Segunda aula de uma série de quatro, apresentada na VI Semana de Física da UFMA ( São Luis do Maranhão) em 2010.

1. Ondas de
Choque: Água,
Luz e
Condensados
R.A. Kraenkel
Ondas de Choque: Água, Luz e Condensados
Roberto André Kraenkel
Institutode Física Teórica-UNESP
São Paulo - Brasil
Novembro de 2010 / UFMA

2. Sumário
Ondas de
Choque: Água,
Luz e
Condensados
R.A. Kraenkel

3. Ondas simples
Ondas de
Choque: Água,
Luz e
Condensados
Comecemos nos ocupando de equações que descrevem
R.A. Kraenkel
ondas:
A mais simples possível:
ut + ux = 0 .
Chama-se equação da onda simples.
Descreve ondas na superfície da água na aproximação de
pequenas amplitudes, grande profundidade, sem viscosidade,
e condiderando o movimento uni-direcional.
Olhemos a solução:

4. Simples demais!!
Ondas de
Choque: Água,
Luz e
Condensados
R.A. Kraenkel A onda simplesmente se move para direita sem modificar a
forma.
Óbvio: qualquer função u(x − t) é solução da equação.
Portanto, dado u(x, 0) = f (x) a solução da equação será
f (x − t).
Esta onda é uni-direcional. E considerarmos ondas em dois
sentidos...obteremos algo interessante?
Não!
Considere utt − uxx = 0
Veja as suas soluções.

5. Ondas em Duas direções
Ondas de
Choque: Água,
Luz e
Condensados
R.A. Kraenkel
utt − uxx = 0
Uma onda para cada lado.
Pouco interessante
Para simplificar a discussão vamos considerar ondas
uni-direcionais.

6. Ondas Não-lineares
Ondas de
Choque: Água,
Luz e
Condensados
R.A. Kraenkel
Coloquemos um poucos de não-linearidade na nossa vida.
Considere ut + 6uux = 0
Esta equação descreve ondas na superfície d’água em que a
amplitude da onda é comparável com a profundidade
Eis a solução.

7. Quebra de Ondas!!
Ondas de
Choque: Água,
Luz e
A onda se deforma por causa do termo não-linear.
Condensados
Sua frente se torna vertical.
R.A. Kraenkel
A onda quebra.A equação é dita equação a quebra de onda
Podemos entender isso. Na equação ut + 6uux = 0 tudo se
passa como se a velocidade da onda fosse 6u.
ou seja, ut + 6u ux = 0.
c=6u
Quanto maior u, maior a velocidade local.
⇒ deformação⇒ quebra.
A quebra é um efeito não-linear. E se tomarmos uma
condição inicial maior? Os efeitos não-lineares deveriam ser
mais pronunciados?
Seja: ut + 6uux = 0 e amplitude máxima inicial =1.
VEJAMOS.

8. Regularização de choques
Ondas de
Choque: Água,
Luz e
Condensados
R.A. Kraenkel
A onda apenas quebrou mais rapidamente.
Matematicamente a quebra de uma onda representa a não
existência da solução depois de um certo tempo.
Mas o que acontece com a solução, fisicamente?
Os modelos apresentados são aproximações. Outros efeitos
podem entrar em jogo.
Os dois principais são: dissipação e dispersão.

9. Regularização por Dissipação
Ondas de
Choque: Água,
Luz e
Condensados
R.A. Kraenkel No contexto hidrodinâmico, a dissipação vem da viscosidade
não nula do fluido.
A equação de propagação de ondas fracamente não-lineares e
de pequena dissipação é dada por:
ut + 6uux = νuxx Equação de Burgers
Evidentemente, para ν muito pequeno estaremos próximos
da equação de quebra de onda.
Vamos estuda-la neste limite. Seja então ν = 0.05.

10. Equação de Burgers
Ondas de
Choque: Água,
Luz e
Condensados
R.A. Kraenkel
ut + 6uux = 0.05uxx
A onda não quebrou.
O termo dissipativo regularizou a onda. Formou-se um choque.
Entendemos (±):perto da frente de onda o termo νuxx é grande porque uxx é grande,
apesar de ν ser pequeno.

11. Ondas de
Choque: Água,
Luz e
Condensados
R.A. Kraenkel
E se ν for maior?
Seja por exemplo ut + 6uux = 0.5uxx
o choque será simplesmente mais suave.

12. Dispersão
Ondas de
Choque: Água,
Luz e
Condensados
R.A. Kraenkel Suponha agora que ν seja de fato muito pequeno.
Um efeito não considerado antes foi o da dispersão das
ondas.
As equações obtidas anteriormente supõe que o parâmetro
β = h/λ seja muito pequeno, onde
h ⇒ é a profundidade ”sem ondas”, e
λ ⇒ é o comprimento de onda da perturbação da superfície.
A finitude de β gera dispersão das ondas.
Diferentes comprimentos de onda viajam com diferentes
velocidade.

13. Regularização por Dispersão
Ondas de
Choque: Água,
Luz e
Condensados
R.A. Kraenkel
A equação regendo o movimento uni-direcional da superfície
de um fluido sem viscosidade mas com dispersão é:
ut +6uux + β 2 uxxx =0 Equação de Korteweg de Vries
termo dispersivo
Queremos estuda-la para β pequeno, afim de estarmos
próximos à região de quebra de ondas.
Tomemos pois β 2 = 0.005

14. Regularização por dispersão
Ondas de
Choque: Água,
Luz e
Condensados
R.A. Kraenkel
Não. Não é erro numérico.
Forma-se um choque.Mas atrás dele se formam ondas.
E se β for maior?Por exemplo: 10 vezes maior.
Há menos ondas.

