SlideShare ist ein Scribd-Unternehmen logo

Matrix1

•
•
Krupom Ppk
Krupom Ppk
Bildung
1 von 19
หน้ าที่ 1 เมตริกซ์ ผลการเรี ยนรู้ ท่ ีคาดหวัง 1. มีความคิดรวบยอดเกี่ยวกับเมตริกซ์ และการดาเนินการของเมตริกซ์ 2. หาดีเทอร์ มินันต์ ของเมตริกซ์ n x n เมื่อ n เป็ นจานวนเต็มไม่ เกินสี่ได้ 3. วิเคราะห์ และหาคาตอบของระบบสมการเชิงเส้ นได้
หน้ าที่ 2 เมตริกซ์ (Matrix) 3.1 สัญลักษณ์ ของเมตริกซ์ สาหรับข้ อมูลที่เกี่ยวข้ องกับจานวน ถ้ าจัดจานวนที่ปรากฎให้ เรี ยงกันเป็ นแถวๆ แถวละเท่าๆกัน จะ สะดวกในการศึกษาข้ อมูลนันๆ ้ ตัวอย่ างเช่ น รายการอาหารของร้ านแห่งหนึง เป็ นดังนี ้ ่ ก๋วยเตี๋ยว ธรรมดา ราคา 15 บาท พิเศษ ราคา 20 บาท ข้ าวราดแกง ธรรมดา ราคา 12 บาท พิเศษ ราคา 18 บาท เกาเหลา ธรรมดา ราคา 10 บาท พิเศษ ราคา 15 บาท ถ้ าเรานาตัวเลขซึงมี 3 แถว 2 ตัว มาเขียนภายในวงเล็บ ( ) หรื อ [ ] จะได้ ชดของตัวเลข ่ ุ 15 20  15 20      12 18  หรื อ 12 18  จะเรี ยกเลขชุดข้ างต้ นนี ้ว่า เมตริกซ์ และเรี ยกจานวนแต่ละจานวนว่า 10 15  10 15      สมาชิกของเมตริกซ์ สมาชิกที่เรี ยงกันอยูในแนวนอน เรี ยกว่า สมาชิกที่อยู่ในแถว(Row) ของเมตริกซ์ ่ สมาชิกของเมตริกซ์ที่เรี ยงอยูในแนวดิง เรี ยกว่า สมาชิกที่อยู่ในหลัก (Column) ของเมตริกซ์ ่ ่ ตัวอย่ างของเมตริกซ์ 15 20    เป็ นเมตริกซ์ที่มี 2 แถว 2 หลัก 12 18  2 5 3 เป็ นเมตริกซ์ที่มี 1 แถว 3 หลัก 5    2  เป็ นเมตริกซ์ที่มี 3 แถว 1 หลัก 7    บทนิยาม ถ้ า A เป็ นเมตริกซ์ที่มี m แถว และมี n หลัก จะเรี ยก A ว่า มีมิติ mxn (อ่านว่า เอ็ม คูน เอ็น ) 2 1 3  ตัวอย่ างเช่ น   มีมิติ 2x3 เรี ยกว่า 2x3 เมตริกซ์ 4 5 6  [5] มีมิติ 1x1 เรี ยกว่า 1x1 เมตริกซ์ [4 5 6 ] มีมิติ 1x3 เรี ยกว่า 1x3 เมตริกซ์
หน้ าที่ 3  6    2  มีมิติ 3x1 เรี ยกว่า 3x1 เมตริกซ์ 1    โดยทัวไปใช้ ภาษาอังกฤษตัวพิมพ์ใหญ่เช่น A , B แทนชื่อของเมตริกซ์ ใช้ อกษรภาษาอังกฤษ ่ ั ตัวเขียนเลข แทนสมาชิกของเมตริกซ์ โดยกากับดัชนีลาง ij ที่มมล่างขวามือไว้ ด้วย ่ ุ aij แทนสมาชิกที่อยูตาแหน่งแถวที่ i และหลักที่ j ่ ตัวอย่ างเช่ น เมตริกซ์ A เป็ นเมตริซ์ทีมีมิติ 2x3 จะเขียนในรูปทัวไปได้ ดงนี ้ ่ ั a11 a12 a13  แถวที่ 1 A =   a 21 a 22 a 23  แถวที่ 2 หลักที่ 1 หลักที่ 2 หลักที่ 3 หรื อเขียนได้ อีกรูปแบบหนึงคือ ่ A = [ aij ] 2x3 แบบฝึ กหัดที่ 1 2 5    1. กาหนด A = 3 1  จงหา 4 2    (1) มิตของ A คือ ………………………. ิ (2) a32 = …………….. a21 = ……………… a11+ a22 = ……………………….. 1 เมื่อ i = j 2. จงเขียนเมตริกซ์ A = [ aij ]3x3 โดยที่ aij = 2 เมื่อ i < j 0 เมื่อ i > j 3. จากบทนิยามของทรานสโพส A บทนิยาม 2 ถ้ า A เป็ น m  n เมตริกซ์ใด ๆ แล้ ว ทรานสโพสของ A คือ n  m เมตริกซ์ ที่มี หลักที่ i เหมือนแถวที่ i ของเมตริกซ์ A เมื่อ i = 1, 2, 3, …, m ทรานสโพสของ A เขียนแทนด้ วย At
หน้ าที่ 4 จงหา At เมื่อกาหนด A ดังนี ้ (1) A = |3] At = …………… (5) A = 0 2   At = ……………. 2 0  ( 2 ) A = | 1 - 2 ] At = …………….. (6) A = 1 2 3   A t = …………….  4 5 6 (3) A = 4   At = ……………. (7) A = 1 0    At = ……………. 0  0 1 (4) A =  1 2   At = ……………. (8) A = 1 2    At = …………….  5 0   3 4 3.2 การเท่ ากันของเมตริกซ์ บทนิยาม 2 เมตริกซ์ A = [ aij ] m  n และ B = [ bij ] p q จะเป็ นเมตริกซ์ที่เท่ากัน เขียนแทนด้ วย A = B ก็ตอเมื่อ ่ ( 1 ) m = p และ n = q ( 2 ) aij = bij สาหรับทุก i = 1, 2, 3, …, m และ j = 1, 2, 3, …, n ข้ อสรุ ป A = B ก็ตอเมื่อ ่ ( 1 ) A และ B มีมิตเิ ดียวกัน ( 2 ) สมาชิกของ A และ B ที่อยูตาแหน่งเดียวกัน มีคาเท่ากันทุกตัว ่ ่  x  2y 1 3 1  ตัวอย่ างที่ 1 กาหนดให้ A =   และ B =   จงหาจานวนจริง x และ y  0 4  0 2x  ที่ทาให้ A = B วิธีทา จากนิยามการเท่ากัน A = B จะได้ วา ่ x + 2y = 3 1 = 1 0 = 0 4 = 2x x = 2 และ y = 1 2
หน้ าที่ 5 แบบฝึ กหัดที่ 2  3 x 2 y  3 1 5  1. ถ้ า   =   จงหา x, y, z 2 4 1 2 4 z …………………………………………………………………………………………………………………… … ……………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………  x  y 5 3 5  2. ถ้ า   =   จงหา x, y  4 1  4 x y  ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………  x 2 1 3  0 3 3. จงหาจานวนจริง x และ y ที่ทาให้ A = B เมื่อกาหนดให้ A =   และ B =     x y 4    y 1 ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………
หน้ าที่ 6 3.3 การบวกเมตริกซ์ บทนิยาม กาหนดให้ A = [ aij ] m  n และ B = [ bij ] m  n ผลบวกของ A และ B เขียนแทนด้ วย A + B โดยที่ A + B =  aij   b ij m  n 1 2 2 5  2 ตัวอย่ างที่ 1 ถ้ ากาหนดให้ A =   , B=   , C=    3 0  1 1 1 จงหา A + B และ A + C ในกรณีที่หาค่าได้ 1 2 2 5  12 2  5  3 7 วิธีทา A+B =   +   =   =    3 0  1 1  3  ( 1) 0  1  2 1 1 2  2 A+C =   +   หาผลบวกไม่ได้ เพราะมีมิตไม่เหมือนกัน ิ  3 0 1 แบบฝึ กหัดที่ 3  1 2  2  1   2 1 1. กาหนดให้ A =  , B=  , c=   จงหา  1 3 0 1  3 0 (1) A+B …………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. (2) B+A …………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. (3) (A+B)+C …………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………….
หน้ าที่ 7 (4) A+(B+C) …………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………….  0 0 ( 5 ) A + 0 เมื่อ 0 =      0 0 …………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………… ข้ อสังเกต ( 1 ) มิตของ A + B เท่ากับ มิตของ A หรื อมิตของ B หรื อไม่ ……………. ิ ิ ิ ( 2 ) ผลลัพธ์ในข้ อใดมีคาเท่ากัน …………………………………………………….. ่ …………………………………………………….. ( 3 ) เมื่อ A และ 0 มีมิตเิ ท่ากัน ผลบวก A + 0 มีความสัมพันธ์อย่างไรกับ A   …………………………………………………………………………………….. 2. จงหาเมตริกซ์ x ที่สอดคล้ องกับสมการที่กาหนดให้ ต่อไปนี ้  2 1 1 2   0  1 (1)   +   +X =    1 3   0 4 1 2  …………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………….
หน้ าที่ 8 3 4 (2)   + X = 0   2 1  …………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. 1 2 1 2 (3)   + X =     3 0  3 0  …………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. 3.4 การคูณเมตริกซ์ ด้วยจานวนจริง บทนิยาม ให้ A = [ aij ] m  n และ c เป็ นจานวนจริง ผลคูณของ c และ A จะเขียนแทนด้ วยสัญลักษณ์ cA โดยที่ cA = [ caij ] m  n
หน้ าที่ 9 2 1 2 2 ตัวอย่ างที่ 1 กาหนดให้ A =   , B =   จงหา  1  1  0 2 ( 1 ) 3A + 2B (2) (-2)A (3) (-1)B 2 1 2 2  3 ( 2) 3 (1)  2 ( 2) 2 ( 2)  วิธีทา (1 ) 3   +2   =   +    1  1  0 2  3 ( 1) 3 ( 1)   2 (0) 2 ( 2)  6 3 4 4 =   +    3  3  0 4  6  ( 4 ) 3  4 2 7 =   =    30  3  4 3 1 2 1 2 2 ( 2) ( - 2 ) A = ( -2 )   (3) (-1)B = (-1)    1  1  0 2  ( 2)( 2) ( 2)( 1)   ( 1)( 2) ( 1)( 2)  =   =    ( 2)( 1) ( 2)( 1)   ( 1)( 0 ) ( 1)( 2)  4  2 2 2 =   =   2 2 0  2 บทนิยาม กาหนดให้ A = [ aij ] m  n จะได้ วา - A = ( - 1 ) A ่ กาหนดโดย - A = [ -aij ] m  n 2 2 2  2 เช่น B =   แล้ ว -B =    2  0 2 0  2   2 C =   แล้ ว -C =     1  1  0 0  0 0 D =   แล้ ว -D =    0 0  0 0
หน้ าที่ 10 บทนิยามของการลบเมตริกซ์ บทนิยาม กาหนด A = [ aij ] m  n และ B = [ bij ] m  n A – B เป็ นเมตริกซ์มิติ m  n โดยที่ A – B = A + ( - B ) = [ aij ] m  n + [ -bij ] m  n จากบทนิยาม กาหนด A = [ aij ] m  n - [ bij ] m  n A + ( - B ) = [ aij ] m  n + [ -bij ] m  n =  aij  ( bij )  m  n =  aij   bij m  n แบบฝึ กหัดที่ 4 2 1 3  5 1. กาหนด A=   , B=   จงหา 0 1 1 2 ( 1 ) 2A + 2B …………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. (2) 2(A+B) …………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………….
