈ Im(T ).
a
Uma vez provado que o n´cleo e a imagem s˜o subespa¸os vetoriais, o
u a c
pr´ximo passo ´ determinar a dimens˜o e obter uma base para cada um. E
o e a ´
o que faremos nos exemplos seguintes.
Exemplo 25
Dada a transforma¸ao linear T : R3 → R3 dada por
c˜
T (x, y, z) = (x + y, x − z, y + z) ,
determine uma base e a dimens˜o de seu n´cleo e de sua imagem.
a u
Vamos determinar o n´cleo de T .
u Queremos encontrar os vetores
(x, y, z) de R3 tais que

 x+y =0

T (x, y, z) = (x + y, x − z, y + z) = (0, 0, 0) ⇒ x−z =0 ,


y+z =0
cujo conjunto-solu¸ao ´ {(k, −k, k); k ∈ R} = {k(1, −1, 1); k ∈ R}.
c˜ e
Logo, o n´cleo de T ´ gerado pelo vetor (1, −1, 1). Ent˜o temos que
u e a
dim N (T ) = 1 e uma base de N (T ) ´ {(1, −1, 1)}.
e
Vamos, agora, determinar a imagem de T . Queremos estabelecer as
condi¸oes que um vetor (a, b, c) de R3 deve satisfazer para que exista um
c˜
vetor (x, y, z), em R3 , tal que T (x, y, z) = (x + y, x − z, y + z) = (a, b, c).
Essa igualdade leva a um sistema linear que, escalonado, fornece

 x+y =a

y+z =a−b .


0=a−b−c
31 CEDERJ

32. N´cleo e Imagem de uma Transforma¸˜o Linear
u ca
Para que existam solu¸oes, devemos ter a − b − c = 0, que ´ a equa¸ao que
c˜ e c˜
caracteriza os vetores da imagem de T . Como a = b + c, um vetor da imagem
pode ser escrito (b + c, b, c) = b(1, 1, 0) + c(1, 0, 1). Logo, a imagem possui
dimens˜o 2 e uma base para ela ´ {(1, 1, 0), (1, 0, 1)}.
a e
Os dois pr´ximos exemplos “invertem”o processo: vamos determinar
o
uma transforma¸ao linear (ela n˜o ser´ unica) a partir do seu n´cleo ou de
c˜ a a´ u
sua imagem.
Exemplo 26
Encontrar uma transforma¸ao linear T : R3 → R3 , cuja imagem ´ gerada
c˜ e
pelos vetores (1, 2, 3) e (1, 1, 1).
Vimos, na aula passada, que uma transforma¸ao linear fica completa-
c˜
mente determinada se a conhecemos nos vetores de uma base de seu dom´
ınio.
Consideremos, por simplicidade, a base canˆnica de R3 e vamos determinar
o
as imagens dos vetores dessa base, por T :
T (1, 0, 0) = (1, 2, 3)
Note que a escolha de T T (0, 1, 0) = (1, 1, 1)
neste exemplo n˜o ´ de
a e
forma alguma unica.
´ T (0, 0, 1) = (0, 0, 0)
Poder´ıamos, por exemplo,
ter escolhido Note que o terceiro vetor deve ser levado a um que forme, com os dois
T (1, 0, 0) = (1, 1, 1), vetores dados no enunciado, um conjunto LD, uma vez que a dimens˜o da a
T (0, 1, 0) = (1, 1, 1) e
T (0, 0, 1) = (1, 2, 3). imagem ´ 2. Ent˜o, como (x, y, z) = x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) + z(0, 0, 1), temos
e a
T (x, y, z) = xT (1, 0, 0) + yT (0, 1, 0) + zT (0, 0, 1) = x(1, 2, 3) + y(1, 1, 1) +
z(0, 0, 0) = (x + y, 2x + y, 3x + y), que ´ a lei que define a transforma¸ao T .
e c˜
Exemplo 27
Encontrar uma transforma¸ao linear T : R3 → R3 , cujo n´cleo ´ gerado pelos
c˜ u e
vetores (1, 2, 3) e (1, 1, 1).
Aqui, tamb´m, vamos definir uma transforma¸ao linear numa base de
e c˜
R3 , mas esta base deve conter os vetores dados. Isto ´, vamos completar o
e
conjunto {(1, 2, 3), (1, 1, 1)} para que se torne uma base de R3 . Para isso, de-
vemos escolher um vetor (x, y, z) tal que o conjunto {(1, 2, 3), (1, 1, 1), (x, y, z)}
seja LI. Em outras palavras, basta que seja um vetor tal que o determinante
formado pelas coordenadas dos 3 vetores do conjunto seja diferente de zero.
Isto ´:
e
1 2 3
1 1 1 = 0 ⇒ z = −x + 2y .
x y z
CEDERJ 32

