Quarta aula do curso de verão em métodos matemáticos em biologia de populações no IFT-UNESP em 2/2008.
Fourth lecture on Mathematical Methods in POpulation Biology ( in portuguese). Feb'08, given at the Institute for Theoretical Physics in São Paulo. Undergrads level.
Métodos Matemáticos em Epidemias: A Peste de Atenas
1. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
R.A. Kraenkel
Epidemias
Histórias...
Modelos
Métodos Matemáticos em Biologia de
Glórias e Misérias
Vegetação em
Populações
regiões
Semi-áridas
Regiões semi-áridas e
áridas
Modelo Roberto André Kraenkel
Histerese
Glóris e Misérias
Instituto de Física Teórica-UNESP
São Paulo
http://www.ift.unesp.br/users/kraenkel
Aula IV
2. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
A aula de hoje
R.A. Kraenkel
Epidemias
Histórias...
Modelos
Glórias e Misérias
1 Epidemias
Vegetação em Histórias...
regiões
Semi-áridas Modelos
Regiões semi-áridas e
áridas Glórias e Misérias
Modelo
Histerese
Glóris e Misérias
3. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
A aula de hoje
R.A. Kraenkel
Epidemias
Histórias...
Modelos
Glórias e Misérias
1 Epidemias
Vegetação em Histórias...
regiões
Semi-áridas Modelos
Regiões semi-áridas e
áridas Glórias e Misérias
Modelo
Histerese
Glóris e Misérias
2 Vegetação em regiões Semi-áridas
Regiões semi-áridas e áridas
Modelo
Histerese
Glóris e Misérias
4. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Epidemias: histórias
R.A. Kraenkel
Parta logo, vá para longe e tarde em voltar. (Hipócrates).
Epidemias
Histórias...
Modelos
A Peste de Atenas.
Glórias e Misérias • A peste de Atenas foi uma
Vegetação em epidemia que grassou em
regiões 430(AC) em Atenas, durante
Semi-áridas
a Guerra do Peloponeso.
Regiões semi-áridas e
áridas
Modelo
Histerese
Glóris e Misérias
5. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Epidemias: histórias
R.A. Kraenkel
Parta logo, vá para longe e tarde em voltar. (Hipócrates).
Epidemias
Histórias...
Modelos
A Peste de Atenas.
Glórias e Misérias • A peste de Atenas foi uma
Vegetação em epidemia que grassou em
regiões 430(AC) em Atenas, durante
Semi-áridas
a Guerra do Peloponeso.
Regiões semi-áridas e
áridas
Modelo
• Foi relatada por Tucídides:
Histerese calores, sufocamento,
Glóris e Misérias convulsões , necroses dos
dedos, ..morte.
6. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Epidemias: histórias
R.A. Kraenkel
Parta logo, vá para longe e tarde em voltar. (Hipócrates).
Epidemias
Histórias...
Modelos
A Peste de Atenas.
Glórias e Misérias • A peste de Atenas foi uma
Vegetação em epidemia que grassou em
regiões 430(AC) em Atenas, durante
Semi-áridas
a Guerra do Peloponeso.
Regiões semi-áridas e
áridas
Modelo
• Foi relatada por Tucídides:
Histerese calores, sufocamento,
Glóris e Misérias convulsões , necroses dos
dedos, ..morte.
• 1/3 da população foi
dizimada.
7. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Epidemias: histórias
R.A. Kraenkel
Parta logo, vá para longe e tarde em voltar. (Hipócrates).
Epidemias
Histórias...
Modelos
A Peste de Atenas.
Glórias e Misérias • A peste de Atenas foi uma
Vegetação em epidemia que grassou em
regiões 430(AC) em Atenas, durante
Semi-áridas
a Guerra do Peloponeso.
Regiões semi-áridas e
áridas
Modelo
• Foi relatada por Tucídides:
Histerese calores, sufocamento,
Glóris e Misérias convulsões , necroses dos
dedos, ..morte.
• 1/3 da população foi
dizimada. Pericles, inclusive.
8. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Epidemias: histórias
R.A. Kraenkel
Parta logo, vá para longe e tarde em voltar. (Hipócrates).
Epidemias
Histórias...
Modelos
A Peste de Atenas.
Glórias e Misérias • A peste de Atenas foi uma
Vegetação em epidemia que grassou em
regiões 430(AC) em Atenas, durante
Semi-áridas
a Guerra do Peloponeso.
Regiões semi-áridas e
áridas
Modelo
• Foi relatada por Tucídides:
Histerese calores, sufocamento,
Glóris e Misérias convulsões , necroses dos
dedos, ..morte.
• 1/3 da população foi
dizimada. Pericles, inclusive.
• Não se sabe que doença foi a
causadora da epidemia.
9. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Epidemias: histórias
R.A. Kraenkel
Parta logo, vá para longe e tarde em voltar. (Hipócrates).
Epidemias
Histórias...
Modelos
A Peste de Atenas.
Glórias e Misérias • A peste de Atenas foi uma
Vegetação em epidemia que grassou em
regiões 430(AC) em Atenas, durante
Semi-áridas
a Guerra do Peloponeso.
Regiões semi-áridas e
áridas
Modelo
• Foi relatada por Tucídides:
Histerese calores, sufocamento,
Glóris e Misérias convulsões , necroses dos
dedos, ..morte.
• 1/3 da população foi
dizimada. Pericles, inclusive.
• Não se sabe que doença foi a
causadora da epidemia.Tifo
epidêmico é a mais provável.
transmitida entre animais e o
homem por meio de piolhos.
10. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Epidemias: histórias
R.A. Kraenkel
Parta logo, vá para longe e tarde em voltar. (Hipócrates).
Epidemias
Histórias...
Modelos
A Peste de Atenas.
Glórias e Misérias • A peste de Atenas foi uma
Vegetação em epidemia que grassou em
regiões 430(AC) em Atenas, durante
Semi-áridas
a Guerra do Peloponeso.
Regiões semi-áridas e
áridas
Modelo
• Foi relatada por Tucídides:
Histerese calores, sufocamento,
Glóris e Misérias convulsões , necroses dos
dedos, ..morte.
• 1/3 da população foi
dizimada. Pericles, inclusive.
• Não se sabe que doença foi a
causadora da epidemia.Tifo
epidêmico é a mais provável.
transmitida entre animais e o
homem por meio de piolhos.
• A epidemia aparentemente
veio se alastrando a partir da
África.
11. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Epidemias: histórias
R.A. Kraenkel
Parta logo, vá para longe e tarde em voltar. (Hipócrates).
Epidemias
Histórias...
Modelos
A Peste de Atenas.
Glórias e Misérias • A peste de Atenas foi uma
Vegetação em epidemia que grassou em
regiões 430(AC) em Atenas, durante
Semi-áridas
a Guerra do Peloponeso.
