1. Bab 7
Ruang Dimensi Tiga
Rabu, 27 Juni 2012

2. Peta Konsep
Ruang Dimensi Tiga
mempelajari
Kedudukan Titik, Volume Menggambar Jarak Sudut
Baris, dan Bidang
membahas
Bangun Irisan membahas
Titik terhadap Titik Ruang Bidang
Titik terhadap Garis
Titik ke Titik ke Titik ke
Garis terhadap Garis Titik Bidang Garis
Garis terhadap Bidang antara
Bidang terhadap
Dua Dua Garis dan
Bidang
Garis Bidang Bidang
yang saling
Berpotongan Bersilangan
Rabu, 27 Juni 2012

3. Prasyarat
1. Apa yang dimaksud dengan prisma, limas, tabung dan
kerucut?
2. Misalkan kalian dibuatkan nasi tumpeng berbentuk
kerucut oleh ibu. Selanjutnya, kalian dipotong bagian
tengah tumpeng tersebut secara horizontal. Bagaimana
ide kalian untuk menentukan volume potongan
tumpeng yang tersisa?
Rabu, 27 Juni 2012

4. A. Kedudukan Titik, Garis, dan Bidang dalam
Ruang
Unsur-unsur benda dalam dimensi tiga:
Titik
• Titik tidak memiliki ukuran (tak berdimensi) dan hanya
ditentukan oleh letaknya.
• Titik disimbolkan dengan noktah (•) dan biasanya diberi nama
dengan huruf besar (kapital), misalnya P, Q, R, S, dan
sebagainya.
Rabu, 27 Juni 2012

5. Garis
• Garis adalah himpunan titik-titik yang membentuk kurva lurus.
• Garis berdimensi satu karena hanya memiliki ukuran panjang.
• Garis sebenarnya merupakan kurva lurus yang panjangnya tak
terbatas.
• Garis biasanya diberi nama dengan huruf kecil, misalnya a, b, c, d,
dan seterusnya.
• Bagian garis disebut segmen garis atau ruas garis.
Rabu, 27 Juni 2012

6. Bidang
• Bidang disebut bangun berdimensi dua karena memiliki dua
dimensi (panjang, lebar).
• Nama sebuah bidang biasanya menggunakan huruf Yunani yang
dituliskan di pojok bidang atau dengan menyebutkan titik-titik
sudut dari bidang tersebut.
Rabu, 27 Juni 2012

7. 1. Kedudukan Titik terhadap Garis dan Bidang
a. Kedudukan Titik terhadap Garis
1. Titik yang terletak pada garis
atau garis melalui titik tertentu.
(Gambar (a))
2. Titik yang tidak terletak pada (di
luar) garis atau garis tidak
melalui titik tertentu. (Gambar
(b))
b. Kedudukan Titik terhadap Bidang
1. Titik terletak pada suatu bidang
atau bidang melalui titik tertentu.
(Gambar (a))
2. Titik tidak terletak pada suatu
bidang atau bidang tidak melalui
titik tertentu. (Gambar (b))
Rabu, 27 Juni 2012

8. 2. Kedudukan Garis terhadap Garis Lain
4 macam Kedudukan garis terhadap garis lain dalam ruang
dimensi tiga
a. Garis-Garis Saling Berpotongan
Dua buah garis atau lebih dikatakan
saling berpotongan jika garis-garis
tersebut terletak pada bidang yang
sama dan terdapat satu titik
perpotongan pada garis-garis
tersebut.
b. Garis-Garis Saling Sejajar
Dua buah garis atau lebih dikatakan
saling sejajar apabila garis tersebut
terletak sebidang dan tidak
mempunyai titik perpotongan
(persekutuan).
Rabu, 27 Juni 2012

9. c. Garis-Garis Saling Berimpit
Dua garis dikatakan saling berimpit jika
keduanya saling sejajar dalam satu
bidang dan tiap titik pada kedua garis
seletak.
d. Garis-Garis Saling Bersilangan
Dua garis atau lebih dikatakan saling
bersilangan jika garis-garis tersebut
tidak memiliki titik persekutuan sehingga
garis-garis tersebut tidak sebidang dan
tidak sejajar.
Rabu, 27 Juni 2012

