1. Catatan Tutotial ini mengandungi bahan berikut
1. Imbasan Teori Aliran Upaya
Tutorial Aliran Upaya
BUKU TUTORIAL Kumpulan Soalan Peperiksaan
Akhir Aliran Upaya
MEKANIK BENDALIR
SMM/SMJ 3303 2. Imbasan Teori Aliran Lapisan Sempadan
Tutorial Aliran Lapisan Sempadan
Kumpulan Soalan Peperiksaan
Akhir Aliran Lapisan Sempadan
3. Imbasan Teori Ringkas Mesin Turbo
Tutorial Mesin Turbo
Kumpulan Soalan Peperiksaan
Akhir Mesin Turbo
Jabatan Haba Bendalir
Fakulti Kejuruteraan Mekanikal
Pesan kepada Semua Pelajar SMM/SMJ 3303
Universiti Teknologi Malaysia
- anda dinasihatkan supaya menyelesaikan semua soalan dalam
Catatan Tutorial ini,
- menurut pengalaman kami, pada setiap semester, peratusan
pelajar yang lulus DENGAN BAIK mata pelajaran
MEKANIK BENDALIR II adalah AMAT RENDAH sekali,
- doa kami mudah – mudahan dengan Catatan ini anda boleh
menolong diri anda sendiri untuk meningkatkan lagi tahap
penghayatan anda mengenai mata pelajaran teras ini, dan
Sem.I sekaligus membantu kami untuk meluluskan anda dalam
Sessi Akademik 2002/2003 peperiksaan dan ujian SMJ 3303.
Jun 2002 Prof amer n darus, c23 430 h/p:019 3239491
Kampus Skudai
Johor Baru

2. Kita perhatikan beberapa penting menegenai Mesin Turbo:
a. Turbin Denyut: Roda Pelton
bulatan ub W2
pic roda
VJ ub
θ
VJ
W2
W1 + W2 kos β
IMBASAN legenda
Vw1 – Vw2 Vw2 V = halaju mutlak
TEORI MESIN TURBO W = halaju relatif
W2 V2 Vw = V kos α
θ β α = halaju pusaran
β = ( 180o - θ)
W1 ub θ = sudut pesongan
JABATAN HABABENDALIR
FAKULTI KEJURUTERAAN MEKANIKAL α = sudut ‘bilah pandu’
UNIVERSITI TEKNOLOGI MALAYSIA VJ = V1 = Vw1
Rajah 3.1: Hal penting roda Pelton
Halaju jet, VJ = Cv 2 gH B , turus jet hKE = VJ2/(Cv2 2g)
Turus berkesan, HB = Turus kasar – turus geseran paip penstok
= Hkasar – (4fL/d)(u2/2g)
dengan L dan d masing – masing panjang dan diameter paip
Semester 1 penstok; f dan u pula ialah factor geseran dan halaju aliran dalam
Sessi Akademik 2001/2002 di dalam paip.
Julai, 2001
Turus Euler = turus yang dijana oleh mesin turbo = [(UVw)1-(UVw)2]/g
Khas untuk turbin Pelton, U1 = U2 = ub = πND/60: D = diameter pic roda.

3. Ciri penting: Seluruh sistem turbin tergenang air, iaitu dari head race ke tail
Turus Euler turbin Pelton, race dipenuhi oleh air; tenaga mekanikal diraih dari penjelmaan tenaga
hidrodinamik oleh tekanan dan juga oleh tenaga kinetik air yang melalui
hE = (ub/g)[Vw1 – Vw2] = (ub/g)[W1 + k W2 kos β] bilah pada roto. Pemilihan sama ada perlu dipasang turbin Francis ataupun
turbin Kaplan diasaskan kepada magnitud laju tentu, N S = NP1/2H-5/4.
= (ub/g) [(VJ – ub)(1 + k kos β) Lazimnya untuk H rendah akan menghasilkan NS besar, turbin Kaplan
digunakan. Untuk turus H tinggi akan menghasilkan N s kecil, turbin Pelton
dengan W1 = halaju relatif = V J – ub; k = 1 jika tiada geseran pada dipasang.
permukaan bilah/sauk/timba.
Kuasa yang diraih oleh turbin Pelton, Po head race,0
= ρgQhE = ρgQ[(ub/g) [(VJ – ub)(1 + k kos β)] [1] bilah roto
Kuasa yang disediakan oleh nosel, Pin = ρgQhKE
stator
= ρgQ [VJ2/(Cv2 2g)] paip (diam)
penstok bilah pandu [2]
Kecekapan hidraulik, ηh = hE/hKE roto
= 2Cv2 φ (1-φ)(1+ k kos β); dengan β = (180o - θ) (bergerak)
Kecekapan maks. dicapai apabila dηh/dφ = 0. Ini terjadi pada φ = ½. Dalam turbin roto/runner
praktiknya, (ηh)maks terjadi untuk 0.46 ≤φ≤0.48. dari penstok turbin jejarian
tiub draf
tail race,4
Rajah 3.2: Turbin aliran ke dalam
Terapkan Pers. tenaga dari 0 → 4: hT = (Hkasar – hLpenstok) – (hLturbin); hLpentoks
adalah kesusutan turus oleh geseran paip [(4fL/d)(u 2/2g)]; hLturbin ialah
kesusutan pada perumah, bilah pandu, bilah gerak dan dalam tiub draf.
Jadi, hT = HB – hLturbin; dengan HB = turus berkesan = Hkasar - hLpenstok
b. Turbin Francis
Penerapan Pers. tenaga dari [1] → [2] serentas roto, lihat Rajah 3.2.
H01 = H02 + hE + hLroto ⇒ hE = H01 – H02 - hLroto
Turbin tindak balas: Turbin Francis dan turbin Kaplan.

4. dengan H0 = turus total = (p/ρg + V2/2g +z); hE ialah turus Euler untuk Kecekapan keseluruhan,
turbin tindak balas, hE = [(UVw)1-(UVw)2]/g η0 =ηhidraulikηmekanikal ηvolumatrik
Rujuk rajah segi tiga halaju.
c. Turbin Kaplan Vw1 Vf1 kot β 1
Vf1kotβ1
Vw1 arah α Vf1 β
α β Legenda aliran V1 W1
V1 Vf W1 V = halaju mutlak
U = halaju putaran bilah
W = halaju relatif gerak
Vw = halaju pusaran = V kos α Vf2 = V2
V2 Vf = halaju aliran = V sin α W2
α = sudut bilah pandu, Dhab
U2
W2 β = sudut bilah gerak
Droto
β U2
Rajah 3.3: Rajah segi tiga halaju Rajah 3.4: Turbin Kaplan
turbin tindak balas
Di sini, kadar alir ditentukan dari pers. berikut, Q = (π/4)(D2 – Dhab2)Vf
Lazimnya Vw2 = 0, iaitu aliran keluar secara jejarian, keluar tanpa kejutan,
Lazimnya dalam analisis hidrodinamik turbin Kaplan dikenalkan,
Jadi, hE = U1Vw1/g = U1[U1 – Vf1 kot β]/g;
Pekali aliran, ψ = Vf/( 2 gH B ); Vf = halaju aliran
dengan, U1 = Vf1[kot β1 + kot α1]
Pekali halaju, φ = U/( 2 gH B ) ; U = halaju putaran
dengan U=πDN/60 = halaju putaran,
Turus Euler dengan Vw2 = 0, ⇒ hE = U1Vw1/g; turus bersih = HB
Kuasa yang diraih oleh turbin, Po = ρgQhE = ρgQ[U1Vw1/g]
Kuasa yang diraih oleh turbin, Po = ρgQhE = ρgQ[U1Vw1/g]
Kuasa yang tersedia, Pin = ρgQHB; Q = πbDVf
dengan b = tinggi bilah, D = diameter roto, Vf = halaju aliran Kuasa yang tersedia, Pin = ρgQHB; Q = πbDVf
Kecekapan hidraulik, dengan b = tinggi bilah, D = diameter roto, Vf = halaju aliran
ηh = U1Vw1/gHB

