Este documento apresenta uma aula introdutória sobre métodos matemáticos em biologia de populações. A aula começa definindo o conceito de população e discute modelos simples como o de Malthus e a equação logística. Também aborda generalizações, comentários sobre escalas e espécies não interagentes, além de mencionar tópicos como atraso temporal e bibliografia.
1. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
R.A. Kraenkel
Populações
Modelos Métodos Matemáticos em Biologia de
Simples I:
Malthus
Populações
Modelos
Simples II:
equação
logística
Generalizações
Roberto André Kraenkel
Comentários
Escalas
Instituto de Física Teórica-UNESP
Espécies São Paulo
Não-Interagentes
http://www.ift.unesp.br/users/kraenkel
O que ficou de
fora
Equação a diferenças
Atraso temporal
Aula I
Bibliografia
2. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
A aula de hoje
R.A. Kraenkel
1 Populações
Populações
Modelos
Simples I:
Malthus
Modelos
Simples II:
equação
logística
Generalizações
Comentários
Escalas
Espécies
Não-Interagentes
O que ficou de
fora
Equação a diferenças
Atraso temporal
Bibliografia
3. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
A aula de hoje
R.A. Kraenkel
1 Populações
Populações
Modelos
Simples I:
2 Modelos Simples I: Malthus
Malthus
Modelos
Simples II:
equação
logística
Generalizações
Comentários
Escalas
Espécies
Não-Interagentes
O que ficou de
fora
Equação a diferenças
Atraso temporal
Bibliografia
4. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
A aula de hoje
R.A. Kraenkel
1 Populações
Populações
Modelos
Simples I:
2 Modelos Simples I: Malthus
Malthus
Modelos 3 Modelos Simples II: equação logística
Simples II:
equação
logística
Generalizações
Comentários
Escalas
Espécies
Não-Interagentes
O que ficou de
fora
Equação a diferenças
Atraso temporal
Bibliografia
5. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
A aula de hoje
R.A. Kraenkel
1 Populações
Populações
Modelos
Simples I:
2 Modelos Simples I: Malthus
Malthus
Modelos 3 Modelos Simples II: equação logística
Simples II:
equação
logística 4 Generalizações
Generalizações
Comentários
Escalas
Espécies
Não-Interagentes
O que ficou de
fora
Equação a diferenças
Atraso temporal
Bibliografia
6. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
A aula de hoje
R.A. Kraenkel
1 Populações
Populações
Modelos
Simples I:
2 Modelos Simples I: Malthus
Malthus
Modelos 3 Modelos Simples II: equação logística
Simples II:
equação
logística 4 Generalizações
Generalizações
Comentários
5 Comentários
Escalas
Espécies
Escalas
Não-Interagentes
Espécies Não-Interagentes
O que ficou de
fora
Equação a diferenças
Atraso temporal
Bibliografia
7. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
A aula de hoje
R.A. Kraenkel
1 Populações
Populações
Modelos
Simples I:
2 Modelos Simples I: Malthus
Malthus
Modelos 3 Modelos Simples II: equação logística
Simples II:
equação
logística 4 Generalizações
Generalizações
Comentários
5 Comentários
Escalas
Espécies
Escalas
Não-Interagentes
Espécies Não-Interagentes
O que ficou de
fora
Equação a diferenças 6 O que ficou de fora
Atraso temporal
Equação a diferenças
Bibliografia
Atraso temporal
8. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
A aula de hoje
R.A. Kraenkel
1 Populações
Populações
Modelos
Simples I:
2 Modelos Simples I: Malthus
Malthus
Modelos 3 Modelos Simples II: equação logística
Simples II:
equação
logística 4 Generalizações
Generalizações
Comentários
5 Comentários
Escalas
Espécies
Escalas
Não-Interagentes
Espécies Não-Interagentes
O que ficou de
fora
Equação a diferenças 6 O que ficou de fora
Atraso temporal
Equação a diferenças
Bibliografia
Atraso temporal
7 Bibliografia
9. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Populações
R.A. Kraenkel
Populações
Modelos
Simples I:
Malthus
Modelos
Simples II:
equação
logística
Generalizações
Comentários
Escalas
Espécies
Não-Interagentes
O que ficou de
fora
Equação a diferenças
Atraso temporal
Bibliografia
10. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Populações
R.A. Kraenkel
Populações
• Nosso conceito primitivo será o de uma população.
Modelos
Simples I:
Malthus
Modelos
Simples II:
equação
logística
Generalizações
Comentários
Escalas
Espécies
Não-Interagentes
O que ficou de
fora
Equação a diferenças
Atraso temporal
Bibliografia
11. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Populações
R.A. Kraenkel
Populações
• Nosso conceito primitivo será o de uma população.
Modelos
Simples I: • Trata-se de um grupo de organismos (plantas, animais,..)
Malthus
composto por indivíduos da mesma espécie.
Modelos
Simples II:
equação
logística
Generalizações
Comentários
Escalas
Espécies
Não-Interagentes
O que ficou de
fora
Equação a diferenças
Atraso temporal
Bibliografia
12. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Populações
R.A. Kraenkel
Populações
• Nosso conceito primitivo será o de uma população.
Modelos
Simples I: • Trata-se de um grupo de organismos (plantas, animais,..)
Malthus
composto por indivíduos da mesma espécie.
Modelos
Simples II: • Estes indivíduos vivem agregados e se reproduzem.
equação
logística
Generalizações
Comentários
Escalas
Espécies
Não-Interagentes
O que ficou de
fora
Equação a diferenças
Atraso temporal
Bibliografia
13. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Populações
R.A. Kraenkel
Populações
• Nosso conceito primitivo será o de uma população.
Modelos
Simples I: • Trata-se de um grupo de organismos (plantas, animais,..)
Malthus
composto por indivíduos da mesma espécie.
Modelos
Simples II: • Estes indivíduos vivem agregados e se reproduzem.
equação
logística
• Note: vamos tratar de populações
Generalizações
Comentários
Escalas
Espécies
Não-Interagentes
O que ficou de
fora
Equação a diferenças
Atraso temporal
Bibliografia
14. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Populações
R.A. Kraenkel
Populações
• Nosso conceito primitivo será o de uma população.
Modelos
Simples I: • Trata-se de um grupo de organismos (plantas, animais,..)
Malthus
composto por indivíduos da mesma espécie.
Modelos
Simples II: • Estes indivíduos vivem agregados e se reproduzem.
equação
logística
• Note: vamos tratar de populações e não de indivíduos.
Generalizações
Comentários
Escalas
Espécies
Não-Interagentes
O que ficou de
fora
Equação a diferenças
Atraso temporal
Bibliografia
15. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Populações
R.A. Kraenkel
Populações
• Nosso conceito primitivo será o de uma população.
Modelos
Simples I: • Trata-se de um grupo de organismos (plantas, animais,..)
Malthus
composto por indivíduos da mesma espécie.
Modelos
Simples II: • Estes indivíduos vivem agregados e se reproduzem.
equação
logística
• Note: vamos tratar de populações e não de indivíduos.
Generalizações • Populações crescem ou diminuem por ganharem ou
Comentários perderem indivíduos.
Escalas
Espécies
Não-Interagentes
O que ficou de
fora
Equação a diferenças
Atraso temporal
Bibliografia
16. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Populações
R.A. Kraenkel
Populações
• Nosso conceito primitivo será o de uma população.
Modelos
Simples I: • Trata-se de um grupo de organismos (plantas, animais,..)
Malthus
composto por indivíduos da mesma espécie.
Modelos
Simples II: • Estes indivíduos vivem agregados e se reproduzem.
equação
logística
• Note: vamos tratar de populações e não de indivíduos.
Generalizações • Populações crescem ou diminuem por ganharem ou
Comentários perderem indivíduos.
Escalas
Espécies
Não-Interagentes
• O crescimento ou decrescimento pode se dar por nascimento,
O que ficou de morte,
fora
Equação a diferenças
Atraso temporal
Bibliografia
17. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Populações
R.A. Kraenkel
Populações
• Nosso conceito primitivo será o de uma população.
Modelos
Simples I: • Trata-se de um grupo de organismos (plantas, animais,..)
Malthus
composto por indivíduos da mesma espécie.
Modelos
Simples II: • Estes indivíduos vivem agregados e se reproduzem.
equação
logística
• Note: vamos tratar de populações e não de indivíduos.
Generalizações • Populações crescem ou diminuem por ganharem ou
Comentários perderem indivíduos.
Escalas
Espécies
Não-Interagentes
• O crescimento ou decrescimento pode se dar por nascimento,
O que ficou de morte, imigração ou emigração.
fora
Equação a diferenças
Atraso temporal
Bibliografia
18. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Populações
R.A. Kraenkel
Populações
• Nosso conceito primitivo será o de uma população.
Modelos
Simples I: • Trata-se de um grupo de organismos (plantas, animais,..)
Malthus
composto por indivíduos da mesma espécie.
