Vibraciones y Ondas: Conceptos Clave

Tema 4: Vibraciones y Ondas .

.

La causa de cualquier movimiento ondulatorio radica en generación de una vibración
(o movimiento vibratorio). Este tipo de movimiento puede definirse como el “movimiento
de oscilación de una(s) partícula(s) respecto a una posición de equilibrio, en la
misma dirección.”, siendo típico de los cuerpos elásticos.
Existen muchas variantes de movimientos vibratorios, pero el más simple es el
MOVIMIENTO (VIBRATORIO) ARMÓNICO SIMPLE, cuya abreviatura es M.A.S. (o
MVAS).

Tanto posición como velocidad y aceleración de la partícula sujeta a este tipo de
movimiento van a ir tomando los mismos valores para iguales intervalos de tiempo,
denominados PERÍODOS (τ).
Hay una serie de conceptos asociados a este movimiento:

Eric Calvo Lorente VIBRACIONES Y ONDAS
Física 2º Bachillerato

Período de Vibración (τ): Es el tiempo empleado por la partícula en realizar una
oscilación completa. Se mide en segundos
Frecuencia de Vibración (υ): Es el nº de vibraciones realizadas en la unidad de
-1
tiempo. La unidad correspondiente es el Hertzio (Hz ó s )
Conceptos

La relación entre τ y υ es:

Elongación (x): Posición que ocupa la partícula respecto a la posición de equilibrio.
Se mide en metros
Amplitud (A): , o elongación máxima

La descripción matemática de este MAS se realiza considerándolo como la
proyección de un movimiento circular uniforme (MCU) de radio A sobre uno de sus
diámetros.
Cuando la partícula se encuentra en un punto (para un tiempo t), la proyección sobre
el eje X será:
. cos . cos
, donde es la rapidez angular o frecuencia
angular, en rad.s-1.
Esta expresión supone que el móvil tiene
como posición inicial la amplitud, es decir:

Sin embargo, esto último no tiene por qué
ser así, es decir, la partícula no tiene por qué
comenzar su movimiento desde x=A. Se
necesita, pues, una expresión general que
contemple todos los casos:
ω

Si derivamos la expresión de la posición
respecto al tiempo, se obtendrá la rapidez de
vibración de la partícula. Asimismo, realizando una nueva derivada temporal se obtendrá
la aceleración correspondiente. Veamos:
ω ω

ω2 ω ω2.

Como vemos a partir de esta última expresión, la aceleración es directamente
proporcional a la posición, aunque de sentido contrario; Resulta máxima en la elongación
y mínima (nula) en x=0.

La expresión correspondiente a la elongación puede aparecer también como función del seno. Por ello, todas las
ecuaciones subsiguientes quedarían modificadas:
ω
ω
ω


Hasta ahora se ha tratado el MAS desde un punto de vista cinemática. Sería útil
realizar ahora una descripción dinámica.
La Ley de Hooke da sentido matemático a la causa productora del MAS, siempre
que el resorte no supere su límite de elasticidad (a partir del cual perdería sus
propiedades elásticas). Esta ley se expresa matemáticamente como:

.
. .
)

Analicemos ahora el caso en el que un muelle se halla
asociado a una masa m. Si se estira el muelle cierta
longitud y posteriormente se suelta, se iniciará el
MAS.
La única fuerza que actúa sobre la masa es la
fuerza elástica (recuperadora) del muelle. El valor de
esta fuerza viene dado, como ya se ha indicado más arriba, por la ley de Hooke:
. )
La aceleración provocada será:

, y puesto que
F K.x
K K
a ω2 x K.x ma K.x mω2 x K mω2 2
m m
F ma

1 K
2 m
1
Y puesto que τ τ
ν
En cualquier caso, los movimientos se amortiguan a lo largo del tiempo, con lo que,
llegado un momento, el movimiento se detiene, debido a pérdidas energéticas.


Se define por onda a la propagación de una perturbación a través de un medio
(que puede ser material o vacío). Importante resulta hacer hincapié en que se trata de
la propagación de una perturbación, pero no el desplazamiento de materia; es decir,
se trata de una forma de PROPAGACIÓN DE ENERGÍA.

Como ya se ha comentado, para producir un movimiento ondulatorio será
absolutamente necesario crear una perturbación en un medio (dotado de cierta
elasticidad)
La onda surge a consecuencia de la propagación, a lo largo del tiempo y en un
medio, de la perturbación producida en un punto inicial, llamado FOCO.
La perturbación se propaga a través de las partículas del medio, pero sin que se
produzca un desplazamiento neto de materia. Las características que se propagan
a lo largo de una onda son CANTIDAD DE MOVIMIENTO Y ENERGÍA.

¡¡Cuidado!!

