3 Técnicas y Herramientas Cuantitativas para la Gestion de la Incertidumbre en los Proyectos-Parte I

3 T&H Cuantitativas para
Gestionar la Incertidumbre
en los Proyectos

Parte I

Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP
Julio de 2010

Agenda
Objetivo
El problema de la Incertidumbre
Incertidumbre y el PMBOK
Fundamentos de Probabilidad
◦ Probabilidad
◦ Eventos mutuamente excluyentes e independientes
◦ Variables aleatorias
◦ Distribuciones de Probabilidad
◦ El Teorema Central del Límite
PERT recargado
Análisis Monte Carlo
Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 2

Objetivo

Trabajar sobre el tema de la
incertidumbre en los
proyectos y analizar técnicas
y herramientas cuantitativas
(especialmente
probabilísticas) que nos
permitan gestionar la misma

“You cannot be certain about uncertainty”


Accidente TERAC 25
3 pacientes muertos

Incertidumbre

Túnel del Canal de la
Mancha
Atraso > 2 años 140% sobrecosto
Funciones recortadas Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 4

Incertidumbre

“Uncertainty is therefore imperfect knowledge and
risk is uncertain consequences”

“Hemos concluido que la incertidumbre existente en
cada proyecto es la principal causa subyacente
de muchos de los problemas”
E. Goldratt. Critical Chain

YOU CAN’T IMPOSE CERTAINTY ON UNCERTAINTY
YOU MUST LEARN TO MANAGE THE UNCERTAINTY


El Cono de Incertidumbre en los
Proyectos de TI Las estimaciones
tempranas en los
proyectos son siempre
ampliamente imprecisas

[+50%;-33%] PMBOK tiene un enfoque
similar pero asimétrico;
S. McConnell- 2007 ROM [+75%;-25%]??

La Incertidumbre y la Estimación
“As you have no doubt experienced, a project’s
greatest uncertainty is its completion date (which
also affects cost). When the project plan is laid
out in black and white with activities and times, it
becomes a very deterministic view. The project
manager must understand the effects of
probability and educate the stakeholders
concerning the challenges of accurate estimating
and its effect on a predetermined schedule”
Budd, C., y Budd C.S.. A practical guide to Earned Value Project Management, 2005

La mayoría del esfuerzo en la planificación de proyectos
actualmente se realiza de una forma estrictamente determinista,
donde las tareas del proyecto están asignadas y ejecutadas en un
marco de tiempo bien definido

Porqué?? Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 7

Breve historia de algunas T&H

GANTT
1910-1915 GP

1981
CPM
1946

PERT
1957 Gerente de
Proyecto
Cadena Monte
Crítica Carlo
1997 1949
Herramientas (GP-1963;
pre-PC’s 70% 17% viable
GP GP
Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP
>80’s) 8

Estimaciones como afirmaciones
probabilísticas
Las estimaciones
se expresan
normalmente
como un solo
punto, lo cual no
es realista porque
no se indica la
probabilidad
asociada al punto

“Todos los puntos están asociados con una
S. McConnell., 2006
probabilidad, explícita o implícitamente”

Distribuciones de probabilidad

Posible

mas
realista

Steve McConnell.2006

Incertidumbre y el PMBOK
28 veces aparece la palabra “uncertainty” (aunque no
se define explícitamente) en el PMBOK (sin
considerar figuras o el glosario)
vinculado principalmente a las Gestión del
Alcance
siguientes Áreas de Conocimiento:
Gestión
de Gestión de
Gestión de Tiempos Tiempos Costos
Gestión de Costos
Gestión de Riesgos Gestión de Gestión de
Gestión de Calidad Calidad Riesgos
Gestión del Alcance

Específicamente vinculadas a las siguientes Ortiz, MSc, PMP
Julio 2010 Ing. Pablo
T&H: 11

T&H Costos

Análisis de
T Reservas
i
Estimación
e 3 puntos
m (PERT)
Cadena Simulación
p Crítica Monte Carlo Distribuciones
(What-If) de Probabilidad
o
s Análisis de Valor Monetario
Sensibilidad Esperado

Riesgos

Incertidumbre, Probabilidad y
Estadística
“Los GP exitosos son aquellos que
rápidamente comprenden la
necesidad de evaluar la
incertidumbre”

“La Gestión de Riesgos es el proceso,
pero la probabilidad y la estadística
proveen el respaldo…”
J. Googdpasture. Quantitative Methods in Project Management

“Probability is the language of Teorema COX
uncertainty” J.Schuyler, 2001 Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 13


1. Probabilidad
2. Eventos independientes y
mutuamente excluyentes
3. Variables Aleatorias
4. Distribuciones de Probabilidad
5. Teorema Central del Límite


Ejercicio clásico
En la convergencia de caminos del ejemplo adjunto, si las
probabilidades de completar las actividades 1,2, y 3 son 50%, 50%
y 50%, respectivamente, ¿cuáles son las chances de comenzar la
actividad 4 en el día 6?