10. 3. Kedudukan Garis terhadap Bidang
a. Garis Terletak pada Bidang
Garis a terletak pada bidang α apabila
semua titik pada garis a terletak pada
bidang α.
b. Garis Memotong (Menembus) Bidang
Jika suatu garis beririsan dengan bidang dan
garis itu tidak terletak pada bidang, garis itu
memotong (menembus) bidang.
Rabu, 27 Juni 2012

11. Kejadian khusus garis memotong bidang adalah garis tegak
lurus bidang. Garis dan bidang membentuk sudut 90o.
Suatu garis dikatakan tegak lurus pada suatu bidang jika garis
tersebut tegak lurus terhadap semua garis yang ada dalam
bidang tersebut. (Gambar (b))
Rabu, 27 Juni 2012
27 June 2012

12. c. Garis Sejajar dengan Bidang
Suatu garis dikatakan sejajar dengan bidang jika pada
bidang tersebut dapat dibuat suatu garis yang sejajar
dengan garis tersebut.
Garis dan bidang yang sejajar tidak memiliki titik
persekutuan.
Rabu, 27 Juni 2012

13. 4. Kedudukan Bidang terhadap Bidang Lain
Misalkan ada dua bidang, yaitu bidang α dan β .
a. Kedua bidang saling berimpit
Jika setiap titik yang terletak pada bidang α juga
menempati bidang β, bidang α dan β saling
berimpit. (Gambar (a))
b. Kedua bidang saling sejajar
Jika tidak mempunyai satu titik persekutuan pun,
kedua bidang itu saling sejajar. (Gambar (b))
c. Kedua bidang saling berpotongan
Jika kedua bidang memiliki tepat satu garis
persekutuan, kedua bidang itu saling berpotongan.
(Gambar (c))
Rabu, 27 Juni 2012

14. B. Benda-Benda Ruang dan Volumenya
Kubus
Kubus adalah bangun ruang yang dibatasi oleh 6
buah bidang (sisi) yang berbentuk persegi.
(Gambar 7.19)
Jika rusuknya a, panjang diagonal = a 2
Diagonal ruang adalah a 3
Volumenya (V) dirumuskan dengan:
V = a x a x a = a3
Luas sisi (permukaan) (L) kubus adalah
L = 6a x a = 6a2
Rabu, 27 Juni 2012

15. Balok
• Bentuk balok hampir mirip dengan kubus.
Bedanya, panjang sisinya tidak semua sama.
• Jika ukuran panjang dan lebar suatu balok
masing-masing adalah p dan l satuan,
volume satu lapis balok adalah (p × l ) × 1
kubus satuan.
• Jika tinggi balok tersebut t satuan, balok
tersebut memiliki sebanyak t lapis sehingga
volumenya adalah (p × l ) × t kubus satuan.
• Simpulannya, volume balok yang ukuran
panjang p, lebar l, dan tinggi t adalah
V = (p × l × t) kubus satuan.
• Luas permukaan balok:
L 2( pl lt pt )
Rabu, 27 Juni 2012

16. Contoh:
Diketahui suatu balok ABCD.EFGH dengan
panjang AB = 8 cm, BC = 6 cm, dan BF = 3 cm.
Tentukan
a. panjang diagonal bidang AC;
b. panjang diagonal ruang AG;
c. luas bidang diagonal ACGE.
Jawab:
Sketsa balok itu tampak pada Gambar (a).
a. Diagonal bidang AC terletak pada bidang
ABCD. (Gambar (b))
Dengan teorema Pythagoras, diperoleh
panjang AC = = 10 cm.
82 62
Rabu, 27 Juni 2012

17. b. Diagonal ruang AG terletak pada bidang
diagonal ACGE.
Panjang AG dapat dicari apabila panjang AC
atau EG dan AE atau CG diketahui. Panjang
CG = panjang BF = 3 cm. Dari jawaban a,
diketahui panjang AC = 10 cm.
c. Luas ACGE = AC × CG = 10 × 3 = 30 cm2.
Rabu, 27 Juni 2012

18. Prisma dan Tabung
Prisma adalah sebuah bangun ruang yang dibatasi oleh dua
segi-n yang sejajar dan n buah segi empat. Perhatikan gambar
berikut.
Dari pengertian tersebut, balok dan kubus sebenarnya juga
merupakan prisma segi empat.
Rabu, 27 Juni 2012