Todo movimiento ondulatorio implica necesariamente la transmisión de energía. Sin
embargo, no todo tipo de transmisión energética se realiza por causa de un
movimiento ondulatorio.
Un ejemplo de ello lo constituye la transmisión de calor por conducción. Así, al
calentar una barra metálica por un extremo se produce un transporte de energía
pero no existe una onda

Supongamos una cuerda sujeta por uno de sus extremos a un muro, y por el otro
del brazo de una persona.
Definiremos:
Única “sacudida” que se propaga por el medio
Sucesión de pulsos
Lugar geométrico de todos los puntos del medio
afectados por la perturbación en el mismo instante
Cada una de las direcciones perpendiculares al
frente de onda. En los casos más comunes, la
perturbación avanza en la dirección del rayo


τ
υ
1

v prop

v vibr

λ

λ, υ y v prop v prop λ.ν
π
2


Si nos detenemos por un instante para imaginar el desplazamiento de una onda,
veremos que, un punto cualquier, por ejemplo el foco, realiza un MAS. Este
movimiento es “comunicado” a los puntos “fronterizos”. Al cabo de un tiempo, un
nuevo punto realizará una vibración idéntica.
Se desprenden pues dos ideas:
a) El movimiento ondulatorio es la propagación de un MAS a través de un
medio
b) El movimiento en diferentes puntos llevará asociado un desfase. Este
desfase se produce puesto que un punto diferente al foco (y por tanto
distante a él) tardará cierto tiempo en realizar la vibración. Este tiempo será
función de la velocidad con la que la perturbación se desplace a través del
medio.

El movimiento ondulatorio más sencillo es el MOVIMIENTO ONDULATORIO
ARMÓNICO, en el que la función matemática que lo describe ( f(vt x) ), puede ser
expresada en función de senos y cosenos.

En el punto en el que se origina la perturbación (foco), la vibración puede
expresarse como:
0, . cos
(Obsérvese que para t=0, 0,0 ; es decir, se considera el comienzo del MAS en
el punto de elongación máxima)
Como se ha dicho, cada punto del medio repite la perturbación con un cierto
retraso que llamaremos t´, dependiente de la distancia de dicho punto al foco, y de la
velocidad de propagación de la onda. Al considerar un desplazamiento con rapidez
constante:
x
x v prop .t´ t´
v prop
En un punto O, alejado del foco, la vibración llevará asociada tal retraso. Por lo
tanto, el ertado de vibración de O en el tiempo t será el correspondiente a t-t´.


Luego:
x x ωx
y(x, t) A.cos ω t t´ A.cos ω t A.cos ω t A.cos ωt
v prop λν λν
2 πν.x 2 π.x
A.cos ωt A.cos ωt A.cos ωt kx
λν λ

y(x, t) A.cos ωt kx
(Ecuación de Onda)

(El término ωt kx se denomina FASE y se mide en radianes)
La velocidad de vibración de una onda será la velocidad de propagación de
cualquiera de los puntos. Por lo tanto:
dy
v vibr A. ω.senωt

Por su parte, la velocidad de propagación de cualquier onda viene dada por la
expresión:
v prop λ.ν

La ecuación de onda muestra su doble periodicidad: es función de t y x
y(x, t) A.cos ωt kx
Las posiciones de alejamiento respecto a la posición de equilibrio se
repiten periódicamente con el paso del tiempo para cualquier punto
determinada de la onda.
Así, para un valor fijo de x (constante), la onda es armónica respecto a la
otra variable, el tiempo:
2 π.t
y(t) A.cos ωt A.cos
τ
Si representamos los valores de la elongación (en un punto cualquiera)
para distintos valores de t, obtendremos la siguiente gráfica:
t1 t2 t3

τ

De la gráfica podemos ver que, para dos instantes t1 y t2, separados por un
intervalo de tiempo igual a un período, el punto vuelve a alcanzar el mismo
estado de vibración. Sin realizar desarrollos trigonométricos, lo anterior
equivale, matemáticamente, a:


ωt 2 kx ωt 1 kx 2 π.n (la diferencia de fases debe ser múltiplo entero de 2 π)
2 π.n 2 π.n
ωt 2 ωt 1 2 π.n ω. t 2 t1 2 π.n . t2 t1 . t2 t1
ω 2 π. ν
n
. t2 t1 t2 t1 n. τ
ν

Lo que nos demuestra que el estado de vibración de un punto de una onda
se repite cada período.

Las posiciones de los puntos de una cuerda se repiten periódicamente
a una distancia igual a la longitud de onda de cada punto.
Esto lo vemos si "congelamos el tiempo" sacándole una foto al movimiento
ondulatorio. En la onda obtenida se ve la posición de cada punto se repite a
una distancia de él.

