Los polígonos. Tipos de polígonos. Teorema de Pitágoras. Cálculo del perímetro y del área.

1. Matemáticas
Ámbito Científico-Tecnológico

2. 


La Geometría es una rama de las matemáticas
que se ocupan del estudio de las figuras en el
plano o el espacio.
Se estudian sus formas, sus propiedades
(puntos, rectas, planos, etc.) y su ubicación
en el espacio.
Es muy útil para la elaboración de mapas y
planos, para la orientación espacial, la
construcción, el desarrollo de infraestructuras
y caminos, la navegación, etc.

3. 


Un polígono es una
línea o curva
poligonal cerrada.
Son segmentos que
se unen por puntos
(vértices).
Forman figuras
planas, bidimension
ales.
Esto de aquí es un
hexágono

4. 



Los lados son los
segmentos que forman
el polígono.
Los vértices son los
puntos donde se
cortan los lados.
Las diagonales son las
líneas que unen dos
vértices no
consecutivos.
Los lados forman
ángulos en el punto en
que se cortan.
Se encuentran en todos
los tipos de polígonos

5. 
Los polígonos se clasifican, según el número de
lados, en:
Un polígono tiene el mismo número de ángulos, de vértices y de lados. No
puede haber de dos lados porque tienen que ser CERRADOS.

6. 
Los polígonos que
tienen todos los lados
y todos los ángulos
iguales se llaman
polígonos regulares.
Un pentágono regular tiene
sus cinco lados iguales
(miden lo mismo), y los ºc de
sus ángulos miden lo mismo.
Son polígonos
irregulares aquellos
que:
a) Tiene los ángulos
iguales pero no los
lados.
b) Tiene los lados
iguales pero no los
ángulos.
c) No son iguales ni los
lados ni los ángulos.


7. • Sus nueve lados miden
lo mismo. Mide unos 2
cm de mi dedo, y eso
mide cada lado.
• Forman ángulos de
140º, todos ellos.
• Tiene en total 9 lados, 9
ángulos y 9 vértices.
Eneágono (9 lados)

8. 


Un heptágono irregular
(7 lados)
Sus lados no miden lo
mismo. Unos miden más
que otros.
Sus ángulos no miden lo
mismo: Uno mide
270º, otro menos de
90º, uno un poco más de
90º, etc. Combina
ángulos agudos y
obtusos.
Eso sí, tiene el mismo
número de vértices que
de lados (7).

9. 

Página 89. Actividades 279-280. Polígonos.
Página 90. Actividades 281. Polígonos
regulares.

10. 

Los triángulos son polígonos de tres lados.
Según sus características, pueden ser de los
siguientes tipos:
Se dice que un triángulo equilátero
es a la vez isósceles por tener
también, seguros, 2 lados iguales
Para dibujarlos, se usa
un compás y una regla

11. 
Página 86, actividades 270 y 271: Clases de
triángulos.

12. 

Para que su construcción
sea significativa, es
mejor utiliza tanto un
compás como una
regla, además de un
lápiz.
Salvo que sus 3 lados
sean iguales, la suma de
las longitudes de dos
lados siempre debe ser
mayor que la longitud del
lado mayor.
Resultado de un triángulo dibujado
con compás y regla (ver simulador)

13. PROPIEDADES


Un lado cualquiera de
un triángulo es
siempre menor que la
suma de los otros dos
y mayor que su
diferencia.
La suma de los tres
ángulos de un
triángulo es
180º, siempre.
Así no se puede
hacer nada
Actividad: Sumemos los ángulos y da 180º,
sean cuales sean los valores

14. 
Un triángulo es
rectángulo si uno de
sus ángulos es recto
(90º). En estos
triángulos, los lados
perpendiculares se
llaman catetos, y el
lado
opuesto, hipotenusa.
Es importante saber identificarlos
cuando resolvamos problemas de
geometría complejos.
Ojo, este cateto no tiene
por qué ser “inútil”…