หน้ าที่ 11 ( 3 ) 3A + 5A …………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. (5) 0A …………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ( 6 ) ( 2  3 ) A , 2 ( 3A ) …………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………. จงหาคาตอบต่อไปนี ้  1 0 4 1     (1) 5  1 3 -2  2  3  4  1  1  0  …………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………….
หน้ าที่ 12 3  4 2 3  1  2 (2) 4   -5   +7    1 2  1 2  1 1 …………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………. 3  4 2 3  1  2 (3) 4   - 5   +7    1 2  1 2  1 1 3. จงหาเมตริกซ์ X จากสมการ 1 2 7  1 ( 1 ) 5x + 2   =    5 1  0  3 …………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………….  1 2 1 4 (2)   =3   -x 2 3 2 3  …………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………….
หน้ าที่ 13 คุณสมบัตการคูณเมตริกซ์ ด้วยจานวนจริง ิ 1. ถ้ า A เป็ นเมตริกใด ๆ แล้ ว 1 A = A 2. ถ้ า A เป็ นเมตริกใด ๆ แล้ ว ( - 1 ) A = - A 3. ถ้ า A เป็ นเมตริกใด ๆ และ c, d เป็ นจานวนจริง แล้ ว ( c + d )A = cA + dA 4. ถ้ า A เป็ นเมตริกใด ๆ และ c, d เป็ นจานวนจริง แล้ ว ( cd ) A = c ( dA ) 5. ถ้ า A และ B เป็ นเมตริกซ์ที่มีมิตเิ ท่ากัน และ c เป็ นจานวนจริงแล้ ว c ( A + B ) = cA + cB 6. ถ้ า A เป็ นเมตริกซ์ใด ๆ และ n เป็ นจานวนเต็มบวก แล้ ว nA = A+A+A+…+A ( n เมตริกซ์ ) 7. ถ้ า A เป็ นเมตริกซ์ใด ๆ แล้ ว 0A = 0  8. ถ้ า c เป็ นจานวนจริงใด ๆ c0 = 0   3.5 ผลคูณเมตริกซ์ ด้วยเมตริกซ์ b11    b 21  .  บทนิยาม ถ้ า A = [ a11 a12 . . . a1n ] และ B =   .  b   n1  ผลคูณ A ด้ วย B จะเขียนแทนด้ วย AB AB = [ a11b11 + a12b21 + . . . + a1nbn1 ]
หน้ าที่ 14 ตัวอย่ างที่ 1  2   3 =  ( 2) ( 3)  = [ 6 ]  3 1 2   =  1(3)  2( 4)  =  11   4  4  1 2 3  5    =  1( 4)  2(5)  3(6)  =  4  10  18  =  32   6   นิยาม ถ้ า A = [ aij ] m  n B = [ bij ] n  p ผลคูณ AB จะเป็ นเมตริกซ์ที่มีมิติ m  p โดยที่ AB = C = [ cij ] m  p นิยามโดย cij = ai1 b1j + ai2 b2j + … + ain bnj หมายเหตุ ( 1 ) นิยามผลคูณ A B เมื่อ จานวนหลักของตัวตัง้ ( A ) เท่ากับจานวนแถวของตัวคูณ ( B ) ( 2 ) ผลคูณ A B เป็ นเมตริกซ์ที่มีจานวนแถวเท่ากับจานวนแถวของ A และจานวนหลักเท่ากับจานวนหลักของ B ( 3 ) ถ้ า A B = C โดยที่ [ aij ] m  n [ bij ] n  p = [ cij ] m  p  1 2  2 1 3   ตัวอย่ างที่ 2 กาหนด A =   และ B =  0 1 จงหา ( 1 ) A B (2) BA  4 1 0  1 0    1 2  2 1 3   วิธีทา (1) AB =   0 1 4 1 0    1 0   สมมุติ AB = C ดังนัน A2  3 B3  2 = C2  2 ้ ผลคูณจะมีมิติ 2  2  c 11 c 12  C2  2 =    c 21 c 22  โดยที่ c11 = ( แถวที่ 1 ของ A ) คูณกับ ( หลักที่ 1 ของ B) = 2 (1) + 1 (0) + 3 (1) = 2+0+3 = 5 c12 = ( แถวที่ 1 ของ A ) คูณกับ ( หลักที่ 2 ของ B) = 2 (2) + 1 (1) + 3 (0) = 4+1+0 = 5 c21 = ( แถวที่ 2 ของ A ) คูณกับ ( หลักที่ 1 ของ B)
หน้ าที่ 15 = 4 (1) + 1 (0) + 0 (1) = 4 + 0 + 0 = 4 c22 = ( หลักที่ 2 ของ A ) คูณกับ ( หลักที่ 2 ของ B ) = 4 (2) + 1 (1) + 0 (0) = 8 + 1 + 0 = 9 5 5 ดังนัน ้ c =   4 9 1 2   2 3 (2) BA = 0 1  1  ดังนัน ผลคูณมีมิติ 3  3 ้ 1 0 4 1 0  23   32  1( 2)  2( 4 ) 1(1)  2(1) 1( 3)  2( 0 )     BA =  0 ( 2)  1( 4 ) 0 (1)  1(1) 0 ( 3)  1( 0 )   1( 2)  0 ( 4 )  1(1)  0 (1) 1( 3)  0 ( 0 )    10 3 3   =  4 1 0  2  1 3  แบบฝึ กหัดที่ 5 1. จงหาผลคูณ   2   (1) [1 1 0]  1 = ………………………………………………………………….  1   ……………………………………………………………………. 1  2    ( 2 ) [ 4 2 0] 1  = …………………………………………………………………. 3        …………………………………………………………………..  5    (3) [ 0 2 1 0]  0   0  = ………………………………………………………………    6  ……………………………………………………………….  1 (4) [2]   2 = ………………………………………………………………….   ………………………………………………………………….
หน้ าที่ 16 2. จงหาผลคูณ A B และ B A ( ในกรณีที่หาค่าได้ )  1 (1) A =  2 และ B = [ -6 ]   A B = ……………………………………………………………………… B A = ………………………………………………………………………   2 (2) A = [ 1 -3 ] และ B =    1 A B = …………………………………………………………………… B A = ………………………………………………………………….. 1 0 2  1   (3) A =  1  และ B =  2  1 0 2 1 1 1   A B = ………………………………………………………………….. …………………………………………………………………. B A = …………………………………………………………………. ………………………………………………………………… 0 5 3 2 (4) A =  , B=   0 4 0 0 A B = ………………………………………………………………….. …………………………………………………………………. B A = …………………………………………………………………. ………………………………………………………………… 0 1 2 1 3. กาหนด A   และ B =   จงหา 0 0 0 1 ( 1 ) A2 = A . A ……………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………
หน้ าที่ 17 ( 2 ) B3 = B 2 . B พิจารณาค่า B3 = B . B2 ………………………………………………….. ………………………………………………….. ………………………………………………….. ………………………………………………….. ………………………………………………….. ………………………………………………….. ………………………………………………….. ………………………………………………….. ………………………………………………….. ………………………………………………….. 1 0 2 1 4. กาหนด I2 =   และ A =    1 จงหาผลลัพธ์ A2 – 2A + I2 0 1 3 …………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………. 3.6 สมบัตของการบวกเมตริกซ์ ิ ในการบวกจานวนจริง มีสมบัตของการบวกดังนี ้ ิ 1. สมบัตปิดของการบวก ิ ถ้ า a  R และ b  R แล้ ว a + b  R 2. สมบัตสลับที่ของการบวก สาหรับ a, b  R จะได้ วา a + b = b + a ิ ่ 3. สมบัตการเปลี่ยนกลุ่มได้ ของการบวก สาหรับ a, b, c  R จะได้ วา ิ ่ (a+b)+c = a+(b+c) 4. มีเอกลักษณ์ การบวก จะมี 0  R โดยที่ a + 0 = 0 + a = a ทุกค่าของ a  R 5. มีอินเวอร์ สการบวกสาหรับจานวนจริงแต่ ละจานวน แต่ละ a  R จะมี -a  R โดยที่ a+(-a) = (-a)+a = 0 ให้ S เป็ นเซตของเมตริกซ์ m  n เมตริกซ์ เมื่อเราศึกษาเกี่ยวกับสมบัตการบวกของเมตริกซ์ของจานวนจริง มิติ m  n ใด ๆ จะได้ ิ ว่า การบวกเมตริกซ์มีสมบัตที่สอดคล้ องกับการบวกจานวนจริง ดังต่อไปนี ้ ิ
หน้ าที่ 18 สมบัตปิดของการบวก ให้ A และ B เป็ ฯสมาชิกใด ๆ ของ S ซึงเป็ นเซตของ m  n เมตริกซ์ ิ ่ โดยที่ A = [ aij ] m  n และ B = [ bij ] m  n โดยบทนิยามของการบวก จะได้ A + B = [ aij + bI j] m  n เมื่อ aij  R และ bij  R จะได้ วา aij + bij  R ่ นันคือ A + B จะเป็ นเมตริกซ์ของจานวนจริง มีมิติ m  n ด้ วย ้ ดังนัน S มีสมบัตปิดของการบวก ้ ิ สมบัตสลับที่ของการบวก ิ ถ้ า A, B เป็ นสมาชิกใด ๆ ของ S , ให้ A = [ aij ] m  n และ B = [ bij ] m  n A + B = [ aij + bI j] m  n B + A = [ bij + aI j] m  n = [ aij + bI j] m  n = A+B ดังนัน ้ A+B = B+A ; นันคือ S มีสมบัตสลับที่ของการบวก ่ ิ แบบฝึ กหัดที่ 6 a b 1. กาหนด X =   จงหาเมตริกซ์ X ที่สอดคล้ องกับสมการต่อไปนี ้ c d 2 3 2 3 (1)   + X =   5 1 5 1 …………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………….
หน้ าที่ 19 2 3 0 0 (2)   + X =   5 1 0 0 …………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………….  2 5 0 1   3 1 2. ให้ A =  , B=   และ c=   จงหา  1 3 2 1  2 0 (1) (A+B)+C = …………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………. (2) A+(B+C) = …………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………. (3) A+B = …………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………. (4) B+A = …………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………….