La representación de la función y frente a x es como la foto instantánea de
una cuerda vibrando. Las posiciones de la cuerda en determinado instante
se reflejan en la siguiente gráfica:
x1 x2 x3

λ

De la gráfica podemos ver que, para dos puntos x1 y x2 (y para un mismo
tiempo), separados por una distancia igual a una longitud de onda, se
vuelve a alcanzar el mismo estado de vibración. Sin realizar desarrollos
trigonométricos, lo anterior equivale, matemáticamente, a:
ωt kx 1 ωt kx 2 2 π.n (la diferencia de fases debe ser múltiplo entero de 2 π)
2 π.n
kx 2 kx 1 2 π.n k x2 x1 2 π.n x2 x1
k
2 π.n 2 π.n
x2 x1 x2 x1 x2 x1 n
2 2


Demostrando que el estado de vibración de dos puntos de una onda en un
mismo instantese repite cada longitud de onda.

( , ) . cos Para t 0yx 0 ( , )

( , ) . Para t 0yx 0 ( , )
2

cos
2

( , ) . cos Para t 0yx 0 ( , ) 0
2
( , ) . Para t 0yx 0 ( , ) 0

( , ) . cos Indica un desplazami ento hacia la derecha
( , ) . cos Indica un desplazami ento hacia la izquierda

.

0 . cos 0

En general, el movimiento periódico correspondiente a una vibración material no
obedece a leyes tan sencillas que puedan explicarse mediante funciones sinusoidales
o cosenoidales.


Sin embargo puede demostrarse que todo movimiento periódico de período τ , por
complicado que resulte, puede ser considerado como el resultado de la superposición
τ τ
de oscilaciones armónicas simples de períodos τ, , ,....
2 3
Esta demostración constituye el Principio de Fourier.

Diremos que dos puntos se encuentran en concordancia de fase en el
caso en el que se hallen en el mismo estado de vibración. Como ya
hemos visto, esto sucede para el caso en el que las fases se
diferencien en un número entero de longitudes de onda:
ωt kx 1 ωt kx 2 2 π.n (la diferencia de fases debe ser múltiplo entero de 2 π)
1

1 - 2 2 π.n
Para determinar la distancia entre dos puntos consecutivos en fase:
2 .n
1 - 2 2 π.n kx 2 kx 1 2 π.n k x2 x1 2 π.n x2 x1
k
2 π.n
x2 x1 x2 x1 .
2

Por otro lado, diremos que dos puntos se hallan en oposición de fase si
se hallan en estados de vibración opuestos. Para ello es necesario que
la diferencia de fase sea un múltiplo impar de π radianes:
ωt kx 1 ωt kx 2 2n 1 . (la diferencia de fases debe ser múltiplo entero de 2 π)
1

1 - 2 2n 1 .
Para determinar en este nuevo caso la distancia entre dos puntos
consecutivos en oposición de fase:


1 - 2 2n 1 . ωt kx 1 ωt kx 2 2n 1 . kx 2 kx 1 2n 1 .
2n 1 . 2n 1 .
k x2 x1 2n 1 . x2 x1 x2 x1
2
2n 1 (Separación entre puntos en
x2 x1 .
2 oposición de fase)

Como ya se ha indicado anteriormente, las ondas son mecanismos por los que
puede transportarse tanto energía como cantidad de movimientos. Ejemplos de esto
lo constituye la vibración de un diapasón, que induce a la vibración de otro de iguales
características pero situado a cierta distancia del primero.

Realizaremos el estudio energético partiendo del caso más sencillo, en el que
consideraremos un foco que realiza un MAS.
Cada partícula del medio en el que se propaga la onda poseerá una energía
mecánica, suma de la energía potencial y la cinética:
1 1
Energía en cualquier punto : EM EK EP mv 2 Kx 2
2 2

Para el caso particular de una partícula que haya alcanzado la elongación máxima
(y por tanto no sigue vibrando más allá, con lo que su velocidad es nula):
1 1
Energía en elongación máxima : EM EK EP 0 KA 2 KA 2
2 2

Y, por último, para otra partícula en la posición de equilibrio:
1 1
Energía en elongación nula : EM EK EP mv 2 0 mv 2
2 2

Si suponemos el caso en el que no existen fuerzas no conservativas (disipativas),
la energía mecánica deberá permanecer constante.
Comparando ahora el caso en el que la elongación es máxima con aquella otra
correspondiente a un punto cualquiera:
1
Energía en elongación máxima : EM KA 2
2
1 1
Energía en cualquier punto : EM EK EP mv 2 Kx 2
2 2
EM EK EP EK EM EP
Es decir :
1 1 1
EK KA 2 Kx 2 K A2 x2
2 2 2

Si, por otro lado, nos fijamos en el valor de la energía mecánica para la situación
de máxima elongación y sustituimos:
1 1 1 2 1
EM KA 2 mω2 A 2 m 2. . A2 EM m.4. π 2 . ν 2 A 2
2 2 2 2
2m.. π 2 . ν 2 A 2 . .ν 2 A 2
Lo que nos indica que la energía transporta da será proporiona l a la masa de la partícula que vibra,
al cuadrado de la frecuencia y al cuadrado de la amplitud de la vibración


