1.matemática básica 01 senai

Curso Técnico em Mecânica
Matemática Aplicada à Mecânica

Armando de Queiroz Monteiro Neto
Presidente da Confederação Nacional da Indústria
José Manuel de Aguiar Martins
Diretor do Departamento Nacional do SENAI
Regina Maria de Fátima Torres
Diretora de Operações do Departamento Nacional do SENAI
Alcantaro Corrêa
Presidente da Federação das Indústrias do Estado de Santa Catarina
Sérgio Roberto Arruda
Diretor Regional do SENAI/SC
Antônio José Carradore
Diretor de Educação e Tecnologia do SENAI/SC
Marco Antônio Dociatti
Diretor de Desenvolvimento Organizacional do SENAI/SC

Confederação Nacional das Indústrias
Serviço Nacional de Aprendizagem Industrial
Curso Técnico em Mecânica
Matemática Aplicada à Mecânica
Almir da Silva
Jairo Gayo
Renato Antonio Schramm
Florianópolis/SC
2010

É proibida a reprodução total ou parcial deste material por qualquer meio ou sistema sem o prévio
consentimento do editor. Material em conformidade com a nova ortografia da língua portuguesa.
Equipe técnica que participou da elaboração desta obra
Coordenação de Educação a Distância
Beth Schirmer
Revisão Ortográfica e Normatização
Contextual Serviços Editoriais
Coordenação Projetos EaD
Maristela de Lourdes Alves
Design Educacional, Ilustração,
Projeto Gráfico Editorial, Diagramação
Equipe de Recursos Didáticos
SENAI/SC em Florianópolis
Autores
Almir da Silva
Jairo Gayo
Renato Antonio Schramm
SENAI/SC — Serviço Nacional de Aprendizagem Industrial
Rodovia Admar Gonzaga, 2.765 – Itacorubi – Florianópolis/SC
CEP: 88034-001
Fone: (48) 0800 48 12 12
www.sc.senai.br
Ficha catalográfica elaborada por Luciana Effting CRB14/937 - Biblioteca do SENAI/SC Florianópolis
S586m
Silva , Almir da
Matemática aplicada à mecânica / Almir da Silva, Jairo Gayo, Renato
Antonio Schramm. – Florianópolis : SENAI/SC, 2010.
73 p. : il. color ; 28 cm.
Inclui bibliografias.
1. Matemática - Estudo e ensino. 2. Equações. 3. Geometria 4.
Trigonometria. I. Gayo, Jairo. II. Schramm, Renato Antonio. III. SENAI.
Departamento Regional de Santa Catarina. IV. Título.
CDU 51

Prefácio
Você faz parte da maior instituição de educação profissional do estado.
Uma rede de Educação e Tecnologia, formada por 35 unidades conecta-
das e estrategicamente instaladas em todas as regiões de Santa Catarina.
No SENAI, o conhecimento a mais é realidade. A proximidade com as
necessidades da indústria, a infraestrutura de primeira linha e as aulas
teóricas, e realmente práticas, são a essência de um modelo de Educação
por Competências que possibilita ao aluno adquirir conhecimentos, de-
senvolver habilidade e garantir seu espaço no mercado de trabalho.
Com acesso livre a uma eficiente estrutura laboratorial, com o que existe
de mais moderno no mundo da tecnologia, você está construindo o seu
futuro profissional em uma instituição que, desde 1954, se preocupa em
oferecer um modelo de educação atual e de qualidade.
Estruturado com o objetivo de atualizar constantemente os métodos de
ensino-aprendizagem da instituição, o Programa Educação em Movi-
mento promove a discussão, a revisão e o aprimoramento dos processos
de educação do SENAI. Buscando manter o alinhamento com as neces-
sidades do mercado, ampliar as possibilidades do processo educacional,
oferecer recursos didáticos de excelência e consolidar o modelo de Edu-
cação por Competências, em todos os seus cursos.
É nesse contexto que este livro foi produzido e chega às suas mãos.
Todos os materiais didáticos do SENAI Santa Catarina são produções
colaborativas dos professores mais qualificados e experientes, e contam
com ambiente virtual, mini-aulas e apresentações, muitas com anima-
ções, tornando a aula mais interativa e atraente.
Mais de 1,6 milhões de alunos já escolheram o SENAI. Você faz parte
deste universo. Seja bem-vindo e aproveite por completo a Indústria
do Conhecimento.

Sumário
ConteúdoFormativo 9
Apresentação 11
Sobre o autor 11
12 Unidade de estudo 1
Conceitos básicos
Seção 1 - Conjuntos numéri-
cos e números decimais
Seção 2 - Operações e ex-
pressões numéricas
Seção 3 - Frações

Razão e proporção
Seção 1 - Razão direta e
inversa
Seção 2 - Proporções
Seção 3 - Porcentagem
Equações
Seção 1 - Equações polino-
miais do 1º grau
Seção 2 - Equações polino-
miais do 2º grau
13
15
18
Trigonometria
Seção 1 - Teorema de Pitá-
goras
Seção 2 - Semelhança de
triângulos
Seção 3 - Razões trigonomé-
tricas no triângulo retângulo
Geometria plana e
espacial
Seção 1 - Área e perímetro
de figuras planas
Seção 2 - Superfície e volu-
me de sólidos geométricos
Finalizando 71
Referências 73
25
26
28
33
36
43
44
45
51
60

8 CURSO DE APRENDIZAGEM INDUSTRIAL

Conteúdo Formativo
9MATEMÁTICA APLICADA À MECÂNICA
Carga horária da dedicação
Carga horária: 30h
Competências
Aplicar ferramentas matemáticas para resolução de problemas em sistemas
mecânicos.
Conhecimentos
▪▪ Conjuntos numéricos.
▪▪ Operações com números decimais.
▪▪ Frações, potenciação e radiciação.
▪▪ Proporções e regra de três simples.
▪▪ Equações do 1º e 2º grau.
▪▪ Trigonometria.
▪▪ Geometria plana e espacial.
Habilidades
▪▪ Utilizar técnicas da matemática aplicada.
▪▪ Interpretar catálogos, manuais e tabelas técnicas.
▪▪ Realizar cálculos matemáticos necessários para o dimensionamento de equipa-
mentos e acessórios utilizados na Mecânica.
Atitudes
▪▪ Assiduidade.
▪▪ Proatividade.
▪▪ Relacionamento interpessoal.
▪▪ Trabalho em equipe.
▪▪ Cumprimento de prazos.

Apresentação
MATEMÁTICA APLICADA À MECÂNICA
Prezado aluno, seja bem-vindo à unidade curricular Matemática Aplica-
da à Mecânica.
Você sabia que a matemática é talvez a mais antiga das ciências hu-
manas? Se considerarmos que outros primatas, menos desenvolvidos,
também possuem noção de contagem, podemos dizer que utilizamos
a matemática há muito tempo, desde os tempos das cavernas. Com o
passar dos anos e a evolução humana, a matemática se fez cada vez mais
necessária nas diversas áreas do conhecimento humano. Atualmente, sua
aplicação vai desde o comércio até a indústria, passando por áreas como
a tecnologia e o lazer.
Neste curso técnico você verá que a unidade curricular de matemática
se faz necessária, pois sua aplicação na área da Mecânica é muito ampla.
É impossível desenvolver peças e equipamentos mecânicos sem realizar
cálculos.
A intenção deste material didático é desenvolver e relembrar conceitos
matemáticos que serão de fundamental importância para seu curso e sua
futura carreira profissional na Mecânica.
Preparado para esta jornada? Bons estudos!
Professores Almir da Silva,
Jairo Gayo e Renato
Antonio Schramm
Almir da Silva é especialista
em Consultoria Empresarial
pela Universidade Federal de
Santa Catarina. Graduado em
Matemática – Licenciatura &
Bacharelado – pela Fundação
Universidade Regional de Blu-
menau. Atua há 28 anos no SE-
NAI Blumenau como instrutor e
especialista de Ensino na área
de Mecânica, foi professor de
Matemática da Rede Pública
Estadual do Estado de Santa Ca-
tarina.
Jairo Gayo é especialista em
Matemática Computacional
pela Universidade Federal de
Santa Catarina e em Metodo-
logia do Ensino de Matemática
pelo Instituto Brasileiro de Pós-
Graduação e Extensão. Possui
graduação em Matemática – Li-
cenciatura & Bacharelado – pela
Fundação Universidade Regio-
nal de Blumenau. Atualmente
é professor tutor interno na
Uniasselvi, instrutor no SENAI
Blumenau e professor da Rede
Pública Estadual do Estado de
Santa Catarina.
Renato Antonio Schramm é
pós-graduado em Psicopedago-
gia pelo Instituto Catarinense
de Pós-Graduação. Graduado
em Matemática – Licenciatura
– pela Fundação Universidade
Regional de Blumenau. Atua há
22 anos no SENAI/SC como ins-
trutor e especialista de ensino
na área de Mecânica e como
professor de Cálculo nos cursos
Superior de Tecnologia do SE-
NAI Blumenau.
11

Unidade de
estudo 1
Seções de estudo
Seção 1 – Conjuntos Numéricos e Núme-
ros Decimais
Seção 2 – Operações e Expressões
Numéricas
Seção 3 – Frações

Seção 1
Conjuntos Numéricos
e Números Decimais
Os conjuntos numéricos são uma
forma de classificar os números
segundo algumas características
básicas, como propriedades e
complexidade. Classificando os
números você pode compreender
melhor suas aplicações na Mecâ-
nica.
Conjunto dos Números
Naturais, N
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,
10, 11, 12, ...}
Os Números Naturais foram os
primeiros utilizados pelo homem,
empregados na contagem de ali-
mentos, utensílios e pessoas. Sua
forma primitiva não permite ob-
ter respostas negativas neste con-
junto de cálculos, tais como 3 - 5
e 3 ÷ 5. Por isso, surgiram outros
conjuntos numéricos que você
conhecerá a seguir.
Conjunto dos Números
Inteiros, Z
Z = {..., - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, ...}
Conceitos Básicos
Estes números surgiram com a necessidade dos comerciantes e dos ban-
cos em representar dívidas e saldos negativos. Com este conjunto você
pode efetuar o seguinte cálculo, 3 - 5 = - 2.
Conjunto dos Números Racionais, Q
Racional é todo número que pode ser escrito na forma de fração, a/b
sendo a e b Números Naturais e b diferente de zero.
Q = { ( a ) / b | a , b ε Ν e b ≠ 0 }
Acompanhe a seguir alguns exemplos:
... _ 3 , _ 1 , 0 , 2 , 10 , 11 ...
1 2 5 1 3 2{Q = }
Os Números Racionais têm seu correspondente decimal. Veja abaixo os
números decimais correspondentes aos Racionais mostrados no exem-
plo anterior:
Q = {...; - 3 ; - 0,5 ; 0 ; 2 ; 3,333... ; 5,5 ; ...}
O Conjunto dos Números Racionais surgiu com a necessidade do ho-
mem de representar divisões não exatas, tais como, 3 ÷ 5 = 3 .
5
Conjunto dos Números Reais, R
O Conjunto dos Números Reais engloba os Números Racionais, que
você conheceu anteriormente, e todos os outros números que não po-
dem ser escritos na forma de fração, os chamados Irracionais:

14 CURSOS TÉCNICOS SENAI
Irracionais = {...; - sen (34o
) ; √2 ; log 70 ; ...} = {...; - 0,559... ; 1,414... ;
1,845... ; ...}
R = ... ; - 3 ; - sen ( 34° ) ; _ 1 ; 0 ; Ѵ2; log 70 ; 2 ; 10 ; 11 ; ...
2 3 2
{ }
Uma forma interessante de apresentar os Números Reais é por meio da
Reta Real. Acompanhe a figura a seguir. :
Figura 1 - Reta Real
- 3 -2 -1 0 1 2 3
Ѵ2 e π
R
Nessa imagem você tem a noção de sequência dos Números Reais, cada
ponto da reta representa um número e vice-versa. Para qualquer núme-
ro da reta, têm-se os números maiores que ele à direita e os menores à
esquerda.
Outra maneira de visualizar o Conjunto dos Números Reais é utilizando
o Diagrama de Venn, conheça-o a seguir:
R
Ir
Q
Z
N
Figura 2 - Diagrama de Venn
Por meio do Diagrama de Venn você pode observar que os Naturais es-
tão contidos nos Inteiros, que por sua vez estão contidos nos Racionais
e os Reais englobam todos os Conjuntos.

