Problemas

Mecánica y Ondas II Bolet´ın N◦
1 Curso 2006/07
Problemas de Mecánica y Ondas II.
Bolet´ın N◦
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Problema 1.1 Un cilindro de altura h y radio R1 tiene una de sus bases pegada tangen-
cialmente, en su centro, a la superficie de una esfera de radio R2. Ambos cuerpos tienen
la misma masa M y la misma densidad. Se supone que el centro de masas del sistema
completo (cilindro y esfera) está en el punto de contacto. Calcule el momento de inercia
del sistema respecto a un eje perpendicular al eje de simetr´ıa de aquel y que pasa por el
centro de masas (expresar el resultado final en términos de h).
Problema 1.2 Un balón de radio R rueda sin deslizar hacia adelante a lo largo del
pasillo de un tren. Su velocidad respecto al tren es VB y la velocidad del tren respecto a
las v´ıas es VT . Indique dónde se encuentra el centro instantáneo de rotación del balón.
Problema 1.3 Una esfera no homogéna de radio R y densidad ρ(r) = ρ0r/R, siendo
r la distancia al centro y ρ0 una constante positiva, se cuelga por un punto fijo de su
superficie. Calcule la frecuencia de las pequeñas oscilaciones cuando su centro se mueve
siempre en el mismo plano vertical bajo la acción de la gravedad.
Problema 1.4 El sistema de la figura consiste en un aro de radio R y una varilla AB de
longitud 3R y masa m, estando dicho sistema conte-
nido en un plano vertical. El aro está fijo, mientras el
extremo A de la varilla puede deslizar sin rozamiento
a lo largo del aro. La varilla en su movimiento siem-
pre pasa por el punto C, interesección del aro con su
diámetro horizontal. Determine la posición del cen-
tro instantáneo de rotación. Si en el instante inicial
el segmento AC de la varilla está situado por encima
del diámetro horizontal, formando con él un ángulo
de π/6, y se deja caer la varilla sin velocidad inicial, calcular la velocidad del extremo A
de la varilla cuando pasa por la posición horizontal.
Problema 1.5 Pruebe que la energ´ıa cinética de una barra homogénea de masa m es
T =
m
6
u 2
+ u · v + v 2
,
donde u y v son las velocidades de los extremos.
Problema 1.6 Halle la energ´ıa cinética de un cilindro de masa m, radio R y altura h,
que gira con velocidad angular ω constante alrededor de un eje que forma un ángulo de
π/4 con el eje del cilindro y que pasa por su centro de masas, que es un punto fijo.
Problema 1.7 Se considera un cono homogéneo de masa m, altura h, y radio de la
base r, sobre el cual se coloca un sistema de referencia con origen en el vértice y el eje Z
coincidiendo con el eje del cono. Los elementos de la matriz de inercia respecto a estos ejes
son Ixx = Iyy = (3m/5)(r2
/4 + h2
), Izz = (3/10)mr2
y los productos de inercia son nulos.
Calcule el momento de inercia respecto a un eje paralelo al eje X que sea tangente a la
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circunferencia de la base. (Dato: El centro de masas de un cono homogéneo está situado
a una distancia 3h/4 de su vértice). Suponiendo que el vértice es un punto fijo, calcule
el momento angular L respecto al vértice y la energ´ıa cinética de rotación T del cono
cuando la velocidad angular es ω = ωu, donde u es un vector unitario según la generatriz
del cono contenida en el plano XZ.
Problema 1.8 Encuentre los momentos principales de inercia de una placa rectangular
de masa m y lados a y b. ¿Cuál es el par que se necesita para hacer rotar la placa alrededor
de una de las diagonales con velocidad angular constante ω?
Problema 1.9 Un disco homogéneo de masa m, radio R y espesor despreciable se mueve
sin rozamiento alrededor de su centro que permanece fijo. Estudie el movimiento del disco
sabiendo que en el instante inicial gira con una velocidad ω que forma un ángulo de π/4
con el eje del disco. ¿Cuánto vale el módulo del momento angular?
Problema 1.10 Un paralelep´ıpedo homogéneo de masa m, recto, de base cuadrada de
lado a y altura h, se mueve en ausencia de fuerzas externas y de modo que el centro O de
una de las bases cuadradas es fijo. Sean ˆı, ˆ y ˆk tres vectores ortonormales solidarios con
el sólido y dirigidos según sus aristas, con origen en O, de forma que dicha base está en el
plano que forman ˆı y ˆ. Los momentos principales de inercia en este sistema de referencia
son Ix = Iy = (m/12)(a2
+ 4h2
) y Iz = (m/6)a2
y los productos de inercia son nulos.
En dicho sistema de referencia, la velocidad angular inicial es ω0(1, 0, 1). Sabiendo que
a = 2
√
3h, calcule la velocidad angular en un instante t tal que ω0t = π.
Problema 1.11 El sistema de la figura está constituido por una barra homogénea y
delgada, de longitud y masa m. El extremo A de la barra
está inicialmente sujeto, de forma que el ángulo entre la
barra y el suelo es 60◦
. El extremo opuesto B de la barra se
anuda a una cuerda que pasa por una polea y se suspende
una pesa de masa m. Dicho extremo se mueve siempre por
la gu´ıa vertical indicada en el dibujo adjunto. Determine
la aceleración inicial de la pesa si se rompe el enganche A.
Dato: Ic = (1/12)m 2
.
Problema 1.12 Una varilla r´ıgida y homogénea de masa m y longitud 2L está inicial-
mente en posición vertical sobre el suelo, y su centro se mueve a lo largo de una gu´ıa
vertical. Si la varilla comienza a caer con velocidad inicial despreciable y sin rozamien-
to, determine en función del ángulo que forma con la horizontal: a) trayectoria del centro
instantáneo de rotación respecto al sistema de referencia no inercial y b) al inercial. c) Cal-
cule la energ´ıa cinética de la varilla empleando el centro instantáneo de rotación y d) la
velocidad angular al llegar al suelo. Dato: Ic = mL2
/3.
Problema 1.13 Una barra homogénea AB muy delgada, de longitud L y masa m,
está articulada en el extremo A y unida a un eje vertical, como indica la figura. El eje
gira con velocidad angular constante ω = 3g/L. Determine para la barra:

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1. Grados de libertad.
2. Energ´ıa cinética en función de las coordenadas ge-
neralizadas.
3. Ecuación de movimiento.
4. Ángulo θ de equilibrio estable.
5. Frecuencia de las oscilaciones pequeñas en torno a
la posición de equilibrio.
Problema 1.14 Un cilindro inmóvil de radio R tiene su eje horizontal. Se coloca un
segundo cilindro, de masa m y radio R, sobre el primero, de manera que los ejes son
paralelos. Inicialmente cilindro se encuentra en la posición más elevada y comienza a
rodar sin deslizar con velocidad angular despreciable. Determine para dicho cilindro:
2. Lagrangiano mientras está en contacto con el cilin-
dro fijo.
3. Posición en la que deja de estar en contacto con el
cilindro fijo.
4. Momento de las fuerzas que actúan sobre el cilindro
en dicha posición respecto al centro del cilindro fijo.
Problema 1.15 Un cilindro homogéneo de masa m, radio R y altura H puede rotar con
velocidad angular constante ω alrededor de un eje fijo que pasa por el centro de masas
y por los apoyos A y B de la circunferencia de sus caras, según indica el dibujo. Las
componentes del tensor de inercia respecto a los ejes cartesianos indicados son Ix = Iy =
(1/12)m(3R2
+H2
) y Iz = (1/2)mR2
, siendo nulos los productos de inercia. Despreciando
los efectos de la gravedad, obtenga:
1. Energ´ıa cinética del cilindro.
2. Momento de las fuerzas que actúan sobre los apoyos
A y B.
3. Relación entre R y H para que sea nulo el momento
aplicado.
4. Módulo de las fuerzas normales al eje aplicadas sobre
los apoyos A y B. Nota: A⊥ = A − n (A · n).
Problema 1.16 Un semidisco homogéneo de masa m y radio R oscila sin deslizar sobre
una superficie horizontal, de manera su plano se mantiene vertical. La distancia entre el
centro de masas (cm) del semidisco y el centro P es h. El momento de inercia respecto al
eje pararalelo a Z que pasa por P es IP = (1/2)mR2
. Determine:

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1. las coordenadas del cm en función de θ,
2. momento de inercia respecto al eje pararalelo a Z
que pasa por el cm,
3. el lagrangiano del semidisco y
4. la frecuencia de las pequeñas oscilaciones cerca de
la posición de equilibrio (θeq = 0).
Problema 1.17 Se coloca un sistema de referencia con origen en el vértice de un cono
homogéneo de masa m, altura h, y radio de la base r. El eje Z coincide con el eje de
simetr´ıa axial del cono, de manera que los elementos de la matriz de inercia respecto a
estos ejes son Ix = Iy = (3m/5)(r2
/4 + h2
), Iz = (3/10)mr2
y los productos de inercia
son nulos. Calcule la energ´ıa cinética del cono cuando rueda sin deslizar sobre un plano
horizontal.
Problema 1.18 El cono del problema anterior se coloca sobre un plano inclinado un
ángulo β respecto a la horizontal. Determine la frecuencia de las pequeñas oscilaciones en
torno a la posición de equilibrio estable. (Dato: El centro de masas de un cono homogéneo
está situado a una distancia 3h/4 de su vértice).
Problema 1.19 Obtenga la energ´ıa cinética de un cono homogéneo, de masa m y altura
h, cuya base de radio r rueda sin deslizar por un plano horizontal, y cuyo vértice es fijo
y se encuentra a una altura r sobre el plano.
Problema 1.20 Se pretende estudiar la dinámica de una estrella de neutrones que se
deforma lentamente. Como la deformación es muy lenta, se puede suponer que la estrella
se comporta como un sólido r´ıgido homogéneo casi esférico durante tiempos cortos. Se
utilizan entonces los siguientes momentos principales de inercia:
I1 = I2 = I0 1 −
1
2
cos Ωt I3 = I0(1 + cos Ωt)
con 1 e I0 = (2/5)mR2
. Simultáneamente la estrella rota con velocidad angular ω(t).
Encuentre y simplifique las ecuaciones del movimiento para las componentes la velocidad
angular cuando ω Ω, admitiendo que el momento de las fuerzas externas es nulo.