5. Kecekapan hidraulik,
ηh = U1Vw1/gHB
Kecekapan keseluruhan,
η0 =ηhidraulikηmekanikal ηvolumatrik jenis sesiku jenis spreading
Rajah 3.6: Bentuk tiub draf
Tiub draf Daripada pers. tenaga yang telah dituliskan di atas kita perhatikan tekanan
Tiub draf merupakan sebahagian turbin tindak balas. Tiub draf perlu p3 boleh menurun ke satu takat yang rendah. Namun ini harus dikawal
dipasang kerana 1. untuk meraih sebahagian tenaga kinetik air yang keluar jangan sampai melewati tekanan wap air.
dari turbin, V42/2g menjadi lebih kecil, 2. meningkatkan turus berkesan, 3.
Memudah kerja pembaikpulihan adan penyelengaraan loji kelak. (p3 – p4)/ρg = (z4-z3)+(V42-V32)/2g + ΣhL34
Daripada pers. keterusan, A3V3 = A4V4 ⇒ V3/V4 = A4/A3 = d42/d32
V3
z3 p3/ρg + V32/2g + z3 = p4/ρg + V42/2g + z4 + hLtd Maka,
(p3-p4)/ρg = - Ltd +(V42/2g)[1- (d42/d32)2] + ΣhL34
V4
Kita perhatikan pers. terakhir ini, sebutan [1- (d42/d32)2] adalah negatif.
Maka tekanan p3 [tolok] adalah selalu negatif.
Rajah 3.5: Tiub draf
2. Hidrodinamik Pam
Jika turbin adalah sebuah peranti hidrodinamik yang menjelmakan tenaga
hidro ke tenaga mekanikal, maka pam pula ialah peranti yang menjelmakan
tenaga mekanikal ke tenaga hidro. Pada prinsipnya jika turbin jejarian
dibalikkan putarannya, disongsangkan arah putarannya, maka kita peroleh
sebuah pam. Sama seperti turbin, pam juga boleh diklasifikasikan menurut
operasi kerja dan arah putaran rotornya. Bagi pam rotor dikenal sebagai
pendesak.
Terdapat beberapa jenis tiub draf: 1. jenis kon, 2. jenis sesiku, 3. jenis
spreading. Tiub draf pada Rajah 3.5 adalah jenis kon.
V3
3

6. hh Jadi: hp merupakan turus yang dibekal oleh motor ke pam, digunakan
1 2 Hst sepenuhinya untuk mengatasi turus static dan turus geseran sistem paip dan
pam.
hs Turus manometer, HM pula ialah turus yang diwujud serentas pam. Kita
0 perhatikan juga jika semua bentuk kesusutan turus di dalam pam diabaikan
Rajah 3.7 maka turus Euler = turus manometer.
Turus Euler, hE ialah turus yang dijana oleh putaran pendesak , sama seperti
Kita perhatikan agihan turus yang terjadi serentas sistem, dari stesen [0] turbin, iaitu hE = [U2Vw2 – U1Vw1]/g
pada permukaan air ke [3] iaitu stesen di hujung paip hantar. Kita terapkan Rujuk rajah tiga segi halaju sebuah pam.
pers.tenaga [PT] dari satu stesen ke satu stesen.
U2
PT0-3: po/ρg+Vo2/2g+zo+hp= p3/ρg+V32/2g+z3 + ΣhL03 Vf1kotβ1
PT0-1: po/ρg+Vo2/2g+zo = p1/ρg+V12/2g+z1+ ΣhL01 Vw2
PT1-2: p1/ρg+V22/2g+z2 + hE = p2/ρg+V22/2g+z2+ΣhL12 α β Legenda
PT2-3: p2/ρg+V22/2g+z2 = p3/ρg+V32/2g+z3+ΣhL03 V2 Vf W2 V = halaju mutlak
U = halaju putaran
Daripada Rajah 3.7: po = p3 = 0[tolok], Vo = 0, z1-zo=hs,z3-z2=hh, W = halaju relatif
z3-zo=hh, hL = turus kesusutan oleh pelbagai sebab, hp turus bekalan dan hE = Vw = halaju pusaran = V kos α
turus Euler [lihat turbin]. Maka, V1 Vf = halaju aliran = V sin α
α = sudut bilah pandu,
PT0-3: zo+hp=V32/2g+z3 + ΣhL03 ⇒ hp = Hst + ΣhL03 W1 β = sudut bilah gerak
PT0-1: zo = p1/ρg+V12/2g+z1+ ΣhL01 ⇒ p1/ρg= -hs-V12/2g+hLP β U1
PT1-2: p1/ρg+V22/2g+z2 + hE = p2/ρg+V22/2g+z2+ΣhL12, ataupun Rajah 3.8: Rajah segi tiga halaju
(p2/ρg+V22/2g)-( p1/ρg+V12/2g) = hE – hLrotor+stator Pam rotodinamik
PT2-3: p2/ρg+V22/2g+z2 = V32/2g+z3+ΣhL03, ataupun
p2/ρg+V22/2g+z2 = V32/2g+z3+ΣhL03, ataupun
p2/ρg = hh + (V32/2g- V22/2g) + hLph
Turus Euler boleh juga diungkapkan seperti yang berikut,
Daripada analisis ini, kita dapatkan:
1. hp = Hst + ΣhL03 iaitu turus rintangan sistem, hE = (V22 – V12)/2g + (U22-U12)/2g + (W12-W22)/2g
2. (p2/ρg+V22/2g)-( p1/ρg+V12/2g) = Hm, turus manometer
3. hE = HM + hLroto + stator, turus Euler Pada permulaannya, V = 0, W = 0. Maka untuk memulakan proses
4. p1/ρg= -hs-V12/2g+hLP, turus sedutan [lazimnya negatif] pengepaman, hE = (U22-U12)/2g dengan U = πND/60 sehingga
5. p2/ρg = hh + (V32/2g- V22/2g) + hLph, turus hantar
hE = (πN/60)2[1/D22 – 1/D12]=N2 [π2(1/D22-1/D12)/3600]

7. Maka putaran mimimum, untuk mula mengepam: β>900
N2 = 3600 hE/[π2(1/D22-1/D12)] β=900
Kecekapam pam: Hal ini sama dengan kecekapan sebuah turbin., β < 90o
1. kecekapan manometer, ηh = Hm/hE = 1 - ΣhL/hE Q
2. kecekapan mekanikal, ηm = (ρgQunghE/Pmotor Rajah 3.9: kesan β2 terhadap lengkuk H-Q pam
ηmekanikal= kuasa pada syaf pam/kuasa dibekal oleh motor Kes1: β 2 > 900, rajah tiga segi di bahagian keluar menjadi
3. kecekapan isi padu, ηv = Qsebenar/Qunggul
Vw1 pam berkelajuan rendah.
Kecekapan keseluruhan, η0 = ηh ηm ηv U2
η0 = ρgQHM/Pmotor β2
= ρg (ηvQunggul) (ηhhE)/Pmotor = ηhηv(ρgQunghE/Pmotor)= ηhηmηv W2
Kes2: β=900: V2
Prestasi pam dan pengaruh sudut β 2:
Pertimbangkan,
hE = U2Vw2/g =U2[U2 – Vf2kotβ2]/g Vw1 pam aliran jejarian
U2
Jika kita anggap, ΣhL sifar, maka hE = Hm. Halaju aliran Vf = Q/Aeff maka,
β2
hE = U22 /g – Q [kotβ2/gAeff]
U2 W2 = vf2
Pers. terakhir ini merupakan satu pers. linear terhadap H dan Q. Kita plot
Kes3: β<900
untuk melihat kepentingannya dalam teori pam!
U2
pam paling
vf β2 banyak diogunakan.
V2 W2
Rajah 3:10: Tiga bentuk segitiga halaju dibahagian keluar.
H
Di samping itu, sudut β2 juga menentukan bentuk bilah.