Empfohlen

เวกเตอร์
เวกเตอร์เวกเตอร์
เวกเตอร์ธราเทพ ธนะน้อย
 
แผนภาพต้นไม้11
แผนภาพต้นไม้11แผนภาพต้นไม้11
แผนภาพต้นไม้11ทับทิม เจริญตา
 
เฉลยข้อสอบเมทริกซ์ ตอนที่ 1
เฉลยข้อสอบเมทริกซ์ ตอนที่ 1เฉลยข้อสอบเมทริกซ์ ตอนที่ 1
เฉลยข้อสอบเมทริกซ์ ตอนที่ 1K'Keng Hale's
 
เมทริกซ์ (Matrix)
เมทริกซ์ (Matrix)เมทริกซ์ (Matrix)
เมทริกซ์ (Matrix)K'Keng Hale's
 
ตัวอย่างแผนภาพต้นไม้
ตัวอย่างแผนภาพต้นไม้ตัวอย่างแผนภาพต้นไม้
ตัวอย่างแผนภาพต้นไม้ทับทิม เจริญตา
 
สรุปสูตรตรีโกณมิติ
สรุปสูตรตรีโกณมิติสรุปสูตรตรีโกณมิติ
สรุปสูตรตรีโกณมิติคุณครูพี่อั๋น
 
โครงงานคณิตศาสตร์กับวิถีชีวิตชาวนา
โครงงานคณิตศาสตร์กับวิถีชีวิตชาวนาโครงงานคณิตศาสตร์กับวิถีชีวิตชาวนา
โครงงานคณิตศาสตร์กับวิถีชีวิตชาวนาจักรพงษ์ แผ่นทอง
 
แบบทดสอบก่อนเรียนเมทริกซ์
แบบทดสอบก่อนเรียนเมทริกซ์แบบทดสอบก่อนเรียนเมทริกซ์
แบบทดสอบก่อนเรียนเมทริกซ์kruthanapornkodnara
 

