1. Centro de Competência de Ciências Exactas e da Engenharia
Disciplina: Combinatória – Fundamentos e Aplicações
Docente: Teresa Gouveia
Discente: Raquel Camacho; Número: 2030305
Resolução do problema
“Como organizar o
encarceramento dos animais
no zoo?”
Funchal
2011

2. Índice
1. Resumo ........................................................................................................................ 2
2. Problema: Como organizar o encarceramento dos animais no zoo? ........................... 3
3. Resolução do problema ................................................................................................ 4
3.1. Simplificação da informação dada no enunciado do problema ............................ 4
3.2. Resolução do problema por tentativa e erro ......................................................... 5
3.3. Resolução do problema utilizando o algoritmo de Welsh-Powell........................ 7
4. Considerações Finais ................................................................................................. 10
5. Bibliografia ................................................................................................................ 11
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3. 1. Resumo
Neste trabalho procuramos resolver um determinado problema a partir de dois
métodos. O problema tem como objectivo descobrir qual o menor número de ambientes
que um determinado zoo deve criar, de modo a encarcerar os seus animais sem que estes
se ataquem mutuamente ou transmitam doenças uns aos outros.
Para resolver este problema, apresentamos dois métodos. O primeiro baseia-se
na tentativa e erro e o segundo método baseia-se na Teoria dos Grafos, utilizando o
Algoritmo de Welsh-Powell para encontrar a solução do problema.
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4. 2. Problema: Como organizar o encarceramento dos animais no zoo?
Os gestores de um moderno e pequeno zoo gostariam de organizar o
encarceramento de animais que parecesse o mais natural possível.
Em cada ambiente deveria conviver uma variedade de animais compatíveis, isto
é, que não se atacassem mutuamente ou espalhassem doenças prejudiciais uns aos
outros.
A administração do zoo pretende começar por exibir 12 espécies e tem na sua
posse um documento que especifica quais são os animais que não podem se cruzar num
determinado ambiente. Assim, para organizar o encarceramento dos animais, a
administração tem de ter em conta que:
- as girafas não podem estar no mesmo ambiente que ursos, cobras, leões e
tigres;
- as zebras não podem estar no mesmo ambiente que ursos, cobras, leões, tigres e
chimpanzés;
- os ursos não podem estar no mesmo ambiente que girafas, zebras, camaleões,
elefantes, tigres e chimpanzés;
- os camaleões não podem estar no mesmo ambiente que ursos, cobras, leões,
elefantes e tigres;
- as cobras não podem estar no mesmo ambiente que girafas, zebras, camaleões,
pandas, gazelas, cangurus e chimpanzés;
- os leões não podem estar no mesmo ambiente que girafas, zebras, camaleões,
pandas, gazelas, cangurus e chimpanzés;
- os pandas não podem estar no mesmo ambiente que cobras, leões, tigres e
gazelas;
- os elefantes não podem estar no mesmo ambiente que ursos e camaleões;
- os tigres não podem estar no mesmo ambiente que girafas, zebras, ursos,
camaleões, pandas, gazelas, cangurus e chimpanzés.
Qual será o número mínimo de ambientes que a administração deve criar para
encarcerar os animais, de modo a rentabilizar o espaço disponível e de acordo com as
condições enunciadas?
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5. 3. Resolução do problema
3.1. Simplificação da informação dada no enunciado do problema
Como pudemos reparar, é difícil responder ao problema com a informação
disposta em texto. Assim, podemos criar uma tabela de dupla entrada que represente a
situação descrita.
