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Matematica aluno 1 ano vol1
- 3. GUIA DO ALUNO Volume 1 Matemática 1ª série do Ensino Médio
- 4. Entre Jovens 1ª série do Ensino Médio: guia do aluno matemática. – São Paulo: Instituto Unibanco/CAEd, 2013. 294 p.; Vol I
- 5. Coordenação do material Juliana Irani do Amaral Pesquisa e conteúdo CAEd – Centro de Políticas Públicas e Avaliação da Educação Consultoria responsável CAEd – Centro de Políticas Públicas e Avaliação da Educação Agradecimentos especiais Secretaria Municipal de Educação do Rio de Janeiro, Secretarias de Estado de Educação do Rio de Janeiro, São Paulo, Espírito Santo e Minas Gerais e escolas parceiras que contribuíram para a testagem e validação da Metodologia Entre Jovens. Realização Instituto Unibanco Presidência Pedro Moreira Salles Vice-Presidência Pedro Sampaio Malan Conselho Antonio Matias Cláudio de Moura Castro Cláudio Luiz da Silva Haddad Marcos de Barros Lisboa Ricardo Paes de Barros Tomas Tomislav Antonin Zinner Thomaz Souto Corrêa Netto Wanda Engel Diretoria Executiva Fernando Marsella Chacon Ruiz Gabriel Amado de Moura Jânio Gomes José Castro Araujo Rudge Leila Cristiane B. B. de Melo Luis Antônio Rodrigues Marcelo Luis Orticelli Superintendência Executiva Ricardo Henriques Gerência de Implementação de Projetos Tiago Borba Gerência de Desenvolvimento e Conteúdo Marta Grosbaum Gerência de Gestão do Conhecimento Camila Iwasaki Gerência de Administração e Finanças Fábio Santiago Gerência de Escritório de Projetos José Carlos R. de Andrade Assessoria de Assuntos Estratégicos Christina Fontainha Assessoria de Comunicação Marina Rosenfeld Assessoria de Voluntariado Fabiana Mussato
- 7. umário S Oficina 1 – Números Naturais e Inteiros Oficina 2 – Números Racionais Oficina 3 – Potenciação e Radiciação Oficina 4 – Introdução à Álgebra Oficina 5 – Equações Lineares Oficina 6 – Grandezas Direta e Inversamente Proporcionais Oficina 7 – Porcentagem Oficina 8 – Grandezas e Medidas Oficina 9 – Áreas de Figuras Planas Oficina 10 – Sólidos Geométricos Oficina 11 – Revisitação Respostas Referências Bibliográficas Anexos 9 27 45 61 79 91 103 115 131 161 179 191 201 203
- 9. 9GUIA DO ALUNO Números naturais e inteiros 1 1. Introdução As operações e aplicações envolvendo números naturais e inteiros são pré-requisitos fundamentais para que o aluno desenvolva bem a matemática do Ensino Fundamental e Médio, e por isso, este capítulo inicial dedica-se a fazer uma recapitulação desses saberes. Inicialmente, utilizaremos a resolução de problemas focando na matemática do cotidiano e depois, um jogo de tabuleiro que objetiva trabalhar a fatoração de um número natural. 2. Resolução de problemas Problema 1. Júlia, Diogo e Carolina jogaram um torneio de três partidas de boliche. Veja as pontuações alcançadas por cada um nessas três partidas. Partidas 1 2 3 Júlia 12060 12200 12580 Diogo 11960 11500 13500 Carolina 8020 12180 14590 a) Vence quem ganha mais partidas; b) Vence quem faz maior número de pontos em qualquer uma das partidas; c) Vence quem soma maior número de pontos; d) Vence quem soma maior número de pontos em duas partidas, desprezando-se o pior resultado.
