1. Informática Educativa I :: Projeto de Aprendizagem
Título: Solucionando graficamente um sistema de equações de primeiro
grau, a partir da construção de gráficos traçados em objeto desenhado
com software de Geometria Dinâmica.
Nome do Aluno: Fernando Oliveira Mateus
1. Disciplina e anos envolvidos:
Álgebra e Geometria da 9ª série do ensino fundamental e 1° ano do ensino
médio.
2. Tema central :
Estudo das funções solucionando questões que podem ser expressas em sistemas
de equações de primeiro grau.
3. Temas de apoio:
Teorema de Tales e Desenho geométrico.
4. Justificativa:
Para um melhor entendimento da matemática é importante que o aluno perceba a
interrelação entre os conteúdos que lhes são apresentados e identifique as
possíveis aplicações das ferramentas que passa a conhecer.
5. Objetivos gerais e específicos:
Relacionar uma aplicação do Teorema de Tales com o desenho geométrico, na
elaboração de um objeto pedagógico que permitirá uma solução de um possível
problema do mundo real, que envolve o estudo de funções e soluções de sistemas
de primeiro grau.
O software Geogebra, apenas para citar um, seria um programa mais eficiente
para a solução do problema que envolve a plotagem de gráficos de função afim
como proposto. Entretanto, ao utilizarmos um software de Geometria Dinâmica,
no caso o Régua e Compasso, apenas como uma ferramenta de desenho e
desprezando a ferramenta "exibir grelhas", permite que sejam explorados outros
conceitos.
Dessa forma, ampliamos o número de conteúdos matemáticos abordados, ao
mesmo tempo em que se promove um treinamento do aluno com esse tipo de
aplicativo.
Evidentemente, é recomendável que o aluno já tenha tido contato com o
software.
6. Enfoque pedagógico :
A atividade representa uma abordagem construtivista sobre temas da
matemática.
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2. 7. Recursos tecnológicos:
A tarefa envolve momentos em sala de aula e na sala de informática do colégio,
dotada de computadores equipados com software de Geometria Dinâmica - Régua
e Compasso, editor de texto e acesso à internet.
8. Etapas e suas estratégias de realização:
Etapa 1- Apresentação
Reunidos na sala de aula, inicialmente, é apresentada aos alunos a tarefa
proposta, identificando:
- seus objetivos,
- a razão do emprego de um software de geometria dinâmica para a solução do
problema, em lugar de outros mais eficientes para o caso,
- a forma como seria realizada,
- os elementos a serem utilizados,
- a forma de apresentação dos resultados,
- a forma de avaliação e
- a divisão dos grupos de alunos que dividiriam o mesmo computador.
Feita essa introdução, faz-se a apresentação da seguinte situação-problema
hipotética:
“ Um dispositivo aprovado em 2000 pela Assembleia Legislativa do estado de São
Mathias, estabeleceu que o tesouro da cidade que possuísse o maior número de
habitantes ao longo dos 50 anos seguintes, seria merecedora de um repasse não
reembolsável, do equivalente a P$10.000,00 (dez mil patacas) por ano para cada
habitante dessa cidade. A ideia era incentivar os governantes locais a
promoverem o crescimento populacional de suas cidades, já que essas
apresentavam baixa densidade demográfica e, portanto, eram incapazes de atrair
investimentos externos importantes para o desenvolvimento da região. Para se
verificar quais as cidades que seriam merecedoras desse benefício, o referido
dispositivo legislativo fixou que a cada 5 anos seriam realizados censos para se
aferir a população dos principais centros urbanos de São Mathias.
Assim, passou a haver uma disputa entre Fernandópolis e Juliópolis para receber
tais recursos, já que aquelas seriam as maiores cidades daquele estado.
O primeiro censo realizado para essa medição, ainda no ano 2000, mostrou que
Juliópolis saiu na frente, pois foram contados 40.012 habitantes, enquanto
Fernandópolis totalizou apenas 30.009. O segundo censo, realizado em 2005,
revelou que a população de Juliópolis cresceu 5%, ao passo que em Fernadópolis
foram encontrados 4002 moradores a mais que o indicado no censo anterior.
Consequentemente, naquela ocasião constatou-se que Juliópolis continuaria a
receber o incentivo financeiro, no mínimo por mais 5 anos.