Regiões semi-áridas e
áridas
Modelo
• Foi relatada por Tucídides:
Histerese calores, sufocamento,
Glóris e Misérias convulsões , necroses dos
dedos, ..morte.
• 1/3 da população foi
dizimada. Pericles, inclusive.
• Não se sabe que doença foi a
causadora da epidemia.Tifo
epidêmico é a mais provável.
transmitida entre animais e o
homem por meio de piolhos.
• A epidemia aparentemente
veio se alastrando a partir da
África.
12. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Epidemias: histórias
R.A. Kraenkel Dizem alguns que a única garantia contra os germes é a fuga. (Bocaccio, no
Decameron).
Epidemias
Histórias...
Modelos
Glórias e Misérias
A Peste.
Vegetação em • A peste é uma doença
regiões
Semi-áridas infecciosa causada pela
Regiões semi-áridas e
áridas
bactéria Yersinia pestis.
Modelo
Histerese
Glóris e Misérias
13. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Epidemias: histórias
R.A. Kraenkel Dizem alguns que a única garantia contra os germes é a fuga. (Bocaccio, no
Decameron).
Epidemias
Histórias...
Modelos
Glórias e Misérias
A Peste.
Vegetação em • A peste é uma doença
regiões
Semi-áridas infecciosa causada pela
Regiões semi-áridas e
áridas
bactéria Yersinia pestis.Há
Modelo
três formas;
Histerese
Glóris e Misérias
14. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Epidemias: histórias
R.A. Kraenkel Dizem alguns que a única garantia contra os germes é a fuga. (Bocaccio, no
Decameron).
Epidemias
Histórias...
Modelos
Glórias e Misérias
A Peste.
Vegetação em • A peste é uma doença
regiões
Semi-áridas infecciosa causada pela
Regiões semi-áridas e
áridas
bactéria Yersinia pestis.Há
Modelo
três formas;
Histerese
Glóris e Misérias
• pneumônica, afetando os
pulmões e sendo
transmissível entre humanos.
15. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Epidemias: histórias
R.A. Kraenkel Dizem alguns que a única garantia contra os germes é a fuga. (Bocaccio, no
Decameron).
Epidemias
Histórias...
Modelos
Glórias e Misérias
A Peste.
Vegetação em • A peste é uma doença
regiões
Semi-áridas infecciosa causada pela
Regiões semi-áridas e
áridas
bactéria Yersinia pestis.Há
Modelo
três formas;
Histerese
Glóris e Misérias
• pneumônica, afetando os
pulmões e sendo
transmissível entre humanos.
• bubônica, inflamando os
gânglios, transmitida por
pulgas infectadas a aprtir de
ratos.
16. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Epidemias: histórias
R.A. Kraenkel Dizem alguns que a única garantia contra os germes é a fuga. (Bocaccio, no
Decameron).
Epidemias
Histórias...
Modelos
Glórias e Misérias
A Peste.
Vegetação em • A peste é uma doença
regiões
Semi-áridas infecciosa causada pela
Regiões semi-áridas e
áridas
bactéria Yersinia pestis.Há
Modelo
três formas;
Histerese
Glóris e Misérias
• pneumônica, afetando os
pulmões e sendo
transmissível entre humanos.
• bubônica, inflamando os
gânglios, transmitida por
pulgas infectadas a aprtir de
ratos.
• septisêmica, espalhando para
todos os órgãos pela corrente
sangüínea.
17. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Epidemias: histórias
R.A. Kraenkel Dizem alguns que a única garantia contra os germes é a fuga. (Bocaccio, no
Decameron).
Epidemias
Histórias...
Modelos
Glórias e Misérias
A Peste.
Vegetação em • A peste é uma doença
regiões
Semi-áridas infecciosa causada pela
Regiões semi-áridas e
áridas
bactéria Yersinia pestis.Há
Modelo
três formas;
Histerese
Glóris e Misérias
• pneumônica, afetando os
pulmões e sendo
transmissível entre humanos.
• bubônica, inflamando os
gânglios, transmitida por
pulgas infectadas a aprtir de
ratos.
• septisêmica, espalhando para
todos os órgãos pela corrente
sangüínea.
• Não tratadas, são
fatais.
18. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Epidemias: histórias
R.A. Kraenkel Dizem alguns que a única garantia contra os germes é a fuga. (Bocaccio, no
Decameron).
Epidemias
Histórias...
Modelos
Glórias e Misérias
A Peste.
Vegetação em • A peste é uma doença
regiões
Semi-áridas infecciosa causada pela
Regiões semi-áridas e
áridas
bactéria Yersinia pestis.Há
Modelo
três formas;
Histerese
Glóris e Misérias
• pneumônica, afetando os
pulmões e sendo
transmissível entre humanos.
• bubônica, inflamando os
gânglios, transmitida por
pulgas infectadas a aprtir de
ratos.
• septisêmica, espalhando para
todos os órgãos pela corrente
sangüínea.
• Não tratadas, são
fatais.Antibióticos são
eficientes contra a peste .
19. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Epidemias: histórias
R.A. Kraenkel Dizem alguns que a única garantia contra os germes é a fuga. (Bocaccio, no
Decameron).
Epidemias
Histórias...
Modelos
Glórias e Misérias
A Peste.
Vegetação em • A peste é uma doença
regiões
Semi-áridas infecciosa causada pela
Regiões semi-áridas e
áridas
bactéria Yersinia pestis.Há
Modelo
três formas;
Histerese
Glóris e Misérias
• pneumônica, afetando os
pulmões e sendo
transmissível entre humanos.
• bubônica, inflamando os
gânglios, transmitida por
pulgas infectadas a aprtir de
ratos.
• septisêmica, espalhando para
todos os órgãos pela corrente
sangüínea.
• Não tratadas, são
fatais.Antibióticos são
eficientes contra a peste .
• Devem ser ministrados em
poucas horas...
20. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Epidemias: histórias.
R.A. Kraenkel
A chegada, o progresso e o resultado da doença, tudo era questão de meia-hora.
Epidemias (E.A. Poe, em A Máscara da Morte Vermelha).
Histórias...
Modelos
Glórias e Misérias A Peste.
Vegetação em
regiões
Semi-áridas
Regiões semi-áridas e
áridas
Modelo
Histerese
Glóris e Misérias
21. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Epidemias: histórias.
R.A. Kraenkel
A chegada, o progresso e o resultado da doença, tudo era questão de meia-hora.
Epidemias (E.A. Poe, em A Máscara da Morte Vermelha).
Histórias...
Modelos
Glórias e Misérias A Peste.
Vegetação em
regiões
• Houve três grandes
Semi-áridas pandemias de peste;
Regiões semi-áridas e
áridas
Modelo
Histerese
Glóris e Misérias
22. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Epidemias: histórias.
R.A. Kraenkel
A chegada, o progresso e o resultado da doença, tudo era questão de meia-hora.
