Este documento presenta la resolución de un ejercicio utilizando el método gráfico de tres restricciones. Se busca minimizar los costos de producción de una fábrica que debe fabricar ciertas cantidades de tres tipos de artículos utilizando dos máquinas. Se construye una tabla con los datos, se derivan las restricciones gráficamente y se identifica la zona factible. El costo mínimo es de $3400 cuando la máquina 1 trabaja 1 día y la máquina 2 trabaja 5 días.

1. Investigación de Operaciones
MÉTODO GRÁFICO CON TRES RESTRICCIONES
Minimización
Tecnología en Gestión de la
Producción
Docente: Rafael Cortina Rodríguez

2. EJERCICIO RESUELTO SOBRE EL MÉTODO GRAFICO DE TRES
RESTRICCIONES
Una fábrica cuenta con los servicios de sus líneas de producción
en dos de sus máquinas, con las que tiene el compromiso de
fabricar 8 Artículos tipo A, 8 Artículos tipo B y 24 artículos Tipo C.
Diariamente, la máquina 1 produce 3 Artículos tipo A, 1 Artículo
Tipo B y 4 Artículos Tipo C. La Máquina 2 produce 1 Artículo tipo A,
3 Artículos Tipo B y 4 Artículos Tipo C. Si por el día de trabajo de la
Máquina 1 se generan costos totales por $ 560 y por el día de
trabajo de la Máquina 2 se generan $ 690, cuantos días tendrían
que trabajar las dos máquinas para generar una orden de
producción lo menos costosa posible?

3. EJERCICIO RESUELTO SOBRE EL MÉTODO GRAFICO DE TRES
RESTRICCIONES
De acuerdo con la información suministrada, se construye
una tabla, teniendo en cuenta los datos que arroja el
problema
Las variables de decisión:
푥 = # 푑푒 푑í푎푠 푞푢푒 푡푟푎푏푎푗푎 푙푎 푀á푞푢푖푛푎 1
푦 = # 푑푒 푑í푎푠 푞푢푒 푡푟푎푏푎푗푎 푙푎 푀á푞푢푖푛푎 2

4. EJERCICIO RESUELTO SOBRE EL MÉTODO GRAFICO DE TRES
RESTRICCIONES
De acuerdo con la información suministrada, se construye
una tabla, teniendo en cuenta los datos que arroja el
problema.
Tabla de datos
Tipo A Tipo B Tipo C $ Costos
푥 = # 푑푒 푑í푎푠 푞푢푒 푡푟푎푏푎푗푎 푙푎 푀á푞푢푖푛푎 1 3 1 4 600
푦 = # 푑푒 푑í푎푠 푞푢푒 푡푟푎푏푎푗푎 푙푎 푀á푞푢푖푛푎 2
1 3 4 560
푁푒푐푒푠푖푑푎푑 8 8 24

5. EJERCICIO RESUELTO SOBRE EL MÉTODO GRAFICO DE TRES
RESTRICCIONES
Tabla de datos
푥 = # 푑푒 푑í푎푠 푞푢푒 푡푟푎푏푎푗푎 푙푎 푀á푞푢푖푛푎 1 3 1 4 600
푦 = # 푑푒 푑í푎푠 푞푢푒 푡푟푎푏푎푗푎 푙푎 푀á푞푢푖푛푎 2
푁푒푐푒푠푖푑푎푑 8 8 24
Se construyen las restricciones:
Tipo A Tipo B Tipo C $ Costos
1 3 4 560
ퟑ풙 + 풚 ≥ ퟖ
풙 + ퟑ풚 ≥ ퟖ
ퟒ풙 + ퟒ풚 ≥ ퟐퟒ
풙 ≥ ퟎ ; 풚 ≥ ퟎ ; 풁풎풊풏 = ퟔퟎퟎ풙 + ퟓퟔퟎ풚

