Geometria diferencial

Geometria Diferencial: Aplica¸˜es do Teorema de
co
Gauss-Bonnet
Alunos: Abra˜o Mendes/Soraya Bianca
a
Profa .: Dra Inˆs Padilha
e

16 de Janeiro de 2014

a

Geometria Diferencial: Aplica¸˜es do Teorema de Gauss-Bonnet
co

Teorema de Gauss-Bonnet Local
Seja x : U → S uma parametriza¸õ ortogonal (isto ´, F = 0), de
ca
e
2 ´ homeomorfo a um
uma superf´ orientada S, onde U ⊂ R e
ıcie
disco aberto e x ´ compat´ com a orienta¸õ de S. Seja
e
ıvel
ca
R ⊂ x(U) uma regiõ simples de S e seja α : I → S tal que
a
∂R = α(I ). Suponha que α ´ orientada positivamente,
e
paramertizada pelo comprimento de arco s, e sejam α(s0 ), ..., α(sk )
e θ0 , ..., θk , respectivamente, os v´rtices e os ˆngulos externos de
e
a
α. Entõ
a

k

k

si+1

kg (s)ds +
i=0

si

Kdσ +
R

θi = 2π
i=0

onde kg (s) ´ a curvatura geod´sica dos arcos regulares de α e K ´
e
e
e
a curvatura Gaussiana de S.
a

co

Proposi¸õ 4
ca
Seja S ⊂ R 3 uma superf´ compacta e conexa; entõ um dos
ıcie
a
valores 2, 0, −2, ..., −2n, ... ´ assumido pela caracter´
e
ıstica de
Euler-Poincar´ X (S). Al´m disto, se S ∗ ⊂ R 3 ´ uma outra
e
e
e
superf´ compacta e conexa e X (S) = X (S ∗ ), entõ S ´
ıcie
a
e
homeomorfa a S ∗ .

a

co

Teorema de Gauss-Bonnet Global
Seja R ⊂ S uma regiõ regular de uma superf´ orientada e sejam
a
ıcie
C1 , ..., Cn as curvas fechadas, simples e regulares por partes que
formam a fronteira ∂R de R. Suponha que cada Ci ´ orientada
e
positivamente e sejam θ1 , ..., θp o conjunto dos ˆngulos externos
a
das curvas C1 , ..., Cn . Entõ
a

p

n

kg (s)ds +
i=1

ci

Kdσ +
R

θl = 2πX (R)
l=1

onde s denota o comprimento de arco de Ci , e a integral sobre Ci
significa a soma das intergrais em todos os arcos regulares de Ci .

a

co

Corol´rio 1.
a
Se R ´ uma regi˜o simples de S, ent˜o
e
a
a

k

k

si+1

kg (s)ds +
i=0

si

a

θi = 2π

Kdσ +
R

i=0

co

Corol´rio 2.
a
Seja S uma superf´ compacta e orint´vel; ent˜o
ıcie
a
a

Kdσ = 2πX (S)
S

a

co

Teorema da Curva de Jordan
Seja C ⊂ R2 uma curva fechada, simples e regular por partes.
Ent˜o R2 − C tem duas componentes conexas, uma limitada D e
a
outra ilimitada A, tais que ∂D = ∂A = C . Al´m disso, D ´
e
e
homeomorfo a um disco, isto ´, C ´ o bordo de uma regi˜o simples.
e
e
a

a

co

Aplica¸˜es do Teorema da Gauss-Bonnet
co
1. Uma superf´ compacta com curvatura positiva ´ homeomorfa
ıcie
e
a uma esfera.

a

co

co
2. Seja S uma superf´ orient´vel com curvatura Gaussiana
ıcie
a
nõ-positiva (i.e. K ≤ 0). Entõ duas geod´sicas γ1 e γ2 que
a
a
e
partem de um ponto p ∈ S nõ podem se encontrar novamente em
a
um ponto q ∈ S de tal forma que os tra¸os de γ1 e γ2 constituam
c
a fronteira de uma regiõ simples R de S.
a

a

co

a

co

co
3. Seja S uma superf´ homeomorfa a um cilindro com curvatura
ıcie
Gaussiana K < 0. Ent˜o S tem no m´ximo uma geod´sica fechada
a
a
e
simples.

