1) El documento describe un juego en el que varios niños aprenden sobre ángulos girando sus cuerpos y caminando alrededor de un poste. 2) Explican conceptos como giros completos, sentidos horario y antihorario, y medias vueltas. 3) El objetivo es que el niño Nacho comprenda qué son los ángulos a través del juego y las demostraciones prácticas de sus amigos.

1. ,-
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BIBLIOTECA CENTRAL
COORDINACIÓN ESTATAL
DE FORMACIÓN CONTINUA
S. E. E
¿Ángulos y grados?
;Dales la vuelta/
Virginia Ferrari
CORREO
MAESTRO
la vasija Libros del Rincón

2. Sistema de clasificación Melvil Dewey DGME
516.152
F47
2007 Ferrari, Virginia
¡A girar! ¿Ángulos y grados? ¡Dales la vuelta! IVirginia Ferrari;
ilus. de Beatriz Gaminde. - México : SEP : Correo del Maestro :
La Vasija, 2007.
60 p. : il. - (Libros del Rincón)
ISBN: 978-970-790-399-9 SEP
1. Ángulos (Geometría). - Literatura juvenil. 2. Ángulos
(Geometría) - Medición - Literatura juvenil. I. Gaminde, Beatriz,
il. II. t. III. Ser.
© Correo del Maestro y Ediciones La Vasija.
Primera edición SEP / Correo del Maestro / Ediciones La Vasija / Uribe y Ferrari Editores, 2007
D.R. © Uribe y Ferrari Editores, S.A. de C.V., 2007
Av. Reforma núm. 7-403 Ciudad Brisa,
53280, Naucalpan, Estado de México.
D.R. © Secretaría de Educación Pública, 2007
Argentina 28, Centro,
06020, México, D.F.
ISBN: 978-970-756-267-7 Uribe y Ferrari Editores
ISBN: 978-970-790-399-9 SEP
Prohibida su reproducción por cualquier medio mecánico
o electrónico sin la autorización escrita de los coeditores.
Impreso en México
Distribución gratuita-Prohibida su venta

3. Dos sorpresas para Nacho 4
ÍTodos a girar! 8
Tomados de las manos 10
Un paseo en triciclo 12
El juego del reloj 14
Otro reto para Nacho 16
El ejemplo de la hormiga 20
&lro§ y caminos 22
Todas las vueltas se miden en vueltas 24
Cuatro partes iguales 26
Detectives de ángulos rectos 29
La prueba de las escuadras 33
Dílo en griego 36
¿Cuántas veces cabe? 37
¿Qué tal me veo desde este ángulo? 41
Por el llano 45
Una gran palabra y un giro muy pequeño 46
Un poco de carpintería 48
Un rmío cargado de ángulos 53
Para transportarte en la red 57

4. Dos sorpresas para Nacho
Martín y Nacho llegaron de la escuela con Mariana, una compañera
de clase de Martín. Cuando abrieron la puerta, Polo los recibió
ladrando. Al oír los ladridos, Carolina, la menor de los tres hermanos,
que estaba jugando en la sala, les sonrió. A la vez que dejaba la
mochila en el sillón, Martín le anunció a su madre:
—¡Mamá! ¡Mamá! Invité a Mariana a comer
porque este fin de semana tenemos que
hacer un trabajo en equipo. Hoy la maestra
nos enseñó a usar el transportador.
Polo olió los zapatos de Mariana y
después saludó a Nacho moviendo la cola.
Nacho estaba un poco sorprendido.
-¿Qué es un transportador? —preguntó—.
¿Un camión que transporta carga muy
pesada? ¿Un barco? ¿Un avión?
Mariana se rió.
—No —contestó Martín—.
Un transportador es un instrumento
que sirve para trazar y medir ángulos.

5. Aún más confundido, Nacho se rascó
la cabeza:
—No entiendo. ¿Qué es un ángulo?
Inmediatamente, Martín abrió su
mochila y sacó un cuaderno. Polo se
acercó a olisquear.
—Mira —le dijo a Nachos /
Éstos son ángulos —y abrió las
páginas de su cuaderno—. En
la escuela dibujé muchos. má

6. Después de mirar los dibujos, Nacho no
parecía satisfecho.
Entonces Martín le explicó:
—Aquí en la casa también puedes
encontrar muchos ángulos
—y empezó a señalar (
para todas partes. /*

7. Mariana, viendo que Nacho seguía sin comprender, se paró enfrente
suyo y ie dijo: —También podemos verlos en los movimientos que
hacemos con las partes de nuestro cuerpo.
Y Nacho sonrió al ver cómo
Mariana flexionaba el tronco,
levantaba una pierna o un brazo.
—¿Ya entendiste lo que es un ángulo? —preguntó la
niña, un poco agitada por el ejercicio.
—Miran... aaah... —refunfuñó Nacho moviendo la
cabeza de un lado a otro.
Mariana y Martín quedaron mirándose un rato
¿Cómo te explicarían a Nacho lo que era un ángulo?
Mariana suspiró y, mirando el patio de la casa,
continuó:
—Bueno, mejor te lo explicamos paso a paso,
como lo hizo la maestra con nosotros. Pero para eso
tenemos que salir adonde tengamos más espacio.
Además, vamos a necesitar un listón o un estambre.
O quizá tu papá tenga una cuerda... —dijo mirando a
Martín.
—¡Seguro que sí!—. Luego volvió a quedarse callado,
pensando. —Pero eso será después de comer, porque
mamá nos está esperando. ¡Vamos a lavarnos las manos!
Y todos salieron corriendo seguidos de Polo, que no dejaba
de mover la cola.

8. ¡Todos a girar!
Apenas terminaron, Nacho fue el primero en salir. Era el más entusiasmado.
Después de pensar un poco, Martín propuso:
—Vamos a jugar a girar. Cada uno da varias vueltas completas sobre sí
mismo, como si tuviera un eje. Así, como un trompo o una perinola.
—¡Sí! —agregó Mariana—. Como el planeta Tierra.
Cuando Nacho estaba por empezar a girar, Martín le explicó:
—Para saber que damos una vuelta completa —dijo
buscando algo en el piso— cada uno tiene que fijar un
punto de partida. Cuando después de
girar regresa a ese punto,
significa que dio un giro
completo.
—¡Sale! —gritó Nacho—. Mi punto de partida
es la playera rayada que se está secando en el
tendedero. La miro de frente, giro y, cuando la
vuelvo a ver, cuento una vuelta. Así.
Y dio una vuelta.
8

9. —¡Yo quiero girar con Vani! —dijo entusiasmada Carolina abrazando a
su muñeca.
—¡Sí, sí! ¡Todos a girar! ¡Que cada uno cuente las vueltas completas que
da! —propuso Nacho.
Cuando vio que Nacho y Carolina empezaban
a girar, Martín tuvo otra idea:
—Podemos contar cinco giros
completos en un sentido y
luego cinco giros completos
en el otro sentido. Uno,
^rt-fci^^^n dos, tres, cuatro, cinco
hacia la derecha y luego
uno, dos, tres, cuatro,
cinco hacia la izquierda.
Todos empezaron a girar
y a contar a coro:
—Uno, dos...
—¡Ay, ay! —se quejó Carolina—.
Vani y yo nos estamos mareando.

