1) El documento trata sobre la dinámica del sólido rígido y contiene conceptos como la matriz de paso, velocidad angular, teorema de Coriolis, momento lineal y angular, movimiento plano y general de un sólido rígido, y energía cinética.
2) Se define un sólido rígido como un sistema de partículas donde las distancias entre ellas no cambian en el tiempo, y tiene un máximo de 6 grados de libertad.
3) La velocidad de un punto en un sólido ríg
2. Curso2006-2007
UniversidadComplutense 2/442/44
Preliminares
ei · ej = ei · ej = δij
Cij ≡ ei · ej: matriz de paso de S a S.
Fila i: componentes de ei respecto a S :
ei = Cijej
Columna i: componentes de ei respecto a S:
ei = Cjiej
Ejemplo: Rotación en torno al eje Z
C =
cos θ sen θ 0
− sen θ cos θ 0
0 0 1
3. Curso2006-2007
UniversidadComplutense 3/443/44
Propiedades de C
Ortogonalidad
δij = ei · ej = CikCjl ek · el
δkl
= CikCt
kj −→ CCt
= Ct
C = I3
Velocidad angular
d
dt
(CCt
) = 0 =
˙
CCt
+ C
˙
Ct
=
˙
CCt
+ (
˙
CCt
)t
= 0
La matriz Ω ≡
˙
CCt
es antisimétrica. Podemos escribir
Ω =
0 ω3 −ω2
−ω3 0 ω1
ω2 −ω1 0
[11]
=⇒ Ωjk = ijkωi
ω: velocidad angular de S respecto a S .
5. Curso2006-2007
UniversidadComplutense 5/445/44
Teorema de Coriolis
Gaspard CORIOLIS, 1792–1843
La velocidad de un punto en r respecto a S es
dr
dt S
= ˙xiei
donde ei = Ckiek = Ct
ikek y xi = r · ei = Cjir · ej = Cjixj =⇒ ˙xi =
Cji ˙xj + ˙Cjixj.
dr
dt S
= CjiCt
ik
δjk
˙xjek + ˙CjiCt
ik
Ωjk
xjek = ˙xjej + ijkωixjek
[12]
=⇒
dr
dt S
= dr
dt S
+ ω × r
6. Curso2006-2007
UniversidadComplutense 6/446/44
Definición
Sólido rígido: Sistema de partículas donde las distancias entre ellas no cam-
bian en el tiempo. (|ri − rj| = cte , ∀ i, j).
Máximo número de grados de libertad: 6
3 puntos fijan la posición del sólido rígido.
9 coordenadas para r1, r2 y r3.
3 ligaduras: |r1 − r2|, |r2 − r3|, |r1 − r3| ctes.
9 − 3 = 6
Punto fijo
Sus coordenadas no cambian en el tiempo respecto a algún sistema de
referencia inercial (e.g. punto de sujección de un péndulo).
7. Curso2006-2007
UniversidadComplutense 7/447/44
Teorema de Euler
Dadas dos posiciones arbitrarias de un sólido rígido que tiene un punto
fijo O, siempre se puede pasar de la una a la otra mediante una rotación
alrededor de un eje que pasa por O.
Leonhard EULER, 1707–1783
Teorema de Chasles
Dadas dos posiciones arbitrarias de un sólido rígido, siempre se puede pasar
de la una a la otra aplicando una traslación seguida de un giro de infinitas
formas posibles. Entre ellas, hay una en la que el eje de rotación es paralelo
a la recta de traslación.
Michel CHASLES, 1793–1880
9. Curso2006-2007
UniversidadComplutense 9/449/44
Movimiento en presencia de un punto fijo
Tomando como origen O el punto fijo: V0 = 0 y a0 = 0. El eje instantáneo
de rotación es la recta que pasa por O y es paralela a ω. Para eso puntos
vI = 0 en ese instante pues ω y r son paralelos.
