estos documentos, son creados para que sean de divulgación pública

1. TRANSFORMADAS DE LAPLACE
Recopilado y publicado por: Pedro González
EJERCICIOS RESUELTOS
1. Transformadas de Laplace por definición
2. Transformadas de Laplace utilizando teoremas
3. Transformadas inversas
4. Derivada de transformada
5. Teorema de convolución
6. Ecuaciones diferenciales con condiciones iniciales (transformada)
7. Ecuaciones integrales
8. Ecuaciones integrodiferenciales
9. Circuitos
10. Sistemas de ecuaciones diferenciales(método de la transformada)
TRANSFORMADAS DE LAPLACE POR DEFINICIÓN:
1) f ( T ) = 1
− ST ∞
− e −∞ e 0 1
(1) dT = − e
∞
L {1} = ∫
− ST
e = + =
0 S 0
S S S
2) f ( T ) = T
∞
− ST − ST
 − ST − ST

( T ) dT = − Te − ∫0 − e dT =  − Te − e 2  = 12
∞ ∞
L {T } = ∫
− ST
e
0 S S  S S 0 S

2. u = T ⇒ du = dT
− e − ST
dv = e − ST dT ⇒ v =
S
3) f ( T ) = e
aT
∞
 − e −T ( S − a ) 
{ }=∫
L e
aT
∞
e − ST
( e )dT = ∫
aT
∞
e − ST + aT
∞
dT = ∫ e −T ( S − a )
dT =   =
1
0 0 0
 S − a 0 S − a
TRANSFORMADAS DE LAPLACE UTILIZANDO TEOREMAS:
1) f ( T ) = sen2T + cos 2T
2 S
L { sen 2T + cos 2T } = L { sen2T } + L { cos 2T } = + 2
S +4 S +4
2
2) f ( T ) = T + 6T − 3
2
{
L T + 6T − 3 = L T
2
} { } + 6 L {T } - 3 L {1} = S2
2
3
+
6 3
−
S2 S
3) f ( T ) = ( T + 1) = T 3 + 3T 2 + 3T + 1
3
{
L T + 3T + 3T + 1 = L T
3 2
} { } + 3 L {T } + 3 L {T } + L {1} = S6
3 2
4
+
S
6
3
S
3 1
+ 2 +
S
(
4) f ( T ) = 1 + e 2T ) 2
= 1 + 2e 2T + e 4T
{
L 1 + 2e
2T
+ e 4T } = L {1} + 2 L {e 2T } + L {e 4T } =
1
+
2
+
1
S S −2 S −4
(
5) f ( T ) = e T − e −T ) 5
= e 5T − 5e 3T + 10e T − 10e −T + 5e −3T − e −5T
{
L e
5T
− 5e 3T + 10e T − 10e −T + 5e −3T − e −5T } = L {e 5T } - 5 L {e 3T } + 10 L {e T } - 10 L {e −T } + 5 {e −3T } - L
{e −5T } = S 1 5 − S 5 3 + S10 1 − S10 1 + S 5 3 − S 1 5
− − − + + +
TRANSFORMADAS DE LAPLACE (1er. TEOREMA DE TRASLACIÓN):
1) f ( T ) = e
2T
cos 2T

3. S S −2 S −2
{ }
L e 2T cos 2T = L { cos 2T } S →S −2
=
S +42
=
( S − 2) 2
+4
=
S − 4S + 8
2
S →S −2
2) f ( T ) = e T sen3T
3 3 3
{ }
L e T sen3T = L { sen3T } S → S −1
=
S +92
=
( S − 1) 2
+9
=
S − 2S + 10
2
S → S −1
TRANSFORMADAS INVERSAS:
 1  1 -1  2!  1 2
1)L-1  3
= L  3 = T
 S  2!  S  2
 1  1 -1  3!  1 3
2) L-1  4 
= L  4 = T
 S  3!  S  6
1 48  1   48 
3) L-1  2
+ 5  = L-1  2  + L-1  5  = T + 2T 4
S S  S  S 
 2 1  2 
  4 4 1  4  1!  4 -1  3!  1 -1  5! 
4) L-1  − 3   = L-1  2 − 4 + 6  = L-1  2  − L  + L  6 =
 S S  
  S S S  1!  S  3!  S 4  5! S 
2 1 5
4T − T 3 + T
3 120
 ( S + 1) 3  -1  S 3 + 3S 2 + 3S + 1 -1  1 3 3 1 
5) L-1  4 = L  4 = L  + 2 + 3 + 4 =
 S   S  S S S S 
1  1  3 -1  2!  1 -1  3!  3 2 1 3
L-1   + 3 L-1  2 
+ L  3+ L  4  = 1 + 3T + T + T
S   S  2!  S  3!  S  2 6
1 1 1 
6) L-1  − +  = T −1 + e
2T
 S 2
S S − 2
 1  -1  14  1 -1  1  1 − 14T
7) L-1  = L  = L  = e
 4 S + 1  S + 14  4  S + 14  4
 1   1  1  1  1 25 T
8) L-1   = L-1  5  = L-1  = e
 5S − 2   S − 25  5  S − 25  5