- 10. 10 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME 1 Problema 2. Para montar seu restaurante, Dona Lia dispunha de R$ 50.000,00. Inicialmente, ela gastou R$ 22.000,00 reformando o local do restaurante e R$ 6.750,00 em equipamentos para a cozinha. Depois, ela comprou 3 lotes de refrigerantes, pagando R$ 1.250,00 por cada um, e um estoque de alimentos congelados, que lhe custou R$ 3.000,00. Com tantos gastos, sobrou dinheiro? Quanto? Problema 3. Paulo que é muito distraído, partiu de um determinado marco quilométrico da estrada com destino a uma cidade que fica no quilômetro 400 dessa mesma estrada. Ao percorrer 129 Km, leu na placa que estava no marco Km 311 dessa estrada, quando percebeu que havia esquecido a mala no ponto de partida. Com isso Paulo teve que voltar para buscá-la. Km ? Km 311 Km 400 129 Km a) De que ponto da estrada Paulo partiu? b) Considerando as idas e vindas, quantos quilômetros ele percorreu até completar a viagem?
- 11. 11GUIA DO ALUNO Problema 4. O gráfico mostra os lucros de uma rede de supermercados no primeiro semestre do ano passado. Você nota que, em alguns meses, ocorreram prejuízos. Podemos considerá-los como lucros negativos. 35 30 25 20 15 10 5 0 -5 -10 -15 -20 -25 -30 -35 meses lucro(emmilhões) Janeiro Fevereiro Março Maio Abril Junho a) Em que mês o lucro foi de –30 milhões de reais? b) Em algum mês o lucro foi de 45 milhões de reais? c) Considerando o total do semestre, qual foi o lucro? Problema 5. Indique a expressão correspondente a cada item e calcule seu valor: a) A soma de -6 com o dobro de 5.
- 12. 12 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME 1 b) A metade da diferença entre –4 e 8. c) O produto do dobro de –3 com o quíntuplo de –2. d) A diferença entre a metade de –6 e o número 8. Problema 6. Uma frota de caminhões levará uma tropa de 1128 soldados até um campo de treinamento. Cada caminhão pode levar até 36 soldados. Para transportar essa tropa, quantos caminhões, no mínimo, serão necessários? 2. O jogo Fatorando As regras do jogo: »» Número de participantes: 2 jogadores; »» Cada participante deverá ter um botão; »» Os participantes devem embaralhar as peças circulares que contêm os números primos, e colocá-las sobre o tabuleiro, com a face voltada para baixo, nos espaços circulares do tabuleiro; »» Em seguida, devem colocar as peças retangulares que contêm os números naturais sobre a mesa, e separá-las de acordo com o nível de dificuldade (amarelos, azuis e vermelhos) em três blocos com a face voltada para baixo; »» Define-se, no início, a ordem em que os participantes jogarão. Em seguida, cada jogador deve pegar uma peça retangular do nível 1 (fácil) e colocar sobre a cartela para cálculos (figura 4 do anexo), conforme ilustra a figura no 7º passo abaixo; »» O jogo tem início com um jogador lançando o dado e fazendo seu botão percorrer tantas casas quantas as que foram indicadas na face superior do dado, em qualquer direção do tabuleiro, mas por casas que estejam conectadas por segmentos;
- 13. 13GUIA DO ALUNO »» O primeiro jogador deverá virar a peça circular da casa em que parou e verificar se o número do círculo dessa casa pode ou não dividir o número de sua cartela de cálculos. Se der, ele retira esse círculo do tabuleiro e o coloca sobre a cartela de cálculos conforme ilustrado na figura abaixo, faz a divisão na cartela de cálculos e fica com essa peça em sua cartela de cálculo, passando a vez para o outro jogador. Caso o número do círculo dessa casa do tabuleiro não der para dividir o número de sua cartela, o jogador recoloca o círculo de volta ao tabuleiro, com a face voltada para baixo, e passa a vez para o outro jogador. Veja exemplo: 298 49 »» O segundo jogador repete o procedimento anterior e o jogo continua assim, sucessivamente, até que um dos jogadores consiga finalizar a fatoração, vencendo a rodada; »» O jogo prossegue com mais rodadas, de nível 1 (fácil), nível 2 (médio) e nível 3 (difícil).