15. PROBLEMA


Resulta que tenemos
un triángulo
rectángulo, y
desconocemos el valor
de uno de sus lados.
Puede ser o la
hipotenusa, o uno de
los dos catetos.
¿QUÉ SE TE OCURRE
PARA HALLARLO?
Venga, pensad…

16. MÉTODO 1

Se trataría de coger
una hoja cuadriculada
y dibujar los dos lados
y unirlos, y contar los
cuadraditos que hay
(un cuadrado = 1
centímetro) en el
nuevo lado formado.
Es un ejemplo de
cómo, más o
menos, quedaría

17. MÉTODO 2


Se trata de representar
los valores conocidos y
calcular el área de los
posibles cuadrados que
se construyen encima de
cada lado.
El cuadrado construido
sobre la hipotenusa tiene
un valor equivalente a la
suma de los dos
cuadrados construidos
sobre los catetos.
Fíjate bien en cada uno de ellos:
Cateto 1 (b), Cateto 2 (c) e
Hipotenusa (a)

18. MÉTODO 2


Este MÉTODO 2 se
corresponde con el
“Teorema de
Pitágoras”.
Para hallar un
valor, basta con
despejar los valores
desconocidos de esta
fórmula.
Se simplifica todo con
una fórmula sencilla
H = Valor de la Hipotenusa
X = Valor del Cateto 1
Y = Valor del Cateto 2

19. 𝑋 2 + 𝑌 2 = 𝐻2
𝑋 2 + 62 = 102
𝑋 2 = 102 − 62
𝑋 2 = 100 − 36 = 64
𝑋2 =
64 = 8
X = 8 -> Es el valor del cateto que nos faltaba
¡VENGA! HAGÁMOSLO UN
MOMENTO EN UN FOLIO O
CUADERNO…
¿OS SALE LO MISMO?
FÁCIL, ¿NO?

20. 


Página 87. Actividades 272-274. Teorema de
Pitágoras.
Página 88. Actividades 276-278. Aplicaciones
del Teorema de Pitágoras.
Página 90. Actividad 282. Polígonos regulares
(cálculo del apotema).

21. 

Los cuadriláteros son polígonos de 4 lados.
Según sus características, pueden ser de
siguientes tipos:
los

22. 

Los paralelogramos
son aquellas figuras
que tienen los cuatro
lados iguales dos a
dos.
Coinciden con los
cuadriláteros.

23. 

Si trazamos una
diagonal, el
paralelogramo queda
dividido en dos
triángulos iguales.
Los lados opuestos de
un paralelogramo
tienen la misma
longitud.

24. 

Los ángulos opuestos
de un paralelogramo
son iguales, mientras
que los contiguos son
suplementarios.
Las diagonales de un
paralelogramo se
cortan en el punto
medio de las dos.

25. APLICACIONES DEL
TEOREMA DE PITÁGORAS
PARA LOS CUADRILÁTEROS
◦ Cálculo de diagonales de un cuadrilátero.
◦ Cálculo de valores de los lados o la altura de un
cuadrilátero.
◦ Facilitarán el cálculo de áreas al tener esos datos.
Si te fijas, se componen de triángulos
rectángulos a los cuales podemos aplicarle el
teorema perfectamente.

26. 

Página 91. Actividades 283-284.
Cuadriláteros.
Página 92. Actividades 285-286.
Paralelogramos.

27. 
El perímetro de una figura consiste en la
suma de los valores de todos los lados. Es
aplicable a cualquier polígono.
Perímetro de esta figura:
2 + 3 + 0’5 + 4 + 1’5 = 11 cm
Se han sumado los valores de
cada uno de los lados de este
polígono.

