Aula pb 2_resumo

Gestão de Projectos
Exercício 2 – Resolução

Fernando Durão

c) Qual a duração total do empreendimento se:
c1) a duração da actividade C aumentasse para 8 semanas ?

Legenda
15

C-5
(5)

2

TMCi

4

D - 15
(0)

3
10

10

TMTi

i
35

0

1

25

Fictícia - 0
(0)

0

25

20

E-5
(5)

Gestão e Teoria da Decisão

Resposta baseada na interpretação da folga total (FT) de uma actividade.

TMCj

Rótulo – di,j
(FTi,j)

TMTj

j

35

6

5
25

25

A folga total, FTi,j, da actividade (i,j) pode ser interpretada como o período de tempo ao longo do qual é
possível dilatar/expandir a duração, di,j, da actividade sem afectar a duração total, DT, do projecto. A
dilatação de 3 semanas na duração da actividade C (aumento de 5 para 8 semanas), não excede a folga
1
total de 5 semanas, pelo que a duração do projecto não é afectada.


Fernando Durão


Resposta baseada no cálculo (actualização dos TMC e TMT dos eventos).
'
'
1. DT = max{TMC4 + d 4,6 , TMC5 + d5,6 }
'
'
2. TMC4 = max{TMC2 + d 2,4 , TMC5 + d5,4 } = max{ 15 + 8,
'
∴ DT = DT = 35

25
15

D - 15
(0)

3
10

10

TMTi

i
35

0

1

TMCi

4
Fictícia - 0
(0)

0

Legenda

25

C-8
(2)

2

25 + 0} = 25 = TMC4

25

25

20

E-5
(5)


c1) a duração da actividade C aumentasse para 8 semanas ?

TMCj

Rótulo – di,j
(FTi,j)

TMTj

j

35

6

5
25

25

Conclusão: A duração total do projecto não é afectada com o aumento da duração da actividade C de 5
2
para 8 semanas porque o TMC4 do evento sucessor nº 4 não é alterado.


Fernando Durão

c2) a duração da actividade G aumentasse para 11 semanas ?

Legenda
15

C-5
(5)

2

TMCi

4

D - 15
(0)

3
10

10

TMTi

i
35

0

1

25

Fictícia - 0
(0)

0

25

20

E-5
(5)


Resposta baseada na interpretação da folga total (FT) de uma actividade.

TMCj

Rótulo – di,j
(FTi,j)

TMTj

j

35

6

5
25

25

A dilatação de 6 semanas na duração da actividade G (aumento de 5 para 11 semanas), excede, em 1
semana, a folga total de 5 semanas, pelo que a duração do projecto é aumentada de 1 semana e a
3
actividade G passará a actividade crítica com folga total igual a 0.


Fernando Durão

c2) a duração da actividade G aumentasse para 11 semanas ?
'
'
TMC6 = max{TMC5 + d5,6 , TMC4 + d 4,6 } = max{ 25 + 11,

(∴ D

'
T

Legenda
15

21

25

C-5
(5)

2

4

TMCi

D - 15
(0)

3
10

10

36

36

35

0

1

26

Fictícia - 0
(0)

0

25 + 10} = 36 > TMC6

= TMC6' = 36 )

E-5
(5)


Resposta baseada no cálculo (actualização dos TMC e TMT dos eventos e caminho crítico).

TMTi

i

TMCj

Rótulo – di,j
(FTi,j)

TMTj

j

35

6

5
25

25

Conclusão: A duração total do projecto é aumentada de uma (1) semana com o aumento da duração da
actividade G de 5 para 11 semanas. Refazendo cálculos dos TMT dos eventos e folgas totais das
4
actividades, a actividade G passa a crítica, substituindo a actividade F.

d) Determine as folgas livre á direita, livre á esquerda e a independente da actividade E

15

C-5
(5)

2

TMCi

4

D - 15
(0)

3
10

10

TMTi

i
35

0

1

25

Fictícia - 0
(0)

0

25

20

E-5
(5)
)


Legenda
TMCj

Rótulo – di,j
(FTi,j)

TMTj

j

35

6

5
25

25

Por definição, a folga livre à direita (FLDi,j), a folga livre à esquerda (FLEi,j) e a folga independente
(FIi,j) da actividade (i,j) são calculadas como se segue:

Fernando Durão

FLDi,j = TMCj-(TMCi+di,j) ⇒FLDE ≡ FLD3,2 =15-(10+5)=0
FLEi,j = TMTj-(TMTi+di,j) ⇒FLEE ≡ FLE3,2 = 20-(10+5)=5
FIi,j = TMCj-(TMTi+di,j)
⇒FIE ≡ FI3,2 = 15-(10+5)=0

