1. Мысли вслух
(о некоторых методических «хитростях»)
Скалярное произведение двух ненулевых векторов – это произведение
длин этих векторов и косинуса угла между ними.
То есть a ⋅ b = a ⋅ b ⋅ cos α , где α - угол между векторами a и b .
Причем, ввиду того, что cos α ≤ 1, − a ⋅ b ≤ a ⋅ b ≤ a ⋅ b .
И равенство слева выполняется в случае, если векторы a и b
противонаправлены, а справа - если векторы a и b сонаправлены.
По свойству скалярного произведения векторов имеем:
a ⋅ b = a 1 ⋅ b1 + a 2 ⋅ b 2 ,
где a 1, a 2 и b1 , b 2 - координаты векторов a и b соответственно.
Следует отметить, что аналогичные соотношения имеют место и в
трехмерном пространстве.
Пример 1. Решите уравнение
p ⋅ x 2 − 1 + x − 1 = p 2 + 1 ⋅ x 4 − x 2 − 2 x + 2.
Решение.
Выполним преобразования в обеих частях уравнения.
p ⋅ x 2 − 1 + 1 ⋅ x − 1 = p + 1 ⋅ x 4 − 2x 2 + 1 + x 2 − 2 x + 1,
2
p ⋅ x 2 − 1 + 1⋅ x − 1 = p + 1 ⋅ ( x 2 − 1)2 +( x − 1)2 ,
2
2
p ⋅ x 2 − 1 + 1⋅ x − 1 = p +1 ⋅ x 2 −1 + x −1 .
2 2
Становится ясно, что мы получили уравнение m ⋅ n = m ⋅ n , где
m { p ;1}, а n { x 2 − 1; x − 1}. Отметим, что при p = 0 уравнение имеет
два корня: -1 и 1. Если p ≠ 0, то остальные решения получим, решив
x 2 −1 x −1
уравнение = , то есть { − p − 1; p + 1} .
p 1
Ответ: если p = 0, то x ∈ {1;−1} ; если p ≠ 0, x ∈ { p − 1;− p − 1} .
Пример 2. Решите уравнение
p 2 cos 2 x + 1 + p 2 sin 2 x + 3 = 2 ⋅ p 2 + 4.

2. Решение.
Рассмотрим векторы m { ; }и n { p 2 cos 2 x + 1; p 2 sin 2 x + 3}.
11
Запишем уравнение так: 1 ⋅ p 2 cos 2 x + 1 + 1 ⋅ p 2 sin 2 x + 3 =
= 12 + 12 ⋅ ( ) (
2
p 2 cos 2 x + 1 + ) 2
p 2 sin 2 x + 3 , то есть в виде
m ⋅ n = m ⋅ n , которое имеет решение, если выполняется равенство:
p 2 cos 2 x + 1 p 2 sin 2 x + 3
= . Решим это уравнение.
1 1
p 2 cos 2 x + 1 = p 2 sin 2 x + 3, p 2 (cos 2 x − sin 2 x ) = 2,
⋅
p ⋅ cos 2 x = 2.
2
1) Если p = 0, то уравнение не имеет корней.
2
2) Если p ≠ 0, cos 2 x = 2 . Это уравнение имеет корни только в
p
2
] [
случае, если − 1 ≤ 2 ≤ 1, то есть при p ∈ ( − ∞;− 2 ∪ 2;+∞ ).
p
Очевидно, при остальных значениях параметра p уравнение не имеет
решений.
( ] [ )
Ответ: при p ∈ − ∞;− 2 ∪ 2;+∞ решением уравнения являются
1 2
(
числа вида ± arccos 2 + πk , k ∈ Z ; при p ∈ − 2; 2 уравнение
2 p
)
решений не имеет.