33. N´cleo e Imagem de uma Transforma¸˜o Linear
u ca
AULA 20
Podemos considerar, por exemplo, o vetor (1, 0, 0). Temos, ent˜o, uma
a
base de R em cujos vetores iremos definir a transforma¸ao:
3
c˜
T (1, 2, 3) = (0, 0, 0)
T (1, 1, 1) = (0, 0, 0)
T (1, 0, 0) = (1, 0, 0) (por exemplo)
Observe que a dimens˜o do n´cleo ´ 2; logo, o terceiro vetor da base
a u e
deve estar fora do n´cleo, ou seja, ter imagem n˜o nula.
u a
Para finalizar, temos que escrever um vetor gen´rico do R3 como com-
e
bina¸ao linear dos vetores da base considerada e, enfim, determinar a ex-
c˜
press˜o de T :
a

 a+b+c=x

(x, y, z) = a(1, 2, 3) + b(1, 1, 1) + c(1, 0, 0) ⇒ 2a + b = y


3a + b = z
⇒ a = −y + z; b = 3y − 2z; c = x − 2y + z
Logo,
T (x, y, z) = aT (1, 2, 3) + bT (1, 1, 1) + cT (1, 0, 0) =
.
= (−y + z)(0, 0, 0) + (3y − 2z)(0, 0, 0) + (x − 2y + z)(1, 0, 0)
Assim, uma poss´ resposta ´ T (x, y, z) = (x − 2y + z, 0, 0).
ıvel e
Resumo
Nesta aula definimos o n´cleo e a imagem de uma transforma¸ao linear
u c˜
T . Vimos que ambos s˜o subespa¸os vetoriais: o n´cleo, do dom´ de T e a
a c u ınio
imagem, do contradom´ de T . Os exemplos visaram ajudar na assimila¸ao
ınio c˜
da t´cnica para caracterizar o n´cleo e a imagem, determinar suas dimens˜es
e u o
e encontrar uma base para cada. Na pr´xima aula veremos um resultado
o
importante que relaciona as dimens˜es do n´cleo, da imagem, e do dom´
o u ınio
de uma transforma¸ao linear.
c˜
33 CEDERJ

34. N´cleo e Imagem de uma Transforma¸˜o Linear
u ca
Exerc´
ıcios
1. Verifique se o vetor v ∈ V pertence ao n´cleo da transforma¸ao linear
u c˜
T : V → W , em cada caso:
(a) V =R3 ; W = R2 ; T (x, y) = (x + y − z, 3y + z); v = (4, −1, 3)
(b) V =R3 ; W = R2 ; T (x, y) = (x + y − z, 3y + z); v = (1, −1, 2)
a11 a12
(c) V = M2 (R); W = R; T = a11 + a12 + 2a21 + 2a22 ;
a21 a22
1 −3
v=
5 2
a11 a12
(d) V = M2 (R); W = R; T = a11 + a12 + 2a21 + 2a22 ;
a21 a22
1 3
v=
3 −5
2. Seja T : P2 → P3 a transforma¸ao linear definida por T (p(t)) = tp(t).
c˜
Quais dos seguintes vetores est˜o na imagem de T ?
a
(a) t2
(b) 0
(c) t + 1
(d) t2 − 2t
3. Determine a dimens˜o e uma base do n´cleo, a dimens˜o e uma base
a u a
da imagem da transforma¸ao linear T : R3 → R2 dada por
c˜
T (x, y, z) = (y − 2z, x − y − z).
4. Seja T a transforma¸ao linear definida em M2 tal que T (v) = Av, para
c˜
2 3
v ∈ M2 , onde A = . Determine a dimens˜o e encontre uma
a
−1 2
base da imagem, determine a dimens˜o e encontre uma base do n´cleo
a u
de T .
5. A transforma¸ao T : P3 → P2 que associa cada polinˆmio p(t) ao po-
c˜ o
linˆmio obtido pela deriva¸ao, isto ´: T (p(t)) = p (t), ´ linear. Descreva
o c˜ e e
o n´cleo de T .
u
CEDERJ 34