Porqué?

a) 10% b) 13% c) 40% d) 50%

Frecuencia relativa y Probabilidad
Supongamos un experimento el cual tiene N posible
resultados. Entonces la probabilidad que un evento A
ocurra es igual al número de veces que el evento
pueda ocurrir, dividido el número total de posibles
resultados.

Número de veces que aparece A
Frecuencia relativa de un evento A =
N

Probabilidad de un suceso es el número al que
tiende la frecuencia relativa del suceso a medida
que el número de veces que se realiza el
experimento crece

Probabilidad
La Probabilidad es una forma de expresar el
conocimiento o la creencia que un evento va a ocurrir o
ha ocurrido

La probabilidad de un evento A es representado por
un número real en el rango de 0 a 1 y es escrito como
P(A), p(A) o Pr(A). Se asigna una probabilidad de 0 a
los eventos que no pueden ocurrir y una probabilidad
de 1 a aquellos que tienen certeza

0≤P(A)≤1 Wikipedia,2010


Ejemplo.
Ejemplo. Resultados del
lanzamiento de un dado


Posibles resultados del
lanzamiento de un par de dados


Probabilidades en el lanzamiento de
un par de dados
¿Cuál es la probabilidad de obtener 1 2/36
y 3?

¿Cuál es la probabilidad de obtener 1/36
dos 6?

¿Cuál es la probabilidad de que
11/36
cualquiera de los dos sea un 3?

http://gwydir.demon.co.uk/jo/probability/calcdice.htm

2/36
Posibles resultados del 1/36
lanzamiento de un par de dados 11/36


Diagramas de Venn

B
B A B A
S S A S

A∩B: intersección de A y B A∪B: unión de A y B A y B mutuamente excluyente

Eventos mutuamente excluyentes
Regla de la Suma
La intersección de dos eventos A y B, notados como
A I B, es el conjunto de todos los resultados que están
tanto en A y en B, por ej, si
A = {a, b, c, d} B = {b, d, f, g, h} entonces
A I B = {b, d}

Dos eventos A y B son mutuamente excluyentes o
disjuntos si no tienen ningún resultado en común, o sea
su intersección es vacía => no pueden ocurrir a la misma
vez

Se cumple entonces: si A I B = , P(AUB)=P(A)+P(B)

Por ej. la probabilidad de obtener 1 ó 3 en un
lanzamiento de un dado es: P(1)+P(3)= Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP
Julio 2010 1/6+1/6= 2/6=1/3 24

¿Donde se usa?
usa?
Valor Monetario Esperado. Arboles de Decisión

P(1.1)*O1.1+P(1.2)*O1.2+P(1.3)*O1.3


Eventos independientes
A
Regla de la multiplicación B

S

Dos eventos A y B son llamados independientes si la
ocurrencia de B no cambia la probabilidad de que A
ocurra. Por ej. si se tiran dos monedas la
probabilidad de obtener cara en ambas es P(obtener
cara en la primera y la segunda)= ½ x ½ = ¼

P(A∩B) = P(A) · P(B)

Otra forma de decirlo es que “no comparten
información”

Eventos Independientes y Mutuamente
Excluyentes

Si dos eventos son mutuamente excluyentes, entonces
no pueden ser independientes y viceversa

Problema planteado (d.17)…
1. ¿Son mutuamente 50%
excluyentes o
independientes? ¿porqué?

2. ¿Cuál es la probabilidad?
6?
P(A1∩A2 ∩A3)=P(A1).P(A2).P(A3)=0,5x0,5x0,5=0,125≈ 0,13=13%

Variables Aleatorias
En matemáticas una variable aleatoria (o estadística o
estocástica) es una variable cuyo valor es una función
del resultado de un experimento estadístico que da
valor numérico a cada suceso en Ω (espacio muestral):
fdp discreta

Existen dos tipos de variables aleatorias:
discretas y continuas. Nos importan estas fdp continua
últimas.