a

co

˜
Afirma¸õ: Γ ∩ Γ = .
ca
˜ nõ podem se intersectar em apenas um ponto.
1. Γ e Γ a

a

co

˜
2. Suponhamos que ϕ(Γ) ∩ ϕ(Γ) =

a

.

co

3. Suponhamos que existam duas geod´sicas fechadas e simples Γ
e
˜ em S que n˜o se intersectam.
eΓ
a

a

co

co
4. Se existem duas geod´sicas fechadas e simples Γ1 e Γ2 numa
e
superf´ S compacta, conexa e com curvatura gaussiana K > 0,
ıcie
ent˜o Γ1 e Γ2 se intersectam.
a
Teorema da curva de Jordan na esfera
Seja C ⊂ S 2 uma curva fechada, simples e regular por partes.
Ent˜o S 2 − C tem duas componentes conexas D1 e D2 limitadas
a
homeomorfas a um disco, tais que ∂D1 = ∂D2 = C .

a

co

Teorema de Jacobi
5. Seja α : [0, l] → S uma curva parametrizada regular fechada
(i.e. α(0) = α(l) e α(i) (0) = α(i) (l) para i = 1, ..., n, ...) com
curvatura diferente de zero em todos os pontos. Suponha que a
curva descrita pelo vetor normal ` curva η : I → S 2 ´ simples.
a
e
Ent˜o η(I ) divide S 2 em duas regi˜es com ´reas iguais.
a
o
a

a

co

Aplica¸˜es do Teorema de Gauss-Bonnet
co
6. Seja T um triˆngulo geod´sico (i.e. os lados de T s˜o
a
e
a
geod´sicas) em uma superf´ orientada S. Sejam θ1 , θ2 , θ3 os
e
ıcie
ˆngulos externos de T e ϕi , i = 1, 2, 3, os ˆngulos internos.
a
a
Ent˜o a soma dos ˆngulos internos 3 ϕi de um triˆngulo
a
a
a
i=1
geod´sico ´:
e
e
1. Igual a π se K = 0;
2. Maior que π se K > 0;
3. Menor que π se K < 0.

a

co

7.
Seja v um campo diferenci´vel de vetores em uma superf´
a
ıcie
orientada S. Dizemos que p ∈ S ´ um ponto singular de v se
e
v (p) = 0.
O ponto singular ´ dito isolado se existe uma vizinhan¸a V de p
e
c
em S tal que v n˜o tem pontos singulares em V al´m de p.
a
e
A cada ponto singular isolado p de um campo de vetores v vamos
associar um n´mero inteiro, o ´
u
ındice de v em p, da seguinte
maneira:

a

co

Seja X : U → X (U) ⊂ S uma parametriza¸õ ortogonal em
ca
X (u0 , v0 ), (u0 , v0 ) ∈ U, compat´ com a orienta¸õ de S, tal que
ıvel
ca
v (¯) = 0 para todo p ∈ X (U) − {p}, e seja α : [0, l] → S uma
p
¯
curva parametrizada simples, fechada, regular por partes e
orientada positivamente tal que α([0, l]) ⊂ X (U) ´ a fronteira de
e
uma regiõ simples R contendo p em seu interior.
a

a

co

Seja v (t) = v (α(t)), t ∈ [0, l], a restri¸˜o de v ao longo de α, e
ca
seja ϕ : [0, l] → R 3 uma parametriza¸˜o diferenci´vel por partes do
ca
a
ˆngulo positivo de Xu a v (t), isto ´,
a
e

Xu
Xv
v (t)
= cosϕ(t).
(β(t)) + senϕ(t).
(β(t))
v (t)
Xu
Xv
onde α(t) = X (β(t)).

a

co

Como α ´ fechada (α(l) = α(0)) existe um inteiro I deﬁnido por
e
2π.I = ϕ(l) − ϕ(0) =

l
0

ϕ dt

O inteiro I ´ chamado de ´
e
ındice de v em p.
Exemplo: Vamos calcular o ´
ındice do seguinte campo de vetores
no plano que tem (0, 0) como ponto singular. As curvas que
aparecem no desenho s˜o as trajet´rias dos campos de vetores.
a
o
(1) w (x, y ) = (−x, −y ).

a

co

Bibliografia
1. DO CARMO, Manfredo Perdigõ, Geometria Diferencial das
a
Curvas e Superf´
ıcies, Cole¸õ Textos Universit´rios, Sociedade
ca
a
Brasileira de Matem´tica, 2008.
a

a

co

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