Ondas en sólidos y fluidos

Curso2006-2007
UniversidadComplutense 1/421/42
Tema 6
Ondas en sólidos elásticos y ﬂuidos

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Ondas longitudinales en sólidos
Suponemos |∆ψ| |∆x|
F
S
= E
∆ψ
∆x
donde E es el módulo de Young.
Thomas YOUNG, 1773–1829

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En el límite ∆x → 0 tendremos que F = SE ∂ψ
∂x
. Por tanto, la fuerza
neta que actúa sobre la porción es
(F + dF) − F = SE
∂ψ
∂x x+dx
− SE
∂ψ
∂x x
SE
∂2
ψ
∂x2
dx
y como debe ser igual a ρSdx
∂2
ψ
∂t2 obtenemos
1
v2
∂2
ψ
∂t2
=
∂2
ψ
∂x2
v ≡
E
ρ
En acero ρ = 8 000 kg/m3
y E = 2 × 1011
N/m2
=⇒ v = 5 km/s.

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Ondas longitudinales en gases
El coeﬁciente de compresibilidad se deﬁne como
κc ∼ −
∆V
V
1
∆P
= −
(∆x + ∆ψ)S − ∆x S
∆x S
1
ψP
−→ ψP = −
1
κc
∂ψ
∂x

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La fuerza neta que actúa sobre la porción de gas es
−(P + ψP + dψP )S + (P + ψP )S
1
κc
∂2
ψ
∂x2
S dx
y como debe ser igual a ρSdx
∂2
ψ
∂t2
obtenemos
1
v2
∂2
ψ
∂t2
=
∂2
ψ
∂x2
v ≡
1
ρκc
Experimentalmente se determina que las compresiones son adiabáticas, por
lo que v = γP/ρ. El orden de magnitud es la velocidad del sonido en el
aire (0,35 km/s).
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Nociones de acústica
Las frecuencias audibles están en el rango de 20 Hz a 20 kHz, lo que corres-
ponde a longitudes de onda entre 15 m a 15 mm.
La presión acústica es
ψP = −
1
κc
∂ψ
∂x
=
1
vκc
∂ψ
∂t
=
γP
v
∂ψ
∂t
y como la fuerza neta para producir esa variación de presión es ψP S, po-
demos deﬁnir la impedancia característica Z0 = SγP/v. Se deﬁne la impe-
dancia acústica como
z0 =
Z0
S
=
γP
v
= ρv
que para el aire es z0 = 400 kg/m2
s1
.

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Potencia e intensidad:
P(x, t) = Z0
∂ψ
∂t
2
=
S
z0
ψ2
P I =
1
S
P(x, t)
Para una onda monocromática
I =
1
2
A2
P
z0
Oídos sensibles detectan intensidades de I0 ≡ 1 pW/m2
y se produce dolor
cuando la intensidad alcanza valores de 1 W/m2
. Las variaciones de presión
para este caso son sólo de 3 × 10−4
atm.
Sensación sonora: 10 log(I/I0) db.

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Vibraciones atómicas en sólidos
¨xn − ω2
−(yn + yn−1 − 2xn) = 0
¨yn − ω2
+(xn+1 + xn − 2yn) = 0
siendo ω2
− ≡ k/M y ω2
+ ≡ k/m.
xn = A exp[i(nκa − ωt)] yn = B exp[i(nκa − ωt)]

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2ω2
− − ω2
−ω2
− (1 + e−iκa
)
−ω2
+ (1 + eiκa
) 2ω2
+ − ω2 = 0
ω4
− 2 ω2
+ + ω2
− ω2
+ 2ω2
+ω2
− sen2 κa
2
= 0

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Ondas electromagnéticas en la ionosfera
ω = ω2
p + c2κ2
ωp ∼ 120 MHz (frecuencia de plasma).
v = c 1 +
ωp
cκ
2
vg =
c
1 +
ωp
cκ
2

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Ondas superficiales en agua
Canal de profundidad h y onda senoidal ψ(z, t) = A cos(ωt − κz). Esta
magnitud representa el desplazamiento de un punto de la superficie en la
vertical respecto al nivel del agua en reposo.
La condición de incompresibilidad indica que las partículas fluidas del interior
deben moverse en planos verticales, con un movimiento bidimensional.