Una variable aleatoria tiene una distribución
de probabilidad asociada y frecuentemente una
función de densidad de probabilidad (fdp)
Wikipedia, 2010

Variables Aleatorias. Ejemplo
Supongamos que queremos representar la posibilidad
que mañana llueva lo cual puede ser representado por
la siguiente variable aleatoria:
= {llueve, no llueve}
1 ; si llueve
Esta variable
X= es discreta o
0 ; si no llueve continua?

si son igualmente probable cualquiera de los dos
eventos se define la función de densidad de
probabilidad (fdp):
½ ; si x= 1
f(x) = ½ ; si x= 0
0 ; de otra manera Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 29

Distribuciones de
Probabilidad*

*Funciones de Densidad de Probabilidad-fdp Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 30

Referencia en el PMBOK

PMBOK, 4ta. Ed. ,p. 298

¿Qué es un Función de Distribución?

En teoría de la probabilidad, la
función de densidad de
probabilidad, función de densidad,
o, simplemente, densidad de una
variable aleatoria continua es una
función, usualmente denominada
f(x) que describe la densidad de la
probabilidad en cada punto del
espacio de tal manera que la
probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor
dentro de un determinado conjunto sea la integral de la
función de densidad sobre dicho conjunto.
Wikipedia, 2010


Propiedades
La Función de Probabilidad tiene las siguientes
propiedades:

Dado que las variables aleatorias continuas están
definidas sobre un rango continuo de valores (llamado
el dominio de la variable), la gráfica de la función de
densidad deberá ser continua sobre ese rango

El área debajo de la curva de la función es igual a 1
cuando es calculada sobre el dominio de la variable

La probabilidad que la variable aleatoria asuma un valor
entre a y b es igual al área bajo la función de densidad
en el rango acotado por a y b

Uniforme

Todos los valores dentro del rango factible tienen la
misma densidad de probabilidad

Parámetros : Uniforme (min,max)

Aplicaciones: U(0,1) se usa en la generación de los
valores de todas las demás distribuciones de
probabilidad en el muestreo aleatorio

Excel: ALEATORIO.ENTRE(min;max);
min +ALEATORIO()(max –min )

Ejemplos y Uso de
distribución uniforme
Lanzamiento de una moneda
Lanzamiento de un dado
Ruleta
Lotería
Ej. min=1;max=3

Uso
Cualquier valor entre el mínimo y el máximo tiene
igual probabilidad
Muchos lenguages de programación tienen la
habilidad de generar números pseudo-aleatorios los
cuales se distribuyen de acuerdo a la distribución
uniforme Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 35

Triangular

La bibliografía sugiere usar esta distribución cuando la
distribución subyacente se desconce y todo lo que
puede precisarse de la misma es el valor mínimo, el
valor máximo y el valor mas probable (“an inspired
guess as to what the modal value might be”)

Parámetros: Triang (min, +prob, max)


Triangular (cont.)

Sus propiedades estadísticas se derivan de su forma, no
de una teoría subyacente (no modela fenom. reales)

Es de definición intuitiva y de gran flexibilidad en cuanto
a geometrías posibles

La forma de la distribución usualmente lleva a
sobreestimar la densidad de las colas y a subestimar la
densidad en el “tronco” de la distribución.


Función Triangular. Fórmulas


Generación de una dist. Triangular
dist.
a partir de una distr. Uniforme
distr.
Sea p una variable generada a partir de una
distribución Uniforme en el intervalo (0,1), sea G(p) la
función inversa de F (F-1(p))* con distribución
triangular, se cumple: Excel

* Método de Transformación Inversa. Lo explicaremos en detalle en la Parte II

Triangular. Uso
La Distribución Triangular es típicamente usada como
una descripción subjetiva de una población para la cual
existe solamante un conjunto limitado de datos de
muestra, y especialmente cuando las relaciones entre
las variables es conocida pero son escasos
(posiblemente debido al alto costo de recolectarlos)

Es usada también cuando se quiere manejar una
estimación mas pesimista que la Beta (ver
justificación mas adelante)


Distribución Beta

La distribución Beta es una familia de distribuciones
de probabilidad continua definidas en el intervalo (0,
1) con dos parámetros positivos que determinan la
forma, típicamente notados como α y β

