Guia 4

1. Ejercicios del epígrafe 4.3
1. En la circunferencia de centro O (Fig. 4.72), AB es un diámetro,
D∈
AC con AB ⊥ OD , BC =6 cm y AC =8 cm .
a) Prueba que: ∆ADO ∼ ∆ABC.
b) Halla el área sombreada.
c) Halla el perímetro del ∆ADO.
Fig. 4.72
2. En el paralelogramo ABCD (Fig. E4.2), F ∈ BD ; E y G son puntos de
los lados del paralelogramo, EF ⊥ BD , BG ⊥ CD .
a) Demuestra que ∆BFE ∼ ∆BGD.
b) Si BE = 8 cm BD = 10 cm y EF = 6 cm; calcula la longitud de BG .
3. En la figura 4.74, ABCD es un paralelogramo, DE altura del paralelogramo, FG
 DE ; D, C y F puntos alineados, así como B, C y G.
a) Prueba que ∆AED ∼ ∆CFG.
b) Calcula el área del paralelogramo ABCD si: DE = 15 cm, FG = 5 cm, CF = 2
cm y BE = 20 cm.
4. En la circunferencia de centro O (Fig. 4.75) AB y ED son diámetros,
, AC tangente en A a la circunferencia, BC secante y BD = 5,64 cm.
a) Demuestra que ∆EBD ∼ ∆DOB.
b) Calcula el área sombreada.
AC
 ED
Fig. 4.73
Fig. 4.74
Fig. 4.75
38

2. 5. En la figura 4.76, EF y BD diámetros de la circunferencia de
centro O, AC tangente a la circunferencia en D; B, F y C; B, E
y A puntos alineados.
a) Demuestra que ∆CDB ∼ ∆BDA.
b) Calcula el área sombreada si AD = 6 cm y BD = 8 cm.
6. Sea:
∆ABC isósceles de base AB (Fig. 4.77)
MN paralela media del ∆ABC
F punto medio de AB
NP mediatriz de AF que corta a AB en el punto E
M, F y P puntos alineados
a) Prueba que ∆MNP ∼ ∆AEN y ∆MCN = ∆BMF.
b) Si AB = 8 cm y NE = 3,5 cm, calcula el área
sombreada.
Fig. 4.76
Fig. 4.77
7. En el paralelogramo ABCD (Fig. 4.78),
altura del paralelogramo y AC ⊥ AD .
a) Prueba que
BC
=
CD
b) Si AE = 8 u y
perímetro
del paralelogramo.
CE
AC
EB
CE
es la
.
= 2 u, halla el área y el
Fig. 4.78
8. En la circunferencia de centro O y diámetro CT (Fig. 4.79), AT tangente a la
circunferencia y AC corta en B a la circunferencia.
a) Prueba que
AT
CT
b) Si AB = 3 dm
circunferencia.
=
AB
.
BT
y AC
= 15 dm, halla el área del ∆ATC y la longitud de la
9. En el triángulo ODF (Fig. 4.80) se han trazado AC y OE , de modo que AC 
DF y OE corta a AC y a DF en los puntos B y E respectivamente. Prueba que
AB : DE = BC : EF .
10. En la figura 4.81 se tiene un trapecio isósceles ABCD de altura DE , donde M y N
son puntos de AB y BC respectivamente y MN ⊥ AB .
a) Prueba que AD =
b) Si
AE =3MB ,
DE ⋅ BN
MN
.
y el área del ∆AED es de 36 cm2, halla el área del ∆NMB.
39
Fig. 4.79
Fig. 4.80
Fig. 4.81

3. 11. El triángulo CAB está inscrito en la circunferencia de diámetro AB (Fig. 4.82).
AEDB es un rectángulo, AD  BC . Prueba que AE : AC = AB : AD .
12. Sea ABCD un paralelogramo, E y F puntos de
BD y BD ⊥ AD (Fig. 4.83).
a) Prueba que
AD
CF
=
b) Si BD = 12 cm y
BD
EF
AB
CD
y
BC
respectivamente, EF 
.
= 13 cm, halla el perímetro del paralelogramo.
13. En la circunferencia de centro O y diámetro BC (Fig. 4.84), AE tangente en A a la
circunferencia y AC  BE .
a) Prueba que BC ⋅ AB =AE ⋅ AC .
b) Si AB = 8 cm y AC = 6 cm; halla el área sombreada.
c) Determina la longitud de AE .
Fig. 4.84
Fig. 4.83
Fig. 4.82
14. En un triángulo ABC, el punto L está sobre el lado AB tal que AL =
punto M está sobre el lado
AC ,
tal que AM =
2
LB y el
3
2
MC . Demuestra que los triángulos
3
ALM y ABC son semejantes.
15. Los lados de un triángulo tienen por longitudes 10, 12 y 15 cm. El perímetro de un
triángulo semejante con él es de 185 cm. Halla las longitudes de los lados del
segundo triángulo.
16. Si la razón entre los lados de dos triángulos semejantes es de 2:3, ¿cuál es la
razón entre sus áreas y sus perímetros?
17. Las áreas de dos triángulos semejantes son de 15 y 60 cm 2 respectivamente. Si
uno de los lados del triángulo es de 10 cm, ¿cuál es la longitud del lado
correspondiente en el segundo triángulo?
40

4. 18. El área de un triángulo, uno de cuyos lados es de 3 m, es de 2 m 2. ¿Cuál es el área
de un triángulo semejante con este cuyo lado correspondiente al de 3 m es de 5 m?
4.5 Grupo de teoremas de Pitágoras
Pitágoras, filósofo y matemático griego nacido en el siglo VI a.n.e. en Samos, fue el
fundador de una escuela donde se enseñaba Filosofía y Matemática conocida con el
nombre de la Escuela de los Pitagóricos. A él o a su escuela se le atribuyen muchos de
los conocimientos aritméticos y geométricos que conocemos hoy día, como es el grupo
de teoremas de Pitágoras.
Este grupo de teoremas está compuesto por tres teoremas que comparten una premisa
común, que se trate de un triángulo rectángulo, y ellos son: el Teorema de Pitágoras,
que ya conoces de grados anteriores, el Teorema de la altura y el Teorema de los
catetos.
¿Qué plantean estos teoremas sobre el triángulo rectángulo?
Teorema de Pitágoras
En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la
suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos.
Este teorema tiene un gran número de demostraciones por las más disímiles vías.
Mostraremos la realizada por vía algebraica por Chou Pei en China, entre el año 500 y
el 300 a.C.
Demostración:
Sea A el área del cuadrado, cuyo lado tiene (a + b)
unidades de longitud.
A = (a + b ) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (I)
El área A de este cuadrado la podemos calcular
también adicionando las áreas del cuadrado de c
unidades de lado y de los cuatro triángulos
rectángulos que tienen hipotenusa y catetos de c, a y
b unidades de longitud respectivamente.
a ⋅ b 
2
A = c + 4
 = c + 2ab
 2 
2
Fig. 4.85
(II)
Comparando (I) y (II) resulta:
a2 + b2 = c2.
41

5. No solo es importante conocer qué nos plantean ciertos teoremas, sino también es
importante conocer si dichos teoremas tienen recíprocos, como es el caso del Teorema
de Pitágoras.
Recíproco del teorema de Pitágoras
Si en un triángulo se cumple que el cuadrado de la longitud del lado mayor es igual a
la suma de los cuadrados de la longitudes de los otros dos lados, entonces el triángulo
es rectángulo.
Observemos que para obtener el recíproco de un teorema se intercambian la premisa y
la tesis del teorema original. No siempre el recíproco de un teorema se cumple, luego
para garantizar su veracidad debe ser demostrado.
Con el asistente matemático Geómetra que aparece en el software Eureka de la
colección Futuro, construye un triángulo rectángulo BCA como el de la figura 4.86
donde:
∆BCA: rectángulo en C
AB : hipotenusa
BC : cateto
AC : cateto
CD : altura relativa a la hipotenusa
AD , DB : segmentos de hipotenusa
Fig. 4.86
Para construir el triángulo rectángulo BCA puedes proceder de la siguiente forma:
1.
2.
3.
4.
Traza los puntos A y C.
Por estos puntos traza el segmento que los une.
Construye una recta perpendicular al segmento por el punto C.
Utiliza la opción punto en objeto para construir sobre la recta perpendicular el punto
B.
5. Traza el segmento que une a los puntos A y B.
6. Traza el segmento determinado por los puntos sobre la perpendicular.
7. Oculta la perpendicular.
8. Traza perpendicular al segmento que une a los puntos A y B y que pasa por el
vértice C del ángulo recto.
9. Determina el punto de intersección entre la hipotenusa y dicha perpendicular.
10. Construye el segmento que representa la altura relativa a la hipotenusa.
11. Oculta la recta perpendicular.
Realiza después los siguientes pasos:
1.
Calcula las longitudes de los segmentos CD , AD y DB , que
hemos representado por h, p y q respectivamente, a través de la opción “medir”.
2.
Calcula: h2; p · q.
42

6. 3.
4.
¿Qué relación puedes establecer?
Varía repetidamente la posición de un vértice (A o B) y analiza si
esta relación se mantiene.
5.
Formula una conjetura en forma de teorema sobre las relaciones
obtenidas.
Observa que obtendremos siempre: h2 = p · q (1).
Se puede demostrar que se cumple:
Teorema de la altura
En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la longitud de la altura relativa a la
hipotenusa es igual al producto de las longitudes de los segmentos que esta determina
sobre la hipotenusa.
Este teorema se puede plantear también teniendo en cuenta los conocimientos sobre
proporciones y áreas de las figuras de la siguiente forma:
•
Por proporción:
En todo triángulo rectángulo la longitud de la altura relativa a la hipotenusa es
media proporcional entre las longitudes de los segmentos que ella determina sobre
la hipotenusa.
p
h
Simbólicamente: h = q .
¿Es equivalente esta proposición a la relación (1)?
Si aplicas el teorema fundamental de las proporciones obtendrás la relación (1).
•
Por áreas:
En todo triángulo rectángulo el área del cuadrado que tiene por lado la longitud de
la altura relativa a la hipotenusa (h2) es igual al área del rectángulo que tiene por
lados las longitudes de los segmentos que esta determina sobre la hipotenusa
(p · q).
Según esta manera de formular el Teorema de la altura, ¿se pudiera obtener la
igualdad de las áreas de dos cuadrados?, ¿por qué?
Sí, pues si el triángulo rectángulo fuera también isósceles, entonces la altura relativa a
la hipotenusa coincidiría con la mediana y mediatriz relativas a ese lado, por lo que el
punto D (Fig. 4.86) sería el punto medio de la hipotenusa, obteniéndose así que
p = q = h.
Con la misma figura 4.86 y el asistente Geómetra realiza las siguientes mediciones y
cálculo:
1.
2.
Calcula las longitudes de los segmentos AB , BC y AC a través de la opción
“medir”, que hemos representado por c, a y b respectivamente.
Calcula: a2; q ⋅ c; b2; p ⋅ c
43

7. 3.
4.
5.
¿Qué relaciones puedes establecer?
Varía repetidamente la posición de un vértice (A o B) y analiza si estas relaciones
se mantienen.
Formula una conjetura en forma de teorema sobre las relaciones obtenidas.
Observa que obtendrás siempre que:
a2 = q · c y b2 = p · k
Efectivamente, se puede demostrar que se cumple el teorema siguiente:
Teorema de los catetos
En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la longitud de cada cateto es igual al
producto de la longitud de la hipotenusa por la longitud del segmento de hipotenusa
correspondiente al cateto.
Formula este teorema según los conocimientos que tienes sobre proporcionalidad y
áreas, como se realizó con el teorema de la altura.
Por la similitud de la expresión analítica del Teorema de los catetos con la
correspondiente del Teorema de la altura, se pudiera pensar que para determinado
triángulo rectángulo se obtendrá la igualdad de las áreas de dos cuadrados, ¿es esto
posible?, ¿porqué?
No es posible, pues nunca el segmento de hipotenusa que determina el cateto sería
igual a la hipotenusa.
El trabajo realizado con el grupo de teoremas de Pitágoras se ha basado en
mediciones de casos particulares. Para asegurarnos de que estas proposiciones son
verdaderas, es decir, que se cumplen para cualquier triángulo rectángulo, tendríamos
que realizar la demostración matemática de las mismas.
■ Demuestra estos teoremas.
La figura 4.86 te puede servir de medio auxiliar. Puedes realizar la demostración
aplicando la semejanza de triángulos; en cada caso elije convenientemente los
triángulos en que debes trabajar.
Ejemplo 1
Dos tensores están atados a lo alto de una antena formando entre sí un ángulo recto.
Si están sujetos al suelo a una distancia de 16 y 9 m de la base de la antena
respectivamente, calcula la altura de la antena y la longitud de los tensores.
Resolución
La representación gráfica del problema planteado aparece en la figura 4.87 donde:
∆NPQ: rectángulo en P
PT : altura
QP : un tensor
NP : otro tensor
r = 16 m
N
44
Fig. 4.87

