El documento resume los conceptos fundamentales de números naturales, primos, enteros y racionales. Explica la criba de Eratóstenes para identificar números primos y proporciona ejemplos. Luego introduce los números irracionales como aquellos que no pueden expresarse como fracciones de enteros y tienen decimales infinitos no periódicos, como raíz cuadrada de 2.
1. BENEMÉRITA UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE PUEBLA
FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICO MATEMÁTICAS
Licenciatura en Matemáticas
Otoño 2012
Alumno: Ricardo Vázquez Prisco
Matrícula: 201137891
Profesor: Aureliano J. Jiménez M.
Materia/Sección: DHTIC/303
Código/NRC: FGUM/70649-003
Ensayo. Taller 04:
TEMA: NÚMEROS IRRACIONALES
Lunes, 10 de diciembre del 2012.
3. INTRODUCCIÓN.
“En matemáticas, un Número Irracional es un número que no puede ser
expresado como una fracción , donde y son enteros, con diferente de cero
y ésta fracción es irreducible, cualquier Número Real que no es Racional.
Notación: No existe una notación universal para indicarlos, como , que es
generalmente aceptada. Ya que es tan apropiada para designar al conjunto de
Números Irracionales como al conjunto de Números Imaginarios Puros, lo cual
puede crear confusión. es la denotación del conjunto por definición.
Clasificación: Tras distinguir los números componentes de la recta real en
tres categorías: (naturales, enteros y racionales), podría parecer que ha terminado
la clasificación de los números, pero aún quedan "huecos" por rellenar en la recta
de los números reales. Los números irracionales son los elementos de dicha recta
que cubren los vacíos que dejan los números racionales.
Los números irracionales son los elementos de la recta real que no
pueden expresarse mediante el cociente de dos enteros y se caracterizan por
poseer infinitas cifras decimales no periódicas. De este modo, puede definirse al
número irracional como un decimal infinito no periódico. En general, toda
expresión en números decimales es solo una aproximación en números racionales
al número irracional referido, por ejemplo, el número racional 1,4142135 es solo
una aproximación a 7 cifras decimales del número irracional raíz cuadrada de 2, el
cual posee infinitas cifras decimales no periódicas. Entonces, decimos con toda
propiedad que el número es aproximadamente igual a 1,4142135 en 7
decimales, o bien es igual a 1,4142135… donde los tres puntos hacen referencia a
los infinitos decimales que hacen falta y que jamás terminaríamos de escribir.
Debido a ello, los números irracionales más conocidos son identificados
mediante símbolos especiales; los tres principales son los siguientes: , , .”
3
4. CAPÍTULO 1: NÚMEROS NATURALES.
Para comprender la idea que involucra un número irracional, es necesario
iniciar con los Números Naturales, dependiendo del autor el conjunto de los
números naturales puede o no incluir al CERO es decir o bien
.
Partiendo de ésta idea se define el conjunto de los Números Naturales
como:
1.1 NÚMEROS PRIMOS.
Los Números Primos son los Números Naturales que tienen la “propiedad”
de ser divisibles únicamente por sí mismo además de la unidad, es decir el 1. Aún
no existe la forma de determinar la primalidad de un Número Natural. Aun así la
Criba de Eratóstenes muestra claramente la forma de ubicarlos.
Se inicia con una tabla que contiene por ejemplo los enteros del intervalo
del 1 al 100, ordenado en columnas de la siguiente manera:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
… … … … … … … … … …
4
6. Nuevamente se localiza el menor número mayor a 5 no eliminado. Que es
el 7 y eliminamos sus múltiplos.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
… … … … … … … … … …
El mismo proceso ahora para el 11. Que en éste caso no se eliminó alguno
“nuevo” en el intervalo del ejemplo.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
… … … … … … … … … …
El mismo proceso, pero ahora con el 13. También es éste caso no se eliminó
algún número “nuevo” en el intervalo del ejemplo.
El proceso ahora con el 17, que tampoco elimina algún número de los restantes.
El proceso ahora con el 19, que tampoco elimina algún número de los restantes.
El proceso ahora con el 23, que tampoco elimina algún número de los restantes.
El proceso ahora con el 29, que tampoco elimina algún número de los restantes.