19. Dilihat dari kedudukan rusuk tegaknya, terdapat 2 jenis prisma.
a. Prisma tegak yaitu prisma yang rusuk-rusuknya tegak lurus dengan bidang
alas.
b. Prisma condong/miring, yaitu prisma yang rusuk-rusuk tegaknya tidak tegak
lurus dengan alas.
Jika bidang alas dan tutup prisma merupakan segi-n
beraturan maka prisma tersebut dinamakan prisma
segi-n beraturan.
Untuk n mendekati tak berhingga, alasnya
menyerupai lingkaran. Bangun ruang ini dinamakan
tabung atau silinder.
Jika S adalah sebuah prisma yang mempunyai tinggi
t, luas alas A, dan volume V(S), berlaku
V(S) = A × t
Rabu, 27 Juni 2012

20. Volume kedua prisma di atas adalah
V=A×t
Untuk tabung, volumenya adalah
V = r2t
Rabu, 27 Juni 2012

21. Limas dan Kerucut
Limas adalah sebuah bangun ruang yang dibatasi
alas berupa segi-n dan segitiga sejumlah n di
sekelilingnya dengan titik puncak segitiga berimpit.
Nama limas sesuai dengan bentuk alasnya.
Limas segitiga
Limas segi-n beraturan adalah limas tegak dengan
alas segi-n beraturan dan proyeksi titik puncak pada
alas berimpit dengan titik pusat bidang alas.
Limas segi empat
Jika limas segi-n beraturan, untuk n mendekati tak
berhingga, alasnya menyerupai lingkaran. Bangun
seperti ini dinamakan kerucut. Jadi, kerucut termasuk
limas.
Kerucut
Rabu, 27 Juni 2012

22. Dalam 1 kubus terdapat 6 limas.
6 × volume limas O.ABCD
= volume kubus ABCD.EFGH
6V = 2t × (2t)² × 2t
V = 2 × (2t)² × t
6
(Perhatikan: (2t)² = luas alas dan t tinggi)
1
V = x luas alas x tinggi
3
Volume kerucut adalah
1 2
V= rt
3
Luas permukaan dapat ditentukan dengan menjumlahkan luas alas dan
jumlah luas bidang tegaknya.
Rabu, 27 Juni 2012

23. Contoh:
Diketahui limas segi empat beraturan dengan sisi alas berbentuk persegi
yang panjangnya 3 cm dan tingginya 8 cm. Tentukan volume dan luas
permukaan limas tersebut.
Jawab:
Perhatikan gambar limas di samping.
1
V = × luas alas × tinggi
3
1
= × (3 × 3) × 8 cm2
3
= 24 cm2
Selimut limas berupa 4 segitiga sama kaki yang sama ukurannya. Terlebih
dahulu kita akan menghitung luas salah satu segitiga, misalnya segitiga ABE.
Terlebih dulu cari tinggi segitiga (EG).
Rabu, 27 Juni 2012

24. Luas semua selimut limas = 4 × 12,21 = 48,84 cm²
Luas alas = AB × BC = 3 × 3 = 9 cm².
Luas semua permukaan limas = 48,84 + 9 = 57,84 cm².
Rabu, 27 Juni 2012

25. Bola
Bola merupakan bangun ruang sisi lengkung yang jarak pusat
ke bidang permukaannya selalu sama.
Rumus untuk menentukan volume
bola (V) dan luas permukaan bola (L):
r = jari-jari bola
Rabu, 27 Juni 2012

26. Contoh:
Suatu bangun ruang berbentuk bola mempunyai volume 38.808 cm3.
Tentukan jari-jari dan luas permukaan bangun ruang itu.
Jawab:
4 3
V r
3 4 22
38.808 = x x r³
3 7
r³ = 9.261 sehingga r = 21
Karena r = 21 cm, luas permukaan bangun ruang itu adalah
L = 4πr²
22
= 4 × × 21²
7
= 5.544 cm²
Rabu, 27 Juni 2012

27. C. Perbandingan Volume Benda-
Benda Ruang
Contoh 1:
Sebuah silinder berjari-jari 14 cm dan
tingginya 49 cm berisi penuh air. Pada silinder
tersebut dimasukkan sebuah besi pejal
berbentuk silinder dengan jari-jari
penampang 7 cm dan tingginya sama dengan
tinggi silinder. Tentukan:
a. volume air yang tumpah;
b. perbandingan volume silinder dan volume
besi pejal.
Rabu, 27 Juni 2012