Empfohlen

เวกเตอร์
เวกเตอร์เวกเตอร์
เวกเตอร์ธราเทพ ธนะน้อย
 
แผนภาพต้นไม้11
แผนภาพต้นไม้11แผนภาพต้นไม้11
แผนภาพต้นไม้11ทับทิม เจริญตา
 
เฉลยข้อสอบเมทริกซ์ ตอนที่ 1
เฉลยข้อสอบเมทริกซ์ ตอนที่ 1เฉลยข้อสอบเมทริกซ์ ตอนที่ 1
เฉลยข้อสอบเมทริกซ์ ตอนที่ 1K'Keng Hale's
 
เมทริกซ์ (Matrix)
เมทริกซ์ (Matrix)เมทริกซ์ (Matrix)
เมทริกซ์ (Matrix)K'Keng Hale's
 
ตัวอย่างแผนภาพต้นไม้
ตัวอย่างแผนภาพต้นไม้ตัวอย่างแผนภาพต้นไม้
ตัวอย่างแผนภาพต้นไม้ทับทิม เจริญตา
 
สรุปสูตรตรีโกณมิติ
สรุปสูตรตรีโกณมิติสรุปสูตรตรีโกณมิติ
สรุปสูตรตรีโกณมิติคุณครูพี่อั๋น
 
โครงงานคณิตศาสตร์กับวิถีชีวิตชาวนา
โครงงานคณิตศาสตร์กับวิถีชีวิตชาวนาโครงงานคณิตศาสตร์กับวิถีชีวิตชาวนา
โครงงานคณิตศาสตร์กับวิถีชีวิตชาวนาจักรพงษ์ แผ่นทอง
 
แบบทดสอบก่อนเรียนเมทริกซ์
แบบทดสอบก่อนเรียนเมทริกซ์แบบทดสอบก่อนเรียนเมทริกซ์
แบบทดสอบก่อนเรียนเมทริกซ์kruthanapornkodnara
 
เรขาคณิต (Geometry)
เรขาคณิต (Geometry) เรขาคณิต (Geometry)
เรขาคณิต (Geometry) pratumma
 
Matrix1
Matrix1Matrix1
Matrix1Aroonrat Kaewtanee
 
สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวพัน พัน
 
แรง มวล และกฏการเคลื่อนที่ของนิวตัน
แรง มวล และกฏการเคลื่อนที่ของนิวตันแรง มวล และกฏการเคลื่อนที่ของนิวตัน
แรง มวล และกฏการเคลื่อนที่ของนิวตันชิตชัย โพธิ์ประภา
 
แบบฝึกทักษะ อสมการ
แบบฝึกทักษะ อสมการแบบฝึกทักษะ อสมการ
แบบฝึกทักษะ อสมการNoir Black
 
การแก้สมการ
การแก้สมการการแก้สมการ
การแก้สมการAon Narinchoti
 
ข้อสอบจำนวนจริง
ข้อสอบจำนวนจริงข้อสอบจำนวนจริง
ข้อสอบจำนวนจริงkruaunpwk
 
ระบบสมการเชิงเส้น
ระบบสมการเชิงเส้นระบบสมการเชิงเส้น
ระบบสมการเชิงเส้นRitthinarongron School
 
สมดุลกล3
สมดุลกล3สมดุลกล3
สมดุลกล3ชิตชัย โพธิ์ประภา
 
ระบบจำนวนจริง
ระบบจำนวนจริงระบบจำนวนจริง
ระบบจำนวนจริงธีรวุฒิ อภิปรัชญาฐิติ?
 
การแยกตัวประกอบพหุนาม
การแยกตัวประกอบพหุนามการแยกตัวประกอบพหุนาม
การแยกตัวประกอบพหุนามAon Narinchoti
 
ประวัติศาสตร์ไทยสมัยธนบุรี
ประวัติศาสตร์ไทยสมัยธนบุรีประวัติศาสตร์ไทยสมัยธนบุรี
ประวัติศาสตร์ไทยสมัยธนบุรีครูพัฒวิทย์ ครูพัฒวิทย์
 
สมดุลกล2
สมดุลกล2สมดุลกล2
สมดุลกล2ชิตชัย โพธิ์ประภา
 
เนื้อหาเมทริกซ์
เนื้อหาเมทริกซ์เนื้อหาเมทริกซ์
เนื้อหาเมทริกซ์Beer Aksornsart
 
แร่
แร่แร่
แร่พัน พัน
 
ระบบสมการเชิงเส้นและเมทริกซ์
ระบบสมการเชิงเส้นและเมทริกซ์ระบบสมการเชิงเส้นและเมทริกซ์
ระบบสมการเชิงเส้นและเมทริกซ์ธีรวุฒิ อภิปรัชญาฐิติ?
 
บทที่ 3 กราฟและความสัมพันธ์เชิงเส้น.pdf
บทที่ 3 กราฟและความสัมพันธ์เชิงเส้น.pdfบทที่ 3 กราฟและความสัมพันธ์เชิงเส้น.pdf
บทที่ 3 กราฟและความสัมพันธ์เชิงเส้น.pdfssusera0c3361
 
การแปลงทางเรขาคณิต
การแปลงทางเรขาคณิตการแปลงทางเรขาคณิต
การแปลงทางเรขาคณิตphunnika
 
ค่ารากที่ N ของจำนวนจริง
ค่ารากที่ N ของจำนวนจริงค่ารากที่ N ของจำนวนจริง
ค่ารากที่ N ของจำนวนจริงkroojaja
 
อัตราส่วน
อัตราส่วนอัตราส่วน
อัตราส่วนApichaya Savetvijit
 
Matrix
MatrixMatrix
MatrixAon Narinchoti
 
เมทริกซ์ระดับชั้นมัธยมปลาย(Matrix)
เมทริกซ์ระดับชั้นมัธยมปลาย(Matrix)เมทริกซ์ระดับชั้นมัธยมปลาย(Matrix)
เมทริกซ์ระดับชั้นมัธยมปลาย(Matrix)Thanuphong Ngoapm
 

Weitere ähnliche Inhalte

Was ist angesagt?

เรขาคณิต (Geometry)
เรขาคณิต (Geometry) เรขาคณิต (Geometry)
เรขาคณิต (Geometry) pratumma
 
สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวพัน พัน
 
แรง มวล และกฏการเคลื่อนที่ของนิวตัน
แรง มวล และกฏการเคลื่อนที่ของนิวตันแรง มวล และกฏการเคลื่อนที่ของนิวตัน
แรง มวล และกฏการเคลื่อนที่ของนิวตันชิตชัย โพธิ์ประภา
 
แบบฝึกทักษะ อสมการ
แบบฝึกทักษะ อสมการแบบฝึกทักษะ อสมการ
แบบฝึกทักษะ อสมการNoir Black
 
การแก้สมการ
การแก้สมการการแก้สมการ
การแก้สมการAon Narinchoti
 
ข้อสอบจำนวนจริง
ข้อสอบจำนวนจริงข้อสอบจำนวนจริง
ข้อสอบจำนวนจริงkruaunpwk
 
ระบบสมการเชิงเส้น
ระบบสมการเชิงเส้นระบบสมการเชิงเส้น
ระบบสมการเชิงเส้นRitthinarongron School
 
การแยกตัวประกอบพหุนาม
การแยกตัวประกอบพหุนามการแยกตัวประกอบพหุนาม
การแยกตัวประกอบพหุนามAon Narinchoti
 
เนื้อหาเมทริกซ์
เนื้อหาเมทริกซ์เนื้อหาเมทริกซ์
เนื้อหาเมทริกซ์Beer Aksornsart
 
บทที่ 3 กราฟและความสัมพันธ์เชิงเส้น.pdf
บทที่ 3 กราฟและความสัมพันธ์เชิงเส้น.pdfบทที่ 3 กราฟและความสัมพันธ์เชิงเส้น.pdf
บทที่ 3 กราฟและความสัมพันธ์เชิงเส้น.pdfssusera0c3361
 
การแปลงทางเรขาคณิต
การแปลงทางเรขาคณิตการแปลงทางเรขาคณิต
การแปลงทางเรขาคณิตphunnika
 