6. EJERCICIO RESUELTO SOBRE EL MÉTODO GRAFICO DE TRES
RESTRICCIONES
Se buscan los cortes de la línea recta que representa cada
restricción con el eje de las X y el eje de la Y
푹ퟏ: ퟑ풙 + 풚 ≥ ퟖ
Si 푥 = 0 ; 푦 = ?
ퟑ ퟎ + 풚 ≥ ퟖ
풚 ≥ ퟖ
풆풏풕풐풏풄풆풔: 풚 = 8
푷풐풓 풍풐 풕풂풏풕풐 풔풆 품풆풏풆풓풂 풖풏 풑풖풏풕풐
풒풖풆 풆풔 (ퟎ , ퟖ )
Si 푦 = 0 ; 푥 = ?
ퟑ풙 + ퟎ ≥ ퟖ
ퟑ풙 ≥ ퟖ
풙 =
ퟖ
ퟑ
풆풏풕풐풏풄풆풔: 풙 = ퟐ, ퟔퟔퟔ
푷풐풓 풍풐 풕풂풏풕풐 풔풆 품풆풏풆풓풂 풖풏 풑풖풏풕풐
풒풖풆 풆풔 (ퟐ. ퟔퟔퟔ, ퟎ )

7. EJERCICIO RESUELTO SOBRE EL MÉTODO GRAFICO DE TRES
RESTRICCIONES
Se buscan los cortes de la línea recta que representa cada
restricción con el eje de las X y el eje de la Y
푹ퟐ: 풙 + ퟑ풚 ≥ ퟖ
Si 푥 = 0 ; 푦 = ?
ퟎ + ퟑ풚 ≥ ퟖ
ퟑ풚 ≥ ퟖ
풚 =
ퟖ
ퟑ
풆풏풕풐풏풄풆풔: 풚 = ퟐ, ퟔퟔퟔ
푷풐풓 풍풐 풕풂풏풕풐 풔풆 품풆풏풆풓풂 풖풏 풑풖풏풕풐
풒풖풆 풆풔 (ퟎ , ퟐ. ퟔퟔ )
Si 푦 = 0 ; 푥 = ?
풙 + ퟑ ퟎ ≥ ퟖ
풙 ≥ ퟖ
풆풏풕풐풏풄풆풔: 풙 = ퟖ
푷풐풓 풍풐 풕풂풏풕풐 풔풆 품풆풏풆풓풂 풖풏 풑풖풏풕풐
풒풖풆 풆풔 (ퟖ , ퟎ )

8. EJERCICIO RESUELTO SOBRE EL MÉTODO GRAFICO DE TRES
RESTRICCIONES
Se buscan los cortes de la línea recta que representa cada
restricción con el eje de las X y el eje de la Y
푹ퟑ: ퟒ풙 + ퟒ풚 ≥ ퟐퟒ
Si 푥 = 0 ; 푦 = ?
ퟒ ퟎ + ퟒ풚 ≥ ퟐퟒ
ퟒ풚 ≥ ퟐퟒ
푷풐풓 풍풐 풕풂풏풕풐 풔풆 품풆풏풆풓풂 풖풏 풑풖풏풕풐
풒풖풆 풆풔 (ퟎ , ퟔ )
Si 푦 = 0 ; 푥 = ?
ퟒ풙 + ퟒ ퟎ ≥ ퟐퟒ
ퟒ풙 ≥ ퟐퟒ
풙 =
ퟐퟒ
ퟒ
; 풆풏풕풐풏풄풆풔 풙 = ퟔ
푷풐풓 풍풐 풕풂풏풕풐 풔풆 품풆풏풆풓풂 풖풏 풑풖풏풕풐
풒풖풆 풆풔 (ퟔ , ퟎ )
풚 =
ퟐퟒ
ퟒ
; 풆풏풕풐풏풄풆풔 풚 = ퟔ

9. EJERCICIO RESUELTO SOBRE EL MÉTODO GRAFICO DE TRES
RESTRICCIONES
Se grafican las tres restricciones
30
20
10
0
-10 -5 0 5 10 15 20
-10
-20
-30
-40
-50
R1: 3X+8Y<=8
R2: X+3Y<=8
R3: 4X+4Y<=24

10. EJERCICIO RESUELTO SOBRE EL MÉTODO GRAFICO DE TRES
RESTRICCIONES
Se genera un área factible, a diferencia del área común de los problemas de
maximización, que es en donde se encuentran todos los puntos que hacen posible el
Zmin que se pide en el ejercicio. En este área factible, también están todos los puntos
que hacen que se satisfagan todas las restricciones. Es decir; que todas cumplan con
los valores «mayor que». La zona factible estará por encima de las tres restricciones,
ubicada hacia la derecha de las líneas rectas.
1,5 ; 퐸푠푡푒 푒푠 푒푙 푝푢푛푡표 푑푒 푐표푟푡푒 푒푛푡푟푒 푅1 푦 푅3
퐸푗푒 푥
퐸푗푒 푦
0,8 ; 퐸푠푡푒 푒푠 푒푙 푝푢푛푡표 푑푒 푐표푟푡푒 푒푛푡푟푒 푅1 푦 푒푙 푒푗푒 푦
5,1 ; 퐸푠푡푒 푒푠 푒푙 푝푢푛푡표 푑푒 푐표푟푡푒 푒푛푡푟푒 푅2 푦 푅3
8,0 ; 퐸푠푡푒 푒푠 푒푙 푝푢푛푡표 푑푒 푐표푟푡푒
푒푛푡푟푒 푅2 푦 푒푙 푒푗푒 푥