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Problema 2.1 Determine el perfil de la superficie de un l´ıquido en reposo cerca de una
pared vertical. ¿Existe alguna escala espacial caracter´ıstica? En caso afirmativo, halle su
valor para el agua.
Problema 2.2 La figura representa un depósito de agua de altura h = 1 m con paredes
verticales y planas, abierto en la parte superior. En una
de las paredes del depósito existe una puerta cuadrada que
puede girar en torno a un eje horizontal mediante una bi-
sagra A. La longitud de la arista es d = 0,3 m. Determine
la fuerza F perpendicular a la puerta que hay que apli-
car en el punto más bajo para que la puerta no se abra.
Discuta cuál ser´ıa el valor de la fuerza si el depósito fuera
completamente hermético.
Problema 2.3 Un peso cil´ıdrico de 5 cm de altura, 5,995 cm de diámetro y 0,3 kg de
masa cae con velocidad constante dentro de un tubo cil´ındrico cuyo diámetro interior es
6,000 cm. Existe una capa de aceite entre las superficies de ambos cilindros, cuya viscosidad
es 7 × 10−3
Nsm−2
. Determine la velocidad l´ımite de ca´ıda del peso, sabiendo que el perfil
de velocidad en la capa de aceite es lineal.
Problema 2.4 Deduzca el valor de la presión en la atmósfera hasta 12 km de altura,
suponiendo que el aire se encuentra en reposo y se comporta como un gas ideal. La
temperatura en función de la altura z viene dada por la relación T(z) = T0 − γz, donde
T0 es la temperatura en la superficie (z = 0) y γ = 6,5 K/km.
Problema 2.5 Un flujo es tal que ui/|u| es independiente del tiempo. Demuestre que
las l´ıneas de corriente coinciden con las trayectorias ¿Qué se puede decir de un flujo
estacionario?
Problema 2.6 Un fluido presenta el siguiente campo de velocidades
u = −
x
t0
v =
y
t + t0
w =
zt
t0(t + t0)
.
donde t0 es una constante con dimensiones de tiempo. Determine si se trata de un flujo
incompresible e irrotacional. Calcule la trayectoria de una part´ıcula fluida cuya posición
en t = 0 es (x0, y0, z0) y obtenga las ecuaciones de las l´ıneas de corriente en dicho instante
inicial.
Problema 2.7 Dos discos horizontales, paralelos y concéntricos, se acercan uno a otro con
velocidad relativa V0 constante. Entre los discos existe un fluido incompresible. Determine
la velocidad del fluido en función de la separación de los discos, admitiendo que el flujo
es radial y depende exclusivamente de la distancia al eje que une los centros de ambos
discos.

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Problema 2.8 La figura muestra la sección horizontal de un canal convergente por
el que circula un fluido incompresible. El perfil del canal se
determina mediante la función Y (x) = Y0/(1+x/l), siendo el
canal simétrico respecto al plano vertical central y x indica
la distancia desde el punto de entrada. En esta expresión Y0
y l son constantes con dimensiones de longitud. Calcule la
componente y del flujo, v(x, y), sabiendo que la componente
x viene dada por
u(x, y) = u0 1 +
x
l
1 −
y
Y
2
.
X
Y
(x,y)
Y(x)=Y0
/(1+x/l)
Problema 2.9 Un fluido incompresible presenta un campo de velocidades cuyas compo-
nentes cartesianas son las siguientes: u = V0 x/a, v = 0 y w = −V0z/a,
donde V0 y a son constantes con las dimensiones apropiadas. Consi-
dere un volumen fijo con forma de prisma recto, como el mostrado
en la figura. Las caras triangulares son triángulos rectagulos, perpen-
diculares al eje Y , con catetos de longitud L, mientras que las caras
rectangulares tienen una anchura b. Sin emplear la ecuación de con-
tinuidad, calcule el caudal a través de la superficie del volumen fijo.
Discuta si era esperable el resultado.
Problema 2.10 Un depósito de aceite se vac´ıa a través de dos planos paralelos, separados
por una distancia z0. En la embocadura el flujo presenta un
perfil uniforme donde la velocidad es u0 = 8 cm/s, mientras
que más adelante el perfil es parabólico, anulándose en la
planos como indica el dibujo. Encuentra la velocidad máxi-
ma umax cuando el perfil es parabólico, admitiendo que el
aceite es incompresible.
Problema 2.11 La figura muestra la sección horizontal de un canal convergente. En
la región central del estrachamiento de longitud L, el flujo a lo largo del eje X a una
distancia x de la entrada se expresa por u = u0(1 + x/L)ˆı, siendo u0 constante. Para una
part´ıcula fluida que se mueve en la región central, determine:
1. su aceleración,
2. su posición y su aceleración en el instante t =
L/2u0, si en el instante inicial se encuentra en el
origen de coordenadas.