ค่ารากที่ N ของจำนวนจริง
ค่ารากที่ N ของจำนวนจริงค่ารากที่ N ของจำนวนจริง
ค่ารากที่ N ของจำนวนจริงkroojaja
 

Was ist angesagt? (20)

เรขาคณิต (Geometry)
เรขาคณิต (Geometry) เรขาคณิต (Geometry)
เรขาคณิต (Geometry)
 
Matrix1
Matrix1Matrix1
Matrix1
 
สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
 
แรง มวล และกฏการเคลื่อนที่ของนิวตัน
แรง มวล และกฏการเคลื่อนที่ของนิวตันแรง มวล และกฏการเคลื่อนที่ของนิวตัน
แรง มวล และกฏการเคลื่อนที่ของนิวตัน
 
แบบฝึกทักษะ อสมการ
แบบฝึกทักษะ อสมการแบบฝึกทักษะ อสมการ
แบบฝึกทักษะ อสมการ
 
การแก้สมการ
การแก้สมการการแก้สมการ
การแก้สมการ
 
ข้อสอบจำนวนจริง
ข้อสอบจำนวนจริงข้อสอบจำนวนจริง
ข้อสอบจำนวนจริง
 
ระบบสมการเชิงเส้น
ระบบสมการเชิงเส้นระบบสมการเชิงเส้น
ระบบสมการเชิงเส้น
 
สมดุลกล3
สมดุลกล3สมดุลกล3
สมดุลกล3
 
ระบบจำนวนจริง
ระบบจำนวนจริงระบบจำนวนจริง
ระบบจำนวนจริง
 
การแยกตัวประกอบพหุนาม
การแยกตัวประกอบพหุนามการแยกตัวประกอบพหุนาม
การแยกตัวประกอบพหุนาม
 
ประวัติศาสตร์ไทยสมัยธนบุรี
ประวัติศาสตร์ไทยสมัยธนบุรีประวัติศาสตร์ไทยสมัยธนบุรี
ประวัติศาสตร์ไทยสมัยธนบุรี
 
สมดุลกล2
สมดุลกล2สมดุลกล2
สมดุลกล2
 
เนื้อหาเมทริกซ์
เนื้อหาเมทริกซ์เนื้อหาเมทริกซ์
เนื้อหาเมทริกซ์
 
แร่
แร่แร่
แร่
 
ระบบสมการเชิงเส้นและเมทริกซ์
ระบบสมการเชิงเส้นและเมทริกซ์ระบบสมการเชิงเส้นและเมทริกซ์
ระบบสมการเชิงเส้นและเมทริกซ์
 
บทที่ 3 กราฟและความสัมพันธ์เชิงเส้น.pdf
บทที่ 3 กราฟและความสัมพันธ์เชิงเส้น.pdfบทที่ 3 กราฟและความสัมพันธ์เชิงเส้น.pdf
บทที่ 3 กราฟและความสัมพันธ์เชิงเส้น.pdf
 
การแปลงทางเรขาคณิต
การแปลงทางเรขาคณิตการแปลงทางเรขาคณิต
การแปลงทางเรขาคณิต
 
ค่ารากที่ N ของจำนวนจริง
ค่ารากที่ N ของจำนวนจริงค่ารากที่ N ของจำนวนจริง
ค่ารากที่ N ของจำนวนจริง
 
อัตราส่วน
อัตราส่วนอัตราส่วน
อัตราส่วน
 

Ähnlich wie Matrix1

เมทริกซ์ระดับชั้นมัธยมปลาย(Matrix)
เมทริกซ์ระดับชั้นมัธยมปลาย(Matrix)เมทริกซ์ระดับชั้นมัธยมปลาย(Matrix)
เมทริกซ์ระดับชั้นมัธยมปลาย(Matrix)Thanuphong Ngoapm
 
เมทริกซ์
เมทริกซ์เมทริกซ์
เมทริกซ์Terayut Jeenjam
 
Discrete-Chapter 03 Matrices
Discrete-Chapter 03 MatricesDiscrete-Chapter 03 Matrices
Discrete-Chapter 03 MatricesWongyos Keardsri
 
ตัวกำหนด(Determinant)
ตัวกำหนด(Determinant)ตัวกำหนด(Determinant)
ตัวกำหนด(Determinant)kroojaja
 
สรุปสูตรคณิตศาสตร์
สรุปสูตรคณิตศาสตร์สรุปสูตรคณิตศาสตร์
สรุปสูตรคณิตศาสตร์wisita42
 
แผนที่ 6 การเขียนกราฟของสมการฯ
แผนที่ 6 การเขียนกราฟของสมการฯแผนที่ 6 การเขียนกราฟของสมการฯ
แผนที่ 6 การเขียนกราฟของสมการฯทับทิม เจริญตา
 
จำนวนจริง
จำนวนจริงจำนวนจริง
จำนวนจริงPiyanouch Suwong
 
แบบฝึกชุด 1 วิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ค31202 ภาคเรียนที่2 ปี2556
แบบฝึกชุด 1 วิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ค31202 ภาคเรียนที่2 ปี2556แบบฝึกชุด 1 วิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ค31202 ภาคเรียนที่2 ปี2556
แบบฝึกชุด 1 วิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ค31202 ภาคเรียนที่2 ปี2556พัน พัน
 
สรุปเนื้อหา O- net ม.6
สรุปเนื้อหา O- net ม.6 สรุปเนื้อหา O- net ม.6
สรุปเนื้อหา O- net ม.6 sensehaza
 
สมการและอสมการ
สมการและอสมการสมการและอสมการ
สมการและอสมการORAWAN SAKULDEE
 
Pre 7 วิชา ครั้งที่ 1
Pre 7 วิชา ครั้งที่ 1Pre 7 วิชา ครั้งที่ 1
Pre 7 วิชา ครั้งที่ 1Wanutchai Janplung
 
บทที่ 1 เรื่องฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียลและลอการิทึม
บทที่ 1 เรื่องฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียลและลอการิทึมบทที่ 1 เรื่องฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียลและลอการิทึม
บทที่ 1 เรื่องฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียลและลอการิทึมภัชรณันติ์ ศรีประเสริฐ
 
บทที่ 1 เรื่องฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียลและลอการิทึม
บทที่ 1 เรื่องฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียลและลอการิทึมบทที่ 1 เรื่องฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียลและลอการิทึม
บทที่ 1 เรื่องฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียลและลอการิทึมภัชรณันติ์ ศรีประเสริฐ
 
แผนที่
แผนที่แผนที่
แผนที่Cha Rat
 

Ähnlich wie Matrix1 (20)

Matrix
MatrixMatrix
Matrix
 
เมทริกซ์ระดับชั้นมัธยมปลาย(Matrix)
เมทริกซ์ระดับชั้นมัธยมปลาย(Matrix)เมทริกซ์ระดับชั้นมัธยมปลาย(Matrix)
เมทริกซ์ระดับชั้นมัธยมปลาย(Matrix)
 
เมทริกซ์
เมทริกซ์เมทริกซ์
เมทริกซ์
 
Realnumbers
RealnumbersRealnumbers
Realnumbers
 
Discrete-Chapter 03 Matrices
Discrete-Chapter 03 MatricesDiscrete-Chapter 03 Matrices
Discrete-Chapter 03 Matrices
 
Matrix53
Matrix53Matrix53
Matrix53
 
ตัวกำหนด(Determinant)
ตัวกำหนด(Determinant)ตัวกำหนด(Determinant)
ตัวกำหนด(Determinant)
 
เลขยกกำลัง
เลขยกกำลังเลขยกกำลัง
เลขยกกำลัง
 
สรุปสูตรคณิตศาสตร์
สรุปสูตรคณิตศาสตร์สรุปสูตรคณิตศาสตร์
สรุปสูตรคณิตศาสตร์
 
แผนที่ 6 การเขียนกราฟของสมการฯ
แผนที่ 6 การเขียนกราฟของสมการฯแผนที่ 6 การเขียนกราฟของสมการฯ
แผนที่ 6 การเขียนกราฟของสมการฯ
 