10. Curso2006-2007
UniversidadComplutense 10/4410/44
Movimiento general
a) O se traslada con velocidad V0 y el sólido gira en torno a un eje que
pasa por O con velocidad angular ω.
vI = V0
Traslación
+ ω × r
Rotación
V0 ω
b) El sólido rígido gira en torno a un eje móvil y además se traslada pa-
ralelamente a ese eje (eje instantáneo de rotación). Esto se denomina
movimiento helicoidal instantáneo.
vI = λω + ω × r
11. Curso2006-2007
UniversidadComplutense 11/4411/44
Demostración
Puntos del sólido con velocidad vI paralela a ω
vI = λω = V0 + ω × r =⇒ r =
1
ω2
ω × V0 + µ ω (µ arbitrario)
Para comprobarlo sustituimos la solución en la ecuación
λω = V0 +
1
ω2
ω × ω × V0 + µ ω × ω
=0
[13b]
=⇒ λ =
1
ω2
ω · V0
Recta paralela a ω que pasa por el punto P, con rP ≡ ω × V0/ω2
r = rP + µ ω
Los puntos que están sobre esta recta tienen velocidad vI = λω. La veloci-
dad de cualquier punto del sólido rígido es
vI = V0 + ω × (r − rP ) + ω × rP
[13b]
= λω + ω × r con r ≡ r − rP .
14. Curso2006-2007
UniversidadComplutense 14/4414/44
Momento angular del sólido rígido
Momento angular respecto a O:
dL = r × vI dm = r × VO + r × (ω × r) dm =⇒
L = m
r dm
dm
×VO+ r×(ω×r) dm = m rc×VO+ r×(ω×r) dm
Si O coincide con un punto fijo: VO = 0
Si O coincide con el centro de masas: rc = 0
L = r × (ω × r) dm
16. Curso2006-2007
UniversidadComplutense 16/4416/44
Componentes de L en el movimiento plano
Lx = −ω xzρ(r)d3
r = −ω x dx dy zρ(x, y, z)
Impar × Par
dz = 0
Ly = −ω yzρ(r)d3
r = −ω dx y dy zρ(x, y, z)
Impar × Par
dz = 0
Lz = ω x2
+ y2
ρ(r)d3
r
I, momento de inercia
= Iω
L = Iω
17. Curso2006-2007
UniversidadComplutense 17/4417/44
Eje y centro instantáneo de rotación
Movimiento plano, existe un eje —móvil en general— respecto al cual el
campo de velocidades es vI = ω × r en cada instante.
LCIR = Iω
Demostración
Como queremos ver si vI = 0 para el CIR, entonces V0 = −ω × rP
V0 = −ωk × xE ı + yE + zE k =⇒
xE = −V0y/ω
yE = +V0x/ω
Cualquier otro punto del sólido en movimiento plano:
vI = V0 + ω × rP
=0
+ω × (r − rP )
≡r
18. Curso2006-2007
UniversidadComplutense 18/4418/44
Ejemplo: Rueda que se mueve sin deslizar sobre un plano horizontal.
La condición de rodar sin deslizar implica que V0x = ωR y V0y = 0, donde la
velocidad angular se escribe como ω = ωk, por lo que xE = 0 e yE = R. El
eje instantáneo de rotación es la línea negra de la fotografía, perpendicular
al plano de movimiento.
19. Curso2006-2007
UniversidadComplutense 19/4419/44
Movimiento general de un sólido rígido
Usando r × (ω × r)
[A13b]
= r2
ω − (r · ω)r y ωi = 3
j=1 ωjδij
Li =
3
j=1
r2
δij − xixj dm ωj i = 1, 2, 3 .
Se define el tensor de inercia ˜I, cuyas componentes se expresan como
Iij ≡ r2
δij − xixj dm =⇒ L = ˜I · ω con ˜I = r2
I3 − r r dm
siendo I3 el tensor unidad. Como el producto diádico r r es un tensor de
segundo orden [A8], entonces ˜I también lo es. Además el tensor de inercia
es simétrico.
20. Curso2006-2007
UniversidadComplutense 20/4420/44
En general, el momento angular y la
velocidad angular NO son paralelos.