- 14. 14 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME 1 3. Resolva as atividades propostas abaixo. Atividade 1. Os quadrados mágicos apareceram na China, por volta de 2200 a.C. Os números dispostos nesses quadrados mantêm uma soma constante nas suas linhas, colunas e diagonais, chamada soma mágica. Construa, usando os números seguintes, um quadrado mágico com soma mágica igual a - 15. -15 -14 -13 -6 -5 -4 3 4 5 Atividade 2. Calcule: a) mmc (16, 20) b) mdc (18, 27, 45) c) mmc (15, 24, 38) d) mdc (12, 32, 45)
- 15. 15GUIA DO ALUNO Atividade 3. A malha abaixo é formada por quadrados de 1cm de lado. Resolvendo as expressões abaixo, você irá encontrar o caminho feito por uma cobra que parte da origem destacada, pois cada resultado corresponde ao número de centímetros que ela irá percorrer. Nota: Quando a cobra vai para cima (norte) ou para a direita (leste) ela caminha no sentido positivo e quando vai para baixo (sul) ou para a esquerda (oeste) ela caminha no sentido negativo. origem oeste leste sul norte Caminho da cobra: 5+ na horizontal, ()3− + na vertical, 2 2− na horizontal, () 0 8− na vertical, ()()9 3− ÷ − na horizontal, (– 2)² na vertical e () 1 5 na horizontal. Marque na malha acima o caminho percorrido pela cobra. Atividade 4. Diversos cometas passam perto do sol, periodicamente. O cometa A passa de 12 em 12 anos. O cometa B passa de 15 em 15 anos. Se os cometas A e B passarem perto do sol, num mesmo ano, quanto tempo depois essa coincidência voltará a acontecer?
- 16. 16 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME 1 Atividade 5. O esquema a seguir representa a rua onde Elvira mora e os números indicam a distância orientada, em metros, de cada local em relação à igreja, sendo o sinal negativo o indicador de que o local se encontra do lado esquerdo da igreja. a) Certo dia, Elvira saiu de casa e fez o seguinte trajeto: foi até o correio e em seguida foi assistir à missa. Comeu um lanche na padaria após a missa, foi ao banco pagar uma conta e foi buscar sua filha na escola, pararam na praça e foram para casa. Quantos metros Elvira andou nesse percurso? b) Saindo da casa da Elvira, faça o seguinte trajeto sobre a reta numérica: 400m para a direita, 300m para a esquerda, 500m para a direita, 300m para a esquerda e 200m para a esquerda. Descreva, segundo esse trajeto, quais foram os lugares visitados e onde você parou. Atividade 6. Dois rolos de corda, um de 200 metros e outro de 240 metros de comprimento, precisam ser cortados em pedaços iguais e com maior comprimento possível. Responda: Quanto medirá cada pedaço? Quantos pedaços serão obtidos de cada rolo? Atividade 7. Na reta numérica da figura abaixo, o ponto E corresponde ao número 9− e o ponto F, ao inteiro 7− . -9 -7 A B C D E F G H I J K L M Nessa reta, o ponto correspondente ao inteiro zero estará: a) sobre o ponto M. b) entre os pontos L e M. c) entre os pontos I e J. d) sobre o ponto J. -300 -200 -100 0 100 200 300 Correio EscolaPadaria Igreja Praça Casa de Elvira Banco
- 17. 17GUIA DO ALUNO Atividade 8. Paola comprou dois secadores de cabelo de R$ 120,00 cada, três Dvd’s por R$ 115,00 cada e um televisor de R$ 2500,00. Os objetos foram pagos em cinco parcelas iguais e sem juros. O valor de cada parcela, em reais, foi igual a: a) 120 b) 617 c) 516 d) 716 Atividade 9. Na cidade de Moscou, na Rússia, os termômetros marcavam, de manhã, 16º− C. Os jornais locais indicavam que a temperatura, no decorrer do dia, iria ainda cair 13º C. Segundo essa previsão, a temperatura chegaria a: a) 29º− C b) 3º− C c) 3º+ C d) 13º+ C Atividade 10. Seja ()() 2 3 5 5A = − + − . O valor de A é: a) 125 b) -5 c) 625 d) -100
- 18. 18 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME 1 ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ANOTAÇÕES
- 20. 20 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME 1 ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________
- 22. 22 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME 1 ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________
- 24. 24 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME 1 ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________
- 26. 26 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME 1 ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________
- 27. 27GUIA DO ALUNO Números racionais 2 1. Introdução Os números naturais surgiram para ajudar no processo de contagem, mas na vida cotidiana utilizamos também as partes próprias da unidade. Comprimento, área, peso, tempo são exemplos de medidas usuais que, sem a criação do conjunto dos números racionais, não poderiam ser quantificadas. 2. Resolução de Problemas Problema 1: Clara, Elisa, Marcos e Henrique tentam dividir três barras de chocolate entre eles. Mas como fazer se todos devem receber a mesma quantidade?