60 vector 3 d-full
60 vector 3 d-full60 vector 3 d-full
60 vector 3 d-full
 
จำนวนจริง
จำนวนจริงจำนวนจริง
จำนวนจริง
 
แบบฝึกชุด 1 วิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ค31202 ภาคเรียนที่2 ปี2556
แบบฝึกชุด 1 วิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ค31202 ภาคเรียนที่2 ปี2556แบบฝึกชุด 1 วิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ค31202 ภาคเรียนที่2 ปี2556
แบบฝึกชุด 1 วิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ค31202 ภาคเรียนที่2 ปี2556
 
สรุปเนื้อหา O- net ม.6
สรุปเนื้อหา O- net ม.6 สรุปเนื้อหา O- net ม.6
สรุปเนื้อหา O- net ม.6
 
สมการและอสมการ
สมการและอสมการสมการและอสมการ
สมการและอสมการ
 
Pre 7 วิชา ครั้งที่ 1
Pre 7 วิชา ครั้งที่ 1Pre 7 วิชา ครั้งที่ 1
Pre 7 วิชา ครั้งที่ 1
 
บทที่ 1 เรื่องฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียลและลอการิทึม
บทที่ 1 เรื่องฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียลและลอการิทึมบทที่ 1 เรื่องฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียลและลอการิทึม
บทที่ 1 เรื่องฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียลและลอการิทึม
 
บทที่ 1 เรื่องฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียลและลอการิทึม
บทที่ 1 เรื่องฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียลและลอการิทึมบทที่ 1 เรื่องฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียลและลอการิทึม
บทที่ 1 เรื่องฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียลและลอการิทึม
 