28. Jawab:
a. Volume air yang tumpah sesuai dengan volume besi pejal yang
dimasukkan ke dalam silinder.
Volume besi pejal adalah
22
V = r2t = × 142 × 49 = 7.546
7
Jadi, volume air yang tumpah adalah 7.546 cm3.
b. Perbandingan volume silinder dan volume besi pejal
Rabu, 27 Juni 2012

29. D. Jarak Titik, Garis, dan Bidang
dalam Ruang
1. Jarak Titik Ke Titik
2. Jarak Titik ke Garis
3. Jarak Titik ke Bidang
4. Jarak Garis ke Garis
5. Jarak Garis ke Bidang
6. Jarak Bidang ke Bidang
Rabu, 27 Juni 2012

30. 1. Jarak Titik ke titik
C
A B
Rabu, 27 Juni 2012

31. G
A C
Rabu, 27 Juni 2012

32. LATIHAN
Tentukan jarak antara :
1. Titik A ke titik F
2. Titik B ke titik H
3. Titik B ke titik D
4. Titik C ke titik E
5. Titik A ke titik F
6. Titik F ke titik D
7. Titik D ke titik G
8. Titik E ke titik C
9. Titik E ke titik D
10. Titik H ke titik B
11. Titik G ke titik A
12. Titik D ke titik F
Rabu, 27 Juni 2012

33. 2. Jarak Titik ke Garis
Misalkan garis g dan titik P pada kedudukan seperti dalam gambar
berikut.
Jarak suatu titik B ke garis g adalah jarak terdekat dari titik B ke garis g
tersebut.
Jarak terdekat tersebut diperoleh dengan menarik garis dari titik B ke
garis g.
Garis yang ditarik tersebut harus tegak lurus dengan garis g dan
memotong garis g misalkan di titik C.
Rabu, 27 Juni 2012

34. Contoh:
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan
panjang rusuk 5 cm. Tentukan jarak
a. titik A ke BC;
b. titik B ke FG;
c. titik E ke BC;
d. titik G ke AB.
Jawab:
a. Jarak titik A ke BC sama dengan panjang rusuk AB = 5 cm.
b. Jarak titik B ke FG sama dengan panjang rusuk BF = 5 cm.
c. Jarak titik E ke BC sama dengan panjang diagonal sisi EB.
Panjang EB ditentukan dengan teorema Pythagoras.
Jadi, jarak titik E ke BC adalah 5 2 cm.
2 2
EB AB 2
AE 2
5 5 5 2
Rabu, 27 Juni 2012

35. d. Jarak titik G ke AB, berarti sama dengan panjang diagonal
sisi BG.
Panjang BG merupakan diagonal sisi kubus. Karena
ukuran sisi kubus semua sama maka panjang BG = EB.
Berarti, panjang BG = 5 2
Jadi, jarak titik G ke AB adalah 5 2 cm.
Rabu, 27 Juni 2012

36. 3. Jarak Titik ke Bidang
Untuk mengukur jarak titik B ke bidang α yang ada di
bawahnya, tariklah dahulu garis dari B ke arah bidang α
sampai memotong bidang itu di suatu titik, misalnya P.
Garis tersebut harus tegak lurus dengan bidang. Panjang
BP itulah jarak titik B ke bidang α
Rabu, 27 Juni 2012

37. Contoh:
Diketahui kubus ABCD.EFGH. Panjang rusuk
kubus adalah 7 cm. Tentukan jarak
a. titik A ke bidang ABCD;
b. titik A ke bidang EFGH;
c. titik H ke bidang BCGF.
Jawab:
a. Karena titik A terletak pada bidang ABCD, berarti jarak
titik A ke bidang ABCD adalah 0 cm.
b. Jarak titik A ke bidang EFGH, berarti menentukan panjang AE.
Karena AE merupakan rusuk kubus maka panjang AE = 7 cm.
Jadi, jarak titik A ke bidang EFGH adalah 7 cm.
c. Jarak titik H ke bidang BCGF, berarti menentukan panjang HG.
Karena HG merupakan rusuk kubus maka panjang HG = 7 cm.
Jadi, jarak titik H ke bidang BCGF adalah 7 cm.
Rabu, 27 Juni 2012