15. KdV: um intermezzo
Ondas de
Choque: Água,
Luz e
Condensados
R.A. Kraenkel
A equação de KdV,
ut + 6uux + β 2 uxxx = 0
possui propriedades matemáticas interessantes:
É integrável. Pode-se resolver o problema de valores iniciais.
Tem soluções soliton. Eis um.
Aqui tomamos u(x, t = 0) = 2sech2 (x).

16. KdV: um intermezzo II
Ondas de
Choque: Água,
Luz e
Condensados
R.A. Kraenkel
ut + 6uux + β 2 uxxx = 0
Há também soluções 2-soliton
Neste caso: u(x.0) = 6sech2 (x).

17. KdV: um intermezzo III
Ondas de
Choque: Água,
Luz e
Condensados
R.A. Kraenkel
Uma condição inicial “qualquer” se decompõe em solitons +
radiação.
Seja: u(x.0) = 4sech2 (x).

18. KdV: um intermezzo IV
Ondas de
Choque: Água,
Luz e
Condensados
R.A. Kraenkel
Uma condição inicial “qualquer” se decompõe em solitons +
radiação.
Seja: u(x.0) = 40sech2 (x).

19. KdV: um intermezzo V
Ondas de
Choque: Água,
Luz e
Condensados
R.A. Kraenkel
O que vimos no caso de β pequeno é que a condição inicial
se decompõe em solitons.
O maior vai à frente criando o efeito de uma onda de choque.

20. Conclusões até aqui.
Ondas de
Choque: Água,
Luz e
Condensados A equação ut + 6uux = 0 pode ser regularizada de duas
R.A. Kraenkel formas.
Por dissipação ou por dispersão.

21. Ondas de
Choque: Água,
Luz e
Na natureza os dois tipos de ondas de choque
Condensados
R.A. Kraenkel
existem.Veja um exemplo de onda de choque
dispersiva:
Figure: Mascaret ( Dordogne) e Pororoca (Amazonas)

22. Condensados de Bose-Einstein
Ondas de
Choque: Água,
Luz e
Condensados
R.A. Kraenkel
Considere a Equação de Gross-Pitaevskii:
∂Φ(x, t) 2
ı =− Φ(r, t) + g|Φ(r, t)|2 Φ(r, t)
∂t 2m
Ela descreve um condensado de Bose-Eisntein
|Φ|2 é a densidade do condensado em um dado ponto (r, t).
Condensados podem ser produzidos em 1, 2 ou 3 dimensões.
GP contém não-linearidade e dispersão.

23. Ondas de Choque em BEC
Ondas de
Choque: Água, Há ondas de choque em BEC:
Luz e
Condensados Considere um condensado “panqueca” (2D)
R.A. Kraenkel Uma condição inicial dao por um degrau:
Figure: Corte de um BEC em 2D radialmente simétrico, com a condição inicial
dada pela linha tracejada na figura da esquerda. Evolução temporal dada pela figura
da direita, mostrando a formação de choques dispersivos. Kamchatnov, Gammal
and R.A.K, Phys. Rev. A 69, 063605 (2004)

24. Existe isso?
Ondas de
Choque: Água,
Luz e
Condensados
R.A. Kraenkel
Figure: Esquerda: imagem de BEC obtida pelo grupo do Jila (Hoefer et al Phys Rev A
74, 023623 (2006)). Direita: Simulação 2D ( Kamchatnov, Gammal and R.A.K, Phys.
Rev. A 69, 063605 (2004))

25. Um último exemplo: ótica não-linear
Ondas de
Choque: Água,
Luz e
Condensados
R.A. Kraenkel A propagação de um feixe de luz em um meio ótico do tipo
Kerr é dada por:
∂A
ı + ⊥A − |A|2 A = 0
∂z
z é a distância de propagação.
⊥ é o laplaciano em (x, y).
A é amplitude da onda: |A|2 é a densidade de energia local.
Trata-se da mesma equação que no item anterior.

26. Existe?
Ondas de
Choque: Água,
Aqui está
Luz e
Condensados
R.A. Kraenkel
Figure: De Wan, Jia e Fleischer, Nature Physics 3, pg 46 (2007)
De fato, a experiência é feita com um material ( fotorefrativo) para o qual vale:
∂A |A|2
ı + ⊥A − A=0
∂z 1 + |A|2
A teoria para este caso está em "Theory of optical dispersive shock waves in
photorefractive media", PRA 76, 053813 (2007), por El, Gammal, Khamis,
Kraenkel & Kamchatnov

27. Conclusões ou o que devo lembrar deste seminário
Ondas de
Choque: Água,
Luz e
Ondas de choque se formam a partir de ondas que quebram;
Condensados
Há dois tipos de ondas de choque:dispersivas e dissipativas.
R.A. Kraenkel
As dissipativas são mais comuns. Há uma frente de onda e
um decaimento.
As dispersivas tem oscilações junto da frente de onda
O exemplo clássico de ondas de choque dispersivas é a
pororoca.
Há ondas de choque dispersivas em BEC em 2D.Teoria e
experiência estão de acordo.
Recentemente, foram vistas ondas de choque dispersivas em
meios óticos não-lineares.
Obrigado pela atenção
Download em http://web.me.com/kraenkel/ufma