El proceso ahora con el 31, que tampoco elimina algún número de los restantes.
6
7. El proceso ahora con el 41, que tampoco elimina algún número de los restantes.
El proceso ahora con el 43, que tampoco elimina algún número de los restantes.
El proceso ahora con el 47, que tampoco elimina algún número de los restantes.
El proceso ahora con el 53, que tampoco elimina algún número de los restantes.
Cabe mencionar que aunque en el intervalo del ejemplo [1,100] no se van
eliminando para algunos números, en general en los números naturales si se
eliminan. Bastaría con hacer el proceso completo con un intervalo mayor, por
ejemplo… del 1 al 1000. Además al eliminar los múltiplos del 53 se evidencia la
propiedad de Número Primo de los Naturales presentes aún: es decir {59, 61, 67,
71, 73, 79, 83, 89, 97}, ya que al no ser eliminados como múltiplos de 53, tampoco
serán eliminados por ser múltiplos de 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 ó 97.
Así. Los primeros 25 números primos, que por cierto son TODOS menores
que 100, son:
{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83,
89, 97 } o bien de diez en diez con la CRIBA DE ERATÓSTENES.
2 3 5 7
11 13 17 19
23 29
31 37
41 43 47
53 59
61 67
71 73 79
83 89
97
… … … … … … … … … …
De éste modo se puede apreciar claramente que los Números Primos
mayores a 100, tendrán como digito de las unidades 1, 3, 7 ó 9. O bien, dicho de
otro modo, terminarán en 1, 3, 7 ó 9. De lo contrario serían múltiplos de 2 o 5.
7
8. 1.1.1 PRIMOS ENTRE SI.
Se dice que dos números a y b al tener como único divisor común la unidad
son primos entre sí.
De modo contrario no son primos entre si cuando además de la unidad
tienen otro divisor en común.
1.2 NÚMEROS NEGATIVOS.
Se pude formar el conjunto de los Números Enteros a partir de los
Números Naturales pero antes de ello se definen los Números Negativos como los
Números Naturales precedidos de un signo menos, es decir:
Además se hace la observación de que los Números Naturales son
positivos es decir
1.3 NÚMEROS ENTEROS.
Los Números Enteros se definen como la unión de los Números Naturales,
el cero y los Números Negativos es decir el conjunto de los Números Enteros es:
ó bien
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9. CAPÍTULO 2. NÚMEROS RACIONALES.
Los Números Racionales son aquellos que se escriben de la forma donde
p y q son enteros, y es una fracción irreducible.
Además de la forma , también pueden expresarse como un número con
decimales periódicos, es decir:
Con una regla de 3 se expresa nuevamente a la forma de la siguiente
manera:
(i) (ii)
Así: Restándole a (ii) la expresión (i)
.
2.1 NÚMEROS FRACCIONARIOS.
Los números fraccionarios son aquellos de la forma que constan de
numerador “a” y denominador “b” y una línea divisoria entre ambos (barra
horizontal u oblicua) con y Números Enteros y .
2.2 FRACCIONES IRREDUCIBLES.
Son aquellos números de la forma que además de ser fraccionarios tienen
la particularidad de que a y b son primos entre si.
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10. Es muy importante hacer notar que de la misma forma que los Números
Naturales están contenidos en los Números Enteros. Así los Números Enteros
están contenidos en los Números Fraccionarios ya que todo Número Entero se
puede escribir de la forma donde a es el entero en cuestión y b es la unidad.
Es decir, como…
es equivalente a
Así también
es equivalente a
CAPÍTULO 3. NÚMEROS IRRACIONALES.
Los Números Irracionales son los Números Reales que no son Racionales o
bien que solo pueden expresarse como un número con infinitos decimales no
periódicos, por ello se suele agregar “tres puntos” después de varios decimales,
para indicar que son infinitos decimales.
3.1 TIPOS DE IRRACIONALES.
Los Números Reales pueden subdividirse en conjuntos según muchos
criterios de clasificación por ejemplo Algebraicos y Trascendentes. Por lo tanto
como los Irracionales son Reales tenemos también dos tipos de Irracionales:
Número Irracional Algebraico.