La distribución Beta puede tomar muchas formas,
según los valores de α y β

Es generalmente usada cuando no existen datos
históricos sólidos en los cuales basar la estimación de
las actividades


Función de Probabilidad (fdp)
(fdp)

Wikipedia,2010


Formulación completa de la Beta

Beta genérica


Relación entre la fórmula de PERT y la
distribución Beta
1. Otener las estimaciones para la tarea de los tiempos
optimistas, mas probable y pesimista
2. Estimar la media y desviación estándar usando las
ecuaciones (iii) y (iv):

3. Use las ecuaciones (v) y (vi) para calcular los
parámetros que son consistentes con la media y
desviación estándar


Interpretación informal (extraído del
Libro “Cadena Crítica” de E.Goldratt)
E.Goldratt)
◦ ¿Cuánto tiempo le lleva llegar a la Universidad?
pregunto
◦ “Alrededor de 25 minutos”, contesta Brian
◦ “Qué significa alrededor”, pregunta
◦ “A veces 30 minutos, a veces menos, depende el
tráfico”

E. Goldratt- Critical Chain, p. 43-45

Cont.
◦ “…Precisamente, ….5 minutos tiene 0 probabilidad,
25 minutos tiene la mayor probabilidad, pero aún 3
horas tienen una probabilidad positiva”

E. Goldratt- Critical Chain, p. 43-45 Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 46

Cont. II
◦ “…Cuanto mayor es la incertidumbre, mayor es el
largo de la cola de la distribución

E. Goldratt- Critical Chain, p. 43-45 Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 47

Aproximación de la Beta a la Normal
El Teorema Central del Límite
"Winwood Reade is good upon the
subject," said Holmes. "He remarks
that, while the individual man is an
insoluble puzzle, in the aggregate he
becomes a mathematical certainty.
You can, for example, never foretell
what any one man will do, but you can
say with precision what an average
number will be up to. Individuals
vary, but percentages remain
constant. So says the statistician.
A. Conan Doyle- The Sign of the Four (1890-Sherlock Holmes)


Aproximación Normal a la Beta
Cuando se trata el tema de la
distribución Beta, se afirma
que:

±σ ≈ 68% de los valores
±2σ ≈ 95% de los valores
±3σ ≈ 99% de los valores

Pero esto aplica a la Distribución
Normal, ¿porqué es válido?

• El uso de las propiedades de la Distribución Normal está basado
en la aplicación del Teorema Central del Límite el cual afirma que
la suma (o promedio) de actividades independientes es
normalmente distribuida si el número de actividades es grande (no
importa cual sea la distribución de estas variables)


Teorema Central del Límite (TCL)
muestra

…

…
El lanzamiento
de un dado La suma o promedio de una
tiene una en muestra (por ej. el
Distribución cambio…. lanzamiento de 12 dados)
Uniforme tiene una Distribución
Normal

Definición de TCL. Demostración práctica
El Teorema Central del Límite (TCL) expresa que la media y la
suma de una muestra suficientemente grande (usualmente n>30 o 25)
de una (escencialmente) distribución arbitraria tiene una
distribución aproximadamente normal.

Dada una muestra de variables aleatorias X1, . . . ,X n con µ = E(Xi) y
σ2= Var(Xi), se cumple:
1. La suma de la muestra: es aprox. normal

2. La media de la muestra: es aprox. normal

A.J. Hildebrand

Hoja de cálculo de
Microsoft Office Exce

If you are the expert, the best distribution is
¿Qué distribución the one that completely expresses your belief
usar? about the uncertainty, J. Schuyler

1. La distribución Triangular, tiene una media que es
igual al promedio de los 3 parámetros, estos es,
(Min+Moda+Max)/3. La media es igualmente sensitiva
a cada parámetro.

2. La distribución Beta tiene una media que es igual a
(Min+4*Moda+Max)/6, en otras palabras es el
promedio de los tres parámetros pero con un peso 4
veces mayor en la Moda.