10. Tomados de las manos
—También podemos girar en parejas —propuso Martín cuando todos
completaron los cinco giros—. Mariana y Nacho giran juntos, tomados de las
manos, pero cruzándolas. La unión de las manos es el punto de referencia
alrededor del cual van a girar. Yo iré con Carolina.
—De acuerdo —dijo Mariana—. Yo cuento las vueltas así: cuando estamos
quietos, yo estoy mirando de frente la ventana de la cocina. Luego
comenzamos a girar y cuando vuelvo a ver la ventana es que ya dimos una
vuelta completa.
—¡Sale! —gritó Nacho—. ¡Es muy divertido!
:
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11. Mientras Nacho y Mariana giraban y contaban las vueltas en voz alta,
Martín se acercó a Carolina.
—Ven —le dijo—, vamos a girar juntos nosotros también,
tomados de las manos.
—¡Sííí! —exclamó Carolina—. Pero despacito para que
no me caiga.
—No te preocupes, lo vamos a hacer de manera distinta a
la de ellos —la tranquilizó—. Nos tomamos de las manos,
pero sin cruzarlas. Luego yo giro sobre mí mismo sin
salirme de este mosaico y tú das vueltas alrededor mío.
Carolina miró a la muñeca y le dijo a Martín:
—Bueno, pero entonces voy a dejar a Vani. Y tú
cuentas las vueltas.
—De acuerdo —contestó Martín—.
Una, dos, tres, cuatro...
Así estuvieron girando un buen rato.
Como Nacho y Mariana iban más rápido,
giraron más veces. Cuando se cansaron, se
quedaron parados mirando a Martín y Carolina
completar sus vueltas. Al final, también Carolina se detuvo.
—¡Qué padre! ¿Podemos seguir dando vueltas? —preguntó.
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12. Un paseo en triciclo
—Sí —contestó Martín—, vamos a dar más vueltas, pero van a ser
distintas. Vamos a cambiar el punto alrededor del cual vamos a girar.
Estuvo mirando un momento alrededor suyo y siguió:
—Vamos a necesitar el poste que sostiene el tendedero y una piedrita
—dijo mientras tomaba una piedra del suelo—. El poste representa
el punto alrededor del cual giramos; la piedrita indicará el punto
donde iniciamos el giro —y la dejó a los pies de Mariana—. Cuando
cada uno regrese a ella después de haber caminado
alrededor del poste, habrá dado una vuelta
completa, un giro completo. Primero
lo hará Mariana, para que Carolina
y Nacho vean cómo —y Mariana
empezó a caminar alrededor
del poste.
Una vez que Mariana hubo terminado de dar
una vuelta completa les dijo a Nacho y Carolina:
—Ya regresé a la piedrita, al punto de salida.
El punto de partida y el punto
de llegada coinciden después de dar
una vuelta completa...
Antes de que pudiera terminar de hablar,
Nacho ya quería tomar su turno, y estaba
junto a la piedra:
—Ahora me toca a mí. Voy a dar una vuelta
completa alejándome lo más posible del poste
hasta casi tocar los muros de los vecinos.
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13. —¡A mí también me toca! —agregó Carolina—. Estas
vueltas sí las puedo dar con Vani... ¡Y en mi'triciclo!
Y empezó a girar andando en su triciclo, seguida de Polo.
—Pero mira —dijo Nacho
señalando con el dedo—,
Carolina no da la vuelta en
círculo. A veces se aleja
mucho del poste y a veces se
acerca mucho. No trata de
mantener siempre la misma
distancia al poste. ¿Se vale
hacerlo así?
—¡Claro que sí! —se adelantó Mariana—. Lo importante
es que dé una vuelta completa alrededor de un punto
determinado, que en este caso es el poste.
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14. El juego del reloj
Nacho no estaba conforme.
—Pero, además, Carolina no dio la vuelta para el mismo lado
que nosotros: la dio al revés —dijo mirando a Martín.
—No, no se dice "al revés". Se dice "en sentido horario".
Para saber cómo vamos a hacer el giro, lo
comparamos con las manecillas del reloj: el sentido en
que avanzan se llama "sentido horario" y el sentido
inverso se llama "sentido antihorario"
—dijo Martín mostrando su reloj a los demás.
Nacho pensó un poco más y agregó:
—¡Ah! ¡Para eso queríamos las cuerdas de papá!
Podemos hacer de cuenta que
son las manecillas del reloj, ¿no?
—¡Claro! —contestó Mariana—. Con ellas ya tendremos todos los
elementos que la maestra dijo que necesitamos para trazar un
ángulo: dos semirrectas —una que permanece fija y otra que gira—
y un centro de giro, o punto de referencia, que es el punto
donde se unen las semirrectas y que
en el ángulo se llama vértice del ángulo.
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15. —Ya entendí —dijo Nacho—. En este caso, las cuerdas son
como las semirrectas. Para hacerlas girar las amarramos al poste.
—Sí —continuó Mariana—. kntonces el poste es como si fuera
el vértice, el centro de giro. Y ya no vamos a necesitar la
piedra para marcar el punto de salida. La cuerda
que permanece fija lo indicará.
—¡Muy bien! —dijo Martín—.
Practiquemos. Que cada uno de nosotros dé
otra vuelta completa llevando una cuerda tirante en la
mano y que deje la otra cuerda en el suelo para mostrar
donde inicia el giro.
—Está bien —dijo Mariana—. Pero antes de partir, cada uno debe
decir a los demás en qué sentido va a girar.
—¡Sale! —gritó Nacho—. Yo soy primero. A ver... Dejo una cuerda
en el suelo, sujeto la otra bien firme y voy a girar en sentido...
mmm... ¡antihorario!
15