4.  5  5 -1  7  5
9) L-1  = L  2  = sen7T
 S + 49  7  S + 49  7
2
 10S   S 
10) L-1   = 10 L-1  2  = 10 cos 4T
 S + 16   S + 16 
2
 2S − 6   S  6 -1  3 
11) L-1   = 2 L-1  2 − L  2  = 2 cos 3T − 2 sen3T
S + 9 S + 9 3 S + 9
2
 5 
12) L-1  
 ( S − 2 )( S − 3)( S − 6 ) 
A B C 5
+ + =
S − 2 S − 3 S − 6 ( S − 2 )( S − 3)( S − 6 )
A( S − 3)( S − 6 ) + B ( S − 2 )( S − 6 ) + C ( S − 2 )( S − 3) = 5
A( S 2 − 9 S + 18) + B ( S 2 − 8S + 12 ) + C ( S 2 − 5S + 6) = 5
A+ B +C = 0
− 9 A − 8 B − 5C = 0
18 A + 12 B + 6C = 5
A= 1
2 , B = −1 y C = 1
2
 5  1 -1  1   1  1 -1  1  1 2T
 − L-1  + L  = e −e + 1 e
3T 6T
L-1  = L 
 ( S − 2)( S − 3)( S − 6)  2  S − 2   S − 3 2  S − 6 2 2
 1 
13) L-1  
 S ( S + 4) 
2
A BS + C 1
+ 2 =
S S + 4 S ( S 2 + 4)
A( S 2 + 4 ) + ( BS + C ) S = 1
AS 2 + 4 A + BS 2 + CS = 1
A+ B = 0
C =0
4 A = 1 ⇒ A = 14 ⇒ B = − A = − 14
 1  1 -1  1  1 -1  S  1 1
L-1  = L  − L  2  = − cos 2T
 S ( S + 4)  4 S  4 S + 4 4 4
2

5.  1 
14) L-1  
 ( S + 1)( S + 4 ) 
2 2
AS + B CS + D 1
+ 2 = 2
S +1
2
S + 4 ( S + 1)( S 2 + 4 )
( AS + B ) ( S 2 + 4) + ( CS + D ) ( S 2 + 1) = 1
AS 3 + 4 AS + BS 2 + 4 B + CS 3 + CS + DS 2 + D = 1
A+C = 0
B+D=0
4A + C = 0
4B + D = 1
A=0 , B= 1
3 , C = 0 y D = − 13
 1  1 -1  1  1  2  1 1
L-1  = L  2 − L-1  2  = senT − sen 2T
 ( S + 1)( S + 4 )  3  S + 1 3 * 2 S + 4 3
2 2
6
TRANSFORMADAS INVERSAS (1er. TEOREMA DE TRASLACIÓN):
 1  1 -1  2!  1 1 2 − 2T
1)L-1  = L  3 = T2 = T e
 ( S + 2 )  2!  S  S → S + 2 2
3
S →S +2 2
 1   1   1 
2) L-1   = L-1  2  = L-1  2 =
 S − 6S + 10   S − 6S + 10 − 1 + 1  S − 6S + 9 + 1
2
 1  1 
L-1   = L-1  2  = e 3T senT
 ( S − 3) + 1 2
 S + 1 S → S −3
 1   1   1  1
3) L-1   = L-1  2  = L-1  =
 S + 2S + 5   S + 2S + 1 + 4   ( S + 1) + 4  2
2 2
 2  1
L-1   = e −T sen 2T
 S + 4  S → S +1 2
2
 2S + 5   2S + 5   2S + 5 
4) L-1   = L-1  2  = L-1  2 =
 S + 6 S + 34   S + 6 S + 34 − 25 + 25   S + 6 S + 9 + 25 
2
 2 S + 5 + 1 − 1  2S + 6   1   S +3 
L-1   = L-1   − L-1   = 2 L-1  
 ( S + 3) + 25   ( S + 3) + 25   ( S + 3) + 25   ( S + 3) + 25 
2 2 2 2