Epidemias (E.A. Poe, em A Máscara da Morte Vermelha).
Histórias...
Modelos
Glórias e Misérias A Peste.
Vegetação em
regiões
• Houve três grandes
Semi-áridas pandemias de peste;
Regiões semi-áridas e
áridas
• A peste de Justiniano, (541
Modelo
D.C.), espalhando-se a partir
Histerese
de Constantinopla e matando
Glóris e Misérias
25% da população da região
mediterrânea.
23. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Epidemias: histórias.
R.A. Kraenkel
A chegada, o progresso e o resultado da doença, tudo era questão de meia-hora.
Epidemias (E.A. Poe, em A Máscara da Morte Vermelha).
Histórias...
Modelos
Glórias e Misérias A Peste.
Vegetação em
regiões
• Houve três grandes
Semi-áridas pandemias de peste;
Regiões semi-áridas e
áridas
• A peste de Justiniano, (541
Modelo
D.C.), espalhando-se a partir
Histerese
de Constantinopla e matando
Glóris e Misérias
25% da população da região
mediterrânea.
• A peste negra, (1347),
entrando pela Sicília, matou
1/3 da população européia.
24. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Epidemias: histórias.
R.A. Kraenkel
A chegada, o progresso e o resultado da doença, tudo era questão de meia-hora.
Epidemias (E.A. Poe, em A Máscara da Morte Vermelha).
Histórias...
Modelos
Glórias e Misérias A Peste.
Vegetação em
regiões
• Houve três grandes
Semi-áridas pandemias de peste;
Regiões semi-áridas e
áridas
• A peste de Justiniano, (541
Modelo
D.C.), espalhando-se a partir
Histerese
de Constantinopla e matando
Glóris e Misérias
25% da população da região
mediterrânea.
• A peste negra, (1347),
entrando pela Sicília, matou
1/3 da população européia.
• A terceira pandemia,
começando na China em 1855
e matando 12 milhões de
pessoas na China e Índia.
25. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Epidemias: histórias.
R.A. Kraenkel
A chegada, o progresso e o resultado da doença, tudo era questão de meia-hora.
Epidemias (E.A. Poe, em A Máscara da Morte Vermelha).
Histórias...
Modelos
Glórias e Misérias A Peste.
Vegetação em
regiões
• Houve três grandes
Semi-áridas pandemias de peste;
Regiões semi-áridas e
áridas
• A peste de Justiniano, (541
Modelo
D.C.), espalhando-se a partir
Histerese
de Constantinopla e matando
Glóris e Misérias
25% da população da região
mediterrânea.
• A peste negra, (1347),
entrando pela Sicília, matou
1/3 da população européia.
• A terceira pandemia,
começando na China em 1855
e matando 12 milhões de
pessoas na China e Índia.
• Ainda existe a peste hoje em
dia, mas não de forma
epidêmica.
26. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Epidemias: histórias.
R.A. Kraenkel
A chegada, o progresso e o resultado da doença, tudo era questão de meia-hora.
Epidemias (E.A. Poe, em A Máscara da Morte Vermelha).
Histórias...
Modelos
Glórias e Misérias A Peste.
Vegetação em
regiões
• Houve três grandes
Semi-áridas pandemias de peste;
Regiões semi-áridas e
áridas
• A peste de Justiniano, (541
Modelo
D.C.), espalhando-se a partir
Histerese
de Constantinopla e matando
Glóris e Misérias
25% da população da região
mediterrânea.
• A peste negra, (1347),
entrando pela Sicília, matou
1/3 da população européia.
• A terceira pandemia,
começando na China em 1855
e matando 12 milhões de
pessoas na China e Índia.
• Ainda existe a peste hoje em
dia, mas não de forma
epidêmica. Entre 1987 e
2001 houve 2847 mortes por
peste no mundo.
27. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Epidemias: histórias.
R.A. Kraenkel
A chegada, o progresso e o resultado da doença, tudo era questão de meia-hora.
Epidemias (E.A. Poe, em A Máscara da Morte Vermelha).
Histórias...
Modelos
Glórias e Misérias A Peste.
Vegetação em
regiões
• Houve três grandes
Semi-áridas pandemias de peste;
Regiões semi-áridas e
áridas
• A peste de Justiniano, (541
Modelo
D.C.), espalhando-se a partir
Histerese
de Constantinopla e matando
Glóris e Misérias
25% da população da região
mediterrânea.
• A peste negra, (1347),
entrando pela Sicília, matou
1/3 da população européia.
• A terceira pandemia,
começando na China em 1855
e matando 12 milhões de
pessoas na China e Índia.
• Ainda existe a peste hoje em
dia, mas não de forma
epidêmica. Entre 1987 e
2001 houve 2847 mortes por
peste no mundo.
28. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Epidemias: histórias
R.A. Kraenkel
Algumas Grandes Epidemias
Epidemias
Histórias...
Modelos
Glórias e Misérias
Vegetação em
regiões
Semi-áridas
Regiões semi-áridas e
áridas
Modelo
Histerese
Glóris e Misérias
Figure: A peste no Brasil de 1980 a 2005. A maioria dos casos e dá em
áreas rurais do Nordeste e de Minas Gerais. Entre 1980 e 2005, houve
seis mortes.
29. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Epidemias: histórias
R.A. Kraenkel
Algumas Grandes Epidemias
Epidemias
Histórias...
Modelos
Glórias e Misérias
Vegetação em
regiões
Semi-áridas
Regiões semi-áridas e
áridas
Modelo
Histerese
Glóris e Misérias
Figure: A peste no Brasil de 1980 a 2005. A maioria dos casos e dá em
áreas rurais do Nordeste e de Minas Gerais. Entre 1980 e 2005, houve
seis mortes.
30. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Epidemias: histórias
R.A. Kraenkel
Algumas Grandes Epidemias
Epidemias
Histórias...
Modelos
Glórias e Misérias
Vegetação em
regiões
Semi-áridas
Regiões semi-áridas e
áridas
Modelo
Histerese
Glóris e Misérias
Figure: A peste no Brasil de 1980 a 2005.
31. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Epidemias: histórias
R.A. Kraenkel
Algumas Grandes Epidemias
Epidemias
Histórias...
Modelos
Glórias e Misérias
Vegetação em
regiões
Semi-áridas
Regiões semi-áridas e
áridas
Modelo
Histerese
Glóris e Misérias
Figure: A peste no Brasil de 1980 a 2005. A maioria dos casos e dá em
áreas rurais do Nordeste e de Minas Gerais.
32. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Epidemias: histórias
R.A. Kraenkel
Algumas Grandes Epidemias
Epidemias
Histórias...
Modelos
Glórias e Misérias
Vegetação em
regiões
Semi-áridas
Regiões semi-áridas e
áridas
Modelo
Histerese
Glóris e Misérias
Figure: A peste no Brasil de 1980 a 2005. A maioria dos casos e dá em
áreas rurais do Nordeste e de Minas Gerais. Entre 1980 e 2005, houve
seis mortes.
33. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Epidemias: histórias
R.A. Kraenkel
Epidemias
Aqueles dias, ninguém que os tenha vivido poderá jamais esquecê-los. (Pedro
Histórias... Dantas).
Modelos
Glórias e Misérias
Vegetação em A Gripe Espanhola.
regiões
Semi-áridas
Regiões semi-áridas e
áridas
Modelo
Histerese
Glóris e Misérias
34. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Epidemias: histórias
R.A. Kraenkel
Epidemias
Aqueles dias, ninguém que os tenha vivido poderá jamais esquecê-los. (Pedro
Histórias... Dantas).
Modelos
Glórias e Misérias
Vegetação em A Gripe Espanhola.
regiões
Semi-áridas
• A gripe espanhola foi uma epidemia do virus da gripe
Regiões semi-áridas e
(influenza A) particularmente severa e mortífera.
áridas
Modelo
Histerese
Glóris e Misérias
35. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Epidemias: histórias
R.A. Kraenkel
Epidemias
Aqueles dias, ninguém que os tenha vivido poderá jamais esquecê-los. (Pedro
Histórias... Dantas).
Modelos
Glórias e Misérias
Vegetação em A Gripe Espanhola.
regiões
Semi-áridas
• A gripe espanhola foi uma epidemia do virus da gripe
Regiões semi-áridas e
(influenza A) particularmente severa e mortífera.
áridas
Modelo
• Ocorreu entre 1918 e 1919.
Histerese
Glóris e Misérias
36. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Epidemias: histórias
R.A. Kraenkel
Epidemias
Aqueles dias, ninguém que os tenha vivido poderá jamais esquecê-los. (Pedro
Histórias... Dantas).
Modelos
Glórias e Misérias
Vegetação em A Gripe Espanhola.
regiões
Semi-áridas
• A gripe espanhola foi uma epidemia do virus da gripe
Regiões semi-áridas e
(influenza A) particularmente severa e mortífera.
áridas
Modelo
• Ocorreu entre 1918 e 1919.
Histerese
• Atingiu praticamente todas as regiões do mundo.
Glóris e Misérias
37. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Epidemias: histórias
R.A. Kraenkel
Epidemias
Aqueles dias, ninguém que os tenha vivido poderá jamais esquecê-los. (Pedro
Histórias... Dantas).
Modelos
Glórias e Misérias
Vegetação em A Gripe Espanhola.
regiões
Semi-áridas
• A gripe espanhola foi uma epidemia do virus da gripe
Regiões semi-áridas e
(influenza A) particularmente severa e mortífera.
áridas
Modelo
• Ocorreu entre 1918 e 1919.
Histerese
• Atingiu praticamente todas as regiões do mundo.
Glóris e Misérias
• Ao redor de 50 milhões de pessoas morreram. 500
milhões (1/3 da população do mundo) foram infectadas.
38. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Epidemias: histórias
R.A. Kraenkel
Epidemias
Aqueles dias, ninguém que os tenha vivido poderá jamais esquecê-los. (Pedro
Histórias... Dantas).
Modelos
Glórias e Misérias
Vegetação em A Gripe Espanhola.
regiões
Semi-áridas
• A gripe espanhola foi uma epidemia do virus da gripe
Regiões semi-áridas e
(influenza A) particularmente severa e mortífera.
áridas
Modelo
• Ocorreu entre 1918 e 1919.
Histerese
• Atingiu praticamente todas as regiões do mundo.
Glóris e Misérias
• Ao redor de 50 milhões de pessoas morreram. 500
milhões (1/3 da população do mundo) foram infectadas.
• A doença se transmite de pessoa para pessoa.
39. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Epidemias: histórias
R.A. Kraenkel
Epidemias
Aqueles dias, ninguém que os tenha vivido poderá jamais esquecê-los. (Pedro
Histórias... Dantas).
Modelos
Glórias e Misérias
Vegetação em A Gripe Espanhola.
regiões
Semi-áridas
• A gripe espanhola foi uma epidemia do virus da gripe
Regiões semi-áridas e
(influenza A) particularmente severa e mortífera.
áridas
Modelo
• Ocorreu entre 1918 e 1919.
Histerese
• Atingiu praticamente todas as regiões do mundo.
Glóris e Misérias
• Ao redor de 50 milhões de pessoas morreram. 500
milhões (1/3 da população do mundo) foram infectadas.
• A doença se transmite de pessoa para pessoa.
• Em São Paulo, a primeira morte ocorreu em 21 de
outubro de 1918.
40. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Epidemias: histórias
R.A. Kraenkel
Epidemias
Aqueles dias, ninguém que os tenha vivido poderá jamais esquecê-los. (Pedro
Histórias... Dantas).
Modelos
Glórias e Misérias
Vegetação em A Gripe Espanhola.
regiões
Semi-áridas
• A gripe espanhola foi uma epidemia do virus da gripe
Regiões semi-áridas e
(influenza A) particularmente severa e mortífera.
áridas
Modelo
• Ocorreu entre 1918 e 1919.
Histerese
• Atingiu praticamente todas as regiões do mundo.
Glóris e Misérias
• Ao redor de 50 milhões de pessoas morreram. 500
milhões (1/3 da população do mundo) foram infectadas.
• A doença se transmite de pessoa para pessoa.
• Em São Paulo, a primeira morte ocorreu em 21 de
outubro de 1918.Em final de novembro, a epidemia já
definhava.
41. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Epidemias: histórias
R.A. Kraenkel
Epidemias
Aqueles dias, ninguém que os tenha vivido poderá jamais esquecê-los. (Pedro
Histórias... Dantas).
Modelos
Glórias e Misérias
Vegetação em A Gripe Espanhola.
regiões
Semi-áridas
• A gripe espanhola foi uma epidemia do virus da gripe
Regiões semi-áridas e
(influenza A) particularmente severa e mortífera.
áridas
Modelo
• Ocorreu entre 1918 e 1919.
Histerese
• Atingiu praticamente todas as regiões do mundo.
Glóris e Misérias
• Ao redor de 50 milhões de pessoas morreram. 500
milhões (1/3 da população do mundo) foram infectadas.
• A doença se transmite de pessoa para pessoa.
• Em São Paulo, a primeira morte ocorreu em 21 de
outubro de 1918.Em final de novembro, a epidemia já
definhava.
• O Carnaval de 1919 ficou famoso pela euforia!
42. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Epidemias: histórias
R.A. Kraenkel
Epidemias
Aqueles dias, ninguém que os tenha vivido poderá jamais esquecê-los. (Pedro
Histórias... Dantas).