8. U2
U2 U2 Turus bersih Sedutan Positif [Net positive Suction Head
W2 NPSH]
W2 W2 NPSH merupakan perbezaan tekanan di bahagian masuk dengan turus yang
setara dengan tekanan wap cecair yang dipam. Rujuk rajah di bawah.
arah putaran arah putaran Terapkan PT 0 - 1
S
a b c
po/ρg+Vo2/2g+zo = p1/ρg+V12/2g+z1+ ΣhL01
a. bilah melengkunmg ke hadapan,
b. bilah jejarian, c. bilah melengkung ke belakang
hs p1/ρg = po/ρg – [V12/2g+hs+ ΣhL01]
Rajah 3.9: bentuk bilah pendesak pam patm
0
pam akan beroperasi dengan baik apabila tekanan
Laju tentu NS : Magnitud NS menentukan bentuk bilah pada pendesak pam, p1 adalah lebih besar daripada pv, tekanan wap air
dan juga bentuk bilah rotor sebuah turbin. Kita tanda perbezaan p1/ρg dengan pv/ρg ini dengan Hsv. Maka
Untuk pam: NS = NQ1/2 H-3/4
Untuk turbin: NS = NP1/2 H-5/4 Hsv = p1/ρg- pv/ρg = patm/ρg – [V12/2g+hs+ ΣhL01]- pv/ρg
Ungkapan NS ini boleh diterbitkan secara langsung dari pekali turus K H, Ataupun,
pekali kuasa KP dan pekali aliran KQ, iaitu masing – masing adalah:- Hsv = Hatm – Hstatik – Hwap air ≡ NPSH
KH = H/N2D2, KP = P/ρN3D5 dan KQ = Q/ND3 Fenomena Perreronggaan [cavitation]
Perrerongaan terjadi apabila p1 < pwap air. Pada pam mahupun turbin
Untuk NS turbin gunakan KH dan KP hapuskan D. parameter Thoma σ digunakan sebagai penunjuk untuk kejadian fenomena
Untuk NS pam gunakan KH dan KQ, hapuskan D. perreronggaan, parameter Thoma ini ditakrifkan sebagai
Jenis pam aliran jejarian aliran campuran aliran paksi σ = [Hatm – Hstatik – Hwap air]/Hmanometer = Hsv/Hmanometer
Nilai NS 10 hingga 80 80 hingga 160 di atas 160
= (NS/[NQ1/2 (NPSH)-3/4]}4/3
Jenis turbin roda Pelton aliran jejarian aliran paksi
Nilai NS 12 hingga 70 70 hingga 400 di atas 400 Catatan: Hatm = 10.29 m, Hwap air = 0.224 m
Sampai sekian dulu,
Laju tentu NS sebuah pam adalah laju yang diperlukan oleh sebarang pam Kita jumpa lagi kelak!
yang serupa untuk mengepam sejumlah 1 m3/s bendalir setinggi 1 m.
Laju tentu sebuah turbin NS ialah laju yang diperlukan oleh sebarang turbin
yang serupa untuk menghasilkan 1 kW kuasa apabila turus kerja turbin
tersebut adalah 1 m.

9. Sessi Akademik 2001/2001
Desember 2001
Johor Baru
IMBASAN TEORI ALIRAN UPAYA
Teori Medan Aliran Upaya
Kita perhatikan beberapa keputusan aliran Upaya yang telah kita
pelajari dalam 3 minggu yang lalu.
1. Apakah maksud medan aliran upaya?
U0 U0
C
IMBASAN B
δ
TEORI MEDAN
ALIRAN UPAYA A
Rajah T1.0
Medan bendalir nyata di atas plat boleh dibahagikan kepada dua bahagian,
iaitu
1. 0 ≤ y ≤ δ - dalam rantau ini kesan daya likat dan daya inersia
adalah sebanding, ataupun sama sama penting, maka susuk
halaju adalah bercerun sehingga di dalam bendalir wujud
tegas ricih, τ = µ(du/dy), dengan ini satu unsur bendalir yang
Jabatan Hababendalir terdapat di dalam rantau ini akan berputar terhadap titik
pusatnya sendiri. Perputaran ini menimbulkan vortisiti.
Fakulti Kejuruteraan Mekanikal
2. y > δ - dalam daerah ini kesan daya inersia adalah lebih tinggi
Universiti Teknologi Malaysia daripada daya likat, kita dapati susuk halaju adalah tetap
seperti sedia kala, iaitu u = U 0, satu pemalar; sehingga (du/dy)
= 0, jadi tiada tegasan. Satu unsur bendalir yang diletakkan di
Sem. II

10. dalam rantau ini tidak akan berputar. Maka tidak wujud Z
vortisiti di dalam medan.
Medan aliran upaya ialah medan aliran yang tidak wujud di dalamnya sebarang 3. Ω
unsur vortisiti. Disebabkan vortisiti adalah sifar, maka medan halaju aliran boleh
diwakili dengan satu fungsi yang selanjar yang dinamai fungsi upaya, φ = φ(x,y,z) y
ataupun φ = φ(r, θ,z).
η
2. Nyatakan ungkapan vortisiti dalam sebutan komponen halaju aliran.
ξ
Vortisiti adalah satu kuantiti vector, secara matematik vortisiti ditakrifkan
Rajah 1.1
seperti yang berikut,
x
Ω =∇ xV [1.1
3.0 Tunjukkan dalam medan aliran dimensi – 2, hanya komponen k
dengan Ω = iξ + jη + kς dan V = iu + jv + kw. Oleh itu [1.1] boleh dari Ω sahaja yang wujud.
dikembangkan seterusnya seperti yang berikut, Dalam medan aliran dimensi – 2, komponen halaju dalam arah k adalah
sifar, iaitu w = 0. Kini pertimbangkan,
i j k
∂w ∂v ∂u ∂w ∂v ∂u
∂ ∂ ∂ ξ= − , η= − ,ς= − [1.3
∇ xV= = iξ + jη + kς [1.2 ∂y ∂z ∂z ∂y ∂x ∂y
∂ x ∂y ∂z
u v w
Komponen halaju v dan u tidak mungkin merupakan fungsi z. Ini
Jelas sekali bahawa, bermaksud bahawa,
∂w ∂v ∂u ∂w ∂v ∂u u = u(x,y) ataupun v = v (x,y)
ξ= − , η= − ,ς= − [1.3
∂y ∂z ∂z ∂y ∂x ∂y Jelaslah bahawa, daripada [1.3] untuk medan aliran 2 dimensional, hanya
komponen z dari Ω sahaja yang wujud iaitu,
Sila rujuk rajah di bawah untuk pengertian fizikal komponen ξ , η dan ς
satu vector vortisiti tadi. ∂v ∂u
ς= − [1.4
∂x ∂y
4.0 Terbitkan Pers. [1.4] dari prinsip asas.