38. 4. Jarak Garis ke Garis
Untuk mengukur jarak garis a ke garis b, terlebih dahulu kita pilih
salah satu titik sembarang di garis a, misalnya R.
Selanjutnya, tarik garis dari R ke garis b sampai memotong garis b di
suatu titik, misalnya P pada garis b.
Garis tersebut harus tegak lurus dengan garis a dan b.
Panjang RP itulah jarak garis a ke garis b.
Rabu, 27 Juni 2012

39. 5. Jarak Garis ke Bidang
Untuk mengukur jarak garis g ke bidang α
yang ada di bawahnya, terlebih dahulu
pilihlah salah satu titik sembarang pada
garis g, misalnya R.
Selanjutnya, ditarik garis dari R ke bidang α
sampai memotong bidang α misalnya di
titik P.
Garis tersebut (garis RP) harus tegak lurus
dengan bidang α.
Panjang RP itulah jarak garis g ke bidang α
Rabu, 27 Juni 2012

40. 5. Jarak Bidang ke Bidang
Untuk mengukur jarak bidang α ke
bidang β, terlebih dahulu pilih
salah satu titik sembarang di
bidang α, misalnya R.
Selanjutnya, tarik garis dari R ke
bidang β sampai memotong
bidang β, misalnya di titik P.
Garis RP tersebut harus tegak
lurus dengan bidang α dan β .
Panjang RP itu adalah jarak bidang
α ke bidang β .
Rabu, 27 Juni 2012

41. Contoh:
Jika panjang rusuk kubus ABCD.EFGH
adalah 2a cm, tentukan jarak antara bidang
AFH dan bidang DBG.
Jawab:
Jarak bidang AFH dan bidang DBG adalah
panjang PQ. Dapat dilihat bahwa segitiga
SEA siku-siku di E. Dapat ditunjukkan bahwa
Rabu, 27 Juni 2012

42. Segitiga EPA siku-siku di P.
Segitiga RCG siku-siku di C.
RG CR 2 CG 2 (a 2 ) 2 (2a) 2
a 6
Rabu, 27 Juni 2012

43. Rabu, 27 Juni 2012

44. 6. Jarak Dua Garis Bersilangan
Pada gambar di samping, garis AH dan FC
adalah garis-garis yang bersilangan. Bagaimana
cara menentukan jarak dua garis yang
bersilangan?
Perhatikan langkah-langkahnya.
– Buatlah bidang α dan β yang sejajar,
dengan ketentuan garis AH pada bidang α
dan garis FC pada bidang β.
– Carilah jarak antara dua bidang ADHE dan
BCGF seperti yang telah kalian pelajari
sebelumnya.
Rabu, 27 Juni 2012

45. E. Besar Sudut Hasil Perpotongan Dua
Garis atau Dua Bidang
• Sudut antara Dua Buah Garis
• Sudut antara Garis dan Bidang yang
Berpotongan
• Sudut antara Dua Bidang yang Berpotongan
Rabu, 27 Juni 2012

46. 1. Sudut antara Dua Buah Garis
Besar sudut ruas garis FB dan BC tentu
90º. Bagaimana cara menentukan besar
sudut antara garis AH dan BC padahal
dua ruas garis tersebut tak sebidang.
Caranya: pindahkan garis BC secara sejajar
hingga memotong AH. Jika sudah demikian,
tampak bahwa BC berimpit dengan AD.
Sudut antara AH dan BC, ditulis (AH, BC),
sama dengan (AH, AD) = 45º (AH tetap).
Misal BC tetap. Dengan menggeser garis AH
secara sejajar hingga memotong garis BC,
diperoleh (AH, BC) = (GB, BC)
Rabu, 27 Juni 2012

47. 2. Sudut antara Garis dan Bidang yang Berpotongan
Cara menentukan besar sudut antara garis g dan
bidang α adalah:
a. Membuat bidang β yang tegak lurus dengan bidang
α dan melalui garis g.
b. Tentukan titik sembarang di garis g, misalnya titik P.
c. Melalui titik P tersebut, tarik garis yang memotong
tegak lurus dengan bidang α. Misalkan
perpotongannya di titik Q. Sudut PRQ adalah besar
sudut yang dibentuk oleh garis g dan bidang α.
Rabu, 27 Juni 2012