3. a= tiempo optimista P(finalizar≤ a)= ≈.01, 1%=>
Percentil 10
b = tiempo pesimista P(finalizar ≥b) < ≈.01 => P 90

Cont I.
4. Tener presente que la distribución Triangular tiene 0
probabilidad en el Máximo, lo cual es improbable
(recordar ejemplo de Goldratt)

5. En la vida real, somos capaces de dar una estimación
mas confiable de la Moda (el valor mas frecuente) que
el de los extremos. Por ej. si se nos pregunta “¿cuál es
el costo máximo de este proyecto?” empezamos a
imaginar todas las cosas que pueden salir mal, lo cual
dificulta una respuesta definitiva


Cont. II
6. La distribución Triangular es mas pesimista que la PERT cuando el
sesgo es positivo y mas optimista en caso que es negativo. En el
ejemplo de la izquierda ambas tienen el valor mas probable igual
(30), pero el área a la derecha es 65% para la Beta y 78% para la
Triangular. La de la derecha con valor mas probable de 35 tienen
un área de 44% para la Beta y 38% para la Triangular

Kyritopolus, K, et al., 2008

Estadísticas para las Distribuciones
mas Comunes

J. Goodpasture- Quantitative Methods in Project Management, p. 53

PERT Recargado


Estimación de 3 Puntos
Media=

Optimista+ 4 *Mas probable + Pesimista
________________________________
6


Aproximaciones a PERT. Limitaciones.
• Los valores de media y desvío son aproximaciones
válidas y son exactas únicamente para valores
particulares de α y β, específicamente:

α =3- √2 ≈ 1,6 ó 3+√2 ≈ 4,4
β =3+ √2 ≈ 4,4 ó 3-√2 ≈ 1,6
Grubbs, 1962

• El camino crítico comprende pocas tareas, menos de la
que las que el teorema central del límite requiere (n~25)

• Enfoque excesivo en el camino crítico, ignorando
caminos casi críticos (near critical path) que pueden
volverse críticos (Williams, 2005)

Simulación Monte Carlo para el
análisis de la incertidumbre

“We balance
probabilities and
choose the most
likely. It is the
scientific use of the
imagination”

A. Conan Doyle. The Hound of the Baskervilles (1902)


Análisis Monte Carlo en el PMBOK
Gestión de Tiempos. Análisis de
Escenarios What-If.

“La técnica mas común es la del
Análisis Monte Carlo (Sección
11.4.2.2), en el cual se define una
distribución de duraciones
posibles para cada actividad, que
es usada para calcular una
distribución de posibles
resultados para todo el proyecto ”
(p.156 Ing., p.137 Esp.)


¿Qué es la simulación Monte Carlo?
Método computacional usado para
estudiar el comportamiento de
sistemas matemáticos, físicos o de
cualquier índole, a partir del uso de
muestreo estadístico, números
aleatorios y pseudo-aleatorios.
Es iterativo -> requiere cálculos por
computador.
Las técnicas de Monte Carlo pueden
ser usadas para encontrar soluciones
aproximadas a problemas
cuantitativos, con o sin incertidumbre.

Introducción al Método Monte Carlo
El método Monte Carlo básicamente
es una forma de resolver problemas
complejos mediante aproximaciones
usando gran cantidad de números
aleatorios

Desarrollado por S. Ulam y N.
Metropolis en 1949

Modelo básico:
1. Un conjunto de variables de entrada
generadas aleatoriamente a partir de
determinadas distribuciones de probabilidad
Fuente:
2. Elección de un modelo http://www.vertex42.com/ExcelArticl
es/mc/MonteCarloSimulation.html
3. Resultado de la simulación

Ejemplo: Aproximación de π por el MMC
Área Círculo = π r2 = π
L=2
1 Área Cuadrado= L2= 4

Área Círculo = π
0.5
Área Cuadrado 4
r=1
4 * Área Círculo = π
Área Cuadrado
0

Si n es grande podemos
-0.5
pensar que es válida la aprox.:
-1
-1 -0,5 0 0,5 1 4 *puntos_en_el_circulo = π
n (total de ptos.)