Modelos
Glórias e Misérias
Vegetação em A Gripe Espanhola.
regiões
Semi-áridas
• A gripe espanhola foi uma epidemia do virus da gripe
Regiões semi-áridas e
(influenza A) particularmente severa e mortífera.
áridas
Modelo
• Ocorreu entre 1918 e 1919.
Histerese
• Atingiu praticamente todas as regiões do mundo.
Glóris e Misérias
• Ao redor de 50 milhões de pessoas morreram. 500
milhões (1/3 da população do mundo) foram infectadas.
• A doença se transmite de pessoa para pessoa.
• Em São Paulo, a primeira morte ocorreu em 21 de
outubro de 1918.Em final de novembro, a epidemia já
definhava.
• O Carnaval de 1919 ficou famoso pela euforia!
• Fim da gripe espanhola.
43. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Epidemias: histórias
R.A. Kraenkel
Epidemias
Aqueles dias, ninguém que os tenha vivido poderá jamais esquecê-los. (Pedro
Histórias... Dantas).
Modelos
Glórias e Misérias
Vegetação em A Gripe Espanhola.
regiões
Semi-áridas
• A gripe espanhola foi uma epidemia do virus da gripe
Regiões semi-áridas e
(influenza A) particularmente severa e mortífera.
áridas
Modelo
• Ocorreu entre 1918 e 1919.
Histerese
• Atingiu praticamente todas as regiões do mundo.
Glóris e Misérias
• Ao redor de 50 milhões de pessoas morreram. 500
milhões (1/3 da população do mundo) foram infectadas.
• A doença se transmite de pessoa para pessoa.
• Em São Paulo, a primeira morte ocorreu em 21 de
outubro de 1918.Em final de novembro, a epidemia já
definhava.
• O Carnaval de 1919 ficou famoso pela euforia!
• Fim da gripe espanhola.
• Fim da Grande Guerra.
44. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Epidemias: histórias
R.A. Kraenkel
Epidemias
Aqueles dias, ninguém que os tenha vivido poderá jamais esquecê-los. (Pedro
Histórias... Dantas).
Modelos
Glórias e Misérias
Vegetação em A Gripe Espanhola.
regiões
Semi-áridas
• A gripe espanhola foi uma epidemia do virus da gripe
Regiões semi-áridas e
(influenza A) particularmente severa e mortífera.
áridas
Modelo
• Ocorreu entre 1918 e 1919.
Histerese
• Atingiu praticamente todas as regiões do mundo.
Glóris e Misérias
• Ao redor de 50 milhões de pessoas morreram. 500
milhões (1/3 da população do mundo) foram infectadas.
• A doença se transmite de pessoa para pessoa.
• Em São Paulo, a primeira morte ocorreu em 21 de
outubro de 1918.Em final de novembro, a epidemia já
definhava.
• O Carnaval de 1919 ficou famoso pela euforia!
• Fim da gripe espanhola.
• Fim da Grande Guerra.
• Tudo de bom!.
45. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Modelos Matemáticos
R.A. Kraenkel
Epidemias
Histórias...
Modelo Simples: hipóteses
Modelos
Glórias e Misérias
• Para constrir um modelo matemático elementar para uma
Vegetação em
regiões epidemia vamos começar com algumas simplificações .
Semi-áridas
Regiões semi-áridas e
áridas
Modelo
Histerese
Glóris e Misérias
46. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Modelos Matemáticos
R.A. Kraenkel
Epidemias
Histórias...
Modelo Simples: hipóteses
Modelos
Glórias e Misérias
• Para constrir um modelo matemático elementar para uma
Vegetação em
regiões epidemia vamos começar com algumas simplificações .
Semi-áridas
Regiões semi-áridas e • A população tem um número constante de indivíduos.
áridas
Modelo
Histerese
Glóris e Misérias
47. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Modelos Matemáticos
R.A. Kraenkel
Epidemias
Histórias...
Modelo Simples: hipóteses
Modelos
Glórias e Misérias
• Para constrir um modelo matemático elementar para uma
Vegetação em
regiões epidemia vamos começar com algumas simplificações .
Semi-áridas
Regiões semi-áridas e • A população tem um número constante de indivíduos.
áridas
Modelo • A população é espacialmente homogênea.
Histerese
Glóris e Misérias
48. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Modelos Matemáticos
R.A. Kraenkel
Epidemias
Histórias...
Modelo Simples: hipóteses
Modelos
Glórias e Misérias
• Para constrir um modelo matemático elementar para uma
Vegetação em
regiões epidemia vamos começar com algumas simplificações .
Semi-áridas
Regiões semi-áridas e • A população tem um número constante de indivíduos.
áridas
Modelo • A população é espacialmente homogênea.
Histerese
Glóris e Misérias • Com isto, definimos implicitamente estalas de tempo e de
espaço para o nosso modelo.
49. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Modelos Matemáticos
R.A. Kraenkel
Epidemias
Histórias...
Modelo Simples: hipóteses
Modelos
Glórias e Misérias
• Para constrir um modelo matemático elementar para uma
Vegetação em
regiões epidemia vamos começar com algumas simplificações .
Semi-áridas
Regiões semi-áridas e • A população tem um número constante de indivíduos.
áridas
Modelo • A população é espacialmente homogênea.
Histerese
Glóris e Misérias • Com isto, definimos implicitamente estalas de tempo e de
espaço para o nosso modelo.
• Dividimos os indivíduos de nossa população em três
categorias:
50. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Modelos Matemáticos
R.A. Kraenkel
Epidemias
Histórias...
Modelo Simples: hipóteses
Modelos
Glórias e Misérias
• Para constrir um modelo matemático elementar para uma
Vegetação em
regiões epidemia vamos começar com algumas simplificações .
Semi-áridas
Regiões semi-áridas e • A população tem um número constante de indivíduos.
áridas
Modelo • A população é espacialmente homogênea.
Histerese
Glóris e Misérias • Com isto, definimos implicitamente estalas de tempo e de
espaço para o nosso modelo.
• Dividimos os indivíduos de nossa população em três
categorias:
• S susceptíveis;
51. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Modelos Matemáticos
R.A. Kraenkel
Epidemias
Histórias...
Modelo Simples: hipóteses
Modelos
Glórias e Misérias
• Para constrir um modelo matemático elementar para uma
Vegetação em
regiões epidemia vamos começar com algumas simplificações .
Semi-áridas
Regiões semi-áridas e • A população tem um número constante de indivíduos.
áridas
Modelo • A população é espacialmente homogênea.
Histerese
Glóris e Misérias • Com isto, definimos implicitamente estalas de tempo e de
espaço para o nosso modelo.
• Dividimos os indivíduos de nossa população em três
categorias:
• S susceptíveis;
• I infectados;
52. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Modelos Matemáticos
R.A. Kraenkel
Epidemias
Histórias...
Modelo Simples: hipóteses
Modelos
Glórias e Misérias
• Para constrir um modelo matemático elementar para uma
Vegetação em
regiões epidemia vamos começar com algumas simplificações .