Números Decimais
Os números decimais não são um conjunto numérico, mas uma forma
de escrever os números. Este sistema é a evolução natural do sistema
numérico indo-arábico. Trata-se de um sistema posicional, onde o alga-
rismo vale não só por si, mas também pela sua posição.
8 8.8 8 8,888
Milésimo
Centésimo
Décimo
Unidade
Dezena
Centena
Unidade de Milhar
Dezena de Milhar
No número acima foi utilizado apenas o algarismo 8, porém em cada
posição ele indica uma quantidade diferente. O 1º vale 80.000, o 2º vale
8.000 e assim por diante até o último que vale 0,008. O único que vale
8 é o que está imediatamente à esquerda da vírgula. Sendo assim, cada
número é uma soma, confira a seguir:
88.888,888 = 80.000 + 8.000 + 800 + 80 + 8 + 0,8 + 0,08 + 0,008
O Sistema Internacional de Medidas utiliza a vírgula para separar a uni-
dade do décimo e o ponto para separar a unidade de milhar da centena.
Nos países de língua inglesa, que não utilizam o Sistema Internacional
de Medidas, essa notação é exatamente ao contrário, devido a isso as
calculadoras vêm com ponto no lugar da vírgula para separar a unidade
do décimo.
Assim, as operações com os números decimais são facilmente resolvidas
com calculadoras, porém é importante tomar cuidado principalmente
com a vírgula, pois como colocado, nas calculadoras a vírgula deve ser
representada por ponto e os pontos não são representados.
Você finalizou os estudos da primeira seção da unidade de conceitos
básicos. Pronto para mais uma seção? Então siga em frente!
Seção 2
Operações e Ex-
pressões Numéricas
As operações com números de-
cimais e com Números Naturais
são básicas e possíveis de se resol-
ver com o auxílio de calculadoras
científicas e comuns. Portanto, o
próximo passo de estudos são as
operações no Conjunto dos Nú-
meros Inteiros.
Adição de Números
Inteiros
Quando dois números tiverem o
mesmo sinal, soma-se os valores
absolutos conservando o sinal.
Acompanhe os exemplos:
(+50) + (+9) = (+59)
(-30) + (-6) = (-36)
Quando os dois tiverem sinais
opostos, subtrai-se um do outro
mantendo o sinal do maior valor
absoluto. Observe os exemplos:
(-86) + (+6) = (-80)
(-4) + (+34) = (+34)
Subtração de Números
Inteiros
Para efetuar a subtração entre
Números Inteiros, basta inverter
o sinal do subtraendo e efetuar
uma adição. Confira os exemplos
a seguir:

(+35) - (+32) = (+35) + (-32) = (+3)
(-42) - (-25) = (-42) + (+25) = (-17)
Multiplicação e Divisão de Números Inteiros
A multiplicação e a divisão no Conjunto dos Números Inteiros possuem
as mesmas regras de sinais. Observe os exemplos:
(+1) . (+1) = (+1) (+1) ÷ (+1) = (+1)
(-1) . ( -1) = (+1) ( -1) ÷ ( -1) = (+1)
(+1) . (-1) = (-1) (+1) ÷ (-1) = (-1)
(-1) . (+1) = (-1) (-1) ÷ (+1) = (-1)
Sinais iguais, resultado positivo.{}
Sinais opostos, resultado
negativo.
{}
As regras de sinais aplicadas aos Inteiros também valem para todo o Con-
junto dos Números Reais.
Potenciação
Potenciação nada mais é do que a simplificação de uma série de multi-
plicações de fatores iguais, como você pode observar nos exemplos a
seguir:
2 · 2 · 2 · 2 = 24
X · X · X = X3
Na potenciação se utiliza uma notação da seguinte forma:
24
Base
Expoente
Observe a seguir algumas características desta operação:
-32
= -3 · 3 = -9
(-3)2
= (-3) · (-3) = 9
-33
= -3 · 3 · 3 = -27
(-3)3
= (-3) · (-3) · (-3) = -27
Nesta operação, dizemos que a
base de uma potência é negativa
quando ela está entre parênteses,
caso contrário, quem está negativa
é a potência.
Potências de Base
negativa
Para iniciarmos este tema, que tal
resolver as seguintes potências?
(-3)1
=
(-3)2
=
(-3)3
=
(-3)4
=
(-3)5
=
Você pôde observar nos resulta-
dos que quando o expoente é par
o resultado é positivo, e quando o
expoente é ímpar o resultado tem
o mesmo sinal da base.
Potências de Expoente
Negativo
Quando uma potência possui ex-
poente negativo, inverte-se a base
(troca-se de posição o numera-
dor e o denominador), como nos
exemplos a seguir:

Índice
Radical
Radicando
3
√8
Após conhecer os entes das raí-
zes, vamos aos exemplos:

√49 = 7
3
√-27 = -3
3
√100 = 4,64...
Vale destacar que algumas raízes
não possuem resultado no Con-
junto dos Números Reais, os ca-
sos são:
▪▪ índice par e radicando nega-
tivo:
2
√-9=
4
√-625=
6
√-64=
э
э
э
▪▪ índice zero, 0:
0
√5=
0
√1=
0
√-16=
э
э
э
Expressões Numéricas
Uma expressão numérica é uma
sequência de operações com Nú-
meros Reais que devem ser re-
solvidas obedecendo à seguinte
ordem:
3 -2
= 1 2
= 1
3 9
3 - 3
= 2 3
= 8
2 3 27
1 - 1
= 4 1
= 4
4 1
( )
( ) ( )
( ) ( )
Quando o expoente é zero e a
base diferente de zero, o resultado
é sempre 1. Veja alguns exemplos:
70
= 1
35,980
= 1
(1/30
) = 1
(-88)0
= 1
√100
= 1
00
=
Radiciação
Você pode dizer que a potencia-
ção possui duas operações inver-
sas, uma é a radiciação e a outra é
o logaritmo, veja o esquema apre-
sentado a seguir:
3
√8 = 2
23
= 8
log2
8 = 3
O logaritmo é a operação que de-
termina o expoente de uma po-
tência. Entretanto, esta operação
não será estudada nesta apostila, o
objeto de estudo desta seção será
a radiciação que possui grande
aplicação na área de Mecânica.
Confira a seguir os entes das ra-
ízes:
э
▪▪ raízes ou potências;
▪▪ divisões ou multiplicações;
▪▪ subtrações ou adições.
Conheça um exemplo de expres-
são numérica:
2 - 3 · 42
=
2 - 3 · 16 =
2 - 48 =
- 46
Quando temos duas operações
com o mesmo grau/ordem, re-
solve-se primeiro a da esquerda.
Confira os exemplos a seguir:
45 + 25 · 3 ÷ 15 =
45 + 75 ÷ 15 =
45 + 5 =
50
1,34 - 89 · 0,125 + 2,89 =
1,34 - 11,125 + 2,89 =
- 9,785 + 2,89 =
- 6,715
Em alguns casos aplicados das ex-
pressões numéricas, é necessário
resolver primeiro as adições e de-
pois as multiplicações. Para “bur-
lar” a ordem correta de resolução,
utiliza-se, portanto:
▪▪ parênteses ( );
▪▪ colchetes [ ];
▪▪ chaves { }.
Observe os exemplos:
(45 + 25) · 3 ÷ 15 =
70 · 3 ÷ 15 =
210 ÷ 15 =
14

Fração: A palavra fração
vem do latim fracto, que
quer dizer fragmento, parte, pe-
daço, de alguma coisa ou de um
conjunto. Como a matemática é
uma ciência exata, esse pedaço
é determinado de forma exata.
b. Um técnico tem uma barra de
aço de 3 metros de compri-
mento que deve ser divida em
5 partes do mesmo compri-
mento. Qual é o comprimento
de cada parte?
Resposta: __________________
__________________________
__________________________
Se você fizer uma análise do pri-
meiro exemplo onde foram dados
os Números Naturais 48 e 4, ve-
rifica-se que existe outro Número
Natural, o 12 sendo 48 = 12x4.
Diz-se que 12 é o quociente de 48
por 4, dessa forma podemos re-
presentar assim:
48 = 12
4
Essa representação é chamada
de fração.
Na segunda situação em que fo-
ram dados os Números Naturais
3 e 5, não existe um Número
Natural que multiplicado por 5
reproduza 3. Assim, o resultado
dessa divisão não é um Número
Natural. A forma de escrever essa
divisão também é uma fração,
conforme apresentado a seguir:
3 = 0,6
5

112,5÷{10·[42
-(5-12)2
]-2,25}=
112,5 ÷ { 10 · [ 42
- (– 7)2
] - 2,25 } =
112,5 ÷ { 10 · [ 16 - 49] - 2,25 } =
112,5 ÷ { 10 · [ - 33] - 2,25 } =
112,5 ÷ { - 330 - 2,25 } =
112,5 ÷ { - 332,25 } =
- 0,3386
Além disso, quando o resultado
de uma operação não é utilizado
em outra, duas operações podem
ser resolvidas simultaneamente,
conforme apresentado no exem-
plo a seguir:
√169 · 10 + 28
÷ 8 =
13 · 10 + 256 ÷ 8 =
130 + 32 =
162
Na próxima seção você estudará
os conceitos de frações presentes
nesta primeira unidade de estudo.
Boa leitura!
Seção 3
Frações
Para iniciar o estudo desta seção,
que tal resolver as situações pro-
postas a seguir?
a. Deve-se distribuir 48 porcas,
igualmente, para 4 técnicos re-
alizarem o término da monta-
gem de uma máquina. Quantas
porcas receberão cada técnico?
Resposta: __________________
__________________________
__________________________

Uma fração indica em quantas partes iguais deve ser dividido um todo
e quantas dessas partes devem ser tomadas. Para compreender melhor,
observe a imagem a seguir:
2
5
A fração indica que o retângulo deve ser repartido em 5 partes iguais
e suas devem ser tomadas. O denominador indica em quantas partes
deve ser dividido o todo e o numerador indica quantas partes devem ser
tomadas.
Você pode também representar a fração por um número decimal. Imagi-
ne que um profissional da Mecânica precisou comprar 4 parafusos para
o cabeçote do motor de uma motocicleta, pagando por eles R$ 25,00, a
pergunta é: quanto custou cada parafuso?
Você sabe que a divisão não é um número exato e, portanto, o valor
de cada parafuso deverá ser representado por um número decimal, que
obteremos dividindo R$ 25,00 por 4. Acompanhe a divisão:
25 ÷ 4 = 6 resto 1
Se você continuar a divisão chegará ao resultado de R$ 6,25 que repre-
senta o preço de cada parafuso. Pode-se também representar essa divi-
são por uma fração, veja a seguir:
25 = 6,25
4
Dessa forma, você pode representar qualquer fração por meio de um
número decimal, mas para isso precisa dividir o numerador pelo deno-
minador. Além disso, você pode executar essa operação utilizando uma
calculadora, mas lembre-se que na calculadora a vírgula é representada
por um ponto. Que tal fazer um teste?
Numerador
2
5 Denominador