11. EJERCICIO RESUELTO SOBRE EL MÉTODO GRAFICO DE TRES
RESTRICCIONES
Con los puntos que se destacan en la zona común se evalúa el Z max y el
resultado es el Z máx. que tenga mayor valor.
풁 풎풊풏 = ퟔퟎퟎ풙 + ퟓퟔퟎ풚
푷풂풓풂 풆풍 풑풖풏풕풐 ퟎ , ퟖ 풁 풎풊풏 = ퟔퟎퟎ ퟎ + ퟓퟔퟎ ퟖ = $ ퟒퟒퟖퟎ
푷풂풓풂 풆풍 풑풖풏풕풐 ퟖ, ퟎ 풁 풎풊풏 = ퟔퟎퟎ ퟖ + ퟓퟔퟎ ퟎ = $ ퟒퟖퟎퟎ
푷풂풓풂 풆풍 풑풖풏풕풐 ퟏ, ퟓ 풁 풎풊풏 = ퟔퟎퟎ ퟏ + ퟓퟔퟎ ퟓ = $ ퟑퟒퟎퟎ
푷풂풓풂 풆풍 풑풖풏풕풐 ퟓ, ퟏ 풁 풎풊풏 = ퟔퟎퟎ ퟓ + ퟓퟔퟎ ퟏ = $ ퟑퟓퟔퟎ
La respuesta a este ejercicio es que el costo mínimo que se espera es de $ 3400, el
cual se genera cuando la Máquina 1 trabaja 1 día y la máquina 2 trabaja 5 días.

12. EJERCICIO RESUELTO SOBRE EL MÉTODO GRAFICO DE TRES
RESTRICCIONES
La respuesta a este ejercicio es que el costo mínimo que se espera es de $ 3400, el cual se
genera cuando la Máquina 1 trabaja 1 día y la máquina 2 trabaja 5 días.
푷풂풓풂 풆풍 풑풖풏풕풐 ퟏ, ퟓ 풁 풎풊풏 = ퟔퟎퟎ ퟏ + ퟓퟔퟎ ퟓ = $ ퟑퟒퟎퟎ
Si se considerara el otro punto, es decir (5,1), eso quiere decir que estaríamos considerando
que la máquina 1 trabajara 5 días y la máquina 2 trabajara 1 día. Pero como se observa en la
fórmula, el costo se aumentaría.
푷풂풓풂 풆풍 풑풖풏풕풐 ퟓ, ퟏ 풁 풎풊풏 = ퟔퟎퟎ ퟓ + ퟓퟔퟎ ퟏ = $ ퟑퟓퟔퟎ
Los otros puntos no se toman en consideración por dos razones:
a) Porque cuando se reemplazan generan valores mayores para el costo.
b) Porque una de las coordenadas es cero y las variables de decisión no deben ser iguales a
cero.
Lo que queda es comprobar que el punto (1,5) haga que se cumplan las tres restricciones.

13. EJERCICIO RESUELTO SOBRE EL MÉTODO GRAFICO DE TRES
RESTRICCIONES
COMPROBACIÓN : R2
풙 + ퟑ풚 ≥ ퟖ
ퟏ + ퟑ ퟓ ≥ ퟖ
ퟏ + ퟏퟓ ≥ ퟖ
ퟏퟔ ≥ ퟖ
COMPROBACIÓN : R1
ퟑ풙 + 풚 ≥ ퟖ
ퟑ ퟏ + ퟓ ≥ ퟖ
ퟑ + ퟓ ≥ ퟖ
ퟖ ≥ ퟖ
COMPROBACIÓN : R3
ퟒ풙 + ퟒ풚 ≥ ퟐퟒ
ퟒ ퟏ + ퟒ ퟓ ≥ ퟐퟒ
ퟒ + ퟐퟎ ≥ ퟐퟒ
ퟐퟒ ≥ ퟐퟒ

14. Muchas gracias