Modelos
Simples II: • Estes indivíduos vivem agregados e se reproduzem.
equação
logística
• Note: vamos tratar de populações e não de indivíduos.
Generalizações • Populações crescem ou diminuem por ganharem ou
Comentários perderem indivíduos.
Escalas
Espécies
Não-Interagentes
• O crescimento ou decrescimento pode se dar por nascimento,
O que ficou de morte, imigração ou emigração.
fora
Equação a diferenças
Atraso temporal
Bibliografia
O curso trata de modelar a dinâmica de populações.
19. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Populações
R.A. Kraenkel
Populações
• Nosso conceito primitivo será o de uma população.
Modelos
Simples I: • Trata-se de um grupo de organismos (plantas, animais,..)
Malthus
composto por indivíduos da mesma espécie.
Modelos
Simples II: • Estes indivíduos vivem agregados e se reproduzem.
equação
logística
• Note: vamos tratar de populações e não de indivíduos.
Generalizações • Populações crescem ou diminuem por ganharem ou
Comentários perderem indivíduos.
Escalas
Espécies
Não-Interagentes
• O crescimento ou decrescimento pode se dar por nascimento,
O que ficou de morte, imigração ou emigração.
fora
Equação a diferenças
Atraso temporal
Bibliografia
O curso trata de modelar a dinâmica de populações.Como elas
aumentam e diminuem no tempo,
20. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Populações
R.A. Kraenkel
Populações
• Nosso conceito primitivo será o de uma população.
Modelos
Simples I: • Trata-se de um grupo de organismos (plantas, animais,..)
Malthus
composto por indivíduos da mesma espécie.
Modelos
Simples II: • Estes indivíduos vivem agregados e se reproduzem.
equação
logística
• Note: vamos tratar de populações e não de indivíduos.
Generalizações • Populações crescem ou diminuem por ganharem ou
Comentários perderem indivíduos.
Escalas
Espécies
Não-Interagentes
• O crescimento ou decrescimento pode se dar por nascimento,
O que ficou de morte, imigração ou emigração.
fora
Equação a diferenças
Atraso temporal
Bibliografia
O curso trata de modelar a dinâmica de populações.Como elas
aumentam e diminuem no tempo,como elas se distribuem pelo
espaço.
21. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Populações
R.A. Kraenkel
Populações
• Nosso conceito primitivo será o de uma população.
Modelos
Simples I: • Trata-se de um grupo de organismos (plantas, animais,..)
Malthus
composto por indivíduos da mesma espécie.
Modelos
Simples II: • Estes indivíduos vivem agregados e se reproduzem.
equação
logística
• Note: vamos tratar de populações e não de indivíduos.
Generalizações • Populações crescem ou diminuem por ganharem ou
Comentários perderem indivíduos.
Escalas
Espécies
Não-Interagentes
• O crescimento ou decrescimento pode se dar por nascimento,
O que ficou de morte, imigração ou emigração.
fora
Equação a diferenças
Atraso temporal
Bibliografia
O curso trata de modelar a dinâmica de populações.Como elas
aumentam e diminuem no tempo,como elas se distribuem pelo
espaço.
22. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Modelos Simples I: Malthus
R.A. Kraenkel
Populações
Modelos
Simples I:
Malthus
Modelos
Simples II:
equação
logística
Generalizações
Comentários
Escalas
Espécies
Não-Interagentes
O que ficou de
fora
Equação a diferenças
Figure: Thomas Malthus, circa 1830
Atraso temporal
Bibliografia
23. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Modelos Simples I: Malthus
R.A. Kraenkel
Populações
Modelos A lei mais Simples
Simples I:
Malthus
Modelos • A lei mais simples regendo a evolução temporal de uma
Simples II:
equação população:
logística
Generalizações
•
dN(t)
Comentários = rN(t)
Escalas dt
Espécies
Não-Interagentes
O que ficou de
fora • onde N(t) é o número de indivíduos na população e r é a
Equação a diferenças
Atraso temporal
taxa de crescimento da população, as vezes chamado de
Bibliografia parâmetro malthusiano.
24. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Crescimento Exponencial
R.A. Kraenkel
Populações
Modelos A solução
Simples I:
Malthus
Modelos
Simples II:
equação
logística
Generalizações
Comentários
Escalas
Espécies
Não-Interagentes
O que ficou de
fora
Equação a diferenças
Atraso temporal
Bibliografia
25. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Crescimento Exponencial
R.A. Kraenkel
Populações
Modelos A solução
Simples I:
Malthus
A solução da equação malthusiana é:
Modelos
Simples II:
equação
logística
Generalizações
Comentários
Escalas
Espécies
Não-Interagentes
O que ficou de
fora
Equação a diferenças
Atraso temporal
Bibliografia
26. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Crescimento Exponencial
R.A. Kraenkel
Populações
Modelos A solução
Simples I:
Malthus
A solução da equação malthusiana é:
Modelos
Simples II:
equação
logística
N(t) = N0 ert
Generalizações
Comentários
Escalas
Espécies
Não-Interagentes
O que ficou de
fora
Equação a diferenças
Atraso temporal
Bibliografia
27. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Crescimento Exponencial
R.A. Kraenkel
Populações
Modelos A solução
Simples I:
Malthus
A solução da equação malthusiana é:
Modelos
Simples II:
equação
logística
N(t) = N0 ert
Generalizações
Comentários
Escalas
Espécies
Não-Interagentes
O que ficou de
fora • A equação prevê o crescimento exponencial da população no
Equação a diferenças
Atraso temporal tempo.
Bibliografia
28. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Crescimento Exponencial
R.A. Kraenkel
Populações
Modelos A solução
Simples I:
Malthus
A solução da equação malthusiana é:
Modelos
Simples II:
equação
logística
N(t) = N0 ert
Generalizações
Comentários
Escalas
Espécies
Não-Interagentes
O que ficou de
fora • A equação prevê o crescimento exponencial da população no
Equação a diferenças
Atraso temporal tempo.
Bibliografia
• Será verdade?
29. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Crescimento Exponencial
R.A. Kraenkel
Populações
Modelos A solução
Simples I:
Malthus
A solução da equação malthusiana é:
Modelos
Simples II:
equação
logística
N(t) = N0 ert
Generalizações
Comentários
Escalas
Espécies
Não-Interagentes
O que ficou de
fora • A equação prevê o crescimento exponencial da população no
Equação a diferenças
Atraso temporal tempo.
Bibliografia
• Será verdade?
30. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Crescimento Exponencial
R.A. Kraenkel
Populações
Modelos
Simples I:
Malthus
• Evidentemente, a previsão de crescimento exponencial não
Modelos
pode ser verdade de forma absoluta,
Simples II:
equação
logística
Generalizações
Comentários
Escalas
Espécies
Não-Interagentes
O que ficou de
fora
Equação a diferenças
Atraso temporal
Bibliografia
31. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Crescimento Exponencial
R.A. Kraenkel
Populações
Modelos
Simples I:
Malthus
• Evidentemente, a previsão de crescimento exponencial não
Modelos
pode ser verdade de forma absoluta, pois teríamos
Simples II:
equação
populações enormes depois de um certo tempo
logística
Generalizações
Comentários
Escalas
Espécies
Não-Interagentes
O que ficou de
fora
Equação a diferenças
Atraso temporal
Bibliografia
32. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Crescimento Exponencial
R.A. Kraenkel
Populações
Modelos
Simples I:
Malthus
• Evidentemente, a previsão de crescimento exponencial não
Modelos
pode ser verdade de forma absoluta, pois teríamos
Simples II:
equação
populações enormes depois de um certo tempo ( digamos,
logística ocupando um espaço maior que a Terra...).
Generalizações
Comentários
Escalas
Espécies
Não-Interagentes
O que ficou de
fora
Equação a diferenças
Atraso temporal
Bibliografia
33. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Crescimento Exponencial
R.A. Kraenkel
Populações
Modelos
Simples I:
Malthus
• Evidentemente, a previsão de crescimento exponencial não
Modelos
pode ser verdade de forma absoluta, pois teríamos
Simples II:
equação
populações enormes depois de um certo tempo ( digamos,
logística ocupando um espaço maior que a Terra...).
Generalizações
• Mas,
Comentários
Escalas
Espécies
Não-Interagentes
O que ficou de
fora
Equação a diferenças
Atraso temporal
Bibliografia
34. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Crescimento Exponencial
R.A. Kraenkel
Populações
Modelos
Simples I:
Malthus
• Evidentemente, a previsão de crescimento exponencial não
Modelos
pode ser verdade de forma absoluta, pois teríamos
Simples II:
equação
populações enormes depois de um certo tempo ( digamos,
logística ocupando um espaço maior que a Terra...).
Generalizações
• Mas, nos estágios iniciais de crescimento de uma população
Comentários
Escalas podemos ter crescimento exponencial.
