1. ´
CAPITULO 3
´
CALCULO INTEGRAL
1. ´
INTERROGANTES CENTRALES DEL CAPITULO
• Concepto de area
´ • Integraci´ n de funciones trigonom´ tricas
o e
• Sumas de Riemann • Integrales irracionales
• Integral definida • Area de la regi´ n entre dos curvas
o
• Propiedades de la integral definida • Volumen de un s´ lido de revoluci´ n
o o
• Integral indefinida • Longitud de arco de una curva
• Propiedades de la integral indefinida • Area de una superficie de revoluci´ n
o
• Teorema Fundamental del C´ lculo Integral
a • Integral impropia
• Integraci´ n por cambio de variable
o • Regla del punto medio
• Integraci´ n por partes
o • Regla del trapecio
• Integraci´ n de funciones racionales
o • Regla de Simpson
2. ´
CONTENIDOS FUNDAMENTALES DEL CAPITULO
´
2.1. El problema del area
´
En esta secci´ n partimos de la base que el concepto de area es bien conocido. Esto no significa que el alumno
o
deba tener una idea precisa y formal de dicho concepto, si no m´ s bien que todos poseemos una idea intuitiva que
a
no necesita aclaraci´ n.
o
o a a ´
El tipo de regi´ n m´ s simple con el que nos podemos encontrar es un rect´ ngulo, cuya area se define como
o o ´
el producto de su base por su altura. A partir de esta definici´ n podemos obtener las f´ rmulas para el area de
regiones m´ s complicadas: tri´ ngulos, paralelogramos, pol´gonos regulares, etc. El gran problema se plantea
a a ı
´
cuando se intenta calcular el area de regiones m´ s generales que las poligonales.
a
Los primeros matem´ ticos que intentaron resolver el problema de una forma seria fueron los griegos, utilizando el
a
m´ todo de “exhauci´ n”. Este m´ todo, atribuido a Arqu´medes, consiste en encajar la regi´ n entre dos pol´gonos,
e o e ı o ı
´
uno inscrito y otro circunscrito. Si la diferencia entre las areas de los dos pol´gonos es peque˜ a, entonces podemos
ı n
´ ´ ´
aproximar el area de la regi´ n por cualquier n´ mero comprendido entre el area del pol´gono inscrito y el area del
o u ı
pol´gono circunscrito.
ı
El m´ todo que emplearemos aqu´ es parecido. Se trata de aproximar la regi´ n por una uni´ n de rect´ ngulos de tal
e ı o o a

2. 62 ´
MATEM ATICAS
´ ´
forma que el area de la regi´ n se aproxime por la suma de las areas de los rect´ ngulos.
o a
2.2. La integral definida
2.2.1. El sumatorio
´
Como hemos indicado anteriormente, el area de una regi´ n se va a obtener como una suma (posiblemente infinita)
o
´
de areas de rect´ ngulos. Para facilitar la escritura y comprensi´ n de tal proceso, vamos a introducir una notaci´ n.
a o o
La suma de n t´ rminos a1 , a2 , . . . , an se denota por
e
n
ai = a1 + a2 + · · · + an ,
i=1
donde i se llama ´ndice de la suma, ai el i-´ simo t´ rmino de la suma y los l´mites inferior y superior de la
ı e e ı
suma son 1 y n, respectivamente. Estos l´mites deben ser constantes con respecto al ´ndice de la suma y la unica
ı ı ´
restricci´ n es que el l´mite superior debe ser cualquier entero superior (o igual) al l´mite inferior.
o ı ı
El sumatorio posee las siguientes propiedades:
n n
(1) kai = k ai , donde k es una constante que no depende del ´ndice de la suma.
ı
i=1 i=1
n n n
(2) [ai ± bi ] = ai ± bi
i=1 i=1 i=1
Por ejemplo, algunas f´ rmulas de suma importantes son las siguientes:
o
n
(1) c = cn.
i=1
n
n(n + 1)
(2) i= .
i=1
2
n
n(n + 1)(2n + 1)
(3) i2 = .
i=1
6
n
n2 (n + 1)2
(4) i3 = .
i=1
4
2.2.2. Sumas de Riemann
Consideremos una funci´ n f definida en el intervalo cerrado [a, b]. Una partici´ n P de dicho intervalo es un
o o
conjunto de n´ meros {x0 , x1 , x2 , . . . , xn } tales que
u
a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn−1 < xn = b.

3. ´
C ALCULO INTEGRAL 63
Si ∆xi es la anchura del i-´ simo subintervalo [xi−1 , xi ], es decir, ∆xi = xi − xi−1 , entonces se define la norma
e
de P, y se denota por ||P ||, como la longitud del subintervalo m´ s grande. En otras palabras,
a
||P || = max {∆xi } = max{∆x1 , ∆x2 , . . . , ∆xn }.
1 i n
Si ci es cualquier punto del subintervalo i-´ simo, entonces la suma
e
n
f (ci )∆xi , xi−1 ci xi ,
i=1
se llama suma de Riemann de la funci´ n f asociada a la partici´ n P . Entre todos los posibles valores de ci ,
o o
podemos destacar los siguientes:
(1) ci = mi para todo i, donde f (mi ) es el valor m´nimo de f en el i-´ simo subintervalo. Entonces la suma de
ı e
Riemann
n
s(f, P ) = f (mi )∆xi
i=1
se denomina suma inferior de f asociada a P (ver Figura 3.1).
y y = f (x)
¹
x
0 a b
Figura 3.1: Suma inferior de Riemann.
(2) ci = Mi para todo i, donde f (Mi ) es el valor m´ ximo de f en el i-´ simo subintervalo. Entonces la suma
a e
de Riemann
n
S(f, P ) = f (Mi )∆xi
i=1
se denomina suma superior de f asociada a P (ver Figura 3.2).
n
Es f´ cil comprobar que s(f, P )
a f (ci )∆xi S(f, P ) para cualquier partici´ n P del intervalo [a, b].
o
i=1
Una funci´ n f definida en [a, b] se dice integrable en [a, b] si existe el l´mite de las sumas de Riemann de f
o ı
(cuando la norma de P tiende a 0) y denotamos este l´mite mediante
ı
n b
lim f (ci )∆xi = f (x)dx.
||P ||→0 a
i=1