Semi-áridas
Regiões semi-áridas e • A população tem um número constante de indivíduos.
áridas
Modelo • A população é espacialmente homogênea.
Histerese
Glóris e Misérias • Com isto, definimos implicitamente estalas de tempo e de
espaço para o nosso modelo.
• Dividimos os indivíduos de nossa população em três
categorias:
• S susceptíveis;
• I infectados;
• R recuperados (imunes ou falecidos)
53. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Modelos Matemáticos
R.A. Kraenkel
Epidemias
Histórias...
Modelo Simples: hipóteses
Modelos
Glórias e Misérias
• Para constrir um modelo matemático elementar para uma
Vegetação em
regiões epidemia vamos começar com algumas simplificações .
Semi-áridas
Regiões semi-áridas e • A população tem um número constante de indivíduos.
áridas
Modelo • A população é espacialmente homogênea.
Histerese
Glóris e Misérias • Com isto, definimos implicitamente estalas de tempo e de
espaço para o nosso modelo.
• Dividimos os indivíduos de nossa população em três
categorias:
• S susceptíveis;
• I infectados;
• R recuperados (imunes ou falecidos)
54. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Modelo de Kermack &
R.A. Kraenkel McKendrick (1927)
Epidemias
Histórias...
Modelos
Glórias e Misérias
Vegetação em
regiões
Semi-áridas
Regiões semi-áridas e
áridas A taxa de variação per capita dos susceptíveis é proporcional ao
Modelo
Histerese número de infectados:
Glóris e Misérias
dS
= −rSI
dt
sendo r a taxa de infecção .
55. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Modelo de Kermack &
R.A. Kraenkel McKendrick (1927)
Epidemias
Histórias...
Modelos
Glórias e Misérias
Vegetação em
regiões A taxa de variação per capita dos infectados é proporcional ao
Semi-áridas
Regiões semi-áridas e
número de infectados menos a taxa de remoção (recuperados
áridas
Modelo imunes ou mortos).
Histerese
Glóris e Misérias
dS
= −rSI
dt
dI
= −rSI − aI
dt
56. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Modelo de Kermack &
R.A. Kraenkel McKendrick (1927)
Epidemias
Histórias...
Modelos
Glórias e Misérias
Vegetação em
A taxa de variação per capita dos recuperados é constante.
regiões
Semi-áridas
dS
Regiões semi-áridas e
áridas = −rSI
Modelo dt
Histerese
Glóris e Misérias
dI
= −rSI − aI
dt
dR
= aI
dt
57. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Modelo de Kermack &
R.A. Kraenkel McKendrick (1927)
Epidemias
Histórias...
Modelos
Glórias e Misérias
Temos portanto três equações para três variáveis:
Vegetação em
regiões
Semi-áridas dS
Regiões semi-áridas e = −rSI
áridas
Modelo
dt
Histerese
Glóris e Misérias
dI
= −rSI − aI
dt
dR
= aI
dt
A NALISEMOS - LAS !
58. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Análise do modelo I
R.A. Kraenkel
dS dI dR
Epidemias dt
= −rSI dt
= −rSI − aI dt
= aI
Histórias...
Modelos
Glórias e Misérias
Vegetação em
regiões
Semi-áridas
Regiões semi-áridas e
áridas
Modelo
Histerese
Glóris e Misérias
59. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Análise do modelo I
R.A. Kraenkel
dS dI dR
Epidemias dt
= −rSI dt
= −rSI − aI dt
= aI
Histórias...
Modelos
Glórias e Misérias • Primeiramente notemos que, se somarmos as três equações
Vegetação em
regiões
teremos:
Semi-áridas
Regiões semi-áridas e
áridas
Modelo
Histerese
Glóris e Misérias
60. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Análise do modelo I
R.A. Kraenkel
dS dI dR
Epidemias dt
= −rSI dt
= −rSI − aI dt
= aI
Histórias...
Modelos
Glórias e Misérias • Primeiramente notemos que, se somarmos as três equações
Vegetação em
regiões
teremos:
Semi-áridas
Regiões semi-áridas e d(S + I + R)
áridas
=0
Modelo
Histerese
dt
Glóris e Misérias
61. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Análise do modelo I
R.A. Kraenkel
dS dI dR
Epidemias dt
= −rSI dt
= −rSI − aI dt
= aI
Histórias...
Modelos
Glórias e Misérias • Primeiramente notemos que, se somarmos as três equações
Vegetação em
regiões
teremos:
Semi-áridas
Regiões semi-áridas e d(S + I + R)
áridas
= 0⇒S + I + R = N
Modelo
Histerese
dt
Glóris e Misérias
onde N é a população total, constante.
62. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Análise do modelo I
R.A. Kraenkel
dS dI dR
Epidemias dt
= −rSI dt
= −rSI − aI dt
= aI
Histórias...
Modelos
Glórias e Misérias • Primeiramente notemos que, se somarmos as três equações
Vegetação em
regiões
teremos:
Semi-áridas
Regiões semi-áridas e d(S + I + R)
áridas
= 0⇒S + I + R = N
Modelo
Histerese
dt
Glóris e Misérias
onde N é a população total, constante.
• Vamos ser mais precisos no problema que queremos analisar:
63. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Análise do modelo I
R.A. Kraenkel
dS dI dR
Epidemias dt
= −rSI dt
= −rSI − aI dt
= aI
Histórias...
Modelos
Glórias e Misérias • Primeiramente notemos que, se somarmos as três equações
Vegetação em
regiões
teremos:
Semi-áridas
Regiões semi-áridas e d(S + I + R)
áridas
= 0⇒S + I + R = N
Modelo
Histerese
dt
Glóris e Misérias
onde N é a população total, constante.
• Vamos ser mais precisos no problema que queremos analisar:
• Inicialmente, em t = 0, temos:
64. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Análise do modelo I
R.A. Kraenkel
dS dI dR
Epidemias dt
= −rSI dt
= −rSI − aI dt
= aI
Histórias...
Modelos
Glórias e Misérias • Primeiramente notemos que, se somarmos as três equações
Vegetação em
regiões
teremos:
Semi-áridas
Regiões semi-áridas e d(S + I + R)
áridas
= 0⇒S + I + R = N
Modelo
Histerese
dt
Glóris e Misérias
onde N é a população total, constante.
• Vamos ser mais precisos no problema que queremos analisar:
• Inicialmente, em t = 0, temos: S(0) = S0 ,
65. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Análise do modelo I
R.A. Kraenkel
dS dI dR
Epidemias dt
= −rSI dt
= −rSI − aI dt
= aI
Histórias...
Modelos
Glórias e Misérias • Primeiramente notemos que, se somarmos as três equações
Vegetação em
regiões
teremos:
Semi-áridas
Regiões semi-áridas e d(S + I + R)
áridas
= 0⇒S + I + R = N
Modelo
Histerese
dt
Glóris e Misérias
onde N é a população total, constante.