25_
4
= 25 ÷ 4 = 6,25
16_
4
= 16 ÷ 5 = 3,2
4_
4
= 4 ÷ 3 = 1,33333333
Veja o que aconteceu na última divisão, a parte decimal é uma represen-
tação com infinitas casas decimais, denominamos essa divisão de dízi-
mas periódicas. As dízimas são incômodas, pois não permitem executar
as operações de somar, subtrair, multiplicar ou dividir, então é preferível
trabalhar com frações.
Siga em frente e conheça as operações com frações.
Operações com Frações
Você estudará a seguir as operações com frações. Pronto para iniciar?
Note que se você dividir a fração 1/2 obterá o número decimal 0,5. O
mesmo acontece para as frações 3/6, 5/10, 7/14 , assim essas frações
são ditas equivalentes.
1_ = 3 _ = 5 _ = 7_
2 6 10 14
= ...
Multiplicando ou dividindo os dois termos de uma fração por um número
diferente de zero, a fração obtida é equivalente à primeira.
No exemplo multiplicamos o numerador e o denominador da fração
1/2 por 3, obtendo assim a fração 3/6.
Se você dividir o numerador e denominador da fração 5/10 por 5, ob-
terá a fração 1/2, esta última operação é muito importante para adição e
subtração de frações, próximos assuntos desta seção.
4 = 4 ÷ 3 = 1,33333333
3

Adição e Subtração de Fração
Você verá a seguir frações com denominadores iguais, siga em frente.
Adição
Na adição de fração, somam-se os numeradores e simplifica-se o resul-
tado, se possível. Confira a seguir dois exemplos:
3_ + 3 = 4 ÷2_ =
10 10 10 ÷2 5
2
7 3_ + 18 1 = 7 + 18 3 + 1_ = 25 4
4 4 4 4
= 26
Subtração
Já na subtração de fração, subtraem-se os numeradores e simplifica-se,
se possível, o resultado.
Veja os exemplos a seguir:
7_ - 5 = 2 ÷2_ =
8 8 8 ÷2 4
1
8 5 - 3 3 = 5
7 7 7
2

Conheça agora frações com denominadores diferentes, acompanhe os
exemplos:
16
1
16
1
16
2
2
1
1
16
9
2
24
13
24243
1
8
7
12
11
12124
1
3
2
12
11
8
3
8
4
8
3
2
1
Observação: para você executar esta operação, transforme as duas fra-
ções em frações equivalentes com denominador 12.
Multiplicação e Divisão de Frações
Multiplicação
Para multiplicar frações você deve multiplicar os numeradores e deno-
minadores entre si. Confira a seguir os exemplos:
8
3
4.2
3.1
4
3
.
2
1
32
23
8
32
279
8.4
31.9
8
31
.
4
9
8
7
3.
4
1
2

Divisão
Já na divisão de frações você deve multiplicar a primeira invertendo a
segunda fração, conforme os exemplos a seguir:
5
3
1
35
39
1
15
24
15
8
.
1
3
8
15
1
3
8
7
13
16
3
4
1
.
4
3
4
4
3
25
24
5
8
.
5
3
8
5
5
3

Unidade de
estudo 2
Seções de estudo
Seção 1 – Razão Direta e Inversa
Seção 2 – Proporções
Seção 3 – Porcentagem

Seção 1
Razão Direta e Inversa
Para iniciar o estudo desta primei-
ra seção, que tal recordar a suces-
são dos múltiplos de 6 e 8? Acom-
panhe a seguir.
1. 6, 12, 18, ...
2. 8, 16, 24, ...
Se você escrever em forma de fra-
ção cada termo da primeira suces-
são pelo seu correspondente na
segunda, obterá:
6 , 12 , 18
8 16 24
Simplificando cada fração, obtém-
se uma fração comum representa-
da pela fração 3 . 3
4 4
Dizemos então que essa fração é
a razão comum entre as duas su-
cessões.
Razão entre dois números da-
dos é o quociente do primeiro
pelo segundo.
Assim, a razão entre 3 e 4 é
3 = 0,75
4
A razão entre 15 e 5 é
15 = 3
5
A razão entre 8 e 10 é
8 = 0,8
10
Razão e Proporção
Numa razão, o dividendo é denominado antecedente e o divisor, con-
sequente.
Observação: O consequente deve ser diferente de zero.
3 → Antecedente
4 → Consequente
ou
12 : 2
↑ ↑
antecedente consequente
a. Dessa forma podemos escrever a razão 3 para 4 assim: ou 3:4 em
que 3 é o antecedente e 4 o consequente.
b. A razão 4 para 3 pode ser escrita assim: ou 4:3 sendo que 4 é o
antecedente e 3 o consequente.
Observe que as duas razões são inversas, dessa forma, o inverso de é
3 é 4
4 3
.
Assim: 1
3
4
.
5
3
Duas razões são ditas inversas
quando o produto entre elas
for igual a 1.
Observações
Acompanhe!
Quando você relaciona grandezas, o antecedente e o consequente de-
vem ser da mesma espécie, veja o exemplo a seguir:
3
100
300
1000
300
==
m
m
dm
m
Você deve ter notado que o símbolo do metro (m) desapareceu.
3
4
4
3

Mas nem sempre é assim, podem-
se ter razões nas quais o antece-
dente e os consequentes são gran-
dezas diferentes.
a. Velocidade: distância pelo tem-
po
h
km
6
600 = 100 km/h
600 km em 6 h
b. Densidade demográfica: popu-
lação e área
2
2
2
km/hab15
km200
hab300
km200emhab3000
c. Massa específica: massa e vo-
lume
3
3
3
dm/kg5,8
dm7
kg5,59
dm7emkg5,59
d. Consumo médio: distância
pelo consumo
Para ir de Blumenau a Joinvil-
le de carro, cuja distância é de
aproximadamente 100 km, foi
consumido 8 litros de combus-
tível. Determine a razão.
100 km com 8 L
8
100
L
km
= 12,5 km/L
Acompanhe na próxima seção o
estudo das proporções. Até mais.
Seção 2
Proporções
Você sabe o que é proporção?
Ficou curioso? Então prossiga
em seus estudos.
A equivalência entre duas ou
mais razões é chamada de pro-
porção. Confira!
18 : 24 = 12 : 16
Extremo
Meio
16
12
24
18
=
Extremo Meio
Meio Extremo
Lê-se: 18 está para 24 assim como
12 está para 16.
Em uma proporção o produto
dos meios é igual ao produto
dos extremos.
Observe que se você multiplicar
18.16 e 24.12 obterá como resul-
tado 288.
Esta é a propriedade fundamental
das proporções.
Conhecendo esta propriedade
você pode calcular o termo des-
conhecido de uma proporção.
Veja a seguir:
X
40
6
24
= ↔ 24 . X = 40 . 6
↔
24
6,40
=X X = 10
Grandezas Direta e In-
versamente Proporcionais
Ao abastecer um automóvel veri-
ficamos que quanto mais gasolina
colocamos no tanque, maior será
o valor a ser pago. Se aumentar-
mos a grandeza combustível, a
outra grandeza preço aumenta
na mesma proporção, ou seja, as
grandezas variam no mesmo sen-
tido. Dessa forma, ao analisarmos
as grandezas combustível e preço,
verificamos que elas são direta-
mente proporcionais.
O mesmo não acontece quando
temos um determinado serviço
para executar. Se aumentarmos
o número de operários, o tempo
para executar a tarefa será me-
nor, dessa forma, analisando as
duas grandezas, verificamos que
quando uma aumenta (neste caso
o número de operários), a outra
grandeza diminui (neste caso o
tempo), dizemos então que elas
são inversamente proporcio-
nais.
ou

Agora que você conhece os tipos de grandezas, que tal estudar regra de três?
Regra de Três
Você já ouviu falar de regra de
três? Siga em frente e conheça
esta regra matemática.
Constituem regra de três os pro-
blemas que envolvem pares de
grandezas diretamente (regra de
três direta) ou inversamente (re-
gra de três inversa) proporcionais.
As regras de três são ditas re-
gra de três simples quando en-
volvem somente dois pares de
grandeza direta ou inversamente
proporcionais. Acompanhe os
exemplos a seguir:
Aplicação 1
Comprei 6 arcos de serra por R$
288,00, quanto pagarei por 14 ar-
cos iguais aos primeiros?
Observe que as grandezas (arco
de serra e preço) são diretamente
proporcionais, pois quanto maior
o número de arcos, maior será o
valor a pagar. Assim, temos uma
regra de três simples direta.
Devemos colocar as grandezas da mesma espécie na mesma posição,
conforme exemplo a seguir:
Arco de
serra
R$
6 288,00
14 X
Montamos as proporções.
672
6
4032
6
14.288
14.2886
288
14
6
=×↔=×↔=×↔=⋅×↔=
X
Resposta: os 14 arcos de serra custarão R$ 672,00.
Aplicação 2
Um técnico em Mecânica comanda um setor com 8 máquinas que levam
72h para executar determinado serviço, se ele utilizar somente 6 máqui-
nas, qual será o tempo necessário para executar o mesmo serviço?
Observe que as duas grandezas (máquinas e tempo) são inversamente
proporcionais, pois diminuindo o número de máquinas, aumentaremos
a quantidade de horas. Acompanhe!

máquinas horas
8 72
6 X
Montamos as proporções invertendo uma delas:
96
6
576
6
72.8
72.86
726
8
=×↔=×↔=×↔=⋅×↔=
x
Resposta: para executar o serviço o técnico necessitará de 96 horas.
As regras de três são chamadas compostas quando existem mais de
dois pares de grandezas direta ou inversamente proporcionais, como
apresentado na Aplicação 3 seguir.
Aplicação 3
Um grupo de 30 operários, trabalhando 8 horas diárias, fundiu 4.000 kg
de ferro em 10 dias. Quantos operários serão necessários para fundir
6.000 kg trabalhando 15 dias por 6 horas?
Dispomos os dados para determinar se a regra de três é direta ou inver-
sa. Veja-os.
Operários horas/dia kg dias
30 8 4 000 10
X 6 6 000 15
Montamos as proporções invertendo aquelas em que a seta aponta em
sentido contrário.
40x
000036
00040014
x00040014000360.x
10.0006.8.3015.0004.6.x
10
15
.
0006
0004
.
8
6
x
30
Resposta: serão necessários 40 operários para fundir 6.000 kg de ferro.
Continue sua jornada de estudos, na próxima seção você estudará sobre
porcentagem. Boa caminhada!
Seção 3
Porcentagem
Para iniciar o estudo desta seção,
que tal conhecer o conceito de
porcentagem?
Porcentagem é a porção de
um dado valor que se deter-
mina para cada 100 partes.
Quando você fala 12% de cer-
to valor, quer dizer que a cada
100 partes desse valor toma-
se 12 partes.
A expressão doze por cento, que
se representa por 12%, denomi-
na-se taxa de porcentagem.
Assim, na razão 15/10 a taxa de
porcentagem é 15. Escreve-se
15% e lê-se quinze por cento.
Qualquer razão pode ser escrita
sob a forma de porcentagem, bas-
ta determinar a razão equivalente
cujo denominador seja 100. Ob-
serve atentamente as aplicações a
seguir.
Aplicação 1
a. Escrever a razão sob a forma
de porcentagem.
20x
5
1.100
x
100
x
5
1
ou seja, X corresponde a 20%.
b. Escrever na forma de por-
centagem.
ou seja, X corresponde a 75%.
5
1
3
4

c. Escrever 40% sob a forma de fração irredutível.
75
4
300
4
1003
1004
3
=×⇒=×⇒
∗
=×⇒
×
=
40% = simplificando a fração, ou seja, dividindo numerador
e denominador pelo número 20 temos .
Para resolver problemas envolvendo porcentagem, utiliza-se a regra de
três simples. Acompanhe as aplicações.
Aplicação 2
De um lote de 600 peças foi constatado que 3% estavam com defeito,
quantas eram as peças defeituosas?
Para resolver o problema se faz necessário verificar que as 600 peças
correspondem a 100%. 3% é a parte do todo que queremos calcular,
logo, ele corresponde a X.
peças porcentagem
600 100% ⟹
3
100600
=
x 100
600.3
=×↔
3%
Resposta: foi constato que do lote 18 peças eram defeituosas.
Aplicação 3
Ao fazer a verificação de um lote de peças um técnico chegou à conclu-
são que 4% das peças apresentavam algum tipo de defeito de fabricação.
Sabendo-se que o total com defeito correspondia a 30 peças, qual era a
quantidade de peças do lote?
O problema consiste em calcular o quanto corresponde a 100% das
peças que é o total que se quer conhecer. Montando a representação, o
cálculo fica assim:
2
5
40
100
18

4% 30 ⟹
×
=
30
100
4
4
10030∗
=×⇒ ⟹
100% X
Aplicação 4
Ao montar uma empresa um
técnico em Mecânica necessitou
comprar uma máquina cujo valor
de mercado era de R$ 15.600, ele
a adquiriu por R$ 14.352, quantos
por cento de desconto obteve?
Valor porcentagem
15 600 100%
14 352 x
15600
14352100∗
=×⇒ =×⇒
O que o técnico pagou correspon-
de a 92% do preço da máquina,
portanto, ele obteve de desconto
100% - 92% = 8%
Resposta: o técnico obteve de
desconto 8%.
Aplicação 5
Uma empresa resolveu aumentar
o salário de seus funcionários em
6,5%. Um técnico dessa empresa
recebia um salário de R$ 1.430,00,
com o aumento, qual será o valor
do seu novo salário?
Salário Porcentagem
1 430 100%
X 106,5%
⟹
100
1430.5,106
=×
=×⇒ 1 522,95
Resposta: o novo salário do téc-
nico será de R$ 1.522,95.
750x
4
100.30
x
x
30
100
4
92x
60015
35214.100
x
Resposta: o lote de peças era composto de 750 peças.