Momentos y productos de inercia
I11 = (y2
+ z2
) dm I22 = (x2
+ z2
) dm I33 = (x2
+ y2
) dm
I12 = I21 = − xy dm I13 = I31 = − xz dm I23 = I32 = − yz dm
21. Curso2006-2007
UniversidadComplutense 21/4421/44
Energía cinética del sólido rígido
Energía cinética de dm: (1/2) VO + ω × r
2
dm. Por tanto,
T =
1
2
mV 2
0 + mVO · (ω × rc) +
1
2
(ω × r)
2
dm
Si O coincide con un punto fijo: T =
1
2
(ω × r)
2
dm
Si O coincide con cm: T =
1
2
mV 2
c +
1
2
(ω × r)
2
dm
24. Curso2006-2007
UniversidadComplutense 24/4424/44
Utilizando el centro instantáneo de rotación
Como xE = − ˙yc/ ˙ϕ = −(L/2) cos ϕ
e yE = ˙xc/ ˙ϕ = (L/2) sen ϕ ⇒
rE =
L
2
(− cos ϕ ı + sen ϕ )
rc = b −
L
2
cos ϕ ı +
L
2
sen ϕ
RE = rE + rc = (b − L cos ϕ) ı + L sen ϕ
T = (1/2) IE ˙ϕ2
con IE = Ic + m
L
2
2
=
1
3
mL2
Steiner
⇒ T =
1
6
m L2
˙ϕ2
25. Curso2006-2007
UniversidadComplutense 25/4425/44
Movimiento general
(ω × r)2
= (ω × r)k(ω × r)k
[A12]
= ijkωixj klmωlxm
ijk klm
[A11]
= δilδjm − δimδjl ⇒ (ω × r)2
= ω2
r2
− ωiωjxixj
ω2
= ωiωjδij ⇒ (ω × r)2
= ωi r2
δij − xixj ωj
1
2
(ω × r)
2
dm =
1
2
ωiIijωj =
1
2
ωt
· ˜I · ω
Si O coincide con un punto fijo: T =
1
2
ωt
· ˜I · ω
Si O coincide con el centro de masas: T =
1
2
mV 2
c +
1
2
ωt
· ˜I · ω
27. Curso2006-2007
UniversidadComplutense 27/4427/44
Eje principales de inercia
Transformación de semejanza
˜I
[A6]
= ˜Ct
· ˜I · ˜Ct
˜Ct
= ˜C−1
=⇒ ˜I = ˜C−1
· ˜I · ˜C
Tras la transformación ˜I = diag(I1, I2, I3), donde Ik son los momentos
principales de inercia y los nuevos ejes son los ejes principales de
inercia. En dichos ejes, la contribución de la rotación a la energía cinética
del sólido rígido es
TR =
1
2 k
Ikω2
k
29. Curso2006-2007
UniversidadComplutense 29/4429/44
Teorema de los ejes perpendiculares
Cuando un sólido rígido presenta un espesor despreciable en alguna dirección
espacial, entonces I3 = I1 + I2, siendo el eje Z perpendicular al plano que
contiene a dicho sólido.
Ejemplo: Placa rectangular de masa m y demensiones a × b.
I1 =
1
12
mb2
I2 =
1
12
ma2
I3 =
1
12
m a2
+ b2
30. Curso2006-2007
UniversidadComplutense 30/4430/44
Teorema de los ejes paralelos
Sean dos sistemas de referencia, uno de
ellos con origen en el centro de masas de
un sólido rígido, con los ejes paralelos dos
a dos:
Iij = Ic
ij + m(a2
δij − aiaj)
31. Curso2006-2007
UniversidadComplutense 31/4431/44
Demostración:
Basta sustituir la relación r = r − a en la definición
Iij = r · r δij − xixj dm = r2
δij − xixj dm + m a2
δij − aiaj
+ 2a r dm
= 0
+2aj xi dm
= 0
+2ai xj dm
= 0
Teorema de Steiner
Considerando los elementos diagonales:
Iii = Ic
ii + m(a2
− a2
i )
siendo a2
− a2
i el cuadrado de la distancia entre los ejes Xi y Xi
32. Curso2006-2007
UniversidadComplutense 32/4432/44
Elipsoide de inercia
ij
Iijxixj = 1
Ejes propios
−→
i
Iix2
i = 1
Propiedades
a) El momento de inercia del sólido rígido respecto a
un cierto eje es el inverso del módulo del vector de
posición de la intersección de elipsoide con dicho
eje.
Demostración
n =
r
r
⇒ In =
ij
niIijnj =
ij
Iij
xi
r
xj
r
=
1
r2
33. Curso2006-2007
UniversidadComplutense 33/4433/44
b) Si ω es paralela a r, entonces la normal al elip-
soide de inercia en el punto de intersección con
el eje de giro es paralela a L.