4. 64 ´
MATEM ATICAS
y = f (x)
y
¹
x
0 a b
Figura 3.2: Suma superior de Riemann.
Dicho valor se denomina integral definida de f entre a y b. a y b son los l´mites inferior y superior de integraci´ n,
ı o
respectivamente.
No todas las funciones son integrables. Sin embargo, el siguiente resultado nos garantiza que la familia de funcio-
nes integrables en un intervalo es muy grande: “Toda funci´ n continua en un intervalo cerrado [a, b] es integrable
o
en dicho intervalo ”.
o ´
La relaci´ n entre el area de una regi´ n y el concepto de integral definida queda reflejada en el siguiente resultado:
o
´
Si f es continua y no negativa en un intervalo cerrado [a, b], entonces el area de la regi´ n limitada por f , el eje x
o
y las l´neas verticales x = a y x = b viene dada por
ı
b
´
area = f (x)dx.
a
2.2.3. Propiedades de la integral definida
La integral definida de una funci´ n f satisface las siguientes propiedades:
o
a
(1) f (x)dx = 0.
a
a b
(2) f (x)dx = − f (x)dx.
b a
b
(3) cdx = c(b − a).
a
b b b
(4) [f (x) ± g(x)]dx = f (x)dx ± g(x)dx.
a a a
b b
(5) cf (x)dx = c f (x)dx.
a a

5. ´
C ALCULO INTEGRAL 65
b c b
(6) f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx.
a a c
(7) Si f es no negativa en el intervalo cerrado [a, b] entonces
b
f (x)dx 0.
a
(8) Si f y g son integrables en [a, b] satisfaciendo que f (x) g(x) para todo valor de x en [a, b], entonces
b b
f (x)dx g(x)dx.
a a
(9) Si m f (x) M para todo valor de x en [a, b] entonces
b
m(b − a) f (x)dx M (b − a).
a
b b
(10) f (x)dx |f (x)|dx.
a a
2.3. La integral indefinida
El problema de la integraci´ n puede interpretarse como el problema dual de la derivaci´ n, y tal relaci´ n queda
o o o
claramente de manifiesto en el Teorema Fundamental del C´ lculo. Antes de llegar a este teorema important´simo,
a ı
necesitamos introducir el concepto de primitiva (o antiderivada).
Sean f y F dos funciones. Se dice que F es una primitiva (o antiderivada) de la funci´ n f si F (x) = f (x)
o
para todo valor posible de x.
El siguiente resultado es de una importancia crucial, ya que nos garantiza que cualquier primitiva de una funci´ n
o
puede ser obtenida mediante la adici´ n de una constante a una primitiva conocida. Esta ser´ la base del segundo
o a
teorema del c´ lculo integral o Regla de Barrow.
a
Si F es una primitiva de f en un intervalo I , entonces G es tambi´ n una primitiva de F en el intervalo I si y s´ lo
e o
si
G(x) = F (x) + C
para todo valor de x, siendo C una constante.
Como una notaci´ n, cualquier primitiva de la funci´ n f se indicar´ por
o o a
f (x)dx,
y se denominar´ , gen´ ricamente, integral indefinida de f .
a e
Como consecuencia de lo anterior y de las propiedades de la derivaci´ n de funciones, se tienen las siguientes
o
propiedades:
(1) 0dx = C.
(2) kdx = kx + C.

6. 66 ´
MATEM ATICAS
(3) kf (x) = k f (x)dx.
(4) [f (x) ± g(x)]dx = f (x)dx ± g(x)dx.
xn+1
(5) xn dx = + C.
n+1
2.3.1. Primer Teorema Fundamental del C´ lculo Integral
a
Si f es una funci´ n continua en [a, b], entonces la funci´ n F definida por
o o
x
F (x) = f (t)dt
a
es continua en [a, b], diferenciable en (a, b) y satisface que F (x) = f (x).
2.3.2. Segundo Teorema Fundamental del C´ lculo Integral
a
Si f es una funci´ n continua en [a, b] entonces
o
b
f (x)dx = F (b) − F (a)
a
donde F es cualquier primitiva de f en el intervalo [a, b].
2.4. M´ todos de integraci´ n
e o
2.4.1. Integrales de las funciones elementales
Las reglas del c´ lculo integral descritas anteriormente permiten encontrar la integral indefinida de ciertas funcio-
a
a a ´
nes a partir de la integral indefinida de otras funciones m´ s elementales o b´ sicas. Pero en ultimo extremo, la
integral indefinida de estas funciones b´ sicas debe obtenerse a partir de la definici´ n. Para facilitar la b´ squeda de
a o u
integrales indefinidas, en la Tabla 3.1 listamos algunas de las m´ s elementales; la lista no es demasiado exhaustiva
a
y siempre se puede recurrir a cualquiera de los libros recomendados para obtener una tabla m´ s completa.
a
2.4.2. Integraci´ n por cambio de variable
o
El m´ todo de integraci´ n por sustituci´ n o cambio de variable se apoya en el siguiente resultado te´ rico.
e o o o

7. ´
C ALCULO INTEGRAL 67
xn+1
kdx = kx + C xn dx = +C
n+1
1
dx = ln |x| + C ex dx = ex + C
x
ax
ax dx = +C cos xdx = sen x + C
ln a
sen xdx = − cos x + C tan xdx = − ln | cos x| + C
cotan xdx = ln | sen x| + C sec xdx = ln | sec x + tan x| + C
cosec xdx = − ln | cosec x + cotan x| + C sec2 xdx = tan x + C
cosec2 xdx = − cotan x + C sec x tan xdx = sec x + C
dx x
cosec x cotan xdx = − cotan x + C √ = arcsen + C
a2 −x 2 a
dx 1 x dx 1 |x|
= arctan + C √ = arcsec +C
a2 +x 2 a a x x 2 − a2 a a
cosh xdx = senh x + C senh xdx = cosh x + C
´ ´ ´
Tabla 3.1: Formulas basicas de integracion.