Para isso e para facilitar na resolução do problema, atribuiremos a cada espécie
animal um número. Podemos ver quais são os animais do zoo a partir do enunciado do
problema. Assim, temos:
1- Girafas 7- Pandas
2- Zebras 8- Elefantes
3- Ursos 9- Tigres
4- Camaleões 10- Gazelas
5- Cobras 11- Cangurus
6- Leões 12- Chimpanzés
A tabela de dupla entrada poderá, então, ser organizada da seguinte forma:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1 - X X X X
2 - X X X X X
3 X X - X X X X
4 X - X X X X
5 X X X - X X X X
6 X X X - X X X X
7 X X - X X
8 X X -
9 X X X X X - X X X
10 X X X X -
11 X X X -
12 X X X X X -
Nota: O símbolo X significa que o par de espécies respectivo não pode partilhar
um cárcere em comum. Por exemplo, a espécie 1 não se pode cruzar com a espécie 3, ou
seja, as girafas não podem estar no mesmo ambiente que os ursos.
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6. 3.2. Resolução do problema por tentativa e erro
Para resolver este problema por tentativa e erro, começaremos por tentar colocar
todas as espécies animais do zoo num só ambiente. Se não for possível, tentaremos a
mesma estratégia com dois ambientes. Continuaremos a proceder dessa forma até
conseguirmos distribuir todos os animais pelos diferentes ambientes.
Portanto, se o zoo tiver apenas um ambiente e analisando a tabela de dupla
entrada, podemos tentar distribuir os animais da seguinte forma:
1, 2, 3, …
No entanto, reparamos que este ambiente não está nas condições que o problema
nos coloca, já que as espécies 1 e 2 não podem se cruzar com a espécie 3. Assim, não é
possível organizar o encarceramento dos animais num só ambiente.
Verifiquemos agora a hipótese de o zoo ter apenas dois ambientes:
1, 2, 4, 7, 11, 3, 12, …
…
Reparemos que esta situação em que temos dois ambientes também não está nas
condições do problema, já que a espécie 3 não é compatível com a espécie 12.
Podíamos tentar colocar a espécie 12 no primeiro ambiente, de modo a afastá-la da
espécie 3, mas no ambiente 1 encontra-se a espécie 2 que também não é compatível com
a espécie 12.
Assim, necessitamos de, pelo menos, três ambientes no referido zoo.
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7. Analisemos, então, a hipótese de o zoo ter três ambientes:
1, 2, 4, 7, 11, 12, 8, 10, 9, 3, 5, 6, …
… …
Reparemos que também esta situação em que temos três ambientes não está nas
condições do problema, já que a espécie 12 não é compatível com a espécie 9.
Podíamos tentar colocar a espécie 9 no primeiro ambiente, de modo a afastá-la da
espécie 12, mas no ambiente 1 encontra-se a espécie 1 que também não é compatível
com a espécie 9. Podíamos tentar colocar a espécie 9 no ambiente 3, mas nesse
ambiente encontra-se a espécie 3 que não é compatível com a espécie 9.
Assim, não podemos organizar os animais em apenas três ambientes. Vão ser
necessários, pelo menos, quatro ambientes no zoo.
Analisemos, então, a hipótese de o zoo ter quatro ambientes:
1, 2, 4, 7, 11 12, 8, 10 3, 5, 6 9
Como podemos ver, se o zoo tiver quatro ambientes, as diferentes espécies
podem ser distribuídas sem qualquer problema. Uma vez que excluímos as hipóteses de
o zoo poder ter um, dois ou três ambientes, concluímos que quatro é o número mínimo
de ambientes que o zoo deverá ter de modo a que o encarceramento dos animais se faça
de acordo com as condições dadas inicialmente.
A distribuição dos animais poderá, então, ser feita da seguinte forma:
- No ambiente 1 vão ser colocados girafas, zebras, camaleões, pandas e
cangurus;
- No ambiente 2 vão ser colocados chimpanzés, elefantes e gazelas;
- No ambiente 3 vão ser colocados ursos, cobras e leões;
- No ambiente 4 vão ser colocados os tigres.
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8. 3.3. Resolução do problema utilizando o algoritmo de Welsh-Powell
Para utilizar o algoritmo de Welsh-Powell podemos desenhar um grafo que
represente a situação descrita no problema e que já foi simplificada através da tabela de
dupla entrada.