8. s= 9m
Como se conocen las longitudes r y s de los segmentos de hipotenusa determinados
por la altura, se puede calcular esta directamente:
h2 = r · s por el Teorema de la altura
h2 = 16 m · 9 m
h2 = 144 m2
h = 144 m
h = 12 m
Los tensores representan los catetos del ∆NPQ, se conocen las longitudes de los
segmentos que estos catetos determinan sobre la hipotenusa y se puede obtener la
longitud de la hipotenusa por la suma de estos segmentos, luego a través del Teorema
de los catetos se puede calcular la longitud de los tensores.
p = r + s por suma de longitudes de segmentos
p = 16 m + 9 m
p = 25 m
n2 = r · p por el Teorema de los catetos
n2 = 16 m · 25 m
n = 16 ⋅ 25 m
n = (4 · 5) m
n = 20 m
q2 = s · p
q2 = 9 m · 25 m
q = 9 · 25 m
q = (3 · 5) m
q = 15 m
La altura de la antena es de 12 m y los tensores miden 20 y 15 m respectivamente.
En el ejemplo anterior si calculamos primero n, q, ¿cómo calcularías el valor de la
altura sin emplear la vía utilizada?, ¿qué teoremas emplearías?
Ejemplo 2
En el ∆RTS, rectángulo en T, sea hRS = QT la altura
relativa a la hipotenusa (Fig. 4.88). Tenemos:
r = ST = 3 cm
s = RT = 4 cm
t = RS = 5 cm
Calcula el área del cuadrado que tiene por lado la
longitud de la altura.
Fig. 4.88
Resolución
Para poder dar respuesta a este ejercicio debemos conocer la longitud de la altura
relativa a la hipotenusa del ∆RTS, dadas las longitudes de sus tres lados. Con estos
datos podemos calcular los segmentos que determina dicha altura sobre la hipotenusa
a través del teorema de los catetos, o sea, que:
ST
2
= RS · QS
45

9. QS =
ST
2
RS
(3 cm) 2
9 cm 2
QS =
=
= 1,8 cm
5 cm
5 cm
Por diferencia de segmentos tenemos:
= RS
QR
– QS
QR = 5 cm – 1,8 cm = 3,2 cm
Aplicando el Teorema de la altura tenemos:
2
QT
= QS · QR
2
QT
= 3,2 cm · 1,8 cm
2
QT
= 5,76 cm2 ≈ 5,8 cm2
Como con este teorema se obtiene el cuadrado de la altura, por tanto, el valor
encontrado de 5,8 cm2 es el área pedida.
Ejemplo 3
En el ∆ACB, rectángulo en C e isósceles de base AB
(Fig. 4.89), la longitud de la altura relativa a la
hipotenusa es CD = hAB = 6 cm . Calcula las
longitudes de sus tres lados.
Fig. 4.89
Resolución
La altura relativa a la base de un triángulo isósceles coincide con la mediana y la
mediatriz relativas a ese lado, luego D es el punto medio de AB , entonces:
BD = AD
(2)
Por el Teorema de la altura:
CD
CD
2
2
= BD
= BD
CD = BD
·
2
AD
por (2)
= 6 cm
AB = 2 BD por ser D punto medio de AB
AB = 2 · 6 cm = 12 cm
Como ya se conocen la hipotenusa y los segmentos en que la altura divide a la misma,
podemos calcular los catetos de este triángulo rectángulo e isósceles.
BC = AB · BD por el Teorema de los catetos
2
BC
2
= 12 cm · 6 cm
BC =
72 cm ≈ 8,5 cm
AC = BC ≈ 8,5 cm
por ser los lados del ∆ACB isósceles de base AB
Otra vía para resolver el ejemplo 3 es considerar que todo cuadrado se puede
descomponer en dos triángulos rectángulos e isósceles, cuyas bases coinciden con
una de las diagonales del cuadrado, luego la longitud de la altura relativa a la
hipotenusa es la mitad de la longitud de la diagonal.
Según lo dicho anteriormente tenemos:
AB = 2 CD = 2 · 6 cm = 12 cm .
En todo cuadrado también se cumple que la longitud de la diagonal es igual a
la longitud del lado del cuadrado, entonces tenemos que:
2 por
46

10. AB = 2 · BC
BC =
BC =
2 · AB
despejando y racionalizando
2
2 (12 cm)
= 6 2 cm ≈ 8,5 cm
2
Ejercicios del epígrafe 3.5
1. Sea BCA un triángulo rectángulo en C y CK la altura relativa a la hipotenusa:
a) Si AK = 4 cm y AB = 2,0 cm, halla las longitudes de los segmentos CK ,
BC .
b) Si AC = 6 cm y AB = 1,8 dm, halla AK , CK y BC .
c) Si AB = 3,6 dm y AC = 12 cm, halla AK y BC .
d) Si AC = 10 cm y BK = 15 cm, halla AB .
e) Si AK = 9 cm y BC = 20 cm, halla AB .
AC
y
2. Según la figura 4.90 completa la siguiente tabla:
AB
AD
DB
CD
AC
BC
a)
3 cm
4 cm
b)
3,9 cm
5,1 cm
c) 6,2 cm
3,5 cm
d) 5,5 cm
4,1 cm
e)
2,1 cm
4,9 cm
f)
5 cm
5,4 cm
Fig. 4.90
3. Para los triángulos rectángulos CFA, EFC y ACE (Fig. 4.91)
plantea las ecuaciones correspondientes al teorema de la
altura y de los catetos.
4. En un triángulo isósceles, los lados iguales miden 6 cm y la
base mide 4 cm. Calcula la longitud de la altura relativa a la
base.
5. En un triángulo equilátero sus lados miden 10 dm. ¿Cuál es la
Fig. 4.91
longitud de la mediana relativa a cada lado?
6. Si la diagonal de un cuadrado es de 8 cm, ¿cuál es su perímetro?
7. Halla las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo si sabemos que las
mismas son números enteros consecutivos.
8. Una escalera de 5,2 m de longitud está apoyada en una pared de modo que su pie
dista 2 m de la pared. ¿A qué distancia de la base se apoya la escalera a la pared?
9. En un ∆MPN, rectángulo en P, la altura relativa a la hipotenusa mide 8 cm.
47

11. a) ¿Qué longitudes enteras pueden tener los segmentos determinados por la altura
sobre la hipotenusa?
b) ¿Qué longitudes tienen los segmentos de hipotenusa si la razón entre ellos es de
1:4?
10. En una circunferencia de centro O una cuerda de 6 cm de longitud dista 4 cm de su
centro. ¿A qué distancia del centro se encuentra una cuerda que mide 8 cm?
11. En un trapecio isósceles las bases miden 10 y 24 cm respectivamente y los lados
no paralelos miden 25 cm. Calcula la altura del trapecio.
12. Un pionero empina un papalote a todo lo alto que le permite su cordel, el cual tiene
una longitud de 85 m. Su compañero, situado a 77 m de él, ve al papalote
directamente perpendicular a su cabeza. ¿Qué altura ha alcanzado el papalote con
respecto a la cabeza del niño que lo empina?
13. Los lados iguales de un triángulo isósceles miden cada uno 17 m y la base 16 m.
Halla su área.
14. La hipotenusa de un triángulo rectángulo tiene una longitud de 29 m y uno de los
catetos mide 20 m. Halla su área.
15. Determina el área de un triángulo equilátero de lado a.
16. Prueba que si en un cuadrilátero sus diagonales se cortan perpendicularmente, las
sumas de los cuadrados de las longitudes de los lados opuestos son iguales.
17. El área de un terreno rectangular es de 360 km 2. Si uno de los lados mide 9 km,
halla la longitud de la diagonal de dicho terreno y su perímetro.
18. El área de un triángulo rectángulo es de 210 m 2, uno de los catetos es 1 m mayor
que el otro. Calcula el perímetro de dicho triángulo.
19. Halla la altura relativa al lado menor de un triángulo obtusángulo cuyos lados miden
11; 25 y 30 cm respectivamente.
20. En una circunferencia de centro O y 15 cm de diámetro se tienen dos cuerdas AB
y BC de forma tal que la cuerda BC es perpendicular al diámetro de extremo A y
dista 4,5 cm del centro O. Halla las longitudes de las cuerdas.
4.6 Razones trigonométricas
El grupo de teoremas de Pitágoras plantea relaciones métricas que se pueden
establecer entre segmentos en un triángulo rectángulo. Pero existen también otras
relaciones métricas que se pueden establecer entre los ángulos y los lados de un
triángulo rectángulo: las razones trigonométricas. Su primera utilización fue en la
astronomía, pero desde entonces su empleo se ha extendido notablemente a distintas
ramas de las ciencias naturales y la técnica.
Consideremos un ángulo AOB de amplitud α,
como se muestra en la figura 4.92, al cual se le
han trazado rectas perpendiculares a uno de sus
lados, formándose los triángulos A1OB1; A2OB2 ;
A3OB3 ; A4OB4 y A5OB5 todos un ángulo común de
amplitud α.
Con el asistente Geómetra construye la
figura 4.92 y realiza las siguientes mediciones y
cálculos:
Fig. 4.92
48

12. 1.
Calcula las longitudes de los segmentos siguientes mediante la
opción “medir”:
OB 1
A1B 1
OB 2
A2 B 2
OA 2
OB 3
A3 B 3
OA 3
OB 4
A4 B 4
OA 4
A5 B 5
OA 5
OB 5
2.
OA 1
Calcula:
a)
A1B1
OB1
b)
c)
OA1
A1B1
OA1
OB2
OA2
;
OB1
A2 B2
;
OB2
OB3
OA2
;
OB 4
OA4
;
OB 4
A3 B3
;
A4 B 4
;
OB3
OA3
;
A2 B2
;
A3 B3
;
OA3
OA5
OB5
A4 B4
;
;
OA4
;
A5 B5
OB5
(Ι)
(ΙΙ)
A5 B5
OA5
(ΙΙΙ)
¿Qué resultados has obtenido al calcular las razones ( Ι ) , ( ΙΙ )
3.
y ( ΙΙΙ ) ?
Debes haber obtenido que:
A1B1
OB1
OA1
OB1
A1B1
OA1
A2 B2
=
=
OB2
OA2
OB2
=
=
A2 B2
OA2
=
A3 B3
OB3
OA3
OB3
=
=
A3 B3
OA3
=
OA4
OB 4
=
A4 B 4
OB4
=
=
OA5
OB5
A4 B 4
OA4
=
A5 B5
OB5
= k 1 (Ι1)
= k 2 (ΙΙ2)
A5 B5
OA5
= k 3 (ΙΙΙ3)
Donde k1; k2 y k3 son constantes; observa que estas razones no dependen de las
longitudes de los lados del triángulo rectángulo.
¿Por qué sucede esto? Si observas detenidamente la figura 4.92 verás que todos los
triángulos rectángulos son semejantes por tener un ángulo común, por lo que sus lados
son proporcionales; por otra parte, los catetos A1B 1, A 2 B 2 , A3 B 3 , A4 B 4 y A5 B 5 son
paralelos por ser todos perpendiculares al lado OA del ángulo AOB, luego por el
Teorema de las transversales se forman segmentos proporcionales y se pueden
plantear las proporciones ( Ι1 ), ( ΙΙ2 ) y ( ΙΙΙ3 ).
¿Qué sucede si variamos la amplitud del ángulo común AOB?
4.
Aumenta o disminuye la amplitud del ángulo AOB moviendo el
lado OB, ¿qué obtienes? Las razones (Ι), (ΙΙ) y (ΙΙΙ) se mantienen constantes, pero
con valores diferentes a los que se tenían anteriormente.
En conclusión podemos decir que las razones ( Ι ), ( ΙΙ ) y ( ΙΙΙ ):
a) No dependen de las longitudes de los lados del triángulo rectángulo OAiBi
(i = 1, 2, 3, 4, 5).
49