Espécies
Não-Interagentes
O que ficou de
fora
Equação a diferenças
Atraso temporal
Bibliografia
35. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Crescimento Exponencial
R.A. Kraenkel
Populações
Modelos
Simples I:
Malthus
• Evidentemente, a previsão de crescimento exponencial não
Modelos
pode ser verdade de forma absoluta, pois teríamos
Simples II:
equação
populações enormes depois de um certo tempo ( digamos,
logística ocupando um espaço maior que a Terra...).
Generalizações
• Mas, nos estágios iniciais de crescimento de uma população
Comentários
Escalas podemos ter crescimento exponencial.
Espécies
Não-Interagentes
• Em outras palavras:
O que ficou de
fora
Equação a diferenças
Atraso temporal
Bibliografia
36. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Crescimento Exponencial
R.A. Kraenkel
Populações
Modelos
Simples I:
Malthus
• Evidentemente, a previsão de crescimento exponencial não
Modelos
pode ser verdade de forma absoluta, pois teríamos
Simples II:
equação
populações enormes depois de um certo tempo ( digamos,
logística ocupando um espaço maior que a Terra...).
Generalizações
• Mas, nos estágios iniciais de crescimento de uma população
Comentários
Escalas podemos ter crescimento exponencial.
Espécies
Não-Interagentes
• Em outras palavras: quando a população não é muito grande,
O que ficou de
fora a lei malthusiana deve valer.
Equação a diferenças
Atraso temporal
Bibliografia
37. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Crescimento Exponencial
R.A. Kraenkel
Populações
Modelos
Simples I:
Malthus
• Evidentemente, a previsão de crescimento exponencial não
Modelos
pode ser verdade de forma absoluta, pois teríamos
Simples II:
equação
populações enormes depois de um certo tempo ( digamos,
logística ocupando um espaço maior que a Terra...).
Generalizações
• Mas, nos estágios iniciais de crescimento de uma população
Comentários
Escalas podemos ter crescimento exponencial.
Espécies
Não-Interagentes
• Em outras palavras: quando a população não é muito grande,
O que ficou de
fora a lei malthusiana deve valer. Quando a população aumenta
Equação a diferenças
Atraso temporal
muito, algo deve conter a taxa de crescimento.
Bibliografia
38. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Crescimento Exponencial
R.A. Kraenkel
Populações
Modelos
Simples I:
Malthus
• Evidentemente, a previsão de crescimento exponencial não
Modelos
pode ser verdade de forma absoluta, pois teríamos
Simples II:
equação
populações enormes depois de um certo tempo ( digamos,
logística ocupando um espaço maior que a Terra...).
Generalizações
• Mas, nos estágios iniciais de crescimento de uma população
Comentários
Escalas podemos ter crescimento exponencial.
Espécies
Não-Interagentes
• Em outras palavras: quando a população não é muito grande,
O que ficou de
fora a lei malthusiana deve valer. Quando a população aumenta
Equação a diferenças
Atraso temporal
muito, algo deve conter a taxa de crescimento.Já veremos o
Bibliografia que mais adiante.
39. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Crescimento Exponencial
R.A. Kraenkel
Populações
Modelos
Simples I:
Malthus
• Evidentemente, a previsão de crescimento exponencial não
Modelos
pode ser verdade de forma absoluta, pois teríamos
Simples II:
equação
populações enormes depois de um certo tempo ( digamos,
logística ocupando um espaço maior que a Terra...).
Generalizações
• Mas, nos estágios iniciais de crescimento de uma população
Comentários
Escalas podemos ter crescimento exponencial.
Espécies
Não-Interagentes
• Em outras palavras: quando a população não é muito grande,
O que ficou de
fora a lei malthusiana deve valer. Quando a população aumenta
Equação a diferenças
Atraso temporal
muito, algo deve conter a taxa de crescimento.Já veremos o
Bibliografia que mais adiante.
• Primeiro, alguns exemplos.
40. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Crescimento Exponencial
R.A. Kraenkel
Populações
Modelos
Simples I:
Malthus
• Evidentemente, a previsão de crescimento exponencial não
Modelos
pode ser verdade de forma absoluta, pois teríamos
Simples II:
equação
populações enormes depois de um certo tempo ( digamos,
logística ocupando um espaço maior que a Terra...).
Generalizações
• Mas, nos estágios iniciais de crescimento de uma população
Comentários
Escalas podemos ter crescimento exponencial.
Espécies
Não-Interagentes
• Em outras palavras: quando a população não é muito grande,
O que ficou de
fora a lei malthusiana deve valer. Quando a população aumenta
Equação a diferenças
Atraso temporal
muito, algo deve conter a taxa de crescimento.Já veremos o
Bibliografia que mais adiante.
• Primeiro, alguns exemplos.
41. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Exemplos
R.A. Kraenkel
Populações
Modelos
Simples I:
Malthus
Modelos
Simples II:
equação
logística
Generalizações
Comentários
Escalas
Espécies
Não-Interagentes
O que ficou de
fora
Equação a diferenças
Atraso temporal
Bibliografia
Figure: A população dos E.U.A. Até 1920, o crescimento da população é bem
aproximado por uma exponencial. Depois, a taxa de crescimento diminui.
42. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Exemplos
R.A. Kraenkel
Populações
Modelos
Simples I:
Malthus
Modelos
Simples II:
equação
logística
Generalizações
Comentários
Escalas
Espécies
Não-Interagentes
O que ficou de
fora
Equação a diferenças
Atraso temporal
Bibliografia
Figure: A população da Jamaica apresenta uma taxa de crescimento exponencial entre
1860 e 1995l
43. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Exemplos
R.A. Kraenkel
Populações
Modelos
Simples I:
Malthus
Modelos
Simples II:
equação
logística
Generalizações
Comentários
Escalas
Espécies
Não-Interagentes
O que ficou de
fora
Equação a diferenças
Atraso temporal
Bibliografia
Figure: Crescimento de uma população de bactérias (Escherichia coli) em laboratório.
44. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Exemplos
R.A. Kraenkel
Populações
Modelos
Simples I:
Malthus
Modelos
Simples II:
equação
logística • Vemos que populações podem ter fases de crescimento
Generalizações
exponencial, mas que ao atingir níveis elevados este
Comentários
Escalas
crescimento é atenuado.
Espécies
Não-Interagentes • Ou seja, o crescimento sobre uma saturação.
O que ficou de
fora
Equação a diferenças
Atraso temporal
Bibliografia
45. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Alguns poréns
R.A. Kraenkel
Populações
Modelos
Simples I:
Malthus
Modelos
Simples II:
equação
• De forma geral vimos que o crescimento exponencial de uma
logística
população sofre uma saturação.
Generalizações
Comentários
Escalas
Espécies
Não-Interagentes
O que ficou de
fora
Equação a diferenças
Atraso temporal
Bibliografia
46. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Alguns poréns
R.A. Kraenkel
Populações
Modelos
Simples I:
Malthus
Modelos
Simples II:
equação
• De forma geral vimos que o crescimento exponencial de uma
logística
população sofre uma saturação.
Generalizações
• Mas não nos iludamos!
Comentários
Escalas
Espécies
Não-Interagentes
O que ficou de
fora
Equação a diferenças
Atraso temporal
Bibliografia
47. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Alguns poréns
R.A. Kraenkel
Populações
Modelos
Simples I:
Malthus
Modelos
Simples II:
equação
• De forma geral vimos que o crescimento exponencial de uma
logística
população sofre uma saturação.
Generalizações
• Mas não nos iludamos! O mundo tem coisas muito mais
Comentários
Escalas complexas que crescimento e sua saturação!
Espécies
Não-Interagentes
O que ficou de
fora
Equação a diferenças
Atraso temporal
Bibliografia
48. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Alguns poréns
R.A. Kraenkel
Populações
Modelos
Simples I:
Malthus
Modelos
Simples II:
equação
• De forma geral vimos que o crescimento exponencial de uma
logística
população sofre uma saturação.
Generalizações
• Mas não nos iludamos! O mundo tem coisas muito mais
Comentários
Escalas complexas que crescimento e sua saturação!
Espécies
Não-Interagentes
• Apenas mantenhamos na nossa mente que há padrões de
O que ficou de
fora evolução temporal como os a seguir:
Equação a diferenças
Atraso temporal
Bibliografia
49. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Alguns poréns
R.A. Kraenkel
Populações
Modelos
Simples I:
Malthus
Modelos
Simples II:
equação
logística
Generalizações
Comentários
Escalas
Espécies
Não-Interagentes
O que ficou de
fora
Equação a diferenças
Atraso temporal
Bibliografia Figure: População de raposas e coelhos num parque nacional americano.
50. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Alguns poréns
R.A. Kraenkel
Populações
Modelos
Simples I:
Malthus
Modelos
Simples II:
equação
logística
Generalizações
Comentários
Escalas
Espécies
Não-Interagentes
O que ficou de
fora
Equação a diferenças
Atraso temporal
Bibliografia Figure: População de raposas e coelhos num parque nacional americano.