Assim, o grafo seguinte representa a referida situação. Cada vértice do grafo
representa uma espécie diferente, identificada pelo número que lhe foi atribuído
anteriormente. Enquanto cada aresta indica quais são os animais que são incompatíveis,
ou seja, que não são susceptíveis de estarem num mesmo ambiente.
A partir do grafo podemos, então, recorrer ao algoritmo de Welsh-Powell. De
referir ainda que este algoritmo poderia ser utilizado sem o recurso ao grafo, podendo
nos basear apenas na informação disponível na tabela de dupla entrada.
No entanto, a análise do grafo dá uma melhor percepção dos ambientes que
deverão ser criados, de forma a que o problema seja solucionado.
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9. Aplicando o algoritmo de Welsh-Powell, temos:
Ordenação Vértices não Vértices Vértices
Vértice Grau Cor
Vértice Grau adjacentes Seleccionados Rejeitados
1 4 9 8 5, 6, 8 5, 6, 8 -
2 5 6 7 - - - -
3 6 5 7 - - - -
5, 6, 7, 10,
4 5 3 6 7, 11 5, 6, 10
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1, 4, 7, 8,
5 7 2 5 4, 1, 10 7, 11, 8
10, 11
6 7 4 5 - - - -
1, 4, 7, 8, 1, 4, 7, 8, 10,
7 4 12 5 -
10, 11 11
8 2 1 4 - - - -
9 8 7 4 - - - -
10 4 10 4 - - - -
11 3 11 3 - - - -
12 5 8 2 - - - -
À medida que vamos aplicando o algoritmo, vamos pintando os vértices do
grafo, de modo a ir excluindo as hipóteses e a ir tendo uma ideia de como vão se dividir
os animais pelos diferentes ambientes.
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10. Aplicando este algoritmo conseguimos chegar à conclusão de que será
necessário criar, no mínimo, quatro ambientes no zoo, de modo a que as diferentes
espécies de animais não se ataquem nem transmitam doenças umas às outras.
A distribuição dos animais poderá, então, ser feita da seguinte forma:
- No ambiente 1 vão ser colocados tigres, cobras, leões e elefantes;
- No ambiente 2 vão ser colocados ursos, pandas e cangurus;
- No ambiente 3 vão ser colocados zebras, camaleões, girafas e gazelas;
- No ambiente 4 vão ser colocados os chimpanzés.
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11. 4. Considerações Finais
Através deste problema, pudemos explorar dois métodos diferentes de resolução.
No primeiro método, que é bastante utilizado neste tipo de problemas, procuramos
encontrar a solução por tentativa e erro. Reparámos que se o zoo tivesse um, dois ou três
ambientes, haveria sempre animais que se atacariam mutuamente ou transmitiriam
doenças uns aos outros.
Repetimos o processo para o caso de o zoo ter quatro ambientes e reparámos que
neste caso não havia nenhum animal que ficasse numa situação em que se cruzasse com
animais incompatíveis.
Portanto, por tentativa e erro descobrimos que o número mínimo de ambientes
que a administração do zoo deve criar era quatro.
O segundo método consistiu na aplicação do algoritmo de Welsh-Powell, tendo
para isso representado a informação do problema num grafo. Através deste método,
facilmente chegámos à mesma conclusão que tínhamos chegado através do método
anterior.
É de salientar que em ambos os métodos obtivemos a mesma solução, ou seja,
que a administração do zoo deverá criar quatros ambientes distintos, mas obtivemos
uma distribuição diferente de animais em cada método.
Este facto não é relevante, pois existem diferentes distribuições que podem ser
feitas pelos quatro ambientes. Provavelmente se resolvêssemos o problema através de
um terceiro método, obtínhamos uma distribuição dos animais diferente das que
obtivemos neste trabalho.
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12. 5. Bibliografia
 Malkevitch, J. (1995). Modelos de Grafos. Lexington: COMAP
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