13. b) Son únicas para un mismo ángulo AOB.
c) Varían cuando cambia la amplitud α del ángulo AOB.
A las razones ( Ι ), ( ΙΙ ) y ( ΙΙΙ ) se les llama razones trigonométricas del ángulo de
amplitud α. Por abuso del lenguaje se les dice razones trigonométricas del ángulo α.
Ellas se definen de la manera siguiente:
• Seno de α (sen α): se denomina a la razón
a
, entre las longitudes del cateto
c
opuesto al ángulo y la hipotenusa.
• Coseno de α (cos α): se denomina a la razón
b
, entre las longitudes del cateto
c
adyacente al ángulo y la hipotenusa.
• Tangente de α (tan α): se denomina a la razón
b
, entre las longitudes del cateto
c
opuesto al ángulo y el cateto adyacente a dicho ángulo.
• Cotangente de α (cot α): se denomina a la razón
b
, entre las longitudes del cateto
a
adyacente al ángulo y el cateto opuesto a dicho ángulo.
a
c
b
cos α =
c
a
tan α =
b
b
cot α =
a
sen α =
Fig. 4.93
sen α
cos α
De las definiciones de estas razones resulta: tan α = cos α y cot α = sen α .
En todo triángulo rectángulo BCA (Fig. 4.93) se cumple que la hipotenusa, c, es el
mayor de los lados (c > a; c > b), luego, para los ángulos agudos se cumple que:
0 < sen α < 1 y 0 < cos α < 1
No sucede así para tan α =
a
, donde se relacionan los catetos del triángulo, pues
b
puede suceder que:
• a > b; tan α > 1 y 0 < cot α < 1
• a < b; 0 < tan α < 1 y cot α > 1
Ejemplo 1
50
Fig. 4.94

14. En el ∆BCA de la figura 4.94 se tiene que ∠ C = 90o, AB = 17 cm; BC = 8,0 cm y
AC = 15 cm. Calcula las razones trigonométricas para los ángulos agudos.
Resolución
En el ∆BCA tenemos:
a =BC = 8 cm
b = AC = 15 cm
c = AB = 17 cm
Luego, obtenemos:
sen α
a
8 cm
=
≈ 0,4701
c
17 cm
cos α
b
15 cm
=
≈ 0,8824
c
17 cm
sen β =
cos β
b 15 cm
=
≈ 0,8824
c 17 cm
a
8 cm
=
≈ 0,4701
c
17 cm
tan α =
a
8 cm
=
≈ 0,5333
b 15 cm
tan β =
cot α =
b
15 cm
=
≈ 1,875
a
8 cm
cot β
b
15 cm
=
≈ 1,875
a
8 cm
a
8 cm
=
≈ 0,5333
b 15 cm
Analiza la resolución del ejemplo 1, ¿qué regularidad encuentras? Debes haber
observado que :
a
b
; cos α = sen β =
c
c
a
b
tan α = cot β =
; cot α = tan β =
b
a
sen α = cos β =
Si como analizamos anteriormente las razones trigonométricas dependen solo de las
amplitudes de los ángulos, ¿qué relación existe entre los ángulos agudos en el
triángulo rectángulo?
Los ángulos agudos son complementarios, es decir, α + β = 90o o α = 90o – β o
β = 90o – α. Esto nos permite concluir lo siguiente.
El seno de α es igual al coseno de su complemento, 90o – α, y viceversa.
Simbólicamente: sen α = cos (90o – α)
cos α = sen (90o – α)
La tangente de α es igual a la cotangente de su complemento, 90 o - α, y viceversa
Simbólicamente: tan α = cot (90o – α)
cot α = tan (90o – α)
Las razones trigonométricas para los ángulos agudos (0 o < α < 90o) están calculadas en
tablas con las que podemos trabajar para determinar las amplitudes de los ángulos y
las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo.
51

15. Ejemplo 2
Utilizando las tablas determina el valor de α (0o < α < 90o) si:
a) sen α = 0,3140
b) cos α = 0,4955 c) tan α = 0,6771 d) cot α = 2,050
Resolución
Si buscamos en el cuerpo de la tabla el valor de la razón trigonométrica podemos
determinar el valor de α entre la primera columna y la primera fila, por tanto:
a) α = 18,3o
b) α = 60,3o c) α = 34,1o
d) α = 64o
Las tablas a nuestro alcance a veces no nos proporcionan la información que
necesitamos y por eso requerimos usar la calculadora.
Ejemplo 3
El ser humano percibe la distancia a través de juicios monoscópicos y estereoscópicos.
Los juicios monoscópicos usan un solo ojo y se basan en la interpretación del tamaño
relativo de objetos, sombras, partes ocultas de objetos, entre otros aspectos; dichos
juicios son burdos y fallan frecuentemente. Los juicios estereoscópicos, por el contrario,
usan ambos ojos y son bastante precisos, estos dependen de la separación física de
los ojos. El ángulo subtendido por la base de los ojos, es decir, por la distancia entre
ellos y el objeto que se observa, es llamado ángulo paraláctico. Mientras más cercano
el objeto, mayor será dicho ángulo y viceversa. El menor ángulo paraláctico discernible
por el ser humano es de 0,025 o y la distancia que existe como promedio entre los ojos
de los adultos es de 6,5 cm. ¿Cuál es la mayor distancia (en m) a la cual un adulto
como promedio puede hacer un juicio de profundidad?
Resolución
Sea d la distancia entre ambos ojos (longitud de ID ). Entonces:
O
1
ID
1
 2
tan  ∠ IOD  =
d
2

Fig. 4.95
d =
0,0325
0,0325
m=
m ≈ 150 m
o
0,00022
tan 0,0125
I
D
Respuesta: La mayor distancia a la que se puede hacer tal juicio es
a 150 m aproximadamente.
Ejemplo 4
Sin utilizar tablas ni la calculadora, y sabiendo que α y β son las amplitudes de ángulos
agudos, calcula:
52

16. a) cos α; tan α y cot α; si sen α =
1
2
b) sen β; cos β y cot β; si tan β = 1
c) Las razones trigonométricas del complemento de α.
Resolución
Al no permitirse la utilización de tablas ni de la calculadora, debemos referirnos al
triángulo rectángulo, para ello hay que conocer las longitudes de sus tres lados.
Conocemos, además, que el valor de una razón trigonométrica es constante para una
amplitud dada, cualesquiera sean las longitudes de los lados del triángulo.
1
2
a) sen α =
La razón seno relaciona el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa en el triángulo
rectángulo, luego, según lo dicho anteriormente consideremos un ∆MNP, rectángulo
en P, con el cateto opuesto al ángulo de amplitud α de 1 u y la hipotenusa de 2 u
(Fig. 4.96a).
Fig. 4. 96
El cateto que nos falta por conocer
Pitágoras, luego:
2
2
MP = NP + MN
2
MN
MN
2
2
= MP
2
( MN )
lo podemos hallar aplicando el Teorema de
2
− NP
2
= (4 – 1) u2
= 3 u2
MN
MN =
3u
Entonces: cos α =
MN
MP
=
3
2
; tan α =
NP
MN
=
1
3
=
3
3
; cot α =
MN
NP
=
3
= 3
1
b) Siguiendo el análisis del inciso a), si tan β = 1, es porque el cateto opuesto al ángulo
de amplitud β y el adyacente son iguales, luego consideremos un ∆MNP, rectángulo
en N, de catetos iguales a 1 u (Fig. 4.96b), entonces por el Teorema de Pitágoras
tenemos:
MP
MP
MP
2
=NP
2
+MN
2
2
= ( 1 +1 ) u 2
2
=2
MP =
2
u2
u
53

17. Por
cot β =
tanto:
MN
NP
sen β =
NP
MP
=
1
=
2
2
;
2
cos β =
MN
MP
=
1
2
=
2
;
2
1
=
= 1.
1
c) El complemento del ángulo de amplitud α se expresa como 90o – α, entonces
aplicando las relaciones entre las razones trigonométricas tenemos:
sen β = sen (90o – α) = cos α =
tan β = tan (90o – α) = cot α =
1
3
; cos β = cos (90o – α) = sen α =
2
2
3
3 ; cot β =cot (90o – α) = tan α =
3
A partir del ejemplo anterior determinamos los valores de las razones trigonométricas
de los ángulos de 30o; 45o y 60o. A estos ángulos se les llama ángulos notables y a las
razones correspondientes valores notables, que resumimos en la tabla siguiente:
sen
α
cos α
tan α
cot α
30o
1
2
45o
60o
2
2
3
2
3
2
2
2
3
3
3
1
1
1
2
3
3
3
En el trabajo realizado con las razones trigonométricas de un ángulo de amplitud α nos
hemos limitado al intervalo 0 o < α < 90o, ¿cuáles son las razones trigonométricas para
los ángulos cuya amplitud es 0o y 90o?
En el trabajo con el triángulo rectángulo no es posible loplanteado anteriormente. Por
eso consideremos un sistema de coordenadas en el que se ha trazado una
circunferencia de radio r centrada en su origen. Además consideremos un ángulo
central de amplitud α con un lado fijo sobre el semieje positivo del eje de las abscisas y
el otro tal, que corte a la circunferencia en un punto M, que se mueve en sentido
antihorario por la circunferencia como muestra la figura 4.97a.
Fig. 4.97
54

18. Esto nos permite plantear las razones trigonométricas del ángulo de amplitud α según
las coordenadas del punto M y el radio r, ya que para cada ángulo se determina un
único punto M en la circunferencia y el radio es el mismo, luego en el ∆OM'M
tendremos que:
Razones trigonométricas para los ángulos del I cuadrante
sen α =
x
y
x
y
; cos α =
; tan α =
; cot α = y .
r
r
x
Expresadas así las razones trigonométricas, ¿qué sucede si α = 0o o α = 90o?
Razones trigonométricas de los ángulos axiales de 0 o y 90o
Si α = 0o, el punto M tendría coordenadas (r; 0) (Fig. 4.97b), entonces:
sen 0o =
y 0
= =0
r
r
tan 0o =
y 0
= =0
x r
cos 0o =
cot 0o =
x r
= =1
r
r
x
r
= = 0 no se puede definir
y
0
Si α = 90o, el punto M tendría coordenadas (0; r) (Fig. 4.97c), entonces:
sen 90o =
y r
= =1
r
r
tan 9 0o =
y
r
= = 0 no se puede definir
x 0
cos 9 0o =
x 0
= =0
r
r
cot 90o =
x
0
= =0
y
r
En resumen, si 0o ≤ α ≤ 90o entonces:
0 ≤ sen α ≤ 1
tan α ≥ 0 (α ≠ 90o)
0 ≤ cos α ≤ 1
cot α ≥ 0 (α ≠ 0o)
Razones trigonométricas de los ángulos del II al IV cuadrante
Para analizar las razones trigonométricas de los ángulos del II al IV cuadrante debemos
considerar las coordenadas del punto M en cada uno de los cuadrantes. El modo de
proceder se ilustrará solo para los ángulos del II cuadrante.
55