⇒Não nos esqueçamos deste exemplo!.
51. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Modelos Simples II: equação
R.A. Kraenkel logística
Populações
Modelos
Simples I:
Malthus
Modelos
Simples II:
equação
logística
Generalizações
Comentários
Escalas
Espécies
Não-Interagentes
O que ficou de
fora
Equação a diferenças
Atraso temporal
Bibliografia
52. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Modelos Simples II: equação
R.A. Kraenkel logística
Populações
Modelos
Simples I:
Malthus • A forma mais simples de incluir um termo de saturação do
Modelos crescimento é modificar a equação malthusiana :
Simples II:
equação
logística
Generalizações
Comentários
Escalas
Espécies
Não-Interagentes
O que ficou de
fora
Equação a diferenças
Atraso temporal
Bibliografia
53. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Modelos Simples II: equação
R.A. Kraenkel logística
Populações
Modelos
Simples I:
Malthus • A forma mais simples de incluir um termo de saturação do
Modelos crescimento é modificar a equação malthusiana :
Simples II:
equação
logística
•
dN
Generalizações = rN − bN2
Comentários
dt
Escalas
Espécies
Não-Interagentes
O que ficou de
fora
Equação a diferenças
Atraso temporal
Bibliografia
54. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Modelos Simples II: equação
R.A. Kraenkel logística
Populações
Modelos
Simples I:
Malthus • A forma mais simples de incluir um termo de saturação do
Modelos crescimento é modificar a equação malthusiana :
Simples II:
equação
logística
•
dN
Generalizações = rN − bN2 ≡ rN(1 − N/K)
Comentários
dt
Escalas
Espécies
Não-Interagentes
O que ficou de
fora
Equação a diferenças
Atraso temporal
Bibliografia
55. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Modelos Simples II: equação
R.A. Kraenkel logística
Populações
Modelos
Simples I:
Malthus • A forma mais simples de incluir um termo de saturação do
Modelos crescimento é modificar a equação malthusiana :
Simples II:
equação
logística
•
dN
Generalizações = rN − bN2 ≡ rN(1 − N/K)
Comentários
dt
Escalas
Espécies
Não-Interagentes
• O termo −bN2 é sempre negativo ( assumimos b > 0),
O que ficou de
fora
Equação a diferenças
Atraso temporal
Bibliografia
56. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Modelos Simples II: equação
R.A. Kraenkel logística
Populações
Modelos
Simples I:
Malthus • A forma mais simples de incluir um termo de saturação do
Modelos crescimento é modificar a equação malthusiana :
Simples II:
equação
logística
•
dN
Generalizações = rN − bN2 ≡ rN(1 − N/K)
Comentários
dt
Escalas
Espécies
Não-Interagentes
• O termo −bN2 é sempre negativo ( assumimos b > 0),⇒
O que ficou de dN
fora tende a fazer dt
diminuir.
Equação a diferenças
Atraso temporal
Bibliografia
57. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Modelos Simples II: equação
R.A. Kraenkel logística
Populações
Modelos
Simples I:
Malthus • A forma mais simples de incluir um termo de saturação do
Modelos crescimento é modificar a equação malthusiana :
Simples II:
equação
logística
•
dN
Generalizações = rN − bN2 ≡ rN(1 − N/K)
Comentários
dt
Escalas
Espécies
Não-Interagentes
• O termo −bN2 é sempre negativo ( assumimos b > 0),⇒
O que ficou de dN
fora tende a fazer dt
diminuir.
Equação a diferenças
Atraso temporal • Para N/K 1, podemos fazer 1 − N/K ∼ 1 e
Bibliografia recuperamos a equação mathusiana.
58. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Modelos Simples II: equação
R.A. Kraenkel logística
Populações
Modelos
Simples I:
Malthus • A forma mais simples de incluir um termo de saturação do
Modelos crescimento é modificar a equação malthusiana :
Simples II:
equação
logística
•
dN
Generalizações = rN − bN2 ≡ rN(1 − N/K)
Comentários
dt
Escalas
Espécies
Não-Interagentes
• O termo −bN2 é sempre negativo ( assumimos b > 0),⇒
O que ficou de dN
fora tende a fazer dt
diminuir.
Equação a diferenças
Atraso temporal • Para N/K 1, podemos fazer 1 − N/K ∼ 1 e
Bibliografia recuperamos a equação mathusiana.
• Qual será a solução desta equação?
59. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Modelos Simples II: equação
R.A. Kraenkel logística
Populações
Modelos
Simples I:
Malthus • A forma mais simples de incluir um termo de saturação do
Modelos crescimento é modificar a equação malthusiana :
Simples II:
equação
logística
•
dN
Generalizações = rN − bN2 ≡ rN(1 − N/K)
Comentários
dt
Escalas
Espécies
Não-Interagentes
• O termo −bN2 é sempre negativo ( assumimos b > 0),⇒
O que ficou de dN
fora tende a fazer dt
diminuir.
Equação a diferenças
Atraso temporal • Para N/K 1, podemos fazer 1 − N/K ∼ 1 e
Bibliografia recuperamos a equação mathusiana.
• Qual será a solução desta equação?
• A propósito, esta equação é chamada de logística.
60. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Modelos Simples II: equação
R.A. Kraenkel logística
Populações
Modelos
Simples I:
Malthus • A forma mais simples de incluir um termo de saturação do
Modelos crescimento é modificar a equação malthusiana :
Simples II:
equação
logística
•
dN
Generalizações = rN − bN2 ≡ rN(1 − N/K)
Comentários
dt
Escalas
Espécies
Não-Interagentes
• O termo −bN2 é sempre negativo ( assumimos b > 0),⇒
O que ficou de dN
fora tende a fazer dt
diminuir.
Equação a diferenças
Atraso temporal • Para N/K 1, podemos fazer 1 − N/K ∼ 1 e
Bibliografia recuperamos a equação mathusiana.
• Qual será a solução desta equação?
• A propósito, esta equação é chamada de logística.
61. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Equação Logística
R.A. Kraenkel
Populações
Modelos
Simples I:
Malthus
Modelos
Simples II:
equação
logística
Generalizações
Comentários
Escalas
Espécies
Não-Interagentes
O que ficou de
fora
Equação a diferenças
Atraso temporal
Bibliografia
Figure: Pierre-François Verhust, introdutor da equação logística em 1838: “’Notice sur
la loi que la population pursuit dans son accroissement”
62. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Solução da Equação Logística
R.A. Kraenkel
Populações
Modelos
Simples I:
Malthus
Modelos • Podemos facilmente resolver a equação logístiica
Simples II: dN
equação
dt
= rN(1 − N/K).
logística
Generalizações
Comentários
Escalas
Espécies
Não-Interagentes
O que ficou de
fora
Equação a diferenças
Atraso temporal
Bibliografia
63. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Solução da Equação Logística
R.A. Kraenkel
Populações
Modelos
Simples I:
Malthus
Modelos • Podemos facilmente resolver a equação logístiica
Simples II: dN
equação
dt
= rN(1 − N/K).
logística
Generalizações
• Basta fazer dt = dN/(rN(1 − n/K)),
Comentários
Escalas
Espécies
Não-Interagentes
O que ficou de
fora
Equação a diferenças
Atraso temporal
Bibliografia
64. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Solução da Equação Logística
R.A. Kraenkel
Populações
Modelos
Simples I:
Malthus
Modelos • Podemos facilmente resolver a equação logístiica
Simples II: dN
equação
dt
= rN(1 − N/K).
logística
Generalizações
• Basta fazer dt = dN/(rN(1 − n/K)), integrar e
Comentários
Escalas
Espécies
Não-Interagentes
O que ficou de
fora
Equação a diferenças
Atraso temporal
Bibliografia
65. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Solução da Equação Logística
R.A. Kraenkel
Populações
Modelos
Simples I:
Malthus
Modelos • Podemos facilmente resolver a equação logístiica
Simples II: dN
equação
dt
= rN(1 − N/K).
logística
Generalizações
• Basta fazer dt = dN/(rN(1 − n/K)), integrar e obter:
Comentários
Escalas
Espécies
Não-Interagentes
O que ficou de
fora
Equação a diferenças
Atraso temporal
Bibliografia
66. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Solução da Equação Logística
R.A. Kraenkel
Populações
Modelos
Simples I:
Malthus
Modelos • Podemos facilmente resolver a equação logístiica
Simples II: dN
equação
dt
= rN(1 − N/K).
logística
Generalizações
• Basta fazer dt = dN/(rN(1 − n/K)), integrar e obter:
Comentários •
Escalas
N0 Kert
Espécies
Não-Interagentes N(t) =
O que ficou de
[K + N0 (ert − 1)]
fora
Equação a diferenças
Atraso temporal
Bibliografia
67. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Solução da Equação Logística
R.A. Kraenkel
Populações
Modelos
Simples I:
Malthus
Modelos • Podemos facilmente resolver a equação logístiica
Simples II: dN
equação
dt
= rN(1 − N/K).
logística
Generalizações
• Basta fazer dt = dN/(rN(1 − n/K)), integrar e obter:
Comentários •
Escalas
N0 Kert
Espécies
Não-Interagentes N(t) =
O que ficou de
[K + N0 (ert − 1)]
fora
Equação a diferenças
Atraso temporal • Eis aqui um gráfico da solução para diversos valores de N0 :
Bibliografia
68. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
R.A. Kraenkel
Populações
Modelos
Simples I:
Malthus
Modelos
Simples II:
equação
logística
Generalizações
Comentários
Escalas
Espécies
Não-Interagentes
O que ficou de
fora
Equação a diferenças
Atraso temporal Figure: Evolução temporal de uma população obedecendo a equação logística. Cada
Bibliografia
curva corresponde a uma diferente condição inicial. Vê-se que não importa qual condição
inicial, para t → ∞, teremos N → K
69. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Em outras palavras...