• Vamos ser mais precisos no problema que queremos analisar:
• Inicialmente, em t = 0, temos: S(0) = S0 , I(0) = I0 e
66. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Análise do modelo I
R.A. Kraenkel
dS dI dR
Epidemias dt
= −rSI dt
= −rSI − aI dt
= aI
Histórias...
Modelos
Glórias e Misérias • Primeiramente notemos que, se somarmos as três equações
Vegetação em
regiões
teremos:
Semi-áridas
Regiões semi-áridas e d(S + I + R)
áridas
= 0⇒S + I + R = N
Modelo
Histerese
dt
Glóris e Misérias
onde N é a população total, constante.
• Vamos ser mais precisos no problema que queremos analisar:
• Inicialmente, em t = 0, temos: S(0) = S0 , I(0) = I0 e
R(0) = 0 .
67. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Análise do modelo I
R.A. Kraenkel
dS dI dR
Epidemias dt
= −rSI dt
= −rSI − aI dt
= aI
Histórias...
Modelos
Glórias e Misérias • Primeiramente notemos que, se somarmos as três equações
Vegetação em
regiões
teremos:
Semi-áridas
Regiões semi-áridas e d(S + I + R)
áridas
= 0⇒S + I + R = N
Modelo
Histerese
dt
Glóris e Misérias
onde N é a população total, constante.
• Vamos ser mais precisos no problema que queremos analisar:
• Inicialmente, em t = 0, temos: S(0) = S0 , I(0) = I0 e
R(0) = 0 .
• Ou seja, temos um certo núero de infectados (I0 ) e de
susceptíiveis (S0 ).
68. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Análise do modelo I
R.A. Kraenkel
dS dI dR
Epidemias dt
= −rSI dt
= −rSI − aI dt
= aI
Histórias...
Modelos
Glórias e Misérias • Primeiramente notemos que, se somarmos as três equações
Vegetação em
regiões
teremos:
Semi-áridas
Regiões semi-áridas e d(S + I + R)
áridas
= 0⇒S + I + R = N
Modelo
Histerese
dt
Glóris e Misérias
onde N é a população total, constante.
• Vamos ser mais precisos no problema que queremos analisar:
• Inicialmente, em t = 0, temos: S(0) = S0 , I(0) = I0 e
R(0) = 0 .
• Ou seja, temos um certo núero de infectados (I0 ) e de
susceptíiveis (S0 ).
• Dados r, a, S0 e I0 , queremos saber se haverá ou não uma
epidemia.
69. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Análise do modelo I
R.A. Kraenkel
dS dI dR
Epidemias dt
= −rSI dt
= −rSI − aI dt
= aI
Histórias...
Modelos
Glórias e Misérias • Primeiramente notemos que, se somarmos as três equações
Vegetação em
regiões
teremos:
Semi-áridas
Regiões semi-áridas e d(S + I + R)
áridas
= 0⇒S + I + R = N
Modelo
Histerese
dt
Glóris e Misérias
onde N é a população total, constante.
• Vamos ser mais precisos no problema que queremos analisar:
• Inicialmente, em t = 0, temos: S(0) = S0 , I(0) = I0 e
R(0) = 0 .
• Ou seja, temos um certo núero de infectados (I0 ) e de
susceptíiveis (S0 ).
• Dados r, a, S0 e I0 , queremos saber se haverá ou não uma
epidemia. Ou seja, se I(t) > I0 para algum tempo t.
70. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Análise do modelo I
R.A. Kraenkel
dS dI dR
Epidemias dt
= −rSI dt
= −rSI − aI dt
= aI
Histórias...
Modelos
Glórias e Misérias • Primeiramente notemos que, se somarmos as três equações
Vegetação em
regiões
teremos:
Semi-áridas
Regiões semi-áridas e d(S + I + R)
áridas
= 0⇒S + I + R = N
Modelo
Histerese
dt
Glóris e Misérias
onde N é a população total, constante.
• Vamos ser mais precisos no problema que queremos analisar:
• Inicialmente, em t = 0, temos: S(0) = S0 , I(0) = I0 e
R(0) = 0 .
• Ou seja, temos um certo núero de infectados (I0 ) e de
susceptíiveis (S0 ).
• Dados r, a, S0 e I0 , queremos saber se haverá ou não uma
epidemia. Ou seja, se I(t) > I0 para algum tempo t.
71. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Análise do modelo II
R.A. Kraenkel
dS dI dR
dt
= −rSI dt
= −rSI − aI dt
= aI
Epidemias
Histórias...
Modelos
Glórias e Misérias
Vegetação em
regiões
Semi-áridas
Regiões semi-áridas e
áridas
Modelo
Histerese
Glóris e Misérias
72. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Análise do modelo II
R.A. Kraenkel
dS dI dR
dt
= −rSI dt
= −rSI − aI dt
= aI
Epidemias
Histórias...
Modelos • Notemos inicialmente que em t = 0:
Glórias e Misérias
Vegetação em
regiões
Semi-áridas
Regiões semi-áridas e
áridas
Modelo
Histerese
Glóris e Misérias
73. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Análise do modelo II
R.A. Kraenkel
dS dI dR
dt
= −rSI dt
= −rSI − aI dt
= aI
Epidemias
Histórias...
Modelos • Notemos inicialmente que em t = 0:
Glórias e Misérias
» –
Vegetação em dI
regiões = −rS0 I0 − aI0 = −I0 (rS0 − a)
Semi-áridas dt 0
Regiões semi-áridas e
áridas
Modelo
Histerese
Glóris e Misérias
74. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Análise do modelo II
R.A. Kraenkel
dS dI dR
dt
= −rSI dt
= −rSI − aI dt
= aI
Epidemias
Histórias...
Modelos • Notemos inicialmente que em t = 0:
Glórias e Misérias
» –
Vegetação em dI
regiões = −rS0 I0 − aI0 = −I0 (rS0 − a)
Semi-áridas dt 0
Regiões semi-áridas e
áridas
Modelo
Histerese
• Se S0 < a/r então
Glóris e Misérias
75. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Análise do modelo II
R.A. Kraenkel
dS dI dR
dt
= −rSI dt
= −rSI − aI dt
= aI
Epidemias
Histórias...
Modelos • Notemos inicialmente que em t = 0:
Glórias e Misérias
» –
Vegetação em dI
regiões = −rS0 I0 − aI0 = −I0 (rS0 − a)
Semi-áridas dt 0
Regiões semi-áridas e
áridas
• Se S0 < a/r então
Modelo
ˆ dI ˜
Histerese dt 0
< 0.
Glóris e Misérias
76. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Análise do modelo II
R.A. Kraenkel
dS dI dR
dt
= −rSI dt
= −rSI − aI dt
= aI
Epidemias
Histórias...
