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Colégio Estadual Dinah Gonçalves Professor Antonio Carlos Barroso http://ensinodematemtica.blogspot.com Determinantes Salvador-Bahia
DETERMINANTES Definição :  Determinante é um número associado a uma matriz quadrada de ordem  n x n. Matriz quadrada de ordem 1 Se A é uma matriz quadrada de ordem 1, isto é A = ( a 11  ), o seu determinante será o próprio elemento a 11 . det A = a 11   = a 11   Exemplo.: A = ( 120 )   det A = 120 B = (– 29 )   det A = – 29
Matriz quadrada de ordem 2  det A =  =  a 11     a 22  – a 12     a 21    Produto dos elementos da diagonal principal menos o produto da diagonal secundária. det A =  =  (–3)    (–5) – (2)    (1) ‏ det A =  15 – 2 = 13 det A =  13 A =  a 11   a 12   a 21   a 22   a 11   a 12   a 21   a 22   A =  – 3  2 1  –5  – 3  2 1  –5
Matriz quadrada de ordem 3 Regra de Sarrus : Repete-se as duas primeiras linhas abaixo da terceira linha ou repete-se as duas primeiras colunas após a terceira coluna. Em seguida, calcula-se a soma do produto da diagonal principal com o produto das diagonais paralelas a ela (SDP). Faz-se o mesmo com a diagonal secundária e suas paralelas (SDS). Em seguida, faz-se a diferença desses valores obtidos com as diagonais. (det A = SDP – SDS)
det A = SDP – SDI  a 11   a 12   a 13  a 11   a 12 a 21   a 22   a 23   a 21   a 22 a 31   a 32   a 33   a 31   a 32 a 11   a 12   a 13   a 21   a 22   a 23 a 31   a 32   a 33 SDP =  ( a 11  a 22  a 33  +  a 12  a 23  a 31  +  a 13  a 21  a 32  ) ‏ SDS =  a 13  a 22  a 31  )  a 11  a 23  a 32  +  (a 12  a 21  a 33   ‏ +
D =  ( 3.4.-9 + 2.7.8+6.5.1) - ( 2.5.-9+3.7.1+6.4.8) 3  2  6  3  2  5  4  7  5  4 8  1  -9  8  1 3  2  6 5  4  7 8  1  -9 =(12.-9+14.8+30.1)-(10.-9+21.1+24.8) =(-108+112+30)-(-90+21+192) =(34)-(123)  = 89 Exemplo
Propriedades dos determinantes 1.  Um determinante será nulo quando possuir uma fila formada só por zeros ou duas filas paralelas iguais ou proporcionais det A =  =  (0)    (5) – (0)    (3) ‏ 0 – 0 =  =  0 det A =  –  det A = 0   0  0  3  5  1  3  5  3  0  –5 1  3  5 det A =  ( 0 +  45  –  15 ) ‏ ( 0 +  45  –  15 ) ‏
2.  Se trocarmos entre si a posição de duas filas paralelas, o determinante mudará o sinal. det A =  –  det A = –28  det A =  –  =  –  det A = 28  –  1  3  5  3  0  –5 2  1  2 det A =  ( 0 +  15  –  30 ) ‏ ( 0 –  5 +  18 ) ‏ (– 15 ) ‏ ( 13 ) ‏ 2  1  2  3  0  –5 1  3  5 det A =  ( 0 +  18  –  5 ) ‏ ( 0 –  30 +  15 ) ‏ ( 13 ) ‏ ( –15 ) ‏
3.  Se multiplicarmos umas das filas de uma matriz quadrada por um número  k , o seu determinante ficará multiplicado por  k . det A =  =  (10) – (12) = –2  det B =  =  (30) – (36) = –6 k  = 3 det B =  k  det A det B = 3  (–2) = –6 2  4  3  5  6  12  3  5
4.  Da propriedade 3, decorre que: det (  k  A n  ) =  k n  det A n .  3  A 2  =  det ( 3  A 2 ) =  =  (90) – (108) = –18 det ( 3  A 2  ) = 3 2  det A 2  = 9  (–2) = –18  k  = 3 A 2  =  2  4  3  5  6  12 9  15  6  12 9  15
5.  det A = det A T  . det A =  –  det A = –28  det A =  –  det A T  =  –  det A T  = –28  det A T  =  –  1  3  5  3  0  –5 2  1  2 det A =  ( 0 +  15  –  30 ) ‏ ( 0 –  5 +  18 ) ‏ (– 15 ) ‏ ( 13 ) ‏ 1  3  2  3  0  1 5  –5  2 det A T  =  ( 0 –  30 + 15 ) ‏ ( 0 –  5 +  18 ) ‏ (– 15 ) ‏ ( 13 ) ‏
6.  det ( A n     B n  ) = det A    det B B 2  =  ; =  det ( A n     B n  ) = 400 – 392 = 8 det A    det B = (–2)    (–4) = 8  A 2  =  2  4  3  5  3  10 1  2  A 2     B 2  =  2  4  3  5  3  10 1  2   10  28 14  40