Referencia: http://twtmas.mpei.ac.ru/mas/Worksheets/approxpi.mcd

¿Qué podemos deducir?. Pasos
4 *puntos_en_el_circulo = aprox π
1. Crear un modelo paramétrico n
y = f(x1,…,x n)

Se generan nros. randómicos
2. Generar un conjunto de con distribución uniforme para
números randómicos xi1, ….xin x => g(xi1) ; g(xi2) ; …. g(xin) ;

3. Evaluar el modelo y guardar el aprox_π =
resultado como yk
yk = f(g(xki))

4. Repetir los pasos 2 a 3 para
i= 1 a n

5. Analizar los resultados usando
histogramas, intervalos de err= | aprox_π – π|
confianza, etc.
Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP
Julio 2010 64

Resumiendo..

gi(x)
James F. Wright, 2002 Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 65

Ejemplo práctico Problema…
Actividad A 12

Actividad B 15

días
Actividad C 10

Actividad D 5

Actividad E 22
A Actividad F 6

B
“distribución de
C
duraciones posibles
para cada actividad “ D
(Uniforme)
E
700 1

F
Se puede definir la distribución mas 200 0,5

adecuada a la duración de cada TAREA y -300 0

no necesariamente al PROYECTO entero

“una distribución de posibles resultados
Nota: la cantidad de tareas debe ser >25, para todo el proyecto “
recordar TCL, este es un ejemplo simplificado

Hoja de Cálculo
Hoja de cálculo
de Microsoft Office Excel

Monte Carlo

Determinista PERT Tamaño de la muestra (n) 10.000

Duración Media 73,78
del 70 72,50 Desvío Estándar 4,58
Proyecto Desvío Estándar de la Pablo Ortiz, MSc, PMP
Media 0,046
Julio 2010 Ing. 67

Simulación con Distribución Triangular

Hoja de cálculo
de Microsoft Office Excel

Determinista PERT

Duración
del 70 72,50
Proyecto


Preguntas del GP. Lo importante…
Williams (2003) indica que la simulación Monte Carlo
ayuda al Gerente de Proyectos a responder preguntas
tales como: Probabilidad Objetivo

¿Cuál es la probabilidad de Días Probalidad Éxito
60 0,0%
alcanzar una fecha 62 0,3%
(duración) determinada del 64 1,2%

proyecto? 66 4,2%
68 10,6%
70 21,2%
¿Cuál es duración del 72 34,7%

proyecto con un confianza 74 51,4%
76 67,7%
del 90%? 78 81,1%
80 90,9%
Conociendo la probabilidad de 82 96,4%

terminar en una fecha 84 99,0%

determinada el GP puede 86 99,9%
90 100,0%
establecer una reserva en el crono
para el proyecto Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 69

Análisis MC, cuestiones pendientes…

1. ¿Cómo se simulan distribuciones Beta y Normales?

2. ¿Cuándo N es suficiente?

3. Gestión del Riesgo. Técnicas de Análisis y Modelación
del Riesgo. Modelación y Simulación.

“La simulación de un proyecto en un modelo que traduce
los detalles de incertidumbre del proyecto en su
potencial impacto en los objetivos del proyecto. Las
simulaciones iterativas son realizadas típicamente
usando la técnica Monte Carlo” (p. 299)

Bibliografía breve
PMBOK. 4th Edition (2008) . Project Management Institute

PMBOK. 4ta. Edición (2008). Project Management Institute

Goodpasture, J. (2004). Quantitative Methods in Project Management. Ed. J. Ross Publishing

Anbari, F. (1997). Quantitative Methods for Project Management. International Institute for
Learning Inc.

Williams, T. (2003). The Contribution of Mathematical Modeling to the Practice of Project
Management. IMA Journal of Management Mathematics. 14(1), p.3

Referencias de Internet

Priano, M., Ochkov, V. http://www.vertex42.com/ExcelArticles/mc/MonteCarloSimulation.html
(consultado 25 de marzo de 2010)

Wikipedia. http://en.wikipedia.org/wiki/Monte_carlo_simulation
(consultado 15 de marzo de 2010)

Riskglossary.com. http://www.riskglossary.com/link/monte_carlo_method.htm
(consultado 08 de abril de 2010)


Bibliografía breve (cont)
(cont)
Wittwer, J.W., "Monte Carlo Simulation Example: Sales Forecast“,
http://www.vertex42.com/ExcelArticles/mc/SalesForecast.html
(consultado 26 de julio de 2010)

Software Libre
SimTools. http://home.uchicago.edu/~rmyerson/addins.htm
(consultado 3 de mayo de 2010)

MonteCarlito. www.montecarlito.com

Monte Carlo Analysis for MS Project. http://sourceforge.net/projects/montecarloprj/

Otras Presentaciones
El Dilema del Prisionero y la GP. http://www.slideshare.net/p.ortiz.bochard/dilema-del-prisionero
(Diciembre 2009)


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