16. Otro reto para Nacho
Cuando todos terminaron de dar una vuelta completa, se
quedaron mirando a Martín con ganas de seguir jugando.
Entonces Martín propuso:
—Bueno, llegó el momento de hacer algo un poquito diferente.
Ahora, en lugar de regresar al punto de partida dando vueltas
completas, sólo vamos a girar partes de vuelta. De esta forma,
el punto de salida y el punto de llegada no van a coincidir.
—¡Vamos a hacerlo! —gritó Nacho. Y cada uno dio un giro
alrededor del poste, sin completar una vuelta. Luego Martín
continuó:
—Y ahora vamos a avanzar sólo hasta la mitad del giro. Como sólo
vamos a recorrer la mitad de la vuelta, la llamamos media vuelta o
medio giro.
Mientras se rascaba la cabeza mirando las cuerdas en el suelo,
Nacho preguntó:
—Sí, pero... ¿cómo vamos a saber cuándo hemos recorrido la mitad
de la vuelta? ¿Tenemos que contar los pasos de una vuelta completa
y después dividir entre dos?
—¡Muy buena pregunta! —dijo Martín—. Pero lo que propones no es
correcto, porque en ese caso estarías contando los pasos que mide la
trayectoria que vas recorriendo, pero no los giros. Tú tienes que contar
las vueltas que das alrededor del poste.
Nacho parecía entender; sin embargo, no se veía del todo satisfecho:
—Entonces —dijo—, ¿cómo vamos a saber cuándo hemos recorrido
media vuelta?
Martín parecía estar preparado para esta pregunta:
—¡Ah! Mariana y yo sabemos una manera muy fácil de darnos cuenta
de que hemos llegado a la mitad de la vuelta —dijo mirándola. Después
miró a Nacho—. Con las cuerdas lo vas a ver enseguida. Tú sostienes el
extremo de una de las cuerdas mirando de frente al poste. Mariana
sostiene el extremo de la otra cuerda y se coloca acá, en el punto de
partida, junto a ti. De este modo, las cuerdas están una sobre la otra, en
el mismo lugar del inicio. Entonces Mariana comienza a girar llevando la
cuerda y mirando hacia el poste, hasta que te vea a ti de frente. Cuando los
dos se estén mirando frente a frente y las dos cuerdas estén sobre una
misma línea recta, en ese momento Mariana habrá girado media vuelta.
—Bueno, yo comienzo a girar para que lo veas —dijo Mariana—.
Voy a caminar en sentido antihorario...
Nacho, muy serio, sujetaba su cuerda mientras veía cómo Mariana se alejaba
dando una curva.
Cuando Mariana terminó de dar la media vuelta, sostuvo su cuerda muy
tirante, formando una línea recta con la cuerda de Nacho.

17. v-W
i
17

18. —Ahora —continuó Mariana mientras dejaba su cuerda en el piso—, voy a
dar la otra media vuelta que me falta para completar la vuelta entera, pero lo
voy a hacer de otra manera. Como me gusta hacer variaciones, en lugar de
caminar en círculo, voy a hacer de cuenta que
estoy recorriendo la orilla de un lago;
entonces por momentos me acercaré
y por momentos me alejaré del
centro de giro.
18

19. Nacho dio un suspiro. La decisión de Mariana de caminar de esa forma
volvió a confundirlo. Algo desanimado, le preguntó a Martín:
—Sí; pero, ¿cómo podemos estar seguros de que Mariana gira media
vuelta?
Martín no contestó esta vez. Parecía estar concentrado en algo. Fue
Mariana la que respondió finalmente:
—Porque la media vuelta es el único punto en que, si bien estamos
frente a frente, apenas te veo, porque estás justo detrás del poste. El poste
está exactamente entre nosotros dos. Y tu cuerda y la mía están sobre una
misma recta. Tú y yo somos los extremos de un segmento de recta que
pasa por el poste.
Nacho no terminaba de comprender y volvió a mirar a Martín, que
seguía pensando en algo. Se hizo un breve silencio.
—Mmm... ¡Ya sé! —Martín parecía tener una idea,
pero inmediatamente se metió en la casa y todos
se quedaron mirando. ¿Adonde habría ido?
No había pasado un minuto cuando Martín volvió
trayendo trozos de papeles de color que desparramó en
el suelo. Luego sacó un compás y unas tijeras de su
bolsillo y empezó a explicarles a todos,
que se sentaron alrededor de los papeles:
—Ahora tracemos círculos de diferentes tamaños
con este compás. No olvidemos que, antes
que nada, tenemos que marcar los
centros sobre los cuales vamos a
hacer girar el compás con
dos pequeñas líneas
cruzadas. Así:
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20. El ejemplo de la hormiga
Una vez que tenemos los círculos trazados los recortamos —continuó Martín-
Luego, con la regla trazamos, en cada uno,
una línea recta que pase por el centro
y que toque a la circunferencia
con sus extremos. Así:
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21. —Ahora hacemos un doblez en esa línea y lo marcamos muy bien —siguió.
De pronto Nacho empezó a gritar, entusiasmado por primera vez
en mucho tiempo.
—¡Ya sé! ¡Ya lo veo! —decía señalando el dibujo—. El círculo, queda dividido
en dos partes iguales, entonces cada parte es una mitad del círculo.
—¡Claro! —exclamó Martín—. Entonces, si imaginamos que una hormiguita
camina sobre la circunferencia empezando en un extremo de la línea,
¿qué parte de la vuelta recorrería al llegar al otro extremo?
Nacho no demoró en contestar.
—¡Media vuelta!
—¡Bravo! —festejaron Martín
y Mariana. Carolina hacía mover los brazos
de Vani como si estuviera saludando. Polo ladraba
mientras iba y venía corriendo.
21

22. Giros y caminos
Todos se quedaron un rato sentados mientras miraban los
dibujos con satisfacción. Nacho fue el primero en hablar:
—Bueno, ya entendí: cualquier línea recta que atraviesa el
círculo pasando por el centro lo divide a la mitad. Entonces,
girar media circunferencia es dar una media vuelta y la otra
mitad también es media vuelta.
Se quedó pensando un instante. Después le dijo a Mariana:
—Pero eso no fue lo que tú hiciste alrededor del poste del
tendedero. Tú no dabas vueltas en círculos. Dabas vueltas
acercándote y alejándote del poste. Entonces, ¿cómo puedes
saber cuándo llegaste a la mitad?
Mariana estuvo un rato en silencio buscando las palabras que
quería usar y entonces le explicó:
—Sí, es cierto. La trayectoria que yo hacía no era circular. Pero
en ése caso tienes que saber que el giro alrededor de un punto y
la trayectoria no son lo mismo. El giro es la vuelta alrededor de
un punto. La trayectoria es el camino, el recorrido que se hace al
dar la vuelta alrededor de un punto.
—No entiendo -—dijo Nacho, y se volvió a rascar la cabeza.
Mariana señaló entonces unos papeles de colores:
—Por ejemplo, mira las trayectorias que recorté en estos
papeles. Todas tienen marcado el punto de referencia, el
punto de partida y una flechita que indica el sentido de
giro. Sin embargo, las trayectorias son distintas entre sí.
Ahora —siguió—, recorre las trayectorias con el dedo
empezando por el punto de partida. Cuando
regreses a ese punto habrás dado una vuelta
completa, ¿no?
—Sí —dijo Nacho—. Déjame hacerlo en cada
trayectoria. Voy a suponer que mi dedo es la
hormiguita que va recorriendo estos caminos.
¡Uf! Algunos son muy largos y
tienen muchas curvas...
f
22