Resulta lógico pensar que la energía inicial que parte del foco se distribuye por
todo el espacio por el que se propaga la onda. De este modo, cuanto más alejado del
foco se halle la onda, la energía por unidad de superficie será menor (puesto que
ahora la superficie total ha aumentado, distribuyéndose la energía total para un mayor
nº de puntos).
La magnitud que cuantifica la energía transportada por unidad de superficie se
denomina intensidad de una onda. Se definiría como la energía entregada por
unidad de tiempo y por unidad de superficie perpendicular a la dirección de
propagación de la onda. Matemáticamente:
ΔE
I (donde P es la potencia)
ΔS N . t ΔS N

Como hemos visto más arriba, la energía asociada a un MAS es:
EM 2.m.. π 2 . ν 2 A 2
La intensidad de la onda será entonces:
ΔE
I 2.m.. π 2 . ν 2 A 2
ΔS N . t I .ν 2 .A 2
ΔS N . t
EM 2.m.. π 2 . ν 2 A 2
, como vemos, proporcional al cuadrado de la amplitud y de la frecuencia.
Teniendo en cuenta que la frecuencia es una característica constante de una
onda, se desprende que cualquier cambio en la intensidad de la onda debe suponer
una variación en su amplitud.

En este caso, se trata de relacionar el cambio de intensidad de una onda a medida
que esta avanza. Vamos a realizar, en este caso, dos valoraciones.
La primera de ellas, el caso de una onda plana. La energía que pasa por unidad
de superficie y en la unidad de tiempo siempre será igual, por lo que la intensidad
será siempre un valor constante (recordemos que no se contemplan pérdidas
energéticas). Sucederá de igual modo para ondas lineales.
La segunda valoración, por su parte, se centrará en
el estudio de ondas esféricas, que se propaguen a
través de un medio homogéneo (sus propiedades
físicas, entre ellas la densidad son iguales en toda su
extensión, al igual que su composición) e isótropo (esta
homogeneidad se establece en cualquier dirección).
La energía total que atraviesa toda la superficie
esférica de radio R1 durante 1 segundo viene dada por:

.
1
4. . 1 ..
2

De igual modo, la energía total que atraviesa toda la superficie esférica de radio
R2 durante 1 será:

.
2
4. . 2 ..
2

(Puesto que tratamos de toda la energía que pasa a través de la superficie de la
totalidad de la esfera, esta deberá ser la misma independientemente del radio de
esta).
Si se relacionan los valores de las intensidades:


1 Como vemos, la intensidad,
1 4. . 1 ..
2 2
1 1
2
2
para ondas esféricas, es
2 1 2
2 inversamente proporcional al
1
cuadrado de la distancia al
4. . 2 ..
2 2
2
foco

Si recordamos ahora que:
I .ν 2 .A 2
Tendremos que:
I1 .ν 2 .A 1
2
(Recordemo s que la frecuencia es una magnitud constante para la onda)
I2 .ν 2 .A 2
2

Relacionando ambas intensidades:
I1 .ν 2 .A 1
2
I1 2
A1
I2 .ν 2 .A 2
2
I2 A2
2
Y puesto que:
2
1 2
2
2 1 Es decir, la amplitud de la onda es inversamente
Resulta que: proporcional a la distancia al foco; o dicho de otro
2 2
A1 2 A1 2 modo, la intensidad disminuye proporcionalmente al
A2
2
2
1 A2 avance de la onda. Esta característica se denomina
1
ATENUACIÓN, que surge como resultado de la
distribución energética en una superficie cada vez
mayor.

El análisis anterior se ha realizado suponiendo la constancia de la energía global
de la onda a lo largo de su desplazamiento. Este hecho es completamente teórico. La
realidad se encarga de demostrarnos la existencia de pérdidas de energía, que tienen
como consecuencia, al cabo de cierto tiempo, la desaparición de esta onda. Este
fenómeno, que nada tiene que ver con la atenuación de una onda, es función tanto
del tipo de onda como del medio por el cual se propaga. Se trata de un fenómeno
llamado absorción.
El análisis de este fenómeno lo realizaremos considerando que la onda se ha
propagado a través del medio (absorbente) una distancia suficientemente grande
como para considerar la onda como plana; de este modo quedaría eliminada la
atenuación de la onda (ver atenuación ondas planas), y sólo quedaría la absorción de
la onda por el medio.
Si consideramos la intensidad de la onda en el foco, al propagarse una distancia
dx, se producirá una disminución de la intensidad de valor – Experimentalmente se
comprueba que la disminución de intensidad es directamente proporcional a la propia
intensidad inicial, y al espesor atravesado por la onda. Es decir:
donde es el coeficient e de absorción del medio, dependient e del medio
. .
de propagació n, del tipo de onda y de la frecuencia

Si queremos determinar la intensidad para cada punto del medio, integraremos
esta última ecuación:


I
dI x I
I0.
I βx
dI β. dx lnI I0 β. x - x 0 ln βx
I 0 I0
I0

Si el medio es absorbente, la
intensidad decrece de manera
exponencial con el espesor del
medio.