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Problema 3.1 Demuestre que la magnitud φ ≡ eijeij − (1/3)( · u)2
es positiva.
Problema 3.2 El producto de la densidad por la velocidad de un cierto fluido es ρu =
[axˆı−bxyˆ] exp(−λt), siendo a, b y λ constantes con las dimensiones apropiadas. Determine
la densidad en función del tiempo en un punto de coordenadas (x0, y0, z0), sabiendo que
la densidad en el instante inicial en dicho punto es ρ0.
Problema 3.3 Dos superficies planas, horizontales y paralelas están separadas por una
distancia de 1, 5 cm. Entre ellas se introduce un aceite de viscosidad 0, 05 kg m−1
s−1
y una
lámina rectangular muy delgada de dimensiones 30 × 60 cm2
. Dicha lámina es paralela
a ambas superficies y se encuentra a 1, 0 cm de una de ellas. Determine la fuerza que
se necesita para desplazarla por el fluido a 0, 4 m s−1
, manteniéndose paralela a ambas
superficies. Admita que no hay gradientes externos de presión.
Problema 3.4 Un tubo en forma de U está compuesto por dos cilindros huecos ver-
ticales y un codo semicircular de radio R. Todos ellos tienen
un radio interior r que es mucho menor que R. El codo semi-
circular está lleno de un l´ıquido incompresible de densidad ρ y
viscosidad despreciable. Determine la ecuación del movimiento
para la altura x del l´ıquido sobre el nivel de equilibrio cuando
está fuera del equilibrio. Suponga que ˙x es pequeña, de forma
que se cumple aproximadamente la ley de Pascal.
Problema 3.5 Utilize el balance de momento en un fluido incompresible para obtener
la fuerza neta que actúa sobre un tubo de corriente
estacionaria como el de la figura, donde los diámetros
de las caras circulares son d1 = 20 cm y d2 = 10 cm,
el caudal es Q = 0,25 m3
/s y la densidad del fluido
ρ = 1000 kg/m3
. La velocidad del fluido en cada una
de las caras circulares, u1 y u2, son normales a las
mismas, uniformes y forman un ángulo de 45◦
entre
ellas, como se indica en la figura.
Problema 3.6 Una taza de 10 cm de altura y 6 cm de diámetro se encuentra sobre el
salpicadero de un automóvil, y está llena de cafe hasta una altura de 7 cm sobre el fondo. El
automóvil comienza a desplazarse en l´ınea recta con una aceleración de a = 7 m/s2
. Calcule
el ángulo de inclinación de la superficie respecto a la horizontal cuando se alcance el estado
estacionario, indicando si se derramará el café. Obtenga la presión en el fondo de la taza
en el punto donde la altura de café es mayor. La densidad del café es ρ = 1010 kg/m3
.
Problema 3.7 Un cubo de agua rota con velocidad angular constante Ω en torno a su
eje de simetr´ıa axial, que es vertical. Calcule el perfil de la superficie del agua cuando se
alcanza el estado estacionario y todos el fluido rota con velocidad angular Ω.

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Problema 3.8 Dos cilindros concéntricos verticales contienen un fluido incompresible
(densidad ρ) y viscoso (viscosidad µ) entre ellos. El cilindro interno tiene un radio exterior
R1 y gira con velocidad angular Ω constante. El cilindro externo tiene un radio interior
R2 y permanece fijo. Determine el perfil de velocidad del fluido.
Problema 3.9 El campo de velocidades de un fluido incompresible y viscoso tiene
por componentes u = Kx, v = −Ky y w = 0, siendo K una constante. Despreciando
los efectos de la gravedad, compruebe que el flujo satisface la ecuación de Navier-Stokes,
calcule el campo de presiones P(x, y) y su relación con el múdulo cuadrado de la velocidad
u2
+ v2
.
Problema 3.10 La figura representa una bomba de agua. Una lámina plana se desplaza
con velocidad V0 movida por dos cilindros horizontales.
Esta lámina permite bombear el agua desde el nivel
inferior al superior, salvando un desnivel de altura h.
El agua se canaliza entre la lámina y una pared vertical
fija, siendo l la distancia entre ambas. Admita que el
agua tiene viscosidad µ y densidad ρ constantes, que
el vector velocidad del fluido se orienta según el eje Z
y que es independiente de la coordenada x. Considere
también que el flujo del agua es estacionario.
1. ¿De qué variable(s) depende la velocidad?
2. Escriba la ecuación que describe el movimiento del agua en el canal.
3. Demuestre que la presión es uniforme en los planos horizontales.
4. La presión P0 en la superficie libre de ambos niveles es igual, por lo que se puede
suponer que el gradiente de presión es nulo. Escriba la ecuación diferencial que rige
la velocidad y resuélvala para las condiciones del problema.
Problema 3.11 Un fluido newtoniano e incompresible, de densidad ρ y viscosidad
µ, se mueve entre dos planos pa-
ralelos horizontales separados una
distancia d, como indica el dibu-
jo. El plano inferior se encuentra
en reposo mientras que el superior
se desplaza con velocidad constan-
te V = V0 . Además se aplica un
gradiente de presión uniforme de
manera que ∂P
∂x
= K mientras que
∂P
∂y
= 0. Demuestre que la ecuación
de Navier-Stokes en estado estacionario admite una solución de la forma u = u(z) ı+v(z) ,
y encuentre ∂P
∂z
, u(z) y v(z).
Problema 3.12 El chorro de agua del Parque Ferial Juan Carlos I está alimentado por
una canalización muy grande de radio b = 0,5 m. El radio del orificio de salida es a = 0,1 m
y el caudal del chorro es Q = 500 l/s.

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1. ¿Cuál es la velocidad V0 con la que sale el chorro
del orificio?
2. Si se desprecia el rozamiento, ¿cuál es la altura
que alcanza el chorro?
3. ¿Cuál es la presión que suministra la bomba in-
cluida en la canalización? Considere que la ve-
locidad del fluido en la entrada de la bomba es
despreciable (Ve 0) y que ésta se encuentra
muy cerca de la superficie.
Problema 3.13 Se vierten 80 de agua en un recipiente cil´ındrico de radio R = 20 cm,
siendo la presión por encima del l´ıquido la atmosférica, Patm. En un cierto instante se abre
un pequeño orificio B circular de sección SB = 15 mm2
, situado en el fondo del recipiente.
Admitiendo que el vaciado se lleva a cabo de manera muy lenta, determine:
1. La ecuación de evolución para la altura del agua
en el recipiente, zc(t), medida desde el orificio B.
2. El tiempo que tarda en vaciarse la mitad del
recipiente.
Problema 3.14 Un canal de h = 2 m de profundidad transporta agua a una velocidad
V1 en régimen estacionario. En un cierto punto del trayecto
existe una elevación del fondo de d = 30 cm de altura. En
dicho punto se observa una depresión de d = 10 cm de la
superficie del agua. Determine el valor de V1, admitiendo
que los efectos de la viscosidad se pueden despreciar.
Problema 3.15 Un fluido incompresible, de densidad ρ = 103
kg/m3
y sin viscosidad, se
mueve por el canal curvo mostrado en la figura. El movimiento del fluido puede describirse
mediante un campo de velocidades bidimensional, cuya función de corriente es Ψ = 4x(y+
2), donde las unidades están referidas al SI. Determine:
1. El campo de velocidades.
2. La función potencial del movimiento ϕ (poten-
cial velocidad).
3. El caudal másico que tiene, sabiendo que las
coordenadas de los puntos A y B son: A → (5, 0)
y B → (5, 2), y que la profundidad del canal es
h = 1 m.