- 28. 28 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME 1 Problema 2: Imagine três terrenos idênticos, o primeiro dividido em duas partes iguais, o segundo dividido em quatro partes iguais e o terceiro dividido em 16 partes iguais, como representado nas figuras abaixo. Os três pertencem ao mesmo agricultor e cada um será semeado da seguinte maneira: o primeiro com sementes de cenoura, o segundo de alface e o terceiro de batata. A região colorida nas figuras acima indicam a porção de cada terreno que será semeada. Qual dos três terrenos terá maior área semeada? Problema 3. Os amigos Carlos, Jonas, Lucas e Pedro foram a uma pizzaria. Lá chegando, Carlos e Pedro escolheram uma pizza de mussarela e pediram que ela fosse repartida em 8 partes iguais. Já Lucas e Jonas escolheram uma de calabresa, mas pediram que fosse repartida em 6 partes iguais. No final da noite, sobrou um pedaço de cada pizza. Qual dupla comeu mais?
- 29. 29GUIA DO ALUNO Problema 4. Um agricultor plantou batatas em 5 das 12 partes em que dividiu a sua horta. Em outras 3 partes, plantou abobrinhas. Quantas partes da horta foram utilizadas com essa plantação? Esse mesmo agricultor pretende plantar cenouras na parte restante da horta. Quanto da horta ainda resta para essa plantação? Problema 5. Dona Rosa é a responsável pela cantina de uma escola. Ela costuma fazer bolos de chocolate para vender para os alunos. Em um dia, ela fez dois tabuleiros de bolo do mesmo tamanho, mas um deles ela dividiu em 12 partes iguais e vendeu 5 pedaços e o outro ela dividiu em 8 partes iguais e vendeu apenas um pedaço. Qual a fração que representa o quanto foi vendido de bolo de chocolate naquele dia? Problema 6. Seu Jorge tem cinco filhos. Ele comprou um grande terreno e dividiu igualmente entre eles. Anos depois, Júlio, o filho mais velho de seu Jorge, decidiu dividir seu terreno entre seus três filhos. Em relação ao terreno original, qual é a fração que representa a quantidade recebida por cada filho de Júlio?
- 30. 30 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME 1 Problema 7. Uma pesquisa foi feita para analisar a preferência de moradores de uma cidade por esportes. 3 4 dos entrevistados gostam de futebol e metade desses 3 4 gostam também de vôlei. Qual é a fração que representa os entrevistados que gostam de vôlei? Antes do próximo problema, vamos analisar algumas situações. Para repartir igualmente 40 litros de leite entre 10 famílias, quanto deverá receber cada família? Se 40 litros de leite devem ser colocados em jarras de 1 litro cada uma, quantas jarras serão necessárias? E se tivermos canecas de 2 1 litro cada uma, quantas serão necessárias? E se tivermos copos de 250 m , isto é, 4 1 de litro cada um, quantos serão necessários? E se tivermos garrafas de 4 5 de litro, quantas serão necessárias? Vamos observar novamente todas as divisões que fizemos: Problema 8. Para repartir 25 4 litros de leite em copos de 2 5 , quantos copos serão necessários?