R.A. Kraenkel
Populações
Modelos
Simples I:
Malthus
Modelos
Simples II:
equação
logística
Generalizações
Comentários
Escalas
Espécies
Não-Interagentes
O que ficou de
fora
Equação a diferenças
Atraso temporal
Bibliografia
70. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Em outras palavras...
R.A. Kraenkel
Populações
Modelos
Simples I:
Malthus
Modelos • A equação
Simples II:
equação
logística
Generalizações
Comentários
Escalas
Espécies
Não-Interagentes
O que ficou de
fora
Equação a diferenças
Atraso temporal
Bibliografia
71. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Em outras palavras...
R.A. Kraenkel
Populações
Modelos
Simples I:
Malthus
Modelos • A equação
Simples II:
equação dN
logística = rN(1 − N/K)
Generalizações
dt
Comentários
Escalas
Espécies
Não-Interagentes
O que ficou de
fora
Equação a diferenças
Atraso temporal
Bibliografia
72. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Em outras palavras...
R.A. Kraenkel
Populações
Modelos
Simples I:
Malthus
Modelos • A equação
Simples II:
equação dN
logística = rN(1 − N/K)
Generalizações
dt
Comentários tem dois pontos fixos:
Escalas
Espécies
• N=0
Não-Interagentes
O que ficou de
fora
Equação a diferenças
Atraso temporal
Bibliografia
73. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Em outras palavras...
R.A. Kraenkel
Populações
Modelos
Simples I:
Malthus
Modelos • A equação
Simples II:
equação dN
logística = rN(1 − N/K)
Generalizações
dt
Comentários tem dois pontos fixos:
Escalas
Espécies
• N =0e
Não-Interagentes
• N = K,
O que ficou de
fora
Equação a diferenças
Atraso temporal
Bibliografia
74. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Em outras palavras...
R.A. Kraenkel
Populações
Modelos
Simples I:
Malthus
Modelos • A equação
Simples II:
equação dN
logística = rN(1 − N/K)
Generalizações
dt
Comentários tem dois pontos fixos:
Escalas
Espécies
• N =0e
Não-Interagentes
• N = K,
O que ficou de
fora • sendo primeiro instável e o segundo estável.
Equação a diferenças
Atraso temporal
Bibliografia
75. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Em outras palavras...
R.A. Kraenkel
Populações
Modelos
Simples I:
Malthus
Modelos • A equação
Simples II:
equação dN
logística = rN(1 − N/K)
Generalizações
dt
Comentários tem dois pontos fixos:
Escalas
Espécies
• N =0e
Não-Interagentes
• N = K,
O que ficou de
fora • sendo primeiro instável e o segundo estável.
Equação a diferenças
Atraso temporal • Ou ainda: K é um atrator.
Bibliografia
76. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Em outras palavras...
R.A. Kraenkel
Populações
Modelos
Simples I:
Malthus
Modelos • A equação
Simples II:
equação dN
logística = rN(1 − N/K)
Generalizações
dt
Comentários tem dois pontos fixos:
Escalas
Espécies
• N =0e
Não-Interagentes
• N = K,
O que ficou de
fora • sendo primeiro instável e o segundo estável.
Equação a diferenças
Atraso temporal • Ou ainda: K é um atrator.
Bibliografia
77. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Mais sobre a equação logística
R.A. Kraenkel
Populações
Modelos
Simples I:
Malthus • O termo quadrático
Modelos
Simples II:
equação
logística
Generalizações
Comentários
Escalas
Espécies
Não-Interagentes
O que ficou de
fora
Equação a diferenças
Atraso temporal
Bibliografia
78. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Mais sobre a equação logística
R.A. Kraenkel
Populações
Modelos
Simples I:
Malthus • O termo quadrático (rN2 /K) na equação logística
Modelos
Simples II:
equação
logística
Generalizações
Comentários
Escalas
Espécies
Não-Interagentes
O que ficou de
fora
Equação a diferenças
Atraso temporal
Bibliografia
79. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Mais sobre a equação logística
R.A. Kraenkel
Populações
Modelos
Simples I:
Malthus • O termo quadrático (rN2 /K) na equação logística
Modelos
Simples II:
equação dN
logística = rN(1 − N/K),
dt
Generalizações
Comentários modela a competição entre os indivíduos da população por
Escalas
Espécies recursos vitais.
Não-Interagentes
O que ficou de
fora
Equação a diferenças
Atraso temporal
Bibliografia
80. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Mais sobre a equação logística
R.A. Kraenkel
Populações
Modelos
Simples I:
Malthus • O termo quadrático (rN2 /K) na equação logística
Modelos
Simples II:
equação dN
logística = rN(1 − N/K),
dt
Generalizações
Comentários modela a competição entre os indivíduos da população por
Escalas
Espécies recursos vitais.
Não-Interagentes
O que ficou de • Exemplo:
fora
Equação a diferenças
• Espaço,
Atraso temporal
Bibliografia
81. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Mais sobre a equação logística
R.A. Kraenkel
Populações
Modelos
Simples I:
Malthus • O termo quadrático (rN2 /K) na equação logística
Modelos
Simples II:
equação dN
logística = rN(1 − N/K),
dt
Generalizações
Comentários modela a competição entre os indivíduos da população por
Escalas
Espécies recursos vitais.
Não-Interagentes
O que ficou de • Exemplo:
fora
Equação a diferenças
• Espaço,
Atraso temporal • Alimentos .
Bibliografia
82. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Mais sobre a equação logística
R.A. Kraenkel
Populações
Modelos
Simples I:
Malthus • O termo quadrático (rN2 /K) na equação logística
Modelos
Simples II:
equação dN
logística = rN(1 − N/K),
dt
Generalizações
Comentários modela a competição entre os indivíduos da população por
Escalas
Espécies recursos vitais.
Não-Interagentes
O que ficou de • Exemplo:
fora
Equação a diferenças
• Espaço,
Atraso temporal • Alimentos .
Bibliografia
• Chamamos esta competição de intra-específica.
83. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Equação logística
R.A. Kraenkel
Populações
Modelos Num lago com vitórias régias, evidentemente teremos competição
Simples I:
Malthus por espaço quando chegarmos próximos da capacidade de suporte
Modelos do lago:
Simples II:
equação
logística
Generalizações
Comentários
Escalas
Espécies
Não-Interagentes
O que ficou de
fora
Equação a diferenças
Atraso temporal
Bibliografia
No caso de árvores temos, portanto, uma competição por
nutrientes.
84. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Equação logística
R.A. Kraenkel
Populações
Modelos
Simples I: A mesma coisa acontece com a cobertura por flores numa
Malthus
plantação em uma área restrita:
Modelos
Simples II:
equação
logística
Generalizações
Comentários
Escalas
Espécies
Não-Interagentes
O que ficou de
fora
Equação a diferenças
Atraso temporal
Bibliografia
No caso de árvores temos, portanto, uma competição por
nutrientes.
85. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Equação logística
R.A. Kraenkel
Populações Árvores dependem essencialmente de nutrientes no solo. A
Modelos
Simples I:
quantidade limitada de destes limita a densidade de árvores.
Malthus
Exemplo: Em montanhas altas, a quantidade de água disponível
Modelos
Simples II:
no solo depende da altitude. Próximo de regioes suficientemente
equação
logística
altas, a água congela e não está disponível para “consumo”.
Generalizações Abaixo, a linha de árvores nos Alpes:
Comentários
Escalas
Espécies
Não-Interagentes
O que ficou de
fora
Equação a diferenças
Atraso temporal
Bibliografia
No caso de árvores temos, portanto, uma competição por
nutrientes.
86. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Nomenclatura
R.A. Kraenkel
Populações
Modelos
Simples I:
Malthus
Modelos
Simples II:
equação
logística
Generalizações
Comentários
Escalas
Espécies
Não-Interagentes
O que ficou de
fora
Equação a diferenças
Atraso temporal
Bibliografia
87. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Nomenclatura
R.A. Kraenkel
Populações
Modelos
Simples I:
Malthus
Modelos
Simples II: • A constante K que aparece na equação logística,
equação
logística
Generalizações
Comentários
Escalas
Espécies
Não-Interagentes
O que ficou de
fora
Equação a diferenças
Atraso temporal
Bibliografia
88. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Nomenclatura
R.A. Kraenkel
Populações
Modelos
Simples I:
Malthus
Modelos
Simples II: • A constante K que aparece na equação logística,
equação
logística
dN
Generalizações = rN(1 − N/K)
Comentários dt
Escalas
Espécies
Não-Interagentes
O que ficou de
fora
Equação a diferenças
Atraso temporal
Bibliografia
89. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Nomenclatura
R.A. Kraenkel
Populações
Modelos
Simples I:
Malthus
Modelos
Simples II: • A constante K que aparece na equação logística,
equação
logística
dN
Generalizações = rN(1 − N/K)
Comentários dt
Escalas
Espécies
Não-Interagentes
é usualmente conhecida por capacidade de suporte do meio.
O que ficou de
fora
Equação a diferenças
Atraso temporal
Bibliografia
90. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Nomenclatura
R.A. Kraenkel
Populações
Modelos
Simples I:
Malthus
Modelos
Simples II: • A constante K que aparece na equação logística,
equação
logística
dN
Generalizações = rN(1 − N/K)
Comentários dt
Escalas
Espécies
Não-Interagentes
é usualmente conhecida por capacidade de suporte do meio.
O que ficou de • Como vimos, a população tende ao valor limite K para
fora
Equação a diferenças grandes tempos.
Atraso temporal
Bibliografia
91. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Glória e Miséria da Equação
R.A. Kraenkel Logística
Populações
Modelos
Simples I:
Malthus
Modelos
Simples II:
equação
logística
Generalizações
Comentários
Escalas
Espécies
Não-Interagentes
O que ficou de
fora
Equação a diferenças
Atraso temporal
Bibliografia
92. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Glória e Miséria da Equação
R.A. Kraenkel Logística
Populações
Modelos
Simples I: Glórias
Malthus
Modelos
Simples II:
equação
logística
Generalizações
Comentários
Escalas
Espécies
Não-Interagentes
O que ficou de
fora
Equação a diferenças
Atraso temporal
Bibliografia
93. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Glória e Miséria da Equação
R.A. Kraenkel Logística
Populações
Modelos
Simples I: Glórias
Malthus
Modelos • Ela é simples e solúvel.
Simples II:
equação
logística
Generalizações
Comentários
Escalas
Espécies
Não-Interagentes
O que ficou de
fora
Equação a diferenças
Atraso temporal
Bibliografia
94. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Glória e Miséria da Equação
R.A. Kraenkel Logística
Populações
Modelos
Simples I: Glórias
Malthus
Modelos • Ela é simples e solúvel.
Simples II:
equação • Ela permite introduzir o conceito de capacidade de suporte.
logística
Generalizações
Comentários
Escalas
Espécies
Não-Interagentes
O que ficou de
fora
Equação a diferenças
Atraso temporal
Bibliografia
95. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Glória e Miséria da Equação
R.A. Kraenkel Logística
Populações
Modelos
Simples I: Glórias
Malthus
Modelos • Ela é simples e solúvel.
Simples II:
equação • Ela permite introduzir o conceito de capacidade de suporte.
logística
• ela aproxima bem alguns dos fenômenos observados na natureza.
Generalizações
Comentários
Escalas
Espécies
Não-Interagentes
O que ficou de
fora
Equação a diferenças
Atraso temporal
Bibliografia
96. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Glória e Miséria da Equação
R.A. Kraenkel Logística
Populações
Modelos
Simples I: Glórias
Malthus
Modelos • Ela é simples e solúvel.
Simples II:
equação • Ela permite introduzir o conceito de capacidade de suporte.
logística
• ela aproxima bem alguns dos fenômenos observados na natureza.
Generalizações
Comentários
Escalas
Espécies
Misérias
Não-Interagentes
O que ficou de
fora
Equação a diferenças
Atraso temporal
Bibliografia
97. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Glória e Miséria da Equação
R.A. Kraenkel Logística
Populações
Modelos
Simples I: Glórias
Malthus
Modelos • Ela é simples e solúvel.
Simples II:
equação • Ela permite introduzir o conceito de capacidade de suporte.
logística
• ela aproxima bem alguns dos fenômenos observados na natureza.
Generalizações
Comentários
Escalas
Espécies
Misérias
Não-Interagentes
O que ficou de
• Ela é simples demais.
fora
Equação a diferenças
Atraso temporal
Bibliografia
98. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Glória e Miséria da Equação
R.A. Kraenkel Logística
Populações
Modelos
Simples I: Glórias
Malthus
Modelos • Ela é simples e solúvel.
Simples II:
equação • Ela permite introduzir o conceito de capacidade de suporte.
logística
• ela aproxima bem alguns dos fenômenos observados na natureza.
Generalizações
Comentários
Escalas
Espécies
Misérias
Não-Interagentes
O que ficou de
• Ela é simples demais.
fora • Muito da dinâmica que se observa não é compatível com ela..
Equação a diferenças
Atraso temporal
Bibliografia
99. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Glória e Miséria da Equação
R.A. Kraenkel Logística
Populações
Modelos
Simples I: Glórias
Malthus
Modelos • Ela é simples e solúvel.
Simples II:
equação • Ela permite introduzir o conceito de capacidade de suporte.
logística
• ela aproxima bem alguns dos fenômenos observados na natureza.
Generalizações
Comentários
Escalas
Espécies
Misérias
Não-Interagentes
O que ficou de
• Ela é simples demais.
fora • Muito da dinâmica que se observa não é compatível com ela..
Equação a diferenças
Atraso temporal
Bibliografia
Por que eu devo gostar da Equação Logística
100. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Glória e Miséria da Equação
R.A. Kraenkel Logística
Populações
Modelos
Simples I: Glórias
Malthus
Modelos • Ela é simples e solúvel.
Simples II:
equação • Ela permite introduzir o conceito de capacidade de suporte.
logística
• ela aproxima bem alguns dos fenômenos observados na natureza.
Generalizações
Comentários
Escalas
Espécies
Misérias
Não-Interagentes
O que ficou de
• Ela é simples demais.
fora • Muito da dinâmica que se observa não é compatível com ela..
Equação a diferenças
Atraso temporal
Bibliografia
Por que eu devo gostar da Equação Logística
Ela é um modelo mínimo o qual pode servir de base a generalizações e modificações.
101. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Glória e Miséria da Equação
R.A. Kraenkel Logística
Populações
Modelos
Simples I: Glórias
Malthus
Modelos • Ela é simples e solúvel.
Simples II:
equação • Ela permite introduzir o conceito de capacidade de suporte.
logística
• ela aproxima bem alguns dos fenômenos observados na natureza.
Generalizações
Comentários
Escalas
Espécies
Misérias
Não-Interagentes
O que ficou de
• Ela é simples demais.
fora • Muito da dinâmica que se observa não é compatível com ela..
Equação a diferenças
Atraso temporal
Bibliografia
Por que eu devo gostar da Equação Logística
Ela é um modelo mínimo o qual pode servir de base a generalizações e modificações.
102. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Generalizações
R.A. Kraenkel
Populações
Modelos
Simples I:
Malthus
Modelos
Simples II:
equação
logística
Generalizações
Comentários
Escalas
Espécies
Não-Interagentes
O que ficou de
fora
Equação a diferenças
Atraso temporal
Bibliografia
103. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Generalizações
R.A. Kraenkel
Populações
Modelos
Simples I:
Malthus
• Uma forma de ir além da equação logística é tomar:
Modelos
Simples II:
equação
logística
Generalizações
Comentários
Escalas
Espécies
Não-Interagentes
O que ficou de
fora
Equação a diferenças
Atraso temporal
Bibliografia
104. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Generalizações
R.A. Kraenkel
Populações
Modelos
Simples I:
Malthus
• Uma forma de ir além da equação logística é tomar:
Modelos
Simples II:
equação dN(t)
logística = F (N)
Generalizações dt
Comentários
Escalas
Espécies
Não-Interagentes
O que ficou de
fora
Equação a diferenças
Atraso temporal
Bibliografia
105. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Generalizações
R.A. Kraenkel
Populações
Modelos
Simples I:
Malthus
• Uma forma de ir além da equação logística é tomar:
Modelos
Simples II:
equação dN(t)
logística = F (N)
Generalizações dt
Comentários
Escalas
onde F é uma função dada de N.
Espécies
Não-Interagentes
O que ficou de
fora
Equação a diferenças
Atraso temporal
Bibliografia
106. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Generalizações
R.A. Kraenkel
Populações
Modelos
Simples I:
Malthus
• Uma forma de ir além da equação logística é tomar:
Modelos
Simples II:
equação dN(t)
logística = F (N)
Generalizações dt
Comentários
Escalas
onde F é uma função dada de N.