5

Resumos
Passo 1: Cálculo dos Tempos Mais Cedo (TMC) dos acontecimentos e duração total do projecto (DT)


TMCi1

TMTi1

{

TMC j = max TMCi1 + di1 , j , TMCi2 + di2 , j ,…, TMCim + dim , j

i1
Evento i1

TMCi1

di1 , j

TMTi1

i2
Evento i2

}

TMC j
di2 , j

TMT j
j

Evento j

⋮

TMCi1

TMTi1
im

Evento im

dim , j
TMC1 = 0; Tempo Mais Cedo do evento início do projecto
para j = 2 : neventos
TMC j = max

∀k : ( k , j )∈A

{TMC

k

+ dk , j }

fim

Fernando Durão

A o conjunto das actividades (arcos) da rede de actividades 6

Resumos
Passo 2: Cálculo dos Tempos Mais Tarde (TMT) dos eventos/acontecimentos


TMC j1

TM j1
j1

Evento j1

TMCi

TMTi
i

di , j1
di , j2

Evento i

di , jm

TMC j2

{

TMT j2

TMTi = min TMT j1 − di , j1 , TMT j2 − di , j2 ,…, TMT jm − di , jm

j2
Evento j2
⋮

TMC jm

TMT jm
jm

Evento jm

TMTn = TMCn ; Tempo Mais Tarde do evento conclusão do projecto
para i = neventos : −1:1
TMTi = min

∀k : ( i ,k )∈A

{TMT

k

− d i ,k }

fim
A o conjunto das actividades (arcos) da rede de actividades

Fernando Durão

}

7

Resumos
Passo 3: Definição da folga total (FT), folga livre à direita (FLD), folga livre à esquerda (FLE) e
folga independente (FI) da actividade (i,j)

Rótulo – di,j


i
TMCi

j

Actividade (i,j)

TMC j

TMTi

ESTi , j

EFTi , j

LSTi , j

di , j

TMT j
LFTi , j

di , j
FTi , j

di , j
FLDi , j
di , j

Tempo de que o início efectivo de uma actividade pode ser retardado sem que isso
condicione em nada o início das actividades sucessoras.

FLEi , j
di , jTempo de que a conclusão da actividade pode ser antecipado em relação à data

mais tardia sem condicionar em nada as datas de conclusão das actividades
antecessoras.

FI i , j
di , j

Fernando Durão

FLDi,j + FLEi,j = FTi,j + FIi,j

8

∆t'
∆c'
∆t
∆c

Exercício 4 - Enunciado
Considere o projecto com as actividades cujas durações (em dias) e precedências directas se indicam a seguir:


Actividades

Precedência

Duração

directa
A
B, G
B, C, G
A

(dias)
30
67
30
30
20
40
40

A
B
C
D
E
F
G

a) Trace a rede de actividades representativa do projecto e determine o caminho crítico e a sua duração total.
b) Diga quais as actividades cuja duração deve ser reduzida (utilizando recursos adicionais e/ou processos alternativos)
de modo a que a duração total do projecto seja reduzida de 5 dias com o mínimo custo. Sabe-se que os custos
adicionais de tais alternativas (∆c e ∆c’) e respectivas reduções de duração (∆t e ∆t’) são os indicados no quadro
abaixo, em que os valores correspondentes ao 2º limiar apenas se aplicam para reduções de duração para além dos
indicados para o 1º limiar.
1º limiar

Fernando Durão

Actividades
A
B
C
D
E
F
G

∆c
2
3
4
5
3
8
15

2º limiar
∆t
2
2
2
6
2
3
3

∆c’
3
8
8
7
5
20
20

∆t’
2
3
2
2
3
4
2

9

∆t'
∆c'
∆t
∆c

Exercício 4 - Resolução

Legenda
Evento j

Evento i

i

2

Rótulo – di,j

j

G - 40

Actividade (i,j)

1

B - 67

3

E - 20

5

Fict. -0


Nota: A resolução deste exercício pode ser encontrada nas páginas 131 a 132 da primeira referência
bibliográfica principal “Investigação Operacional”, L. Valadares Tavares et al
a) Trace a rede de actividades representativa do projecto e determine o caminho crítico e a sua duração total

4

Rede de actividades representativa do empreendimento/projecto (Unidade de tempo: dia)

10

∆t'
∆c'
∆t
∆c


30

30

TMCi

2
G - 40
(0)

0

0

1

B - 67
(3)

110

E - 20
(20)

3
70

4

TMTi

i

Fict. -0
(0)


Legenda
TMCj

Rótulo – di,j
(FTi,j)

TMTj

j

110

5

70

DT =TMC5= 110 dias

70

70

Rede de actividades com Tempos Mais Cedo (TMC), Tempos Mais Tarde (TMT) dos eventos e folgas
11
totais das actividades calculados (unidade de tempo: dia)

∆t'
∆c'
∆t
∆c


30

30

TMCi

2
G - 40
(0)

0

0

1

B - 67
(3)

110

E - 20
(20)

3
70

4

TMTi

i

Fict. -0
(0)


Legenda
TMCj

Rótulo – di,j
(FTi,j)

TMTj

j

110

5

70

DT =TMC5= 110 dias

70

70

Rede de actividades com identificação do caminho crítico (único): 1, A, 2, G, 3, Fict., 4, F, 5

12

∆t'
∆c'
∆t
∆c

b) Diga quais as actividades cuja duração deve ser reduzida ...