11. Kadar peputaran sesuatu unsur di dalam medan bendalir boleh ditakrifkan
sebagai, 1  ∂v ∂u 
α+β ω=  −  [1.5
ω= [a 2  ∂x ∂y 
 
2dt Maka,
∂v ∂u
dengan α dan β masing – masing merupakan sudut yang dibina oleh sisi 2ω = ς = − [1.6
∂x ∂y
unsur apabila merenyuk [deforms] sewaktu merentas medan aliran.
Pers. [1.7] sekali menunjukkan bahawa,
Dengan merujuk kepada rajah di bawah, maka
2ω = ς [1.7
∂v
α= dt β [b
∂x Pers. [1.7] sekaligus menunjukan bahawa apabila unsur bendalir tidak
berputar maka, vortisiti adalah sifar
∂u 5. Tunjukkan apabila vortisiti suatu medan aliran adalah sifar, maka
β= − dt [c
∂y halaju medan boleh diwakili oleh satu fungsi skala, φ(x,y).
Pertimbangkan rajah di bawah, Hal ini boleh ditunjukkan dengan mudah secara vector. Menurut analisis
vector,
∂u
y udt dydt jika ∇ x V = 0, maka V = ∇φ [1.8
∂y
Oleh itu,
∂φ ∂φ ∂φ
u= ,v = , dan w = [1.9
β ∂x ∂y ∂z
dy A’ α Jika kita khususkan kepada medan dimensi – 2 sahaja maka w = 0. Pers.
vdt [1.9] dalam koordinat kutub,
∂v
A dx - dxdt ∂φ 1∂ φ
∂y ur = , dan uθ = [1.20
∂r r ∂θ
Rajah 1.2
Kini kita pertimbangkan hal yang sama secara skala. Katakan wujud φ
Dengan menggantikan [b] dan [c] ke dalam [a] kita peroleh, =φ(x,y) yang selanjar. Disebabkan φ(x,y) adalah selanjar, maka urutan
kebezaan ataupun ‘terbitan’ adalah tidak penting. Ini bermaksud bahawa,

12. dφ
= U 0 sehingga φ(x,y) = U0x + f(y)
∂φ2
∂φ2
dx
=
∂∂
x y ∂∂
y x Daripada Pers.[1.20], untuk satu sumber,
ataupun,
∂φ C
= u r = , sehingga φ(r,θ) = C ln r + f(θ)
∂  ∂φ  ∂  ∂φ  ∂r r

 ∂y  = ∂y  ∂x 
 [1.21
∂x     dan, untuk satu vorteks, untuk satu aliran vorteks,
1 ∂φ C
Uθ = = , sehingga φ(r,θ) = Cθ + f( r )
r ∂θ r
Seterusnya perhatikan Pers. [11.4], iaitu
7. Nyatakan apakah syarat yang perlu dimiliki oleh satu medan aliran
∂v ∂u sehingga medan aliran tadi boleh dianggap sebagai medan aliran
= upaya?
∂x ∂y
Syarat yang amat perlu ialah, di dalam medan aliran tersebut haruslah bebas
Bandingkan dengan Pers. [1.21]. Maka, jelas bahawa, dari sebarang unsur vortisiti. Secara lebih ringkas, boleh kita katakan,
fungsi upaya φ(x,y) hanya wujud jika ∇ x V = Ω = 0.
∂φ ∂φ
u= , dan v = Catatan: Perhatikan, medan aliran 1. tidak perlu mantap, 2. tidak perlu
∂x ∂y berdimensi 2,
Perhatikan persamaan terakhir ini selaras dengan Pers. [1.9]! 8. Apakah yang dimaksudkan dengan fungsi arus?
Fungsi arus ψ(x,y) ataupun ψ(r,θ) adalah satu fungsi selanjar yang
6. Apakah yang dimaksudkan dengan medan aliran mudah, dan dimisalkan wujud di dalam satu medan aliran dimensi – 2, yang memenuhi
ungkapkan aliran mudah tadi dalam sebutan fungsi upaya. takrif berikut,
Medan aliran mudah ataupun ‘ringkas’ adalah medan aliran yang hanya
∂ψ ∂ψ
mempunyai satu komponen halaju dalam satu arah tertentu. Contoh medan u= , dan v = − [1.22
aliran mudah ialah, ∂ y ∂x
i. aliran segaya, V = U0i, iaitu u = U0, ataupun,
ii. aliran sumbur/sinki, V = Ur er, ur = Ur 1 ∂ψ ∂ψ
ur = , dan uθ = −
iii. aliran vorkteks, V = Uθeθ , iaitu uθ = Uθ r ∂θ ∂r
Daripada Pers. [1.9], untuk aliran segaya, sehingga persamaan keterusan dimensi – 2 dipenuhi secara identitik
[identically], iaitu

13. ∂  ∂φ  ∂  ∂φ 
 +   = 0 , ataupun ∇2 φ = 0.
∂u ∂v ∂(ru r ) ∂uθ ∂x  ∂x  ∂y  ∂y 
 
+ = 0, ataupun, + =0
∂x ∂y ∂r ∂θ ∂ ψ
[1.23 Untuk membuktikan ψ(x,y) harmonik, gantikan u = , dan v =
∂y
∂ψ
9. Apakah syarat wujudnya fungsi arus? −
Medan aliran mestilah berdimensi – 2, dan mantap. ∂x
∂v ∂u
Kedalam pers. vortisiti sifar, iaitu ( − ) = 0. Maka, kita peroleh
Catatan: Perhatikan, medan aliran tidak perlu bebas dari vortisiti. Maka ∂x ∂y
dalam semua bentuk medan aliran pasti boleh ditakrifkan fungsi arus ∇2 ψ = 0.
seandainya medan aliran tersebut adalah berdimensi 2.
10. Tuliskan hubungan Cauchy – Reimann?
Hubungan Cauchy – Reimann ialah,
11. Apakah pentingnya fungsi φ(x,y) dan ψ(x,y) itu harmonik?
φ Sesuatu fungsi dikatakan harmonik apabila fungsi berkenaan memenuhi
∂φ ∂ ψ ∂ ∂ψ
u= = , dan v = = − [1.24 pers. Laplace. Fungsi arus ψ(x,y) dan fungsi upaya φ(x,y) ataupun dalam
∂x ∂y ∂y ∂x koordinat polarnya adalah harmonik. Disebabkan pers. Laplace adalah
harmonik, maka kaedah penindihan boleh digunakan. Dengan ini kita
Dalam koordinat kutub, maksudkan bahawa, jika satu bentuk ψ ataupun φ yang ingin dikaji itu
adalah kompleks, maka fungsi ψ ataupun fungsi φ yang mudah boleh
1∂ φ ∂ψ ∂φ 1 ∂ψ digunakan lalu digabungkan satu per satu sehingga membentuk ψ dan φ
uθ = = - , and ur = =
r ∂θ ∂ r ∂r r ∂θ yang kompleks tadi.
[1.25
Sebagai contoh, kata kita ingin mengkaji aliran meliputi sebatang silinder
11. Tunjukkan bahawa φ(x,y) dan ψ(x,y) adalah harmonik. yang berputar. Maka medan aliran yang sedemikian boleh dizahirkan
Satu fungsi ξ dikatakan harmonik jika fungsi yang berkenaan itu memenuhi dengan mengabungkan aliran segaya, satu doblet dan satu vorteks.
persamaan Laplace, ∇2ξ = 0.
∂φ ∂ φ
Untuk membuktikan φ(x,y) harmonik , gantikan u = dan v =
∂x ∂y
di dalam persamaan keterusan, iaitu
∂u ∂v
+ = 0,
∂x ∂y
Jadi,

