Exercicios resolvidos hiperbole analitica

1. 1
Hipérbole
01) Uma Hipérbole tem seu centro na origem e seu eixo real coincidente com o eixo
X. Excentricidade =
6 e passa pelo ponto (2, 1). Determinar sua equação.
2
Resposta:
Eixo real = raio maior da hipérbole, e centro na origem.
2
 y
2
Eq. geral p/ este caso: 
1 2
2
b
x
a
Excentricidade
  c
a
 6
a
2
c
logo
c  a 6
2
c2 = a2 + b2
Usando a relação acima temos:

   

2 2
2
a a b
2
6
2 2 2

a a b
3 4
 
2 2 2
2
6
a  a 
b
 

Isolando b, temos:
a  a 
b
a  a 
b
2
2
2
2
2 2
2
2 2
2
3
3
a b
2

Substituindo na eq. geral da Hip, temos:
1
y
 
y
 
2
1
2
2
y
2 1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
 
a
x
x
x
a
a
a
b
a
Agora substituindo pelo ponto P (2, 1)
y
2 1
 
 
2
2
x
2 

2 1 1
a a
4  2 
1
2 2

a a
2 1 2
2
2
2
2
2
2
2
2
a
  
a
a
a
2
a  b  b 
Então temos: 1
2
2 2
2 2
x  y 
Com isso, a eq. da hipérbole fica: 1
2 1
x
y
P


2. 2
02) Determinar a equação da hipérbole sendo os focos (–7, 3) e (–1, 3),
comprimento do eixo real = 4.
Resposta:
Como os focos possuem o mesmo valor em y, logo seu eixo maior está sobre o eixo x, e
com um centro qualquer C(h, k)
A equação para este caso:
 x 
h
 2
 y 
k
 2


1 2
2
b
a
Sabemos que o centro é um ponto médio entre os focos, logo podemos calcular este
ponto médio:
( 4, 3)
x x 
 y 
y
 

1 2 1 2

,  3 3
P
P P
2
7 1
  

2
2
,
2


    








M
M M
Temos a relação que o comprimento do eixo real = 2a, logo nosso eixo real será igual a
2. Então a = 2.
Lembrando que a distância entre os focos é igual a 2c, calculando a dist. Entre os focos,
obtemos este valor:
   
   
6 6
d  x  x  y 
y
2 2
1 ( 7) 3 3
2
2
2 1
2
2 1
     
d d
  
FF
FF
FF FF
d
Logo, c = 3, e com a relação:
2 2 2
c  a 
b
2 2 2
3 2
 
 
5
9 4
2
2

b
b
b
Então a equação reduzida fica:
 4  2   2
1
4
3
x  y
5



Desenvolvendo a equação:
   
1
2 2
x y
5  4  4 
3
20

2 2
x x y y
5(  8  16)  4(  6  9) 
20
2 2
x x y y
5  40  80  4  24  36  20 
0
2 2
x x y y
5  40  4  24  24 
0
x
y
F

C

F


3. 3
03) Determinar as equações das assíntotas da hipérbole 4x2 – 5y2 = 7.
Resposta:
Fazendo o termo independente = a 0, e isolando o y, temos:
4x2 – 5y2 = 0
– 5y2 = – 4x2 x(–1)
5y2 = 4x2
y2 =
45
x2
y = ±
4 x
5
y = ±
2 x
5