7.  det I n   =  1 det I 3  = 1  8.  O determinante de matrizes triangulares e de matrizes diagonais se resume ao produto dos elementos da diagonal principal. det A = 5    (–2)    3 = –30  1  0  0  0  1  0 0  0  1 det I 3  =  5  3  2  0  –2  1 0  0  3 det A =
Matriz inversa Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Essa matriz possuirá inversa (A –1 ) se, e somente se, seu determinante for diferente de zero.   A –1   A = A    A –1  = I    det A    0.   3. Se A possuir inversa, essa será única. 1. Se A 2x2  = a  b c  d , então : A –1  =  d  –b  – c  a  det A det A det A det A 2. det  A –1  = 1  det A , det A    0
01. (Fuvest – SP) Se a é uma matriz 2x2 iversível que satisfaz A 2  = 2A, então o determinante de A será: ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],det A    det A = 2 2     det A  det A = 4 det A 2  = det (2A)  E
x  x  1  2  x  –x 1  x  1 P(x) =  x  x  1  2  x  –x P(x) = x 2  + 2x – x 2  – x + x 3  – 2x  P(x) = x 3  – x  Grau 3 ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],02. (Udesc) O grau do polinômio que expressa o determinante da matriz A =  x  x  1  2  x  –x 1  x  1 A
03. (UFSC) Assinale a(s) proposição(ões)  correta(s) . (01) Se K = (k ij ) é uma matriz quadrada de ordem 2 dada por k ij  = 2 2i + j  para i < j e k ij  = i 2  + 1 para i  >  j, então k é uma matriz inversível. k 11  = 1 2  + 1 = 2 k 12  = 2 2(1) + 2  = 2 4  = 16 k 21  = 2 2  + 1 = 5 k 22  = 2 2  + 1 = 5 Det K = 10 – 80 = –70    0     é inversível (01) - correta K =  k 11   k 12   k 21   k 22   K =  2  16 5  5
(02) Se A e B são matrizes tais que A    B é uma matriz nula, então A é uma matriz nula ou B é uma matriz nula. A    B = 0 não implica em A = 0 ou B = 0. (02) - incorreta (04) Sejam as matrizes M e P, respectivamente de tipos 5x7 e 7x5. Se R = MP, então a matriz R 2  tem 625 elementos. M 5x7     P 7x5  = R 5x5   (A matriz R possui 25 elementos) ‏ Logo, a matriz R 2  tem 25 elementos. c.e.p Ordem n (04) - incorreta
(08) Chamamos de “traço de L” e anotamos Tr(L) a soma do elementos da diagonal principal de uma matriz quadrada L; então Tr(L) = Tr(L T ). A transposta de uma matriz não altera sua diagonal principal. (08) - correta GABARITO QUESTÃO 03 : 01 + 08 = 09

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Determinantes

  • 1. Colégio Estadual Dinah Gonçalves Professor Antonio Carlos Barroso http://ensinodematemtica.blogspot.com Determinantes Salvador-Bahia
  • 2. DETERMINANTES Definição : Determinante é um número associado a uma matriz quadrada de ordem n x n. Matriz quadrada de ordem 1 Se A é uma matriz quadrada de ordem 1, isto é A = ( a 11 ), o seu determinante será o próprio elemento a 11 . det A = a 11 = a 11 Exemplo.: A = ( 120 )  det A = 120 B = (– 29 )  det A = – 29
  • 3. Matriz quadrada de ordem 2  det A = = a 11  a 22 – a 12  a 21  Produto dos elementos da diagonal principal menos o produto da diagonal secundária. det A = = (–3)  (–5) – (2)  (1) ‏ det A = 15 – 2 = 13 det A = 13 A = a 11 a 12 a 21 a 22 a 11 a 12 a 21 a 22 A = – 3 2 1 –5 – 3 2 1 –5
  • 4. Matriz quadrada de ordem 3 Regra de Sarrus : Repete-se as duas primeiras linhas abaixo da terceira linha ou repete-se as duas primeiras colunas após a terceira coluna. Em seguida, calcula-se a soma do produto da diagonal principal com o produto das diagonais paralelas a ela (SDP). Faz-se o mesmo com a diagonal secundária e suas paralelas (SDS). Em seguida, faz-se a diferença desses valores obtidos com as diagonais. (det A = SDP – SDS)