14. t
Ur
+ + ⇒
Rajah C13.0
aliran aliran aliran aliran meliputi Maka,
segaya doblet vorteks sebatang silindr berputar dψ = [Q/2πr] dr ⇒ψ(r,θ) = (Q/2π) ln r + f(θ)
Rajah C11.0
Disebabkan Uθ = 0. Maka f(θ) = C = 0. Oleh itu,
12. Apakah yang dimaksudkan dengan medan aliran mudah? Berikan
beberapa contoh medan aliran mudah ini. ψ(r,θ) = (Q/2π) ln r, [1.26
Medan aliran mudah merupakan medan aliran yang asas. Lazimnya di dan,
dalam medan aliran ini, medan halaju V hanya mempunyai 1 komponen φ(r,θ) = (Q/2r)θ, [1.27
tertentu sahaja.
untuk satu aliran sumber. Untuk sinki ,
Contoh medan aliran mudah ialah:
1. aliran segaya, V = U0i
ψ(r,θ) = ( - Q/2π) ln r. [1.28
2. aliran sumber/sinki, V = Urer
3. aliran vorteks, V = Uθeθ
Rujuk Perkara 6.0 di atas!
b. Aliran vorteks adalah satu aliran pusaran dengan hanya komponen
13. Dapatkan fungsi arus ψ dan fungsi upaya φ untuk aliran - θ sahaja yang wujud, V = Uθ eθ . Terdapat 2 jenis vorteks,
mudah a. sumber, b. vorteks dan c. aliran segaya.
Hubungan Cauchy – Reimann, HCR ialah
1. vorteks bebas, dengan Uθ = C/r
2. vorteks paksa dengan Uθ = Cr.
1∂ φ ∂ψ ∂φ 1 ∂ψ
uθ = =- , and ur = =
r ∂θ ∂ r ∂r r ∂θ Yang mana satu medan aliran tak berputar?.
a. aliran sumber mempunyai hanya komponen halaju jejari iaitu U r.
Aliran sumber 2 – dim ialah satu aliran yang terbit dari satu garis, Jika ∇ x V = Ω = 0, maka medan halaju V adalah tidak berputar.
maka daripada pers. keterusan, Dalam koordinat polar, ∇ x V = Ω = 0, iaitu untuk medan 2 – dim,
Ur 2πrt = Q sehingga Ur = Q/2πrt, biasanya t = 1.
1 ∂(rU θ ) 1 ∂U r
ς = - =0
Rujuk rajah di bawah, r ∂r r ∂θ

15. Jelas sekali untuk aliran tidak berputar, ς = 0. Di sini disebabkan,
Uθ ≠ f(θ) untuk kedua – dua jenis vortek, maka kebezaan komponen Jika fungsi ψ dan φ untuk satu sumber pula dilakarkan maka kita akan
halaju V terhadap θ adalah sifar. Namun untuk vortekks paksa U θ = Cr, menghasilkan satu gambaran berikut.
sedangkan untuk vorteks bebas Uθ = C/r. Oleh itu, , ς hanya sifar
untuk vorteks bebas dan tidak untuk vorteks paksa.
Dengan ini hanya vorteks bebas mempunyai fungsi upaya. Namun
kedua – duanya , vorteks bebas dan juga vorteks paksa, masing – ψ
masing memiliki fungsi arus.
Daripada hubungan CR, untuk satu vorteks bebas,
Uθ = - ∂ψ/∂r = ∂φ/r∂θ = C/r
Oleh itu, φ
ψ(r,θ) = - Cln r, dan φ(r,θ) = Cθ [1.29
Cuba anda bandingkan ungkapan satu fungsi arus dan fungsi upaya
untuk aliran vorteks bebas dengan aliran sumber. Rajah C13.c: Aliran Sumber
Anda akan dapati bahawa ungkapan fungsi arus untuk vorteks bebas Persoalan seterusnya pula ialah, bagaimana pemalar C
adalah sama dengan ungkapan fungsi upaya satu aliran sumber. Begitu ditentukan?
juga dengan fungsi upaya aliran vorteks adalah sama dengan ungkapan Pemalar C pada satu vorteks bebas ditentukan secara langsung dari
fungsi arus aliran sumber pula. takrif edaran, Γ. Malah edaran Γ adalah kekuatan ataupun keupayaan
sesebuah vorteks. Hal ini sama dengan Q pada satu sumber, ataupun
Hal ini dengan jelas ditunjukkan pada rajah berikutnya. sinki, Q ialah kekuatan satu sumber, ataupun sinki.
14. Tunjukkan bahawa edaran yang meliputi titik asalan adalah
φ berhingga, sedangan edaran yang ditentukan dengan tidak
meliputi titik asalan sesuatu vorteks adalah sifar.
ψ
Rajah C13.b: Aliran Vorteks Bebas

16. Pertimbangkan rajah di bawah.
c b c d a
Γ = ∫ V . ds = ∫ V . ds + ∫ V . ds + ∫ V . ds + ∫ V.
y a b c d
d ds
Ur1 a
Lingkaran luar ataupun,
b Γabcda = Ur dr + Uθ1 r1dθ - Urdr - Uθ2 rdθ2
lingkaran dalam
Untuk satu vorteks, Uθ = (Γ/2π)/r. Maka,
Uθ1
Uθ2 Γabcda = Ur dr +[(Γ/2π)/r1] r1dθ1 - Urdr – [(Γ/2π)/r2 ] r2 dθ2
Ur2 Pada Rajah C14.0, dθ1 = dθ2 = π/4, dan untuk satu vorteks Ur = 0. Oleh itu,
Γ abcda adalah sifar belaka.
Rajah C14.0
Daripada takrif edaran,
Kini kita perhatikan takrif edaran, iaitu, Γ = ∫
C
V . ds. Kita sedia
Γ= ∫
C
V . ds [1.30 maklum, dalam satu medan aliran tidak berputar, V = ∇φ . Oleh itu,
dengan kamiran ini adalah tertutup. Γ=∫
C
V . ds = ∫
C
∇φ . ds [1.32
Pertama kita pertimbangkan, satu nilai kamiran yang diambil menuruti Boleh ditunjukkan bahawa, ∇φ . ds = dφ. Dengan ini,
lintasan pada lingkaran luar ataupun lingkaran dalam pada Rajah C14.0
di atas. Γ = φa - φa = φb- φb = 0
V = Uθ eθ dan ds = rdθ eθ tanpa peduli sama ada kamiran dilakukan pada lingkaran luar mahupun
lingkaran dalam.
Maka,
Γ=∫
C
Uθ eθ . rdθ eθ = ∫
C
(C/r) rdθ = 2πC Yang jelas di dalam satu medan aliran upaya tidak ada sebarang unsur
edaran yang wujud.
sehingga,
C = Γ/2π [1.31 Hal ini boleh dilihat dengan lebih jelas lagi daripada hubungan antara
edaran dengan vortisiti.
Seterusnya, kita pertimbangkan satu lintasan yang tidak meliputi titik
asalan 0, iaitu lintasan abcda, rujuk Rajah C14.0.