19. Fig. 4.98
¿Qué sucede si el punto M está determinado por un ángulo obtuso o sobreobtuso de
amplitud θ?
En la figura 4.98a, el punto M1 tiene coordenadas (–x; y) y se tiene 90o < θ < 180o (ΙΙ
cuadrante); entonces:
sen θ =
−x
x
y
−x
x
y
y
; cos θ =
=–
; tan θ =
= – ; cot θ = y = − y
r
r
r
−x
x
Compara estos resultados con los obtenidos anteriormente. ¿A qué conclusión puedes
llegar? ¿Porqué?
Debes haber concluido que:
y
= sen α
r
y
tan θ = –
= –tan α
x
sen θ =
cos θ = –
x
= –cos α
r
x
cot θ = −y = –cot α
Fig. 4.99
Esto es debido a que como la circunferencia es una figura simétrica, el punto M1(–x; y)
determinado por el ángulo de amplitud θ, en el segundo cuadrante, tiene un punto
simétrico M(x; y) determinado por un ángulo de amplitud α en el primer cuadrante, lo
cual significa que para θ existe solo un α tal que los valores absolutos de sus razones
trigonométricas son iguales.
Observa en la figura 4.99 que los puntos M (determinados por α) y M1 (determinados
por θ) son simétricos; luego los triángulos ONM en el primer cuadrante y M1N1O en el
56

20. segundo, son iguales, por lo que ∠ M1ON1 = ∠ MON = α. Entonces θ = 180o – α, por
tanto tenemos que:
Fórmulas de reducción del ΙΙ cuadrante
sen (180o – α) = sen α
tan (180o – α) = –tan α
cos (180o – α) = –cos α
cot (180o – α) = –cot α
Ejemplo 5
Calcula las razones trigonométricas para los ángulos de las amplitudes que se indican:
a) 150o
b) 140,5o
Resolución
Las amplitudes de los ángulos del ΙΙ cuadrante se pueden expresar como 180 o – α,
donde α es la amplitud de un ángulo agudo cuyas razones trigonométricas tienen el
mismo valor absoluto que 180o – α.
En la práctica, para determinar α le restamos a 180o la amplitud del ángulo del ΙΙ
cuadrante y se toman los valores de sus razones tirgonométricas con el signo que les
corresponde en el ΙΙ cuadrante.
a) 150o es la amplitud de un ángulo del ΙΙ cuadrante (90o < 150o < 180o).
180o – 150o = 30o
Entonces: sen 150o = sen (180o – 30o) = sen 30o =
1
2
3
2
3
tan 150o = tan (180o – 30o) = – tan 30o = −
3
cos 150o = cos (180o – 30o) = –cos 30o = −
cot 150o = cot (180o – 30o) = – cot 30o =
− 3
b) 140,5o es la amplitud de un ángulo del ΙΙ cuadrante (90o < 140,5o < 180o).
180o – 140,5o = 39,5o
Entonces: sen 140,5o = sen (180o – 39,5o) = sen 39,5o = 0,6361
cos 140,5o = cos (180o – 39,5o) = –cos 39,5o = – 0,7716
tan 140,5o = tan (180o – 39,5o) = –tan 39,5o = – 0,8243
cot 140,5o = cot (180o – 39,5o) = –cot 39,5o = – 1,213
Un análisis semejante se hace para los ángulos del III y IV cuadrante. Para ello deben
utilizarse las figuras 4.98b y 4.98c, donde θ pertenece a los intervalos
180o< θ < 270o (ΙΙΙ cuadrante) y 270 o < θ < 360o (ΙV cuadrante) y determina los puntos
M2(–x; –y) y M3(x; –y) respectivamente.
Podemos concluir que:
Segundo cuadrante
90o < θ < 180o
Tercer cuadrante
180o < θ < 270o
Cuarto cuadrante
270o < θ < 360o
57

21. M1(–x; y)
M2(–x; –y)
y
sen α =
r
cos α =
y
sen θ = − = –sen α
r
x
cos θ = − = –cos α
r
–y
y
=
tan θ =
= tan α
–x
x
−x
x
cot α = y = − y
cot θ = − y = y = cot α
cot θ = − y = –cot α
Fórmulas de reducción
θ = 180o – α
sen (180o – α) = sen α
cos (180o – α) = –cos α
tan (180o – α) = –tan α
cot (180o – α) = –cot α
Si θ = 180o M1(–r; 0)
Fórmulas de reducción
θ = 180o + α
sen (180o + α) = –sen α
cos (180o + α) = –cos α
tan (180o + α) = tan α
cot (180o + α) = cot α
Si θ = 270o M2(0; –r)
Fórmulas de reducción
θ = 360o – α
sen (360o – α) = –sen α
cos (360o – α) = cos α
tan (360o – α) = –tan α
cot (360o – α) = –cot α
Si θ = 360o M3(r; 0)
sen 270o =
sen 360o =
−x
x
=–
r
r
y
y
tan α =
=–
x
−x
M3(x; –y)
−x
y
0
=
=0
r
r
x
−r
cos 180o =
=
=–
r
r
sen 180o =
1
y
0
=
=0
x
−r
x
−r
cot 0o = y =
no
0
tan 180o =
x
−r
= –1
r
0
cos 270o =
=0
r
−r
tan 270o =
= no se
0
puede definir
cot 270o =
0
=0
−r
sen θ = −
y
= –sen α
r
x
= cos α
r
y
tan θ = –
= –tan α
x
cos θ =
x
0
=0
r
r
cos 360o =
=1
r
0
tan 360o =
= 0
r
r
cot 360o =
no se puede
0
definir
se puede definir
Si γ ∈ [0o; 360o), entonces:
–1 ≤ sen γ ≤ 1
–1 ≤ cos γ ≤ 1
tan γ = a; con a ∈ R, γ ≠ 90o, γ ≠ 270o
cot γ =
1
con a ∈ R, γ ≠ 0o, γ ≠ 180o
a
Las razones trigonométricas en el intervalo [0o; 360o) pueden ser positivas o negativas
según el cuadrante al que pertenezca el ángulo.
Razón
signo
trigonométrica Ι
ΙΙ
C
C
seno
+
+
coseno
+
–
tangente
+
–
cotangente
+
–
ΙΙΙ
C
–
–
+
+
ΙV
C
–
+
–
–
Los valores de los ángulos axiales pueden ser 0; 1; –1 o no estar definidos.
58

22. Razón
trigonométrica
Seno
Coseno
Tangente
cotangente
0º
0
1
0
–
90º
1
0
–
0
180º
0
–1
0
–
270º
–1
0
–
0
Ejemplo 5
Calcula las razones trigonométricas para los ángulos:
a) 225º
b) 300º
c) 250,3º
d) 279,4º
Resolución
a) Debemos determinar la amplitud α del ángulo del primer cuadrante que le
corresponde:
225º es la amplitud de un ángulo del ΙΙΙ cuadrante (180º < 225º < 270º), luego se
puede expresar como θ = 180º + α, por tanto:
α = θ – 180º = 225º – 180º = 45º (ángulo notable)
Aplicando las fórmulas de reducción tenemos:
2
2
2
cos 225º = cos (180º + 45º) = –cos 45º = −
2
sen 225º = sen (180º + 45º) = –sen 45º = −
tan 225º = tan (180º + 45º) = tan 45º = 1
cot 225º = cot (180º + 45º) = cot 45º = 1
b) 300º es la amplitud de un ángulo del ΙV cuadrante (270º < 300º < 360º), luego se
puede expresar como θ = 360º – α, por tanto:
α = 360º – θ = 360º – 300º = 60º (ángulo notable)
Aplicando las fórmulas de reducción tenemos:
sen 300º = sen (360º – 60º) = –sen 60º = −
cos 300º = cos (360º – 60º) = cos 60º =
1
2
tan 300º = tan (360º – 60º) = –tan 60º =
3
2
− 3
cot 300º = cot (360º – 60º) = –cot 60º = −
3
3
c) 250,3º ∈ [180º; 270º] (ΙΙΙ C), se puede expresar como θ = 180º + α, por tanto:
α = θ – 180º = 250,3º – 180º = 70,3º
Aplicando las fórmulas de reducción tenemos:
sen 250,3º = sen (180º + 70,3º) = –sen 70,3º = –0;9415
cos 250,3º = cos (180º + 70,3º) = –cos 70,3º = –0,3371
59

23. tan 250,3º = tan (180º + 70,3º) = tan 70,3º = 2,793
cot 250,3º = cot (180º + 70,3º) = cot 70,3º = 0,3581
d) 279,4º ∈ [270º; 360º] (ΙV C), se puede expresar como θ = 360º – α, por tanto:
α = 360º – θ = 360º – 279,4º = 80,6º
Aplicando las fórmulas de reducción tenemos:
sen 279,4º = sen (360º – 80,6º) = –sen 80,6º = –0,9866
cos 279,4º = cos (360º – 80,6º) = cos 80,6º = 0,1633
tan 279,4º = tan (360º – 80,6º) = –tan 80,6º = –6,041
cot 279,4º = cot (360º – 80,6º) = –cot 80,6º = –0,1655
Ejercicios del epígrafe 4.6
1. Determina el valor de:
a) 15 tan 45o,4 cos 300o
b)
2 cos 135 o + sen 180 o
sen 240 o
c)
2
3 cos 30 o ⋅ cos 60 o
+
− tan 315 o
o
o
cos 45
sen 120
2. Halla el valor de la siguiente expresión: A2 – B · C, si A = cos 225o, B = tan 210o y
C = sen 300o.
3. Halla el valor numérico de:
a) sen 30º + cos 45º
b) tan 45º – cos 30º
c) cos 30º + tan 60º
d) sen 30º · cos 45º + tan 60º
e)
sen 30o
1
+
o
o
cos 45
cos 45 · tan 45o
4. Si a = 30º, b = 60º y c = 45º, halla el valor numérico de:
cos 2 a + 2sen a
sen 2 a + cos b
a)
b)
2
cos c + 1
tan c –
9
5. Calcula el valor numérico de:
a) 2sen 90º – cos 0º + tan 45º
sen 90o
3
b)
tan 0º +
– sen2 60º · cos 45º
3cos 0o
4
2sen 30 o
1
1
c)
+
· sen 0º – tan2 30º
cos 0 o sen 90 o
sen 90 o
2 tan 0o
sen 2 90 o
–
+ tan 45º
cos 0o
cos 2 0 o · sen 30 o
6. Calcula el valor numérico de:
d)
a) 2 sen 17,4º – cos 21,5º
3
tan 4 o + 2sen 39,5 o
b) 5
cos 39,2 o · sen 1,5 o
60

24. c)
sen 2 31,2 o + cos 49,3 o
2tan 5 o
sen 2 31,2 o + 4 tan 43,9 o
+
2cos 8,5 o
sen 5 o
d)
7. En un ∆ABC, rectángulo en B, los catetos a y c miden respectivamente:
a) 3 cm y 4 cm
b) 9,40 cm y 0,1 m
c) 0,20 dm y 10 cm
d) 1,41 cm y 1 cm
Resuelve el triángulo.
8. En un triángulo MNP, rectángulo en N, se tiene que los catetos miden 7 y 24 cm
respectivamente. Calcula las razones trigonométricas de sus ángulos agudos.
9. La medida de la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles ABC (∠ B = 90º) es
2 u. Calcula las razones trigonométricas de γ, la amplitud del ángulo que se opone a
lado c.
10. Sean α y γ las amplitudes de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo ABC
(β = 90º).
3
; calcula cos α, tan α y sen γ.
5
12
b) Si cos γ =
; calcula sen γ, tan γ y cos α.
13
4
c) Si tan α =
; calcula sen α, cos α, sen γ y cos γ.
3
a) Si sen α =
d) Si tan γ = 1; calcula sen γ, cos γ y tan α.
11. Utilizando el asistente matemático Geómetra construye un ángulo de amplitud α, tal
que:
a) sen α =
1
2
b) cos α =
12. Dado sen α =
4
5
c) tan α =
3
4
5
, construye utilizando el asistente matemático Geómetra el
13
ángulo de amplitud α y halla cos α y tan α.
13. Dado cos β =
3
, construye utilizando el asistente matemático Geómetra el ángulo
4
de amplitud β y halla sen β y tan β.
14. Halla la longitud de la hipotenusa de un triángulo ABC, rectángulo en B, sabiendo
que cos γ =
4
y a = 16 cm.
5
15. En el ∆ABC rectángulo en B, α = 30º y c = 3 cm. Calcula la longitud de la
hipotenusa.
16. En el ∆ABC, rectángulo en B, α = 45º y b = 4 cm. Halla la longitud de los catetos y
el valor de sen γ, cos γ y tan γ.
17. Demuestra que en un triángulo ABC, rectángulo en B, se cumple:
a) sen α = sen (β – γ)
b) cos α = cos (β – γ)
c) tan α = cot (β – α).
18. Di en qué cuadrantes pudiera estar el ángulo de amplitud θ si:
a) sen θ = –
1
2
e) tan θ = –1
b) sen θ =
f) cos θ =
2
2
1
3
c) cos θ = –
2
3
g) cos θ = 0,32
d) tan θ = 2
h) sen θ = –0,1
61