30

30

TMCi

2
G - 40
(0)

0

0

1

B - 67
(3)

110

E - 20
(20)

3
70

4

TMTi

i

Fict. -0
(0)


Legenda
TMCj

Rótulo – di,j
(FTi,j)

TMTj

j

110

5

70

70

70

Caminho crítico (único): 1, A, 2, G, 3, Fict., 4, F, 5
Rede de actividades com durações normais das actividades

13

∆t'
∆c'
∆t
∆c

b) Diga quais as actividades cuja duração deve ser reduzida ...(Contunuação)
1. Duração total do projecto é a soma das durações da actividade críticas do único caminho crítico


DT = d A + dG + d F = 30 + 40 + 40
2. Custo total do projecto, CT , é a soma dos custos de realização, Ci , j , de todas as actividades (i, j )
da rede de actividades, funções das durações di , j das actividades
CT =

∑A C ( d ),
i, j

i, j

∀( i , j )∈

3. Custo total do projecto, CTN , para as durações normais das actividades, diNj ,
,
C TN =

∑A C ( d ) ,
i, j

N
i, j

A é o conjunto das actividades (arcos) do projecto (rede)

∀( i , j )∈

4. Custo adicional ou marginal, ∆CT ( di', j )
∆CT ( di', j ) =

∑A C ( d ) − C
i, j

∀( i , j )∈

∆CT ( diNj ) = 0
,

'
i, j

N
T

=

∑A C ( d ) − ∑A C ( d )
i, j

∀( i , j )∈

'
i, j

i, j

N
i, j

∀( i , j )∈

14

∆t'
∆c'
∆t
∆c

b) Diga quais as actividades cuja duração deve ser reduzida ...(Contunuação)


A relação custo-duração, Ci,j(di,j), de uma actividade e a sua aproximação por segmentos de
reta (troços lineares)

C1

∆c’

C2

∆t’
∆c

CN
Fernando Durão

∆t
d1

d2

dN

15

∆t'
∆c'
∆t
∆c


b) Diga quais as actividades cuja duração deve ser reduzida .. . (Continuação)
1
1ª Redução de 1 dia em DT :
 ∆c 1  ∆c 1  ∆c 1 


 2 15 8 
 ∆c 
min   ,   ,    = min  , ,  = 1 =  
através da redução de um dia
2 3 3
 ∆t A
 ∆t  A  ∆t G  ∆t F 


na duração de uma actividade
crítica
d A = 30 − 1 = 29, ∆CT = 0 + 1 = 1
Legenda
Caminho crítico (C.C. ) único
29 29
C.C. : A, G, F
TMCi TMTi
TMCj
2
G - 40
(0)

0

0

1

i

B - 67
(2)

E - 20
(20)
69

4

Fernando Durão

109

3
Fict. -0
(0)



Rótulo – di,j
(FTi,j)

TMTj

j

109

5

69

69

69
16

Caminho crítico: 1, A, 2, G, 3, Fict., 4, F, 5

∆t'
∆c'
∆t
∆c


b) Diga quais as actividades cuja duração deve ser reduzida ... (Continuação)
1
 ∆c 1  ∆c 1  ∆c 1 


 2 15 8 
 ∆c 
min   ,   ,    = min  , ,  = 1 =  
2 3 3
 ∆t A
 ∆t  A  ∆t G  ∆t F 


crítica
d = 29 − 1 = 28, ∆C = 1 + 1 = 2
A

C.C.: A, G, F

T

28

Legenda

28

TMCi

2
G - 40
(0)

0

0

1

B - 67
(1)

E - 20
(20)
68

Fernando Durão

108

3

4

TMTi

i

Fict. -0
(0)



TMCj

Rótulo – di,j
(FTi,j)

TMTj

j

108

5

68

68

68
17


∆t'
∆c'
∆t
∆c


2
 ∆c  2  ∆c 1  ∆c 1 


 3 15 8 
 ∆c 
min   ,   ,    = min  , ,  = 1.5 =  
 2 3 3
 ∆t A
 ∆t  A  ∆t G  ∆t F 


crítica
d = 28 − 1 = 27, ∆C = 2 + 1.5 = 3.5
A

C.C.: A, G, F

T

27

Legenda

27

TMCi

2
G - 40
(0)

0

0

1

B - 67
(0)