Pat1 58-10+key
Pat1 58-10+keyPat1 58-10+key
Pat1 58-10+key
 
แผนที่
แผนที่แผนที่
แผนที่
 

Matrix1

  • 1. หน้ าที่ 1 เมตริกซ์ ผลการเรี ยนรู้ ท่ ีคาดหวัง 1. มีความคิดรวบยอดเกี่ยวกับเมตริกซ์ และการดาเนินการของเมตริกซ์ 2. หาดีเทอร์ มินันต์ ของเมตริกซ์ n x n เมื่อ n เป็ นจานวนเต็มไม่ เกินสี่ได้ 3. วิเคราะห์ และหาคาตอบของระบบสมการเชิงเส้ นได้
  • 2. หน้ าที่ 2 เมตริกซ์ (Matrix) 3.1 สัญลักษณ์ ของเมตริกซ์ สาหรับข้ อมูลที่เกี่ยวข้ องกับจานวน ถ้ าจัดจานวนที่ปรากฎให้ เรี ยงกันเป็ นแถวๆ แถวละเท่าๆกัน จะ สะดวกในการศึกษาข้ อมูลนันๆ ้ ตัวอย่ างเช่ น รายการอาหารของร้ านแห่งหนึง เป็ นดังนี ้ ่ ก๋วยเตี๋ยว ธรรมดา ราคา 15 บาท พิเศษ ราคา 20 บาท ข้ าวราดแกง ธรรมดา ราคา 12 บาท พิเศษ ราคา 18 บาท เกาเหลา ธรรมดา ราคา 10 บาท พิเศษ ราคา 15 บาท ถ้ าเรานาตัวเลขซึงมี 3 แถว 2 ตัว มาเขียนภายในวงเล็บ ( ) หรื อ [ ] จะได้ ชดของตัวเลข ่ ุ 15 20  15 20      12 18  หรื อ 12 18  จะเรี ยกเลขชุดข้ างต้ นนี ้ว่า เมตริกซ์ และเรี ยกจานวนแต่ละจานวนว่า 10 15  10 15      สมาชิกของเมตริกซ์ สมาชิกที่เรี ยงกันอยูในแนวนอน เรี ยกว่า สมาชิกที่อยู่ในแถว(Row) ของเมตริกซ์ ่ สมาชิกของเมตริกซ์ที่เรี ยงอยูในแนวดิง เรี ยกว่า สมาชิกที่อยู่ในหลัก (Column) ของเมตริกซ์ ่ ่ ตัวอย่ างของเมตริกซ์ 15 20    เป็ นเมตริกซ์ที่มี 2 แถว 2 หลัก 12 18  2 5 3 เป็ นเมตริกซ์ที่มี 1 แถว 3 หลัก 5    2  เป็ นเมตริกซ์ที่มี 3 แถว 1 หลัก 7    บทนิยาม ถ้ า A เป็ นเมตริกซ์ที่มี m แถว และมี n หลัก จะเรี ยก A ว่า มีมิติ mxn (อ่านว่า เอ็ม คูน เอ็น ) 2 1 3  ตัวอย่ างเช่ น   มีมิติ 2x3 เรี ยกว่า 2x3 เมตริกซ์ 4 5 6  [5] มีมิติ 1x1 เรี ยกว่า 1x1 เมตริกซ์ [4 5 6 ] มีมิติ 1x3 เรี ยกว่า 1x3 เมตริกซ์
  • 3. หน้ าที่ 3  6    2  มีมิติ 3x1 เรี ยกว่า 3x1 เมตริกซ์ 1    โดยทัวไปใช้ ภาษาอังกฤษตัวพิมพ์ใหญ่เช่น A , B แทนชื่อของเมตริกซ์ ใช้ อกษรภาษาอังกฤษ ่ ั ตัวเขียนเลข แทนสมาชิกของเมตริกซ์ โดยกากับดัชนีลาง ij ที่มมล่างขวามือไว้ ด้วย ่ ุ aij แทนสมาชิกที่อยูตาแหน่งแถวที่ i และหลักที่ j ่ ตัวอย่ างเช่ น เมตริกซ์ A เป็ นเมตริซ์ทีมีมิติ 2x3 จะเขียนในรูปทัวไปได้ ดงนี ้ ่ ั a11 a12 a13  แถวที่ 1 A =   a 21 a 22 a 23  แถวที่ 2 หลักที่ 1 หลักที่ 2 หลักที่ 3 หรื อเขียนได้ อีกรูปแบบหนึงคือ ่ A = [ aij ] 2x3 แบบฝึ กหัดที่ 1 2 5    1. กาหนด A = 3 1  จงหา 4 2    (1) มิตของ A คือ ………………………. ิ (2) a32 = …………….. a21 = ……………… a11+ a22 = ……………………….. 1 เมื่อ i = j 2. จงเขียนเมตริกซ์ A = [ aij ]3x3 โดยที่ aij = 2 เมื่อ i < j 0 เมื่อ i > j 3. จากบทนิยามของทรานสโพส A บทนิยาม 2 ถ้ า A เป็ น m  n เมตริกซ์ใด ๆ แล้ ว ทรานสโพสของ A คือ n  m เมตริกซ์ ที่มี หลักที่ i เหมือนแถวที่ i ของเมตริกซ์ A เมื่อ i = 1, 2, 3, …, m ทรานสโพสของ A เขียนแทนด้ วย At
  • 4. หน้ าที่ 4 จงหา At เมื่อกาหนด A ดังนี ้ (1) A = |3] At = …………… (5) A = 0 2   At = ……………. 2 0  ( 2 ) A = | 1 - 2 ] At = …………….. (6) A = 1 2 3   A t = …………….  4 5 6 (3) A = 4   At = ……………. (7) A = 1 0    At = ……………. 0  0 1 (4) A =  1 2   At = ……………. (8) A = 1 2    At = …………….  5 0   3 4 3.2 การเท่ ากันของเมตริกซ์ บทนิยาม 2 เมตริกซ์ A = [ aij ] m  n และ B = [ bij ] p q จะเป็ นเมตริกซ์ที่เท่ากัน เขียนแทนด้ วย A = B ก็ตอเมื่อ ่ ( 1 ) m = p และ n = q ( 2 ) aij = bij สาหรับทุก i = 1, 2, 3, …, m และ j = 1, 2, 3, …, n ข้ อสรุ ป A = B ก็ตอเมื่อ ่ ( 1 ) A และ B มีมิตเิ ดียวกัน ( 2 ) สมาชิกของ A และ B ที่อยูตาแหน่งเดียวกัน มีคาเท่ากันทุกตัว ่ ่  x  2y 1 3 1  ตัวอย่ างที่ 1 กาหนดให้ A =   และ B =   จงหาจานวนจริง x และ y  0 4  0 2x  ที่ทาให้ A = B วิธีทา จากนิยามการเท่ากัน A = B จะได้ วา ่ x + 2y = 3 1 = 1 0 = 0 4 = 2x x = 2 และ y = 1 2
  • 5. หน้ าที่ 5 แบบฝึ กหัดที่ 2  3 x 2 y  3 1 5  1. ถ้ า   =   จงหา x, y, z 2 4 1 2 4 z …………………………………………………………………………………………………………………… … ……………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………  x  y 5 3 5  2. ถ้ า   =   จงหา x, y  4 1  4 x y  ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………  x 2 1 3  0 3 3. จงหาจานวนจริง x และ y ที่ทาให้ A = B เมื่อกาหนดให้ A =   และ B =     x y 4    y 1 ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………
  • 6. หน้ าที่ 6 3.3 การบวกเมตริกซ์ บทนิยาม กาหนดให้ A = [ aij ] m  n และ B = [ bij ] m  n ผลบวกของ A และ B เขียนแทนด้ วย A + B โดยที่ A + B =  aij   b ij m  n 1 2 2 5  2 ตัวอย่ างที่ 1 ถ้ ากาหนดให้ A =   , B=   , C=    3 0  1 1 1 จงหา A + B และ A + C ในกรณีที่หาค่าได้ 1 2 2 5  12 2  5  3 7 วิธีทา A+B =   +   =   =    3 0  1 1  3  ( 1) 0  1  2 1 1 2  2 A+C =   +   หาผลบวกไม่ได้ เพราะมีมิตไม่เหมือนกัน ิ  3 0 1 แบบฝึ กหัดที่ 3  1 2  2  1   2 1 1. กาหนดให้ A =  , B=  , c=   จงหา  1 3 0 1  3 0 (1) A+B …………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. (2) B+A …………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. (3) (A+B)+C …………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………….
  • 7. หน้ าที่ 7 (4) A+(B+C) …………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………….  0 0 ( 5 ) A + 0 เมื่อ 0 =      0 0 …………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………… ข้ อสังเกต ( 1 ) มิตของ A + B เท่ากับ มิตของ A หรื อมิตของ B หรื อไม่ ……………. ิ ิ ิ ( 2 ) ผลลัพธ์ในข้ อใดมีคาเท่ากัน …………………………………………………….. ่ …………………………………………………….. ( 3 ) เมื่อ A และ 0 มีมิตเิ ท่ากัน ผลบวก A + 0 มีความสัมพันธ์อย่างไรกับ A   …………………………………………………………………………………….. 2. จงหาเมตริกซ์ x ที่สอดคล้ องกับสมการที่กาหนดให้ ต่อไปนี ้  2 1 1 2   0  1 (1)   +   +X =    1 3   0 4 1 2  …………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………….
  • 8. หน้ าที่ 8 3 4 (2)   + X = 0   2 1  …………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. 1 2 1 2 (3)   + X =     3 0  3 0  …………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. 3.4 การคูณเมตริกซ์ ด้วยจานวนจริง บทนิยาม ให้ A = [ aij ] m  n และ c เป็ นจานวนจริง ผลคูณของ c และ A จะเขียนแทนด้ วยสัญลักษณ์ cA โดยที่ cA = [ caij ] m  n
  • 9. หน้ าที่ 9 2 1 2 2 ตัวอย่ างที่ 1 กาหนดให้ A =   , B =   จงหา  1  1  0 2 ( 1 ) 3A + 2B (2) (-2)A (3) (-1)B 2 1 2 2  3 ( 2) 3 (1)  2 ( 2) 2 ( 2)  วิธีทา (1 ) 3   +2   =   +    1  1  0 2  3 ( 1) 3 ( 1)   2 (0) 2 ( 2)  6 3 4 4 =   +    3  3  0 4  6  ( 4 ) 3  4 2 7 =   =    30  3  4 3 1 2 1 2 2 ( 2) ( - 2 ) A = ( -2 )   (3) (-1)B = (-1)    1  1  0 2  ( 2)( 2) ( 2)( 1)   ( 1)( 2) ( 1)( 2)  =   =    ( 2)( 1) ( 2)( 1)   ( 1)( 0 ) ( 1)( 2)  4  2 2 2 =   =   2 2 0  2 บทนิยาม กาหนดให้ A = [ aij ] m  n จะได้ วา - A = ( - 1 ) A ่ กาหนดโดย - A = [ -aij ] m  n 2 2 2  2 เช่น B =   แล้ ว -B =    2  0 2 0  2   2 C =   แล้ ว -C =     1  1  0 0  0 0 D =   แล้ ว -D =    0 0  0 0
  • 10. หน้ าที่ 10 บทนิยามของการลบเมตริกซ์ บทนิยาม กาหนด A = [ aij ] m  n และ B = [ bij ] m  n A – B เป็ นเมตริกซ์มิติ m  n โดยที่ A – B = A + ( - B ) = [ aij ] m  n + [ -bij ] m  n จากบทนิยาม กาหนด A = [ aij ] m  n - [ bij ] m  n A + ( - B ) = [ aij ] m  n + [ -bij ] m  n =  aij  ( bij )  m  n =  aij   bij m  n แบบฝึ กหัดที่ 4 2 1 3  5 1. กาหนด A=   , B=   จงหา 0 1 1 2 ( 1 ) 2A + 2B …………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. (2) 2(A+B) …………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………….