- 31. 31GUIA DO ALUNO Problema 9. Uma fábrica de refrigerantes pôs à venda uma garrafa que continha 1 4 de litro a mais em comparação com as garrafas comuns que contém um litro. Comparando a garrafa antiga e a nova garrafa, que fração representa a quantidade de refrigerante na nova garrafa, considerando como unidade um copo de 250 m ? Problema 10. Parte de um terreno foi utilizada para construção e outra parte para um jardim, conforme mostra a figura. Construção Construção Jardim Construção a) Indique as frações correspondentes à parte construída e à parte dedicada ao jardim em relação ao terreno todo. b) Indique a fração correspondente ao jardim em relação à parte construída. c) Que número decimal representa o tamanho do jardim em relação ao terreno todo? d) Que número decimal representa o tamanho do jardim em relação à parte construída?
- 32. 32 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME 1 Problema 11. Veja a pontuação obtida por seis atletas em uma competição de ginástica artística: Atleta Pontos Aline 8,72 Bia 9,25 Cláudia 9,36 Diana 8,725 Eloá 9,32 Flávia 8,728 Qual foi a ordem de classificação das atletas? Ordem Atleta 1ª Cláudia Problema 12. Seu José foi ao supermercado e comprou um pacote de 5kg de arroz por R$ 10,89, 1kg de carne por R$ 12,65 e uma dúzia de ovos por R$ 2,99. Quanto ele gastou? Para pagar a conta, seu José entregou à caixa do supermercado uma nota de R$ 50,00. Quanto ele recebeu de troco? Problema 13. Ao sair do mercado, seu José lembrou-se que deveria ter comprado mussarela. No caminho de casa passou em uma padaria e comprou 250g do queijo que custava R$ 14,99 o quilo. Quanto pagou pelo queijo?
- 33. 33GUIA DO ALUNO Problema 14. Para saber se um carro é econômico, calcula-se o rendimento médio de combustível. Por exemplo, se o carro faz 14km com 2 litros de álcool, o rendimento é de 7km por litro. Isso porque 14 : 2 = 7. Qual será o rendimento médio de um automóvel que rodou 304,5km com 35 litros de combustível? 3. O conjunto dos Números Racionais ( ) Todos os números vistos até agora são chamados números racionais, pois podem ser escritos em forma de fração, como razão entre dois números inteiro. Esses números formam o conjunto dos números racionais que é representado pela letra . Fixando um ponto para o zero, uma unidade para o 1 e um sentido para ser o positivo, podemos localizar na reta qualquer número racional. Localize na reta os seguintes números − − 2 ; 1, 5; 3, 25; 2, 6 2, 333... 3 e :
- 34. 34 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME 1 Resolva as atividades propostas abaixo: Atividade 1: Observe as figuras abaixo e identifique aquelas que podem ter a parte hachurada representada por uma fração: I II III IV V VI As questões a seguir são sobre as figuras que representam uma fração: a) Que fração representa cada uma delas? b) Encontre duas frações equivalentes a cada uma delas. c) Em relação a letra (a), quais são frações equivalentes? d) Quais são frações irredutíveis? e) Qual pode ser expressa pela fração 2 1 ? Atividade 2: Três caixas d’água têm a mesma capacidade. Uma está com 6 5 da sua capacidade, outra com 7 4 e a terceira com 11 14 . Qual das caixas está mais cheia? Atividade 3: O chão da sala de jantar da casa de Denise está sendo acarpetado. Num dia foi colocado carpete em 8 6 do chão e, no dia seguinte, em 2 11 . a) Qual é a fração que representa a parte acarpetada? b) Qual é a fração que representa a parte onde falta colocar carpete? Atividade 4: A classe de Willian, o 9º ano B, foi ao zoológico observar os animais para fazer um trabalho de Ciências. a) Um ônibus de 48 lugares veio buscar os alunos na porta da escola. A professora de Ciências foi junto. Se 8 5 dos lugares foram ocupados, quantos assentos ficaram vazios?