17. 15. Tunjukkan bahawa dalam satu medan aliran upaya, edaran adalah
sifar.
Pertimbangkan takrif edaran,
16. dapatkan fungsi arus aliran gabungan,
Γ=∫ V . ds a. di antara satu sumber dengan satu vorteks
C
b. di antara satu sumber [-a,0] dengan satu sinki [a,0],
Menurut teorem Green, c. di antara satu vorteks [0,-a] dengan vortkes [0,a],
d. di antara doublet dengan aliran segaya,
Γ =∫
C
V . ds = ∫
C
∇ x V. dA = ∫C
Ω. dA = Ωn A e. di antara doublet, aliran segaya dengan vorteks,
[1.33
a. gabungan satu sumber + satu vorteks
dengan dA ialah luas yang diliputi oleh kamiran tertutup, ∫.
ψ = (Q/2π)θ + (Γ/2π)ln r [1.34
y
z
⇒
Ωn
+ x
y
x
Rajah C16.0
V = Uθeθ
Untuk mendapatkan bentuk jasad yang terjana [generated], kita setkan ψ =
0. Oleh itu,
rdθ
ψ = (Q/2π)θ + (Γ/2π)ln r = 0
maka,
Rajah C15.0
ln r = - (Q/Γ)θ
Jelas sekali apabila, Ωn = 0, maka sedaran Γ = 0. ataupun,
r = eksp [ - (Q/Γ)θ] [1.35
Untuk medan 2 – dim telah kita perhatikan bahawa, komponen vortisiti
yang wujud hanyalah, ς. Dari Perkara 4.0, kita telah tunjukkan bahawa 2ω b. gabungan sumber [-a.0] + sinki [+a.0]
= ς . Jadi jika ς = 0, maka ω = 0. Dengan ω = 0, jelas Γ = 0.
ψ = (Q/2π) [θsumber - θsinki] [1.36

18. θsumber - θsinki = tan-1[y/(x+a)] – tan-1[y/(x-a)]
iaitu,
tan-1 A – tan-1 B = tan-1 [(A-B)/(1 + AB)] [1.37
Dengan ini,
ψ g = (Q/2π ) tan-1 {[(y/(x+a) – y/(x-a)]/[1 + y2/(x+a)(x-a)]}
+ ⇒ Apabila dipermudah hubungan ini menjadi, dengan m = Q/2π
ψg = - m tan-1 2ay/(x2+y2-a2) [1.38
Dalam keadaan had, apabila a →0, maka 2am → µ, iaitu kekuatan
sumber sinki gabungan
doublet.Maka kita peroleh,
Rajah C16.a
ψ g = - µy/(x2 + y2) = - µ/(r sin θ) [1.39
Bentuk aliran yang menarik terjadi apabila kedudukan sumber dan sinki
ditindih, iaitu apabila a → 0. Perhatikan rajah di bawah. Bagaimanakah ungkapan fungsi upaya φ bagi aliran doublet?
Bagaimanakah ungkapan Ur dan Uθ suatu aliran doublet?
(x,y)
y Satu bentuk aliran yang amat menarik terjadi apabila aliran segaya
ditindihkan dengan aliran doublet,
θsumber θsinki d. Penindihan di antara aliran segaya dengan aliran doublet.
⇒ Pertimbangkan, aliran segaya yang dibuat melewati satu medan aliran
doublet.
-a +a
+ =
Rajah C16.b
θsumber = tan-1 [ y/(x+a)], θsinki = tan-1 [y/(x-a)]
Rajah C16.c
Jadi,

19. Fungi arus medan aliran gabungan ini boleh dituliskan seperti yang berikut,
S
ψ g = U r sin θ - (µ sin θ/r) aliran aliran aliran aliran meliputi
[1.40 segaya doblet vorteks sebatang silindr berputar
Bentuk jasad, ψ g = 0. Rajah C11.0
0 = Ur sinθ [ 1 – a /r ] dengan a = µ/U
2 2 2
Kedudukan titik genangan S bergantung kepada magnitid Γ dan U0.
Di sini, [Ur sinθ] ≠ 0. Maka, r = a, ini adalah satu bulatan. Fungsi arus aliran gabungan adalah:
c. gabungan vorteks [0,-a] + vorteks [0, +a] ψ = U0 r sin θ [ 1 – a2/r2] – (Γ/2π) ln ( r/a ) [1.41
(x,y) Ini merupakan sebatang silinder dengan jejari a yang berputar.
Cuba set r = a, apa yang terjadi pada ψ?
e. Gabungan aliran segaya + sumber (-a,0) + sinki (a,0)
+a
-a ⇒
+ + ⇒
jasad oval rankine
segaya + sumber [-a,0] + sinki [-a,0] ⇒ jasad Rankine
Rajah C16.d
Gabungan dua vorteks,
Rajah C16.e
ψ = (Γ/2π) ln (r1/r2) [1.40
Fungsi arus aliran gabungan,
** Cuba ingat, fungsi arus satu vortek adalah serupakan dengan fungsi upaya satu sumber,
dan fungsi upaya satu vorteks adalah serupa dengan fungsi arus satu sumber. Jadi? U0 rsin θ + (Q/2π)[θ sumber - θ sinki] = ψ g [1.42
e. gabungan aliran segaya + doblet + vorteks
Gambaran polar aliran yang diperoleh adalah seperti yang di bawah. Bentuk jasad, ψg = 0.
Q [θ sin ki − θ sumber ]
r=
2π U 0 sin θ
+ + ⇒ [1.43
Panjang jasad:

20. ∂ψ Q 1 1
]  Q 
Ur = = U0 kos θ + [ - rs = a   +1 [1.44
r∂θ 2π r1 r2 
 aπU 0


Dan,
∂ψ Rujuk rajah seterusnya untuk melihat lebar dan panjang jasad. Panjang
Uθ = - = Usin θ
∂ r jasad ialah,
L = 2rs [1.45
Perhatikan:
S1 y S2 r1 P’ r2
sumber sinki
h
r1 a a x H
rs rs
α
Rajah C16.e L
Titik genangan ialah titik di dalam medan aliran dengan halaju tempatan Rajah C16.f
adalah sifar, iaitu pada titik genangan, V = 0. Oleh itu, Ur = 0 dan Uθ = 0. Lebar jasad:
Rujuk Rajah C16.f, θsumber = α, θsinki = π - α, dan θ = π/2. Maka dengan r = h
Maka, pada Pers. [1.43] kita hasilkan,
∂ψ
Uθ = - = Usin θ = 0 ⇒ θ = 0, π,
∂ r m
h= [π − 2α]
Dan, U0
∂ψ Q 1 1
]=0 ataupun,
Ur = = U0 kos θ + [ -
r∂θ 2π r1 r2 π U 0h
α= −
2 2m
pada S2, θ = 0 dan S1, θ = π. Kini daripada Rajah C16.e, pada S1, r1 = rs – Daripada Rajah C16.f,
a, dan pada S2 , r2 = rS + a. Oleh itu,
U 0 h 
h = a tan α = a kot   [1.45
Q 1 1  2m 
U0 - [ − ]= 0
2π r s −a rs + a dengan m = Q/2π.
Iaitu,
Tinggi ataupun lebar jasad Rankine ialah,

21. H = 2h [1.46 Pada permukaan silinder, r = a. Maka Ur = 0, dan Uθ = 2U0 sin θ.
Perhatikan Pers. [1.45] dengan baik. Pers. ini adalah tidak linear. Cuba anda Kini terapkan pers. Bernoulli pada 2 titik tertentu. Satu titik jauh di hadapan
dapatkan nilai h, apabila nilai U0, a dan m = Q/2π diberi! silinder dengan p∞, ρ∞ dan halaju U0 dan satu lagi terletak pada permukaan
silinder dengan ps, ρ∞ dan halaju Uθ sebab Ur = 0.
Menurut Bernoulli,
17. Tunjukkan daya seret [drag] pada sembarang jasad yang 1 U0 2
1 Uθ 2
diletakkan di dalam satu medan aliran unggul adalah sifar. Anda p∞ + ρ∞ = ps + ρ∞
boleh menggunakan satu jasad berbentuk silinder untuk memudahkan 2 2
analisisnya. iaitu,
2
Pertimbangkan rajah di bawah. 1 Uθ 
∆p = ps - p∞ = ρ∞U 0 [1 -
2