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ψy(y, z, t) = Ay(y) cos(ωt − κz)
ψz(y, z, t) = Az(y) sen(ωt − κz)
vy(y + ψy, z + ψz, t) =
∂ψy
∂t
vz(y + ψy, z + ψz, t) =
∂ψz
∂t
Con la aproximación v(y + ψy, z + ψz, t) v(y, z, t) tendremos
vy(y, z, t) = −ωAy(y) sen(ωt − κz)
vz(y, z, t) = ωAz(y) cos(ωt − κz)
Condición de incompresibilidad.
∂vy
∂y
+
∂vz
∂z
= 0 =⇒ Ay − κAz(y) = 0

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Condición de viscosidad despreciable.
Si inicialmente el ﬂuido está en reposo, la vorticidad es nula. Enconces, el
teorema de Kelvin nos asegura que A(t) ω·d A = 0, de donde C(t) u·d = 0,
es decir, × u = 0.
∂vy
∂z
−
∂vz
∂y
= 0 =⇒ Az − κAy(y) = 0
Condiciones de contorno.
Ay(0) = A
Ay(−h) = 0
=⇒



Ay(y) = A
senh[κ(y + h)]
senh κh
Az(y) = A
cosh[κ(y + h)]
senh κh

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Trayectorias
Relación de dispersión
Transformación de Galileo z = z − ωt/κ.
vy(y, z ) = ωAy(y) sen κz vz(y, z ) = ωAz(y) cos κz −
ω
κ

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Aplicamos el teorema de Bernoulli a un línea de corriente en la superﬁcie,
por lo que P + (1/2)ρv2
+ ρgψ = cte.
P(z ) = Patm − σ
∂2
ψ
∂z 2
= Patm + σκ2
A cos κz
Además v2
= v2
y(0, z ) + v2
z(0, z ) y ρgψ = ρgA cos κz . Por tanto,
σκ2
+ ρgA − ρω2 A
κ
coth κh cos κz + Patm +
1
2
ρ
ω2
κ2
= cte
ω = gκ +
σκ3
ρ
tanh κh

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Aguas profundas
Cuando h λ tendremos que κh 1, es decir, tanh κh 1. Por tanto,
ω = gκ + (σ/ρ)κ3 , de donde
v =
g
κ
+
σ
ρ
κ vg =
g
κ
+ 3
σ
ρ
κ
2
g
κ
+
σ
ρ
κ
Coinciden cuando κ ≡ κc = ρg/σ (en agua λc = 2π/κc = 17 mm).
Longitud de onda larga (κ κc). Entonces ω
√
gκ y dominan los
efectos de gravedad.
v =
g
κ
vg =
1
2
g
κ
< v

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Longitud de onda corta (κ κc). Dominan los efectos de tensión superfi-
cial. Llegamos a que
v =
σ
ρ
κ vg =
3
2
σ
ρ
κ > v
Rizado. Dispersión anómala.
Aguas superficiales
Cuando h λ tendremos que κh 1, es decir, tanh κh κh. Ade-
más, como λ debe ser grande, podemos despreciar los efectos de tensión
superficial, por lo que ω κ
√
gh. El medio es no dispersivo:
v = vg = gh

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Ondas en membranas
Malla cuadrada. En cada nodo insertamos una masa m y sometemos cada
cuerda a una tensión Tx ó Ty en equilibrio.

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Fij = Tx
zi+1,j − zij
l
−Tx
zij − zi−1,j
l
+Ty
zi,j+1 − zij
l
−Ty
zij − zi,j−1
l
= m¨zij
l → 0 y m → 0 pero ρs ≡ m/l2
=cte. σx ≡ Tx/l y σy ≡ Ty/l también
constantes. zi,j(t) → ψ(x, y, t)
ρs
∂2
ψ
∂t2
= σx l´ım
l→0
ψ(x + l, y, t) + ψ(x − l, y, t) − 2ψ(x, y, t)
l2
+ σy l´ım
l→0
ψ(x, y + l, t) + ψ(x, y − l, t) − 2ψ(x, y, t)
l2
Deﬁniendo vx ≡ σx/ρs y vy ≡ σy/ρs
∂2
ψ
∂t2
= v2
x
∂2
ψ
∂x2
+ v2
y
∂2
ψ
∂y2

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Modos normales de una membrana rectangular
Si la tensión superﬁcial es la misma en cada dirección, empleando las con-
diciones de contorno
ψ(0, y, t) = ψ(Lx, y, t) = ψ(x, 0, t) = ψ(x, Ly, t) = 0
los modos normales son
ψ(x, y, t) = A sen
nxπx
Lx
sen
nyπy
Ly
cos(ωnxny
t+δ) nx, ny = 1, 2, . . .
ωnxny
= v
nxπ
Lx
2
+
nyπ
Ly
2
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Lx = 1,05L Ly = 0,95L β ≡
ωnxny
L
πv

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Ondas en 2 y 3 dimensiones
La ecuación de ondas en un medio isótropo será
1
v2
∂2
ψ
∂t2
= 2
ψ
que admite soluciones en forma de onda viajera. En particular, ondas sinu-
soidales o planas:
ψ(r, t) = ψ0 sen(κ · r − ωt)
o también
ψ(r, t) = ψ0ei(κ·r−ωt)
Relación de dispersión ω = |κ|v. κ es el vector de onda.