23. —Para que veamos mejor una media vuelta —interrumpió
Martín— podemos trazar un pequeño círculo alrededor del
punto y luego dibujar una línea recta que pase por
el punto de partida y por el centro.
Así:
23

24. Todas las vueltas se miden en vueltas
—Sí —dijo Mariana—, también se puede ver muy bien cómo,
en todos los casos, las vueltas y las medias vueltas son iguales,
al poner los papelitos uno arriba del otro de manera que los
centros de giro y las líneas rectas coincidan. Incluso podemos
atravesar todos los centros de giro con una tachuela —dijo
sacando una tachuela de una caja que Martín le alcanzaba—.
Así, ¿lo ven?
—Ya entendí —dijo Nacho incorporándose. Luego empezó a
hablar dándole mucha importancia a lo que estaba diciendo,
para que todos se dieran cuenta que había comprendido—. No
importa el tamaño del papel ni qué tan largo sea nuestro
recorrido alrededor del punto ni tampoco qué forma tenga. Lo
importante es que las medias vueltas son todas de la misma
medida, de media vuelta, aunque los recorridos sean muy
diferentes.
—¡Bravo! Lo explicaste muy bien —dijeron a dúo Mariana y
Martín mientras aplaudían. Carolina también hacía aplaudir las
manos de Vani.
24

25. La reacción de sus amigos animó a Nacho a seguir adelante:
—Lo importante es no confundir la parte de vuelta que
damos con el recorrido que hacemos —dijo sentándose de
nuevo. Polo se le subió; quería jugar con él.
—Exactamente —dijo Mariana—. Hay un caso en que esto se
ve muy bien. Cuando la Tierra da una vuelta completa alrededor
del Sol, también estamos usando la misma unidad de medida:
una vuelta completa. El tiempo que demora la Tierra en dar esa
vuelta completa se llama año.
—Sí —agregó Martín—. Y lo mismo sucede con las medias
vueltas. Todas miden lo mismo, sin importar el tiempo que
tardemos en recorrerlas. Alrededor del poste tardamos sólo unos
segundos, pero la Tierra demora aproximadamente 182 días
para dar media vuelta alrededor del Sol. Lo que estamos
midiendo es cuánto gira, o sea, el ángulo.
—¡Ya entendí! —dijo Nacho mientras acariciaba a Polo—.
Ahora vamos a descansar un rato y mañana me enseñan a usar
el transportador; así, cuando sea grande como ustedes, ya voy a
saber usarlo.
Todos se metieron en la casa, excepto Carolina y Polo que se
quedaron jugando en el patio. Carolina llevó a Vani a dar vueltas
en su triciclo, mientras Polo corría detrás de ella, ladrando.
25

26. Cuatro partes ¡guales
Al día siguiente, poco después de desayunar, Martín y
Mariana volvieron a reunirse en casa de Martín para
hacer la tarea. Mientras despejaban la mesa, hablaban de
la escuela y de otros amigos. Y aunque Nacho no tenía
tarea que hacer, era el más inquieto. Finalmente
preguntó:
—Hoy sí me van a enseñar a usar el transportador,
¿verdad?
—Sí, claro —contestó Martín—. Pero antes tienes que saber
algunas cosas más. Todavía no estás preparado para usar el
transportador.
¡Pobre Nacho! Creía que todo lo aprendido el día anterior
ya era suficiente.
—¿Todavía no? ¿Qué más me falta? —preguntó
desilusionado mirando afuera el poste del tendedero.
—Poco y muy fácil —lo tranquilizó Martín con una mano en
el hombro—. Mira, ya aprendiste a dar vueltas enteras y a
contarlas. También aprendiste a reconocer cuándo has dado
media vuelta. Vamos a seguir con giros más pequeños, de
un cuarto (1/4) de vuelta.
Entonces escucharon que, en el patio, Polo ladraba y corría de
un lado a otro. Le ladraba a Carolina, que estaba jugando con
Vani. Martín siguió:
—Vamos de nuevo al jardín a trabajar con las cuerdas amarradas
al poste. Pero ahora, en lugar de dos, vamos a necesitar cuatro
cuerdas. Carolina y Vani nos pueden ayudar —dijo en voz alta
para que Carolina lo escuchara desde afuera.
—¡Sí! ¡Sí! —gritó Carolina que había escuchado perfectamente—.
A Vani y a mí nos encanta ayudar.
El último en salir esta vez fue Nacho, que salió diciendo:
—¡Me parece que esto va a ser muy divertido!
Una vez en el jardín, los niños amarraron dos cuerdas más
al poste. Martín explicó:
—Primero vamos a repetir el ejercicio que hicimos ayer.
Tú, Carolina, sujetas la cuerda en el punto de partida, como lo hizo
Nacho ayer. Tú, Mariana, avanzas hasta dar una media vuelta,
también como hiciste ayer.
Mariana se puso en posición.
—Y tú, Nacho —siguió—, sólo vas a avanzar hasta la mitad de lo que
haya avanzado Mariana; es decir, un cuarto de vuelta, ¿entendido?
26

27. Nacho empezó a caminar, entre
confundido y divertido, mientras
decía:
—Un cuarto de vuelta es la mitad
de la mitad de la vuelta entera.
Entonces debe ser... más o menos...
por acá, ¿verdad? —y se detuvo
en un punto. Miró el suelo, luego
miró a Mariana y preguntó:
—Pero ahora, ¿cómo podemos
estar seguros de que es un cuarto
de vuelta?
Mariana estaba distraída
con Carolina, dando pasitos a un lado
y otro para que sus cuerdas quedaran
sobre una misma recta.
Entonces Martín fue quien contestó:
—Bueno, en este caso no podemos estar seguros de que sea
exactamente un cuarto de vuelta. Es, aproximadamente,
un cuarto de vuelta. Luego vamos a medir cuartos de vuelta
con mayor precisión, con la escuadra y el transportador.
A Nacho le brillaron los ojos al oír mencionar
el tan esperado instrumento.