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Problema 3.16 Considere un flujo cuyas componentes de la velocidad en el SI vienen
dadas por u = 0, v = −y3
− 4z, y w = 3y2
z ¿Es incompresible? ¿Existe la función de
corriente? Determ´ınela en caso afirmativo.
Problema 3.17 Determine anal´ıticamente la velocidad l´ımite de una esfera de radio
R en el viscos´ımetro de Stokes, cuando la viscosidad del fluido es µ. Desprecie cualquier
efecto relacionado con las paredes del viscos´ımetro.
Problema 3.18 La fórmula de Stokes para la velocidad l´ımite de la esfera es válida
siempre que el número de Reynolds sea inferior a la unidad. Se deja caer una esfera
de densidad ρe = 1,5 g/cm2
en un viscos´ımetro con glicerina (ρl = 1,26 g/cm3
y µ =
23,3 g/cm s). Determine el valor máximo del radio de la esfera para que la fórmula de
Stokes sea válida.
Problema 3.19 Lejos de un sumidero, el campo de velocidades de un fluido tiene las
siguientes componentes: u = −Ay/(x2
+y2
), v = Ax/(x2
+y2
) y w = 0, siendo A constante.
1. Obtenga las l´ıneas de corriente y trayectorias de las part´ıculas fluidas.
2. Discuta si existe la función de corriente y en caso afirmativo obténgala.
3. Calcule la aceleración de las part´ıculas fluidas.
Problema 3.20 Un fluido incompresible de densidad ρ y viscosidad µ se encuentra
situado entre dos planos horizontales separados una distancia d. El plano superior se mueve
con velocidad horizontal V0 cos ωt. Calcule el perfil de velocidad del fluido en ausencia de
gradientes externos de presión, admitiendo que la componente horizontal de la velocidad
es de la forma u(y, t) = V0 [f(y) cos ωt + g(y) sen ωt], donde y es la coordenada vertical.

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Problema 4.1 Dos barras homogéneas y muy delgadas, de longitud y masa m, están
unidas mediante un muelle ideal de constante recuperadora k y
longitud natural , como indica la figura. Los extremos opuestos
de las barras se enganchan a sendas argollas de masa despre-
ciable, que se introducen en una pequeña gu´ıa, perpendicular al
plano de movimiento horizontal. Calcule la posición de equilibrio
y las frecuencias normales del sistema.
Problema 4.2 Dos part´ıculas de masas 4m y m cuelgan de un mismo punto mediante
sendos hilos inextensibles y sin masa de longitudes l y 2l respectivamente. Ambas masas
están unidas a través de un muelle de longitud natural despreciable y constante recupe-
radora k = 3gm/8l. Suponiendo que el movimiento sólo se produce en el plano vertical,
obtenga las frecuencias normales de vibración as´ı como las coordenadas normales.
Problema 4.3 Dos péndulos de la misma masa m y longitud l están acoplados mediante
un muelle de constante k que une dos puntos situados a una distancia a de los respectivos
puntos de suspensión. Halle los modos y coordenadas normales de vibración suponiendo
que la longitud natural del muelle l0 es igual a la distancia entre los puntos de suspensión
de los péndulos.
Problema 4.4 Un aro r´ıgido de masa 2m y radio R puede rotar sin deslizar sobre una
l´ınea recta horizontal. Una part´ıcula P de masa m puede moverse sin rozamiento a lo largo
del aro. Determine las frecuencias de las pequeñas oscilaciones en torno a la posición de
equilibrio.
Problema 4.5 Un aro de radio R y masa m puede oscilar en un plano vertical suspendido
de un punto fijo situado en su periferia. Una masa m está ensartada en el aro, de manera
que se puede mover sin rozamiento a lo largo del mismo. Determine el Lagrangiano del
sistema cerca de la posición de equilibrio y las frecuencias normales.
Problema 4.6 Halle las frecuencias normales de oscilación de una cadena circular y
horizontal formada por N = 3 masas equidistantes iguales enlazadas mediante muelles
idénticos de constante recuperadora k. Generalice el resultado al caso de N arbitrario.
Problema 4.7 Considérese el sistema de la figura moviéndose en un plano horizontal
sin rozamiento. La masa m1 = m se mueve por una gu´ıa
perpendicular a las paredes. Está conectada al extremo
de una barra de masa mb = 6m y longitud l mediante un
pivote. El otro extremo de la barra pivota en la masa m2 =
m. La longitud natural de los muelles es l0 y la separación
entre ambas paredes es 2l0. Calcular las frecuencias y las
coordenadas normales del sistema.

