1. Simetria

9. Estes planos passam todos pelo centro do cubo e, se forem considerados em conjunto, dividem a superfície do cubo em 48 triângulos iguais e o próprio cubo em 48 pirâmides iguais que têm por base os 48 triângulos e por vértice o centro do cubo. Se escolhermos como referência uma destas 48 pirâmides, cada simetria do cubo leva-a para uma das 48 posições possíveis, inclusive a inicial (neste último caso, é como se o cubo inteiro tivesse permanecido imóvel, sendo esta simetria chamada transformação identidade). Por exemplo, na figura ao lado podemos observar para onde se desloca a pirâmide após uma rotação de meia volta em torno de uma recta S; e nesta figura, vemos a pirâmide reflectida num dos planos de simetria do cubo; note-se que esta segunda pirâmide por sua vez reflectida no plano volta à posição inicial (a composta da reflexão com ela própria é a identidade).

10. Para perceber quais são as 48 simetrias do cubo, podemos começar por ver quais delas são rotações, identificando, antes de mais, quais são os possíveis eixos de rotação, ou seja, as rectas em torno das quais devemos rodar o cubo de modo a que seja enviado em si mesmo. Estas rectas podem ser de três tipos: rectas que passam pelo centro de duas faces opostas. As rotações em torno destas rectas de 1/4, 1/2 e 3/4 de volta são simetrias do cubo, assim como a rotação de 0 voltas, que corresponde à identidade. No cubo existem três rectas distintas deste tipo e, por isso, podemos identificar 10 simetrias. rectas que passam pelos pontos médios de duas arestas opostas. As rotações em torno destas rectas, que fixam o cubo (para além da identidade) são apenas as de meia volta; as rectas deste tipo são seis, pelo que encontramos mais seis simetrias do cubo. rectas que passam por dois vértices opostos. Neste último caso, o cubo pode ser rodado de 1/3 ou 2/3 de volta; existem quatro pares de vértices opostos e, por isso, mais oito simetrias de rotação.

12. Todavia existem figuras que podem ter vários eixos de simetria ou nenhum. A simetria bilateral é imediatamente detectada nesta imagem da cabeça de uma coruja . No dente-de-leão é facilmente perceptível o arranjo em simetria radial.

13. Mas a assimetria (ou a não-simetria) é uma característica que também ocorre. Verificam-se mesmo alguns casos invulgares que têm deixado intrigados os observadores, como sucede, por exemplo, com a solha. Notem-se, no caso do peixe achatado , os dois olhos na mesma face, assim como a boca deformada.

14. Podemos encontrar outras formas de assimetria, mas igualmente relacionadas com a matemática. Um das mais frequentes, sobretudo entre as plantas, mas também presente no reino animal é a espiral, reconhecível no desenho das conchas de caracóis, búzios e afins. É facilmente identificada, no caracol , a forma espiralada exibida pela casca.

15. Com este trabalho conclui que até o nosso corpo é simétrico e que quase tudo à nossa volta também é simétrico.