48. Contoh:
Jika panjang rusuk pada kubus ABCD.EFGH adalah a cm, T titik pusat bidang
alas, dan P di tengah-tengah BC, tentukan
a. sudut antara garis AH dan bidang ABCD;
b. sudut antara garis TH dan bidang ABCD;
c. sudut antara garis PH dan bidang ABCD.
Jawab:
a. (AH, ABCD) = HAD.
HD a
tan HAD = = = 1 sehingga HAD = 45°
AD a
b. (TH, ABCD) = HTD.
HD a
tan HAD = = = 2 sehingga HAD = 54,74°
TD a
2
2
Rabu, 27 Juni 2012

49. c. (PH, ABCD) = HPD.
2
2 a
DP = DC
2
PC = a
2
2
2
a
a2
4
5a 2 a
5
4 2
HD a 2
tan HPD = = = 5 sehingga HPD = 41,81°
AD a
5 5
2
Rabu, 27 Juni 2012

50. 3. Sudut antara Dua Bidang yang Berpotongan
Misalkan diketahui dua buah bidang, yaitu bidang α
dan β yang berpotongan. Hasil perpotongannya
membentuk sebuah garis (α,β).
Menentukan besar sudut antara bidang α dan β:
a. Tentukan titik P pada garis (α, β).
b. Tarik garis melalui titik P pada bidang α yang
tegak lurus garis (α, β).
c. Tarik garis melalui titik P pada bidang β yang
tegak lurus garis (α, β).
Sudut yang dibentuk oleh garis AP dan PB, yaitu
APB merupakan sudut antara bidang α dan β.
Rabu, 27 Juni 2012

51. Contoh:
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk a cm dan T di tengah
tengah DB. Tentukan besar sudut antara bidang DBG dengan bidang ABCD.
Jawab:
Sudut antara bidang DBG dan ABCD adalah CTG = α.
a
Karena panjang diagonal sisi AC = a 2 maka TC = 2
2
HD a
tan CTG = = = 2 = 1,4142.
AD a
2
2
Dengan demikian, CTG = 54,74°.
Rabu, 27 Juni 2012

52. F. Menggambar Bangun Ruang
Sebelumnya, ada beberapa istilah yang
harus di pahami agar dapat
menggambarkan suatu bangun ruang.
Perhatikan gambar di samping.
– Bidang Gambar
– Bidang Frontal
– Bidang Ortogonal
– Garis Frontal
– Garis Ortogonal
– Perbandingan Ortogonal
– Sudut Surut Gambar Kubus
Rabu, 27 Juni 2012

53. Bidang Gambar
Bidang gambar adalah bidang yang digunakan untuk menggambar bangun ruang.
Misalnya, kertas, buku gambar, papan tulis, dan lain-lain. Pada Gambar Kubus,
bidang gambarnya adalah bidang α.
Bidang Frontal
Bidang frontal adalah bidang pada bangun ruang yang sejajar dengan bidang
gambar. Contohnya adalah bidang ABFE dan DCGH pada Gambar Kubus.
Bidang Ortogonal
Bidang ortogonal adalah bidang pada bangun ruang yang tegak lurus dengan
bidang frontal atau bidang gambar. Pada Gambar Kubus, contohnya bidang BCGF
dan ADHE.
Rabu, 27 Juni 2012

54. Garis Frontal
– Garis frontal adalah garis-garis pada bangun ruang yang sejajar
dengan bidang gambar.
– Garis frontal ada dua macam: garis frontal vertikal dan frontal
horizontal.
– Pada Gambar Kubus, yang termasuk garis frontal vertikal
adalah AE, BF, CG, dan DH. Contoh garis frontal horizontal
adalah AB, EF, DC, dan HG.
Garis Ortogonal
– Garis ortogonal adalah garis-garis pada bangun ruang yang
tegak lurus dengan bidang frontal atau bidang gambar.
– Pada Gambar Kubus, yang termasuk garis ortogonal adalah
BC, AD, FG, dan EH.
Rabu, 27 Juni 2012