U  ]

y
2  0 
∆pdA
1
= ρ∞U 0 [1- 4 sin2 θ]
2
[1.47
p∞, ρ∞ rdθ 2
x Dengan merujuk kepada Rajah C17.0, unsur daya yang bertindak pada luas
unsur dA ialah,
U0
dF = ∆p dA = ∆p rdθ
Rajah C17.0
Unsur daya ini boleh dileraikan dalam arah x dan y, seperti
Fungsi arus, aliran meliputi silinder dengan jejari a telah kita hasilkan, iaitu
dF = i dD + j dL [1.48
ψ g = U0 r sin θ - (µ sin θ/r)
Dengan ini, Rujuk rajah di bawah.
∂ψ a2
Ur = = U0 kos θ [1 - 2 ], dan dF
r∂θ r dFy = dL
θ
∂ψ a2
Uθ = - = U0 sin θ [1 + 2 ],
∂ r r dFx = dD

22. Perhatikan, agihan tekanan pada permukaan silinder tadi adalah bersimmetri
dengan, dFx = ∆p kos θ rdθ, dan dFy = ∆p sin θ rdθ terhadap paksi x dan paksi y. Tiada lebihan daya, dalam arah positif dan
negatif x mahupun y. Oleh itu jelas sekali, D = 0 dan L = 0.
Rajah C17.a
18. Buktikan teorem Kutta – Joukousky, iaitu daya lif, L = ρΓ U.
Jadi, Daripada Perkara 17.0, kita lihat bahawa apabila sebatang silinder
1 diletakkan di dalam satu medan aliran upaya, maka daya seret D dan daya
dD = ρ∞U 0 [1- 4 sin2 θ] kos θ rdθ,
2
[1.48 lif L, kedua – duanya adalah sifar.
2
dan,
Seterusnya akan kita perhatikan agihan tekanan pada sebatang silinder
1
dL = ρ∞U 0 [1- 4 sin2 θ]sin θ rdθ,
2
[1.49 berputar yang diletakkan di dalam satu medan aliran upaya. Kita akan
2 tentukan D dan L.
Jika Pers. [1.48] dan Pers. [1.49] dikamirkan dari θ = 0 hingga θ = 2π, kita Pertimbangkan rajah di bawah.
dapati bahawa daya seret, D = 0 dan daya lif, L = 0.
y
Keadaan daya seret D = 0, dinamai Paradok d’ Alembert. ∆pdA
Keadaan D = 0 dan L = 0 sebenarnya boleh dilihat daripada Pers. [1.47]. p∞, ρ∞ rdθ
Jika Pers. [1.47] diplot kita hasilkan gambaran berikut, iaitu agihan tekanan
pada permukaan silinder. x
y
U0
Rajah C18.0
x Keadaan ini boleh dimodelkan dengan,
ψ = U0 r sin θ [ 1 – a2/r2] – (Γ/2π) ln ( r/a )
Komponen halaju Ur dan Uθ masing – masing ialah,
Rajah C17.b
Ur = U0 kos θ[ 1 - a2/r2] [1.50

23. Dan,
Uθ = - U0 sin θ [ 1 + a2/r2] + (Γ/2πr) [1.51 dFx = dD
Jelas sekali pada permukaan silinder, r = a, Ur = 0. Mana kala, dengan, dFx = ∆p kos θ adθ, dan dFy = ∆p sin θ adθ
Uθ = - 2 U0 sin θ + (Γ/2πa) [1.52 Rajah C18.a
Kini terapkan pers. Bernoulli pada 2 titik tertentu. Satu titik jauh di hadapan Jadi,
silinder dengan p∞, ρ∞ dan halaju U0 dan satu lagi terletak pada permukaan 1
dD = ρ∞U 0 [1- (-2sin θ + (Γ/2U0πa)2 ] kos θ rdθ, [1.54
2
silinder dengan ps, ρ∞ dan halaju Uθ sebab Ur = 0. Menurut Bernoulli, 2
dan,
1 U0 2
1 Uθ 2
1
p∞ + ρ∞ = ps + ρ∞ dL = ρ∞U 0 [1- (-2sin θ + (Γ/2U0πa)2] sin θ rdθ,
2
2 2 2
iaitu, [1.55
2
1 Uθ 
∆p = ps - p∞ = ρ∞U 0 [1 -
2

U  ]
 Seterusnya jika kita kamiran dD dan dL dari θ = 0 hingga θ = 2π, kita akan
2  0  dapati bahawa,
ataupun, D=0
1 Dan,
∆p = ρ∞U 0 [1- (-2sin θ + (Γ/2U0πa)2]
2
[1.53 L = - ρΓU0 [1.56
2
Dengan merujuk kepada Rajah C18.0, unsur daya yang bertindak pada luas
unsur dA ialah, Catatan:
dF = ∆p dA = ∆p rdθ 1. kita dapati bahawa dalam medan aliran upaya, walaupun
wujud edaran daya seret tetap sifar. Keadaan ini dinamai
paradok d’Alembert.
Unsur daya ini boleh dileraikan dalam arah x dan y, seperti
2. Pers. [1.56] dikenal sebagai teorem Kutta – Jouskousky.
@prof amer/21/jun/2001
dF = i dD + j dL
Rujuk rajah di bawah.
dF
dFy = dL
θ

24. SOALAN PEPERIKSAAN AKHIR BEBERAPA TAHUN LALU SOALAN 2.
BAHAGIAN 1: TEORI MEDAN ALIRAN UPAYA a. Apakah yang dimaksudkan dengan fungsi upaya halaju φ.
Dapatkan hubungan di antara upaya halaju φ dengan
MEKANIK BENDALIR II: SMJ/SMM 3303 komponen halaju u dan v dalam satu medan aliran.
TAHUN 98/99 MAC 1999 [5 markah
s
Soalan 1.0
a. Takrifkan vortisiti, ξ dan terbitkan persamaan vortisiti dalam b. Upaya halaju suatu medan aliran diberi sebagai,
sebutan komponen Ur dan Uθ. Tunjukkan bahawa,
φ(x,y) = 10x + 5 ln (x2 + y2)
 ∂ 2ψ 1 ∂ψ 1 ∂ 2ψ 
ξ = − 2 +
 ∂r + 2  Dapatkan fungsi arus ψ(x,y) medan aliran ini.
 r ∂r r ∂θ   [14 markah
c. Tentukan tekanan pada titik (2,0) jika tekanan pada titik tidak
dengan ψ adalah fungsi arus. berhingga ialah 100 kPa.
[5 markah [6 markah
b. Komponen halaju kutub suatu aliran 2 – dimensi diberi oleh,
MEKANIK BENDALIR II: SMJ/SMM 3303
 a2
  a 2
 k TAHUN 1998/1999 Mac 1999
Ur = U sin θ 1 −
  , dan Uθ = U kos θ 1 + 2
  +
 2πr
 r2   r  SOALAN 1.0
a. Apakah yang dimaksudkan dengan medan aliran upaya. [5 markah
Tunjukkan persamaan fungsi arus ψ dan tunjukkan bahawa b. Terbitkan fungsi upaya halaju aliran,
aliran ini adalah nirputaran. i. sumber dan sinki, masing – masing dengan kekuatan
[14 markah Q m3/s
c. Lakarkan bentuk aliran medan 1(b) selengkapnya untuk nilai ii. aliran dublet yang terbentuk apabila aliran sumber
edaran k yang sederhana. Tandakan titik genangan. pada (-a,0) dan sinki pada (a,0) didekatkan sehingga a
[5 markah → 0.

