VECTORES

1. Vectores
Precálculo
Quinta Edición
Prof. Juan Serrano, MA
PROF. JUAN_SERRANO

2. Introducción
En aplicaciones de
matemáticas, ciertas cantidades se
determinan por completo por su
magnitud; por
ejemplo, longitud, masa, área, temper
atura y energía.
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3. Descripción geométrica de
vectores
Un vector en el plano es un segmento de recta con
una dirección asignada.
.B Este vector se denota por:
A . AB
El punto A es el punto
inicial y B es el punto
terminal.
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4. La longitud del segmento de recta AB se
conoce como la magnitud o longitud del
vector y se denota mediante:
AB
Se usan letras en negritas para denotar
vectores. Estos se escriben de la siguiente
forma:
u AB
Se considera que dos vectores son iguales
si tienen igual magnitud y la misma
dirección.
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5. Suma de vectores C
AC
BC
AB
A B
Si el desplazamiento del vector AB va seguido
del desplazamiento BC, entonces el
desplazamiento resultante es AC.
AC AB BC
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6. Suma de vectores
v+u
v
u
Si a es un número real y v es un vector, se define
un nuevo vector av como sigue: el vector av tiene
magnitud a v y tiene la misma dirección que v si
a>0 o la dirección opuesta si a<0.
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7. Forma de componentes de
un vector
Si un vector v se representa en el plano con
punto inicial P( x1 , y1 ) y punto terminal Q( x2 , y2 )
v x2 x1, y2 y1
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8. Ejemplo (1)
a) Encuentre la forma de componentes del
vector u con punto inicial (-2, 5) y punto
terminal (3, 7).
b) Si el vector v 3,7 se bosqueja con
punto inicial (2, 4), ¿cuál es el punto
terminal?
c) Bosqueje representaciones del vector
w 2,3 con puntos iniciales
(0, 0), (2,2), (-2, -1) y (1, 4).
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9. Solución (a)
Ejemplo:
a) Los puntos son: (-2, 5) (3, 7).
v (-2) 7
____ ____, ____ ____
3 5
v 3 2 5
____ ____, ____ ____
7
v 5,2
Por lo tanto el vector deseado es:
v 5,2
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10. Encuentre la forma de componentes del
vector u. Usa la formula:
v x2 x1, y2 y1
1. (3, 4), (6, -8)
2. (-3, -7), (-9, -10)
3. (6, 7), (2, 0)
4. (0,0), (7, 8)
5. (5, 0), (7, 0)
6. (9, 5), (10, 0)
7. (0, 9), (9, 0)
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11. Solución (b)
v 3,7 y el punto inicial es (2, 4)
v 2 4
x _____,y _____ 3,7
x 2 3 =5
y 4 7 = 11
El punto terminal es (5, 11)
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12. Halla el punto resultante y traza
cada vector en el plano.
1) v = <3, 5>, el punto inicial es (8, 0)
2) v = <0, 9>, punto terminal es (10, 2)
3) v = <9, 0>, punto terminal es (-10, 2)
4) v = <-9, -9>, punto inicial es (0, 0)
5) v = <-3, -5>, punto terminal es (-6, -5)
6) v = <7, -7>, punto inicial es (0, 0)
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13. w 2,3 ,(0, 0), (2,2), (-2, -1), (1, 4)
(4, 3), (8, 5) y (10, 5).
(8,5), (10,5),
(1, 4).
(4,3),
(2,2),
(0, 0)
(-2, -1)
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14. Resuelve según se hizo
clases
1) w = < 5, -
6>, (3, 0), (4, 9), (4, 7), (10,2), (7, 8),
(9, 0)
2) v = <5, 6>, Punto inicial (8, -9).
3) u = <7, 9>, Punto terminal (-5, -7)
4) Punto inicial (0, 0), Punto terminal
(9,0). Halla el vector.
5) Punto terminal (9,7), Punto inicial
(6,-7).
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15. Examen
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16. MAGNITUD DE UN VECTOR
2 2
D AB A B
Ejemplo1 : Encuentra la magnitud del vector :
u 2,3
2 2
D AB 2 3
D AB ____ ____
4 9
D AB _____
13 3.61
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17. Ejercicios de práctica:
Halla la magnitud o longitud de cada
vector.
1) u = <2, -3>
2) w = <4, 3>
3) v = <10, 9>
4) u = <-7, 0>
5) v = <0, -9>
6) w = <-6, -8>
7) u =<3/5, 4/5>
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18. Halla la magnitud del vector
representado:
Utilizando la información dada, halla el vector representado y su magnitud.
Solución:
2 2
4 v A B
2 2
5 5
____ 4
____
El vector es 5, 4 25 16
____ ____
41
___
6.40
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19. Halla la magnitud de cada
vector:
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20. Dados C(8, -2) y D(4, 6), encuentra la
magnitud y dirección de CD.

 2 2
CD x2 x1 y2 y1

 2 2
CD __ __
8 4 __ __
-2 6

 2 2
CD 4 8

CD 80


CD 8.9
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21. Dibuja cada vector. Luego encuentra la
magnitud redondeada a la decima mas
cercana.
1) A(4, 2), B(7, 22)
2) A(0, -20), B(40, 0)
3) A(0, 6), B(-6, 0)
4) A(12, -4), B(19, 1)
5) A(1, 4)
6) A(-3, 4)
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22. Utilizando vectores, dibuja la siguiente figura:
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23. Operaciones algebraicas en
vectores
Si u a1,b1 y v a2 ,b2 , entonces:
u v a1 a2 , b1 b2
u v a1 a2 , b1 b2
cu ca1,cb1 c R
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24. Operaciones con vectores
Si u 2, 3 yv 1, 2 , encuentra u v, u v, 2u, 3v y 2u 3v
Solución: Por las definiciones de operaciones con vectores, se tiene:
u v 2, 3 1,2 1, 1
u v 2, 3 1,2 3, 5
2u 2 2, 3 4, 6
3v 3 1,2 3, 6
2u 3v 2 2, 3 3 1,2 4, 6 3,6 1,0
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25. Propiedades de los vectores
Suma de vectores Multiplica r por un escalar
u v v u c(u v) cu cv
u (v w) (u v) w (c d )u cu ud
u 0 u (cd )u c(du) d (cu )
Longitud de un vector 1u u
0u 0
cu cu
c0 0
Un vector de longitud 1 se llama vector unitario. Dos vectores
unitarios útiles son i y j, definidos por:
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26. Ejercicios
Encuentra 2u, -3v, u + v, 3u – 4v
1) u 2,7 , v 3,1
2) u - 2,5 , v 2,-8
3) u 0,-1 , v - 2,0
4) u 0,0 , v - 1,-2
5) u 3,2 , v 8,9
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27. Preguntas…???
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