25. 19. Di en qué cuadrante estará situado el ángulo de amplitud α si:
a) sen α > 0 y cos α > 0
b) tan α > 0 y cos α > 0
c) cos α < 0 y sen α > 0
d) tan α < 0 y sen α < 0
20. Determina si son posibles las siguientes combinaciones de signos y fundamenta tu
respuesta. En los casos posibles, señala en qué cuadrante está situado el ángulo de
amplitud β.
a) sen β > 0, cos β < 0 y tan β < 0
b) sen β < 0, cos β > 0 y tan β > 0
c) sen β > 0, cos β > 0 y tan β < 0
21. Demuestra que en un triángulo ABC se cumple:
a) sen α = sen (β + γ)
b) cos α = –cos (β + γ)
c) tan α = –tan (β + γ)
d) sen α = –sen (2α + β + γ)
22. En cada uno de los incisos siguientes se da un punto de una circunferencia
trigonométrica. Determina las razones trigonométricas del ángulo formado por la
semirrecta que parte del origen y dicho punto y por el semieje positivo del eje de las
abscisas. Indica el cuadrante al que pertenece en cada caso.
a) r = 2 y P(1; 3 ) b) r = 2 y P( 3 ; –1)
c) r = 2 y P(0; 2) d) r = 5 y P(–4; 3)
23. Para qué valores de β (0o ≤ β < 360o) se cumple:
a) 4sen β = 2
b) 2cos β = 3
c) 3 tan β = 1
d) 2cos β – 1 = 0
e) tan β = –1
f) 4sen β – 1 = 2sen β
g)
4
cos2 β = 1
3
h) sen2 β =
1
2
i) 4cos2 x = 1
24. Para qué valores de x (0º ≤ x ≤ 180º) se cumple:
a) sen x = 0,9816
b) cos x = 0,6921
25. Determina el conjunto solución de las ecuaciones, si 0º ≤ x ≤ 270º.
a) cos x = cos2 x
b) 2sen2 x – sen x = 0
c) tan2 x = tan x
d) tan2 x – 3 tan x = 0
e) 3sen x = 2 – 2sen2 x
f) 4cos2 x + 4cos x = 3
g) 3tan2 x = 1 + 2tan x
1
h) 4cos x = cos x
3
i) sen x – 2 = sen x
4.7 Resolución de triángulos
Todo triángulo está compuesto por seis elementos (tres lados y tres ángulos). Resolver
un triángulo no es más que calcular las longitudes de los lados y las amplitudes de los
ángulos de un triángulo.
Existen triángulos en los cuales ya se conoce algún elemento, son los casos del
triángulo rectángulo (un ángulo recto) y el equilátero (los tres ángulos de 60º).
En el triángulo rectángulo, el grupo de teoremas de Pitágoras y las razones
trigonométricas nos permiten, dados algunos elementos, conocer los que faltan.
Resolución de triángulos rectángulos
Ejemplo 1
Dado el ∆ABC rectángulo en B, (Fig. 4.100), calcula los elementos que faltan según los
datos dados en cada inciso.
a) c = 7 cm; a = 24 cm
b) a = 5,4 dm; b = 9,4 dm
62

26. c) c = 6,6 m; γ = 30º
d) b = 8,9 cm; α = 40,7º
Resolución
a) c = 7 cm; a = 24 cm
Al analizar los datos en este inciso vemos que para
resolver este triángulo rectángulo debemos calcular
la longitud de la hipotenusa y las amplitudes de sus
ángulos agudos.
Fig. 4.100
¿Qué teoremas nos relacionan los catetos con los elementos que debemos buscar?
Con los dos catetos se relacionan:
• la hipotenusa a través del teorema de Pitágoras,
• los ángulos agudos según las razones trigonométricas, tangente y cotangente.
Comencemos calculando la hipotenusa por el Teorema de Pitágoras:
b2 = a2 + c2
b2 = (7 cm)2 + (24 cm)2
b2= (49 + 576) cm2
b2 = 625 cm2
b = 625 cm = 25 cm
Como se conocen ahora las longitudes de los tres lados del triángulo, no solo se
pueden calcular los ángulos a través de la tangente y cotangente, sino por
cualquiera de las razones trigonométricas definidas, pero, a pesar de esto, para
evitar arrastrar posibles errores trabajemos con los datos.
c
7 cm
tan γ = a = 24 cm ≈ 0,2917
Como γ es un ángulo agudo, buscamos en la tabla de la tangente el valor 0,2917 y
obtenemos que γ ≈ 16,3º.
Para calcular α podemos hacerlo como complemento de γ y por la razón trigonométrica
tangente, por lo que siendo consecuente con lo antes dicho tenemos:
a
24 cm
tan α = c = 7 cm ≈ 3,429, por lo que α ≈ 73,6º.
Nota: En el caso del cálculo del ángulo α, si estás seguro de haber obtenido
correctamente la amplitud del ángulo γ, es más fácil obtener su amplitud como
complemento de γ.

Resuelve nuevamente el ejercicio, pero ahora comienza por calcular las amplitudes
de los ángulos y analiza a medida que trabajas, los teoremas que puedes aplicar.
b) a = 5,4 dm; b = 9,4 dm
Conocemos la longitud de la hipotenusa y un cateto. Debemos calcular la longitud
del otro cateto y las amplitudes de los ángulos agudos. Con los datos se relacionan:
• el otro cateto a través del teorema de Pitágoras,
• los ángulos agudos, según las razones trigonométricas, seno y coseno.
Comencemos calculando la amplitud del ángulo γ.
a
5,4 m
cos γ = b = 9,4 dm ≈ o,5745, luego γ ≈ 54,9º.
63

27. Calculemos α como su complemento:
90º – γ = 90º – 54,9º = 35,1º
α ≈ 35,1º
Para calcular la longitud del cateto que falta podemos realizarlo a través del teorema
de Pitágoras o las razones trigonométricas.
sen γ =
c
b
c = b · sen γ
c = 9,4 dm · sen 54,9º
c ≈ 9,4 dm · 0,818
c ≈ 7,6892 dm
c ≈ 7,7 dm

Resuelve nuevamente este inciso utilizando únicamente los datos dados; compara
los procedimientos.
c) c = 6,6 m; γ = 30º
Tenemos por datos la amplitud de un ángulo y la longitud del cateto opuesto a ese
ángulo; debemos calcular las longitudes del otro cateto y la hipotenusa y la amplitud
del otro ángulo agudo. Las vías de trabajo para encontrar los elementos que faltan
pueden estar relacionadas con:
• las razones trigonométricas y el Teorema de Pitágoras, o
• solo las razones trigonométricas.
Veamos la segunda vía.
tan γ =
a=
c
6,6 m
6,6 m
6,6 m · 3
=
=
=
= 6,6 3 m ≈ (6,6 · 1,73) m = 11,418 m ≈ 11 m
tan γ
tan 30º
3
3
3
sen γ =
b=
c
a
c
b
c
6,6 m
6,6 m
=
=
= (6,6 · 2) m = 13,2 m ≈ 13 m
1
=
sen γ
sen 30º
2
Como α y γ son complementarios, entonces α = 90º – γ = 90º – 30º = 60º.

Resuelve nuevamente el inciso utilizando la otra vía y compara los procedimientos.
d) b = 8,9 cm; α = 40,7º
Los datos en este inciso son la longitud de la hipotenusa y la amplitud de un ángulo;
hay que calcular las longitudes de los catetos y la amplitud del otro ángulo. Las vías
de trabajo son las mismas que las analizadas en el inciso c); trabajemos por
razones trigonométricas.
sen α =
a
b
a = b · sen α
cos α =
c
b
c = b · cos α
64

28. a= 8,9 cm · sen 40,7º
c = 8,9 cm · cos 40,7
a ≈ 8,9 cm · 0,652
c ≈ 8,9 cm · 0,758
a ≈ 5,802 8 cm
c ≈ 6,746 2 cm
a ≈ 5,8 cm
c ≈ 6,7 cm
Como α y γ son complementarios entonces: γ = 90º – α = 90º – 40,7º = 49,3º.

Resuelve nuevamente el inciso utilizando la otra vía y compara los procedimientos.
Ejemplo 2
Según la figura 4.101 resuelve el ∆STR, rectángulo en
T, si:
a) h = 8,5 dm; r = 1 m
b) ρ = 20,3º; SQ = 2,1 m
c) r = 4 dm; QR = 6 dm
Fig. 4.101
Resolución
QT =hRS divide al triángulo rectángulo STR
La altura
en dos triángulos TQS y RQT, rectángulos en Q.
a) Conocemos las longitudes de la altura y de un cateto. Debemos calcular la longitud
de la hipotenusa y del otro cateto y las amplitudes de los ángulos agudos. Como h y r
están dadas en distintas unidades de medida, expresemos:
r = 1 m = 10 dm
h
8,5 dm
En ∆TQS, rectángulo en Q, tenemos: sen θ = r = 10 dm = 0,85 , luego θ = 58,2º.
En ∆STR tenemos: ρ = 90º – θ
ρ = 90º – 58,2º
ρ = 31,8º
tan θ =
s
r
por ser ángulos agudos del triángulo rectángulo.
cos θ =
r
t
r
s = r · tan θ
t = cos θ
s = 10 dm · tan 58,2º
t = cos 58,2º
s ≈ 10 dm · 1,61
s ≈ 16,1 dm
s ≈ 16 dm

10 dm
10 dm
t ≈ 0,527
t ≈ 18,9 cm
t ≈ 19 dm
Busca otras vías donde se utiliza el grupo de teoremas de Pitágoras y las razones
trigonométricas.
65

29. b) Conocemos la amplitud de un ángulo y la longitud de un segmento de hipotenusa
determinado por la altura relativa a esta y ambos elementos no pertenecen a un
mismo triángulo (Fig. 4.101).
Debemos calcular: r, s, t y θ.
θ = 90º – ρ
por ser ángulos agudos del ∆STR rectángulo en T.
θ = 90º – 20,3º
θ = 69,7º
En ∆TQS tenemos:
cos θ =
r =
SQ
r
SQ
2,1 m
2,1 m
=
≈
≈ 6,05 m ≈ 6,1 m
cos θ
cos 69,7º
0,347
En ∆STR tenemos:
r2 = SQ · t
por el Teorema de los catetos
t =
r2
SQ
tan θ =
≈
(6,1 m) 2
37,21 m 2
=
≈ 17,7 m ≈ 18 m
2,1 m
2,1 m
s
r
s = r · tan θ = 6,1 m · tan 69,7º ≈ 6,1 m · 2,7 = 16,47 m ≈ 16 m

En la mayoría de los cálculos se ha tratado de utilizar los datos dados; observa que
se ha trabajado indistintamente en los triángulos rectángulos formados. Busca otras
vías de trabajo.
c) Conocemos las longitudes del cateto ST del ∆STR y de un segmento de
hipotenusa ( QR =6 dm) , determinado por la altura relativa a la hipotenusa y
ambos elementos no pertenecen a un mismo triángulo. Se debe calcular θ y ρ y las
longitudes del otro cateto y la hipotenusa.
Para calcular ρ y θ en cualquiera de los tres triángulos necesitamos al menos las
longitudes de dos lados; si observas, en ninguno de los tres se tienen estas
condiciones. Busquemos la longitud de un segundo lado en cualquiera de estos tres
triángulos.
Si consideramos:
SQ = x, tendremos que t = x + 6, por lo que podríamos plantear por el Teorema de
los catetos:
42 = x(x + 6)
16 = x2 + 6x
x2 + 6x – 16 = 0
(x – 2)(x + 8) = 0
x = 2 o x = –8
(x = –8 es imposible, pues x representa la longitud de un
segmento)
Luego SQ = x = 2 dm y t = (2 + 6) dm = 8 dm.
Ahora tenemos las longitudes de un cateto y la hipotenusa del ∆STR, entonces:
r
4 dm
1
cos θ = t = 8 dm = 2
66