Modelos • Notemos inicialmente que em t = 0:
Glórias e Misérias
» –
Vegetação em dI
regiões = −rS0 I0 − aI0 = −I0 (rS0 − a)
Semi-áridas dt 0
Regiões semi-áridas e
áridas
• Se S0 < a/r então
Modelo
ˆ dI ˜
Histerese dt 0
< 0.
Glóris e Misérias
• Se S0 > a/r então
77. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Análise do modelo II
R.A. Kraenkel
dS dI dR
dt
= −rSI dt
= −rSI − aI dt
= aI
Epidemias
Histórias...
Modelos • Notemos inicialmente que em t = 0:
Glórias e Misérias
» –
Vegetação em dI
regiões = −rS0 I0 − aI0 = −I0 (rS0 − a)
Semi-áridas dt 0
Regiões semi-áridas e
áridas
• Se S0 < a/r então
Modelo
ˆ dI ˜
Histerese dt 0
< 0.
Glóris e Misérias
• Se S0 > a/r então
ˆ dI ˜
dt 0
>0
78. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Análise do modelo II
R.A. Kraenkel
dS dI dR
dt
= −rSI dt
= −rSI − aI dt
= aI
Epidemias
Histórias...
Modelos • Notemos inicialmente que em t = 0:
Glórias e Misérias
» –
Vegetação em dI
regiões = −rS0 I0 − aI0 = −I0 (rS0 − a)
Semi-áridas dt 0
Regiões semi-áridas e
áridas
• Se S0 < a/r então
Modelo
ˆ dI ˜
Histerese dt 0
< 0.
Glóris e Misérias
• Se S0 > a/r então
ˆ dI ˜
dt 0
> 0 (Epidemia!)
79. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Análise do modelo II
R.A. Kraenkel
dS dI dR
dt
= −rSI dt
= −rSI − aI dt
= aI
Epidemias
Histórias...
Modelos • Notemos inicialmente que em t = 0:
Glórias e Misérias
» –
Vegetação em dI
regiões = −rS0 I0 − aI0 = −I0 (rS0 − a)
Semi-áridas dt 0
Regiões semi-áridas e
áridas
• Se S0 < a/r então
Modelo
ˆ dI ˜
Histerese dt 0
< 0.
Glóris e Misérias
• Se S0 > a/r então dI 0 > 0 (Epidemia!)
ˆ ˜
dt
• Por outro lado, S < S0 para todo t, pois dS/dt < 0.
80. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Análise do modelo II
R.A. Kraenkel
dS dI dR
dt
= −rSI dt
= −rSI − aI dt
= aI
Epidemias
Histórias...
Modelos • Notemos inicialmente que em t = 0:
Glórias e Misérias
» –
Vegetação em dI
regiões = −rS0 I0 − aI0 = −I0 (rS0 − a)
Semi-áridas dt 0
Regiões semi-áridas e
áridas
• Se S0 < a/r então
Modelo
ˆ dI ˜
Histerese dt 0
< 0.
Glóris e Misérias
• Se S0 > a/r então dI 0 > 0 (Epidemia!)
ˆ ˜
dt
• Por outro lado, S < S0 para todo t, pois dS/dt < 0.
• Assim, se S0 < a/r
81. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Análise do modelo II
R.A. Kraenkel
dS dI dR
dt
= −rSI dt
= −rSI − aI dt
= aI
Epidemias
Histórias...
Modelos • Notemos inicialmente que em t = 0:
Glórias e Misérias
» –
Vegetação em dI
regiões = −rS0 I0 − aI0 = −I0 (rS0 − a)
Semi-áridas dt 0
Regiões semi-áridas e
áridas
• Se S0 < a/r então
Modelo
ˆ dI ˜
Histerese dt 0
< 0.
Glóris e Misérias
• Se S0 > a/r então dI 0 > 0 (Epidemia!)
ˆ ˜
dt
• Por outro lado, S < S0 para todo t, pois dS/dt < 0.
• Assim, se S0 < a/r então S(t) < a/r para todo t
82. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Análise do modelo II
R.A. Kraenkel
dS dI dR
dt
= −rSI dt
= −rSI − aI dt
= aI
Epidemias
Histórias...
Modelos • Notemos inicialmente que em t = 0:
Glórias e Misérias
» –
Vegetação em dI
regiões = −rS0 I0 − aI0 = −I0 (rS0 − a)
Semi-áridas dt 0
Regiões semi-áridas e
áridas
• Se S0 < a/r então
Modelo
ˆ dI ˜
Histerese dt 0
< 0.
Glóris e Misérias
• Se S0 > a/r então dI 0 > 0 (Epidemia!)
ˆ ˜
dt
• Por outro lado, S < S0 para todo t, pois dS/dt < 0.
• Assim, se S0 < a/r então S(t) < a/r para todo t
dI
= −rSI − aI = I(rS − a) < 0
dt
83. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Análise do modelo II
R.A. Kraenkel
dS dI dR
dt
= −rSI dt
= −rSI − aI dt
= aI
Epidemias
Histórias...
Modelos • Notemos inicialmente que em t = 0:
Glórias e Misérias
» –
Vegetação em dI
regiões = −rS0 I0 − aI0 = −I0 (rS0 − a)
Semi-áridas dt 0
Regiões semi-áridas e
áridas
• Se S0 < a/r então
Modelo
ˆ dI ˜
Histerese dt 0
< 0.
Glóris e Misérias
• Se S0 > a/r então dI 0 > 0 (Epidemia!)
ˆ ˜
dt
• Por outro lado, S < S0 para todo t, pois dS/dt < 0.
• Assim, se S0 < a/r então S(t) < a/r para todo t
dI
= −rSI − aI = I(rS − a) < 0
dt
e portanto I(t) < I0 e não há epidemia.
84. Métodos
Matemáticos
em Biologia de
Populações
Análise do modelo II
R.A. Kraenkel
dS dI dR
dt
= −rSI dt
= −rSI − aI dt
= aI
Epidemias
Histórias...
Modelos • Notemos inicialmente que em t = 0:
Glórias e Misérias
» –
Vegetação em dI
regiões = −rS0 I0 − aI0 = −I0 (rS0 − a)
Semi-áridas dt 0
Regiões semi-áridas e
áridas
• Se S0 < a/r então
Modelo
ˆ dI ˜
Histerese dt 0
< 0.
Glóris e Misérias
• Se S0 > a/r então dI 0 > 0 (Epidemia!)
ˆ ˜
dt
• Por outro lado, S < S0 para todo t, pois dS/dt < 0.
• Assim, se S0 < a/r então S(t) < a/r para todo t
dI
= −rSI − aI = I(rS − a) < 0
dt
e portanto I(t) < I0 e não há epidemia.
• Se S0 > a/r haverá epidemia ( pois dI 0 > 0).
ˆ ˜
dt