Considerando que as taxas de natalidade de cada cidade permaneçam constantes
desde o primeiro censo, determine se a tendência é de que Juliópolis continue
recebendo o benefício durante os 50 anos de vigência da regulamentação criada,
ou haveria um momento em que Fernandópolis assumiria o posto de cidade mais
habitada de São Mathias e, consequentemente, passaria a ser a cidade
beneficiada com a medida? Se for o caso, indique em que ano tal situação
ocorreria e qual seria a população aproximada de Fernandópolis na ocasião?
Utilize um gráfico cartesiano para obter essa solução construído em folha de
quadriculada desenhada apenas com o software Régua e Compasso.”
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3. É de se esperar que os alunos apresentem dificuldades na interpretação e
tradução simbólica dos dados fornecidos em linguagem natural, para sistemas de
equações. Por essa razão, é aconselhável que seja discutido com toda a turma os
elementos que lhes são apresentados no problema, identificando os dados
disponibilizados e as estratégias que permitiriam a construção da solução.
Aspectos relativos à suficiência no tratamento desses dados também merecem ser
ressaltados nessa oportunidade, já que eles facilitariam a obtenção da solução.
Além dessa abordagem, o professor também deve rever alguns conteúdos sobre
gráficos e sistemas de equações de primeiro grau, razão pela qual a lousa é
indispensável para essa etapa.
Etapa 2- Solução do problema proposto:
Já na sala de informática, organizados em duplas ou trios previamente escolhidos
(isso agilizaria o começo dos trabalhos), se inicia a tarefa a partir da elaboração
de uma figura que venha facilitar a plotagem de um gráfico. Essa figura apresenta
linhas de chamadas equidistantes, onde são apontadas as coordenadas das
funções que representam o fenômeno observado, conforme a escala entendida
adequada para a solução do problema. O professor deve conduzir a discussão
sobre a melhor subdivisão que a figura deve.
Para a construção dessa figura, é disponibilizado pelo professor um arquivo em
extensão zir (Figura 1), próprio do Régua e Compasso.
Figura 1
A partir desse arquivo, cada grupo de alunos desenha a região quadriculada onde
serão traçados os gráficos que representam a estória de São Mathias.
Para tanto, os alunos deverão dividir o retângulo em quadrículas de tamanhos
iguais, utilizando-se de segmentos auxiliares divididos em partes iguais, numa
aplicação do Teorema de Tales. A divisão desses segmentos poderia ser
realizada com qualquer das ferramentas do aplicativo, conforme a escolha de
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4. cada grupo de alunos, que terão que ter como objetivo apresentar um gráfico com
uma escala adequada.
Nessa oportunidade, é recomendável que também se dedique um certo tempo
para que os todos possam acessar os sítios da internet indicados na bibliografia
de apoio desse documento, de modo que obtenham informações complementares
que os auxiliem na tarefa.
Embora seja uma etapa em que o professor deverá ser demandado de forma
bastante intensa para solucionar dúvidas relativas à construção da figura, é
recomendável que ele, na medida do possível permita que os grupos de alunos
arrisquem e tentem por si só elaborar esse objeto. É importante se ressaltar que
nessa etapa da tarefa, o professor também tem a oportunidade de chamar a
atenção sobre as possíveis aplicações do Teorema de Tales, ao mesmo tempo em
que promove uma maior familiaridade do aluno com o aplicativo de Geometria
Dinâmica.
Uma das soluções para a construção da figura onde será traçado o gráfico das
funções que representam a evolução da população daquelas cidades, á
apresentada na sequência das figuras 2 a 4, a seguir. Essa configuração considera
que a subdivisões em 10 partes, tanto para as ordenadas quanto para as
abscissas seria adequada para a representação:
Figura 2
Processo utilizado na construção detalhada na figura 2:
-Construção de semiretas transversais a dois dos lados do retângulo da figura 1;
- Após marcação de pontos que definem segmentos nessas semiretas,
com o emprego da ferramenta "Ponto Médio" sucessivas vezes, se definem 8
segmentos congruentes em cada uma das semiretas;
- para complementar os 10 segmentos congruentes, se utiliza da ferramenta
"Círculo" duas vezes sucessivas.
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5. Figura 3
Numa aplicação do Teorema de Tales, se chega à subdivisão dos lados da figura
em 10 partes iguais, a partir dos segmentos congruentes das semirretas
auxiliares. O processo detalhado na figura 3 segue os seguintes passos:
- Uni-se os pontos extremos das semirretas auxiliares aos respectivos pontos
extremos dos eixos da figura;
- A partir dos demais pontos das semirretas auxiliares, traçam-se paralelas às
retas que unem esses pontos extremos.