30. θ = 60º
Entonces:
ρ = 90º – θ
por ser amplitudes de ángulos agudos del triángulo rectángulo
ρ = 90º – 60º
ρ = 30º
Para calcular la longitud del otro cateto podemos realizarar lo mismo en el ∆STR
como en el ∆RQT. Trabajemos en el ∆RQT.
QR
s
QR
6 dm
6 dm
12 dm
s=
=
=
=
= 4 3 dm ≈ ( 4 ⋅ 173 ) dm = 6,92 dm ≈ 6,9 dm
,
cos ρ cos 30º
3
3
2
cos ρ =
Ejemplo 3
Sea dado un triángulo rectángulo que tiene un
ángulo de 30º. Escribe la expresión que permite
determinar la longitud del cateto b en función de
las longitudes del cateto a y de la hipotenusa c.
Resolución
Tracemos un ∆BCA, rectángulo en C, con un
ángulo α = 30º, como se muestra en la figura
4. 102. Para trabajar conocemos:
α = 30º
a: longitud del cateto opuesto
Fig. 4.102
Luego:
sen α =
a
c
a
sen α
a
c=
sen 30 º
c=
c=
a
1
2
c = 2a
tan α =
a
b
a
tan α
a
b=
tan 30 º
a
b=
3
3
3a
b=
3
b=
b = 3a
El resultado obtenido en el ejemplo 3 es el conocido Teorema del ángulo de 30º en un
triángulo rectángulo.
Teorema relativo al triángulo rectángulo con un ángulo de 30 o
En todo triángulo rectángulo con un ángulo de 30º, la longitud del cateto opuesto a
dicho ángulo es la mitad de la longitud de la hipotenusa, y la longitud del cateto
adyacente es el producto de 3 por la longitud del cateto opuesto.
67

31. El grupo de teorema de Pitágoras y las razones trigonométricas permiten resolver todo
triángulo rectángulo, pero no siempre permiten resolver cualquier triángulo.
En este último caso un proceder muy utilizado es descomponer el triángulo en dos
triángulos rectángulos, trazando convenientemente una altura. Sin embargo, esto a
veces se torna complejo, excepto en los casos del triángulo isósceles y el equilátero.
Busquemos relaciones que nos permitan directamente resolver un triángulo, aun
cuando este no sea rectángulo.
Resolución de triángulos cualesquiera
Fig. 4.103
Con el asistente Geómetra construye la figura 4.103. Para ello traza primero una
circunferencia de cualquier radio, marca en ella los puntos A, B y C, y construye el
∆ABC. Realiza las siguientes mediciones y cálculos:
1. Halla las longitudes de a, b, c y de un diámetro, así como las amplitudes de α,
β y γ con la opción “medir”.
a
b
c
2. Calcula sen α, sen β, sen γ y los cocientes sen α , sen β , sen γ entre la
longitud de un lado y el seno del ángulo opuesto a ese lado.
3. Compara los resultados obtenidos al calcular estos cocientes. Compáralos con
la longitud del diámetro de la circunferencia circunscrita al ∆ABC.
4. Transforma el ∆ABC en otro triángulo, moviendo con el puntero al menos uno
de los puntos, ¿a qué conclusión puedes llegar?
5. Aumenta o disminuye el diámetro de la circunferencia circunscrita al triángulo,
¿a qué conclusión puedes llegar?
Debes haber observado que para cualquier triángulo ABC el cociente entre la longitud
de un lado y el seno del ángulo opuesto a ese lado en un triángulo es el mismo e igual
a la longitud del diámetro de la circunferencia circunscrita al triángulo.
Ley de los senos
68

32. En todo triángulo, el cociente entre la longitud de un lado y el seno del ángulo opuesto
a ese lado es constante e igual al duplo del radio de la circunferencia circunscrita al
triángulo.
a
b
c
Simbólicamente: sen α = sen β = sen γ = 2R
R: radio de la circunferencia circunscrita
Ejemplo 4
Calcula los elementos que faltan en el ∆ABC según los
datos de la figura 4.104:
a) c = 3,2 cm; α = 45º y β = 60º
b) b = 4,6 m; c = 6,3 m y γ = 30º
c) b = 4,8 dm; c = 6,3 dm y β = 40º
d) a = 5 dm; b = 7 dm y R = 6 dm
Resolución
a) c = 3,2 cm; α = 45º y β = 60º
Fig. 4.104
Conocemos la longitud del lado c y las amplitudes de los ángulos α y β; debemos
calcular la amplitud del ángulo γ y las longitudes de los lados a y b.
Calculo de γ:
γ = 180º – (α + β) por suma de ángulos interiores de un triángulo
γ = 180º – (45º + 60º)
γ = 180º – 105º
γ = 75º
Como conocemos la longitud del lado opuesto a γ y las amplitudes de los restantes
ángulos, podemos aplicar la Ley de los senos para calcular las longitudes de a y b:
a
c
=
sen α sen γ
c · sen α
a=
sen γ
3,2 cm · sen 45º
a=
sen 75º
a≈
3,2 cm ·
0,966
2
2
b
c
=
sen β sen γ
c · sen β
b=
sen γ
3,2 cm · sen 60 º
b=
sen 75 º
b≈
3,2 cm ·
3
2
0,966
a ≈ 2,3 cm
b ≈ 2,9 cm
b) b = 4,6 m ; c = 6,3 m y γ = 30º
Conocemos b, c y la amplitud del ángulo γ; debemos calcular la longitud del lado a y
las amplitudes de los ángulos α y β.
69

33. Según la figura 4.104 el ángulo γ es opuesto al lado c y β al lado b, luego por la Ley
de los senos podemos plantear:
c
b
=
sen γ
sen β
sen β =
b · sen γ
c
4,6 m · sen 30º
6,3 m
4,6 · 0,5
sen β =
6,3
2,3
sen β ≈
= 0,365 1
6,3
sen β =
A diferencia del trabajo con el triángulo rectángulo, los ángulos cuyas amplitudes se
buscan no son necesariamente agudos, es decir, que según los datos y los cálculos
realizados los ángulos pueden ser agudos u obtusos, luego:
Si sen β ≈ 0,3651, el ángulo puede ser del Ι C o del ΙΙ C, entonces:
β1 = 21,4º o β2 = 180º – 21,4º = 158,6º ∗
En este caso el valor de β2 = 158,6º no es posible, pues sumado con γ = 30º nos
daría 188,6º > 180º, que es la suma de las amplitudes de los tres ángulos del
triángulo. Por tanto: β = 21,4º.
Conocidos ya γ y β podemos calcular α por el Teorema de la suma de las
amplitudes de los ángulos interiores de un triángulo, por lo que:
α = 180º – (β + γ)
α = 128,6º
Cálculo de la longitud del lado a:
a
c
=
sen α sen γ
c · sen α
a=
sen γ
6,3 m · sen 128,6º
6,3 m · 0,782
a=
≈
sen 30º
0,5
a ≈ 9,9 m
c) b = 4,8 dm; c = 6,3 dm y β = 40º
Conocemos las longitudes de los lados b y c, y la amplitud del ángulo β que se
opone al lado b (Fig. 4.104). Debemos calcular la longitud del lado a y las
amplitudes de α y γ.
Por la Ley de los senos podemos calcular la amplitud del ángulo que se opone al
otro lado conocido, luego:
b
c
=
sen β sen γ
sen γ =
c · sen β
b
sen γ =
6,3 dm · sen 40º
6,3 · 0,643
≈
4,8 dm
4,8
sen γ ≈ 0,8439
Como el seno es positivo en el Ι C y ΙΙ C, entonces γ puede tomar los valores:
*
En lo adelante las amplitudes de los ángulos se aproximarán al orden de las décimas.
70

34. γ 1 = 57,6º o γ 2 = 180º – 57,6º
γ 2 = 122,4º ∗
A diferencia del inciso b) ambos valores son admisibles, pues al adicionarlos a β =
40º, la suma no excede a 180º. Esto hace que existan dos triángulos que cumplan
las condiciones iniciales.
Cálculo de α para ambos triángulos:
(1) α1 = 180º – (β + γ1)
(2) α2 = 180º – (β + γ2)
α1 = 180º – (40º + 57,6º)
α2 = 180º – (40º + 122,4º)
α1 = 180º – 97,6º
α2 = 180º – 162,4º
α1 = 82,4º
α2 = 17,6º
Cálculo de la longitud de a para ambos triángulos:
a1
a2
b
b
=
=
(1)
(2)
sen β sen α1
sen β sen α 2
a1 =
b · sen α1
sen β
4,8 dm · sen 82,4º
sen 40º
4,8 dm · 0,991
a1 ≈
0,643
a1 =
a2 =
b · sen α 2
sen β
4,8 dm · sen 17,6º
sen 40º
4,8 dm · 0,302
a2 ≈
0,643
a2 =
a1 ≈ 7,4 dm
a2 ≈ 2,3 dm
d) a = 5 dm; b = 7 dm y R = 6 dm
Conocemos las longitudes de los lados a y b, y del radio de la circunferencia
circunscrita al triángulo. Debemos calcular las amplitudes de los tres ángulos y la
longitud del lado c.
a
b
c
Por la ley de los senos conocemos que: sen α = sen β = sen γ = 2R ; luego si
trabajamos cada razón igualada a 2R podemos obtener las amplitudes de los
ángulos y la longitud del lado que falta.
Cálculo de α:
a
= 2R
sen α
a
5 dm
5
sen α
=
=
≈ 0,416 7
2R
2 · 6 dm 12
Como el seno es positivo en el Ι C y ΙΙ C, y α es la amplitud del primer ángulo que
calculamos, entonces puede tomar valores en ambos cuadrantes, por tanto:
α1 = 24,6º o α2 = 180º – 24,6º
α2 = 155,4º
Cálculo de β:
b
= 2R
sen β
b
7 dm
sen β =
=
≈ 0,583 3
2R
12 dm
Por lo anteriormente expresado tenemos:

* Las amplitudes de los ángulos se han aproximado al orden de las décimas.
71

35. β1 = 35,7º o β2 = 180º – 35,7º
β2 = 144,3º
Para hallar γ se aplica el teorema sobre la suma de las amplitudes de los ángulos
interiores de un triángulo, teniendo en cuenta las posibilidades para combinar los
valores α1, α2, β1 y β2. Se obtienen así solo las siguientes variantes:
(1) α 1 = 24,6º; β1 = 35,7º
γ1 = 180º – (α 1 + β1)
γ1 = 180º – (24,6º + 35,7º)
γ1 = 180º – 60,3º
γ1 = 119,7º
(2) α 1 = 24,6º; β2 = 144,3º
γ2 = 180º – (α 1 + β2)
γ2 = 180º – (24,6º + 144,3º)
γ2 = 180º – 168,9º
γ2 = 11,1º
Existen por tanto dos respuestas posibles. Calculemos el valor de la longitud de c
en ambos triángulos.
(1) c1 = 2Rsen γ1
(2) c2 = 2Rsen γ2
c1 = 12 dm · sen 119,7º
c1 ≈ 12 · 0,869
c1 ≈ 10 dm
c2 = 12 dm · sen 11,1º
c2 ≈ 12 · 0,193
c2 ≈ 2,3 dm
La disposición de los datos en los incisos a), b) y c) del ejemplo 4 se muestran en la
figura 4.105.
Fig. 4.105
En el inciso a) se conocen las medidas de un lado y los ángulos adyacentes a ese lado
y en el b), se conocen las de dos lados y el ángulo que se opone al mayor de ellos; en
ambos casos la solución es única, no sucede así en el inciso c) donde se conocen dos
lados y el ángulo opuesto al menor de ellos.
En casos como en el del inciso c) puede suceder que existan dos soluciones o ninguna
(existan dos triángulos con esas condiciones o ninguno), ¿por qué sucede esto?
Al analizar la expresión sen γ =
c · sen β
verás que:
b
• Si c · sen β > b, entonces sen γ > 1 por lo que no existe ningún ángulo que cumpla
esa condición por tanto no existe un triángulo con las condiciones dadas.
• Si c · sen β < b, entonces 0 < sen γ < 1, luego existen soluciones en el Ι C y ΙΙ C,
por lo que existen dos triángulos que cumplen con las condiciones iniciales.
72