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Problema 4.8 Una barra homogénea y delgada, de longitud 2l y masa m, se mueve
en un plano horizontal entre dos l´ıneas paralelas indefinidas separadas por una distancia
2a (a > l). Cada l´ınea ejerce una fuerza atractiva sobre cada uno de los extremos de la
barra, en dirección perpendicular a la l´ınea, siendo el módulo de la fuerza proporcional
a la distancia de separación entre el correspondiente extremo y dicha l´ınea. Calcular la
posición de equilibrio estable, las frecuencias y las coordenadas normales de la barra.
Problema 4.9 Tres gu´ıas fijas y horizontales están unidas en un mismo vértice, formando
un ángulo relativo entre ellas de 120o
. En dos de ellas se ensartan dos part´ıculas de la
misma masa m. Tres muelles iguales de longitud natural l y constante recuperadora k
unen a las part´ıculas y a su vez dos de ellos están unidos r´ıgidamente por uno de sus
estremos a un punto de la tercera gu´ıa que está separado una distancia l/
√
3 del vértice.
Calcular la posición de equilibrio del sistema as´ı como las frecuencias normales.
Problema 4.10 Dos masas iguales m están ensartadas en un aro r´ıgido y vertical de
radio R. Un muelle ideal de constante recuperadora k y longitud natural une ambas
part´ıculas. Determine para que la separación de equilibrio entre ambas part´ıculas sea R
y calcule las frecuencias normales de vibracion en ese caso.
Problema 4.11 Una barra homogénea y muy delgada, de longitud y masa m, está unida
a sendos muelles ideales de constante recuperadora k y longitud natural despreciable. El
conjunto se mueve sobre un plano horizontal. Se coloca una argolla, de masa despreciable,
en el extremo opuesto de cada muelle. Se introduce una pequeña gu´ıa P en ambas argollas,
y aquella se coloca fija y perpendicular al plano de movimiento, como indica la figura.
Desprecie cualquier tipo de rozamiento y determine para este sistema:
1. Grados de libertad y posición de equilibrio.
2. Lagrangiano cerca de dicha posición.
3. Frecuencia normales de vibración.
4. Coordenadas normales.
Problema 4.12 Una molécula diatómica se encuentra confinada en una trampa magnéti-
ca. Para describir sus modos de vibración longitudinales se propone un modelo donde
ambos átomos se consideran part´ıculas clásicas unidas por un muelle de longitud natural
y constante recuperadora k. Además, se admite que los dos átomos se mueven sobre
la misma l´ınea recta. El potencial de confinamiento de la molécula se sustituye por otro
de la forma (1/2)k (x2
1 + x2
2), siendo xi la posición de cada átomo respecto a centro de la
trampa sobre la recta de movimiento y k > 0. Determine
1. Grados de libertad de la molécula en este modelo.
2. Posición de equilibrio.
3. Lagrangiano cerca de la misma.
4. Frecuencias normales.

4 Curso 2006/07
Problema 4.13 Un disco homogéneo de masa m y radio R puede girar alrededor del
eje ZI, que es perpendicular a su plano y pasa por su centro, C. El centro del disco, que
puede moverse a lo largo de dicho eje, se une a un muelle ideal de longitud natural y
constante k. El extremo opuesto del muelle se une a un punto A de coordenadas (0, 0, ).
Un segundo muelle, también de constante k pero longitud natural despreciable, une el
punto B en el per´ımetro del disco con un punto D de coordenadas (0, R, 0). Despreciando
los efectos de la gravedad y el rozamiento, determine para el disco:
2. Posición de equilibrio y Lagrangiano cerca
de la misma.
4. Coordenadas normales.
Problema 4.14 Un disco homogéneo de masa m y radio R puede rotar sin deslizar en
movimiento plano sobre una cuña de masa M cuyo plano inclinado forma un ángulo α
con la horizontal, como indica la figura. A su vez, la cuña puede moverse por un plano
horizontal. El eje del disco se une a un muelle ideal de longitud natural 0 y constante k.
El extremo opuesto del muelle se une r´ıgidamente a la cuña. Despreciando el rozamiento
y cualquier movimiento en la dirección perpendicular al plano del dibujo, determine para
el sistema:
2. Posición de equilibrio.
3. Lagrangiano cerca de la misma.
Problema 4.15 En la figura se muestra una polea, que se puede tratar como un disco
homogéneo de masa m y radio R. Una gu´ıa le permite moverse sólo en
la dirección vertical, además de girar sobre su eje. La polea está sujeta
por una cuerda cuyos extremos se unen a sendos muelles ideales de
constante recuperadora k y longitud natural l. Si la cuerda no desliza
por la polea, determine las frecuencias y las coordenadas normales
del sistema. Describa cómo son los modos normales de vibración.
Problema 4.16 Una part´ıcula de masa m está unida a dos muelles ideales de longitud

4 Curso 2006/07
natural l y constante recuperadora k/2. Todo el sis-
tema está montado sobre un bloque de madera de
longitud 2l y masa 2m. Cuando se sujeta el bloque
se observa que el periodo de las oscilaciones de la
part´ıcula es τ. Calcule la distancia recorrida por el
bloque para t = τ/
√
24 cuando se dejan partir del
reposo tanto el bloque como la part´ıcula y ésta se la ha separado una distancia a de su
posición de equilibrio.
Problema 4.17 El sistema de la figura consta de tres muelles de constante recuperadora
k y dos masas de valor m que se mueven sobre la
misma recta horizontal. El extremo del muelle más
externo se desplaza una distancia r(t). Las ecua-
ciones del movimiento para los desplazamientos son
¨x1 +2α2
x1 −α2
x2 = 0 y ¨x2 +2α2
x2 −α2
x1 = α2
r(t),
siendo α2
≡ k/m. Se sabe que cuando r(t) =
A sen ωt existen soluciones particulares de la forma xi(t) = Ai sen ωt (i = 1, 2). Encuentre
A1 y A2 en función de ω y explique qué fenómeno f´ısico aparece cuando ω = α ó ω =
√
3 α.