- 35. 35GUIA DO ALUNO b) Cinco alunos faltaram à excursão. Quantos alunos têm o 9º ano B? c) A distância da escola ao zoológico é de 12km. Quando havia percorrido 4 3 dessa distância, furou um dos pneus do ônibus. Quantos quilômetros faltavam para chegar ao zoológico? d) Quando conseguiram chegar ao zoológico, os alunos foram direto à ala dos macacos. Lá vivem 49 macacos; 7 4 são fêmeas. Quantos são os machos? e) Num viveiro tinha 311 passarinhos; morreram 5. Um empregado do zoológico retirou os passarinhos mortos, mas esqueceu a porta do viveiro aberta e 6 5 do restante fugiram. Quantos passarinhos sobraram? f) Na volta à escola, por causa de um grande congestionamento, o ônibus demorou 2 3 de hora. Quantos quilômetros ele percorreu por hora? Atividade 5: Observe o gráfico abaixo: Desmatamento da Mata Atlântica (em milhares de quilômetros quadrados) 46,1 58,8 287,8 193,6 200,5 13,9 4,7 41,9 39,2 29,9 Espírito Santo Mato Grosso do Sul Minas Gerais Paraná São Paulo 1500 2000 Fonte: Almanaque Abril, 2004 Qual Estado apresenta maior área de desflorestamento da Mata Atlântica? Em quais Estados mais da metade da Mata Atlântica foi desflorestada? Qual a área total original de Mata Atlântica nos cinco Estados? Qual a área desflorestada nos cinco Estados?
- 36. 36 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME 1 Atividade 6: Considere as seguintes informações sobre o rendimento de combustível do carro do seu Antônio: rendimento médio urbano – 12,1 km//1,12 km ; rendimento médio na estrada – 16,5 km//1,12 km . Em uma viagem, esse carro percorreu 36,3km na cidade e 198km na estrada. Calcule a despesa com combustível que seu Antônio teve nessa viagem, considerando que o preço de cada litro de combustível foi de R$ 2,30. Atividade 7: Identifique quais dos racionais abaixo são dízima periódica e encontre sua geratriz. a) 0,111... b) 1,45379... c) 0,23141414... d) 0,6444... e) 3,141516... f) 0,0202... Atividade 8: Localize em uma mesma reta os seguintes números racionais: a) 0,1 b) – 1,2 c) 3,444... d) 5 2 − e) 10 4 f) – 3,75
- 38. 38 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME 1 ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________
- 40. 40 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME 1 ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________
- 42. 42 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME 1 ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________
- 44. 44 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME 1 ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________
- 45. 45GUIA DO ALUNO Potenciação e radiciação 3 1. Introdução Nessa oficina trataremos esses conteúdos começando pela potenciação com base racional e expoente natural, ampliando para expoentes negativos e dando ênfase à utilização das potências de 10 utilizadas nas notações científicas, que são fundamentais para o desenvolvimento das teorias da Física e da Química. Trabalharemos também com as propriedades da potenciação, objetivando desenvolver técnicas de cálculo e raciocínio. Quanto à radiciação, introduziremos sua definição como a operação inversa da potenciação e daremos ênfase às propriedades e aos cálculos que envolvam números irracionais trabalhando com simplificação de radicais. Usaremos um jogo como recurso didático, com o objetivo de desenvolver raciocínio lógico matemático e habilidades de cálculo com potências e radicais por meio lúdico. O jogo que usaremos é uma adaptação do “Dominó Humano Matemático”, que contará com cálculos que envolvem potências e radicais, bem como suas propriedades. Esse jogo tem o objetivo de entreter, aperfeiçoar e, ao mesmo tempo, dinamizar a aula. Por meio desse recurso os alunos aprendem matemática brincando, desenvolvem autonomia, fixam as propriedades e ainda interagem com o professor e com os colegas. 