6. 1 -1  5   S  1  5 
− L   = 2 L-1  2  − L-1  2  =
5  ( S + 3) + 25 
2
 S + 25  S →S +3 5  S + 25  S → S +3
1
2e −3T cos 5T − e −3T sen5T
5
 2S − 1 
5) L-1  3
 S ( S + 1) 
2
A B C D E 2S − 1
+ + + + =
S S 2 S + 1 ( S + 1) 2 ( S + 1) 3 S 2 ( S + 1) 3
AS ( S + 1) + B ( S + 1) + CS 2 ( S + 1) + DS 2 ( S + 1) + ES 2 = 2S − 1
3 3 2
AS 4 + 3 AS 3 + 3 AS 2 + AS + BS 3 + 3BS 2 + 3BS + B + CS 4 + 2CS 3 + CS 2 + DS 3 + DS 2 + ES 2 = 2S − 1
A + C = 0 ⇒ C = − A ⇒ C = −5
3 A + B + 2C + D = 0
3 A + 3B + C + D + E = 0
A + 3 B = 2 ⇒ A = 2 − 3B = 5
B = −1 , D = −4 y E = −3
 2 S − 1  -1  5   − 1  −5   − 4  3 -1  2! 
L-1  3 = L  
+ L-1  2  + L-1   + L-1  − L  =
 S 2 ( S + 1)  S  S   S + 1  ( S + 1) 2  2!  ( S + 1) 3 
3
5 − T − 5e −T − 4Te −T − T 2 e −T
2
DERIVADA DE TRANSFORMADA:
d d  S   S 2 − 4 − 2S 2 
1)L {T cos 2T } = ( − 1) L {T cos 2T } = ( − 1)  2  = ( − 1)  =
dS dS  S + 4   ( S 2 + 4) 2 
 
 4 − s2 
= S −4
2
( − 1) 
 ( S + 4)  ( S + 4)
 2 2  2 2
d d  3   − 3( 2S )  6S
2) L {Tsenh3T } = ( − 1) L { senh3T } = ( − 1)  2  = ( − 1)  2 =
 ( S − 9)
 ( S − 9)
2 
dS dS  S − 9  
2 2
 1  d  − 2S 
2
2 d
{ }
3) L T 2 senhT = ( − 1)
2 d2 {
L senhT } = ( − 1)
dS 2
 2

= 
S − 1  dS  ( S 2 − 1) 2
=

dS 2  

7. (S 2
− 2 S + 1)( − 2 ) − 8S ( S 2 − 1)
=
− 2( S 2 − 1) + 8S 2 ( S 2 − 1)
2
=
6S 2 + 2
(S 2
− 1)
2
(S 2
− 1)
4
(S 2
− 1)
3
L {e sen6T } = ( − 1)
d  6 
4) L Te { 2T
sen6T } = ( − 1)
d
dS
2T
 
dS  S 2 + 36  S → S −2
=
d  6  d  6   − 6( 2 S − 4 ) 
( − 1)   = ( − 1)  2  = ( − 1)  2 =
 ( S − 4S + 40 ) 2 
dS  ( S − 2 ) 2 + 36 
  dS  S − 4S + 40   
12 S − 24
(S 2
− 4 S + 40 )
2
L {e cos 3T } = ( − 1)
d  S 
5) L Te { −3T
cos 3T } = ( − 1)
d
dS
−3T
 
dS  S 2 + 9  S → S + 3
=
d  S +3  d  S +3   S 2 + 6 S + 18 − ( S + 3)( 2 S + 6 ) 
( − 1)   = ( − 1)  2  = ( − 1)  =
dS  ( S + 3) 2 + 9 
  dS  S + 6S + 18  
 ( S + 6S + 18)
2 2 

 S 2 + 6 S + 18 − 2 S 2 − 12 S − 18  S 2 + 6S
( − 1) 
 =
 ( S 2 + 6 S + 18) 2
 ( S 2 + 6S + 18) 2 
L {e senhT } = ( − 1)
d3  1 
{
6) L T 3 e −T senhT = ( − 1) } 3 d3
dS 3
−T
 
dS 3  S 2 − 1  S → S +1
=
d3   d3 d2  − 1( 2 S + 2) 
 = ( − 1) 3  2 
1 1
( − 1) 3 
 ( S + 1) 2 − 1    = ( − 1) 2  =
 ( S 2 + 2S ) 2 
dS   dS  S + 2 S  dS  
d  ( S 2 + 2 S ) ( − 2 ) − ( − 2 S − 2 ) 2( S 2 + 2 S ) ( 2 S + 2 ) 
2
( − 1)   =
dS  ( S + 2S )
2 4 