  • 11. หน้ าที่ 11 ( 3 ) 3A + 5A …………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. (5) 0A …………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ( 6 ) ( 2  3 ) A , 2 ( 3A ) …………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………. จงหาคาตอบต่อไปนี ้  1 0 4 1     (1) 5  1 3 -2  2  3  4  1  1  0  …………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………….
  • 12. หน้ าที่ 12 3  4 2 3  1  2 (2) 4   -5   +7    1 2  1 2  1 1 …………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………. 3  4 2 3  1  2 (3) 4   - 5   +7    1 2  1 2  1 1 3. จงหาเมตริกซ์ X จากสมการ 1 2 7  1 ( 1 ) 5x + 2   =    5 1  0  3 …………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………….  1 2 1 4 (2)   =3   -x 2 3 2 3  …………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………….
  • 13. หน้ าที่ 13 คุณสมบัตการคูณเมตริกซ์ ด้วยจานวนจริง ิ 1. ถ้ า A เป็ นเมตริกใด ๆ แล้ ว 1 A = A 2. ถ้ า A เป็ นเมตริกใด ๆ แล้ ว ( - 1 ) A = - A 3. ถ้ า A เป็ นเมตริกใด ๆ และ c, d เป็ นจานวนจริง แล้ ว ( c + d )A = cA + dA 4. ถ้ า A เป็ นเมตริกใด ๆ และ c, d เป็ นจานวนจริง แล้ ว ( cd ) A = c ( dA ) 5. ถ้ า A และ B เป็ นเมตริกซ์ที่มีมิตเิ ท่ากัน และ c เป็ นจานวนจริงแล้ ว c ( A + B ) = cA + cB 6. ถ้ า A เป็ นเมตริกซ์ใด ๆ และ n เป็ นจานวนเต็มบวก แล้ ว nA = A+A+A+…+A ( n เมตริกซ์ ) 7. ถ้ า A เป็ นเมตริกซ์ใด ๆ แล้ ว 0A = 0  8. ถ้ า c เป็ นจานวนจริงใด ๆ c0 = 0   3.5 ผลคูณเมตริกซ์ ด้วยเมตริกซ์ b11    b 21  .  บทนิยาม ถ้ า A = [ a11 a12 . . . a1n ] และ B =   .  b   n1  ผลคูณ A ด้ วย B จะเขียนแทนด้ วย AB AB = [ a11b11 + a12b21 + . . . + a1nbn1 ]
  • 14. หน้ าที่ 14 ตัวอย่ างที่ 1  2   3 =  ( 2) ( 3)  = [ 6 ]  3 1 2   =  1(3)  2( 4)  =  11   4  4  1 2 3  5    =  1( 4)  2(5)  3(6)  =  4  10  18  =  32   6   นิยาม ถ้ า A = [ aij ] m  n B = [ bij ] n  p ผลคูณ AB จะเป็ นเมตริกซ์ที่มีมิติ m  p โดยที่ AB = C = [ cij ] m  p นิยามโดย cij = ai1 b1j + ai2 b2j + … + ain bnj หมายเหตุ ( 1 ) นิยามผลคูณ A B เมื่อ จานวนหลักของตัวตัง้ ( A ) เท่ากับจานวนแถวของตัวคูณ ( B ) ( 2 ) ผลคูณ A B เป็ นเมตริกซ์ที่มีจานวนแถวเท่ากับจานวนแถวของ A และจานวนหลักเท่ากับจานวนหลักของ B ( 3 ) ถ้ า A B = C โดยที่ [ aij ] m  n [ bij ] n  p = [ cij ] m  p  1 2  2 1 3   ตัวอย่ างที่ 2 กาหนด A =   และ B =  0 1 จงหา ( 1 ) A B (2) BA  4 1 0  1 0    1 2  2 1 3   วิธีทา (1) AB =   0 1 4 1 0    1 0   สมมุติ AB = C ดังนัน A2  3 B3  2 = C2  2 ้ ผลคูณจะมีมิติ 2  2  c 11 c 12  C2  2 =    c 21 c 22  โดยที่ c11 = ( แถวที่ 1 ของ A ) คูณกับ ( หลักที่ 1 ของ B) = 2 (1) + 1 (0) + 3 (1) = 2+0+3 = 5 c12 = ( แถวที่ 1 ของ A ) คูณกับ ( หลักที่ 2 ของ B) = 2 (2) + 1 (1) + 3 (0) = 4+1+0 = 5 c21 = ( แถวที่ 2 ของ A ) คูณกับ ( หลักที่ 1 ของ B)
  • 15. หน้ าที่ 15 = 4 (1) + 1 (0) + 0 (1) = 4 + 0 + 0 = 4 c22 = ( หลักที่ 2 ของ A ) คูณกับ ( หลักที่ 2 ของ B ) = 4 (2) + 1 (1) + 0 (0) = 8 + 1 + 0 = 9 5 5 ดังนัน ้ c =   4 9 1 2   2 3 (2) BA = 0 1  1  ดังนัน ผลคูณมีมิติ 3  3 ้ 1 0 4 1 0  23   32  1( 2)  2( 4 ) 1(1)  2(1) 1( 3)  2( 0 )     BA =  0 ( 2)  1( 4 ) 0 (1)  1(1) 0 ( 3)  1( 0 )   1( 2)  0 ( 4 )  1(1)  0 (1) 1( 3)  0 ( 0 )    10 3 3   =  4 1 0  2  1 3  แบบฝึ กหัดที่ 5 1. จงหาผลคูณ   2   (1) [1 1 0]  1 = ………………………………………………………………….  1   ……………………………………………………………………. 1  2    ( 2 ) [ 4 2 0] 1  = …………………………………………………………………. 3        …………………………………………………………………..  5    (3) [ 0 2 1 0]  0   0  = ………………………………………………………………    6  ……………………………………………………………….  1 (4) [2]   2 = ………………………………………………………………….   ………………………………………………………………….
  • 16. หน้ าที่ 16 2. จงหาผลคูณ A B และ B A ( ในกรณีที่หาค่าได้ )  1 (1) A =  2 และ B = [ -6 ]   A B = ……………………………………………………………………… B A = ………………………………………………………………………   2 (2) A = [ 1 -3 ] และ B =    1 A B = …………………………………………………………………… B A = ………………………………………………………………….. 1 0 2  1   (3) A =  1  และ B =  2  1 0 2 1 1 1   A B = ………………………………………………………………….. …………………………………………………………………. B A = …………………………………………………………………. ………………………………………………………………… 0 5 3 2 (4) A =  , B=   0 4 0 0 A B = ………………………………………………………………….. …………………………………………………………………. B A = …………………………………………………………………. ………………………………………………………………… 0 1 2 1 3. กาหนด A   และ B =   จงหา 0 0 0 1 ( 1 ) A2 = A . A ……………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………
  • 17. หน้ าที่ 17 ( 2 ) B3 = B 2 . B พิจารณาค่า B3 = B . B2 ………………………………………………….. ………………………………………………….. ………………………………………………….. ………………………………………………….. ………………………………………………….. ………………………………………………….. ………………………………………………….. ………………………………………………….. ………………………………………………….. ………………………………………………….. 1 0 2 1 4. กาหนด I2 =   และ A =    1 จงหาผลลัพธ์ A2 – 2A + I2 0 1 3 …………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………. 3.6 สมบัตของการบวกเมตริกซ์ ิ ในการบวกจานวนจริง มีสมบัตของการบวกดังนี ้ ิ 1. สมบัตปิดของการบวก ิ ถ้ า a  R และ b  R แล้ ว a + b  R 2. สมบัตสลับที่ของการบวก สาหรับ a, b  R จะได้ วา a + b = b + a ิ ่ 3. สมบัตการเปลี่ยนกลุ่มได้ ของการบวก สาหรับ a, b, c  R จะได้ วา ิ ่ (a+b)+c = a+(b+c) 4. มีเอกลักษณ์ การบวก จะมี 0  R โดยที่ a + 0 = 0 + a = a ทุกค่าของ a  R 5. มีอินเวอร์ สการบวกสาหรับจานวนจริงแต่ ละจานวน แต่ละ a  R จะมี -a  R โดยที่ a+(-a) = (-a)+a = 0 ให้ S เป็ นเซตของเมตริกซ์ m  n เมตริกซ์ เมื่อเราศึกษาเกี่ยวกับสมบัตการบวกของเมตริกซ์ของจานวนจริง มิติ m  n ใด ๆ จะได้ ิ ว่า การบวกเมตริกซ์มีสมบัตที่สอดคล้ องกับการบวกจานวนจริง ดังต่อไปนี ้ ิ
  • 18. หน้ าที่ 18 สมบัตปิดของการบวก ให้ A และ B เป็ ฯสมาชิกใด ๆ ของ S ซึงเป็ นเซตของ m  n เมตริกซ์ ิ ่ โดยที่ A = [ aij ] m  n และ B = [ bij ] m  n โดยบทนิยามของการบวก จะได้ A + B = [ aij + bI j] m  n เมื่อ aij  R และ bij  R จะได้ วา aij + bij  R ่ นันคือ A + B จะเป็ นเมตริกซ์ของจานวนจริง มีมิติ m  n ด้ วย ้ ดังนัน S มีสมบัตปิดของการบวก ้ ิ สมบัตสลับที่ของการบวก ิ ถ้ า A, B เป็ นสมาชิกใด ๆ ของ S , ให้ A = [ aij ] m  n และ B = [ bij ] m  n A + B = [ aij + bI j] m  n B + A = [ bij + aI j] m  n = [ aij + bI j] m  n = A+B ดังนัน ้ A+B = B+A ; นันคือ S มีสมบัตสลับที่ของการบวก ่ ิ แบบฝึ กหัดที่ 6 a b 1. กาหนด X =   จงหาเมตริกซ์ X ที่สอดคล้ องกับสมการต่อไปนี ้ c d 2 3 2 3 (1)   + X =   5 1 5 1 …………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………….
  • 19. หน้ าที่ 19 2 3 0 0 (2)   + X =   5 1 0 0 …………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………….  2 5 0 1   3 1 2. ให้ A =  , B=   และ c=   จงหา  1 3 2 1  2 0 (1) (A+B)+C = …………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………. (2) A+(B+C) = …………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………. (3) A+B = …………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………. (4) B+A = …………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………….