Cuando una onda choca contra un medio que no puede atravesar, esta
experimenta un cambio de dirección (o de sentido) , volviendo por el mismo medio
que el de llegada.
La reflexión cumple las siguientes leyes:
La dirección de propagación de la onda incidente, la onda reflejada y la
recta normal a la superficie en el punto de contacto, están en el mismo
plano.
El ángulo que forma la dirección de propagación de la onda incidente con la
normal (llamado ángulo de incidencia, ˆ ) es igual al ángulo formado entre
la onda reflejada y la normal (ángulo de reflexión ˆ )
ˆ ˆ

La onda no modifica su rapidez, puesto que no
cambia el medio en el que se propaga.
Además, la reflexión da lugar a que la onda
reflejada se encuentra en oposición de fase
respecto a la incidente. El motivo se debe a que,
debido a la rigidez del punto de reflexión, este no
puede desplazarse, con lo que su amplitud es
cero en todo instante.


.

Se denomina refracción al cambio de dirección experimentado por una onda al
pasar de un medio a otro en el que se modifica su velocidad de propagación.
Experimentalmente, la refracción cumple una serie de leyes:
Las direcciones de propagación de la onda incidente, la reflejada y la
normal a la superficie en el punto de contacto se encuentran en el mismo
plano.
La relación que existe entre el seno del ángulo de incidencia y el seno del
ángulo de refracción, ángulo que forma la onda refractada con la normal, es
la misma que la relación existente entre las velocidades de propagación de
la onda en ambos medios. Esta ley recibe el nombre de Ley de Snell, cuya
expresión matemática es:
sen ˆ
i v1
sen ˆ
r v2

De esta ley se deduce que si la onda penetra en un medio en el que se
propaga más despacio, el ángulo de refracción es menor que el de
incidencia, y viceversa.

Puesto que los rayos se alejan de la normal cuando entran en un medio menos
denso, y la desviación de la normal aumenta a medida que aumenta el ángulo de
incidencia, hay un determinado ángulo
de incidencia, denominado ángulo
crítico, para el que el rayo refractado
forma un ángulo de 90º con la normal,
por lo que avanza justo a lo largo de
la superficie de separación entre
ambos medios. Si el ángulo de
incidencia se hace mayor de un
determinado valor (al que se
denomina ángulo crítico),
los rayos de luz serán totalmente
reflejados. La reflexión total no puede
producirse cuando la luz pasa de un
medio menos denso a otro más denso.
La figura muestra la refracción ordinaria,
la refracción en el ángulo crítico y la reflexión total. Matemáticamente, resulta que:


sen ˆ
i v1 v1
sen ˆ.v 2
i sen ˆ.v 1
r si ˆ
r 90º , sen ˆ
r 1 sen ˆ.v 2
i 1.v 1 sen ˆ
i
sen ˆ
r v2 v2
Este ángulo, conocido como ángulo límite, es el ángulo máximo a partir del que ya no
se produce refracción, tan sólo reflexión.

La difracción es un fenómeno puramente
ondulatorio que se observa cuando al hacer
pasar una onda a través de una rendija cuyas
dimensiones son comparables a la longitud de
onda de aquélla. También aparece cuando la
onda choca contra un obstáculo de
dimensiones comparables con su longitud de
onda.
La difracción es la propiedad que permite
a los movimientos ondulatorios propagarse en
todas las direcciones a partir de aberturas en
obstáculos. Asimismo, permite también a las
ondas "doblar las esquinas". Por eso podemos, por ejemplo, oír la conversación de
dos personas a la vuelta de una esquina o detrás de una tapia.


Cuando dos cuerpos chocan, intercambian energía y cantidad de movimiento, y en
general, la dirección del movimiento de los cuerpos cambia después del choque.
Sin embargo, no ocurre lo mismo con las ondas. Daniel Bernouilli extrajo como
conclusión de su estudio sobre la propagación de ondas de sonido que

“el punto de encuentro de dos o más movimientos ondulatorios estará sometido a
tantos MAS como movimientos ondulatorios interfieran, siendo la
perturbación resultante la suma de las perturbaciones que cada
movimiento produciría por separado”
(Principio de Superposición)
En los puntos e instantes en los que las ondas se superponen se dice
que se ha producido una INTERFERENCIA

Analizaremos el caso más sencillo, el correspondiente a una superposición de dos
ondas emitidas por focos coherentes (que vibran con igual frecuencia y amplitud, y
cuya diferencia de fase se mantiene constante).
Para realizar el análisis matemático,
supondremos que los focos F1 y F2 emiten en fase
( 0 =0); veamos entonces la interferencia de estos
dos movimientos ondulatorios en el punto P.
La ecuación de cada una de las ondas será:
1 1 . cos( 1)

2 2 . cos( 2)

La interferencia resultante en el punto P se
obtendrá realizando la suma algebraica de las dos
ecuaciones de onda anteriores.
Obviando el cálculo matemático, podrán darse
los siguientes casos:
Interferencia constructiva:

La interferencia
constructiva se produce cuando:
1 2 2. .
( 1) ( 2) 2. .
( 2 1) 2. . .( 2 1) 2. .
2.
.( 2 1) 2. . ( 2 1) .