Aplicação 6
Uma ferramenta foi comprada
com um abatimento de 15% cus-
tando R$ 340,00. Qual é o valor
real da ferramenta?
Valor Porcentagem
340 85% ⟹
X 100%
85
340.100
=× =×⇒ 400
Resposta: o preço real da ferra-
menta é de R$ 400,00.

Unidade de
estudo 3
Seções de estudo
Seção 1 – Equações Polinomiais do 1º grau
Seção 2 – Equações Polinomiais do 2º grau

Seção 1
Equações Polinomiais do 1º grau
Mas o que é equação? Você conhece o conceito?
Confira os exemplos de equações a seguir:
2x + 8 = 0
5x - 4 = 6x + 8
3a - b - c = 0
Continue seus estudos conhecendo as equações do primeiro grau. Siga
em frente!
Equações do Primeiro Grau
A equação geral do primeiro grau é expressa pela forma:
ax + b = 0
Sendo que a e b são números conhecidos e a ≠ 0. Esta equação se resol-
ve de maneira simples: subtraindo b dos dois lados, obtemos:
ax = -b
Dividindo agora por a (dos dois lados), temos:
ax = -b simplificando a com a 1x = -b
a a 1 a
x = -b
a
Considere a equação: 2x - 8 = 3x -10.
A letra x representa a incógnita da equação, representa o termo desco-
nhecido que você deve calcular. Na equação acima a incógnita é x; tudo
que antecede ao sinal da igualdade é denominado 1º membro, e o que
o sucede, 2º membro.
4x - 16 = 6x - 20
1º membro 2º membro
Equações
Equação: Equação é uma
sentença matemática aber-
ta que exprime uma relação de
igualdade. A palavra equação
tem o prefixo equa, que em la-
tim quer dizer “igual”.

Qualquer parcela do 1º ou do 2º
membro é um termo da equação.
4x - 8 = 6x - 10
Termos da equaçãoTermos da equação
Equação do 1º grau é toda
equação escrita na forma ax
= b, sendo a e b Números Ra-
cionais, com a ≠ 0 .
Conjunto Verdade e
Conjunto Universo de uma
Equação
Considere o conjunto A = {0, 1,
2, 3, 4, 5} e a equação x + 2 = 5.
Observe que o número 3 do con-
junto A é denominado Conjunto
Universo da equação e o conjun-
to {3} é o Conjunto Verdade
dessa mesma equação.
Acompanhe o exemplo a seguir:
▪▪ Determine os Números Intei-
ros que satisfazem a equação
x² = 25.
É importante lembrar que o Con-
junto dos Números Inteiros é o
Conjunto Universo da equação.
Os números -5 e 5, que satisfazem
a equação, formam o Conjunto
Verdade, podendo ser indicado
por: V = {-5, 5}.
Você pode concluir que:
Conjunto Universo é o conjunto de todos os valores que a incógni-
ta pode assumir. Este conjunto é indicado pela letra U maiúscula.
Veja que a incógnita representada pela letra x também é chamada de
variável.
Conjunto verdade são todos os valores do conjunto U (universo)
que a incógnita pode assumir e que tornam a equação verdadeira.
É indicado pela letra V maiúscula.
Acompanhe a seguir alguns pontos importantes em relação ao Conjunto
Verdade.
▪▪ O Conjunto Verdade (V) está contido no Conjunto Universo (U),
portanto, é um subconjunto de U.

UV
▪▪ Não sendo citado o Conjunto Universo (U), você deve considerar
como Conjunto Universo o Conjunto dos Números Racionais (Q).
UQ
▪▪ O Conjunto Verdade é também conhecido por Conjunto Solução e
pode ser indicado por S.
Raízes de uma Equação
O que são raízes de uma equação? Ficou curioso? Então prossiga em
seus estudos!
Os elementos do Conjunto Verdade de uma equação são chamados Ra-
ízes da Equação.
Para verificar se um número é raiz de uma equação, você deve obedecer
à seguinte sequência:
▪▪ substituir a incógnita por esse número;
▪▪ determinar o valor de cada membro da equação;
▪▪ verificar a igualdade, sendo uma sentença verdadeira, o número
considerado é raiz da equação.
Veja alguns exemplos.

Aplicação 1
Verifique quais dos elementos do Conjunto Universo são raízes das
equações a seguir, determinando em cada caso o Conjunto Verdade.

Resolva a equação:
x - 2 = 0, sendo U = {0, 1, 2, 3}.
Para x = 0 na equação x - 2 = 0 temos: 0 - 2 = 0 => -2 = 0.
Para x = 1 na equação x - 2 = 0 temos: 1 - 2 = 0 => -1 = 0.
Para x = 2 na equação x - 2 = 0 temos: 2 - 2 = 0 => 0 = 0.
Para x = 3 na equação x - 2 = 0 temos: 3 - 2 = 0 => 1 = 0.

Você pode verificar que 2 é raiz da equação x - 2 = 0, logo V = {2}.

Resolva a equação: 2x - 5 = 1, sendo U = {-1, 0, 1, 2}.
Para x = -1 na equação 2x - 5 = 1 temos: 2 . (-1) - 5 = 1 => -7 = 1.
Para x = 0 na equação 2x - 5 = 1 temos: 2 . 0 - 5 = 1 => -5 = 1.

A equação 2x - 5 = 1 não possui raiz em U, logo V = Ø.

Resoluções de uma Equação
Resolver uma equação consiste em realizar uma série de operações que
conduz a equações equivalentes cada vez mais simples e que permitem,
finalmente, determinar os elementos do Conjunto Verdade ou as Raí-
zes da Equação. Ficou claro?
Resolver uma equação consiste em determinar os valores da
incógnita que formam o Conjunto Verdade, pertencente ao
Conjunto Universo considerado na solução.
Na resolução de uma equação do 1º grau com uma incógnita, você deve
aplicar os princípios de equivalência das igualdades (aditivo e multiplica-
tivo). Acompanhe as aplicações a seguir.

Aplicação 1
Sendo U = Q resolver a equação
-3x = 5
4 6
Inicialmente você deve extrair o mmc de 4 e 6, cujo valor é 12:

-3x = 5 -9x = 10 12 -9x = 10
4 6 12 12 12
simplificando 12 com 12 temos
-9x = 10 ↔Multiplicamos a equação por (-1)
9x = -10 ↔ x = 10/-9
V = -10
y
{ }
Aplicação 2
Sendo U = Q resolva a equação 2 .(x - 2) - 3 . (1 - x) = 2 . (x - 4).
O primeiro passo é aplicar a propiedade distributiva da multiplicação:
2x - 4 - 3 + 3x = 2x - 8 ⟹ 2x - 4 - 3 + 3x - 2x = - 8 ⟹ 3x - 7 = - 8
3x = - 8 + 7 ⟹
x = 1
3
Como 1 f Q então V = 1 1 f Q então V = 1
3 3 3
{ } { }
Seção 2
Equações Polinomiais do 2º grau
Denomina-se equação do 2º grau na variável x toda equação da forma:
Є R e a ≠ 0
cbaondecxbxa ,,02
Observação: na equação do 1º
grau o expoente da variável x é
igual a 1, na do 2º grau o expoente
da variável x do primeiro termo é 2
e do segundo termo é 1.
Confira os exemplos:
x2 - 5x + 6 = 0
é uma equação do 2º grau com
a = 1, b = -5 e c = 6.
6x2 - x - 1 = 0
a = 6, b = -1 e c = -1.
7x2 - x = 0

a = 7, b = -1 e c = 0.
x2
- 36 = 0
a = 1, b = 0 e c = -36.
As equações escritas na forma ax²
+ bx + c = 0 (forma normal ou
forma reduzida de uma equação
do 2º grau na variável x), a, b e c
são chamados de coeficientes.
▪▪ a é sempre o coeficiente de x²;
▪▪ b é sempre o coeficiente de x,
▪▪ c é o coeficiente ou termo
independente.

Equações Completas e
Incompletas
Uma equação do 2º grau é dita
completa quando b e c são diferen-
tes de zero.

Acompanhe os exemplos:
x² - 9x + 20 = 0   e -x² + 10x - 16 = 0 são equações completas.

Uma equação do 2º grau é dita incompleta quando b ou c é igual a
zero, ou ainda quando ambos são iguais a zero. Veja os exemplos:
▪▪ x² - 36 = 0
(b = 0)
▪▪ x² - 10x = 0
(c = 0)
▪▪ 4x² = 0
(b = c = 0)
Raízes de uma Equação do 2º grau
Resolver uma equação do 2º grau significa determinar suas raízes. Mas
o que é uma raiz? Você saberia responder?
Raiz é um Número Real que ao substituir a variável de uma
equação a soluciona, ou seja, torna a sentença matemática ver-
dadeira.
Observe que o conjunto formado pelas raízes de uma equação é deno-
minado Conjunto Verdade ou Conjunto Solução.
Resolução de Equações Incompletas
Resolver uma equação significa determinar o seu Conjunto Verdade.
Na resolução de uma equação incompleta são utilizadas as técnicas da
fatoração e duas importantes propriedades dos Números Reais:
1ª propriedade: se
2ª propriedade: se
Aplicação 1 – Equação do tipo ax2
+bx=0
Determine as Raízes da Equação
sendo U = R.
Solução
Coloca-se inicialmente o x em
evidência:

Para o produto ser igual a zero,
basta que um dos fatores também
o seja.
Assim:
Dessa maneira, você obtém duas
raízes que formam o Conjunto
Verdade:
V = {0, 8}
De modo geral, a equação do tipo
tem para x=0 soluções e

Aplicação 2 – Equação do
tipo x2
+ c = 0

Determine as Raízes da Equação
sendo U = IR.

Solução
A equação tem duas raízes simé-
tricas, sendo assim, o Conjunto
Solução é:
V = {-6; +6}

De modo geral, a equação do tipo
x2 + c = 0 possui duas raízes re-
ais se for um número positi-
vo, não tendo raiz real caso
seja um número negativo.

