1. Exercícios 5a Semana
1) Explique detalhadamente o movimento de precessão do eixo de rotação
da Terra. Não se esqueça de apresentar as causas e suas consequências mais
importantes.
Resposta: Precessão é movimento do eixo de rotação da Terra em relação
ao plano de sua órbita. Esse movimento existe pois o eixo de rotação da
Terra não está alinhado com a Eclíptica, formando um ângulo de aproxi-
madamente 23,5o com esta, além disso a Terra não é perfeitamente esférica,
havendo um acúmulo de massa na região equatorial, essa diferença de massa
faz com que exista um torque resultante da força de atração gravitacional do
Sol, esse torque tende a alinhar o eixo da terra com o plano de órbita, como
existe uma inclinção inicial, o eixo da Terra realiza um movimento circular.
Como efeito desse movimento a posição de astros visualizados a partir da
Terra muda com o tempo, visto que essa posição é medida com relação à
própria Terra.
10.25 Uma escada AB de comprimento igual a 3 m e massa de 20 kg está
apoiada contra uma parede sem atrito(Fig 10.31). O chão é também sem
atrito e, para prevenir que ela deslize, uma corda OA é ligada a ela. Um
homem com 60 kg de massa está sobre a escada numa posição que é igual a
dois terços do comprimento da escada, a partir da extremidade inferior. A
1

2. corda quebra-se repentinamente. Calcule (a) a aceleração inicial do centro de
massa do sistema homem-escada, e (b) a aceleração angular inicial em torno
do centro de massa.
Resolução:
(a) Considerando o homem como um ponto material o centro de massa do
sistema está localizado em:
60 × 1 cos α + 20 × 1.5 cos α 60 × 2 sin α + 20 × 1.5 sin α 9 15
CM = ( , ) = ( cos α, sin α)
80 80 8 8
Sabendo que α = 0 e derivando duas vezes no tempo:
˙
9
ax = − sin αα¨
8
e
15
ay = − cos αα
¨
8
(b) O momento de inércia com relação ao centro de massa vale:
1 32 32 75
I = 60 × 2 + 20 × 2 + 20 × =
8 8 12 4
2

3. As forças que atuam sobre a escada são o peso destaP E, o peso do homem
P H, a normal da parede N P e a normal do chão N C. Destas, a única que atua
no eixo x é N P, logo:
9 NP
ax = − sin αα =
¨
8 80
ou seja,
N P = −90 sin αα
¨
Analogamente, a aceleração resultante no eixo Y pode ser escrita como:
15 60g + 20g − N C
ay = − cos αα =
¨
8 80
isso implica em
N C = 150 cos αα + 80g
¨
Mas o torque pode ser representado por I α,
¨ logo:
1 15 3 9
I α = 60g cos α + N C cos α − 20g cos α − N P sin α
¨
8 8 8 8
Substituindo:
5g cos α
α=−
¨
4 + 6 cos2 α
3) Demonstre que a posição, a velocidade e a aceleração de uma partícula
que realiza um movimento harmônco simples podem ser representadas pela
projeção de vetores girantes. Neste caso, qual a relação entre a velocidade
angular do vetor girante e a frequência angular do movimento oscilatório?
Resposta O movimento harmônico simples é caracterizado por uma acel-
eração resultante proporcional à distância da posição de equilibrio e com
direção contrária ao movimento, ou seja F = −kx onde kF é a resultante e
uma constante arbitrária. Mas num movimento unidimensional F = ma =
2x
dt
k k
m d 2 = −kx, logo, resolvendo a EDO, x = C1 sin m t + C2 cos m t onde
C1 e C2 são constantes arbitrárias. Isso pode ser escrito como:
√ k C1
C12 + C22 cos ( t − arctan )
m C2
√
Isso é a projeção de um vetor de comprimento C12 + C22 girando com
k
velocidade angular m
e iniciando a partir de um ângulo inicial arctan C1 ,
C2
Analogamente a velocidade e a aceleração também podem ser interpretadas
3

4. como vetores girantes, a diferença é o módulo desses vetores, no caso da ve-
k k
√
locidade será m
(C12 + C22 )
e no caso da aceleração m C12 + C22 , isso é
determinado apartir da derivada com relação a t. A frequência do movimento
k
oscilatório também é m
.
4