Demostración
Sea f(x1, x2, x3) ≡ ij Iijxixj. La ecuación del elip-
soide de inercia es f(x1, x2, x3) = 1. Las componen-
tes del vector normal al elipsoide son
∂f
∂xi
=
j
Iijxj
r ω
∝
j
Iijωj = Li
37. Curso2006-2007
UniversidadComplutense 37/4437/44
Ecuaciones de Euler
Como ˙ωi = d∗
ωi/dt y L = i Iiωiei =⇒ M = d∗
L
dt
+ω×L = i Ii ˙ωiei +
ω × L obtenemos:
M1 = I1 ˙ω1 + (I3 − I2)ω2ω3
M2 = I2 ˙ω2 + (I1 − I3)ω1ω3
M3 = I3 ˙ω3 + (I2 − I1)ω1ω2
Casos útiles
a) Si M = 0 las ecuaciones son integrables.
b) Si conocemos ω podemos determinar M (reacciones, etc).
38. Curso2006-2007
UniversidadComplutense 38/4438/44
Ejemplo
Un sólido rígido no sometido a momentos externos cuyos tres momentos
principales de inercia son distintos sólo puede girar con velocidad angular
constante en torno a un eje principal de inercia.
˙ωi = 0 y Mi = 0 =⇒ ω1ω2 = ω1ω3 = ω2ω3 = 0
Por tanto, sólo una componente de ω puede ser no nula.
39. Curso2006-2007
UniversidadComplutense 39/4439/44
Trompo simétrico sin momentos aplicados
Por definición I1 = I2 ≡ A y I3 ≡ C.
0 = A ˙ω1 + (C − A)ω2ω3
0 = A ˙ω2 + (A − C)ω1ω3
0 = C ˙ω3 =⇒ ω3 = cte
Sea la constante Ω ≡ C−A
A
ω3. Entonces
˙ω1 + Ωω2 = 0
˙ω2 − Ωω1 = 0
=⇒
ω1(t) = ω⊥ cos(Ωt + δ)
ω2(t) = ω⊥ sen(Ωt + δ)
La proyección de ω sobre el plano XY describe un movimiento circular
uniforme con velocidad angular Ω. Como ω2
1 + ω2
2 = ω2
⊥ es constante,
entonces ω = ω2
1 + ω2
2 + ω2
3 = cte.
41. Curso2006-2007
UniversidadComplutense 41/4441/44
Sistema de referencia inercial
L = cte, por lo que el eje Z y ω se mueven rígidamente, rotando en torno
al momento angular.
Cono espacial descrito por ω en su rotación en torno a L. El ángulo de
semiabertura es |α − β| con tan β = Aω⊥/(Cω3).
42. Curso2006-2007
UniversidadComplutense 42/4442/44
Ángulos de Euler
Rotación en el plano X1 − X2
Rφ =
cos φ sen φ 0
− sen φ cos φ 0
0 0 1
φ es el ángulo de precesión.
Rotación en el plano X2 − X3
Rθ =
1 0 0
0 cos θ sen θ
0 − sen θ cos θ
θ recibe el nombre de ángulo de nutación.
43. Curso2006-2007
UniversidadComplutense 43/4443/44
Rotación en el plano X1 − X2
RΨ =
cos Ψ sen Ψ 0
− sen Ψ cos Ψ 0
0 0 1
Ψ recibe el nombre de ángulo de espín.
Cambio de ejes
RΨRθRφ =
c φ c Ψ − s φ c θ s Ψ s φ c Ψ + c φ c θ s Ψ s θ s Ψ
−c φ s Ψ − s φ c θ c Ψ −s φ s Ψ + c φ c θ c Ψ s θ c Ψ
s φ s θ −c φ s θ c θ
donde s ≡ sen y c ≡ cos.
44. Curso2006-2007
UniversidadComplutense 44/4444/44
Componentes de la velocidad angular
ωφ = ˙φ (precesión) dirigida a lo largo de X3.
ωθ = ˙θ (nutación) dirigida a lo largo de la línea de nodos.
ωΨ = ˙Ψ (espín) dirigida a lo largo de X3.
y en el sistema de referencia no inercial
ω1 = ˙φ sen θ sen Ψ + ˙θ cos Ψ
ω2 = ˙φ sen θ cos Ψ − ˙θ sen Ψ
ω3 = ˙φ cos θ + ˙Ψ