Resolução de Equações
Completas
Para solucionar equações com-
pletas do 2º grau você utilizará a
fórmula de Bhaskara.
A partir da equação x2 + bx + c
= 0 , em que a, b, c є IR, a ≠0
você desenvolverá passo a passo a
dedução da fórmula de Bhaskara
(ou fórmula resolutiva).
1º passo: multiplicar ambos os
membros por 4a.
)4.(0)).(4( 2
acxbaxa
0444 22
acabxxa
2º passo: passar 4ac para o 2º
membro.
acabxxa 444 22
3º passo: adicionar b2
aos dois
membros.
Trinômio quadrado perfeito
acbbabxxa 444 2222
4º passo: fatorar o 1º elemento.
acbbax 4)2( 22
5º passo: extrair a raiz quadrada
dois membros.
acbbax
acbbax
42
4)2(
2
22
6º passo: passar b para o 2º mem-
bro.
acbbax 42 2
7º passo: dividir os dois mem-
bros por
a
acbb
a
ax
aa
2
4
2
2
)0(2
2
Simplificar o 1º membro 2a.
Assim, encontramos a fórmula
resolutiva da equação do 2º grau:
a
acbb
x
2
42
Após desenvolver passo a passo a
fórmula de Bhaskara, que tal ago-
ra praticar? Vamos à aplicação!
Resolução da equação:
02137 2
x
Sendo: a = 7, b = 13, c = -2.
14
1513
14
22513
14
5616913
7.2
)20.(7.41313 2
x
x
x
x

2''
24
28
''
14
1513
''
7
1
'
14
2
'
14
1513
'
x
xx
xxx

Resposta: V = }2;
7
1
{
Discriminante
Denomina-se discriminante o
radical b2
- 4ac que é representado
pela letra grega Δ (delta).
acb 42

Agora você pode escrever a fór-
mula de Bhaskara da seguinte for-
ma:
a
b
x
2
De acordo com o discriminante,
temos três condições a considerar.
1a
Condição: o discriminan-
te é maior do que zero (Δ > 0).
O valor de √Δ é real e a equação
tem duas raízes reais diferentes,
assim representadas:
a
b
x
2
'
a
b
x
2
''
2a
Condição: o discri-
minante é nulo Δ = 0.
O valor de √Δ é nulo e a equação
tem duas raízes reais e iguais, as-
sim representadas:
a
b
xx
2
'''

3a
Condição: o discriminante
é menor do que zero (Δ < 0) .
O valor da √Δ não existe no
conjunto dos IR, não existindo,
portanto, raízes reais. As Raízes
da Equação são Números Com-
plexos.
Dada a equação ax² + bx + c = 0,
você terá os seguintes resultados:
▪▪ para (Δ > 0), a equação tem
duas raízes reais diferentes;
▪▪ para (Δ = 0), a equação tem
duas raízes reais iguais;
▪▪ para (Δ < 0), a equação não
tem raízes reais.

Agora que você conhece o de-
senvolvimento da fórmula de
Bhaskara, chegou a hora de re-
solver problemas do 2º grau. Boa
resolução!
Problemas do 2º grau
Para resolução de problemas do
2º grau, você deve seguir as etapas
a seguir:
▪▪ estabeleça a equação ou sis-
tema de equações que traduzem
o problema para a linguagem
matemática;
▪▪ resolva a equação ou o sistema
de equações;
▪▪ interprete as raízes encontra-
das, verificando se são compatí-
veis com os dados do problema.
Observe agora a resolução de al-
guns problemas do 2º grau.
Aplicação 1
Determine dois Números Intei-
ros consecutivos tais que a soma
de seus inversos seja 42
13
.
Solução
Representa-se um número por x,
e por x + 1 o seu consecutivo. Os
seus inversos serão representados
por 1
11
x
e
x .
Você tem então a equação:
42
13
1
11
x
e
x
Resolvendo-a:
42
13
1
11
x
e
x
mmc = 42.x.(x+1)
42(x+1) + 42x = 13x.(x+1)
42x + 42x = 13x2 + 13x
13x2 - 71x - 42 = 0
Aplicando a fórmula de Bhaskara
para resolver a equação você terá
x’ = 6 e x’’=
- 7
13 .

Observe que a raiz
- 7
13 não é uti-
lizada, pois não se trata de Núme-
ro Inteiro.
Resposta: os números pedidos
são, portanto, 6 e o seu consecu-
tivo 7.
Aplicação 2
Um número de dois algarismos
é tal que, trocando-se a ordem
dos seus algarismos, obtém-se
um número que o excede de 27
unidades. Determine esse núme-
ro, sabendo-se que o produto dos
valores absolutos dos algarismos
é 18.
Solução
Representa-se um número por
10x + y, e o número com a or-
dem dos algarismos trocada por
10y + x.
Observe:
Número:
x y

→ 10x + y
y x
→ 10y + x
Número com a ordem dos alga-
rismos trocada: 10y + x.

Você tem, portanto, o sistema de
equações:
10y + x = 10x + y + 27 1
x.y = 18 2{
10y - y + x - 10x = 27 → 9y - 9x
= 27 troca-se os elementos do 1º
membro -9x + 9y = 27.
Resolvendo o sistema, tem-se:
-9x + 9y = 27
x.y = 18{
Dividindo ambos os membros da
primeira equação por 9 você terá:

-x + y = 3
x.y = 18{

O próximo passo é isolar y na pri-
meira equação:

-x + y = 3 → y = x + 3
Substituindo y isolado da primeira
equação na segunda você tem:
xy   = 18
x(x + 3) = 18
x2
+ 3x = 18
x2
+ 3x - 18 = 0
Resolvendo a equação aplica-
se a fórmula de Bhaskara para
encontrar os valores de x’ e x’’,
dessa forma você terá para x’ = 3
e x’’ = -6.
Substituindo os valores de x na
equação você determina y para
cada um dos valores de x, assim
obterá:
y’ = 3 + 3 = 6
y’’ = -6 + 3 = -3
Logo, o Conjunto Verdade do sis-
tema é dado por: V = {(3,6), (-6,
-3)}.
Desprezando o par ordenado de
coordenadas negativas que não
satisfazem a solução do proble-
ma, você terá o número 36 (x =
3 e y = 6).
Resposta: o número procurado
é 36.
Aplicação 3
Duas torneiras enchem um tan-
que em 6 horas. Sozinha, uma
delas gasta 5 horas a mais do que
a outra. Determine o tempo que
uma delas leva para encher esse
tanque isoladamente.
Solução
Consideremos x o tempo gasto
para a 1ª torneira encher o tanque
e x + 5 o tempo gasto para a 2ª
torneira encher o tanque.
Em uma hora, cada torneira en-
che a seguinte fração do tanque:
1a
torneira e 2a
torneira
Em uma hora, as duas torneiras
juntas encherão do tanque; ob-
serve a equação correspondente:
6
1
5
11
xx
retirando o mmc das frações você
terá 6x.(x+5).
)5.(6
)5.(
)5.(6
)5(6
)5.(6
)5.(
)5.(6
6
)5.(6
)5(6
xx
xx
xx
x
xx
xx
xx
x
xx
x
=
→ simplificando os denominado-
res, tem-se:

6(x + 5) + 6x = x (x + 5)
6x + 30 + 6x = x2
+ 5x
x2
- 7x - 30 = 0
Para resolver a equação você deve
aplicar a fórmula de Bhaskara,
obtendo os seguintes resultados:
x’ = -3 e x’’ = 10.
Como a raiz negativa não é utili-
zada, pois não soluciona o proble-
ma, tem-se como solução: x = 10.
Resposta: a 1ª torneira enche o
tanque em 10 horas e a 2ª tornei-
ra, em 15 horas.
Aplicação 4
Num jantar de confraternização
seria distribuído, em partes iguais,
um prêmio de R$ 24.000,00 entre
os convidados. Como faltaram
5 pessoas, cada um dos presen-
tes recebeu um acréscimo de R$
400,00 no seu prêmio. Quantos
convidados estiveram presentes
nesse jantar?
Solução
Podemos representar por:
x
24000
o valor que cada um dos presentes
receberia se não houvesse faltas.
5
24000
x
o valor recebido por cada um dos
presentes.
x
1
5
1
x
6
1

Você tem, então, a equação
400
24000
5
24000
xx

Resolvendo-a:

400
24000
5
24000
xx
dividindo ambos os membros por
400
1
60
5
60
xx
retirando o mmc das frações, você
terá: x(x-5),
)5(
)5()5(60
)5(
60
)5(
)5(
)5(
)5(60
)5(
60
xx
xxx
xx
x
xx
xx
xx
x
xx
simplificando os denominadores
das frações, tem-se:
03005
30056060
53006060
2
2
2
xx
xxxx
xxxx
Para resolver a equação você deve
aplicar a fórmula de Bhaskara,
chegando ao resultado: x’ = 20
e x’’ = -15. Caso o resultado seja
negativo, você deverá descartá-lo.
Resposta: nesse jantar estavam
presentes 20 pessoas.
Na próxima seção você estudará
sobre a trigonometria. Até lá!

Unidade de
estudo 4
Seções de estudo
Seção 1 – Teorema de Pitágoras
Seção 2 – Semelhança de Triângulos
Seção 3 – Razões Trigonométricas no
Triângulo Retângulo

Seção 1
Teorema de Pitágoras
A palavra trigonometria quer di-
zer medida do triângulo, ela surgiu
devido à necessidade de cálculos
para resolver problemas gerados
na Astronomia, Agrimensura e
Navegações.
A relação de Pitágoras trata dos
cálculos que envolvem as relações
existentes entre os lados do triân-
gulo retângulo.
Dado o triângulo retângulo, ob-
serve atentamente os elementos
que o compõem.
B
CA
A, B, C – vértices do triângulo.
A – vértice que apresenta o ângu-
lo reto.
B e C – vértices que apresentam
ângulos menores do que 900.
A+B+C – estes três vértices for-
mam ângulos que somam 1800.
AB e CD – estes segmentos rece-
bem o nome de catetos.
BC – este segmento recebe o
nome de hipotenusa, é o maior
lado do triângulo.
Trigonometria
A relação de Pitágoras diz:
Se o triângulo é retângulo,
então o quadrado da medida
da hipotenusa é igual à soma
das medidas dos quadrados
dos catetos.
Dado um triângulo retângulo
cujos lados medem 3, 4 e 5 você
obterá:
52
= 32
+42
. Realmente a igualdade
se concretiza, resolvendo, tem-se:
25 = 9+16
25 = 25
3
4
5
Considerando que:
a = 5, b = 4 e c = 3 tem-se:
a2
= b2
+ c2
a2
= 42
+ 32
a2
= 16 + 9
a2
= 25
Dessa forma você pode escrever a
relação de Pitágoras, ou Teorema
de Pitágoras, como:
a2
= b2
+ c2
Na Mecânica o uso da relação de
Pitágoras pode ser aplicado em
vários exemplos. Neste momento
você aplicará determinando o diâ-
metro de uma esfera que deve ser
modelada na ponta de um eixo, as
dimensões estão em milímetro.
ø 72
Ao localizar o triângulo retângulo
você definirá o que deve ser cal-
culado, neste caso será necessário
calcular o raio da esfera.
36
X
48
Assim você terá o seguinte resul-
tado:
a2
= b2
+ c2
Substituindo no teorema:
X2
= 482
+ 362
X2
= 2 304 + 1 296
X2
= 13 600
X=√13 600
X = 116,62

Para conseguir a medida y você
deve multiplicar por dois o resul-
tado encontrado, pois é preciso o
diâmetro. Assim, a medida é: y =
233,24 mm.
Usando a relação de Pitágoras,
dados dois lados de um triângu-
lo retângulo você pode calcular a
terceira medida.
a. Se você tiver a medida dos dois
catetos pode determinar a me-
dida da hipotenusa.
a2
= b2
+ c2
b. Se tiver a medida da hipotenu-
sa e mais a medida de um dos
catetos pode determinar o ou-
tro usando as relações:
b2
= a2
- c2
c2
= a2
- b2
Vamos para a próxima seção?
Bons estudos!
Seção 2
Semelhança de
Triângulos
Você sabe o que são figuras pla-
nas? Já parou para pensar?
As figuras planas semelhantes
são figuras que têm a mesma for-
ma, mas não necessariamente o
mesmo tamanho.
Já dois triângulos são ditos seme-
lhantes quando somente os valo-
res dos seus ângulos correspon-
dentes forem iguais e a medida
dos seus lados correspondentes
for proporcional.
Figura 3 - Triângulos Semelhantes
Fonte: Senai (1975, P. 99).
Não há necessidade de verificar todas as condições de semelhança para
chegar à conclusão que dois triângulos são semelhantes, podemos fazer
essa observação analisando as situações. Acompanhe as situações a
seguir.
a. Se dois triângulos têm dois ângulos correspondentes congruentes
(iguais), eles são semelhantes.
Figura 4 - Triângulos Semelhantes com Ângulos Congruentes
Fonte: Senai (1975, P. 101).