25. [8 markah dengan Γ ialah daya angkat, ρ ketumpatan udara dan U halaju
aliran bebas. Tentukan daya angkat yang terjana jika ketumpatan
c. Sebatang tiang jambatan berdiameter 3.0 m tercacak di dalam air udara ialah 1.2 kg/m3. Udara boleh dianggap unggul.
yang mengalir dengan halaju 10 m/s. Jika air dianggap sebagai
unggul, tentukan daya per unit panjang [N/m] yang wujud pada
bahagian hadapan tiang jambatan, iaitu untuk π/2 ≤ θ ≤ 3π/2.
[12 markah
SOALAN 2.0
a. Jelaskan secara ringkas,
i. vorteks bebas, Mekanik Bendalir II: SMJ/SMM 3303
ii. vorteks paksa Tahun 1999/2000 Oktober, 1999
[5 markah
Soalan 1.0
a. Bermula dari prinsip asas, buktikan bahawa fungsi arus untuk
medan aliran seragam melintasi sebatang silinder berputar boleh
dinyatakan sebagai,
b. berasaskan prinsip asas, tunjukkan bahawa vortisiti ξ a2 Γ r
untuk vorteks paksa dinyatakan sebagai, ψ = U 0 sin θ (r − )− ln( )
r 2π a
ξ = 2ω
dengan ω ialah halaju sudut. Gunakan lakarkan
dengan a = jejari luar silinder, Γ = edaran dan U0 = halaju aliran
untuk membantu jawapan anda.
seragam.
[6 markah
d. Sebatang silinder berdiameter 2.0 m diputar dengan kelajuan 100
b. Tunjukkan bahawa titik genangan boleh ditentukan melalui
pusingan se minit dalam arah putaran jam, di dalam suatu medan
hubungan
aliran udara. Halaju udara ialah 10 m/s dalam arah serenjang
dengan paksi silinder dalam arah positif.
Γ
Sin θ =
Tunjukkan., dari prinsip utama, daya angkat (lif) boleh dinyatakan 4πaU 0
sebagai, [6 markah
c. Pada sebatang silinder panjang yang paksinya serenjang terhadap
L = - ρUΓ arah aliran seragam terdapat dua titik pada sudut θ = 600 dan θ =
1200 . Tunjukkan bahawa pekali daya angkat,

26. CL = 2π√3
Lakarkan fungsi arus ini. [5 markah
1 ∂ψ ∂ψ
Diberi: Ur = , dan Uθ = - c. Dalam uji kaji seterusnya satu vorteks bebas dengan Γ= 850 m2/s
r ∂θ ∂ r
akan ditindihkan dengan satu aliran sinki. Kekuatan sinki belum
diketahui. Namun pengukuran pada jarak r = 4 m dari pusat
vorteks bebas menunjukkan p = 220 kPa kurang dari nilai tekanan
di r → ∞. Dengan ini, tentukan magnitud kekuatan sinki, iaitu
Soalan 2. m[m2/s] apabila ketumpatan udara ialah 1.2 kg/m3. [10 markah
Suatu medan aliran dinyatakan sebagai,
SOALAN 2.0
φ = 10x + 5ln (x2 + y2)
a. Tunjukkan jika ψ adalah fungsi arus, maka pada satu garis arus ψ
= C, dengan C merupakan satu pemalar. Tunjukkan bahawa juga
a. Tentukan fungsi arus, ψ(x,y), [5 markah
dψ = ψ2 - ψ1 = kadar alir isi padu Q [m 3/s] bendalir unggul yang
b. Nyatakan bentuk aliran tersebut, [3 markah
lalu di antara ψ2 dengan ψ1. [10 markah
d. Tentukan tekanan di sepanjang paksi x jika
b. Rujuk rajah di bawah.
Tekanan p = 100 kPa pada x →∞ [7 markah
y
e. Tentukan kedudukan titik genangan [5 markah
y=h
Diberi Hubungan Cauchy – Reimann:
x
1 ∂ψ ∂ φ ∂ψ 1 ∂φ y = -h
Diberi: Ur = = dan Uθ = - =
r ∂θ ∂r ∂ r r ∂θ
Rajah S2.0
Mekanik Bendalir II: SMJ/SMM 3303
Tahun 1999/2000 Mac/April, 2000 Susuk halaju aliran bendalir likat di antara dua keping plat ini boleh
dirakam dengan persamaan berikut,
Soalan 1.0
a. Terangkan dengan ringkas mengenai edaran Γ Bagaimanakah y 2
u(y) = U0 [1 – ( ) ]
hubungan di antara edaran Γ dengan Ω serta fungsi upaya, φ dalam h
satu medan aliran upaya. [5 markah
b. Tunjukkan bahawa fungsi arus vorteks bebas ialah dengan U0 ialah halaju maksimum yang terjadi pada y = 0. Tentukan,
i. fungsi arus ψ dan fungsi upaya φ medan aliran yang
Γ diberi,
ψ= ln r
2π ii. medan vortisiti medan halaju aliran ini,

27. iii. garis arus pada y = 0 dan y = h, masing – masing ψ0 dan
ψ1
iv. nilai perbezaan di antara ψ1 dengan ψ0,
v. kadar alir isi padu yang melalui celah 0 ≤ y ≤ h.
[15 markah
Mekanik Bendalir II: SMJ/SMM 3303
Soalan 2.0
Tahun 2000/2001 Oktober 2000
a. Tunjukkan fungsi arus ψ untuk gabungan tiga jenis aliran iaitu
dublet, vorteks dan aliran seragam melalui sebatang silinder ufuk
SOALAN 1.0 berputar dapat dinyatakan seperti yang berikut,
a. Terangkan apakah yang dimaksudkan dengan fungsi arus ψ
dan fungsi upaya φ.
 R2  Γ r
ψ = −U sin θ  r −
 −
 2π ln R 
Seterusnya dapatkan huraian perhubungan di antara halaju zarah u,  r   
yang selari dengan paksi – x dengan halaju zarah v, yang selari
paksi – y terhadap fungsi arus ψ dan fungsi upaya φ. Nyatakan dengan U ialah halaju aliran seragam mendatar arah ke kiri, R ialah
anggapan yang digunakan. [6 markah jejari silinder, Γ ialah edaran, r dan θ masing – masing ialah
koordinat polar dengan titik asalan diletakkan pada pertengahan
b. Jika fungsi arus medan aliran diberi sebagai, silinder, [10 markah
 a2  b. Berdasarkan Soalan 2a. di atas, lakarkan bentuk medan arus di atas
ψ = −Vy 1 − 2 2  untuk keadaan berikut,
 x +y 
Γ
dengan V ialah komponen halaju bebas selari paksi – y, a jejari i. apabila <1
silinder dan x, y ialah koordinat yang pusatnya di titik pertengahan 2πRU
bulatan silinder, Γ
ii. apabila, =1
i. tunjukkan bahawa fungsi arus di atas suatu 2πRU
persamaan fungsi arus tak berputar, Γ
ii. tentukan fungsi upayanya, φ, >1
iii. apabila apabila 2πRU
iii. taburan halaju pada permukaan sempadan silinder.
[14 markah
tunjukkan arah alirannya dan kedudukan titik genangan untuk
setiap keadaan. [10 markah