Em seguida, os alunos deverão indicar na figura os valores que representam cada
intervalo entre as quadrículas desenhadas, conforme a escala escolhida e,
considerando os valores fornecidos no problema, traçar as curvas que
representam a evolução das populações dessas duas cidades.
Figura 4
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6. Considerando que a escala escolhida para cada subdivisão dos eixo das ordenadas
em 4.000 habitantes, não possibilita a definição mais precisa dos dados
compreendidos entre o número de 38.000 e 42.000, faz-se a subdivisão desse
intervalo em quatro partes, conforme a figura 5.
Figura 5
Nesse processo de subdivisão, utiliza-se sucessivas vezes a ferramenta "Ponto
Médio". Em seguida, traça-se segmentos paralelos aos eixos das abscissas a
partir desses pontos médios que subdividem esse intervalo.
Uma vez preparada a figura passa-se à etapa de desenho dos gráficos que
representam as funções correspondentes à evolução da população de cada cidade.
Inicialmente se processa a marcação dos pontos que representam as populações
das cidades com os dados obtidos nos dois sensos, conforme a figura 6. É
importante se observar que são considerados critérios de suficiência, pois para o
que se pretende, a diferença de menos de 20 habitantes num universo que supera
os 30.000 não influencia o resultado obtido e facilita à solução do problema.
Portanto, o conceito de suficiência é mais um dos conteúdos que se pode explorar
com essa atividade.
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7. Figura 6
Marcados os pontos, traçam-se os gráficos e encontram-se as soluções para o
problema apresentado, conforme a figura 7.
Figura 7
Ao observar os gráficos traçados, os diversos grupos de alunos têm condições
para responder às perguntas formuladas e, dessa forma podem encaminhar uma
mensagem à caixa postal virtual disponibilizada pelo professor, apresentado as
suas conclusões.
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8. A seguir apresento um exemplo de documento que pode ser encaminhado ao a
professor como resposta:
SECRETARIA ESTADUAL DE EDUCAÇÃO
COLÉGIO ESTADUAL ANDRÉ MAUROIS
ATIVIDADE : SOLUÇÃO DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO PRIMEIRO GRAU COM O
EMPREGO DE GRÁFICOS CONSTRUÍDOS COM SOFTWARES.
PROFESSOR: Fernando DATA:
ALUNO: JOÃO DA SILVA Nº 100 TURMA: 1111
1) PROBLEMA APRESENTADO:
“ Um dispositivo aprovado em 2000 pela Assembleia Legislativa do estado de São
Mathias, estabeleceu que o tesouro da cidade que possuísse o maior número de
habitantes ao longo dos 50 anos seguintes, seria merecedora de um repasse não
reembolsável, do equivalente a P$10.000,00 (dez mil patacas) por ano para cada
habitante dessa cidade. A ideia era incentivar os governantes locais a
promoverem o crescimento populacional de suas cidades, já que essas
apresentavam baixa densidade demográfica e, portanto, eram incapazes de atrair
investimentos externos importantes para o desenvolvimento da região. Para se
verificar quais as cidades que seriam merecedoras desse benefício, o referido
dispositivo legislativo fixou que a cada 5 anos seriam realizados censos para se
aferir a população dos principais centros urbanos de São Mathias.
Assim, passou a haver uma disputa entre Fernandópolis e Juliópolis para receber
tais recursos, já que aquelas seriam as maiores cidades daquele estado.
O primeiro censo realizado para essa medição, ainda no ano 2000, mostrou que
Juliópolis saiu na frente, pois foram contados 40.012 habitantes, enquanto
Fernandópolis totalizou apenas 30.009. O segundo censo, realizado em 2005,
revelou que a população de Juliópolis cresceu 5%, ao passo que em Fernadópolis
foram encontrados 4002 moradores a mais que o indicado no censo anterior.
Consequentemente, naquela ocasião constatou-se que Juliópolis continuaria a
receber o incentivo financeiro, no mínimo por mais 5 anos.