Número Irracional Trascendente (o simplemente Trascendente ya
que no hay Racionales Trascendentes).
10
11. 3.1.1 IRRACIONAL ALGEBRAICO.
Los números algebraicos son los números reales que son solución de
alguna ecuación polinómica cuyos coeficientes son números racionales. A la vista
de esta definición es fácil comprender que todos los números racionales son
algebraicos, ya que si es un número racional, entonces es solución de la
ecuación polinómica .
Pero no sólo son algebraicos los números racionales. También lo son
muchos irracionales. Por ejemplo, el número irracional es algebraico. Basta
ver que es solución de la ecuación polinómica para darse cuenta de
ello. Lo mismo ocurre con, por ejemplo, , que es solución de . Y con
muchos más números irracionales.
(Números algebraicos y trascendentes, 2009)
“Es interesante añadir que el descubrimiento de la existencia de números irracionales constituyó el
inicio de lo que se considera la primera crisis en los fundamentos de las matemáticas.
Fue precisamente un desdichado Pitagórico, llamado según se creé, Hipaso de Metaponto, el que
descubrió los números irracionales.
…Como era de esperarse, el descubrimiento de la existencia del número irracional, constituyó una
seria conmoción para la escuela Pitagórica y se creé que contribuyó a su destrucción.”
(Angoa Amador, Contreras Carreto, Ibarra Contreras, Linares Garcia, & Martinez Garcia, 2008)
Es curioso pensar que para descubrir el primer Número Irracional, se haya
utilizado precisamente el Teorema de Pitágoras, ( ) con
catetos de una unidad como valor.
Así
11
12. En general un Número Algebraico son las raíces “n-ésimas” de un polinomio
de cualquier grado con coeficientes Reales, que no sea un Número Complejo. Es
decir todas las raíces “enésimas” que no den como resultado un Número Entero o
Complejo (por ejemplo ), son Números Irracionales Algebraicos:
, , , ,…
, , , ,…
, , , ,…
…………………….
Así también lo son las que dan como resultado de aplicar (ecuación general
de segundo grado), cuando se obtienen resultados como:
En particular, éste es un ejemplo de un Número Irracional Algebraico, que
además es conocido como el Número Áureo, proporción áurea, razón dorada o
número de oro.
El número “áureo” ( ) surge de una inquietud de proporcionalidad en
ciertos rectángulos, como se explica a continuación:
Sean y los lados de un rectángulo con . Se “traza” el cuadrado de
lados dentro de dicho rectángulo
12
13. Se dice que la razón si cumple que
Pero por lo tanto
En particular con
Sustituyendo
Despejando apropiadamente, se obtiene:
Como y son Números Naturales. Al aplicar la ecuación general de
segundo grado, se obtiene dos posibles respuestas una negativa y otra positiva,
se descarta la negativa ( ya que ), como se muestra a continuación:
Así la raíz positiva nos da:
13
14. La proporción áurea
Cabe mencionar que la proporción áurea está estrechamente relacionada
con la Sucesión Fibonacci (recordar que son aquellos que resultan de sumar los
dos anteriores y que los primeros 2 son 1 es decir: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,…)
que se involucra directamente con todo lo que crece en la naturaleza, basta con
observar la siguiente tabla donde la columna A y la columna B tienen los primeros
Números de la Sucesión Fibonacci menores a 10,000.
Los números de la columna B con respecto a los de la columna A tan solo
están desfasadas por el antecesor de la sucesión, y que los de la columna A/B
corresponden a el cociente entre A y B. Nótese que mientras mayor sean los
números de la sucesión en A y B, los de A/B se acercan cada vez más a la razón
áurea ( ).
A B A/B
1
1 1 1
2 1 2
3 2 1.5
5 3 1.666666667
8 5 1.6
13 8 1.625
21 13 1.615384615
34 21 1.619047619
55 34 1.617647059
89 55 1.618181818
144 89 1.617977528
233 144 1.618055556
377 233 1.618025751
610 377 1.618037135
987 610 1.618032787
1597 987 1.618034448
2584 1597 1.618033813
4181 2584 1.618034056
6765 4181 1.618033963
10946 6765 1.618033999
… … …
14
15. 3.1.2 IRRACIONAL TRASCENDENTE (o simplemente TRASCENDENTE).