b. Se dois triângulos possuem
dois lados correspondentes
proporcionais e os ângulos
compreendidos entre eles,
congruentes, então são seme-
lhantes.
Figura 5 - Triângulos semelhantes
com lados correspondentes pro-
porcionais e ângulos congruentes.
Fonte: Senai (1975, P. 102).
c. Se dois triângulos possuem os
lados correspondentes pro-
porcionais, então eles são se-
melhantes.
Figura 6 - Triângulos semelhantes
com lados correspondentes pro-
porcionais
Fonte: Senai (1975, P. 102).
Após conhecer as situações de
semelhança de triângulos, que
tal colocar em prática por meio
de aplicações? Vamos lá, siga em
frente!
Aplicação 1
Determine a razão de semelhança
existente entre os lados do triân-
gulo.
35
70
20
40
35
3040
20
40
BC
AB
DE
AD
56
70
32
40
2432
3040
32
40
AC
BC
AE
AD
Aplicação 2
Usando o conhecimento de seme-
lhança entre dois triângulos deter-
mine o lado do triângulo df.
20
20
16.25
16.2520.
20
25
16
xx
x
x
Seção 3
Razões Trigonomé-
tricas no Triângulo
Retângulo
A relação que existe entre os la-
dos e os ângulos de um triângulo
retângulo é chamada de razões
trigonométricas do triângulo re-
tângulo. Algumas observações
são importantes para você com-
preender melhor esse conceito,
acompanhe-as:
▪▪ lembre-se que o triângulo re-
tângulo recebe esse nome porque
tem um ângulo reto;
▪▪ os lados que formam o ângulo
de 90° recebem o nome de ca-
teto;
▪▪ o lado maior recebe o nome
de hipotenusa;
▪▪ a soma dos ângulos internos
de um triângulo qualquer, isto
inclui o triângulo retângulo, é
igual a 180°.
Vamos estudar então as razões
entre os lados e os ângulos do tri-
ângulo?

Figura 7 - Triângulos Semelhantes
Triângulos Retângulos Semelhantes
Se você tiver um ângulo qualquer poderá construir uma infinidade de
triângulos retângulos. Para que isso aconteça, você deverá, por um dos
lados do ângulo, traçar uma perpendicular, compondo um triângulo. Pa-
ralela à primeira perpendicular, pode-se traçar outras tantas quanto qui-
ser, formando assim uma infinidade de triângulos semelhantes.
Observe a figura a seguir:
Figura 8 - Triângulos retângulos semelhantes.
Você pôde verificar que existe um ângulo reto e dois ângulos agudos e
também que os lados do triângulo que foi formado são proporcionais.
Se tiver o ângulo x e mais o ângulo reto (90°), é possível determinar o
outro ângulo (y), pois você aprendeu que a somatória dos ângulos de um
triângulo qualquer é 180°.
Y°= 180°- (90° + X°)
Você pode também estabelecer uma relação entre os lados do triângulo
já que eles são semelhantes, observe a imagem:
AP
PQ
AB
BC
ou
AQ
PQ
AC
BC
ou
AQ
AP
AC
AB
Vamos estudar essas relações?
Observe e analise as figuras a se-
guir:

Se você conhece os ângulos e os lados do triângulo, poderá estabelecer
as seguintes relações:
sen X ⁰ = medida do cateto oposto ou sen x = cat oposto
medida da hipotenuza hipotenuza
cosseno X⁰ = medida do lado adjacente ou cos x = cat adjacente
medida da hipotenuza hipotenuza
tangente X⁰ = medida do lado oposto ou cos x = cat oposto
medida do lado adjacente cat adjacente
Visualize os triângulos, eles são semelhantes, possuem o mesmo ângulo
x. Fazendo as relações que você acabou de conhecer, é possível identifi-
car que elas são sempre as mesmas.
75,0...
8
6
6
5,4
4
3
2
5,1
8,0...
10
8
5,7
6
5
4
5,2
2
cos
6,0...
10
6
5,7
5,4
5
3
5,2
5,1
tgx
x
senx
Essas relações são denominadas
de razões trigonométricas e per-
mitem na Mecânica realizar uma
série de cálculos, para tanto você
deve visualizar o triângulo retân-
gulo nos problemas nos quais está
envolvido.
Preparado para aplicar essas rela-
ções em situações do dia a dia da
Mecânica? Então siga em frente!
Aplicação 1
Você recebeu a tarefa de usinar
uma peça conforme o desenho
a seguir. Qual é o comprimento
da parte cônica para que deva ser
usinada?
Para resolver o problema você
deve encontrar a medida do com-
primento do cone. Observe que
é possível retirar um triângulo re-
tângulo do desenho.

Faz-se necessário encontrar a me-
dida X do desenho apresentado.
Para encontrar a medida solicitada
você deve retirar alguns dados do
problema, tem-se assim:
Medida PA =
Medida PA = 20 mm, pois na Me-
cânica a unidade mais utilizada é o
milímetro.
Para determinar a medida X, uti-
liza-se uma das razões estudadas,
assim é possível verificar os se-
guintes elementos:
2
1050
▪▪ medida do cateto oposto = 20 mm;
▪▪ medida do cateto adjacente = x;
▪▪ ângulo conforme desenho = 25°.
A razão que relaciona o ângulo, o cateto oposto e o cateto adjacente é a
tangente, pode-se então usá-la para determinar a medida X.
x
Tg
x
tg
tecatAdjacen
catoposto
tg ooo 20
25
20
2525
O valor da tangente de 25° você encontrará na tabela de tangente ou
utilizando uma calculadora científica.
tg 25° = 0,46631 , substituindo na fórmula temos:
0,466 =
20
x ⟹ 0,466 =
20
x ⟹ X =
20
0,466 ⟹ X = 43 mm
Portanto, você deve marcar sobre o eixo um comprimento de 43 mm
para usinar o eixo.
Resposta: o comprimento é de 43 mm.

Aplicação 2
Uma escada está apoiada em um
muro com dois metros de altura,
formando com ele um ângulo de
45°, qual é o comprimento da es-
cada?
Lembre que você tem um triângu-
lo retângulo entre o muro, o chão
e a escada:
Que tal retirar os dados necessá-
rios para utilizar a razão correta?
Dados:
▪▪ ângulo = 45°;
▪▪ medida da hipotenusa (com-
primento da escada) = X;
▪▪ medida do cateto adjacente
= 2 m.
A razão que utilizaremos para de-
terminar o tamanho da escada é o
cosseno.
'
2
45cos
25cos
x
hipotenuza
tecatadjacen
o
o
você deve então encontrar o cos-
seno de 45° utilizando uma tabela
ou calculadora.
cos 45° = 0,707
Assim, substituindo na fórmula:
mx
x
x
83,2
707,0
22
707,0
Aplicação 3
Observe o triângulo retângulo, ele
representa a confluência de duas
vias. Sua tarefa é unir o ponto A e
C, determinando a menor distân-
cia entre esses dois pontos, bem
como o ângulo que forma com o
segmento AB e BC.
O primeiro passo é determinar a
distância utilizando a relação de
Pitágoras:
a2
=b2
+c2
→ a2
=252
+422
→
a2
= 625+1764 →a= √2389
a ≈ 48,9 km
Posteriormente, você deve deter-
minar o ângulo. Para isso utilize a
razão tangente:
'1359
68,1
25
42
'4530
592,0
42
25
o
o
tgA
tgAtgA
tgC
tgCCtg
Preparado para mais uma unidade
de estudos? A próxima unidade
tratará de um assunto bastante
instigante, a geometria plana e es-
pacial.
Continue sua caminhada pelo
mundo da matemática. Bons es-
tudos!
catAdjacente

Unidade de
estudo 5
Seções de estudo
Seção 1 – Área e Perímetro de Figuras
Planas
Seção 2 – Superfície e Volume de Sólidos
Geométricos

Seção 1
Área e Perímetro de
Figuras Planas
A geometria plana é a parte da
matemática que estuda as rela-
ções entre as figuras planas e as
figuras que têm duas dimensões:
comprimento e largura ou com-
primento e altura. Já a geometria
espacial se preocupa com o estu-
do dos objetos no espaço, ou seja,
estuda o objeto envolvendo três
dimensões: comprimento, largura
e altura.
Polígonos
Seja (A, B, C, D, ...) n pontos de
um plano, com n ≥ 3, onde três
pontos consecutivos estão em
pontos distintos do plano, a união
desses pontos com segmentos de
reta determina um polígono.
Observe a figura:
A
C D
B
Em que: A, B, C e D são os vér-
tices do polígono, e AB, BD, DC
e CA são os segmentos que for-
mam os lados do polígono.
Geometria Plana e Espacial
Superfície Poligonal
A superfície poligonal corresponde à reunião de um polígono com o
seu interior. As superfícies poligonais podem ser cônicas ou convexas.
Superfície poligonal convexa Superfície poligonal côncava
Figura 10 - Superfície Poligonal
Convexa
Superfície poligonal convexa Superfície poligonal côncava
Figura 11 - Superfície Poligonal
Côncava
Os polígonos são classificados de acordo com o seu número (n) de la-
dos, dessa forma eles recebem os nomes. Conheça a seguir as nomencla-
turas dos polígonos.
Número de Lados Nome do Polígono
3 Triângulo
4 Quadrilátero
5 Pentágono
6 Hexágono
7 Heptágono
8 Octógono
9 Eneágono
10 Decágono
11 Undecágono
12 Dodecágono
15 Pentadecágono
20 Icoságono
Quadro 1 - Nomenclatura dos polígonos

Diagonais de um
Polígono
O segmento de reta que une dois
vértices opostos de um polígono
é denominado de diagonal. No
polígono da figura a seguir você
visualizará 6 vértices e 7 diago-
nais.
A B
F C
E D
Vértices: A, B, C, D, E, F.
Diagonais: AD, AE, AC, BF, BE, BD,
CF, CE.
Perímetro de Figuras
Planas
Muitas vezes na Mecânica o técni-
co é obrigado a determinar a me-
dida do contorno de peças, como
por exemplo, definir o compri-
mento de uma barra retangular de
alumínio para confeccionar o aro
de uma bicicleta. Para determinar
essa medida você deve conhecer
como calcular o perímetro do aro.
Perímetro é a soma das medi-
das do contorno dos lados de
um polígono.
Polígonos Regulares
Acompanhe a seguir os tipos de
polígonos regulares.
Quadrado Hexágono
P=4.ℓ P=6.ℓ
Triângulo eqüilátero Pentágono
P= P= ℓ+ ℓ+ ℓ P=5.ℓ
P=3·ℓ
ℓ=comprimento do lado
ℓ ℓ
ℓ
600
ℓ
ℓ
ℓ ℓ
ℓ
ℓ
Para determinar o perímetro de um polígono regular de n lados você
deve multiplicar o comprimento do lado pelo número de lados, P = n.ℓ
Perímetro do Retângulo
Para calcular o perímetro do retângulo você precisa utilizar a seguinte
fórmula:
P = a+b+a+b
P=2a+2b
P=2(a+b)
a
b
Perímetro da Circunfe-
rência
Assim como você determina o
perímetro de um polígono, tam-
bém é possível determinar o pe-
rímetro ou comprimento de uma
circunferência. Esse conhecimen-
to é muito utilizado na Mecânica
para definir n medidas, como o
comprimento do material utiliza-
do para confeccionar os aros de
bicicletas, por exemplo.
40
Para determinar o comprimento
de uma circunferência enrole um
fio em torno da circunferência e
em seguida meça o comprimento
do fio, assim você obterá o perí-
metro da circunferência.