35. N´cleo e Imagem de uma Transforma¸˜o Linear
u ca
AULA 20
6. Encontre uma transforma¸ao linear T : R3 → R4 cuja imagem seja
c˜
gerada pelos vetores (1, 0, 2, 3) e (1, 0, −1, 5).
7. Encontre uma transforma¸ao linear T : R3 → R2 cujo n´cleo seja
c˜ u
gerado pelo vetor (1, 0, 3).
Respostas dos exerc´
ıcios
1. (a) pertence
(b) n˜o pertence
a
(c) n˜o pertence
a
(d) pertence
2. a); b); d)
3. dim N (T ) = 1; uma base de N (T ) : {(3, 2, 1)} (H´ infinitas bases.)
a
dim Im(T ) = 2 (Im(T ) = R ); uma base de Im(T ) : {(1, 0), (0, 1)}
2
(H´ infinitas bases.)
a
0 0
4. N (T ) = ; dim N (T ) = 0; Im (T ) = M2 ; uma base para
0 0
1 0 0 1 0 0 0 0
a imagem de T : , , , .
0 0 0 0 1 0 0 1
5. O n´cleo de T ´ formado pelos polinˆmios constantes de P3 .
u e o
6. H´ infinitas solu¸oes.
a c˜
7. H´ infinitas solu¸oes.
a c˜
35 CEDERJ

37. Teorema do N´cleo e da Imagem
u
AULA 21
Aula 21 – Teorema do N´ cleo e da Imagem
u
Objetivo
Apresentar o teorema do n´cleo e da imagem, algumas conseq¨ˆncias e exem-
u ue
plos.
Na aula passada vimos que, se T : V → W ´ uma transforma¸ao li-
e c˜
near, o n´cleo N (T ) ´ um subespa¸o vetorial de V e a imagem Im(T ) ´ um
u e c e
subespa¸o vetorial de W .
c
Nesta aula apresentaremos o teorema do n´cleo e da imagem, que re-
u
laciona as dimens˜o de V , N (T ) e Im(T ).
a
Teorema 1
Sejam V e W espa¸os vetoriais de dimewns˜o finita. Seja T : V → W uma
c a
transforma¸ao linear, ent˜o
c˜ a
dim V = dim N (T ) + dim Im(T ) .
Demonstra¸ao.
c˜
Seja p = dim Im(T ) e q = dim N (T ). Sejam {v1 , . . . , vq } uma base de
N (T ) e {w1 , w2 , . . . , wp } uma base de Im(T ).
Existem {u1 , . . . , up } ⊂ V tais que w1 = T (u1 ), w2 = T (u2 ), . . . , wp =
T (up ). Vamos mostrar que o conjunto
{v1 , . . . , vq , u1 , . . . , up }
´ uma base de V , o que demonstra o teorema, pois ent˜o temos
e a
dim V = q + p = dim N (T ) + dim Im(T ) .
Vamos iniciar provando que o conjunto {v1 , . . . , vq , u1 , . . . , up } ´ LI.
e
Suponha que
α1 u1 + · · · + αp up + β1 v1 + · · · + βq vq = 0 (1) ,
onde os α´s e β´s s˜o escalares. Aplicando o operator T , temos
a
α1 T (u1 ) + · · · + αp T (up ) + β1 T (v1 ) + · · · + βq T (vq ) = T (0) = 0 .
Como T (ui ) = wi , i = 1, . . . , p e T (vi ) = 0, i = 1, . . . , q, resulta que
α1 w1 + · · · + α p wp = 0 .
37 CEDERJ

38. Teorema do N´cleo e da Imagem
u
Mas {w1 , . . . , wp } ´ um conjunto L.I. (sendo base de Im(T )), portanto
e
α1 = · · · = αp = 0. Substituindo na equa¸ao (1), resulta
c˜
β 1 v1 + · · · + β q vq = 0 .
Como {v1 , . . . , vq } ´ uma base de N (T ), ent˜o ´ um conjunto LI, o que implica
e a e
em β1 = · · · = βq = 0.
ımos que {v1 , . . . , vq , u1 , . . . , up } ´ LI.
Conclu´ e
Vamos agora mostrar que esse conjunto gera V . Seja v ∈ V um vetor
qualquer. Como T (v) ∈ Im(T ), ent˜o existem escalares α1 , . . . , αp tais que
a
T (v) = α1 w1 + . . . + αp wp = α1 T (u1 ) + . . . + αp up .
Podemos escrever esta equa¸ao como
c˜
T (v − α1 u1 − . . . − αp up ) = 0 ⇒ v − α1 u1 − . . . − αp up ∈ N (T ) .
Como {v1 , . . . , vq } ´ uma base de N (T ), existem β1 , . . . , βq tais que
e
v − α 1 u1 − . . . − α p up = β 1 v1 + . . . + β q vq ,
ou seja
v = α 1 u1 + . . . + α p up + β 1 v1 + . . . + β q vq
Isto mostra que {v1 , . . . , vq , u1 , . . . , up } gera o espa¸o V .
c .
Exemplo 28
A proje¸ao ortogonal sobre o eixo-x ´ a transforma¸ao T : R2 → R2 dada por
c˜ e c˜
T (x, y) = (x, 0).
(x,y)
(x,0)
Figura 1: Proje¸ao ortogonal sobre o eixo-x
c˜
Temos que o n´cleo de T ´ formado pelos (x, y) tais que
u e
T (x, y) = (x, 0) = (0, 0) ⇒ x = 0 .
CEDERJ 38