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Frente de onda. Lugar geométrico de los puntos con la misma fase en el
mismo instante de tiempo: ϕ(r, t0) = κ·r −ωt0 = cte (plano). κ es normal
a los frentes de onda y determina la dirección de propagación.
El período espacial de la onda plana en la
dirección de propagación es λ = 2π/|κ|.
Para comprobarlo basta considerar dos
frentes de onda consecutivos, cuyas fases
se diferencian en 2π. Las ecuaciones de
ambos planos son κ · r = C y κ · r =
C +2π, siendo C una constante. Restan-
do ambas ecuaciones κ · (r − r) = 2π.
La distancia d entre ambos planos es el módulo de los vectores r − r que
son paralelos a κ. Por tanto |κ|d = 2π =⇒ d = 2π/|κ| = λ. El período
temporal es T = 2π/ω.

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Ondas esféricas
En medios isótropos la perturbación dependerá sólo de la distancia a un
cierto foco:
1
v2
∂2
ψ
∂t2
=
1
r2
∂
∂r
r2 ∂ψ
∂r
ψ(r, t) =
A
r
sen(κr − ωt)
Los frentes de onda son ahora el lugar geométrico de los puntos que satis-
facen la condición r = cte (superﬁcie esférica). Por eso, la solución anterior
es llamada onda esférica.

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Solución de Kirchhoff
Gustav Robert KIRCHHOFF, 1824–1887
Consideremos una onda que satisface la ecuación de ondas en un me-
dio isótropo. Cada componente espectral χ(r) de la onda [ψ(r, t) =
χ(r) exp(iωt)] verifica la ecuación de Helmholtz ( 2
+ κ2
) χ = 0.
Sea ϕ = (1/r) exp(−iκr) y apliquemos el teore-
ma de Green [A21], utilizando el volumen ence-
rrado entre las superficies S y S (ϕ es regular en
todo el volumen considerado). Como
χ 2
ϕ − ϕ 2
χ = −ϕ 2
+ κ2
χ = 0
obtenemos:
S
χ
∂ϕ
∂n
− ϕ
∂χ
∂n
dA +
S
χ
∂ϕ
∂n
− ϕ
∂χ
∂n
dA = 0 .

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En la superﬁcie S tenemos que n = −r, por lo que ∂/∂n = −∂/∂r:
S
χ
∂ϕ
∂n
− ϕ
∂χ
∂n
dA =
S
−χ
∂
∂r
1
r
e−iκr
+
1
r
e−iκr ∂χ
∂r
dA
Si χ no es singular en torno a P, entonces sólo un término no se anula
cuando el radio de S tiende a cero, aquel que proviene de la derivada de
1/r. Utilizando dA = r2
dΩ, obtenemos en dicho límite
S
χ
∂ϕ
∂n
− ϕ
∂χ
∂n
dA =
S
χ
1
r2
e−iκr
r2
dΩ = 4πχP =⇒
4πχP =
S
1
r
∂χ
∂n
− χ
∂
∂n
1
r
+ iκχ
1
r
∂r
∂n
e−iκr
dA =⇒
ψP =
1
4π S
1
r
∂
∂n
−
∂
∂n
1
r
+ iκ
1
r
∂r
∂n
χ(r) eiω(t−r/v)
ψ(r,t−r/v)
dA

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Introducimos la notación [ψ]t−r/v ≡ ψ(r, t − r/v) = χ(r) eiω(t−r/v)
, donde
t − r/v recibe el nombre de tiempo de retardo. Entonces
ψP =
1
4π S
X dA
X ≡
1
r
∂ψ
∂n t−r/v
−
∂
∂n
1
r
[ψ]t−r/v +
1
vr
∂r
∂n
∂ψ
∂t t−r/v
El resultado es general para cualquier onda, incluso no armónica (véase M.
Born y E. Wolf, Principles of Optics).