55. Perbandingan Ortogonal
– Perbandingan ortogonal adalah perbandingan panjang garis
ortogonal dengan panjang garis sebenarnya.
– Perbandingan ortogonal disebut juga perbandingan proyeksi.
Sudut Surut
– Sudut surut suatu bangun ruang adalah sudut yang dibentuk
oleh garis frontal horizontal ke kanan dan garis ortogonal ke
belakang.
– Pada Gambar Kubus, sudut sudut seperti BAD dan FEH
adalah sudut surut dari bangun ruang ABCD.EFGH.
Rabu, 27 Juni 2012

56. Contoh:
Gambarlah sebuah kubus ABCD.EFGH dengan ketentuan berikut.
a. Panjang garis frontal = 3 cm.
b. ABFE adalah bidang frontal dan AB adalah garis frontal vertikal.
c. Sudut surutnya 135°.
2
d. Perbandingan proyeksi 3
Jawab:
Langkah pertama adalah menggambar persegi ABFE sebagai bidang frontal,
dan AB sebagai garis frontal vertikal (Perhatikan Gambar). Kita gambarkan
bidang ortogonal BFGC, dengan FBC = 135°.
2
Panjang garis ortogonal BC = 3 × 3 cm = 2 cm.
Rabu, 27 Juni 2012

57. Selanjutnya, kita selesaikan gambar kubus tersebut dengan
melengkapi rusuk-rusuk yang belum ada sesuai dengan sifat-sifat
kubus.
Rabu, 27 Juni 2012

58. G. Irisan Bidang dengan Bangun
Ruang
Fakta dasar sebelum mempelajari irisan
bidang dengan bangun ruang
 Perpotongan (irisan) dua buah garis
berupa titik.
 Perpotongan antara bidang dan
garis berupa titik.
Rabu, 27 Juni 2012

59. Perpotongan dua buah bidang berupa garis.
Pada gambar di samping, perpotongan
bidang α dan β berupa sebuah garis (α, β).
Perpotongan tiga buah bidang berupa:
- sebuah garis persekutuan (garis-garis berimpit) (Gambar (a));
- tiga buah garis sejajar (Gambar (b));
- sebuah titik (Gambar (c)).
Rabu, 27 Juni 2012

60. Sebuah bangun ruang jika diiris sebuah bidang, hasilnya berupa
sebuah bidang datar.
Gambar (a): Suatu kubus yang diiris vertikal oleh bidang α. Hasil
irisannya berbentuk bidang ABCD, yaitu bidang yang diarsir.
Gambar (b): Limas segitiga yang diiris oleh bidang β. Hasil irisannya
berupa bidang berbentuk segitiga ABC.
Rabu, 27 Juni 2012

61. Langkah-langkah menggambar bidang hasil irisan:
1. Gambarlah sumbu afinitasnya, yaitu garis potong
antara bidang irisan dengan salah satu bidang pada
bangun yang diiris.
2. Dengan menggunakan bantuan sumbu afinitas
tersebut, gambarlah garis-garis potong bidang irisan
dengan bangun yang diiris.
3. Berdasarkan garis-garis potong tersebut, tentukan
bidang irisannya.
Rabu, 27 Juni 2012

62. Contoh:
Diketahui suatu kubus ABCD.EFGH. Titik P terletak pada rusuk EF
sedemikian rupa sehingga EP : PF = 1 : 3.
Titik Q terletak pada garis BC sehingga BQ : BC = 1 : 3, dan titik R
terletak pada garis CG sehingga GR : RC = 1 : 3.
Gambarlah bidang irisan kubus Tersebut dengan bidang yang
melalui titik P, Q, dan R.
Rabu, 27 Juni 2012

63. Jawab:
Langkah-langkahnya:
1. Menggambar sumbu afinitasnya
dengan menarik garis yang
menghubungkan titik R dan Q
sampai memotong perpanjang-
an FG di titik W dan perpanjang-
an BF di titik U. Garis WU adalah
sumbu afinitasnya.
2. Tarik garis dari U ke P, sehingga memotong garis AB, namai titik
potong itu S. Tarik pula garis dari W ke P sehingga memotong
garis HG, namai titik potong itu T.
3. Hubungkan TR dan QS dengan sebuah garis sehingga terbentuk
bidang irisan PSQRT.
Rabu, 27 Juni 2012