28. —También hay otra manera en
que lo puedes ver —se apresuró a
agregar Mariana sin soltar la
cuerda—. Carolina, tú y yo nos
quedamos así, sujetando nuestras
cuerdas. Martín tiene que tomar
la cuarta cuerda y avanzar con ella
hasta la mitad de la otra media vuelta.
Cuando Martín llegó a la mitad de su
media vuelta, Mariana siguió:
—Hacemos de cuenta que las
cuerdas de Carolina y la mía forman
una sola línea recta y que la tuya y la
de Martín forman otra. Esas dos líneas,
cruzarse, dividen la vuelta completa
en cuatroregiones iguales. Claro, en este
las regiones sonapTr^iínadarnanJ
Cada una de esas partes es un cuarto de vuelta. Así, ¿lo ves?
28

29. Detectives de ángulos rectos
•Sí, lo veo —dijo Nacho, contento—. En un cuarto de vuelta
las cuerdas se ven como las manecillas del reloj cuando
marcan las tres en punto, o las nueve en punto.
—Esa comparación está muy bien —comentó Martín—.
También lo podemos ver en los círculos y las
formas divertidas que ayer recortamos en
papel —continuó diciendo, mientras
caminaba hacia la casa, seguido por los demás.
Una vez dentro, tomó los papeles de colores
que aún estaban sobre la mesa y explicó:
—Sólo tenemos que doblarlos nuevamente
a la mitad y ponerlos uno sobre otro haciendo
coincidir los puntos de giro y las líneas,
como lo hicimos ayer.
29

30. —¿Lo ves? —preguntó Mariana—.
Cada una de las cuatro partes iguales
en que se dividió la vuelta completa
recibe un nombre especial. Se llama
ángulo recto y las semirrectas que lo
forman son perpendiculares.
Nacho se quedó pensando en lo
que decían.
—Sí —dijo Martín—, es un ángulo
especial porque lo usamos frecuentemente.
Lo podemos encontrar en muchas de las
cosas que nos rodean, ¡miren! —y
empezó a señalar hacia todos lados—:
las esquinas de las paredes, de las
ventanas, de las puertas, de los
mosaicos del piso, de las mesas, de
los libros, de los cuadernos, de las *-'
sillas... ¡por todas partes vemos
ángulos rectos!
i
30

31. Era cierto. Carolina se acercó a tocar la punta de la
mesa con atención. Polo olía las patas de la silla. Nacho
tocó la puerta y dijo:
—Ya veo. Algunos ángulos rectos son muy grandes y
otros son chiquitos, como los cuadritos de las hojas de mi
libreta de matemáticas.
Mariana se llevó las manos a la cabeza. Martín se dejó
caer en un sillón mientras decía:
—¡No! ¡No! ¡No!
Nacho también se dejó caer en el sillón, con los brazos
cruzados, visiblemente enojado. Entonces Martín explicó:
—No hay ángulos rectos grandes y ángulos rectos chicos.
En tu cuaderno, lo que ves chiquito son los cuadritos, pero
todos los ángulos rectos miden lo mismo porque todos son
un cuarto (1/4) de vuelta completa, ¿recuerdas?
Nacho no contestaba y tampoco lo miraba. Seguía con
los brazos cruzados. Martín insistió:
—Lo que tienes que observar es la parte de vuelta que
giraste, pero no el tamaño de los lados del ángulo. Mira,
en los papelitos que doblamos se ve claramente.
—Es más —agregó Martín—, podemos cortar
uno de esos cuartos.de vuelta y usarlo como
a
instrumento de medida de ángulos rectos.
BIBLIOTECA CENTRAL
COORDINACIÓN ESTATAL
DE FORMACIÓN CONTINUA
SEÍ31

32. —Mira —continuó Martín—, si lo ponemos encima de
todos los ángulos rectos que hemos visto en la casa, verás
que todos miden lo mismo: un cuarto (1 /4) de vuelta.
Nacho volvió a entusiasmarse con la explicación. Había
olvidado su reciente malhumor.
—Sí, es cierto —dijo—. Entonces podemos decir que el
ángulo recto es uno, pero que hay muchos en las
cosas que nos rodean.
—¡Exactamente! ¡Muy bien dicho!
—exclamaron Martín y Mariana.
^ Nacho sonreía pensando que, en poco
tiempo más, ya sabría usar el
transportador.
32

33. La prueba de las escuadras
Mientras Mariana ayudaba a Carolina a sentar a su muñeca, agregó:
—También se puede ver con la escuadra, un instrumento especial con el
que rápidamente puedes comprobar si un ángulo es o no recto.
—Sí, ya sé lo que son las escuadras —contestó Nacho orgulloso—. Ayer
vi dos distintas entre tus útiles de geometría. Allí están. Todos se acercaron
a la mesa y se sentaron alrededor.
—Es cierto —dijo Martín tomando una—,
son distintas. Sin embargo, tienen algo en
común. ¿Lo ves?
—Ya sé —dijo nuevamente
Nacho—. Las dos tienen un
ángulo recto.
Luego de mirar las dos escuadras un rato,
preguntó:
—¿Qué tal si comprobamos con la escuadra
si el ángulo que hicimos en papel es recto?
N "
33

34. —¡Sí! —exclamó Martín entusiasmado con la idea—. Y
también podemos seguir buscando más ángulos rectos por la
casa, como en la unión de las paredes con el piso, de las paredes
entre sí... —decía mientras señalaba.
—Las escuadras sirven, además, para trazar ángulos rectos
rápidamente. Sólo hay que tener cuidado de sujetarla firmemente
contra el papel y deslizar el lápiz contra ella, sin levantarlo —dijo
Mariana mientras empezaba a dibujar.
Nacho estuvo mirando muy de
cerca cómo ella dibujaba un
ángulo recto.
34

35. Se quedó pensativo un rato y luego preguntó:
—Si las escuadras sirven para trazar y medir rápidamente
ángulos rectos, ¿para qué queremos dos escuadras que son
distintas? Con una alcanza.
—Lo que dices es lógico --respondió Martín—. ¿Ves estos
otros ángulos que tienen las escuadras? Compáralos con el ángulo
recto. ¿Qué notas? ¿Son mayores o menores que el ángulo recto?
Nacho dudó un instante:
—Son menores que el ángulo recto —dijo al final.
—Así es —continuó Martín—. Los ángulos que son
menores que el ángulo recto se llaman ángulos agudos.
—¡Ah, entonces las escuadras tienen un ángulo
recto y dos ángulos agudos! —exclamó Nacho.
—Claro; pero ahora compara los ángulos
agudos de las dos escuadras. ¿Cómo son
entre sí? —insistió Martín.
Nacho tocaba los ángulos con los dedos
mientras pensaba. Luego dijo hablando
muy despacio:
—En esta escuadra los dos ángulos
parecen ser iguales... —no parecía muy
seguro—. Y en la otra uno es«iás
amplio que el otro.
—¡Muy bien! Eres muy
observador —intervino Mariana
aplaudiendo.
y
35