28. TRIÁNGULOS
ÁREA DEL TRIÁNGULO:
Base (b) * Altura (h)
2
Si dividimos un rectángulo por la
mitad, obtenemos dos
triángulos, de ahí viene. Si
tenemos un triángulo de base b
6 y de altura h 8:
(6*8)/2 = 24 cm²

29. CUADRADO
ÁREA DEL CUADRADO:
Lado (a) * Lado (a) = Lado²
Si tenemos un cuadrado cuyos
lados miden 6 centímetros, el
área sería 6 * 6 = 36 cm²

30. RECTÁNGULO
ÁREA DEL RECTÁNGULO:
Base (b) * Altura (a)
Si tenemos un rectángulo de
base 10 y de altura 5, pues el
área será 10 * 5 = 50 cm²

31. 

Página 93. Actividades 287-290. Medidas del
cuadrado y del rectángulo.
Página 94. Actividades 291-292. Medidas del
triángulo.

32. ROMBO
ÁREA DEL ROMBO:
Diagonal mayor (D) * Diagonal
menor (d)
2
Si tenemos un rombo de diagonal
mayor 8 y de diagonal menor
6, sería: (8*6)/2 = 24 cm²

33. 
Página 95. Actividades 293-294. Medidas del
rombo.

34. ROMBOIDE
ÁREA DEL ROMBOIDE:
Si se dan cuenta, podemos cortar
el triángulo (cateto h) y pegarlo
en el extremo opuesto, y
formamos un rectángulo.
Base (b) * Altura lateral (h)
Si tenemos un romboide de base
8 cm y de altura h 6 cm, sería:
8*6 = 48 cm²

35. TRAPECIO
ÁREA DEL TRAPECIO:
(Base mayor (B) + Base
menor(b))* Altura lateral (h)
2
Si tenemos un trapecio de Base
mayor B con valor de 9 cm, con
base menor b con valor de 5
cm, y una altura lateral h de valor
8 cm:
(5+9)*8
56 cm²
2

36. 
Página 97. Actividades 295-296. Medidas del
trapecio.

37. 1.
2.
3.
Calcular el perímetro de
dicha figura (sumar los
valores de todos los
lados).
Calcular la apotema (es la
menor distancia entre el
centro y cualquiera de sus
lados) mediante Teorema
de Pitágoras.
Tenemos, para esto, el
valor del lado y el del
radio (coincide con el del
lado), pero ojo, el valor
del lado se divide entre
dos.
Estos pasos sirven para todos
los polígonos regulares
Apotema de un
hexágono

38. 3.
Una vez hallada el
área, tenemos que
multiplicar el valor
del Perímetro y el
valor del apotema, y
posteriormente
dividirlo por 2:
Perímetro*apotema
2

39. EJEMPLO


Tenemos un hexágono
regular de 4 cm de
lado.
El perímetro sería la
suma de todos los
lados (6): 4 + 4 + 4 +
4 + 4 + 4 = 6*4 = 24
cm.
Primero, tenemos que hallar
el perímetro de la figura.

40. EJEMPLO



Ahora tenemos que
calcular la apotema
con el Teorema de
Pitágoras.
Dividimos la figura en
triángulos, tantos
como número de lados
tenga.
Luego, cogemos uno
de ellos y lo dividimos
en dos.
Hallar la apotema con el
Teorema de Pitágoras

41. EJEMPLO

Tenemos un
triángulo, con un radio
(hipotenusa) que mide
4 cm y un lado (cateto)
que mide la mitad, al
haberlo dividido por
dos (2). Con estos
datos, aplicamos la
fórmula del Teorema
de Pitágoras.
H² = C1² + C2²

42. EJEMPLO
Aplicando la
fórmula, tenemos la
siguiente operación:
H = √(4² + 2²) = √12 =
3’46 cm
 Ahora tenemos todos
los datos necesarios
para aplicar la fórmula
del área.

¿Te acuerdas cuál era?
¡A ver si estáis atentos!

43. EJEMPLO

Apliquemos la fórmula
de marras:
A = Perímetro*Apotema
2
A = 24*3’46
2
A = 41’52 cm²
Ahora toca practicar…

44. 

Página 97. Actividades 297-298. Medidas de
los polígonos regulares.
Fichas de repaso para el examen.