2. Potenciação A potenciação é útil no estudo de várias situações. Vejamos, por exemplo, como proceder na compreensão da difusão de uma epidemia. Problema 1. Suponha que uma pessoa esteja contaminada com uma determinada doença. Em 1 dia o sujeito contaminado espalha a doença para 4 pessoas. Cada uma dessas 4 pessoas contamina outras 4 pessoas, no tempo de 1 dia. Em pouco tempo teremos uma epidemia. Faça um diagrama de árvore e complete a tabela: Tempo Instante inicial 1o dia 2o dia 3o dia 4o dia Novas pessoas contaminadas 1
- 46. 46 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME 1 No problema anterior, temos um problema com potências. A fórmula que nos dá o número de contaminados C no enésimo dia, segundo essa tabela, é dado por: Vamos efetuar as potenciações, relembrando as regras da multiplicação dos números racionais: a) b) c) d) 8 5 2 ` j e) f) g) h) Observando as potências que você acabou de calcular, responda: a) Se a base é positiva, a potência é positiva ou negativa? b) Se a base é negativa, a potência é positiva ou negativa? Problema 2. Complete a tabela, observando a regularidade em sua construção. 2 2 1 2 0 2 1 2− 2 2− 3 2− 8 4 2 a) Escreva o resultado da potência:
- 47. 47GUIA DO ALUNO b) Efetue as potenciações, levando em consideração o resultado anterior: 4 2− 2 5− 3 2 5 − 1 8 7 − () 0 0,7 Problema 3. Leia o seguinte texto, em voz alta, e em menos de 30 segundos: “...como, por exemplo, o nosso Sistema Solar que tem um diâmetro aproximado de 100.000.000.000 metros. E isso é muito pequeno se comparado com o tamanho da Galáxia onde vivemos com seus incríveis 100.000.000.000.000.000.000 metros de diâmetro. No entanto, ao lembrarmos que o Universo visível deve ter cerca de 100.000.000.000.000.000.000.000.000 metros de diâmetro, vemos que tamanhos assombrosos estão incluídos no estudo da Astronomia. Daí pensamos que é melhor estudar biologia, pois a molécula do DNA tem apenas 0,0000001 metro, muito mais fácil de lidar. O problema é que a astronomia não é uma profissão perigosa enquanto que a biologia... Imagine que os biólogos têm a coragem de lidar com vírus que medem apenas 0,000000001 metro e são terrivelmente mortais. E se, por distração, um biólogo deixar um desses vírus cair no chão do laboratório? Nunca mais irá encontrá-lo!....”. Difícil ler esses números, não é? Para facilitar ainda a compreensão de textos como esses, os cientistas passaram a usar uma forma compacta para escrever números muito grandes ou muito pequenos, a chamada notação científica ou notação exponencial. Agora você pode escrever os números que aparecem no texto acima utilizando notação científica. 3. Radiciação Problema4.Vamoscompletaratabelacalculandoaáreadeumquadradodeladomedindoncentímetros. Lado n Área 3 cm 7 cm 2,5 cm x cm
- 48. 48 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME 1 Agora a situação é inversa. Escreva a medida do lado de um quadrado, conhecendo sua área: Área Lado 16 cm2 64 cm2 2,25 cm2 x2 cm2 Você acabou de calcular várias raízes quadradas. A ideia é a mesma para outras raízes. Procure usar esse raciocínio do inverso da potenciação para calcular as seguintes raízes: a) b) c) d) e) f) g) Problema 5. O gráfico abaixo mostra a relação entre os números reais x, de 0 a 10, e os seus quadrados, representados por y. Analise-o e determine através dele, o valor aproximado: a) dos números cujos quadrado são 36; 30; 19; 84 b) dos números
- 49. 49GUIA DO ALUNO x y100 95 90 85 80 75 70 65 60 55 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 0 2 4 6 8 10 Problema 6. As sentenças seguintes referem-se a dois números não negativos. Classifique-as em verdadeira ou falsa. a) A soma das raízes quadradas de dois números é sempre igual à raiz quadrada da soma desses números:
- 50. 50 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME 1 b) O produto das raízes quadradas de dois números é sempre igual à raiz quadrada do produto desses números: c) O quociente das raízes quadradas de dois números é sempre igual à raiz quadrada do quociente desses números: d) A diferença das raízes quadradas de dois números é sempre igual à raiz quadrada da diferença desses números: e) A raiz quadrada de um número corresponde a uma potência com expoente fracionário 1 2 : Problema 7. Obtenha o perímetro do triângulo e do retângulo ilustrados abaixo, cujas medidas de seus lados estão dadas em centímetros, procurando simplificar os radicais. 125 20 5 a) b) 18 22 1+ 4. Dominó Matemático Regras »» Recorte as peças (você poderá refazer essas peças com outro material e de outro tamanho, se julgar necessário) e distribuir para a turma entregando uma peça para cada aluno. Se sobrarem peças, estas ficarão em sua responsabilidade para que o jogo possa se realizar. Se houver mais alunos que peças, divida a turma em dois grupos diferentes, para que todos possam participar. »» Um aluno começa o jogo. Ele vai a frente e lê seu cartaz. Por exemplo:
- 51. 51GUIA DO ALUNO Eu tenho 9, quem tem 0100 ? O aluno que tiver com a resposta, ou seja, o aluno que tem a peça com os dizeres: “Eu tenho 0, ...” irá a frente, ficando ao lado do primeiro (como se fosse um dominó humano) e assim por diante, cada aluno irá se posicionar no dominó conforme sua peça. É importante que você, tutor, aguarde a tentativa dos alunos. Espere até que alguém se pronuncie com o cartão que contém a resposta correta, mas não se esqueça de formalizar o cálculo ou a propriedade que foi utilizada para resolver aquele item. Você poderá empregar as seguintes questões: Com quem está o cartão com o resultado? Como você chegou ao resultado? Alguém usou algum outro caminho pra efetuar o cálculo?
- 52. 52 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME 1 5. Resolva as atividades propostas abaixo. Atividade 1. As distâncias entre as estrelas são tão grandes que não convém medi-las em quilômetros. Por isso, os astrônomos utilizam uma unidade de medida mais conveniente: o ano-luz. Um ano-luz é a distância percorrida pela luz em um ano. Responda: a) Em cada segundo, a luz percorre 300 000 Km. Multiplique isso pelo número de segundos de um ano e diga quantos quilômetros há em um ano-luz. Dê a resposta em notação científica. b) A segunda estrela mais próxima da Terra está a 4 anos-luz de distância. Quantos quilômetros nos separam dela? Atividade 2. No primeiro dia de uma epidemia de gripe, foram registrados cinco casos de pessoas infectadas. No segundo dia, cada uma das cinco transmitiu a gripe para outras cinco pessoas saudáveis. E assim a doença se propagou nos dias seguintes. Ao final do 60 dia, quantas pessoas ao todo haviam sido infectadas? Atividade 3. Qual é o valor aproximado de 3 48 ? Atividade 4. A medida da área de um triângulo equilátero de ℓ é dado por 2 3 4 . Nessas condições, qual é a medida da área de um triângulo equilátero de lado medindo 3 5 cm? Atividade 5. Um terreno retangular de dimensões 20 2 2m m× deverá ser cercado com arame. Se o metro de arame custa R$ 3,50, quanto será gasto para cercar esse terreno, sendo necessário dar 3 voltas de arame? (Use valores aproximados para os radicais não exatos). Atividade 6. Qual o resultado da expressão (0,8)2 : (31)0 + (6/10)2 ?
- 54. 54 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME 1 ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________
- 56. 56 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME 1 ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________
- 58. 58 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME 1 ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________