36. Comprueba en el inciso c) que si b = 4 cm o cualquier valor en el intervalo 0 < b < 4 no
existe solución, es decir, no existe ningún triángulo que cumpla las condiciones.
Por los criterios de igualdad de triángulos se sabe que un triángulo está determinado
de forma única si se conocen:
• las medidas de los tres lados, o
• las medidas de dos lados y el ángulo comprendido entre esos lados, o
• las medidas de un lado y los ángulos adyacentes a ese lado.
En el ejemplo 4 inciso a) se acaba de comprobar el tercer caso, pero, ¿cómo resolver
un triángulo si conocemos dos lados y el ángulo comprendido, o los tres lados?
El Teorema de Pitágoras relaciona los tres lados de un triángulo rectángulo. Se
generaliza a través del siguiente teorema que establece relaciones entre las longitudes
de los lados de un triángulo cualquiera:
Ley de los cosenos
En todo triángulo, el cuadrado de la longitud de un lado es igual a la suma de los
cuadrados de las longitudes de los otros dos lados menos el doble del producto de las
longitudes de estos dos lados por el coseno del ángulo que forman.
Simbólicamente: a2 = b2 + c2 – 2bc · cos α (Fig. 4.106a)
b2 = a2 + c2 – 2ac · cos β (Fig. 4.106b)
c2 = a2 + b2 – 2ab · cos γ (Fig. 4.106c)
Fig. 4.106
Si α, β o γ es de 90º el triángulo ABC es rectángulo, y como el cos 90º = 0 las
expresiones de la Ley de los cosenos se reducen al Teorema de Pitágoras.
Para aplicar la Ley de los cosenos observemos en la figura 4.106 que debemos
conocer las medidas de dos lados del triángulo y el ángulo comprendido entre ellos,
para calcular el tercer lado (el opuesto al ángulo dado). Si el ángulo comprendido es
mayor de 90º debe tenerse en cuenta que su coseno es negativo.
Si conocemos las longitudes de los tres lados podemos calcular las amplitudes de los
ángulos interiores despejando en cada una de las expresiones anteriores, es decir,
que:
73

37. cos α =
b2 + c 2 − a2
2bc
; cos β =
a2 + c 2 − b2
;
2ac
cos γ =
a2 + b2 − c 2
2ab
Ejemplo 5
Resuelve el ∆ABC si se conoce que:
a) b = 3 cm; c = 4 cm y ∠ α = 60º
b) a = 7 m; b = 6 m y c = 4 m
Resolución
a) b = 3 cm; c = 4 cm y ∠ α = 60º
Debemos calcular los elementos a, β y γ del
∆ABC; en la figura 4.107 aparecen representados
los datos dados, luego como conocemos las
longitudes de dos lados (b y c) y las amplitud del
ángulo comprendido entre ellos (α), podemos
calcular por la Ley de los cosenos el lado a.
Fig. 4.107
a2 = b2 + c2 – 2bc · cos α
a2 = 32 + 42 – 2 · 3 · 4 · cos 60º
a2 = 9 + 16 – 24 · 0,5
a2 = 13
a = 13 ≈ 3,61 cm
Para calcular β y γ conocemos ahora a, b, c y α, por lo que podemos calcular sus
amplitudes tanto por la Ley de los cosenos, como por la de los senos.
Por la Ley de los cosenos:
a2 + c 2 − b2
cos β =
=
2ac
(
13
)
2
+ 42 − 32
2 13 · 4
=
13 + 16 – 9
8 13
=
20
8 13
=
5 13
≈ 0,694 2
26
El valor del cos β nos da un número positivo, luego β puede ser la amplitud de un
ángulo del Ι C o del ΙV C, pero como estamos trabajando con los ángulos interiores
de un triángulo, entonces ∠ β ≈ 46,0º.
Por la suma de las amplitudes de los ángulos interiores de un triángulo podemos
calcular γ, teniendo:
∠ γ = 180º – (∠ α + ∠ β) = 180º – (60º + 46º) = 180º – 106º = 74º

Calcula la amplitud del ángulo β aplicando la Ley de los senos y compara los
procedimientos.
b) a = 7 m; b = 6 m y c = 4 m
Se conocen las longitudes de los tres lados del triángulo, luego debemos calcular las
amplitudes de sus tres ángulos; por la Ley de los cosenos tenemos:
cos α =
b 2 + c 2 − a 2 6 2 + 4 2 − 7 2 36 + 16 – 49
3
=
=
=
= 0,062 5; luego α = 86,4º
2bc
2·6· 4
48
48
a 2 + c 2 − b 2 7 2 + 4 2 − 6 2 49 + 16 – 36 29
cos β =
=
=
=
≈ 0,517 9; luego β = 58,8º
2ac
2 ·7·4
56
56
Por la suma de los ángulos interiores de un triángulo, calculemos γ:
74

38. γ = 180º – (α + β) = 180º – (86,4º + 58,8º) = 180º – 145,2º = 34,8º
Ejercicios del epígrafe 4.7
1. A determinada hora del día la altura del sol sobre el horizonte es de 50,5º y en ese
momento un árbol proyecta una sombra de 25 m sobre el suelo. ¿Cuál es la altura
del árbol?
2. Un árbol de 27 m de alto proyecta una sombra
de 36 m de longitud. Halla la inclinación de los
rayos del sol.
3. Desde lo alto de un acantilado de 100 m sobre
el nivel del mar, el ángulo de depresión de un
barco es de 24º (Fig. 4.108). ¿A qué distancia
del acantilado se encuentra el barco?
Acantilado
Barco
Ángulo de depresión
Fig. 4.108
4. El brazo de una balanza mide 38 cm de longitud y se desvía 5 o de la posición
horizontal. ¿Cuántos centímetros bajará verticalmente su extremo?
5. La entrada de una casa tiene una escalera de 10 escalones que termina en el
portal. El ángulo de elevación de la escalera es de 60º y cada escalón tiene 2 dm de
ancho. ¿A qué altura está el portal respecto a la base de la escalera?
6. Dos mástiles tienen 18 y 12 m de altura respectivamente, la línea recta que une sus
puntos más altos forma un ángulo de 33,6º con la horizontal. Halla la distancia que
los separa.
7. Un edificio tiene 16 m de altura. Si un hombre sale caminando de este y recorre
8,3 m en línea recta:
a) ¿Bajo qué ángulo observará la azotea del edificio?
b) ¿Cuánto más deberá caminar en la misma dirección para observar la azotea con
un ángulo de 50º?
8. Un monumento proyecta una sombra de 17,2 m de largo. La altura del mismo es de
15m:
a) Halla el ángulo de inclinación del sol.
b) Si pasadas unas horas el ángulo de inclinación del sol es de 68,3º, ¿en cuánto
disminuyó la sombra?
9. Dos ciclistas que van por la misma calle en sentidos contrarios esperan el cambio
de luces de un semáforo, observando el mismo con un ángulo de 45º y 60º
respectivamente. El semáforo está a 7,70 m de altura y su proyección sobre la calle
cae sobre la línea que une a los ciclistas. Si los ojos de los ciclistas están a 1,70 m
del suelo, ¿cuál es la distancia entre los ciclistas?
10. Desde el quinto piso de un edificio se observa, con un ángulo de depresión de 45º,
un auto que está parqueado a 14 m del edificio. Si se sube hasta la azotea el auto
se observa con un ángulo de depresión 76,4º, ¿cuántos pisos tiene el edificio?
75

39. 11. Una chimenea tiene 30 m de altura más que otra. Un observador que está a 100 m
de distancia de la más baja, observa que sus cúspides están en una recta inclinada
27º respecto a la horizontal. Halla la altura de cada chimenea y la distancia entre
ellas.
12. El ángulo de elevación de la parte superior de una torre es de 30º, acercándose
100 m dicho ángulo es de 60º. Halla la altura de la torre.
13. Desde la parte superior de un faro a 80 m sobre el nivel del mar, los ángulos de
depresión de dos boyas que están directamente al oeste del observador son de 75º
y 15º respectivamente. Halla las distancias que las separa.
14. En la figura 4.109 aparecen representadas dos torres. El
cable que une la base de la mayor con el extremo superior de
la menor mide 200 m de longitud. Si el ∠ CAB = 60º y el
∠ ACD = 105º. Calcula la altura de cada torre.
Fig. 4.109
15. La resultante de dos fuerzas perpendiculares tiene un valor
de 3 N. Una de ellas forma un ángulo de 35 o con esta
resultante. Calcula el valor de dichas fuerzas.
16. Un topógrafo determina el ancho de un río de la siguiente manera: desde un punto
A, situado a 1,5 m de distancia de una orilla (Fig. 40110) dirige con el teodolito una
visual a una piedra, B, que hay en la otra orilla. Después hace girar el anteojo, y
perpendicular a donde se encuentra situado traza una
recta AC; sobre ella mide una distancia de 30,5 m y
coloca el teodolito en C. Desde este punto dirige una
visual al punto A y otra al punto B, y encuentra que el
ángulo ACB es de 73,7º. ¿Cuál es el ancho del río?
Fig. 4.110
17. Halla el radio de un círculo en el que una cuerda de 16 cm de largo subtiende un
ángulo central de 26,3º.
18. Un tanque cilíndrico de aceite de 8,4 m de alto y de 1,8 m de diámetro contiene
aceite hasta una profundidad de 1,2 m. Halla el peso (masa) del aceite, sabiendo
que 1 dm3 equivale a 2,2 kg.
19. El ángulo de elevación desde un punto en el suelo hasta un globo aerostático que
está situado a una altura de 28 000 ft es de 64º. ¿Cuál es el
nuevo ángulo de elevación si el globo desciende verticalmente
1400 ft?
20. En la figura 4.111 M y N son puntos medios de dos lados
consecutivos de un cuadrado. Halla el valor de ϕ.
Fig. 4.111
76

40. 21. La distancia que hay entre tres ciudades (A, B y C) colocadas en los vértices de un
triángulo son AB = 105 km; AC = 72 km y BC = 195 km. La segunda está situada
al Este de la primera y la tercera está al Norte de la recta que une a las dos
primeras. ¿En qué dirección estará la tercera, vista desde la primera?
22. Una escalera de mano de 13 m de largo está colocada a 5 m contra una pared
inclinada y su parte alta queda a 10 m de altura. Halla la inclinación de la pared.
23. Los lados de un triángulo miden 17; 21 y 28 cm respectivamente. Halla la longitud
de la mediana relativa al mayor de los lados.
24. Las diagonales de un paralelogramo miden 10 y 8 cm respectivamente y se cortan
formando un ángulo de 50,3º. Halla la longitud de sus lados.
25. A una distancia de 4 m del pie de un árbol que crece en una pendiente, el ángulo
de elevación de su parte más alta por encima de la pendiente es de 41,3º y 6 m
más abajo es de 32,7º. ¿Cuál es la altura del árbol?
26. Una torre vertical forma un ángulo de 113,2º con la pendiente en que está erigida, y
vista a 100 m de distancia hacia abajo de la pendiente, el ángulo de elevación de su
extremo superior sobre la pendiente es de 23,5º. Halla su altura.
27. La Gran Pirámide de Egipto tiene una inclinación en sus caras de 53,1º
aproximadamente. Un observador situado a 183 m sobre la mediatriz de un lado de
la base ve la cúspide bajo un ángulo de 27,2º. Halla la altura de la cara de la
pirámide.
28. La distancia horizontal entre dos posiciones de la lenteja de un
péndulo de 27 cm de largo es de 7,0cm (Fig. 4.112). ¿Cuál es el
ángulo de oscilación del péndulo y qué distancia recorre el extremo
de la lenteja al pasar de una posición a otra?
29. ¿Cuál es el radio de la circunferencia circunscrita a un triángulo
isósceles cuya base mide 12,5 cm y los ángulos base miden 30º
cada uno?
30. La base de un triángulo isósceles mide 12 cm y los lados iguales
18 cm cada uno. Se trazan las bisectrices de los ángulos bases:
Fig. 4.112
a) Calcula la longitud del segmento cuyos extremos son los pies de
las bisectrices.
b) Calcula la longitud de los segmentos en que las bisectrices dividen a los lados
iguales.
31. Un arqueólogo se encuentra a 15 km al sur de unas ruinas, interponiéndose en su
paso una laguna. Para ir a las ruinas sin atravesar la laguna tiene que desplazarse
4,8 km al nordeste y así llegará a la carretera que lo conducirá a la misma.
¿Cuántos kilómetros tiene que recorrer para llegar a las ruinas desde el punto
donde se encuentra?
32. Supongamos que dos puntos, T y J rotan en un mismo plano alrededor de un punto
S. El radio de revolución de T es de 1 u y el de J es de 5,2 u. Si en cierto momento
el ángulo JTS es de 104,9º; ¿cuál es la distancia entre J y T?
77