Espécies
Não-Interagentes • Alguns exemplos seriam:
O que ficou de
fora
Equação a diferenças
Atraso temporal
Bibliografia
107. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Generalizações
R.A. Kraenkel
Populações
Modelos
Simples I:
Malthus
• Uma forma de ir além da equação logística é tomar:
Modelos
Simples II:
equação dN(t)
logística = F (N)
Generalizações dt
Comentários
Escalas
onde F é uma função dada de N.
Espécies
Não-Interagentes • Alguns exemplos seriam:
O que ficou de BN2
fora
• F (N) = rN(1 − N/K) − (A2 +N2 )
Equação a diferenças
Atraso temporal
Bibliografia
108. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Generalizações
R.A. Kraenkel
Populações
Modelos
Simples I:
Malthus
• Uma forma de ir além da equação logística é tomar:
Modelos
Simples II:
equação dN(t)
logística = F (N)
Generalizações dt
Comentários
Escalas
onde F é uma função dada de N.
Espécies
Não-Interagentes • Alguns exemplos seriam:
O que ficou de BN2
fora
• F (N) = rN(1 − N/K) − (A2 +N2 )
Equação a diferenças
Atraso temporal
• F (N) = −aN + bN2 − cN 3
Bibliografia
109. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Generalizações
R.A. Kraenkel
Populações
Modelos
Simples I:
Malthus
• Uma forma de ir além da equação logística é tomar:
Modelos
Simples II:
equação dN(t)
logística = F (N)
Generalizações dt
Comentários
Escalas
onde F é uma função dada de N.
Espécies
Não-Interagentes • Alguns exemplos seriam:
O que ficou de BN2
fora
• F (N) = rN(1 − N/K) − (A2 +N2 )
Equação a diferenças
Atraso temporal
• F (N) = −aN + bN2 − cN 3
q
Bibliografia • F (N) = L − rN + s mqN q
+N
110. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Generalizações
R.A. Kraenkel
Populações
Modelos
Simples I:
Malthus
• Uma forma de ir além da equação logística é tomar:
Modelos
Simples II:
equação dN(t)
logística = F (N)
Generalizações dt
Comentários
Escalas
onde F é uma função dada de N.
Espécies
Não-Interagentes • Alguns exemplos seriam:
O que ficou de BN2
fora
• F (N) = rN(1 − N/K) − (A2 +N2 )
Equação a diferenças
Atraso temporal
• F (N) = −aN + bN2 − cN 3
q
Bibliografia • F (N) = L − rN + s mqN q
+N
111. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Generalizações
R.A. Kraenkel
Populações
Modelos
Simples I:
Malthus
Modelos
Simples II:
equação
logística
Generalizações
Comentários
Escalas
Espécies
Não-Interagentes
O que ficou de
fora
Equação a diferenças
Atraso temporal
Bibliografia
112. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Generalizações
R.A. Kraenkel
Populações
Modelos
Simples I:
Malthus
Modelos
Simples II:
• De uma forma geral, para estudar estas generalizações, não
equação
logística
necessariamente resolvemos a equação diferencial.
Generalizações
Comentários
Escalas
Espécies
Não-Interagentes
O que ficou de
fora
Equação a diferenças
Atraso temporal
Bibliografia
113. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Generalizações
R.A. Kraenkel
Populações
Modelos
Simples I:
Malthus
Modelos
Simples II:
• De uma forma geral, para estudar estas generalizações, não
equação
logística
necessariamente resolvemos a equação diferencial.
Generalizações • Recorremos antes a uma análise qualitativa:
Comentários
Escalas
Espécies
Não-Interagentes
O que ficou de
fora
Equação a diferenças
Atraso temporal
Bibliografia
114. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Generalizações
R.A. Kraenkel
Populações
Modelos
Simples I:
Malthus
Modelos
Simples II:
• De uma forma geral, para estudar estas generalizações, não
equação
logística
necessariamente resolvemos a equação diferencial.
Generalizações • Recorremos antes a uma análise qualitativa:
Comentários • Procuramos os pontos fixos, N ∗ , dados por F(N ∗ ) = 0.
Escalas
Espécies
Não-Interagentes
O que ficou de
fora
Equação a diferenças
Atraso temporal
Bibliografia
115. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Generalizações
R.A. Kraenkel
Populações
Modelos
Simples I:
Malthus
Modelos
Simples II:
• De uma forma geral, para estudar estas generalizações, não
equação
logística
necessariamente resolvemos a equação diferencial.
Generalizações • Recorremos antes a uma análise qualitativa:
Comentários • Procuramos os pontos fixos, N ∗ , dados por F(N ∗ ) = 0.
Escalas
• Em posse de N ∗ determinamos a sua estabilidade.
Espécies
Não-Interagentes
O que ficou de
fora
Equação a diferenças
Atraso temporal
Bibliografia
116. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Generalizações
R.A. Kraenkel
Populações
Modelos
Simples I:
Malthus
Modelos
Simples II:
• De uma forma geral, para estudar estas generalizações, não
equação
logística
necessariamente resolvemos a equação diferencial.
Generalizações • Recorremos antes a uma análise qualitativa:
Comentários • Procuramos os pontos fixos, N ∗ , dados por F(N ∗ ) = 0.
Escalas
• Em posse de N ∗ determinamos a sua estabilidade.
Espécies
Não-Interagentes
• Tente fazer este exercício para as funções da transparência
O que ficou de anterior.
fora
Equação a diferenças
Atraso temporal
Bibliografia
117. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Generalizações
R.A. Kraenkel
Populações
Modelos
Simples I:
Malthus
Modelos
Simples II:
• De uma forma geral, para estudar estas generalizações, não
equação
logística
necessariamente resolvemos a equação diferencial.
Generalizações • Recorremos antes a uma análise qualitativa:
Comentários • Procuramos os pontos fixos, N ∗ , dados por F(N ∗ ) = 0.
Escalas
• Em posse de N ∗ determinamos a sua estabilidade.
Espécies
Não-Interagentes
• Tente fazer este exercício para as funções da transparência
O que ficou de anterior.
fora
Equação a diferenças
Atraso temporal
• Desta forma podemos ter uma visão qualitativa da dinâmica.
Bibliografia
118. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Generalizações
R.A. Kraenkel
Populações
Modelos
Simples I:
Malthus
Modelos
Simples II:
• De uma forma geral, para estudar estas generalizações, não
equação
logística
necessariamente resolvemos a equação diferencial.
Generalizações • Recorremos antes a uma análise qualitativa:
Comentários • Procuramos os pontos fixos, N ∗ , dados por F(N ∗ ) = 0.
Escalas
• Em posse de N ∗ determinamos a sua estabilidade.
Espécies
Não-Interagentes
• Tente fazer este exercício para as funções da transparência
O que ficou de anterior.
fora
Equação a diferenças
Atraso temporal
• Desta forma podemos ter uma visão qualitativa da dinâmica.
Bibliografia
119. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Comentários I
R.A. Kraenkel
Populações
Modelos
Simples I:
Malthus • A equação malthusiana introduziu uma parâmetr r,
Modelos
Simples II:
equação
logística
Generalizações
Comentários
Escalas
Espécies
Não-Interagentes
O que ficou de
fora
Equação a diferenças
Atraso temporal
Bibliografia
120. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Comentários I
R.A. Kraenkel
Populações
Modelos
Simples I:
Malthus • A equação malthusiana introduziu uma parâmetr r, que tem
Modelos dimensões de tempo−1 .
Simples II:
equação
logística
Generalizações
Comentários
Escalas
Espécies
Não-Interagentes
O que ficou de
fora
Equação a diferenças
Atraso temporal
Bibliografia
121. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Comentários I
R.A. Kraenkel
Populações
Modelos
Simples I:
Malthus • A equação malthusiana introduziu uma parâmetr r, que tem
Modelos dimensões de tempo−1 .
Simples II:
equação • Ou seja, r−1 define uma escala de tempo.
logística
Generalizações
Comentários
Escalas
Espécies
Não-Interagentes
O que ficou de
fora
Equação a diferenças
Atraso temporal
Bibliografia
122. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Comentários I
R.A. Kraenkel
Populações
Modelos
Simples I:
Malthus • A equação malthusiana introduziu uma parâmetr r, que tem
Modelos dimensões de tempo−1 .
Simples II:
equação • Ou seja, r−1 define uma escala de tempo.
logística
• A equação logística utiliza igualmente um parâmetro
Generalizações
Comentários
adicional, K.
Escalas
Espécies
Não-Interagentes
O que ficou de
fora
Equação a diferenças
Atraso temporal
Bibliografia
123. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Comentários I
R.A. Kraenkel
Populações
Modelos
Simples I:
Malthus • A equação malthusiana introduziu uma parâmetr r, que tem
Modelos dimensões de tempo−1 .