8. 68 ´
MATEM ATICAS
Sean f y g funciones tales que f ◦ g es una funci´ n continua en un intervalo I . Si F es una primitiva de f en I ,
o
entonces
f (g(x))g (x)dx = F (g(x)) + C.
Como consecuencia de lo anterior, podemos utilizar la siguiente estrategia:
(1) Escoger una sustituci´ n u = g(x) adecuada.
o
(2) Hallar du = g (x)dx.
(3) Reescribir la integral en t´ rminos de la nueva variable u.
e
(4) Calcular la integral resultante en t´ rminos de u.
e
(5) Cambiar u por g(x) para obtener la primitiva en t´ rminos de x.
e
2.4.3. Integraci´ n por partes
o
e ´
Esta t´ cnica es especialmente util cuando la funci´ n a integrar es un producto de funciones algebraicas o trascen-
o
dentes, de tal suerte que un factor se deriva f´ cilmente y otro factor se integra sin mucha dificultad. El m´ todo se
a e
sustenta en el siguiente resultado te´ rico:
o
Si u y v son funciones de x y tienen derivadas continuas, entonces
udv = uv − vdu.
La estrategia que debe utilizarse para utilizar este m´ todo es la siguiente:
e
(1) Tratar de que dv sea la parte m´ s complicada del integrando que se ajusta a una f´ rmula de integraci´ n
a o o
b´ sica. Entonces u ser´ el resto del integrando.
a a
(2) Alternativamente, tratar de que u sea la parte del integrando cuya derivada es una funci´ n m´ s simple que
o a
u. Entonces dv ser´ el factor restante del integrando.
a
Algunas de las integrales por partes m´ s comunes se ofrecen a continuaci´ n:
a o
(1) xn eax dx, xn sen axdx, xn cos axdx
Considerar u = xn y dv = eax dx, sen axdx, cos axdx, respectivamente.
(2) xn ln xdx, xn arcsen axdx, xn arctan axdx
Considerar u = ln x, arcsen ax, arctan ax y dv = xn dx, respectivamente.
(3) eax cos bxdx, eax sen bxdx
Tomar u = cos bx, sen bx y dv = eax dx, respectivamente.

9. ´
C ALCULO INTEGRAL 69
2.4.4. Integraci´ n de funciones racionales
o
La integraci´ n de funciones racionales se apoya en la t´ cnica de la descomposici´ n en fracciones simples, cuya
o e o
integraci´ n es m´ s sencilla. Sea la funci´ n racional R(x), donde
o a o
P (x) b0 + b1 x + · · · + bn xn
R(x) = = .
Q(x) a 0 + a 1 x + · · · + a m xm
R es una funci´ n racional propia si el grado del denominador es mayor que el grado del numerador, es decir m >
o
n. En caso contrario, la funci´ n R se dice que es impropia. Podemos restringirnos, sin p´ rdida de generalidad, al
o e
caso de funciones racionales propias, ya que de no ser as´ siempre podemos dividir el polinomio P entre Q para
ı
obtener
S(x)
R(x) = C(x) + ,
Q(x)
donde la funci´ n racional S(x)/Q(x) ya es propia.
o
Para descomponer una funci´ n racional propia en fracciones simples debemos seguir los siguientes pasos:
o
(1) Factorizar el denominador. Hay que descomponer completamente el denominador Q(x) en factores de la
forma
(px + q)k
y
(ax2 + bx + c)k ,
donde ax2 + bx + c es irreducible (tiene ra´ces complejas).
ı
(2) Factores lineales. Por cada factor de la forma (px+q)k , la descomposici´ n en factores simples debe incluir
o
la siguiente suma de k fracciones simples:
A1 A2 Ak
+ + ··· + .
(px + q) (px + q)2 (px + q)k
(3) Factores cuadr´ ticos. Por cada factor de la forma (ax2 + bx + c)k , la descomposici´ n en factores simples
a o
debe incluir la siguiente suma de k fracciones:
B1 x + C 1 B2 x + C2 Bk x + Ck
+ + ··· + .
(ax2 + bx + c) (ax2 + bx + c)2 (ax2 + bx + c)k
Cuando el denominador tiene factores de multiplicidad mayor que uno, entonces la obtenci´ n de la integral indefi-
o
nida puede ser muy laboriosa. En estos casos es recomendable utilizar el siguiente m´ todo, que tambi´ n es v´ lido
e e a
en cualquier otra situaci´ n.
o
2.4.4.1. M´ todo de Hermite-Ostrogradski
e
Consideremos la funci´ n racional R = P/Q, entonces
o
P (x) X(x) Y (x)
dx = + dx,
Q(x) Q1 (x) Q2 (x)
donde Q1 (x) es el m´ ximo com´ n divisor de Q(x) y de su derivada Q (x), Q2 (x) es el cociente Q(x)/Q1 (x),
a u
y los polinomios X(x) e Y (x) son polinomios con coeficientes indeterminados cuyos grados son inferiores en
una unidad a los grados de Q1 (x) y Q2 (x), respectivamente. Los polinomios X e Y se calculan derivando en la
igualdad anterior, de forma que se tiene
P (x) X (x)Q1 (x) − Q1 (x)X(x) Y (x)
= + .
Q(x) Q1 (x)2 Q2 (x)

10. 70 ´
MATEM ATICAS
2.4.5. Integraci´ n de funciones trigonom´ tricas
o e
2.4.5.1. Integrales de senos y cosenos
En este apartado vamos a resolver las integrales de la forma
senm x cosn xdx,
siendo m o n un entero positivo. Se deben seguir las siguientes reglas:
(1) Si n = 2k + 1 es impar, n > 1, entonces se utilizan las igualdades siguientes:
cosn x = cosn−1 x cos x
cos2 x = 1 − sen2 x
y la integral queda
senm x cosn xdx = senm x(1 − sen2 x)k cos xdx = tm (1 − t2 )k dt
donde la ultima igualdad se obtiene tras realizar el cambio de variable t = sen x.
´
(2) Si m = 2k + 1 es impar, m > 1, entonces se utilizan las igualdades siguientes:
senm x = senm−1 x sen x
sen2 x = 1 − cos2 x
y la integral queda
senm x cosn xdx = (1 − cos2 x)k cosn x sen xdx = − tn (1 − t2 )k dt
donde la ultima igualdad se obtiene tras realizar el cambio de variable t = cos x.
´
(3) Si m y n son pares y no negativos entonces se utilizan las siguientes f´ rmulas de reducci´ n:
o o
1
sen x cos x = sen 2x
2
1
sen2 x = (1 − cos 2x)
2
1
cos2 x = (1 + cos 2x)
2
2.4.5.2. Integrales de secantes y tangentes
En este apartado vamos a resolver las integrales de la forma
secm x tann xdx,
siendo m o n un entero positivo. Se deben seguir las siguientes reglas:

11. ´
C ALCULO INTEGRAL 71
(1) Si m = 2k es positivo y par, entonces utilizamos la igualdad
sec2 x = 1 + tan2 x
y la integral queda:
secm x tann xdx = (sec2 x)k−1 tann x sec2 xdx
= (1 + tan2 x)k−1 tann x sec2 xdx
= (1 + u2 )k−1 un du
donde la ultima igualdad se obtiene mediante el cambio de variable u = tan x.
(2) Si n = 2k + 1 es positivo e impar, entonces utilizamos la igualdad
tan2 x = sec2 x − 1
y la integral queda:
secm x tann xdx = secm−1 x(tan2 x)k sec x tan xdx
= secm−1 x(sec2 x − 1)k sec x tan xdx
= um−1 (u2 − 1)k du
donde la ultima igualdad se obtiene mediante el cambio de variable u = sec x.
(3) Si m y n son impares, se transforma un factor tan2 x en sec2 x − 1 y se aplican los casos anteriores. Si es
necesario, se vuelve a aplicar esta transformaci´ n.
o
(4) Si n = 0 y m es impar y positivo, entonces se utiliza integraci´ n por partes:
o
u = secm−2 x
dv = sec2 xdx
(5) Si n = 0 y m es par y positivo, se utiliza el cambio de variable t = tan x y la integral queda
m−2 m−2 m−2
secm xdx = (sec2 x) 2 sec2 x = (1 + tan2 x) 2 sec2 xdx = (1 + t2 ) 2 dt
(6) Si no se puede aplicar ninguna de las reglas anteriores, debemos intentar convertir la integral a senos y
cosenos.
2.4.5.3. Cambios de variable trigonom´ tricos
e
Las sustituciones trigonom´ tricas se emplean en integrales donde aparacen los siguientes radicales:
e
a 2 − x2 , a 2 + x2 , x2 − a 2 .
Los cambios que deben hacerse son los siguientes:
√ √
(1) Para integrales que contienen a2 − x2 , hacer x = a sen t. Entonces
a2 − x2 = a cos t.
√ √
(2) Para integrales que contienen a2 + x2 , hacer x = a tan t. Entonces a2 + x2 = a sec t.
√ √
(3) Para integrales que contienen x2 − a2 , hacer x = a sec t. Entonces a2 − x2 = ±a tan t. El signo + o
− depende de si x > a o x < −a, respectivamente.

12. 72 ´
MATEM ATICAS
2.4.5.4. Funciones racionales de senos y cosenos
Para las integrales de funciones racionales en senos y cosenos existen varios cambios de variable especiales. Se
trata de calcular la integral
R(sen x, cos x)dx,
donde R es una funci´ n racional. Los cambios apropiados son los siguientes:
o
(1) Si R es impar en sen x, es decir, R(− sen x, cos x) = −R(sen x, cos x), entonces debemos hacer t = cos x.
(2) Si R es impar en cos x, es decir, R(sen x, − cos x) = −R(sen x, cos x), entonces debemos hacer t = sen x.
(3) Si R(− sen x, − cos x) = R(sen x, cos x), entonces debemos hacer t = tan x.
(4) Si no se puede aplicar ninguno de los casos anteriores, entonces hacemos el cambio universal t = tan(x/2),
de modo que
2t
sen x = ,
1 + t2
1 − t2
cos x = ,
1 + t2
2dt
dx = .
1 + t2
2.4.6. Integrales irracionales
No siempre es posible expresar la integral de una funci´ n irracional mediante funciones elementales. En esta
o
secci´ n veremos algunos tipos de funciones irracionales que s´ permiten expresar su integral indefinida por medio
o ı
de funciones elementales.
2.4.6.1. Integrales del tipo R(x, xp1 /q1 , . . . , xpk /qk )dx
Se efect´ a la sustituci´ n
u o
x = tm ,
siendo m el m´nimo com´ n m´ ltiplo de {q1 , q2 , . . . , qk }.
ı u u
p1 /q1 pk /qk
ax + b ax + b
2.4.6.2. Integrales del tipo R(x, ,..., )dx
cx + d cx + d
Se efect´ a la sustituci´ n
u o
ax + b
= tm ,
cx + d
siendo m el m´nimo com´ n m´ ltiplo de {q1 , q2 , . . . , qk }.
ı u u

13. ´
C ALCULO INTEGRAL 73
2.4.6.3. Integrales del tipo R(x, ax2 + bx + c)dx
Se efect´ an las siguientes sustituciones:
u
(1) Si a > 0 entonces hacemos
√
ax2 + bx + c = ± ax + t,
con lo que
t2 − c
x= √ .
b − 2 at
(2) Si ax2 + bx + c = a(x − α)(x − β), siendo α y β las ra´ces reales, entonces hacemos
ı
ax2 + bx + c = (x − α)t,
de modo que
aβ − αt2
x= .
a − t2
2.4.6.4. Integrales del tipo xm (a + bxn )p dx
Estas integrales se conocen con el nombre de integrales binomias, y los exponentes m, n y p deben ser n´ meros
u
racionales. En primer lugar se realiza el cambio de variable t = xn y la integral se transforma en la siguiente
1
xm (a + bxn )p dx = tq (a + bt)p dt,
n
m+1
donde q = − 1. La integral anterior se puede calcular expl´citamente en los siguientes casos:
ı
n
(1) Si p es entero entonces se desarrolla el binomio (a + bt)p o (a + bt)−p , seg´ n sea p positivo o negativo, y
u
se obtiene una integral irracional del tipo R(x, xp1 /q1 , . . . , xpk /qk ).
(2) Si p no es entero pero q s´ lo es, entonces la integral se transforma en una irracional del tipo R(t, (a+bt)r/s ).
ı
(3) Si p no es entero pero p + q s´, entonces la integral se transforma en una integral irracional del tipo
ı
r/s
a + bt
R t, .
t
2.5. Aplicaciones del c´ lculo integral
a
2.5.1. Area de la regi´ n entre dos curvas
o
´
Ya hemos visto que el area que hay bajo una curva se puede calcular utilizando la integral definida. Con muy
escasas modificaciones podemos calcular el area que hay entre dos curvas. Consideremos dos funciones f y g
´

