2. Análise de sistemas de engenharia
Problema físico
Erro Simplificações e
aproximações
Modelo matemático
Ex: Equação Diferencial
Erro Discretização
Modelo numérico
Ex: Modelo de Elementos
Finitos
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3. Análise de sistemas de engenharia
A seleção do modelo matemático depende do tipo de
problema:
Distribuição de temperatura.
Campo de tensões.
Um bom modelo deve:
Considerar os aspectos essenciais do problema.
Desprezar os fatores secundários.
Fornecer resultados próximos das respostas reais.
Se as previsões do modelo não estão de acordo com as
respostas reais é necessário refinar o modelo:
Incluir aspectos inicialmente desprezados.
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4. Análise de sistemas de engenharia
Modelos numéricos são aproximações dos modelos
matemáticos.
Um método numérico é confiável se ele converge para a
solução exata do modelo matemático.
Garantia de convergência com o refinamento.
Velocidade de convergência.
Custo computacional envolvido.
Facilidade de implementação e utilização.
A solução numérica de um problema não pode ser
melhor do que o modelo matemático utilizado.
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6. Discretização
Laprox/Lexato log(Laprox/Lexato- 1)
Verifica-se que a solução converge para o resultado exato.
A velocidade de convergência é boa ?
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7. Importância dos métodos numéricos
Os problemas da engenharia envolvem a solução de
equações diferenciais ordinárias ou parciais.
Soluções analíticas exatas (fechadas) só existem em
casos especiais:
Geometria e condições de contorno simples.
Certos tipos de carregamento.
Material homogêneo.
A solução de problemas reais requer a utilização de
métodos numéricos (aproximados):
Método das Diferenças Finitas.
Método dos Elementos Finitos.
Método dos Elementos de Contorno.
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8. Análise por elementos finitos
Malha elemento
Geometria
Material
apoios nó
carregamento
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9. Passos da Análise
1. Dividir o domínio do problema em regiões (elementos
finitos) de geometria simples:
Triângulos, quadriláteros, tetraedros, hexaedros,...
Os elementos adjacentes são conectados através dos nós.
2. Aproximar os deslocamentos no interior dos elementos:
Interpolar a partir dos valores nodais.
Utilizar funções simples: lineares, quadráticas,...
3. Obter e resolver as equações de equilíbrio em função dos
deslocamentos nodais (graus de liberdade).
4. Calcular respostas no interior dos elementos:
Deformações a partir do campo de deslocamentos.
Tensões a partir das deformações.
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10. Vantagens
Aplicação a qualquer problema de campo:
Tensões, transferência de calor, percolação, etc.
Não há restrição quanto a geometria do problema nem quanto ao
carregamento e as condições de contorno do problema.
O material pode variar de elemento para elemento.
O modelo de elementos finitos aproxima o comportamento físico na
região a ser analisada segundo funções de interpolação: Constantes,
lineares, quadráticas,...
Um modelo pode incluir componentes com diferentes comportamentos:
Barras, vigas, placas, cascas, sólidos, etc.
A aproximação é melhorada facilmente refinando a malha de
elementos finitos ⇒ convergência.
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23. Exmeplo do Método dos Elementos de
Contorno
Tubulação de 3 metros de comprimento, cubo de 2 metros de lado e o
fluxo livre é de 1m/s
Discretização inicial com 22 elementos
Qoo = 1 m/s
Qoo = 1 m/s
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24. Resultados – Validação
Discretização final com 2400 elementos
Avaliação da faixa central, pois se aproxima à solução 2D que possui
solução analítica
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25. Validação - Solução analítica x Solução Programa
V p=2 RV ∞ SEN θ
Raio = 1
Voo = 1.0
Vp
=0.27
=0.58
=0.87
=1.08
=1.14
=1.59
=1.76
=1.89
=1.95
=1.99
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28. Passos da Simulação Numérica
1. Pré-Análise
Escolher o modelo Obter resultados aproximados Planejar a discretização
Matemático Para posterior validação
2. Pacote
3. Análise dos Resultados
PRÉ-PROCESSAMENTO
Alteração
SIM Dados.
Devo refinar mais a malha?
Devo mudar o tipo de elemento? ANÁLISE
Devo mudar o Método?
SIM
NÃO
Os resultados são coerentes?
PARAR PÓS-PROCESSAMENTO
Há erros grosseiros?
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29. Análise dos resultados
Avaliação qualitativa:
A resposta “parece” certa ?
As simetrias esperadas estão presentes?
As condições de contorno são respeitadas?
As maiores deformações (ou tensões) estão nos pontos
esperados?
Verificar se a estrutura está em equilíbrio ou se a massa se
mantém
Avaliação quantitativa
A resposta está correta?
Comparar resultados obtidos com as soluções preliminares.
Verificar se o nível de discretização é satisfatório
especialmente quando há picos na solução.
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30. Por que estudar a teoria?
Por que estudar a teoria?
Programas comerciais são utilizados a bastante tempo.
Intensivamente testados: fabricantes e usuários.
Os programas atuais possuem interface amigável.
Sua utilização não requer grandes conhecimentos.
A obtenção de resultados confiáveis requer:
Conhecimento do comportamento físico:
Mecânica dos Fluídos , Resistência dos Materiais, ...
Conhecimento dos diferentes Métodos:
Comportamento dos elementos, características dos algoritmos
aproximações e limitações
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31. Principais questões envolvidas na análise
Estático x dinâmico
As cargas atuantes são periódicas ou impulsivas ?
A estrutura é muito flexível ?
A freqüência do carregamento é próxima a da estrutura ?
O comportamento do material é dependente do tempo ?
Linear x não-linear
Os deslocamentos/rotações são significativos ?
A relação tensão-deformação pode ser considerada linear ?
O material sofre deformações permanentes ?
Existe a formação de trincas ?
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32. Tipos de análise
Acoplada (multi-física) x desacoplada
Termo-mecânico.
Solo-estrutura.
Fluido-estrutrura.
Estado da prática:
Depende do ramo de aplicação.
Engenharia civil: estática, linear e desacoplada.
Análise dinâmica: terremotos, edifícios altos,...
Análise não-linear: problemas especiais.
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33. Método das Diferenças Finitas
Problema da Difusão e propagação da onda
acústica
Bor Área do modelo
da
Algoritmos de absorção
testados
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