1. MATEMÁTICA
CILINDRO E CONE
1. CILINDRO CIRCULAR
1.1. Definição
Considere dois planos paralelos ( α e β ) , uma
reta t incidente em α e uma região circular contida
em β. Observe a figura abaixo.
t
1.3. Áreas importantes do cilindro reto
Área da base ( A b )
α
base
β
R 2
Ab= =π R
Define-se como cilindro o sólido formado por
Área lateral ( AL )
todos os segmentos paralelos a t e extremos na região
circular e no plano α. Observe a ilustração abaixo.
superfície
lateral
AL= H = 2 π RH
2π R
α
β Área total
A t = 2Ab + AL ⇒ A t = 2πR 2 + 2πRH ⇒ A t = 2πR (R + H)
1.4. Volume
1.2. Elementos Observe que o cilindro é um sólido de secção
Considere o cilindro a seguir. constante. Logo, seu volume pode ser determinado
pela relação V = Ab ⋅ H , em que Ab representa a área
da base e H representa a altura do cilindro.
centro 1.5. Classificação
A
B
Cilindro reto
O cilindro reto possui o eixo perpendicular ao
altura plano da base. Neste cilindro, encontramos:
I) a geratriz perpendicular ao plano da base.
II) a medida da altura igual à medida da gera-
D C triz.
III) a secção meridiana retangular.
t Cilindro eqüilátero
O cilindro circular reto cujas secções meridia-
Eixo do cilindro: reta t, que passa no centro
nas são quadradas é chamado de cilindro eqüilátero.
das bases.
No cilindro eqüilátero, encontramos a altura igual ao
Base: regiões circulares.
diâmetro da base (H = 2R ) .
Geratrizes: segmentos com extremos na
circunferência das bases e paralelos ao eixo. 2. CONE
Secção meridiana: intersecção do plano que
contém o eixo com o cilindro. Observe a fi- 2.1. Definição
gura a seguir. Considere um plano α, uma região circular
contida nesse plano e um ponto V não pertencente a
α. Observe a ilustração a seguir.
Editora Exato 21

2. V Área lateral ( AL ) .
g
θ
α
AL = = π Rg
2π R
Define-se como cone o sólido formado por to- superfície
dos os segmentos com extremos na região circular e lateral
no ponto V. Observe a figura abaixo. (setor circular)
V
A medida do ângulo θ da superfície lateral
2πR 360ºR
é obtida por θ = rad ou θ = .
g g
α 2.4. Volume
O volume do cone pode ser determinado pela
1
2.2. Elementos relação V = Ab ⋅ H , em que Ab representa a área da
3
Considere o cone abaixo. base e H representa a altura do cone.
t 2.5. Classificação
V
Cone reto
O cone reto possui o eixo perpendicular ao
plano da base. Neste cone, encontramos a relação a-
baixo:
centro
g
Eixo do cilindro: reta t, que passa no vértice H
e no centro da base do cone.
Base: região circular.
Geratrizes: segmentos com extremos na
circunferência da base e no vértice do cone. R
Secção meridiana: intersecção do plano que
contém o eixo com o cone. Observe a figu-
ra. Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângu-
lo.
g2 = H2 + R 2
Cone eqüilátero
O cone reto cujas secções meridianas são tri-
ângulos eqüiláteros é chamado de cone eqüilátero.
No cone eqüilátero encontramos a medida da geratriz
igual ao diâmetro da base ( g = 2R ) .
2.3.Áreas importantes no cone reto
Área da base ( A b ) .
base
R 2
Ab = =π R
Editora Exato 22

3. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 3 Corta-se um cilindro circular reto ao meio. Sa-
bendo-se que o corte origina, em cada uma das
1 (UFV-MG) Para se construir uma lata cilíndrica partes resultantes, uma face quadrada com área
de base circular, sem tampa, com 20cm de diâme- igual a 16cm2. Determinar o volume do cilindro
tros de base e 25cm de altura, são gastos x cm2 de original.
material. O valor de x é: a) 8πcm3.
π = 10 b) 16πcm3.
Ab = π R 2 → Ab = 102.π → Ab = 100π c) 32πcm3.
A l = 2π Rh → A l = 2.π .10.25 → A l = 500π d) 48πcm3.
Ab + A l = 600π e) 96πcm3.
4 (UFGO) Para encher de água um reservatório
EXERCÍCIOS
que tem a forma de um cilindro circular reto são
1 A altura de um cilindro é o triplo do raio de sua necessárias 5 horas. Se o raio da base é 3m e a al-
base. Sabendo que a área de uma secção meridia- tura 10m, o reservatório recebe água à razão de:
na desse cilindro é 216cm2, calcule o volume do a) 18 π m3 por hora.
cilindro: b) 30 π m3 por hora.
c) 6 π m3 por hora.
d) 20 π m3 por hora.
e) Nenhuma.
h=3R
5 (U.C.DOM BOSCO-DF) Um cilindro reto, cuja
base é um círculo de raio R=3m, tem 108 π m3 de
R volume. Então, a área total desse cilindro é:
a) 126 π m2.
a) 648πdm3 b) 81 π m2.
b) 64,8πdm3 c) 72 π m2.
c) 6,48πdm3 d) 90 π m2.
d) 0,648πdm3 e) 108 π m2.
e) 0,0648πdm3
6 (UFPA) O reservatório “tubinho de tinta” de uma
2 A figura mostra uma peça cilíndrica transpassada caneta esferográfica tem 4mm de diâmetro e
por um furo circular do centro de uma base ao 10cm de comprimento. Se você gasta 5 π mm3 de
centro da outra. Qual é o volume dessa peça? tinta por dia, a tinta de sua esferográfica durará:
a) 20 dias
14cm b) 40 dias
6cm c) 50 dias
d) 80 dias
e) 100 dias
25cm (Dica: 10cm=100mm)
7 (PUCC-SP) Numa indústria, deseja-se utilizar
tambores cilíndricos para a armazenagem de um
a) 2000π. certo tipo de óleo. As dimensões dos tambores
b) 1000π. serão 30cm para o raio da base e 80cm para a al-
c) 500π. tura. O material utilizado na tampa e na lateral
custa R$100,00 o metro quadrado. Devido à ne-
d) 300π.
cessidade de um material mais resistente no fun-
e) Nenhuma.
do, o preço do material para a base inferior é de
R$200,00 o metro quadrado. Qual o custo de ma-
terial para a confecção de um desses tambores
sem contar as perdas de material? (Em seus cál-
culos, considere π = 3,14 .)
a) R$235,50.
Editora Exato 23

4. b) R$24250. GABARITO
c) R$247,20.
d) R$249,20. 1 D
e) R$250,00.
2 B
3 B
8 (EU-CE) Um cone circular reto de altura 3 2cm
tem volume igual a 18 2πcm3 . O raio da base 4 A
desse cone, em centímetros, mede: 5 D
a) 2.
b) 2 2 . 6 D
c) 3. 7 A
d) 3 2 .
8 D
9 B
9 (MATEMÁTICA-SANTO ANDRÉ) Calcular a
área lateral do cone cujo volume é 12πm3 e cujo 10 C
perímetro da base é 6πm. 11 B
a) 10 πm2 .
12 C
b) 15 πm2 .
c) 18 πm2 .
d) 20 πm2 .
e) nenhuma.
10 (UEPG-PR) A área lateral de um cone de revo-
lução é 600 πcm2 e sua geratriz te 25cm. O raio de
sua base é:
a) 20cm.
b) 25cm.
c) 24cm.
d) 27cm.
e) nenhuma.
11 (UFPA) Num cone reto, a altura é 3m e o diâme-
tro da base é 8m. Então, a área total, em metros
quadrados, vale:
a) 52 π
b) 36 π
c) 20 π
d) 16 π
e) 12 π
12 (FUVEST-SP) O diâmetro da base de um cone é
igual a geratriz. A razão da área total para a área
lateral do cone é:
3
a) .
2
1
b) .
2
2
c) .
3
3
d) .
4
2
e) .
3
Editora Exato 24