5 Curso 2006/07
Bolet´ın N◦
5
Problema 5.1 Una cuerda con tensión T0 y densidad lineal µ1 está unida a otra de
densidad lineal µ2 mediante un nudo sin masa. Calcular la reflexión y transmisión de una
onda sinusoidal incidente en el nudo. Compruebe que la potencia incidente es igual a la
transmitida más la reflejada.
Problema 5.2 Dos cuerdas muy largas, con la misma densidad lineal de masa µ, se anu-
dan a un pequeño objeto de masa m. Gracias a una gu´ıa, el
objeto sólo se puede mover sin rozamiento sobre una recta
perpendicular a los dos segmentos, que está sometidos a la
misma tensión T0.
1. Discuta cuáles son las condiciones de contorno de las ondas de pequeña amplitud
en la discontinuidad.
2. Obtenga los coeficientes de reflexión y transmisión de ondas armónicas de la forma
exp[i(ωt κx)].
3. Discuta el significado de dichos coeficientes cuando m → ∞ y cuando m → 0.
Problema 5.3 Una onda sonora unidimensional en un medio dispersivo es la superposi-
ción de dos ondas monocromáticas de números de onda k1 = 6,0 m−1
y k2 = 5,8 m−1
. La
amplitud de ambas es 2 × 10−3
cm y la relación de dispersión del medio viene dada por
ω2
= v2
k2
+ α2
, siendo v = 500 m s−1
y α = 300 s−1
.
1. Escriba la ecuación de ambas ondas monocromáticas y la resultante de la superpo-
sición.
2. Calcule la velocidad de fase y la velocidad de grupo de dicha onda resultante.
Problema 5.4 Una cuerda de piano con cierta rigidez a la flexión tiene una ecuación de
evolución para las ondas que se producen al pulsarla dada por
v2 ∂2
u
∂x2
− β2 ∂4
u
∂x4
=
∂2
u
∂t2
.
1. Calcule la relación de dispersión, la velocidad de fase y la velocidad de grupo.
2. Calcule los modos normales de una cuerda de longitud L sujeta por ambos extremos.
Problema 5.5 Encuentre la variación relativa de la frecuencia del décimo modo normal
de una cuerda de piano con rigidez a la flexión en relación a una cuerda ideal sin rigidez.
Tome como valores t´ıpicos β/v = 10−2
m y L = 1 m.

5 Curso 2006/07
Problema 5.6 La ecuación de ondas de un sistema f´ısico unidimensional es
∂2
u
∂t2
= α2 ∂2
u
∂x2
− β2 ∂4
u
∂x4
− γ2
u .
¿Cuál debe ser la longitud de onda para que la velocidad de fase y de grupo coincidan?
Problema 5.7 Calcule la energ´ıa necesaria para hacer que una cuerda de longitud L
y masa m, cuyos extremos están fijos y está sometida a una tensión T0, vibre en uno de
sus modos normales. Realice también el cálculo para una onda arbitraria sobre la misma
cuerda.
Problema 5.8 Una cuerda de longitud L está sujeta por ambos extremos y sometida
a una tensión T0. Se empuja lateralmente una distancia h en su centro y después se deja
que vibre. Determine la energ´ıa de las oscilaciones.
Problema 5.9 Una cuerda de longitud L está sometida a la acción de una fuerza externa
de forma que la que las ondas resultantes satisfacen la ecuación
1
v2
∂2
ψ
∂t2
=
∂2
ψ
∂x2
+ F cos ωt ,
siendo F y ω constantes. Suponiendo que la solución es de la forma ψ(x, t) = y(x) cos ωt,
con y(0) = 0, y (0) = 0 y que ω = 2πv/L, halle el valor de y(x).
Problema 5.10 Una onda armónica de amplitud A1 viaja por una cuerda de densidad
lineal de masa µ1. En una región larga de la cuerda, de mucha mayor extensión que la
longitud de onda, la densidad lineal cambia suavemente hasta un valor µ2. En tal caso se
puede demostrar que la onda no se refleja. Determine la amplitud de la onda al atravesar
dicha región.
Problema 5.11 Un pulso de ecuación
ψ(x, t) = ψ0 sech
x − vt
x0
se propaga por una cuerda de densidad lineal de masa µ y tensión T0. Sabiendo que
x0 = 1 m, T = 10 N y la amplitud del pulso es ψ0 = 1 cm, calcule la energ´ıa que transporta
el pulso.
Problema 5.12 Considere una onda estacionaria en una cuerda de densidad lineal de
masa µ y longitud L con extremos fijos, sometida a una tensión T0. Determine el máximo
de la densidad de energ´ıa cinética en un vientre (antinodo) y el máximo de la densidad
de energ´ıa potencial en un nodo cuando se observa que sólo existe un nodo, siendo A la
amplitud de la onda.
Problema 5.13 Una onda plana de frecuencia ν = 50 Hz viaja por una cuerda de
densidad lineal de masa µ = 0,10 kg/m que se encuentra bajo una tensión T0 = 40 N.
La onda entra en una región donde existe una fuerza de rozamiento que es proporcional
a la velocidad transversal de la cuerda, siendo la constante de proporcionalidad β =
0,10 Ns/m2
. Demuestre que se cumple la condición de atenuación débil y encuentre la

5 Curso 2006/07
longitud de atenuación. Determine la amplitud y la fase de la onda reflejada respecto de
los mismos parámetros de la onda incidente.
Problema 5.14 Determine el espectro de frecuencias en x = 0 de un pulso gaussiano
ψ(x, t) = ψ0 exp[−(x − vt)2
/x2
0], donde ψ0, x0 y v son constante. ¿Qué relación hay entre
la anchura temporal del pulso y la anchura del espectro de frecuencias?