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Principio de Huygens
Christiaan HUYGENS, 1629–1695
La propagación de una onda luminosa
puede determinarse suponiendo que, en
cada instante, en cada punto del frente
de onda surge un nuevo frente de onda
esférico centrado en dicho punto; el nuevo
frente de onda es la envolvente de todas
estas ondas esféricas.

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Ley de Snell (refracción)
Willebrod SNELL, 1580–1626
El tiempo que tarda la onda en llegar
de B a C es t0 = BC/v1. La onda
que se propaga en el medio 2 recorre
una distancia AD = v2t0. De la ﬁgura
resulta sen θ1 = BC/AC y sen θ2 =
AD/AC.
sen θ1
sen θ2
=
v1
v2

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Ley de la reﬂexión
Como BC/AD, los triángulos ACD y
ABC son iguales. Por tanto,
θ1 = θ2

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Efecto Doppler
Christian DOPPLER, 1803–1853
Consideremos un foco de ondas esféricas
de frecuencia νF , que se mueve con ve-
locidad vF . Las ondas son detectadas por
un observador que se mueve con veloci-
dad vO en la misma dirección. El aire está
en reposo y las ondas se propagan con
velocidad v.
Admitiremos que v > vF . La separación entre dos frentes con la misma
fase en la región frontal es vTF − vF TF , ya que los frentes se emitieron en
puntos que distan vF TF entre sí. Por ello, la longitud de onda en la región
frontal es λ = (v − vF )TF .

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Como el observador se aleja con velocidad vo, el tiempo que mide entre la
llegada de dos frentes consecutivos, To, es mayor que si estuviera en reposo
respecto al aire.
Consideremos la llegada del frente A
a la posición del observador en el ins-
tante t y la llegada del frente B a
la posición en el instante t + To. Ve-
mos que vTo = λ + voTo, de donde
λ = (v − vo)To.
νo = νF
v − vo
v − vF
Ejemplo.
νantes
νdespues
=
νF
v − vo
v − vF
νF
v − vo
v + vF
=
v + vF
v − vF
> 1

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Ondas no lineales
Las verdaderas leyes de la Naturaleza no pueden ser lineales (A. Einstein)
Observación de Scott Russell (Edimburgo, 1834)

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Propuesta de Korteweg y de Vries (1895)
∂ψ
∂t
+ v0 1 +
3
2
ψ
h
∂ψ
∂x
+
1
6
v0h2 ∂3
ψ
∂x3
= 0 v0 = gh
Aproximación lineal dispersiva
∂ψ
∂t
+ v0
∂ψ
∂x
+
1
6
v0h2 ∂3
ψ
∂x3
= 0 =⇒ ω = v0κ 1 −
1
6
h2
κ2

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Aproximación no lineal y no dispersiva
∂ψ
∂t
+ v0 1 +
3
2
ψ
h
”vefectiva”
∂ψ
∂x
= 0
Balance entre la no linealidad y la dis-
persión en la ecuación KdV

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Soluciones especiales de la ecuación KdV
Ondas cnoidales Onda solitaria
Onda solitaria
ψ(x, t) = ψ0 sech 2 x − vt
v = v0 1 +
ψ0
2h
=
4h2
3ψ0
Las ondas solitarias de mayor amplitud son más estrechas y viajan con mayor
velocidad.
Para visualizar una animación pinche sobre la imagen:

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Colisión de ondas solitarias. Solitones

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Solitón (Zabusky y Kruskal, 1965)

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Experimento de Fermi-Pasta-Ulam (Los Alamos, 1955)
m¨xn = k [(xn+1 − xn) − (xn − xn−1)] + α (xn+1 − xn)2
− (xn − xn−1)2
La energía no se reparte gradualmente entre los diversos modos de vibración.
Experimento de Zabusky y Kruskal (1965)

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Solitones topológicos

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Ecuación sine-Gordon
L =
n
1
2
I ˙θ2
n −
1
2
β (θn+1 − θn)
2
−
1
2
mgL(1 − cos θn)
¨θn −
v2
0
a2
(θn+1 + θn−1 − 2θn) + ω2
0 sen θn = 0 , v2
0 =
βa2
I
, ω2
0 =
mgL
2I
Límite continuo: a → 0 [A23]
∂2
θ
∂t2
− v2
0
∂2
θ
∂x2
+ ω2
0 sen θ = 0
Solución kink:
θ(x − vt) = 4 arctan exp ±
ω0
v0
x − vt
1 − v2/v2
0

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Korteweg-de Vries
ut = 6uux − uxxx
sine-Gordon
utt = uxx − sen u
Schrödinger no lineal
iut = −uxx ± |u|2
u

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