Se dividir este comprimento pelo
diâmetro você terá o número 3,14
que é denominado pela letra grega
pi (π).
Assim, sempre que você dividir o
comprimento de qualquer circun-
ferência pelo seu diâmetro obterá
como resultado o valor de pi.

d
C
Dessa forma você poderá obter o
comprimento da circunferência,
para isso multiplica-se o diâmetro
por pi.
.dC 
Como o diâmetro é duas vezes
o raio, você pode determinar o
comprimento da seguinte forma:
.2
2
rC
rd


Que tal pôr em prática?
Aplicação 1
Qual é o comprimento de uma
circunferência cujo diâmetro
mede 6 cm?
cmC
C
84,18
14,3.6
Aplicação 2
Determine o comprimento de uma circunferência de 5 mm de raio.
mmCC 4,3114,3.5.2
Aplicação 3
Determine o comprimento de um tubo que tem um diâmetro de 12 mm
para confeccionar uma roda de impulsão para cadeira de rodas. Essa
roda de impulsão deve ser de 56 cm de diâmetro externo.
Confira algumas observações para resolver esta aplicação!
Observações
▪▪ Para resolver este problema você deve primeiramente transformar as
dimensões para uma mesma unidade, neste caso, transformar a dimen-
são 56 cm em mm.
▪▪ Você também deve observar que o tubo tem um diâmetro de 12
mm, tomando como referência a linha média.
d = 560 mm C=d.π neste caso usamos para o diâmetro o dm
d m=560-12 C= dm. π
dm = 548 mm C=548 . 3,14
dm=diâmetro médio C=1720,2 mm ou C=172,02 cm
d = 56
Medida de Superfície – Área
Para medir uma superfície você deve compará-la com outra tomada
como unidade, na figura anterior foi utilizado um quadrado de 1 m de
lado.
Unidade de área
DICA
O Sistema Internacional de Medidas escolheu para medida de área
o metro quadrado (m2
), que é uma superfície unitária quadrangular
de 1 metro de lado. A medida de uma superfície é chamada área da
superfície.

m2
1m2
A
D
B
C
Aplicação 1
O retângulo ABCD tem 10 quadrados, se cada quadrado tem 1 m de
lado, então a medida da superfície ocupada por essa figura tem 10 m2
.
Na Mecânica utiliza-se esse conhecimento para determinar a medida da
superfície de chapas. Por exemplo, a quantidade de chapas necessárias
para confeccionar um baú da carroceria de um caminhão.
Múltiplos e Submúltiplos do Metro Quadrado
A unidade fundamental é o metro quadrado, mas é comum na Mecâ-
nica trabalhar com unidades menores, por exemplo, o mm2
, que é um
submúltiplo do metro. Já na construção civil utiliza-se os múltiplos do
metro, por exemplo, o km2
. Acompanhe o quadro a seguir.
Símbolos Valores em m2
Nomes
km2
1.000.000 m2
Quilômetro quadrado
Múltiplos
hm2
10.000 m2
Hectômetro quadrado
dam2
100 m2
Decâmetro quadrado
m2
1 m2
Metro quadrado U
dm2
0,01 m2
Decímetro quadrado
Submúltiplos
cm2
0,0001 m2
Centímetro quadrado
mm2
0,000 001 m2
milímetro quadrado
Quadro 2 - Múltiplos e submúltiplos do metro quadrado
Representação e Leitura
As unidades de medidas de área variam de 100 em 100, em vez de escre-
ver 54,3 dm2
é conveniente escrever 54,30 dm2
.
DICA
Lê-se cinquenta e quatro de-
címetros quadrados e 30 cen-
tímetros quadrados.
Mudança de Unidade
0,345 m2
= 34,50 dm2
=
3 450 cm2
= 34 500 mm2
0,000 000 345 km2
=
0,000 034 5 hm2
=
0,003 45 dam2
= 0,345 m2
Quando ocorre a mudança de
unidade, a vírgula se desloca duas
casas para a direita ou esquerda.
Área dos Polígonos
Área do Retângulo
Observe a figura a seguir, nela
você tem um retângulo de 4 cm
de altura e 9 cm de base, cuja área
é de 2 cm x 5 cm = 10 cm2
.
10
2
1cm2
hbA .
Representando por A a área do
retângulo, por b a base e por h a
altura, tem-se:

Área do Quadrado
O quadrado é um retângulo cuja base é igual à altura, assim a área pode
ser encontrada da mesma forma que o retângulo.
Como b = ℓ
h = ℓ
A = ℓ . ℓ
A = b.h
3cm
A =
1cm2
A área do quadrado A = 3.3, A = 9 cm2
.
Área do Paralelogramo
Você já ouviu falar de paralelogramo? Visualize atentamente as figuras
a seguir.
s
U≅P
T
S
R
P U U
TT’ S≅R
Se você cortar o triângulo direito do paralelogramo e colocar sobre o
lado oposto, ficará com um retângulo. Para calcular a área do paralelo-
gramo será utilizada a fórmula do retângulo.
hbA .
Área do Triângulo
Observe na figura que a área do triângulo é metade da área do retângulo,
assim a área do retângulo é A = b.h. Para calcular a área do triângulo
basta dividir por dois a área do retângulo. Veja a seguir.
Triângulo equilátero
2
.hb
A
4
3.2

A
h=4,7
b=5,8
Triângulo equilátero

Substituindo na fórmula as medidas da página anterior, que estão em
cm, tem-se:
2
13,11 cmA
2
7,4.8,5
A
Área do Losango
Para calcular a área de um losango, deve-se partir da área de um retângu-
lo, pois conforme veremos na figura a seguir, o losango é formado por
oito triângulos iguais.
Como a área do retângulo é A = b.h, conforme a figura acima, tem-se
b = D e h = d.
A área do losango é:
d= 4cm
D= 12cm
2
.dD
A
Substituindo as medidas do desenho você terá:
2
24
2
4,12
cmAA
Área do Trapézio
Dado um trapézio qualquer para determinar a área, estabeleça o seguin-
te: ajustar outro trapézio igual ao primeiro em sentido inverso, nota-se
dessa forma que temos um paralelogramo.
A = b . h
A =(B+b).h
B b
Bb
B+b
h
A = (B+b).h
2

Área do Polígono Regular
Seja um polígono regular com números de lado maior do que quatro,
utilize o hexágono conforme figura a seguir. O hexágono pode ser divi-
dido em 6 triângulos equiláteros iguais (congruentes).
P = 6
h = ap
O apótema de um polígono regular é a distância do cen-
tro do polígono a qualquer um dos lados.
A B
C
DE
F
ap
Observe que o paralelogramo contém 12 triângulos semelhantes dos
quais 6 constituem a área do hexágono.
Como a área do paralelogramo é dada por A = b.h, a área da figura é: A
= 6.ℓ.apótema.
Para determinar a área do hexágono você deve dividir a área da figura
por dois, o hexágono corresponde exatamente à metade do paralelogra-
mo da figura.
Pcomo
apótema
A 

.6
2
..6
Assim você poderá calcular qualquer área de qualquer polígono regular
desde que seja dada a medida do lado e do apótema.
Vamos aplicar?
Aplicação 1
Dada uma chapa de aço em forma de octógono, determine a área da
chapa.
Dados ℓ = 20 cm
Apótema = 24,14 cm
20 cm
24,14
⟹A = P.ap
2
A = 8.10.24,14
2
A = 965,60 cm2
2
⟹

Área do Círculo
Círculo é a região interna à circunferência. Para determinar a área do
círculo você deverá dividi-lo em 16 partes iguais (congruentes).
Observe que ao abrir a circunferência você obterá 32 partes congruen-
tes, dos quais 16 constituem a área do círculo, usando a fórmula do
paralelogramo terá:
A = b.h como b = C e h = r temos: A = C.r mas, C = 2π.r assim:
A = 2
...2 rr
, simplificando temos:
2
.rA
Lembrando:
▪▪ C = comprimento ou perímetro;
▪▪ r = raio → r = 2
d
;
▪▪ d = diâmetro.
Aplicação 1
Determine a área de uma chapa de forma circular que apresenta um
diâmetro de 232,5 mm de diâmetro.
14,325,1165,232 emmrmmd
Aplicando a fórmula da área do círculo, tem-se:
222
15625,4344225,116.. mmAArA
Observe que o resultado em milímetro quadrado é um número grande,
podendo ser transformado, por exemplo, para cm2
. Desta forma ficaria
com:
22
3415625,42415625,43442 cmmm
Na Mecânica é comum arredondar esse valor, pode-se assim utilizar a
área de 424,35 cm2
.
Área da Coroa Circular
Denomina-se coroa circular a re-
gião da figura plana formada entre
duas circunferências concêntricas,
conforme figura a seguir.
R
r
Você sabe que a área do círcu-
lo é dada pela fórmula
2
.rA .
Como são dois círculos concên-
tricos, a área é a diferença entre as
áreas dos dois círculos.
22
.. rRA aplicando a pro-
priedade distributiva, você terá:
).( 22
rRA
Aplicação 1
Calcule a área de uma arruela ci-
líndrica plana que apresenta um
diâmetro externo de 76,2 mm e
interno de 50,4 mm.
D = 76,2 mm
R = 38,1 mm
d = 50,8
r = 25,4
2
22
22
253,5322
)16,64561,1451(
)4,251,38(
).(
mmA
A
A
rRA

76,2mm
50,8 mm
Acompanhe a seguir um resumo das fórmulas para cálculo das áreas
dos polígonos. Aproveite!

Múltiplos e Submúltiplos do Metro Cúbico
É comum na prática você se deparar com o cálculo de volume de sólidos
muito pequenos (como o volume de uma lata de óleo) ou muito grandes
(como o volume de um navio), desta forma, assim como na unidade de
área, precisa-se também de unidades menores ou maiores para que se
possam determinar esses volumes.
Os múltiplos e submúltiplos do metro cúbico são volumes dos cubos
cuja aresta tem unidades múltiplas ou submúltiplas do metro.
Seção 2
Superfície e Volume
de Sólidos Geométri-
cos
Os objetos que você tem contato
em sua vida diária e na vida pro-
fissional ocupam uma porção do
espaço. Esses objetos são chama-
dos de sólidos geométricos es-
paciais.
DICA
Assim, sólido geométrico
espacial ou figura geo-
métrica espacial é todo
conjunto de pontos per-
tencentes ao espaço, mas
que não estão no mesmo
plano.
Para você saber a quantidade de
espaço ocupado por esse sólido é
necessário compará-lo com outro
tomado como unidade. O núme-
ro obtido é denominado de volu-
me do sólido geométrico.
Unidade de Volume
A princípio você pode adotar
qualquer sólido como unidade
de volume, na prática foi adotado
como volume unitário um cubo
cuja aresta mede 1 m de compri-
mento, assim a unidade de volume
é denominada metro cúbico m3
(3
dimensões da figura espacial).
Na prática você pode adotar qual-
quer sólido como unidade de vo-
lume. Para medir como unidade o
volume do cubo cuja aresta tem
um metro de comprimento, sur-
giu o metro cúbico m3
, observe
a figura.

Representação e Leitura
As unidades de volume variam de 1.000 em 1.000, desta forma você
escreverá:
43,26 m3
, mas é conveniente escrever 43,260 m3
.
Lê-se: quarenta e três metros cúbicos e duzentos sessenta decímetros
cúbicos.
Mudança de Unidade
2,3456 m3
= 2 345,6 dm3
= 2 345 600 cm3
Observe que ao mudar de unidade para uma imediatamente inferior,
multiplica-se a medida inicial por mil até chegar à unidade solicitada.
x1000 x1000 x1000 x1000 x1000 x1000 x1000
km3
hm3
dam3
m3
dm3
cm3
mm3
:1000 :1000 :1000 :1000 :1000 :1000 :1000
--------------------------------------- ------------------------------------------ -------------------------------------
------------------------------------------ --------------------------------------- --------------------------------
Você estudará a seguir cada um desses sólidos e os elementos que o
compõem. Bons estudos!
Prismas
São sólidos limitados por dois polígonos paralelos congruentes (iguais)
que formam as suas bases e por tantos paralelogramos quantos forem
os lados dos polígonos que formam a base. Eles podem ser classificados
em retos ou oblíquos.
Se partir de uma unidade menor
para uma unidade maior, deve-se
dividi-la por mil até chegar à uni-
dade solicitada.
Sólidos Geométricos –
Área e Volume
Em sua vida diária você se depa-
ra com vários objetos constituí-
dos de volume. Se você observar
bem, verá que tudo que é constru-
ído pelo homem apresenta forma
definida, nesta unidade você es-
tudará como calcular o espaço
ocupado por esses sólidos, sua
formação, as principais figuras
que dão origem a eles, além de ve-
rificar que muitos são junções de
dois ou mais sólidos.
Você consegue identificar os no-
mes dos sólidos geométricos a se-
guir? Sua tarefa é escrever o nome
de cada um deles.