41. 4.8 Ejercicios del capítulo
1. Los triángulos ABC y ABD son isósceles de base común. C y D son puntos que
están en el mismo semiplano respecta a AB . Prueba que ∠ CAD = ∠ CBD.
2. La base de un triángulo isósceles MNP se prolonga por N hasta el punto Q. Prueba
que ∠ QPN = ∠ M – ∠ Q.
3. Sean dadas dos rectas paralelas r1 y r2 con la distancia a, y además un punto P en
una posición arbitraria entre dichas rectas. Construye una circunferencia C, que sea
tangente a r1 y r2 y pase por P. Averigua si a través del planteamiento del ejercicio
está determinada una circunferencia de manera única.
4. Prueba que si por el punto donde se cortan las diagonales de un paralelogramo se
traza un segmento que corte dos lados opuestos se forma dos trapecios de igual
área.
5. Sean los puntos D, E y F los puntos medios de los lados a, b y c respectivamente de
un triángulo ABC. Prueba que el área del cuadrilátero AFDE es igual a la mitad del
área del triángulo ABC.
6. Demuestra que si se unen los puntos medios de dos lados consecutivos de un
paralelogramo el triángulo determinado tiene como área la octava parte del área del
paralelogramo.
7. Demuestra que si se unen lo puntos medios de los lados de un rectángulo se
obtiene un rombo.
8. En una circunferencia una cuerda tiene igual longitud que el radio de la
circunferencia. Prueba que la longitud del arco determinado por dicha cuerda es la
sexta parte de la longitud de la circunferencia.
9. En un triángulo obtusángulo ABC; sea A el vértice del ángulo obtuso. La bisectriz
del ángulo ∠CAB y la bisectriz del ángulo ∠ ABC se cortan en S. Por S se traza
una paralela a AB , que corta a AC en D y a BC en E. Demuestra que, bajo
estas condiciones, la longitud del segmento DE es igual a la suma de las
longitudes de los segmentos AD y BE .
10. Sea ABC un triángulo acutángulo, donde D es el pie de la altura relativa al lado
BC y E, el pie de la perpendicular trazada desde D hasta el lado AC . Además, F
es un punto del segmento CD tal, que AF es bisectriz de ∠DAC . El punto de
intersección de AF y DE se ha denotado con G. Demuestra que el triángulo DFG
es isósceles de base FG .
11. Demuestra que en todo triángulo rectángulo el radio de la circunferencia inscrita es
igual al producto de los catetos dividido por el perímetro de dicho triángulo.
12. Sea ABCD un rectángulo de lados 8 y 6 cm respectivamente. Calcula el área del
triángulo equilátero que tiene como lado la diagonal de dicho rectángulo.
13. Prueba que el área de un triángulo rectángulo isósceles es igual a la cuarta parte
del cuadrado de la longitud de la hipotenusa.
14. Prueba que el área de un rombo es el semiproducto de sus diagonales.
15. Prueba que el segmento que une un punto exterior a una circunferencia con el
centro es la bisectriz del ángulo formado por las tangentes a la circunferencia
trazada desde ese punto.
78

42. 16. Sea P el punto medio del lado AB del paralelogramo ABCD y Q el punto medio de
su lado opuesto CD , se trazan los segmentos PC, PD, QA y QB. Demuestra que
QA =PC y QB =PD .
17. Demuestra que si la base de un triángulo isósceles se divide en tres partes iguales,
los segmentos trazados desde el vértice principal hasta los puntos de división de la
base son iguales.
18. En la figura 4.113:
ABCD es un rectángulo
B, C y G puntos alineados
F: punto medio de EG y
DC
E: punto medio de AD
CG
= 2 cm y BC =
AB
2
Halla el perímetro aproximado de la región
20 ≈ 4,47. Justifique
sombreada. Asuma
cada uno de los pasos de su respuesta.
Fig. 4.113
19. En la figura 4.114:
∆ABC isósceles de base AB
E y F: puntos de
BC
con
H y G: puntos de AB y
AE =BF
BC
O: punto de intersección de
BC
⊥
EG
y FH ⊥
a) Prueba que
respectivamente
AC
y FH
AC
Fig. 4.114
AH =BG
b) Si ∠ EOF = 124o, calcula la amplitud de los ángulos interiores del ∆ABC.
20. Un triángulo ABC isósceles de base AC está inscrito en una circunferencia de
centro O. Desde el vértice B se traza el diámetro BD . Prueba que las cuerdas AD y
CD son iguales.
21. En la figura 4.115:
C: circunferencia de centro O, diámetro AB y
longitud aproximadamente igual a 31,4 cm.
C y D: puntos de la circunferencia tales que los arcos AC y
BD tienen ambos 45o de amplitud.
E y F: puntos de
OE =OF .
OC
y
OB
respectivamente con
Halla el área aproximada de la región sombreada,
conociendo que el área del triángulo OFD es 6,25 cm2.
Asume π ≈ 3,14. Justifica cada uno de los pasos de tu respuesta.
Fig. 4.115
79

43. 22. En un triángulo ABC rectángulo en B, se conoce que I es el centro de su
circunferencia inscrita; P, Q y R son los puntos de tangencia sobre los lados
AB
y
AC
BC
,
respectivamente y ∠ BAC = 30 o .
AQI = ∆
ARI .
a) Demuestra que ∆
c) Calcula la amplitud de ∠PIR .
b) Clasifica al cuadrilátero QBPI.
d) Calcula el perímetro del cuadrilátero QBPI, conociendo que el radio de la
circunferencia circunscrita al triángulo ABC mide 2,73 cm.
23. La perpendicular trazada desde un vértice de un paralelogramo hasta una de sus
diagonales divide a esta en segmentos de 6 y 15 cm de longitud respectivamente.
Calcula las longitudes de los lados del paralelogramo, si se conoce además, que la
diferencia entre ellos es igual a 7 cm.
24. La altura relativa a la hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 5 cm y la
proyección de uno de los catetos sobre la hipotenusa 12 cm. Calcula las longitudes
de los lados del triángulo.
25. En la figura 4.116:
D
Los puntos A, B, C y D pertenecen a la circunferencia
de centro O y radio OA =10 cm.
P
La cuerda BD corta al diámetro AC en el punto P,
que es punto medio del radio OC .
∠ ADB = 30o.
a) Demuestra que ∆APD ~ ∆PBC .
C
O
A
B
b) Clasifica al ∆AOB según las longitudes de sus
lados. Justifica cada afirmación.
c) Calcula la longitud del segmento BP .
Fig. 4.116
26. La altura de un triángulo equilátero es de 4 hm. Determina cuántos metros
cuadrados tiene el área de dicho triángulo.
27. La base de un triángulo isósceles es igual a 4 2 cm, la mediana trazada a uno de
los lados iguales es de 5 cm. Halla la longitud de los lados iguales.
28. Los lados iguales de un triángulo isósceles miden cada uno 4 cm, la mediana
trazada a uno de estos lados es de 3 cm. Halla la base del triángulo isósceles.
29. En un triángulo rectángulo, las longitudes de las medianas relativas a los catetos
miden 52 y 73 cm respectivamente. Determina la longitud de la hipotenusa.
30. Demuestra que en todo triángulo rectángulo la longitud de la hipotenusa es el doble
de la longitud de la mediana relativa a ella.
80

44. 31. La mediana relativa a la hipotenusa de un triángulo rectángulo divide al ángulo
recto en la razón 1:2. Denota la longitud de la mediana con la variable m y expresa
las longitudes de los lados del triángulo en función de m.
32. La base de un triángulo isósceles mide 12 cm y los lados iguales 18 cm. Se han
trazado las bisectrices relativas a los lados iguales. Calcula la longitud del segmento
cuyos extremos son el punto de intersección de las bisectrices y el vértice del
ángulo vertical.
33. La longitud de la cuerda común de dos círculos que se intersecan es 16 cm. Si los
radios miden 10 y 14 cm respectivamente, ¿cuánto mide la distancia entre los
centros de los círculos, expresada en centímetros?
34. El triángulo ABC está inscrito en una circunferencia, D es el punto medio del arco
AB. Prueba que AC : CD =AB : BD .
35. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 29 m y uno de los catetos mide
21 m. El perímetro de un triángulo semejante a él es de 218 m. Halla la longitud del
menor de los lados del triángulo cuyo perímetro está dado.
36. Desde la cima de un campanario se observa la parte superior de un poste con un
ángulo de depresión de 45º y el pie bajo un ángulo de 70º. Si el poste tiene 9 m de
altura, halla la altura del campanario y la distancia del poste a la base del
campanario.
37. Desde la azotea de un edificio de apartamentos el ángulo de depresión hacia la
base de un edificio de oficinas es de 51,4º y el ángulo de elevación hacia la parte
superior del edificio de oficinas es de 43,2º. Si el edificio de oficinas mide 237,16 m
de altura, ¿qué distancia separa a los dos edificios?
38. El lado de un pentágono regular mide 25,3 m. Calcula la longitud de sus
diagonales.
39. Sea l la longitud de una cuerda de una circunferencia de centro O y
α , el ángulo central
correspondiente a la cuerda:
a) Demuestra que l = d sen
α
.
2
b) Calcula el perímetro de un decágono regular inscrito en una circunferencia que tiene
10 dm de radio.
40. La intensidad I de una corriente eléctrica (en ampere), para un tiempo t (en segundos),
t
viene dada por la expresión I =100sen (30π – 0,12 ) .
a)
Calcula el valor de I para t = 0,05 s.
b)
Si I = 50 A, calcula el valor de t.
41. Dos fuerzas de 5 y 12 N respectivamente, actúan en un punto de un cuerpo rígido y
sus direcciones son perpendiculares. Calcula el valor de la fuerza resultante y su
dirección respecto a la primera fuerza.
42. Un bloque de madera cuya masa es de 5 kg se coloca sobre un plano inclinado,
que forma un ángulo de 20o con la horizontal. Prescindiendo de cualquier otra
81

45. C
fuerza, excepto la de la gravedad, calcula el valor de la fuerza que se requiere para
mantener el bloque en reposo.
43. Un vaso cónico recto de papel tiene 5 cm de radio en su
parte superior. Calcula el valor de β(Fig. 4.117), para que
el vaso tenga una capacidad de 50 mL (1 mL = 1 cm 3).
β
Fig. 4.117
44. Se tiene un prisma recto cuya base es un rectángulo de 8 dm de largo y 6 dm de
ancho. Si la altura del prisma es de 40 cm, determina la amplitud del ángulo que
forma una diagonal de la base con la diagonal del prisma que tiene con ella un
vértice en común.
45. Sea dada una pirámide recta ABCDS de base cuadrada ABCD. Además, sean M y
N puntos medios de AD y AB respectivamente. Si el ángulo que forma la altura
de la cara ABS con la altura de la pirámide es de 30 o y la altura de la pirámide es de
6 cm:
a) Calcula el perímetro del triángulo SMN.
b) Calcula el área total de la pirámide.
46. Sea AOCB un rectángulo y ∠BOC = 48,6 o . El perímetro del rectángulo es de
28 dm. Calcula el área total y el volumen del cilindro engendrado al rotar el
rectángulo dado alrededor de OC .
82