36. Di lo en griego
—Ahora vamos a investigar —continuó Mariana ^-qué parte
del ángulo recto es cada uno de estos ángulos. Para eso
necesitamos juntar las escuadras de nosotros tres. Vamos a
poner una letra en cada ángulo agudo para no confundirnos
—dijo llevándose el lápiz a los labios, pensativa—. La maestra
nos enseñó que los ángulos se nombran con letras griegas.
Ya aprendimos algunas: alfa (a), beta (P), gamma (y), delta (6)...
—y ponía las letras en los ángulos—. A los ángulos que sean
iguales les ponemos la misma letra. Así:
P
a
36

37. ¿Cuántas veces cabe?
—Veamos cuántas veces cabe el ángulo p en el ángulo recto (a)
—siguió Mariana. Y levantando las cejas dijo:
—Miren, cabe dos veces.
Nacho y Carolina se acercaron a la mesa para ver mejor.
•
a P
X
P
P p
37

38. —Entonces —dijo Martín— eso quiere decir que el ángulo p
es la mitad de un cuarto de vuelta, o sea un octavo (1/8) de
vuelta. Quiere decir que en una vuelta completa caben
8 de estos ángulos agudos...
—¡Sí, lo veo! —interrumpió Nacho incorporándose más sobre
la mesa y casi subido en ella—. Y ya sé cómo podemos
comprobarlo —y se puso a buscar entre las hojas—. Sobre un
papel podemos ir marcando uno a continuación del otro hasta
obtener una vuelta completa. Así —dijo y miró a Martín.
38

39. -Y ahora vamos a hacer el mismo proceso con los ángulos y
—sugirió Mariana—. ¿Sale?
—¡Sale! —contestaron todos a una.
Cuando terminaron, Nacho dijo:
—El ángulo y cabe seis veces.
39

40. —Y el 6 cabe doce veces —continuó Nacho.
—Eso quiere decir que el ángulo y es un sexto (1/6)
de vuelta completa y el ó es un doceavo (1/12) de vuelta
completa —agregó Martín.
40

41. ¿Qué tal me veo desde este ángulo?
—Ahora, podemos hacer ángulos agudos con nuestras
manos —dijo Mariana—. Asi, miren.
Con las manos —continuó— se ve claramente que,
mientras el ángulo recto es uno solo, los ángulos agudos
son muchos.
iíacho parecía entender y Mariana siguió:
—Miren, cada vez que acerco un poquito las manos,
formo un nuevo ángulo agudo.
—¡Sí, es cierto! —gritó Nacho—. Y también se pueden
hacer ángulos más grandes que el ángulo recto.
Así:
—Los ángulos que son más grandes que
el ángulo recto se llaman ángulos obtusos
—dijo Martín mirando a Carolina—. Y al
igual que con los agudos, puedes
formar muchos.
—¡Sí, es cierto!—volvió a gritar Nacho.
Mientras tanto, Carolina intentaba que
Vani hiciera ángulos con sus manos
de muñeca.
41

42. —También podemos formar
ángulos agudos, rectos y obtusos
con las partes del cuerpo —agregó
Mariana—. Por ejemplo, con el
tronco y uno de los brazos. Hagamos
de cuenta que la axila es el centro de
giro, el tronco la semirrecta que
queda inmóvil, y el brazo
la semirrecta que gira, así:
—¡Claro! Y también podemos hacerlos
con nuestro tronco, flexionando la
cintura, así —exclamó Nacho, y
empezó a inclinar el tronco hacia
delante, con las piernas muy estiradas
y firmes, y la espalda muy recta.
Martín, Mariana y los papas de los
niños, que los habían estado
observando, no podían dejar
de sonreír ante el entusiasmo de Nacho
y la idea de que aquello parecía una
clase de educación física.
42

43. Cuando se incorporó, a Nacho le brillaban los ojos
de alegría y no podía dejar de expresar todas las
posibilidades de hacer ángulos con las
distintas partes del cuerpo que se le venían
a la mente. "¡Son muchas!" —pensó, y
finalmente se decidió por una y dijo:
—¡Sí! ¡Sí! ¡Qué padre! Y también
podemos formar ángulos rectos,
agudos y obtusos con un brazo
solo. El codo es el punto
de giro. ¡Miren!
43

44. —Incluso podemos medir con la escuadra si formo
exactamente un ángulo recto.
Luego le pidió a Martín:
—Toma la escuadra y ponía en la parte interior de mi brazo.
—¡Excelente idea! —dijeron Martín y Mariana a la vez.
I
44

45. Por el llano
—Y si ahora dejas el brazo estirado
—continuó Martín— el ángulo que se forma es
un ángulo llano y es igual a dos rectos; es decir,
a media vuelta. Lo podemos comprobar
fácilmente con dos escuadras, así:
—Sí —intervino Mariana, que los estaba
mirando—. Un ángulo llano es igual a media
vuelta. ¿Lo ves, Nacho?
Nacho se sorprendió mucho ante esta
observación y miraba de lado
su brazo estirado.
¡Claro!¡Lo veo! —respondió—.
Mi hombro y mi mano
son los extremos... bueno,
aproximadamente...,
de una misma línea recta.
—¿Y qué tal si yo formo ahora un ángulo con mis dedos índice y mayor y
los abro tan poquito que no lo puedo medir con ninguna de las
escuadras? —Nacho preguntó un poco divertido—. ¿Cómo voy a saber
qué parte de vuelta es?
Martín y Mariana quisieron responder al mismo tiempo, pero finalmente
Martín contestó.
45

46. Una gran palabra y un giro muy pequeño
—Para eso se ha inventado una unidad de medida que permite medir
giros muy pequeñitos. Es la trescientosesentava (1/360) parte de una vuelta
completa.
—¡¿La qué...?! ¡¿Cómo dijiste?! —Nacho no salía de su asombro ante
una palabra tan complicada.
—Mira, en lugar de repetirte esa palabra, mejor vamos a leer la historia
de cómo se inventó. Así entiendes lo que es y no se te olvidará—. Esta
investigación la hicimos en internet, y la maestra nos dijo que la
información es correcta, que es probable que la historia haya sido así.
Mariana abrió su cuaderno de matemáticas y leyó:
__ Cuando Mariana terminó, dijo:
—Entonces, el grado es una unidad de medida de ángulos.
Nacho se quedó mirándola un rato y luego exclamó:
—¡Qué difícil de imaginar! Un giro que es trescientos sesenta veces más
pequeño que una vuelta completa debe ser un giro muy pequeño.
¿Lo podemos ver a simple vista?
46