14. 74 ´
MATEM ATICAS
definidas en un intervalo [a, b] tales que f (x) g(x) para todo valor x de [a, b]. Entonces el area de la regi´ n
´ o
limitada por las gr´ ficas de f y g y las l´neas rectas x = a y x = b viene dada por
a ı
b
A= [f (x) − g(x)]dx.
a
´ ´
Figura 3.3: Area de la region comprendida entre dos graficas.
En general, puede ocurrir que no siempre se verifique f (x) g(x) ni lo contrario. Entonces debemos dividir el
intervalo [a, b] en subintervalos donde s´ ocurra, aplicar la f´ rmula anterior en cada subintervalo y posteriormente
ı o
sumar los resultados. En otras palabras:
´
El area de la regi´ n limitada por las gr´ ficas de dos funciones f y g , y las l´neas rectas x = a y x = b viene dada
o a ı
por
b
A= |f (x) − g(x)|dx.
a
2.5.2. C´ lculo de volumenes de los s´ lidos de revoluci´ n
a ´ o o
En esta secci´ n vamos a calcular el volumen de un s´ lido tridimensional que aparece frecuentemente en ingenier´a
o o ı
y en procesos de producci´ n. Nos estamos refiriendo a los s´ lidos de revoluci´ n, los cuales se obtienen al hacer
o o o
girar una regi´ n plana alrededor de una recta contenida en el mismo plano y que no corta a la regi´ n. Ejemplos de
o o
s´ lidos de revoluci´ n son el cilindro circular recto, la esfera y el toro.
o o
2.5.2.1. M´ todo de discos
e
Para calcular el volumen de un s´ lido de revoluci´ n por el m´ todo de discos, debemos utilizar las siguientes
o o e
f´ rmulas:
o
(1) Si el eje de revoluci´ n es horizontal:
o
b
V =π [R(x)]2 dx.
a
En este caso estamos suponiendo que la regi´ n plana que gira es la regi´ n limitada por la gr´ fica de R(x),
o o a
el eje x, y las l´neas rectas x = a y x = b. Como eje de revoluci´ n se considera el eje x.
ı o

15. ´
C ALCULO INTEGRAL 75
´ ´
Figura 3.4: Metodo de discos para el calculo de volumenes.
´
(2) Si el eje de revoluci´ n es vertical:
o
d
V =π [R(y)]2 dy.
c
En este caso estamos suponiendo que la regi´ n plana que gira es la regi´ n limitada por la gr´ fica de R(y),
o o a
el eje y, y las l´neas rectas y = c y y = d. Como eje de revoluci´ n se considera el eje y.
ı o
2.5.2.2. M´ todo de arandelas
e
Se utiliza este m´ todo cuando se trata de calcular el volumen de un s´ lido de revoluci´ n con un agujero. Este
e o o
tipo de s´ lidos aparecen cuando la regi´ n plana que gira y el eje de revoluci´ n no est´ n juntos. Supongamos que
o o o a
la regi´ n plana es la regi´ n determinada por las gr´ ficas de las funciones R(x) y r(x) (con R(x) r(x)), y las
o o a
l´neas rectas x = a y x = b. Si se gira esta regi´ n alrededor del eje x entonces el volumen del s´ lido resultante es
ı o o
b
V =π [R(x)2 − r(x)2 ]dx.
a
Si la regi´ n plana es la regi´ n determinada por las gr´ ficas de las funciones R(y) y r(y) (con R(y)
o o a r(y)), y las
´ ´
Figura 3.5: Metodo de arandelas para el calculo de volumenes.
´

16. 76 ´
MATEM ATICAS
l´neas rectas y = c y y = d. y se gira esta regi´ n alrededor del eje y entonces el volumen del s´ lido resultante es
ı o o
d
V =π [R(y)2 − r(y)2 ]dy.
c
2.5.2.3. M´ todo de capas
e
Consideremos la regi´ n plana determinada por la gr´ fica de una funci´ n f (x), y las rectas x = a, x = b e y = c.
o a o
El volumen del s´ lido de revoluci´ n obtenido al girar dicha regi´ n alrededor de un eje vertical x = x0 viene dado
o o o
por
b
V = 2π p(x)h(x)dx,
a
donde p(x) es la distancia de x al eje de revoluci´ n y h(x) es la distancia entre c y f (x). Usualmente, el eje de
o
revoluci´ n es el eje y y la regi´ n est´ junto al eje x, por lo que p(x) = x y h(x) = f (x).
o o a
´ ´
Figura 3.6: Metodo de capas para el calculo de volumenes.
´
Si consideramos la regi´ n plana determinada por la gr´ fica de una funci´ n f (y), y las rectas y = c, y = d y x = a,
o a o
el volumen del s´ lido de revoluci´ n obtenido al girar dicha regi´ n alrededor de un eje horizontal y = y0 viene
o o o
dado por
d
V = 2π p(y)h(y)dy,
c
donde p(y) es la distancia de y al eje de revoluci´ n y h(y) es la distancia entre a y f (y). Cuando el eje de
o
revoluci´ n es el eje x y la regi´ n est´ junto al eje y, entonces p(y) = y y h(y) = f (y).
o o a
2.5.3. C´ lculo de volumenes
a ´
Analicemos ahora un s´ lido S cualquiera. Vamos a suponer que existe una recta, que consideraremos el eje x,
o
y dos planos paralelos entre s´ y perpendiculares al eje, tales que el s´ lido se encuentra entre ambos planos (de
ı o
ecuaciones x = a y x = b). Cada plano x = x0 , a x0 b, paralelo a los anteriores y perpendicular al eje
intersecciona a S seg´ n una regi´ n (denominada secci´ n transversal) cuya area se denota por A(x0 ). Haciendo
u o o ´
esto para cada valor x0 en el intervalo [a, b] podemos construir una funci´ n A(x), definida en [a, b], que mide el
o
area de las secciones transversales. Entonces el volumen de S viene dado por
´
b
V = A(x)dx.
a