La amplitud de la onda resultante será:

1 2

Interferencia destructiva:


La interferencia constructiva se produce cuando:
1 2 2. 1.
( 1) ( 2) 2. 1.
( 2 1) 2. 1. .( 2 1) 2. 1.
2.
.( 2 1) 2. 1.

( 2 1) 2. 1.
2
La amplitud de la onda resultante será:

1 2

Para un caso general, desfase y amplitud vendrían dados por:
2. .

2. . cos .

A partir de este modelo se podrán explicar todas las propiedades ondulatorias,
incluidas la difracción y la interferencia.
El siguiente cuadro sintetiza tales propiedades a partir de este principio:


Este tipo de ondas surge, por ejemplo, al considerar la interferencia de dos ondas
de iguales características que se desplazan en igual dirección pero de sentido
contrario. La onda interferente resultante se conoce como ONDA ESTACIONARIA.
Estas ondas surgirán sólo si las ondas iniciales cumplen con determinadas
condiciones iniciales (entre otras, determinados valores de frecuencia).
Las ondas estacionarias se caracterizan por:
La onda resultante (es decir, la ondas estacionaria) no viaja. La ondulación
no se desplaza, a diferencia de una onda libre.
Existen puntos en los que la perturbación es siempre nula, como
consecuencia de una interferencia destructiva. Son los NODOS
Asimismo, existen otros en los que, a consecuencia de una interferencia
constructiva, la perturbación es máxima; son los VIENTRES.
En el caso en el que se halle limitado por ambos lados, no puede
producirse cualquier onda, sino sólo las que originen nodos en los
extremos fijos del medio.

Matemáticamente:
π
y1 A.cos ωt kx A.sen ωt kx (Puesto que la onda parte del punto de equilibrio )
2
Al chocar contra la pared la onda reflejada invierte su fase. Así:
y2 A.sen ωt - kx π - A.sen ωt - kx
La onda resultado de la interferencia será:
y y1 y2 A.sen ωt kx - A.sen ωt - kx A. sen ωt kx - sen ωt - kx
Y ahora, conociendo la expresión:
2. cos
2 2
Tendremos, para nuestro caso:
ωt kx ωt - kx ωt kx ωt - kx
y A. sen ωt kx - sen ωt - kx 2.A. cos .s
2 2
2.A.cos ωt.s
La expresión:
2.A.cos ωt.s

, constituye la ecuación de una onda estacionaria.

Llamando AR:
2.A.sen x (,independiente del tiempo, pero variable para en función de x)
su valor será mínimo (AR=0), cuando:
2.
s x 0 kx n. . n. n.
2
, que nos indica la posición de
los nodos.

La distancia entre dos nodos consecutivos será:


1 n.
2
n 1. n.
2 2 2
2 n 1.
2

Por otro lado, el valor de AR será máxima (AR=2A) cuando:
2.
s x 1 kx 2n 1. . 2n 1. 2n 1.
2 2 4
, que nos indica la posición de
los vientres.
La distancia entre dos vientres consecutivos será:

1 2n 1.
4
2n 1 1. 2n 1.
4 4 2
2 2n 1 1.
4
Por último, la distancia entre nodo y vientre será:
λ
Nodo : x1 n.
2 λ λ λ 2λ
x2 x1 2n 1. n. 2n 1 . n.
λ 4 2 4 4
Vientre : x2 2n 1.
4
λ λ
2 1 2 .
4 4

:


λ
x 2n 1.
4 (condicion es del extremo libre
(condición
λ 4.L
2n 1. λ
4 2n 1
v
Recordando ahora que : v

:
v 4.L v. 2n 1
(n 0,1,2,...)
2n 1 4.L

v
ν1
4L

v. 2 1 3.v
2 3. 1
4.L 4.L
v. 4 1 5.v
3 5. 1
4.L 4.L


. 2.
.
2
2

v 2. n.v
ν (n 1,2,3..... )
ν 2.

n.v v
ν1
2. 2.
n.v 2.v
ν2 2.ν 1
2. 2.
n.v 3.v
ν3 3.ν 1
2. 2.