E - 20
(20)
67

Fernando Durão

107

3

4

TMTi

i

Fict. -0
(0)



TMCj

Rótulo – di,j
(FTi,j)

TMTj

j

107

5

67

67

67

Caminho crítico 1: 1, A, 2, G, 3, Fict., 4, F, 5
18
Caminho crítico 2: 1, B, 3, Fict., 4, F, 5

∆t'
∆c'
∆t
∆c



Seleção da(s) actividade(s) crítica(s), cuja(s) duração(ões) será(ão)
reduzida(s) de uma unidade de tempo
crítica




1
1
 ∆c 2  ∆c 1 



 ∆c 
 ∆c  
2 caminhos críticos C.C. :
min min   ,    +  
,   
 ∆t  B
 ∆t  F 
 ∆t A  ∆t G 

C.C. 1: A, G, F


Actividade do C .C . 2 Actividade comum 

Actividades do C .C . 1
C.C. 2: B, F
aos C .C . 1 e 2 



 3 15  3 8 
= min  min  ,
+ , 
2 3  2 3

1

3 3 8
 6 8  8  ∆c 
= min  + ,  = min  ,  = =  
2 2 3
 2 3  3  ∆t  F
8
d F = 40 − 1 = 39 , ∆CT = 3.5 + ≅ 6.16
3

Fernando Durão

19

∆t'
∆c'
∆t
∆c

4ª Redução de 1 dia em DT (Continuação)
TMCi

TMTi

i
27

TMCj

Rótulo – di,j
(FTi,j)

TMTj

j

27

0

G - 40
(0)

2

0

1

B - 67
(0)

E - 20
(19)
67

4

Fernando Durão

106

3
Fict. -0
(0)


Legenda

106

5

67

67

67

Caminho crítico 1: 1, A, 2, G, 3, Fict.,20 F, 5
4,
Caminho crítico 2: 1, B, 3, Fict., 4, F, 5

∆t'
∆c'
∆t
∆c



Seleção da(s) actividade(s) crítica(s), cuja(s) duração(ões) será(ão)
reduzida(s) de uma unidade de tempo
crítica




1
1
 ∆c 2  ∆c 1 



 ∆c 
 ∆c  
2 caminhos críticos C.C. :
min min   ,    +  
,   
 ∆t  B
 ∆t  F 
 ∆t A  ∆t G 

C.C. 1: A, G, F


Actividade do C .C . 2 Actividade comum 

Actividades do C .C . 1
C.C. 2: B, F
aos C .C . 1 e 2 


 3 15  3 8 
= min  min  ,
+ , 
2 3  2 3

1

3 3 8
 6 8  8  ∆c 
= min  + ,  = min  ,  = =  
2 2 3
 2 3  3  ∆t  F
8
d F = 39 − 1 = 38 , ∆CT = 6.16 + ≅ 8.82
3

Fernando Durão

21

∆t'
∆c'
∆t
∆c

5ª Redução de 1 dia em DT (Continuação)
TMCi

TMTi

i
27

TMCj

Rótulo – di,j
(FTi,j)

TMTj

j

27

0

G - 40
(0)

2

0

1

B - 67
(0)

E - 20
(18)
67

4

Fernando Durão

105

3
Fict. -0
(0)


Legenda

105

5

67

67

67

22
Caminho crítico: 1, B, 3, Fict., 4, F, 5

∆t'
∆c'
∆t
∆c


Resumo das reduções


Caminho(s) crítico(s)
Actividades
críticas
Durações
Normais

Duração total
DT (dias)

A, G, F

Seleção da actividade com redução unitária da duração

Actividades

Durações
(dias)

(∆c/∆t ou ∆c’/∆t’ )

Custo marginal

Actividade
selecionada

A
G
F

30
40
40

2/2
15/3
8/3

A

110

29
40
40

2/2
15/3
8/3

Custo
adicional ∆CT

A

A

0

1ª redução

A, G, F

109

A
G
F

2ª redução

A, G, F

108

A
G
F

28
40
40

3/2
15/3
8/3

107

Ae B
GeB
F

27, 67
40, 67
40

3/2+3/2
15/3+3/2
8/3

F

Ae B
GeB
F

27, 67
40, 67
39

3/2+3/2
15/3+3/2
8/3

F

Ae B
GeB
F

27, 67
40, 67
38

-

-

A, G, F
3ª redução

B, F
A, G, F

4ª redução

B, F

106

A, G, F
5ª redução

B, F

Fernando Durão

105

0+1=1

1+1=2

2+1.5=3.5

3.5+8/3≈6.16

6.16+8/3≈8.82
23

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