17. ´
C ALCULO INTEGRAL 77
Casos particulares de esta f´ rmula han sido obtenidos en la secci´ n anterior dedicada a los s´ lidos de revoluci´ n.
o o o o
2.5.4. Longitudes de curvas
Un segmento de curva se dice rectificable si tiene una longitud de arco finita. El problema de determinar la lon-
gitud de una curva es muy antiguo (algunas contribuciones ya fueron realizadas por los matem´ ticos C. Huygens
a
(1629–1695) y J. Gregory (1638–1675)) y no por ello es sencillo. Una condici´ n suficiente para que la gr´ fica de
o a
una funci´ n f sea rectificable entre los puntos (a, f (a)) y (b, f (b)) es que la derivada f sea una funci´ n continua
o o
en [a, b]. Se dice entonces que la funci´ n f es continuamente derivable o de clase C 1 .
o
El fundamento te´ rico que nos permite obtener una f´ rmula para la longitud de arco es el siguiente. Consideremos
o o
dos puntos xi−1 y xi en el intervalo [a, b]. Entonces por el teorema del valor medio se tiene
f (xi ) − f (xi−1 ) = f (ci )(xi − xi−1 ), ci ∈ (xi−1 , xi ).
Si aproximamos la longitud de arco de la curva por la longitud de una poligonal que se apoya en los puntos
{(xi , f (xi ))} entonces al tomar l´mites se obtiene
ı
n
Lb (f ) =
a lim (∆xi )2 + (∆yi )2
n→∞
i=1
n 2
∆yi
= lim 1+ ∆xi
n→∞
i=1
∆xi
n
= lim 1 + f (ci )2 ∆xi
n→∞
i=1
b
= 1 + f (x)2 dx
a
donde ∆xi = xi − xi−1 y ∆yi = f (xi ) − f (xi−1 ).
En consecuencia, obtenemos las siguientes f´ rmulas:
o
(1) Si la funci´ n y = f (x) representa una curva suave en el intervalo [a, b], la longitud de arco de f entre a y b
o
viene dada por
b
Lb (f ) =
a 1 + f (x)2 dx.
a
(2) Si la funci´ n x = g(y) representa una curva suave en el intervalo [c, d], entonces la longitud de arco de g
o
entre c y d es
d
Ld (g) =
c 1 + g (y)2 dy.
c
2.5.5. Areas de superficies de revoluci´ n
o
Si se gira la gr´ fica de una funci´ n continua alrededor de una recta, la superficie resultante se denomina superficie
a o
o ´ o o ´
de revoluci´ n. Para calcular el area de una superficie de revoluci´ n se parte de la f´ rmula del area de un tronco
de cono circular recto y se aplica a los conos obtenidos al rectificar la curva por medio de una poligonal que se
apoya en los puntos {(xi , f (xi ))}. El resultado obtenido es el siguiente.

18. 78 ´
MATEM ATICAS
´
Si y = f (x) tiene derivada continua en el intervalo [a, b], entonces el area de la superficie de revoluci´ n S formada
o
al girar la gr´ fica de f alrededor de un eje horizontal o vertical es
a
b
S = 2π r(x) 1 + f (x)2 dx,
a
donde r(x) es la distancia entre la gr´ fica de f y el eje de revoluci´ n correspondiente.
a o
2.6. Integrales impropias
La definici´ n de integral definida que hemos presentado requiere que el intervalo [a, b] de integraci´ n sea finito y
o o
que la funci´ n f a integrar sea continua. Sin embargo, existen funciones que no cumplen estos requisitos (bien
o
porque el intervalo no es finito o bien porque la funci´ n f presenta alguna discontinuidad) y que, sin embargo,
o
pueden ser integradas, en un sentido que precisaremos a continuaci´ n.
o
2.6.1. Intervalos infinitos
Cuando el intervalo de integraci´ n es infinito, se pueden presentar las siguientes posibilidades:
o
y
y = f (x)
¹
0 a x
Figura 3.7: Integrales impropias de primera clase.
(1) Si f es continua en [a, ∞), entonces
∞ b
f (x)dx = lim f (x)dx.
a b→∞ a
(2) Si f es continua en (−∞, b], entonces
b b
f (x)dx = lim f (x)dx.
−∞ a→−∞ a
(3) Si f es continua en (−∞, ∞) = R, entonces
∞ c ∞
f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx.
−∞ −∞ c
para cualquier n´ mero real c.
u

19. ´
C ALCULO INTEGRAL 79
Si los l´mites existen, la integral correspondiente se dice que converge o que es convergente; en caso contrario,
ı
diremos que la integral diverge o que es divergente.
2.6.2. Integrandos discontinuos
En este apartado analizamos la integrales impropias que aparecen cuando existe alguna discontinuidad infinita en
los l´mites de integraci´ n o en el interior del intervalo. Se pueden presentar las siguientes posibilidades:
ı o
y
y = f (x)
¹
0 a c b x
Figura 3.8: Integrales impropias de segunda clase.
(1) Si f es continua en [a, b) y presenta una discontinuidad infinita en b, entonces
b c
f (x)dx = lim−
f (x)dx.
a c→b a
(2) Si f es continua en (a, b] y presenta una discontinuidad infinita en a, entonces
b b
f (x)dx = lim+ f (x)dx.
a c→a c
(3) Si f es continua en [a, b] excepto en un punto c ∈ (a, b) donde presenta una discontinuidad infinita, entonces
b c b
f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx.
a a c
Si los l´mites existen, la integral correspondiente se dice que converge o que es convergente; en caso contrario,
ı
diremos que la integral diverge o que es divergente.
2.7. Integraci´ n num´ rica
o e
Hay ocasiones en las que es imposible determinar expl´citamente la integral indefinida de una funci´ n, por lo
ı o
´
que no podemos calcular el area que hay bajo la gr´ fica de la funci´ n utilizando la Regla de Barrow. En estos
a o
casos, s´ lo nos queda recurrir al c´ lculo num´ rico de dichas integrales, utilizando una t´ cnica de aproximaci´ n.
o a e e o
A continuaci´ n describimos algunos de los m´ todos m´ s sencillos.
o e a

20. 80 ´
MATEM ATICAS
2.7.1. Regla de las sumas inferiores y superiores
b
Sea f una funci´ n continua en [a, b]. La regla de las sumas inferiores para aproximar
o a
f (x)dx viene dada por
n
b
b−a b−a
f (x)dx ≈ f (mi ) = [f (m1 ) + f (m2 ) + · · · + f (mn )],
a n i=1
n
donde f (mi ) es el valor m´nimo de f en el i-´ simo subintervalo [xi−1 , xi ].
ı e
b
An´ logamente, la regla de las sumas superiores para aproximar
a a
f (x)dx viene dada por
n
b
b−a b−a
f (x)dx ≈ f (Mi ) = [f (M1 ) + f (M2 ) + · · · + f (Mn )],
a n i=1
n
donde f (Mi ) es el valor m´ ximo de f en el i-´ simo subintervalo [xi−1 , xi ].
a e
2.7.2. Regla de los extremos izquierdos y derechos
b
Sea f una funci´ n continua en [a, b]. La regla de los extremos izquierdos para aproximar a f (x)dx viene dada
o
por
n
b
b−a b−a
f (x)dx ≈ f (xi−1 ) = [f (x0 ) + f (x1 ) + · · · + f (xn−1 )].
a n i=1 n
b
An´ logamente, la regla de los extremos derechos para aproximar
a a
f (x)dx viene dada por
n
b
b−a b−a
f (x)dx ≈ f (xi ) = [f (x1 ) + f (x2 ) + · · · + f (xn )].
a n i=1
n
2.7.3. Regla del punto medio
b
Sea f una funci´ n continua en [a, b]. La regla del punto medio para aproximar
o a
f (x)dx viene dada por
n
b
b−a b−a
f (x)dx ≈ f (¯i ) =
x [f (¯1 ) + f (¯2 ) + · · · + f (¯n )],
x x x
a n i=1
n
donde xi es el punto medio del i-´ simo subintervalo [xi−1 , xi ], es decir, xi = 1 (xi−1 + xi ).
¯ e ¯ 2
2.7.4. Regla del trapecio
b
Sea f una funci´ n continua en [a, b]. La regla del trapecio para aproximar
o a
f (x)dx viene dada por
n
b
b−a f (xi−1 ) + f (xi ) b−a
f (x)dx ≈ = [f (a) + 2f (x1 ) + · · · + 2f (xn−1 ) + f (b)].
a n i=1
2 2n