  • 5. det A = SDP – SDI a 11 a 12 a 13 a 11 a 12 a 21 a 22 a 23 a 21 a 22 a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 SDP = ( a 11  a 22  a 33 + a 12  a 23  a 31 + a 13  a 21  a 32 ) ‏ SDS = a 13  a 22  a 31 ) a 11  a 23  a 32 + (a 12  a 21  a 33 ‏ +
  • 6. D = ( 3.4.-9 + 2.7.8+6.5.1) - ( 2.5.-9+3.7.1+6.4.8) 3 2 6 3 2 5 4 7 5 4 8 1 -9 8 1 3 2 6 5 4 7 8 1 -9 =(12.-9+14.8+30.1)-(10.-9+21.1+24.8) =(-108+112+30)-(-90+21+192) =(34)-(123) = 89 Exemplo
  • 7. Propriedades dos determinantes 1. Um determinante será nulo quando possuir uma fila formada só por zeros ou duas filas paralelas iguais ou proporcionais det A = = (0)  (5) – (0)  (3) ‏ 0 – 0 = = 0 det A = – det A = 0  0 0 3 5 1 3 5 3 0 –5 1 3 5 det A = ( 0 + 45 – 15 ) ‏ ( 0 + 45 – 15 ) ‏
  • 8. 2. Se trocarmos entre si a posição de duas filas paralelas, o determinante mudará o sinal. det A = – det A = –28  det A = – = – det A = 28  – 1 3 5 3 0 –5 2 1 2 det A = ( 0 + 15 – 30 ) ‏ ( 0 – 5 + 18 ) ‏ (– 15 ) ‏ ( 13 ) ‏ 2 1 2 3 0 –5 1 3 5 det A = ( 0 + 18 – 5 ) ‏ ( 0 – 30 + 15 ) ‏ ( 13 ) ‏ ( –15 ) ‏
  • 9. 3. Se multiplicarmos umas das filas de uma matriz quadrada por um número k , o seu determinante ficará multiplicado por k . det A = = (10) – (12) = –2 det B = = (30) – (36) = –6 k = 3 det B = k  det A det B = 3  (–2) = –6 2 4 3 5 6 12 3 5
  • 10. 4. Da propriedade 3, decorre que: det ( k  A n ) = k n  det A n .  3  A 2 = det ( 3  A 2 ) = = (90) – (108) = –18 det ( 3  A 2 ) = 3 2  det A 2 = 9  (–2) = –18 k = 3 A 2 = 2 4 3 5 6 12 9 15 6 12 9 15
  • 11. 5. det A = det A T . det A = – det A = –28  det A = – det A T = – det A T = –28  det A T = – 1 3 5 3 0 –5 2 1 2 det A = ( 0 + 15 – 30 ) ‏ ( 0 – 5 + 18 ) ‏ (– 15 ) ‏ ( 13 ) ‏ 1 3 2 3 0 1 5 –5 2 det A T = ( 0 – 30 + 15 ) ‏ ( 0 – 5 + 18 ) ‏ (– 15 ) ‏ ( 13 ) ‏
  • 12. 6. det ( A n  B n ) = det A  det B B 2 = ; = det ( A n  B n ) = 400 – 392 = 8 det A  det B = (–2)  (–4) = 8 A 2 = 2 4 3 5 3 10 1 2 A 2  B 2 = 2 4 3 5 3 10 1 2  10 28 14 40
  • 13. 7. det I n = 1 det I 3 = 1  8. O determinante de matrizes triangulares e de matrizes diagonais se resume ao produto dos elementos da diagonal principal. det A = 5  (–2)  3 = –30 1 0 0 0 1 0 0 0 1 det I 3 = 5 3 2 0 –2 1 0 0 3 det A =
  • 14. Matriz inversa Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Essa matriz possuirá inversa (A –1 ) se, e somente se, seu determinante for diferente de zero. A –1  A = A  A –1 = I  det A  0. 3. Se A possuir inversa, essa será única. 1. Se A 2x2 = a b c d , então : A –1 = d –b – c a det A det A det A det A 2. det A –1 = 1 det A , det A  0
  • 15.
  • 16.
  • 17. 03. (UFSC) Assinale a(s) proposição(ões) correta(s) . (01) Se K = (k ij ) é uma matriz quadrada de ordem 2 dada por k ij = 2 2i + j para i < j e k ij = i 2 + 1 para i > j, então k é uma matriz inversível. k 11 = 1 2 + 1 = 2 k 12 = 2 2(1) + 2 = 2 4 = 16 k 21 = 2 2 + 1 = 5 k 22 = 2 2 + 1 = 5 Det K = 10 – 80 = –70  0  é inversível (01) - correta K = k 11 k 12 k 21 k 22 K = 2 16 5 5
  • 18. (02) Se A e B são matrizes tais que A  B é uma matriz nula, então A é uma matriz nula ou B é uma matriz nula. A  B = 0 não implica em A = 0 ou B = 0. (02) - incorreta (04) Sejam as matrizes M e P, respectivamente de tipos 5x7 e 7x5. Se R = MP, então a matriz R 2 tem 625 elementos. M 5x7  P 7x5 = R 5x5 (A matriz R possui 25 elementos) ‏ Logo, a matriz R 2 tem 25 elementos. c.e.p Ordem n (04) - incorreta
  • 19. (08) Chamamos de “traço de L” e anotamos Tr(L) a soma do elementos da diagonal principal de uma matriz quadrada L; então Tr(L) = Tr(L T ). A transposta de uma matriz não altera sua diagonal principal. (08) - correta GABARITO QUESTÃO 03 : 01 + 08 = 09