47. —¡Sí, claro! —dijo Mariana—. Aquí, en este cartel que nos regaló la
maestra, están todos y cada uno de ellos. Mira, ¡los 360 grados!
—¡Ah! —exclamó Nacho—. Y aquí hay uno sólito que está pintado de
morado.
—Sí —dijo Martín— y también están marcados, en rojo, los múltiplos
de 10: 20, 30, 40, 50...
360 grados. Todos y cada uno

48. Un poco de carpintería
—¡Ah! Y ya sé lo que podemos hacer —gritó Nacho, que
también quería proponer ideas nuevas—. Para ver mejor el
tamaño de un giro pequeño podemos clavar con una tachuela
dos trocitos de hilo en el centro del cartel. Los sostenemos
firmemente y, mientras dejamos uno quieto para que indique
el inicio, giramos el otro.
—Pero es más sencillo hacerlo en el geoplano circular
—intervino Mariana.
Nacho se desconcertó. Otra palabra que
no conocía.
—¡¿El geo...qué?!
—El geoplano, una tabla con clavos
donde se pueden hacer ángulos de
manera muy rápida. La maestra nos
prestó uno en el salón de clase, pero
dijo que, si queremos, cada uno
puede construir el suyo. Aquí tengo
las instrucciones que copié del
pizarrón y la guía de dónde clavar
cada clavo —dijo Mariana
desplegando un papel—. ¿Qué
tal si hacemos uno en equipo?
Nacho suspiró. "¡Otra cosa
más para aprender, antes del
transportador!", pensó.
Como si con sólo ver su
cara Mariana le hubiese
adivinado el pensamiento,
dijo:
—No te preocupes, este
geoplano circular sirve
como entrenamiento
para el uso del
transportador.
—¡Qué alivio!
—volvió a suspirar
Nacho—. Entonces
vamos a hacerlo.
Como a mi papá le gusta
mucho la carpintería, tiene muchos
pedazos de madera; él nos puede ayudar.
48

49. 90°
Plantilla para construir
tu geoplano circular
-»O°!360°
270°
49

50. 90°
r i r r í f
t
?
Y
r
f
f
t T T
270°
Una vez que tuvieron el geoplano, Mariana explicó:
—En este geoplano, tú puedes trabajar con ligas de colores. Al.
empezar tienes dos ligas juntas; por ejemplo, una roja abajo y
una verde arriba, aquí donde está el cero, parecido a lo que
hacíamos con las cuerdas, en el jardín. Dejas la liga roja en ese
lugar para que indique el inicio y giras la verde, en sentido
antihorario, que es el más frecuente.
—¡Ah, ya sé! —exclamó Nacho—. En este geoplano puedo
hacer los mismos giros que estuvimos haciendo con las cuerdas
y con las partes de nuestro cuerpo. Puedo girar vueltas
completas, medias vueltas, cuartos de vueltas...
50

51. Se quedó pensativo un momento y continuó:
— Y también podemos representar ángulos rectos, agudos,
obtusos, llanos, y las mismas partes de vuelta que con las
escuadras: octavos de vuelta, sextos de vuelta, doceavos de
vuelta... Déjenme probar a mí primero. Voy a hacer muchos
ángulos con ligas de distintos colores. Así:
180° O'W
270°
Nacho estaba tan entusiasmado haciendo giros con las ligas
y decidiendo dónde debía colocar cada una para construir
distintos ángulos, que no se dio cuenta de que los demás estaban
esperando para jugar con el geoplano. Cuando levantó la vista,
vio que Mariana y Martín lo miraban cruzados de brazos.
51

52. —Perdón —dijo—. Ahora es tu turno, Mariana. ¿Qué tal si me explicas
para qué sirve cada uno de los clavitos?
—Con mucho gusto —contestó Mariana, contenta de que Nacho le
pidiera tal explicación—. Mira, cada clavo indica un giro de 5°. Si quieres
marcar en el geoplano un ángulo de, por ejemplo, 60°, primero tienes que
dejar una liga donde está el cero. Luego, cuentas de 5 en 5 o de 10 en 10
grados hasta llegar a 60° y ahí colocas la segunda liga. Si quieres girar un
ángulo de 155°, es más fácil si giras primero un cuarto de vuelta, con lo que
ya tendrás 90°, y después vas contando de 10 en 10 hasta llegar a 150°, para
luego únicamente avanzar un clavo más y llegar a 155°. ¿Entendiste?
270°
—¡Sí! —exclamó Nacho dando un brinco—. Por favor déjame a mí
primero, ¿sí?
Mariana y Martín no pudieron negarse. Nacho ya estaba moviendo ligas
y contando en voz alta: "Un cuarto de vuelta y ya tenemos 90 grados, y
luego... 100,110,120... "
52

53. Un navio cargado de ángulos
Cuando terminó de marcar esos ángulos, se dio cuenta de que Mariana
y Martín nuevamente estaban esperando cruzados de brazos.
—¿Y cómo podemos construir ángulos que no terminan en 5 o 0?
—preguntó Nacho, algo apenado.
—En este geoplano no podemos hacerlo —le explicó Martín—. Pero
podemos trazarlos sobre una hoja de papel usando un transportador
A Nacho se le iluminó la cara.
—¡Por fin! ¡Ahora sí voy a aprender a usar el transportador!
—exclamó levantando los brazos como si hubiese metido un gol—.
Déjame verlo, por favor. ¿Cómo es? ¿Cómo se usa?
Martín tomó el transportador de su mochila y se lo enseñó:
—Es este instrumento que sirve para trazar y medir ángulos con
mucha precisión. Es la mitad de una vuelta completa y por eso está
dividido en 180 partes iguales, es decir, la mitad de 360.
Nacho se inclinó por encima de la mesa y estiró las dos manos.
—A ver... ¿me lo prestas? Quiero ver sin son 180 grados.
—¡Ah! No va a ser necesario que cuentes los grados de uno en uno.
Mira, este transportador tiene dos escalas: una por fuera y otra por
dentro. ¡Cuidado, nunca debes confundirlas! Sólo vas a usar una a la vez.
Las dos escalas están graduadas de 0 a 180, pero en sentido inverso: una
en sentido horario, y otra en sentido antihorario. A partir del cero, para
facilitarnos la lectura, están escritos los múltiplos de 10 debajo de las
rayas más largas; las rayas que son un poco más cortas indican los
números terminados en 5, y los más cortitas de todas indican los demás
grados. ¿Ves?
53