“Los números trascendentes son los números reales que no son solución de ninguna
ecuación polinómica de coeficientes racionales. Por lo que hemos visto antes todos los números
trascendentes son irracionales, aunque no todos los irracionales son trascendentes. Como ejemplos
más representativos de este conjunto numérico tenemos al número y al número .
Viendo que en primera instancia es mucho más sencillo encontrar números algebraicos que
números trascendentes uno podría pensar que hay muchos más del primer tipo que del segundo.
Nada más lejos de la realidad. El conjunto de los números algebraicos es infinito numerable, es
decir, tiene infinitos elementos pero podemos contarlos, mientras que el conjunto de los números
trascendentes es infinito no numerable, esto es, también tiene infinitos elementos pero no los
podemos contar. Conclusión: hay muchos más Números Reales Trascendentes que Algebraicos.
A la vista de este hecho no se entiende demasiado bien que sea tan complicado encontrar
números trascendentes, pero la realidad es esa. Demostrar que un cierto número real es
trascendente suele ser bastante complicado. El primero que lo consiguió fue Liouville demostrando
que el número
es trascendente.
Más adelante Hermite demostró que el número es trascendente y posteriormente
Lindemann hizo lo propio con el número .”
(Números algebraicos y trascendentes, 2009)
Quizá el más conocido por su relación con la circunferencia y su diámetro
es el número “pi” comúnmente representado por la letra griega.
O bien, relación atribuida a la India.
El número , también llamado número de Euler es muy importante para el
CÁLCULO. La letra denota al único número real positivo tal que
(logaritmo natural).
15
16. Además
Leonhard Euler 1707-1783
Demostró que es irracional y descubrió la notable relación
Lo notable de la expresión de la derecha es ajustar en una sola ecuación
( ) 5 de los números de una incuestionable relevancia para las
matemáticas.
O bien. Lo notable de la expresión de la izquierda radica en que los
números irracionales trascendentes ( ) y el número complejo ( ) puro mediante
la función exponencial devuelven el número entero negativo ( ).
Considerado como una verdadera “Proeza de Alquimia Matemática” por
Marcus Du Sautoy. Escritor y presentador de “Los límites del espacio”, 3er capítulo
de los documentales La historia de la Matemática co-producido por la BBC en
2008.
(Du Sautoy, 2008)
16
17. CONCLUSIÓN.
Es difícil creer que la cantidad de Números Irracionales es MAYOR que la
cantidad de Números Racionales, es decir hay mas “huecos” en la recta real que
números de la forma donde y son Números Enteros y .
Pero aunque sea difícil de asimilar, es cierto.
Así… existe al menos la posibilidad de que los Números Irracionales
deparen muchas más sorpresas para la Matemática.
Ya que la notable importancia que tienen ( también la podrían tener
otros Irracionales en otro aspecto o sentido, que aunque son desconocidos en la
actualidad, a medida que se les vaya descubriendo podrían dar apertura a nueva
Matemática en un futuro no muy lejano.
Un ave fénix
El número irracional aparece a lo largo de las matemáticas, pero su importancia
radica seguramente más en su uso como la base para la función exponencial natural. Pero,
¿qué hace a ésta función tan importante?
“¿Quién no se ha sorprendido al aprender que la función , como un ave fénix que
renace de sus cenizas, es su propia derivada?”
Francois Le Lionnais
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18. BIBLIOGRAFÍA.
1 (19-01-2009). Números algebraicos y trascendentes. Recuperado el (12-04-2012),
de (http://gaussianos.com/numeros-algebraicos-y-trascendentes-los-15-numeros-
trascendentes-mas-famosos/)
2 Angoa, J J, Contreras, A, Ibarra, M, Linares, R y Martínez, A. (2008). Matemáticas
Elementales, México, Puebla: Dirección de Fomento Editorial.
3 Du Sautoy, M. (2008). La historia de las Matemáticas, El lenguaje del Universo,
E.U.A: BBC.
4 Purcell, E, Varberg, D y Rigdon S. (Copyright 2000). Cálculo. U.S.A Prentice-Hall
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