21. ´
C ALCULO INTEGRAL 81
y y = f (x)
¹
x
0 a b
´ ´
Figura 3.9: Regla del punto medio para la integracion numerica.
y y = f (x)
¹
x
0 a b
´ ´
Figura 3.10: Regla del trapecio para la integracion numerica.
2.7.5. Regla de Simpson
La regla de los trapecios se obtiene de aproximar la curva por una poligonal, con lo que la regi´ n bajo la curva
o
o ´
se aproxima por una uni´ n de trapecios. En consecuencia, el area de dicha regi´ n se aproxima por la suma de las
o
´
areas de los trapecios. Otra posibilidad puede ser agrupar los puntos de la partici´ n de tres en tres y aproximar la
o
funci´ n por segmentos parab´ licos (en lugar de rectil´neos). Entonces la integral de la funci´ n se puede aproximar
o o ı o
por la integral de los segmentos parab´ licos.
o
b
Sea f una funci´ n continua en [a, b]. La regla de Simpson para aproximar
o a
f (x)dx viene dada por
b
b−a
f (x)dx ≈ [f (a) + 4f (x1 ) + 2f (x2 ) + 4f (x3 ) + · · · + 2f (xn−2 ) + 4f (xn−1 ) + f (b)],
a 3n
siendo n un n´ mero par.
u

22. 82 ´
MATEM ATICAS
y y = f (x)
p(x)
¹
a = x0 x1 x
0 b = x2
´ ´
Figura 3.11: Regla de Simpson para la integracion numerica.
2.7.6. Estimaci´ n de errores
o
Cuando se trabaja con aproximaciones es importante conocer con qu´ precisi´ n estamos calculando el valor de
e o
la integral. Adem´ s, es posible que alg´ n m´ todo sea sensiblemente mejor que los dem´ s, si bien puede que sea
a u e a
bajo ciertas hip´ tesis. A continuaci´ n enunciamos los errores que se cometen en las reglas de aproximaci´ n m´ s
o o o a
usuales.
b
(1) Si f tiene derivada segunda continua en [a, b], entonces el error EM cometido al aproximar a
f (x)dx por
la regla del punto medio es
M (b − a)3
|EM | ,
24n2
siendo M una cota superior para |f |, es decir, |f (x)| M para todo valor de x.
b
(2) Si f tiene derivada segunda continua en [a, b], entonces el error ET cometido al aproximar a
f (x)dx por
la regla del trapecio es
M (b − a)3
|ET | ,
12n2
siendo M una cota superior para |f |, es decir, |f (x)| M para todo valor de x.
b
(3) Si f tiene derivada cuarta continua en [a, b], entonces el error ES cometido al aproximar a
f (x)dx por la
regla de Simpson es
M (b − a)5
|ES | ,
180n4
siendo M una cota superior para |f (4) |, es decir, |f (4) (x)| M para todo valor de x.
´
3. ACTIVIDADES DE APLICACION DE LOS CONOCIMIENTOS
A.3.1. Hallar la integral indefinida y comprobar el resultado por derivaci´ n:
o

23. ´
C ALCULO INTEGRAL 83
√ 1 1
3
xdx dx √ dx
x2 x x
1
x(x2 + 3)dx (x3/2 + 2x + 1)dx dx
(2x)3
1
(x3 + 2)dx (x2 − 2x + 3)dx dx
2x3
√ 1 √
3
√4
x+ √ dx x2 dx ( x3 + 1)dx
2 x
x3 − 3x2 + 3x − 1 x4 − 1
(x2 − 2x + 1)2 dx dx dx
x2 − 2x + 1 √ − 12
x
x(x + 1)
(2x − 1)2 (3x + 1)dx (x2 − 1)(x + 1)dx dx
x5/3
√ √
x4 (x2 − 1)3 dx x5 x−4/3 (x3 − 1)dx 3(4x − 2)2 dx
3 3
A.3.2. Hallar la integral indefinida y comprobar el resultado por derivaci´ n:
o
1 1 1
dx dx dx
x3 x4 4x2
2 2
x +x+1 x +1
(2x + x−1/2 )dx √ dx dx
x x2
t2 + 2
(x + 1)(3x − 2)dx (2t2 − 1)2 dt dt
t2
√
(1 − 2y + 3y 3 )dy y 2 ydy (1 + 3t)t2 dt
A.3.3. Hallar la integral indefinida y comprobar el resultado por derivaci´ n:
o
2(1 + 2x)4 dx x 9 − x2 dx x2 (x3 − 1)4 dx
3 x2 4x
5x 1 − x2 dx dx √ dx
(1 + x3 )2 16 − x2
3
x+1 1 1 1
dx 1+ dt √ dx
(x2 + 2x − 3)2 t t2 2x
x2 + 3x + 7 2 √
√ dx t2 t − dt (9 − y) ydy
x t
A.3.4. Calcular las siguientes integrales indefinidas por el m´ todo del cambio de variable:
e
√ √ x2 − 1
x x + 2dx x2 1 − xdx √ dx
2x − 1
−x x
√ dx √ dx x(x2 + 1)3 dx
(x + 1) − x + 1 2x + 1
1 1 √
√ dx √ √ dx (x − 1) 2 − xdx
2x + 1 x(1 + x)2
√ √ 3
x x − 3dx x 3 x + 1dx x 4 + x2 dx
A.3.5. Calcular las siguientes integrales:

24. 84 ´
MATEM ATICAS
3
e−2x dx (x2 − 1)2x −3x+1
dx e1−x dx
e−x 2 e3/x
dx xeax dx dx
(1 + e−x )2 x2
√ ex + e−x
e−x (1 + e−x )2 dx ex 1 − ex dx √ dx
ex + e−x
5 − ex 2
dx (ex − e−x )2 dx (3 − x)e(x−3) dx
e2x
A.3.6. Calcular las siguientes integrales:
1 1 x
dx dx dx
x+1 3 − 2x x2 + 1
x2 − 4 ln x (1 + ln x)2
dx dx dx
x 2x x
2 2
x −2 1 x + 2x + 3
dx √ dx dx
x+1 x+1 x3 + 3x2 + 9x
√
1 1 x
dx √ dx √ dx
x2/3 (1 + x1/3 ) 1+ x x−3
A.3.7. Calcular las siguientes integrales:
√
x x(x − 2)
√ dx dx 3x dx
1−x x (x − 1)3
2 e−x
2x dx x5x dx dx
√ 1 + e−x
1− x 1
√ dx √ dx 4−x dx
1+ x 1 + 2x
2 ex − e−x (ln x)2
(3 − x)7(x−3) dx dx dx
ex + e−x x
A.3.8. Calcular las siguientes integrales trigonom´ tricas:
e
2 cos xdx 3x2 sen x3 dx sec2 3xdx
√
sec2 x
tan2 xdx (cosec x + sen x) cosec xdx √ dx
x
sen x
sen2 3x cos 3xdx 4 cos2 4x sen 4xdx dx
cos2 x
sec2 x
√ dx tan xdx sec xdx
tan x
A.3.9. Calcular las siguientes integrales trigonom´ tricas:
e
(2 sen x + 3 cos x)dx (t2 − sen t)dt (1 − cosec t cotan t)dt
(sec2 θ − sen θ)dθ sen(2x)dx x cos(x2 )dx
x cosec2 x
sec2 dx dx cotan2 xdx
2 cotan3 x
tan4 x sec2 xdx cotan πxdx cosec 2xdx

25. ´
C ALCULO INTEGRAL 85
A.3.10. Calcular las siguientes integrales trigonom´ tricas:
e
sec2 x sec x tan x
dx dx (sen 2x + cos 2x)2 dx
tan x sec x − 1
1 − cos θ
dθ ex cos ex dx (cosec 2θ − cotan 2θ)2 dθ
θ − sen θ
cos t
dt e−x tan e−x dx sen 2x cos 2xdx
1 + sen t
A.3.11. Calcular las siguientes integrales de las funciones trigonom´ tricas inversas:
e
1 1 1
√ dx dx √ dx
4 − x2 2 + 9x2 e2x − 1
x+2 3x2 − 2 1
√ dx dx dx
4 − x2 x2 + 4 x2 − 4x − 7
1 1 x
2 − 8x + 10
dx dx √ dx
2x 3x − x2 x 2−1
1 1 1
dx dx √ dx
1 − 9x2 1 + 4x2 x 4x2 − 1
A.3.12. Calcular las siguientes integrales:
x3 1 1
dx dx √ dt
x2 +1 1 − (x + 1)2 1 − t4
arctan x arcsen x x
dx √ dx √ dx
1 + x2 1 − x2 1 − x2
ex 1 1
√ dx 2 − 6x + 18
dx √ dx
1 − e2x x x(1 + x)
sen x 1 2x
dx dx dx
1 + cos2 x x2 − 2x + 2 x2 + 6x + 13
A.3.13. Calcular las siguientes integrales:
1 x+2 2x − 3
√ dx √ dx √ dx
−x2 − 4x −x2 − 4x √4x − x
2
x 1 x−1
4 + 2x2 + 2
dx √ dx dx
x −16x 2 + 16x − 3 x
√ 1 1
et − 3dt √ dx dx
(x − 1) x2 − 2x x2 + 6x + 13
A.3.14. Calcular las siguientes integrales de funciones hiperb´ licas:
o
cosh x
senh(1 − 2x)dx cosh2 (x − 1) senh(x − 1)dx dx
senh x
x2 cosech(1/x) cotanh(1/x)
x cosech2 dx dx senh2 xdx
2 x2
1 2 x
√ √ dx √ dx dx
x 1+x 1 − 4x2 x4 + 1
1 1 1
√ dx dx dx
1 + e2x 1 − 4x − 2x2 25 − x2
A.3.15. Calcular las siguientes integrales:

26. 86 ´
MATEM ATICAS
1
(3x − 2)4 dx (−2x + 5)3/2 dx v+ dv
(3v − 1)3
t2 − 3 x2 ex
dt dx dx
−t3 + 9t + 1 x−1 1 + ex
(1 + et )2
t sen2 tdt cos xesen x dx dt
et
2 1
sec 3x tan 3xdx dx dx
e−x +1 1 − cos x
A.3.16. Calcular las siguientes integrales:
2t − 1 3 1
dt dt √ dx
t2 + 4 t2+1 x x2 − 4
−1 t sec2 x
dt √ dt dx
1 − (2t − 1)2 1 − t4 4 + tan2 x
3
tan(2/t) 1
dt (1 + 2x2 )2 dx x 1+ dx
t2 x
3 4
(1 + ex )2 dx √ dx 2 + 4x + 65
dx
6x − x2 4x
A.3.17. Calcular las siguientes integrales:
2
xe2x dx xex dx xe−2x dx
x3 ex dx x3 ln xdx t ln(t + 1)dt
2
(ln x) xe2x
(ln x)2 dx dx dx
x (2x + 1)2
√ x2
(x2 − 1)ex dx x x − 1dx √ dx
2 + 3x
A.3.18. Calcular las siguientes integrales:
cos3 x sen xdx sen5 2x cos 2xdx sen5 x cos2 xdx
cos2 3xdx sen4 πxdx sen2 x cos2 xdx
x sen2 xdx x2 sen2 xdx sec 3xdx
sec4 5xdx sec3 πxdx tan3 (1 − x)dx
A.3.19. Calcular las siguientes integrales:
tan5 (x/4)dx sec2 x tan xdx tan2 x sec2 xdx
sec5 πx tan πxdx sec6 4x tan 4xdx sec3 x tan xdx
tan3 3x sec 3xdx cotan3 2xdx cosec4 θdθ
cotan2 t
dt sen 3x cos 2xdx sen θ sen 3θdθ
cosec t