54. —Sí, es cierto —dijo Nacho—. Así es mucho más fácil contar los
grados. ¿Y ahora ya puedo usarlo? —Nacho insistía en apurarse.
Pero todavía faltaban más indicaciones:
—Todavía te faltan dos explicaciones más —le dijo Martín.
—¿Todavía? —preguntó Nacho con mucha ansiedad—. Bueno,
explícame rapidito, ¿no?
Martín y Mariana se miraron y sonrieron. Martín continuó con
calma.
—Mira, el transportador tiene dos usos: puedes utilizarlo para
construir ángulos de una medida determinada, o puedes usarlo para
medir ángulos que ya están trazados. Primero te voy a mostrar cómo
construir ángulos, paso a paso:
1) Trazas, con la regla, uno de los lados del ángulo, el que marca el inicio, como
la liga roja en el geoplano.
2) Este paso es muy importante y tienes que
poner mucha atención en él.
Haces coincidir el centro
del transportador con
uno de los extremos
de la línea recta y, a
la vez, tienes que
apoyar la raya que ^- •
*
indica el cero 8-~~
sobre esa línea, así: iiziM A
3) Luego, haces de cuenta que en la punta del lápiz
tienes el lado que va girando y con él avanzas hasta
llegar a la medida del ángulo que deseas trazar. Por
ejemplo, si quieres trazar un ángulo de 78 grados,
vas con la punta del lápiz —sin tocar el
papel— hasta el 70, luego pasas por la
rayita que indica 5 grados más,
entonces ya tienes 75; luego
cuentas 3 rayitas más y llegas
al 78. Ahí haces una
pequeñísima marca con la ^^3
punta del lápiz. SL-e
77~ gS
54

55. 4) Levantas el transportador y, con la regla
o con el borde recto del transportador,
trazas una semirrecta qtie, partiendo
del vértice del ángulo, pase por el
punto que acabas de marcar. Y ya
quedó trazado un ángulo de 78°.
Sólo te falta ponerle una
letra griega y marcar el
sentido del giro.
—¡Ya entendí! ¡Ya entendí! —dijo Nacho brincando y aplaudiendo al
mismo tiempo—. Ahora déjenme hacer uno a mí. Voy a construir un
ángulo de... de... ¡133 grados!
Martín y Mariana se volvieron a mirar. No les quedaba de otra que
volver a esperar. Una vez que hubo terminado de trazar su ángulo de
133 grados, Nacho quería que los demás lo retaran a construir ángulos de
medidas que a él le parecían muy difíciles, como 6o, 81° y 169°. Pero
Martín y Mariana lo convencieron de que eso lo harían más tarde.
—Bueno, ahora sólo te falta aprender a medir ángulos que ya están
trazados, cómo éstos —dijo Martín, y con la regla dibujó rápidamente
algunos ángulos sobre la hoja de papel.
Luego, volvió a mirar a Nacho y le dijo: —También te lo voy a explicar
por pasos, para que sea más fácil:
1) Antes que nada, tienes que fijarte si el ángulo que vas a medir es
agudo u obtuso, para que, con sólo mirarlo, ya sepas si va a medir menos
o más de 90 grados. Por ejemplo, en estos que acabo de dibujar hay uno
recto, dos agudos y un obtuso. ¿Cuál quieres que midamos primero? —y
Nacho señalo el obtuso con el dedo. Martín continuó:
55

56. 2) Luego, haces lo mismo que para trazar ángulos: haces
coincidir el centro del transportador con el vértice del ángulo,
y que la raya que indica cero grados quede sobre ese lado.
En caso de que el lado sea muy corto y que esa raya no quede
sobre la línea, tienes que prologar el lado con la regla, hacerlo
más largo.
3) A continuación, con mucho cuidado de que el
transportador no se mueva de esa posición, y sin confundirte
de escala, te fijas dónde corta el otro lado al transportador. Ése
punto es la medida del ángulo. Este ángulo mide 122°.
—¡Es facilísimo! —exclamó Nacho con lo ojos que le
brillaban de alegría.
—¿Qué tal si practicamos? —propuso Mariana muy
sonriente—. Ésa es la tarea. ¿Quieres ayudarnos?
—¡Sale! —gritó Nacho, ya con el transportador en una mano
y el lápiz en la otra.
56

57. Para transportarte en la red
A continuación, te sugerimos algunas páginas web sobre temas
de matemáticas correspondientes a tu grado escolar.
Es importante que siempre te asesores con tus maestros sobre
el material consultado.
http://www.universum.unam.mx/
http://www.conacyt.mx/comunicacion/revista/180/articulos.html
http://www.ilce.edu.mx/
http://edusat.ilce.edu.mx/home.htm
http://redescolar.ilce.edu.mx/
http://www.amc.unam.mx/
http://kan.ajusco.upn.mx/miayudante/marcoip.html
http://www.sep.gob.mx/wb2/sep/sep_Buscador?q=matematicasás=10
http://sepiensa.org.mx/
http://puemac.matem.unam.mx/index_f lash.html
http://www.f ciencias.unam.mx:8085/servlets/ciencias
http://www.dgsca.unam.mx/
http://www.mty.itesm.mx/etie/deptos/rn/Paginas/ligas/home.htm
http://www.smm.org.mx/SMMP/html/
http://www.iimas.unam.mx/
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59. En la serie astro labio encontrarás:
• * Inmundicias. Del cerebro a las tripas
#* Cuéntame un cuadro
0 Antes de la tele
0 El berrinche de Moctezuma y otros poemas
¿Qué son los sentimientos?
Biblioteca _- ,, .... ,.
de aula pueblo wixanka y sus dioses
% El libro de las cochinadas
El libro de los valores
* El sol alrededor del parque
• Pies para la princesa
Contaminación. La Tierra agredida
El libro de los animales misteriosos
El rey poeta. Biografía de Nezahualcóyotl
Miguel Hernández para niños
El Hijo del Viento Biblioteca
escolar
El último pájaro, la última piedra
El nombre del juego es Cervantes
Vivir en el circo ,
Gandhi •

60. ¡A girar! ¿Ángulos y grados? ¡Dales la vuelta!
se imprimió por encargo de la Comisión Nacional
de Libros de Texto Gratuitos, en los talleres de
Reproducciones Fotomecánicas, S.A. de C.V., con
domicilio en Democracias núm. 116,
Col. San Miguel Amantla, Azcapotzalco,
C.P. 02700, México, D.F., México
en el mes de noviembre de 2007.
El tiraje fue de 96,079 ejemplares.