 =  [
d  ( S 2 + 2 S ) ( 2) − 2( 2 S + 2) ( S 2 + 2 S )  d  ( S 2 + 2 S ) 2( S 2 + 2 S ) − 2( 2 S + 2)
2 2 2
] =

dS 
 ( S 2 + 2S ) 4  dS 
  ( S 2 + 2S ) 4 

d  − 6 S 2 − 12 S − 8  ( S 2 + 2 S ) ( − 12 S − 12 ) − ( − 6 S 2 − 12S − 8)3( S 2 + 2 S ) ( 2 S + 2 )
3 2
 = =
dS  ( S 2 + 2 S ) 3 
  ( S 2 + 2S ) 6

8. (S 2
+ 2S )
2
[( − 12S − 12) − 3( − 6S 2
− 12 S − 8)( 2 S + 2 ) ] = 36S 3
+ 108S 2 + 108S + 36
( S + 2S )
2 6
(S 2
+ 2S )
6
TRANSFORMADAS DE LAPLACE (2do. TEOREMA DE TRASLACIÓN):
e − aS
1)L { u ( T − a )} = e − aS L {1} =
S
3e −2 S
2) L { 3u ( T − 2 )} = e − 2 S L { 3} =
S
3) L {Tu ( T − a )} = L { ( T − a + a ) u ( T − a ) } = L { ( T − a ) u ( T − a ) } + L { au ( T − a )} =
e − aS ae − aS
e − aS L {T } + ae −aS L {1} = +
S2 S
e −S
4) L { ( T − 1) u ( T − 1) } = e − S L {T } =
S2
e −2 S
{ } {
5) L e 2−T u ( T − 2) = L e −( T − 2 ) u ( T − 2 ) = e − 2 S L e −T =} { } S +1
6) L { ( 3T + 1) u ( T − 3) } = L { ( 3T + 1 − 10 + 10 ) u ( T − 3)} = L { ( 3T − 9 + 10 ) u ( T − 3) } =
3e −3 S 10e −3 S
3 L { ( T − 3) u ( T − 3)} + 10 L { u ( T − 3)} = 3e −3 S L {T } + 10e −3S L {1} = +
S2 S
{ } { }
7) L Te T −5 u ( T − 5) = L ( T − 5 + 5) e T −5 u ( T − 5) = L ( T − 5) e T −5 u ( T − 5) + { }
e −5 S5e −5 S
{ u ( T − 5) } = e { } + 5e L {e } = +
T −5 −5 S T −5 S T
L 5e L Te
( S − 1) 2 S − 1
{ }
8) L ( T − 1) e T −1u ( T − 1) = e − S L T e
3
{ 3 T
}= 6e − S
( S − 1) 4
TRANSFORMADAS INVERSAS (2do. TEOREMA DE TRASLACIÓN):
 e −2S  1  1 -1  2!  − 2 S 1 2 − 2 S 1 2
1)L-1  3 
= L-1  3 e − 2 S = L  3 e = T e = T u( T − 2) =
 S  S  2! S  2 2

9. 1
( T − 2) 2 u( T − 2)
2
 (1 + e −2 S ) 2 
  1 + 2e −2 S + e − 4 S  -1  1   1  −2 S
2) L 
-1
 = L-1  = L   + 2 L-1  e +
 S +2 
   S +2  S + 2 S + 2
 1  −4 S
L-1  e = e − 2T + 2e −2T u ( T − 2 ) + e − 2T u ( T − 4 ) =
 S + 2
e − 2T + 2e −2 ( T − 2 ) u ( T − 2) + e −2 ( T −4 ) u ( T − 4 )
 e − S  -1  1  − S
3) L 
-1
=L  e
 S ( S + 1)   S ( S + 1) 
A B 1
+ =
S S + 1 S ( S + 1)
A( S + 1) + BS = 1
A = 1 ⇒ B = −1
 1  − S -1  1  −S  1  −S
e = u ( T − 1) − e u ( T − 1)
− ( T −1)
L-1  e = L  e − L-1 
 S ( S + 1)  S   S + 1
 e −2 S   1  −2 S
4) L-1   = L-1  2 e
 S ( S − 1)   S ( S − 1) 
2
A B C 1
+ 2 + = 2
S S S − 1 S ( S − 1)
AS ( S − 1) + B ( S − 1) + CS 2 = 1
AS 2 − AS + BS − B + CS 2 = 1
A+C = 0
− A+ B = 0
B = −1 ⇒ A = −1 ⇒ C = 1
  −2 S -1  − 1 1
= ( − 1 − T + e T )u ( T − 2 ) =
1 1  −2 S
L-1  e = L  − 2 + e
 S ( S − 1)  S − 1
2
S S
−u ( T − 2 ) − ( T − 2 ) u ( T − 2 ) + e T − 2 u ( T − 2 )
TEOREMA DE CONVOLUCIÓN:

10. 1)L {∫ e sen(T − τ ) dτ }
o
T
τ
f (T ) = e T
g (T ) = senT
L {∫ e sen(T − τ ) dτ } =
T
o
τ
L eT{ } L { senT } =  S 1 1  S 1+ 1 

−


2

 
 = ( e )( e ) = ∫0 e e
1  1  -1  1  T
τ − 4 ( T −τ ) T
dτ = ∫
− 4T
 = L-1  e τ e −4T e 4τ dτ =
T
2) L-1  L 
 ( S − 1)( S + 4 )   S −1  S + 4  0
T
T  e 5τ   e 5T 1  e T e − 4T
∫
5τ
e − 4T
e dτ = e − 4T

 5  = e − 4T 
  5 − 5 = 5 − 5

0
 0  
 
 = ( e )( e ) = ∫0 e e
1  1  -1  1  T
−τ 2 ( T −τ )
3) L-1   = L-1  L 
−T 2T
dτ =
 ( S + 1)( S − 2 )   S + 1 S − 2
T
T T  e −3τ   e −3T 1  e −T e 2T
∫ ∫
−τ 2τ − 3τ
e e e dτ = e 2T 2T
e dτ = e 
2T
 −3  = e 2T 
  −3 + 3 = −3 + 3

0 0
 0  
   1  -1  1 
 = ( e )( e ) = ∫0 e e
1 T
−τ − ( T −τ )
 = L-1  dτ =
−T −T
4) L-1  L 
 ( S + 1)   S + 1  S + 1
2
e −τ e −T eτ dτ = e −T ∫ dτ = e −T (τ ) 0 = Te −T
T T
∫
T
0 0

 
 S  S  -1  1  1 
5) L-1  2 
= L-1  2  L  2  = ( cos 2T )  sen2T  =
 ( S + 4) 

2
 S + 4 S + 4 2 
1 1 T
∫0 ( cos 2τ ) sen( 2T − 2τ )dτ = cos 2τ ( sen 2T cos 2τ − cos 2Tsen 2τ ) dτ =
T
2 2 ∫0
1 T 1 T 1 T  1 + cos 4τ 
∫0 sen2T cos 2τdτ − 2 ∫0 cos 2Tsen2τ cos 2τdτ = 2 ∫0 sen2T  2 dτ −
2
2  
1 T 1  1 T 1 T 1 T
2 ∫0 cos 2T  2 sen4τ dτ = 4 sen2T ∫0 dτ + 4 sen2T ∫0 cos 4τdτ − 4 cos 2T ∫0 sen4τdτ =
 

11. T T
1 1 1  1  −1 
sen2T (τ ) 0 + sen 2T  sen 4τ  − cos 2T  cos 4τ  =
T
4 4 4 0 4  4 o
1
4 Tsen 2T + 16 sen2Tsen 4T + 16 cos 2T cos 4T − 16 cos 2T = 1 Tsen 2T + 16 ( cos( 4T − 2T ) − cos 2T ) =
1 1 1
4
1
1
Tsen 2T
4
ECUACIONES DIFERENCIALES CON CONDICIONES INICIALES (TRANSFORMADA):
1) y ′ − y = 1 y( 0) = 0
Sy s − y ( 0) − y s = L {1}
1 1
y s ( S − 1) = ⇒ ys =
S S ( S − 1)
A B 1
+ =
S S − 1 S ( S − 1)
A( S − 1) + BS = 1
A = −1 ⇒ B = 1
1  1 
y ( T ) = − L-1   + L-1   = −1 + e
T
S   S − 1
2) y ′ + 2 y = T y ( 0 ) = −1
Sy s − y ( 0) + 2 y s = L {T }
1
Sy s + 1 + 2 y s =
S2
1 1− s2
y s ( S + 2) = − 1 ⇒ ys = 2
S2 S ( S + 2)
A B C 1− s2
+ + =
S S 2 S + 2 S 2 ( S + 2)
AS ( S + 2) + B( S + 2 ) + CS 2 = 1 − S 2
AS 2 + 2 AS + BS + 2 B + CS 2 = 1 − S 2
A + C = −1
2A + B = 0
2 B = 1 ⇒ B = 12 ⇒ A = − 14 ⇒ C = − 3 4