Considerando que as taxas de natalidade de cada cidade permaneçam constantes
desde o primeiro censo, determine se a tendência é de que Juliópolis continue
recebendo o benefício durante os 50 anos de vigência da regulamentação criada,
ou haveria um momento em que Fernandópolis assumiria o posto de cidade mais
habitada de São Mathias e, consequentemente, passaria a ser a cidade
beneficiada com a medida? Se for o caso, indique em que ano tal situação
ocorreria e qual seria a população aproximada de Fernandópolis na ocasião?
Utilize um gráfico cartesiano para obter essa solução construído em folha de
quadriculada desenhada apenas com o software Régua e Compasso.”
SOLUÇÃO:
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9. A análise do gráfico permite afirmar que:
a) Considerando-se a evolução das populações das cidades reveladas pelos dois sensos
realizados, estima-se que a partir do vigésimo quinto ano da criação do benefício, a cidade de
Fernandópolis passe a ter direito a recebê-lo, desde que as taxas de crescimentos das
cidades permaneçam constantes.
b) Na ocasião, a população de Fernandópolis deve atingir um número de aproximadamente
50.000 habitantes.
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Etapa 3- Reflexão sobre a tarefa e resumo dos conteúdos trabalhados.
Realizada a tarefa e já de volta à sala de aula tradicional, é conveniente que se
faça uma reflexão sobre o que foi realizado, de modo que seja possível:
- Inculcar nos alunos que a matemática é algo desenvolvido para apresentar
soluções para o homem;
- Sublinhar os conteúdos abordados, especialmente, o Teorema de Tales,
Função afim, geometria, aspectos de suficiência, entre outros;
- Discutir potenciais e limitações de elementos pedagógicos, em particular o
software utilizado;
- Alertar sobre o papel da internet como fonte de pesquisa não para se copiar
soluções prontas, mas como uma ferramenta para oferecer referências para a
construção dessas soluções;
- Dar oportunidade para que o aluno se manifeste criticamente em relação ao
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10. que lhe foi apresentado, possibilitando que ele se sinta também um elemento
importante para a construção do conhecimento;
- Fornecer subsídios ao professor para aprimorar sua dinâmica e realizar os
ajustes necessários para se eliminar eventuais falhas e possibilitem que se
enfatize os aspectos que se revelem necessários para o seu emprego junto a
outras turmas.
9. Definição de papéis:
Os alunos podem realizar as tarefas em grupos de dois ou três, conforme a
disponibilidade de computadores do colégio.
Os próprios alunos é que desenvolvem as pesquisas que julguem necessárias e
que operam os computadores.
Evidentemente, é imprescindível a supervisão e o apoio do professor, de modo
que não haja dispersão e a tarefa possa atingir os objetivos pedagógicos
esperados.
10. Sites e bibliografia de apoio:
http://www.youtube.com/watch?v=OUB0DarSWdI
http://www.brasilescola.com/matematica/solucao-um-sistema-equacoes-1-grau-com-
duas-incognitas-.htm
http://www.klickeducacao.com.br/materia/20/display/0,5912,POR-20-86-966-
5855,00.html
http://www.youtube.com/watch?v=YRMLfNnUzM8
http://www.youtube.com/watch?feature=endscreen&NR=1&v=V9Pf8X5TF84
11. Avaliação:
A avaliação será pautada em três aspectos:
a) Correta construção da região quadriculada com o uso do software Régua e
Compasso;
b) Definição de escala adequada e correção dos gráficos;
c) Correção dos valores definidos como solução, demonstrando que foi entendida
a dinâmica da solução gráfica de um sistema de equações;
12. Cronograma:
Tomando-se como premissa a utilização de dias em que existam dois tempos de
aulas consecutivos para as turmas envolvidas, a tarefa deve ser realizada em três
blocos com as seguintes dinâmicas:
Bloco 1-
Em sala de aula tradicional é feita a apresentação do problema e eventuais revisões
sobre os assuntos envolvidos na tarefa;
1
0

11. Bloco 2-
Na sala de informática do colégio.
Primeiro dia:
Contextualização, consulta bibliográfica e início da construção da figura auxiliar
onde será traçado o gráfico necessário à solução do problema proposto;
Segundo dia:
Conclusão da figura complementar, plotagem do gráfico e explicitação das soluções.
Terceiro dia:
Elaboração da folha de resposta e envio do arquivo à caixa postal virtual do
professor.
Bloco 3
De volta à sala de aula tradicional, o professor fará a apresentação das avaliações,
conduzirá a discussão de avaliação da tarefa e apresentará o resumo dos conceitos
abordados com suas aplicações.
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