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Bolet´ın N◦
6
Problema 6.1 La relación de dispersión de ondas superficiales en aguas profundas es
ω2
= gk + (σ/ρ)k3
, donde g es la gravedad, σ la tensión superficial del agua y ρ la
densidad. Cuando se realizan experimentos en agua pura (σ = 70 din/cm) se observa que
para una cierta longitud de onda λc las velocidades de fase y de grupo son iguales. Al
añadir jabón al agua cambia la tensión superficial pero la densidad prácticamente no se
modifica. Entonces se observa que las velocidades de fase y de grupo son iguales para una
longitud de onda igual a λc/
√
2. Calcule la tensión superficial del agua jabonosa.
Problema 6.2 Un cantante de ópera canta en el rango de frecuencias de 100 Hz a 300 Hz
mientras se ducha en un recinto de dimensiones 1,0 m × 1,0 m × 2,0 m. Si la velocidad del
sonido en aire húmedo es 350 m/s, determine las frecuencias mejor audibles.
Problema 6.3 Un altavoz muy pequeño emite ondas esféricas, de manera que el exceso
de presión sobre el valor en equilibrio viene dado por
p(r, t) =
A
r
ei(κr−ωt)
.
Despreciando la viscosidad del aire y los efectos de la gravedad, obtenga la impedancia
acústica del medio y su valor l´ımite cuando κr 1. Suponga también que la advección
es despreciable, lo que es correcto cuando la sensación sonora es inferior a 110 dB.
Problema 6.4 Obtenga la densidad de energ´ıa promedio (promediada sobre un periodo)
para ondas sonoras planas. Admita que el aire se comporta como un gas ideal de manera
que PV γ
= cte.
Problema 6.5 En la mayor parte de los altavoces de los equipos de alta fidelidad
existe una salida en forma de embudo, cuya sección transversal crece
desde el interior hacia el exterior. Para estudiar el efecto que sobre el
sonido tiene este tipo de salidas, se propone un modelo unidimensio-
nal donde el área de la sección transversal crece de forma exponencial,
A(x) = A0 exp(2x/ ), siendo x es la coordenada a lo largo de la dirección
de propagación de la onda. Se puede demostrar que la ecuación de ondas
es
∂2
ψ
∂t2
= v2 ∂
∂x
1
A
∂
∂x
(Aψ) .
Aqu´ı v es la velocidad del sonido en aire libre. Tomando como valores t´ıpicos v = 340 m/s
y = 0, 4 m, obtenga la frecuencia de corte de esta salida.
Problema 6.6 Se pretende resolver numéricamente la ecuación de ondas en un medio no
dispersivo unidimensional con velocidad de fase v. Para ello se define un mallado discreto
xn = nh, donde h es el espaciado en el mallado. Introduciendo la notación ψ(xn, t) ≡ ψn(t)
se obtiene la siguiente ecuación
1
v2
∂2
ψn
∂t2
=
1
h2
ψn+1 + ψn−1 − 2ψn .

6 Curso 2006/07
1. Compruebe que admite una solución en onda monocromática de la forma ψn =
Aei(κxn−ωt)
.
2. Encuentre la relación de dispersión e indique si tras la discretización el medio sigue
siendo no dispersivo.
3. Estudie la relación de dispersión en el l´ımite h → 0.
Problema 6.7 Considere una cadena de péndulos no lineales de masa m acoplados por
muelles ideales. El Hamiltoniano del sistema es
H =
n
1
2
I ˙θ2
n +
1
2
β (θn+1 − θn)2
+
1
2
mgL(1 − cos θn)
siendo L la longitud de cada péndulo, I = mL2
y β una constante. Cuando la separación a
entre ellos es pequeña, el ángulo respecto a la vertical de un péndulo que ocupa la posición
x viene determinado por la ecuación sine-Gordon
∂2
θ
∂t2
− v2
0
∂2
θ
∂x2
+ ω2
0 sen θ = 0 , v2
0 =
βa2
I
, ω2
0 =
mgL
2I
cuya solución en forma de escalón (kink) es
θ(x − vt) = 4 arctan

exp


ω0
v0
x − vt
1 − v2/v2
0




Calcule la energ´ıa del kink en la cadena de péndulos acoplados.
Problema 6.8 Considere una cadena de péndulos no lineales de masas variables mn =
mf(n) acoplados por muelles ideales, donde f(n) es una función conocida. El Lagrangiano
del sistema es
L =
n
1
2
I ˙θ2
n −
1
2
β (θn+1 − θn)2
−
1
2
mgL(1 − cos θn)f(n)
Se propone la siguiente solución a la ecuación de movimiento cuando la separación entre
los péndulos es muy pequeña:
θ(x, t) = 4 arctan exp
ω0
v0
[x − z(t)]
que describe un kink lento centrado en z(t). Encuentre la ecuación de movimiento para
la coordenada colectiva z(t).

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