12. 1 1   1  −1 1 3
y ( T ) = − 14 L-1   + 12 L-1  2  − 34 L-1  = + T − e − 2T
S  S  S + 2 4 2 4
3) y ′′ − 4 y ′ + 4 y = T 3 e 2T y ( 0 ) = 0 , y ′( 0 ) = 0
S 2 y s − Sy ( 0 ) − y ′( 0 ) − 4Sy s − 4 y ( 0 ) + 4 y s = L {T 3 e 2T }
6
S 2 y s − 4Sy s + 4 y s =
( S − 2) 4
6 6 6
ys = = =
(S 2
− 4 S + 4)( S − 2 )
4
( S − 2) ( S − 2)
2 4
( S − 2) 6
6 -1  5!  1
y( T ) = L  6 = T 5 e 2T
5!  S  S → S − 2 20
4) y ′ + y = f ( T ) y ( 0 ) = 0 , f ( T ) = 5u ( T − 1)
Sy s − y ( 0) + y s = L { 5u ( T − 1)}
5e − S
y s ( S + 1) =
S
5e − S 5
ys = = e −S
S ( S + 1) S ( S + 1)
A B 5
+ = ⇒ A = 5, B = −5
S S + 1 S ( S + 1)
1  1  −S
y ( T ) = 5 L-1  e −S − 5 L-1  e = 5u ( T − 1) − 5e u ( T − 1) =
−T
S   S + 1
5u ( T − 1) − 5e −( T −1) u ( T − 1)
5) y ′′ + 4 y = f ( T ) y ( 0 ) = 0 , y ′( 0 ) = −1 , ( T ) = 1 − u ( T − 1)
S 2 y s − Sy ( 0 ) − y ′( 0 ) + 4 y s = L {1 − u ( T − 1)}

13. 1 e −S
S 2 ys + 1 + 4 ys = −
S S
−S
y S ( S 2 + 4) = −
1 e
−1
S S
1 e −S
yS = − −1
S ( S 2 + 4 ) S ( S 2 + 4)
A BS + C 1
+ 2 =
S S + 4 S ( S + 4) 2
A= 1
4 , B= −1
4 y C=0
1 1 1  S  1  1  −S 1  S  −S 1 -1  2 
y( T ) =L-1   − L-1  2 − L-1  e − L-1  e − L  2 
S + 4 4 S + 4 S + 4
2
4 S  4 S  4 2
1 1 1 1 1
= − cos 2T − u ( T − 1) + cos 2( T − 1) u ( T − 1) − sen2T
4 4 4 4 2
6) y ( 4 ) − y = 0 y ( 0 ) = 1 , y ′( 0 ) = 0 , y ′′( 0 ) = −1 , y ′′′( 0 ) = 0
S 4 y s − S 3 y ( 0 ) − S 2 y ′( 0) − Sy ′′( 0 ) − y ′′′( 0) − y S = 0
S 4 ys − S 3 + S − ys = 0
y S ( S 4 − 1) = S 3 − S
S ( S 2 − 1) S ( S 2 − 1) S
yS = = 2 = 2
( S − 1) ( S + 1)( S − 1) S + 1
4 2
 S 
y ( T ) = L-1  2  = cos T
 S + 1
ECUACIONES INTEGRALES:
1) f ( T ) + ∫ ( T − τ ) f (τ ) dτ = T
T
0
L { f ( T )} + L {∫ (T − τ ) f (τ ) dτ } =
T
0
L {T }
F(S) 1
F(S) + 2
= 2
S S S2 1  1 
F(S) = 2 2 = 2 ⇒ y ( T ) = L-1  2  = senT
 1  1 S ( S + 1) S + 1  S + 1
F ( S ) 1 + 2  = 2
 S  S

14. f ( T ) = 2T − 4∫ senτf ( t − τ ) dτ
T
2) 0
2  1 
F(S) = − 4 2 F ( S )
 S +1
2
S
 4  2
F ( S ) 1 + 2 = 2
 S +1 S
 S 2 +1+ 4   S2 +5 2 2S 2 + 2
F ( S )  = F ( S ) 2  = 2 ⇒ F(S) = 2 2
 S 2 +1 
 