39. Teorema do N´cleo e da Imagem
u
AULA 21
Ou seja, N (T ) = {(0, y)} que ´ gerado por {(0, 1)}. Portanto dim N (T ) = 1.
e
A imagem de T ´
e
ImT = T (x, y) = (x, 0) ,
que ´ um espa¸o gerado por {(0, 1)}. Portanto, dim Im(T ) = 1.
e c
Os valores de dim(T ) e Im(T ) confirmam o teorema do n´cleo e da
u
imagem, pois
2 = dim R2 = dim N (T ) + dim Im(T ) = 1 + 1 = 2 .
Exemplo 29
A transforma¸ao linear T : R2 → R3 dada por
c˜
T (x, y) = (x + y, x − y, x − 2y) .
Vimos no exemplo 20 da aula 20 que N (T ) = {(0, 0)}. Portanto,
dim R2 = dim N (T ) + dim Im(T ) ⇒ 2 = 0 + dim Im(T ) ⇒ dim Im(T ) = 2 .
Para confirmar isto, vamos calcular Im(T ). Seja (a, b, c) ∈ Im(T ).
Ent˜o
a

 x+y =a

T (x, y) = (x + y, x − y, x − 2y) = (a, b, c) ⇒ x−y =b


x − 2y = c
Reduzindo este sistema, obtemos
x = a+b
2
y = a−b
2
3b a
0=c− 2
− 2
Exemplo 30
No exemplo 21 da aula 20, vimos que a transforma¸ao linear T : R 4 → R3
c˜
dada por
T (x, y, z, t) = (2x, x + 2y − z, x − y + z + t)
tem n´cleo N (T ) = {0, k, 2k, −k)} que ´ gerado por {(0, 1, 2, −10}. Portanto
u e
dim N (t) = 1. Aplicando o teorema do n´cleo e da imagem, obtemos
u
dim R4 = dim N (T ) + dim Im(T ) ⇒ dim Im(T ) = 4 − 1 = 3 .
39 CEDERJ

40. Teorema do N´cleo e da Imagem
u
De fato, se (a, b, c) ∈ Im(T ) ent˜o
a

 2x = a

(2x, x + 2y − z, x − y + z + t) = (a, b, c) ⇒ x + 2y − z = b .


x − y + z + t = cc
N˜o ´ dif´ verificar que este sistema tem solu¸ao para qualquer valor de
a e ıcil c˜
(a, b, c), o que demonstra que dim Im(T ) = 3.
Na pr´xima se¸ao veremos algumas aplica¸oes do teorema que acaba-
o c˜ c˜
mos de provar para transforma¸oes injetoras e sobrejetoras.
c˜
Transforma¸oes injetoras e sobrejetoras
c˜
Vamos recordar algumas defini¸oes. Uma transforma¸ao T : V → W ´
c˜ c˜ e
sobrejetora quando Im(T ) = W . Como Im(T ) ´ subespa¸o de W , ent˜o, se W
e c a
tem dimens˜o finita, temos que T ´ sobrejetora quando dim Im(T ) = dim W .
a e
Uma transforma¸ao ´ injetora quando
c˜ e
T (v1 ) = T (v2 ) ⇒ v1 = v2 ⇒ v1 − v2 = 0 .
No caso de transforma¸oes lineares, podemos dar outra caracteriza¸ao.
c˜ c˜
Proposi¸˜o 1
ca
Uma transforma¸ao linear T ´ injetora se, e somente se, vale o seguinte
c˜ e
T (v) = 0 ⇒ v = 0 .
Demonstra¸ao.
c˜
Se T ´ injetora ent˜o claramente vale a propriedade acima, pois T (v) =
e a
0 e T (0) = 0 implica em v = 0 pela propriedade injetiva.
Se vale a propriedade acima, temos que
T (v1 ) = T (v2 ) ⇒ T (v1 − v2 ) = 0 ⇒ v1 − v2 = 0 ⇒ v1 = v2 .
Assim, entre as tranforma¸oes lineares, as injetoras s˜o aquelas em
c˜ a
que apenas o vetor nulo ´ levado no vetor nulo, isto ´ T ´ injetora quando
e e e
N (T ) = 0.
CEDERJ 40