Prisma reto Prisma obliquo
Observação: no prisma reto as arestas são perpendiculares à base e oblí-
quo quando são inclinadas em relação à base.
De uma maneira geral, para calcular o volume dos prismas multiplica-se
a área da base pela medida da altura, ou seja:
hAV b .
Você estudará também as áreas das superfícies que formam as laterais e
suas bases, pois em muitas situações você será obrigado a dispor dessas
superfícies para construir um sólido qualquer, como por exemplo, na
construção da carroceria de um caminhão-baú, em que será necessário
determinar a quantidade de chapas para a sua construção.
Num prisma você encontrará as áreas das seguintes superfícies:
Tem-se:
▪▪ aresta a = altura;
▪▪ aresta c = comprimento;
▪▪ aresta b = largura.
Área da face – é a área de um
dos polígonos que forma uma
das laterais;
Área lateral – é o somatório
das áreas dos polígonos que
formam as laterais dos pris-
mas;
Área da base – é a área do
polígono que forma a base;
Área total – é a soma de to-
das as áreas dos polígonos
que formam o prisma.
A seguir você analisará alguns prismas e os elementos que o formam.
Paralelepípedo retângulo – as bases e as laterais são paralelogramos.
arestas
Base
a
b
c

Observe que este polígono é formado por 6 faces que são paralelogra-
mos. Tem-se assim na face anterior as arestas a, b, c, desta forma é pos-
sível determinar as áreas que formam o paralelepípedo.
Vamos planificá-lo:
Vamos planiﬁcá-lo
a
b
c
Base Sup.
Base Inf.
c’
a’
b’
Ab
Ab
Af AfAl Al Al
Aplicação 1
Determine o volume e as áreas do paralelepípedo da figura a seguir:
altura = 24 mm
comprimento = 12 mm
24
largura = 8 mm
8
12
Área da base
Ab
= 12 x 8 ⟹ Ab
= 96 mm2
Área da face frontal
Af
= 12 x 24 ⟹ Af
= 288 mm2
Área da face lateral
Al
= 8 x 24 ⟹ Al
= 192 mm2
Com esses dados você pode cal-
cular a área lateral e a área total.
Área lateral AL
= 2(Af
+
Al
) ⟹ AL
2(288 + 192) ⟹
AL
= 960 mm2
Área total AT
= 2(Ab
+ AL
)
⟹ AT
= 2(96 + 960) ⟹
AT
= 2 112 mm2
Volume V = comprimento x lar-
gura x altura ⟹
V = 12 x 8 x 24 ⟹
V= 8.064 mm3
Acompanhe a seguir alguns exem-
plos de prismas que fazem uso do
mesmo raciocínio para a deter-
minação dos elementos que você
calculou na Aplicação 1.
Área da base Ab
= aresta c . aresta
c ⟹ Ab
= c.b
Área da face frontal Af
= aresta a
. aresta b ⟹ Af
= a . b
Área da face lateral Al
= aresta c’.
aresta a’ ⟹ Al
= c’ . b’
Área lateral AL
= 2(Af
+ Al
)
Área total AT
= 2(Ab
+ AL
)

cubo
Prisma de base hexagonal Prisma de base pentagonal
Cilindro
Sólido geométrico cuja base é um círculo. Assim como o prisma, os
cilindros se classificam em cilindro reto e oblíquo.
Cilindro reto Cilindro obliquo
Observação: o cilindro equilátero é caracterizado quando a altura do
cilindro for igual ao seu diâmetro.
Área e Volume
h h
d
d
C=π.d
Área da base 2
.rAb
Área lateral AL
= C . h ⟹ AL
= π.d.h
Área total AT
= 2 Ab
+ AL
Volume V = Ab
. h ⟹ hrV .. 2
Reto: quando o eixo que
o forma é perpendicular à
base.
Oblíquo: o eixo não é per-
pendicular à base.

Aplicação 1
Determine o volume e a quantidade de área necessária para confeccio-
nar uma lata de óleo que apresenta a forma de um cilindro circular reto
com as seguintes dimensões:
altura = 100 mm
diâmetro = 80 mm
h=100
d=80
Área da base
22
024540. mmAA bb ⟹ Ab
= 5 024 mm2
Área lateral AL
= C . h ⟹ AL
= π.80.100 ⟹ AL
= 25 120 mm2
Área total AT
= 2 Ab
+ AL ⟹
AT
= 2 x 5 024 + 25 120 ⟹
AT
= 35 168 mm2
Volume V = Ab
. h ⟹ hrV .. 2
⟹ V = 3,14.40².100⟹
V = 502 400 mm3
Resposta: conforme solicitado, você deve utilizar para a fabricação de
uma lata, 35.168 mm2
de chapas para um volume de 502.400 mm3
de
óleo.
Pirâmide
Sólido geométrico limitado por um polígono qualquer e por triângulos
que formam as suas laterais e que têm um vértice comum. O polígono
forma a base e os triângulos as suas faces laterais. As pirâmides se clas-
sificam de acordo com o polígono que forma a sua base. A altura da
pirâmide é o segmento de reta perpendicular à sua base.
h=alturaapótema
Apótema da base
Área da base: de acordo com o
polígono que a forma.
Área lateral: AL
= b . h
2
, lembrar
que a altura relacionada se refere
à altura do triângulo que forma a
face lateral.
Área total AT
= somatória das áre-
as laterais.
Volume V = Ab . h
3
Aplicação 1
Determine o volume, a área to-
tal das faces e a área total de uma
pirâmide de base retangular que
apresenta as seguintes dimensões:
comprimento da base = 80 mm;
largura da base = 45 mm;
altura = 78 mm.
45
80
78
Área da base Ab
= comprimento
x largura ⟹ Ab
= 80 x 45 ⟹
Ab
= 3 600 mm2
.
Apótema do triângulo que for-
ma a face lateral com aresta de
45 mm = 87,66 mm.
Apótema do triângulo que for-
ma a face lateral com aresta de
80 mm = 81,18 mm.
Observe que neste caso você tem
duas faces com triângulos diferen-
tes, um cuja base é 45 mm e outro
cuja base é 80 mm.
Área da face lateral cujo triângulo
tem base igual a 45 mm:

Af =
2
66,87.45
→
Af = 1 972,35 mm2
Área da face lateral cujo triângulo
tem base igual a 80 mm:
Af
= 2
18,81.80
→
Af
= 3 247,20 mm2
Área total das faces.
Atf
= 1 972,35 + 3 247,20
Atf
= 5 219,55 mm2
Área total AT
= somatório da área
das faces mais a área da base.
At = Ab + Af →
At = 3 600 + 5 219,55 →
At = 8 819,55 mm2
Volume
V =
3
.hbA
→
V =
3
78.6003
→
V = 93 600 mm3
Cone
É o sólido gerado por um triângulo retângulo que gira em torno de um
de seus catetos.
h
d
g
d
C= π.dAL
Área lateral
AL
= gr.. g = geratriz
Área da base
.2
rAb
π.r2
.h
3
Área total
AT
= AL
+ Ab
→ AT
= gr.. + .2
r → ).(.. rgrAT
Volume
3
.. 2
hr
V
Aplicação 1
Determine a área lateral total e o volume de um cone que apresenta as
seguintes dimensões:
▪▪ diâmetro da base = 18 cm;
▪▪ altura = 14 cm.

Cálculo da geratriz:
g2
= r2
+ h2
g2
= 92
+ 142
g2
= 81 + 196
g = √277
g = 16,65 cm
Área lateral AL
= gr.. → AL
= 3,14 . 9 . 16,65 → AL
= 470,529 cm2
Área da base .2
rAb → .92
bA → Ab
= 254,34 cm2
Área total AT
= AL
+ Ab
→ AT
= 470,529 + 254,34 →
AT
= 724,869 cm2
Volume 3
.. 2
hr
V
→ 3
14.9. 2
V
→ V = 1.186,92 cm3
Esfera
Você sabe o que é uma esfera? É um semicírculo que gira em torno do
seu eixo.
DICA
A esfera é o sólido geométrico limitado por uma superfície esférica
e formado por todos os pontos de sua superfície e o seu interior.
A
B
Área da superfície esférica
2
..4 rAs
Volume da esfera
3
..4 2
r
Ve
Aplicação 1
Determine a superfície e o vo-
lume de um depósito de gás em
forma de esfera que apresenta um
diâmetro de 8 m.
d = 8 m → r = 4 m
Área da superfície esférica
2
..4 rAs →
2
4..4sA →
As
= 200,96 m2
Volume da esfera
3
..4 2
r
Ve →
Ve
=
3
4..4 3
 → Ve
= 267,95 m3
Volume do Tronco de
Cone
Sólido gerado pela seção de um
cone por um plano paralelo à sua
base em uma determinada altura
do cone, conforme demonstrado
na figura a seguir.
Área lateral
AL = , sendo;
• R = raio da base maior do cone;
• r = raio da base menor;
• g = geratriz do cone;
• volume do tronco de cone;

).(3
.
22
rRrR
h
V
Tronco de Pirâmide
Sólido gerado pela seção de uma pirâmide por um plano paralelo à sua
base em uma determinada altura da pirâmide. Veja a figura a seguir.
h
Base maior
Base menor
Área lateral AL: soma das áreas dos trapézios que formam as superfícies
laterais.
Área total: soma da área lateral com a área das bases.
LbBT AAAA
)(3 bBbB AAAA
h
V
Acompanhe a seguir as fórmulas utilizadas para calcular o volume de
figuras espaciais. Aproveite!

Paralelepípedo RetânguloCubo
Cilindro Pirâmide
Cone Tronco do Cone
Tronco da Pirâmide Esfera

Finalizando
Procuramos apresentar nesta unidade curricular os elementos necessários para que você pos-
sa utilizar os conhecimentos matemáticos de forma clara e objetiva. Os conteúdos abordados
são essenciais na sua vida profissional como técnico; frações, números decimais, regra de três,
porcentagem, cálculo de área e volume e muitos outros conhecimentos são indispensáveis
para que você se torne um profissional seguro e dedicado naquilo que faz.
Muitos desses conhecimentos você irá aperfeiçoar ao longo da sua vida profissional, portan-
to, dedique-se, o sucesso só depende de você.
Pratique, faça as coisas com carinho e quando não conseguir resolver um problema de qual-
quer área do conhecimento, peça ajuda, pois um profissional só se faz quando trabalha junto
com outras pessoas, ou seja, trabalha em equipe.
Um ótimo estudo.

Referências
▪▪ SENAI. Geometria: [S.I.: s.n.], 1975. 162 p. (Coleção Básica Matemática).
▪▪ ______. Geometria IV. 1. ed. [S.I.]: SENAI, 1975. (Coleção Básica Matemática).
Bibliografia complementar
▪▪ D’AMBRÓSIO, Nicolou; D’AMBRÓSIO, Ubiritan. Matemática comercial e financeira,
com complementos de matemática e introdução ao cálculo. 23. ed. São Paulo: Nacio-
nal, 1975. 287 p.
▪▪ RUBINSTEIN, Cléa et al. Matemática para o curso de formação de professores de 1a
a 4a
série do 1° grau: 1. ed. São Paulo: Moderna, 1991. 429 p.
▪▪ SPINELLI, Walter; SOUZA, Maria Helena Soares de. Matemática comercial e financei-
ra. São Paulo: Ática, 1998. 239 p.
▪▪ SÓ MATEMÁTICA. Disponível em: <http://www.somatematica.com.br/>. Acesso em:
20 nov. 2009.

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