 S +1  S
  S ( S + 5)
A B CS + D 2S 2 + 2
+ 2 + 2 = 2 2
S S S + 5 S ( S + 5)
AS ( S 2 + 5) + B ( S 2 + 5) + ( CS + D ) S 2 = 2S 2 + 2
AS 3 + 5 AS + BS 2 + 5 B + CS 3 + DS 2 = 2 S 2 + 2
A+ B = 0
B+D=2
5A = 0 ⇒ A = 0 ⇒ C = 0
5B = 2 ⇒ B = 25 ⇒ D = 85
2 -1  1  8  5  2 8
y( T ) = L  2 + L-1  2 = T + sen 5T
5 S  5 5 S + 5 5 5 5
f ( T ) + 2 ∫ f (τ )dτc0 s( T − τ ) dτ = 4e −T + senT
T
3) 0
 S  4 1
F ( S ) + 2F ( S ) 2 = + 2
 S + 1 S + 1 S + 1
 S 2 + 2S + 1  4 1  ( S + 1) 2  4 1
F ( S )
 S 2 + 1  = S + 1 + S 2 + 1 ⇒ F ( S ) S 2 + 1  = S + 1 + S 2 + 1

 
   
4( S 2 + 1) S 2 +1 4S 2 + 4 1
F(S) = + 2 = +
( S + 1)( S + 1) ( S + 1)( S + 1) ( S + 1) ( S + 1) 2
2 2 3

15. A B C 4S 2 + 4
+ + =
S + 1 ( S + 1) 2 ( S + 1) 3 ( S + 1) 3
A( S + 1) + B( S + 1) + C = 4 S 2 + 4
2
A = 4, B = −8, C = 8
 4   8   8   1 
f ( T ) = L-1 '   − L-1  2 
+ L-1  3
+ L-1  2 
= L1
 S + 1  ( S + 1)   ( S + 1)   ( S + 1) 
−T −T 2 −T −T
4e − 8Te 4T e + Te
ECUACIONES INTEGRODIFERENCIALES:
dy
+ 6 y ( T ) + 9 ∫ y (τ ) dτ = 1 y( 0) = 0
T
1)
dT 0
ys 1
Sy s − y ( 0) + 6 y s + 9 =
S S
 9 1 S 1
ys  S + 6 +  = ⇒ ys = =
 S S S ( S + 6 S + 9 ) ( S + 3) 2
2
 1 
y ( T ) = L-1  2 
= Te −3T
 ( S + 3) 
∫ y(τ ) dτ y( 0) = 0
T
2) y ′ = 1 − senT −
0
1 1 y
Sy s − y ( 0) =
− 2 − s
S S +1 S
 1 1 1 1 S
ys  S +  = − 2 ⇒ ys = 2 −
 S  S S +1 S + 1 ( S + 1) 2
2
1
y ( T ) = senT − TsenT
2
CIRCUITOS:
1)Determine la corriente I(T) de un circuito ¨LRC¨ en serie, cuando L = 0.005 henrios, R =1Ω y C = 0.02
faradios.

16. E ( T ) = 100[1 − u ( T − 1) ] I ( 0) = 0
dI 1 T
L + RI + ∫ I (τ ) dτ = 100[1 − u ( T − 1) ]
dT C o
dI 1 T
I (τ ) dτ = 100[1 − u ( T − 1) ]
0.02 ∫o
0.05 +I+
dT
50 I s  1 e −S 
0.05( SI s − I ( 0) ) + I s + = 100 −
S 
S  S 
10000 I s  1 e −S 
SI s + 200 I s + = 20000 −
S 

S  S 
 S 2 + 200 S + 10000   1 e −S   ( S + 100) 2   1 − e −S 
Is 
  = 20000 −
 S  ⇒ Is   = 20000 
 S   S  

 S 

 S



20000S  1 − e − S  20000 20000e − S
Is =  = −
( S + 100) 2  S  ( S + 100) 2 ( S + 100) 2
 
I ( T ) = 20000Te −100T
− 20000Te −100T e − S = 20000Te −100T − 20000( T − 1) e −100( T −1) u ( T − 1)
2)Use la transformada de Laplace para determinar la carga en un capacitor de un circuito en serie (RC)
cuando q ( 0 ) = 0 , R = 2.5Ω, C = 0.08 faradios y E(T) = 5u(T-3).
dq 1
R + q = E(T )
dT c
5e −3 S
2.5q ′ + 12.5q = 5u ( T − 3) ⇒ 2.5( Sq s − q( 0 ) ) + 12.5q s =
S
5e −3 S 2e −3 S
2.5q s ( S + 5) = ⇒ qs =
S S ( S + 5)
A B 2
+ =
S S + 5 S ( S + 5)
AS + 5 A + BS = 2 ⇒ A = 2 5 ⇒ B = − 2 5
2 -1  1  −3 S 2 -1  1  −3 S 2 2 −5( T − 3 )
q( T ) = L  e − L  e = u ( T − 3) − e u ( T − 3)
5 S  5 S + 5 5 5
3)Aplique la transformada de Laplace para hallar la carga q(T). En el capacitor de un circuito ¨RC¨ en
serie cuando q ( 0 ) = 0 , R = 50Ω, C = 0.01 faradios y E(T) = 50u(T-1)-50u(T-3).