Simples II:
equação • Ou seja, r−1 define uma escala de tempo.
logística
• A equação logística utiliza igualmente um parâmetro
Generalizações
Comentários
adicional, K.
Escalas • K define uma escala para o tamanho das populações.
Espécies
Não-Interagentes
O que ficou de
fora
Equação a diferenças
Atraso temporal
Bibliografia
124. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Comentários I
R.A. Kraenkel
Populações
Modelos
Simples I:
Malthus • A equação malthusiana introduziu uma parâmetr r, que tem
Modelos dimensões de tempo−1 .
Simples II:
equação • Ou seja, r−1 define uma escala de tempo.
logística
• A equação logística utiliza igualmente um parâmetro
Generalizações
Comentários
adicional, K.
Escalas • K define uma escala para o tamanho das populações.
Espécies
Não-Interagentes
• Escalas de tempo e espaço são importantes.
O que ficou de
fora
Equação a diferenças
Atraso temporal
Bibliografia
125. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Comentários I
R.A. Kraenkel
Populações
Modelos
Simples I:
Malthus • A equação malthusiana introduziu uma parâmetr r, que tem
Modelos dimensões de tempo−1 .
Simples II:
equação • Ou seja, r−1 define uma escala de tempo.
logística
• A equação logística utiliza igualmente um parâmetro
Generalizações
Comentários
adicional, K.
Escalas • K define uma escala para o tamanho das populações.
Espécies
Não-Interagentes
• Escalas de tempo e espaço são importantes.
O que ficou de
fora • Devemos ter sempre em mente que a modelagem de uma
Equação a diferenças
Atraso temporal situação é válida em certas escalas.
Bibliografia
126. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Comentários I
R.A. Kraenkel
Populações
Modelos
Simples I:
Malthus • A equação malthusiana introduziu uma parâmetr r, que tem
Modelos dimensões de tempo−1 .
Simples II:
equação • Ou seja, r−1 define uma escala de tempo.
logística
• A equação logística utiliza igualmente um parâmetro
Generalizações
Comentários
adicional, K.
Escalas • K define uma escala para o tamanho das populações.
Espécies
Não-Interagentes
• Escalas de tempo e espaço são importantes.
O que ficou de
fora • Devemos ter sempre em mente que a modelagem de uma
Equação a diferenças
Atraso temporal situação é válida em certas escalas.
Bibliografia
• Vejamos um exemplo.
127. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Comentários I
R.A. Kraenkel
Populações
Modelos
Simples I:
Malthus • A equação malthusiana introduziu uma parâmetr r, que tem
Modelos dimensões de tempo−1 .
Simples II:
equação • Ou seja, r−1 define uma escala de tempo.
logística
• A equação logística utiliza igualmente um parâmetro
Generalizações
Comentários
adicional, K.
Escalas • K define uma escala para o tamanho das populações.
Espécies
Não-Interagentes
• Escalas de tempo e espaço são importantes.
O que ficou de
fora • Devemos ter sempre em mente que a modelagem de uma
Equação a diferenças
Atraso temporal situação é válida em certas escalas.
Bibliografia
• Vejamos um exemplo.
128. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Comentários I:População humana
R.A. Kraenkel
Populações
Modelos
Simples I:
Malthus
Modelos
Simples II:
equação
logística
Generalizações
Comentários
Escalas
Espécies
Não-Interagentes
O que ficou de
fora
Equação a diferenças Figure: População da Europa entre 1000 e 1700
Atraso temporal
Bibliografia
129. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Comentários I:População humana
R.A. Kraenkel
Populações
Modelos
Simples I:
Malthus
Modelos
Simples II:
equação
logística
Generalizações
Comentários
Escalas
Espécies
Não-Interagentes
O que ficou de
fora
Equação a diferenças Figure: População da Terra entre 500 e 2000
Atraso temporal
Bibliografia
130. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Comentários I:População humana
R.A. Kraenkel
Populações
Modelos
Simples I:
Malthus
Modelos
Simples II:
equação
logística
Generalizações
Comentários
Escalas
Espécies
Não-Interagentes
O que ficou de
fora
Equação a diferenças
Figure: População da Terra entre 500 e 2000, com indica¸ao da peste
Atraso temporal bubônica.
Bibliografia
131. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Comentários I:População humana
R.A. Kraenkel
Populações
Modelos
Simples I:
Malthus
Modelos
Simples II:
equação
logística
Generalizações
Comentários
Escalas
Espécies
Não-Interagentes
O que ficou de
fora
Equação a diferenças Figure: População da Terra estimada entre -4000 e 2000
Atraso temporal
Bibliografia
132. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Comentários I:População humana
R.A. Kraenkel
Populações
Modelos
Simples I:
Malthus
Modelos
Simples II:
equação
logística
Generalizações
• Conforme olhemos a população humana em certas escalas de
Comentários tempo e espaço, veremos diferentes feições dominantes.
Escalas
Espécies • Modelagem matemática sempre é válida em dadas escalas.
Não-Interagentes
O que ficou de
fora
Equação a diferenças
Atraso temporal
Bibliografia
133. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Comentários II
R.A. Kraenkel
Populações
Modelos
Simples I:
Malthus • A visão até aqui desenvolvida considera uma população
Modelos independentemente das outras.
Simples II:
equação
logística
Generalizações
Comentários
Escalas
Espécies
Não-Interagentes
O que ficou de
fora
Equação a diferenças
Atraso temporal
Bibliografia
134. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Comentários II
R.A. Kraenkel
Populações
Modelos
Simples I:
Malthus • A visão até aqui desenvolvida considera uma população
Modelos independentemente das outras.
Simples II:
equação • Sabemos, no entanto, que as mais diversas espécies vivem
logística
em redes interagentes
Generalizações
Comentários
Escalas
Espécies
Não-Interagentes
O que ficou de
fora
Equação a diferenças
Atraso temporal
Bibliografia
135. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Comentários II
R.A. Kraenkel
Populações
Modelos
Simples I:
Malthus • A visão até aqui desenvolvida considera uma população
Modelos independentemente das outras.
Simples II:
equação • Sabemos, no entanto, que as mais diversas espécies vivem
logística
em redes interagentes
Generalizações
• Animais compettem por alimento
Comentários
Escalas
Espécies
Não-Interagentes
O que ficou de
fora
Equação a diferenças
Atraso temporal
Bibliografia
136. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Comentários II
R.A. Kraenkel
Populações
Modelos
Simples I:
Malthus • A visão até aqui desenvolvida considera uma população
Modelos independentemente das outras.
Simples II:
equação • Sabemos, no entanto, que as mais diversas espécies vivem
logística
em redes interagentes
Generalizações
• Animais compettem por alimento
Comentários
Escalas
• Espécies se alimentam umas das outras
Espécies
Não-Interagentes
O que ficou de
fora
Equação a diferenças
Atraso temporal
Bibliografia
137. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Comentários II
R.A. Kraenkel
Populações
Modelos
Simples I:
Malthus • A visão até aqui desenvolvida considera uma população
Modelos independentemente das outras.
Simples II:
equação • Sabemos, no entanto, que as mais diversas espécies vivem
logística
em redes interagentes
Generalizações
• Animais compettem por alimento
Comentários
Escalas
• Espécies se alimentam umas das outras
Espécies
Não-Interagentes
• Indivíduos passam de uma classe para outra ( susceptível,
O que ficou de infectado, recuperado)
fora
Equação a diferenças
Atraso temporal
Bibliografia
138. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Comentários II
R.A. Kraenkel
Populações
Modelos
Simples I:
Malthus • A visão até aqui desenvolvida considera uma população
Modelos independentemente das outras.
Simples II:
equação • Sabemos, no entanto, que as mais diversas espécies vivem
logística
em redes interagentes
Generalizações
• Animais compettem por alimento
Comentários
Escalas
• Espécies se alimentam umas das outras
Espécies
Não-Interagentes
• Indivíduos passam de uma classe para outra ( susceptível,
O que ficou de infectado, recuperado)
fora
Equação a diferenças • Em suma:
Atraso temporal
Bibliografia
139. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Comentários II
R.A. Kraenkel
Populações
Modelos
Simples I:
Malthus • A visão até aqui desenvolvida considera uma população
Modelos independentemente das outras.
Simples II:
equação • Sabemos, no entanto, que as mais diversas espécies vivem
logística
em redes interagentes
Generalizações
• Animais compettem por alimento
Comentários
Escalas
• Espécies se alimentam umas das outras
Espécies
Não-Interagentes
• Indivíduos passam de uma classe para outra ( susceptível,
O que ficou de infectado, recuperado)
fora
Equação a diferenças • Em suma:“a quantidade de ratos depende da quantidade de
Atraso temporal
gatos que depende da quantidade de cachorros, que...”.
Bibliografia
• Tais redes podem ser bastante complicadas.