Deben existir dos factores para que exista el sonido. Es necesaria una fuente de
vibración mecánica y también un medio elástico a través del cual se propague la
perturbación. Los sonidos se producen por una materia que vibra.
La necesidad de la existencia de un medio elástico se puede demostrar colocando
un timbre eléctrico dentro de un frasco conectado a una bomba de vacío. Cuando el
timbre se conecta a una batería para que suene continuamente, se extrae aire del
frasco lentamente, a medida que va saliendo el aire del frasco, el sonido del timbre se
vuelve cada vez más débil hasta que finalmente ya no se escucha. Al permitir que el
aire penetre de nuevo al frasco, el timbre vuelve a sonar. Por lo tanto, el aire es
necesario para transmitir el sonido.
Para que el sonido pueda llegar a nuestros oídos necesita un espacio o medio de
propagación; este normalmente suele ser el aire. En este caso, la velocidad de
propagación del sonido es de unos 334 m/s y a 0º es de 331,6 m/s.
La velocidad de propagación es proporcional a la raíz cuadrada de la temperatura
absoluta, pero independiente de la presión atmosférica.


El sonido se propaga a diferentes velocidades en medios de distinta densidad. En
general, se propaga a mayor velocidad en líquidos y sólidos que en gases (como el
aire). La velocidad de propagación del sonido es, por ejemplo, de unos 1.509,7 m/s
en el agua y de unos 5.930 m/s en el acero. Un cuerpo en oscilación pone en
movimiento a las moléculas de aire (del medio) que lo rodean. Éstas, a su vez,
transmiten ese movimiento a las moléculas vecinas y así sucesivamente.
El sonido es una onda mecánica longitudinal que se propaga a través de un medio
elástico. El sonido no se propaga en el vacío
El (pequeño) desplazamiento (oscilatorio) que sufren las distintas moléculas de
aire genera zonas en las que hay una mayor concentración de moléculas (mayor
densidad), zonas de condensación, y zonas en las que hay una menor concentración
de moléculas (menor densidad), zonas de rarefacción. Esas zonas de mayor o menor
densidad generan una variación alterna en la presión estática del aire (la presión del
aire en ausencia de sonido). Es lo que se conoce como presión sonora.


El oído humano no puede percibir todos los sonidos. Tan sólo es sensible a un
determinado rango de frecuencias, que abarca desde los 20 Hz hasta los 20000 Hz.
Por encima o por debajo de estos valores, nuestros oídos son completamente
insensibles a tales sonidos, por muy grande que sea su intensidad; el motivo, como
puede deducirse, no es otro que la incapacidad de tales frecuencias para hacer
resonar nuestro tímpano.
Los sonidos de frecuencia inferior a los 20 Hz se denominan infrasonidos, y
aquellos otros que se hallan por encima de los 20000 Hz reciben el nombre de
ultrasonidos.


1 - 100 Hz : Dificultad de respiració n y habla.
4 - 100 Hz : Resonancia s en el cuerpo.
4 - 800 Hz : Pérdida de visión.
2 - 1000 Hz : Bajo rendimient o en el trabajo.


La percepción de un sonido por parte de un detector se realiza en base a la
intensidad de esta y a su frecuencia. En cambio, la percepción por los seres vivos,
está, junto con los factores anteriores, relacionada con la intensidad fisiológica
(denominada sonoridad).
El oído humano puede acomodarse a un intervalo de intensidades sonoras
bastante grande, desde 10-12 w/m2 aproximadamente (que normalmente se toma
como umbral de audición), hasta 1 w/m2 aproximadamente, que produce sensación
dolorosa en la mayoría de las personas. Debido a este gran intervalo y a que la
sensación fisiológica de fuerza sonora no varía directamente con la intensidad, se
utiliza una escala
logarítmica para
describir el nivel de
intensidad de una
onda sonora.


La sensación sonora, como dijimos al principio del epígrafe) también depende de
la frecuencia del sonido, además de la intensidad. Así, las frecuencias mejor captadas
por el oído humano son aquellas comprendidas dentro del rango de 1000 a 5000 Hz.
Sonidos fuera de este rango serán percibidos como de una intensidad menor a la que
le correspondería a un sonido de frecuencia en el rango anterior y de igual intensidad
(por eejmplo, un sonido de 40 dB de frecuencia 1000Hz es percibido con el mismo
nivel de sonoridad que un sonido de 70 dB y 100 Hz de frecuencia.

Existe una tabla que relaciona la intensidad física del sonido, con la sonoridad y el
nivel de sonoridad a distintas frecuencias:

El ruido acústico es un agente físico que cada vez está más presente en la vida
diaria de los países desarrollados. Es un agente cada vez más molesto y actualmente
se le considera como factor de riesgo para la salud. Entre sus efectos negativos el
más importante es la pérdida de audición.
Esta pérdida de audición puede deberse a
distintas causas, entre ellas, la edad, ruido
en el lugar de trabajo, ruido proveniente de
otras actividades o procesos patológicos.
Desde el punto de vista psico-físico, el
ruido puede considerarse como un sonido
no deseado. Sin embargo, puede ser
definido como “un sonido no deseado por el
receptor”, “conjunto de sonidos no
agradables”, “sonido molesto, tanto en un
lugar como a lo largo de un tiempo”.
Considerando todas estas definiciones,
el sonido puede ser tratado como una forma
de sonido, con un fuerte carácter subjetivo
(que no es otro que el grado de molestia), y
otra parte objetiva, perfectamente
cuantificable (el sonido en sí).
Los ruidos se pueden clasificar en
función del tiempo o de la frecuencia. Así,
tendremos:


Contínuo constante: Ruido cuyo nivel de presión sonora permanece constante o
presenta pequeñas fluctuaciones a lo largo del tiempo. Las fluctuaciones habrán
de ser inferiores a 5dB durante el período de observación.
Fluctuante: Ruido cuyo nivel de presión sonora varía a lo largo del tiempo. Tales
variaciones podrán ser periódicas o aleatorias.
Impulsivo: Ruido cuyo nivel de presión sonora se presenta por impulsos.
Caracterizado por un ascenso brusco del ruido y una duración total del impulso
muy breve en relación al tiempo transcurrido entre impulsos. Estos impulsos
pueden presentarser repetitivamente a intervalos regulares de tiempo o bien
aleatoriamente
Entre los ruidos función de la frecuencia cabe destacar el ruido blanco como aquel
ruido cuyo nivel de presión sonora permanece constante para todas las frecuencias
en un amplio ancho de banda de frecuencias. Por lo tanto, se trata de un sonido en el
que todas las frecuencias tienen la misma intensidad.


Como ya se ha comentado, cualquier onda, a medida que se aleja del foco que la
produce, va paulatinamente disminuyendo
su intensidad por fenomenos de
atenuación y absorción.
La atenuación es un fenómeno
consecuencia del “reparto” de la energía
puesta en juego por el foco para un
número cada vez mayor de partículas (del
frente de ondas).
En cambio, la absorción, es un
fenómeno que se produce cuando el
medio por el que se propaga la onda no
es completamente elástico (ver epígrafe
7.5)
Estas variables son de extrema
importancia a la hora de realizar un
estudio enfocado a la disminución de la
sonoridad en determinados lugares, como
los hospitales, edificios.Es decir, a la hora
de insonorizarlos.


La refracción es el fenómeno debido a las variaciones del medio transmisor, o al
cambio de medio, modificando la velocidad y la dirección de la onda sonora; nosotros
solo veremos lo que ocurre en un medio que presenta variaciones de presión o de
temperatura.

El cambio de presión más interesante en la práctica es el debido al viento.
Generalmente la velocidad del viento es pequeña cerca de la tierra pero aumenta con
la altura provocando que la onda sonora que se dirige en el mismo sentido que el
viento, es desviada hacia tierra, mientras que la que se dirige en sentido contrario lo
hace hacia arriba.

Cuando la temperatura del aire cambia, lo hace la velocidad del sonido, esto
provoca desviaciones de la dirección de propagación.
Si el aire caliente esta más cerca de la tierra y el frío esta por encima el sonido es
propagado hacia arriba; esto es lo que ocurre en las horas diurnas.
Por el contrario de noche se invierte la situación y el sonido se desvía hacia abajo.
A la hora de sonorizar en exteriores estos hechos nos deben indicar la posición y
altura adecuada del equipo de sonido.


En las ondas transversales, las partículas pueden vibrar en cualquier plano
perpendicular a la dirección de propagación. Si forzamos a que las vibraciones se
produzcan en un único plano, tendremos una onda polarizada plana.
El plano que determinan los planos de propagación y de vibración se denomina
plano de polarización.
Al generar una onda en una cuerda, las partículas pueden vibrar en cualquier
dirección perpendicular a la misma. Pero si se coloca una ventana estrecha, tan sólo
podrán pasar por ella las ondas que vibren a lo largo de la ranura; se habrá creado
entonces una onda polarizada a lo largo de la ventana.
En las ondas longitudinales, como el sonido, la única vibración posible de las
partículas es la de la dirección de propagación, por lo que carece de sentido hablar de
ondas polarizadas (tal y como afirmó E.L. Malus, en 1808, la polarización es un
fenómeno que nos permite diferenciar entre ondas longitudinales y transversales).


vS vE v

v
τ

vS τ

λ vs.τ

.τ τ

λ=λO=

VE< Vs
vE
vs (vE<1).

O< E

O> E
=v.τ, =v/υ, λ υ.
Para el observador situado a la derecha del emisor
Para el observador situado a la izquierda del emisor


vE
vS vE

(vE>vs)
vE
vS vE

t
vS
t vE·t,

vS·t,

θ=(vE / vs).


P
t=0
d

t

v S .t d v O .t
τ t’
(vF.τ).

d (v E .τ) v O .t´ vS. t τ
τ

vS vE
τ´ t t´ .τ
vS vO

vS vO
ν´ .ν
vS vE


Vibraciones y Ondas: Conceptos Clave

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (20)

Similar a Vibraciones y Ondas: Conceptos Clave

Similar a Vibraciones y Ondas: Conceptos Clave (20)

Más de quififluna

Más de quififluna (20)

Último

Último (20)

Vibraciones y Ondas: Conceptos Clave