17. dq 1
50 + q = 50u ( T − 1) − 50u ( T − 3)
dT 0.01
50e − S 50e −3 S
50( Sq s − q ( 0 ) ) + 100q s = −
S S
−S −3 S
e e
qs = −
S ( S + 2) S ( S + 2 )
A B 1
+ =
S S + 2 S ( S + 2)
AS + 2 A + BS = 1 ⇒ A = 12 ⇒ B = −12
1  1  − S 1  1  − S 1  1  −3 S 1  1  −3 S
q( T ) =  e −  e −  e +  e
2 S  2 S + 2 2 S  2 S + 2
1 1 1 1
q ( T ) = u ( T − 1) − e − 2( T −1) u ( T − 1) − u ( T − 3) + e − 2( T −3 ) u ( T − 3)
2 2 2 2
SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES(MÉTODO DE LA TRANSFORMADA):
dx
= −x + y
dT x( 0 ) = 0
1)
dy y( 0) = 1
= 2x
dT
x′ = − x + y Sx s − x( 0 ) + x s − y s = 0
⇒
y′ = 2x  Sy s − y ( 0) − 2 x s = 0
Sx s + x s − y s = 0 ⇒ y s = Sx s + x s
Sy s − 1 − 2 x s = 0 ⇒ S ( Sx s + x s ) − 1 − 2 x s = 0 = S 2 x s + Sx s − 1 − 2 x s
x s ( S 2 + S − 2) = 1 ⇒ x s =
1 1 1
= 2 =
( S + S − 2 ) S + S − 2 + 4 − 4 ( S + 12 ) 2 − 9 4
2 9 9
2  32  2 1 3
x( T ) =  2 9  = e − 2T senh T
3  S − 4  S →S + 1 3 2
2

18.  1  1
y s = Sx x + x s = S  +
 (S + 1 ) − 9  (S + 1 )2 − 9
2
 2 4 2 4
S+ 2 21 − 1 1 S+ 21 1 1
ys = + = − 2
(S + 2 1 )2 − 9
4 (S + 2 1 )2 − 9
4 (S + 2
1 )2 − 9
4 (S + 2
1 )2 − 9 (S + 1 )2 − 9
4 2 4
3 3 1 3 2 1 3
y ( T ) = e − 2T cosh T − e − 2T senh T + e − 2T senh T
1
2 4 2 3 2
2 − 12T 3
R/ x( T ) = e senh T y
3 2
3 3 1 3 2 1 3
y ( T ) = e − 2T cosh T − e − 2T senh T + e − 2T senh T
1
2 4 2 3 2
dx
= x − 2y
dT x( 0 ) = −1
2)
dy y( 0) = 2
= 5x − y
dT
x′ = x − 2 y  Sx s − x( 0 ) = x s − 2 y s  Sx s + 1 = x s − 2 y s  Sx s − x s + 2 y s = −1
⇒ ⇒ ⇒
y′ = 5x − y Sy s − y ( 0) = 5 x s − y s  Sy s − 2 = 5 x s − y s  Sy s + y s − 5 x s = 2
5 x s ( S − 1) + 10 y s = −5
− 5 x s ( S − 1) + y s ( S + 1)( S − 1) = 2( S − 1)
10 y s + y s ( S + 1)( S − 1) = −5 + 2 S − 2
[ x s ( S − 1) + 2 y s = −1]( 5) 
[ − 5 x s + y s ( S + 1) = 2]( S − 1)  y s (102 + S − 1) = 2S − 7
⇒ 2

y s ( S + 9) = 2S − 7
2S 7 7
ys = − 2 ⇒ y ( T ) = 2 cos 3T − sen3T
S +9 S +9
2
3
10 x s − 2 y s ( S + 1) = −4
x s ( S − 1)( S + 1) + 2 y s ( S + 1) = −1( S + 1)
[ x s ( S − 1) + 2 y s = −1]( S + 1)  xs ( S − 1)( S + 1) + 10 xs = −1( S + 1) − 4
⇒
[ − 5 x s + y s ( S + 1) = 2]( − 2)  xs ( S 2 − 1 + 10) = − S − 5

−S 5 5
xs = − 2 ⇒ x( T ) = − cos 3T − sen3T
S +9 S +9
2
3

19. 7
R/ y ( T ) = 2 cos 3T − sen3T
3
5
x( T ) = − cos 3T − sen3T
3